信号与系统论文

目录 1

1.0、信号与系统的简介 2

1.1、信号与系统的分析方法 2

1.2、信号的分类 6

1.2.1、连续信号与离散信号 6

1.2.2、周期信号与非周期信号 8

1.2.3、实信号与复信号 9

1.2.4、导数和积分 12

1.3傅里叶与信号的关系 13

1.3.1傅里叶系数与波形对称性的关系 13

1.4 拉普拉斯变换 14

1.4.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 15

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信号与系统是通信和电子信息类专业的核心基础课，其中的概念和分析方法广泛应用于通信、自动控制、信号与信息处理、电路与系统等领域。

1.0 信号与系统

1.0.1 信号的概念

消息(Message)

人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。消息涉及的内容极其广泛，包括天文、地理、现实、历史、政治、经济、科技、文化等。消息可以通过书信、电话、广播、电视、互联网等多种媒体或方式进行发布和传输。

信息(Information)

通常把消息中有意义的内容称为信息。人们关注消息的目的是为了获取和利用其中包含的信息。在本课程中对“信息”和“消息”两词未加严格区分。

信号 (Signal)

为了有效地传播和利用消息，常常需要将消息转换成便于传输和处理的信号。信号是消息的载体，一般表现为随时间变化的某种物理量。根据物理量的不同特性，可把信号区分为声信号、光信号、电信号等不同类别。在各种信号中，电信号是一种最便于传输、控制与处理的信号。同时，在实际应用中，许多非电信号常可通过适当的传感器变换成电信号。因此，研究电信号具有重要意义。在本课程中，若无特殊说明，信号一词均指电信号。

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1.1 信号与系统的分析方法

信号与系统是为完成某一特定功能而相互作用、不可分割的统一整体。为了有效地应用系统传输和处理信息，就必须对信号、系统自身的特性以及信号特性与系统特性之间的相互匹配等问题进行深入研究。本课程概要介绍信号与系统的分析方法，以便读者对信号与系统的分析思想和方法有一初步了解。

信号分析是研究信号的描述、运算、特性以及信号发生某些变化时其特性的相应变化。信号分析的基本目的是揭示信号自身的特性，例如确定信号的时域特性(time-domain characterization )与频域待性(frequency-domain characterization)，随机信号的统计特性等。实现信号分析的主要途径是研究信号的分解，即将一般信号分解成众多基本信号单元的线性组合，通过研究这些基本信号单元在时域或变换域的分布规律来达到了解信号特性的目的。由于信号的分解可以在时域进行，也可以在频域或复频域进行，因此信号分析的方法也有时域方法、频域方法和复频域方法。

在信号的时域分析中，采用单位冲激信号或 (unit impulse response)

单位脉冲序列，作为基本信号，将连续时间信号表示为的加权积分，

将离散时间信号表示的加权和，它们分别是一种特殊的卷积积分

(convolution integral)运算与卷积和(convolution sum)运算。这里，通过基本信号单元的加权值随变量t(或k)的变化直接表征信号的时域特性。

在信号的频域分析中，采用虚指数信号或作为基本信号，将连续

时间(或离散时间)信号表示为(或)的加权积分(或加权和)。这就导

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致了傅立叶分析的理论和方法。这里，通过各基本信号单元振幅(或振幅密度)、相位随频率的变化(即信号的频谱)来反映信号的频域特性。

在复频域分析信号时，则采用复指数信号()或()

作为基本信号，将连续时间(或离散时间)信号表示为(或)的加权积分(或

加权和),相应导出了拉普拉斯变换与Z变换的理论和方法。

系统分析的主要任务是分析给定系统在激励作用下产生的响应。其分析过程包括建立系统模型;用数学方法求解由系统模型建立的系统方程，求得系统的响应。必要时，对求解结果给出物理解释，赋予一定的物理意义。就本书所研究LTI系统而言，由输入输出模型建立的系统方程是一个线性常系数的微分方程(linear constant-coefficient differential equation)或差分方程(difference equation);由状态空间模型建立的状态方程是—阶线性微分方程组或差分方程组，输出方程是一组代数方程。

在系统方程或系统输出响应的求解方面，按照系统理论，—般先求出系统的零输入响应和零状态响应;然后将它们叠加，得到系统的完全响应。设系统的初始观察时刻，如果将系统的初始状态看成另一种历史输入信号，那么，零

输入响应()是历史输入信号作用于系统后在t时刻所产生的响应;

而零状态响应是[0，t]区间的当前输入信号作用于系统后在t时刻

所产生的响应。就系统分析方法而言，两者没有本质上的差别。所以，系统分析问题可以归结为系统在当前输入作用下其零状态响应的求解问题，也就是松弛系统在激励作用下输出响应的求解问题。

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分析LTI松弛系统的基本思想是先将激励信号分解为众多基本信号单元的线性组合，求出各基本信号单元通过系统后产生的响应分量，再将这些响应分量叠加起来得到系统在激励信号作用下的输出响应。与信号分析类似，系统分析也有相应的时域分析法、频域分析法和复频域分析法。

在LTI系统的时域分析中，将输入信号分解成冲激信号(或脉冲序列)

单元的线性组合，只要求出基本信号[或]作用下系统的响应，就可

根据系统的线性和时不变特性确定各冲激信号(或脉冲序列)单元作用下系统的响应分量，再将这些响应分量叠加求得系统在激励下的输出响应。这就产

生了系统响应的卷积积分和卷积和计算方法。在频域分析中，把输入信号分

解为虚指数信号(或)单元的线性组合，只要求出基本信号(或

)作用下系统的响应，再由系统的线性、时不变特性定各虚指数信号单元作用下系统的响应分量，并将这些响应分量叠加，便可求激励下的系统响应，

这就是傅立叶分析(Fourier analysis)的思想。在复频域分析中，用复指数信号或作为基本信号，将输入(或)分解为复指数信号单元的线性组

合，其系统响应表示为各复指数信号单元作用下相应输出的叠加，这就是应用拉普拉斯变换和Z变换的系统分析方法。

综上所述，LTI系统分析的理论基础是信号的分解特性和系统的线性、时不变特性。实现系统分析的统一观点和方法是:激励信号可以分解众多基本信号单元的线性组合;系统对激励所产生的零状态响应是系统对各基本信号单元分别作用时相应响应的叠加;不同的信号分解方式将导致不同的系统分析方法。在统一观点下，传统的数字变换工具被赋予了明确的物理意义。同时表明，无论是连续第 5 页共 16 页

时间系续还是离散时间系统的变换域分析法在大质上也都是属于“时域”的分析方法，所有系统分析方法都是在使用某种基本信号进行信号分解的条件下导出的合乎逻辑的必然结果。

根据信号与系统的不同分析方法，全书内容按照先确定信号通过线性系统，后随机信号通过线性系统;先输入输出分析，后状态空间分析，后离散系统分析;先时域分析，后变化域分析;先信号分析，后系统分析的方式依次展开讨论。作为本课程的主体内容，连续信号、系统分析理论与离散信号、系统分析理论之间，既保持体系上的相对独立，又体现了内容上的并行特点。本书希望在全面系统地介绍“信号与系统”课程理论体系的同时，能够进一步揭示出各种分析方法之间的内在联系和本质上的统一性。

1.2 信号分类

1.2.1 连续信号(Continuous signal)与离散信号(Discrete signal)

连续时间信号如图1.1-1(a)所示，它的描述函数的定义域是连续的。离散时间信号的描述函数的定义域是某些离散点的集合，如图1.1-1(b)所示的离散时间信号f(n)，函数只是在某些离散点上才有定义。这些离散点在时间轴上可以均匀分布，也可以不均匀分布。

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离散信号可以是连续信号的抽样信号～如图1.1-2所示～是在各

点的值～并称为的抽样信号。叫作抽样周期(sampling period)～相应的成为抽样频率。常将简记为～则暗含在中。n 表示各函数值的序号～离散时间信号是一组序列值的集合。 n

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并非所有的离散时间信号都是连续信号的抽样信号(sampling signal)。如人口的年平均出生率～纽约股票市场每天的Dow-Jones指数等～就是这样的离散时间信号。若离散时间信号的取值为有限的离散值～则称此信号为数字信号(digital signal),如图1.1-3,。

1.2.2 周期信号(Periodic signal)和非周期信号(Nonperiodic signal)

连续信号，若存在T>0，使得

r为整数 (1.1-1)

离散信号，若存在大于零的整数N，使得

N～r为整数 (1.1-2) 则称～为周期信号。T，N分别为与的周期。

显然，若知道了周期信号一个周期内的变化过程，就可以确定整个

定义域内的信号取值。

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通常把连续信号的范围叫做主值区间; 相应地，离散信号在0~N-1

的范围叫做主值区间。

例如，把周期信号在主值区间的序列记为则有～

(1.1-3)

和 r为整

数 (1.1-4) 从式(1.1-4)可见，周期信号可以看成是主值区间信号的周期拓延

(参见图1.1-3)。不满足式(1.1-1)或式(1.1-2)的信号则为非周期信号。

1.2.3 实信号(Real signal)和复信号(Complex signal)

物理可实现的信号常常是时间t(或k)的实函数(或序列),其在各时刻的函数(或序列)值为实数.例如,单边指数信号,正弦信号(正弦与余弦信号二者相位相差，在本课程中通称为正弦信号)等,称它们为实信号。函数(或序列)值为

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复数的信号称为复信号(complex signal)，最常用的是复指数信号(complex exponential signal)。连续时间的复指数信号可表示为

式中复变量s=σ+jω,σ 是 s的实部，记作Re[s],ω是s的虚部，记作

Im[s]。根据欧拉公式(Euler's formula)可展开为

可见，一个复指数信号可分解为实部、虚部两部分，即

两者均为实信号，而且是频率相同振幅(amplitude)随时间变化的正(余)弦振荡(sinusoidal(cosinoidal) oscillation)。s的实部σ表征了该信号振幅随时间变化的状况，其虚部ω表征了其振荡角频率。若σ>0,则是增幅振荡;若σ<0,则是衰减振荡;当σ=0时是等幅振荡。下图画出了三种σ取不同值时，实部信号Re[f(t)]的波形。信号Im[f(t)]的波形与Re[f(t)]的波形相似,只是相位相差。当ω=0时，复

σt 指数信号就成为实指数信号e。如果σ= ω=0，则f(t)=1，这时就成为直流信号(direct currenct signal)。可见，指数信号概括了许多常用的信号。复指数信号的重要特征之一是它对时间的导数和积分仍然是复指数信号。

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σt 复指数函数的实部ecos(ωt)

离散时间的复指数序列可表示为

式中。上式可展开为

其实部、虚部分别为

下图画出了 a 的三种不同取值时，复指数序列实部的波形.

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1.2.4 导数和积分

连续信号是t的连续函数，故可对它进行导数(derivative)或微分(differential)运算,x(t)的一阶微分表示为

d d

离散信号时间变量,是整数，所以，对离散信号没有微分运算(differential operation)，但存在差分运算(difference operation)，这一点下节将会详细讲述(由微分概念可知,微分信号x'(t)在时刻t的信号值，等于x(t)在该时刻的变化率.

此外还可以定义x(t)的高阶微分(differential of higher order)，即

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对连续时间信号x(t)也可以进行积分运算(interal operation)(离散信号没有积分运算)而，x(t)的一次积分定义为

这个积分运算通常称为滑动积分(running interal),简称积分(一个信号滑动积分后产生一个新的信号，它在t时刻的信号值等于原信号在区间(- ? ,t)内波形所围的面积(当然，还可以定义多次积分

1.3傅里叶系数与信号的关系

1.3.1 傅里叶系数与波形对称性的关系

一、为偶函数—纵轴对称

即～如下图

傅里叶系数:

且有:

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为奇函数—原点对称二、

即～如下图

傅里叶系数:

且有:

1.4 拉普拉斯变换(Laplace

transform)

1.4.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换

一个信号f(t)若满足绝对可积条件，则其傅里叶变换一定存在。例如，-

αteε(t)( α>0)就是这种信号。若f(t)不满足绝对可积条件，则傅里叶变换不一定存在。例如，信号ε(t) 在引入冲激函数后其傅里叶变换存在，而信αtαt号eε(t)( α>0)的傅里叶变换不存在。若给信号eε(t)乘以信号-

σt-(σ-α)t-(σ-α)te(σ>α)，得到信号eε(t) 。信号eε(t)满足绝对可积条件，因此其傅里叶变换存在。

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-σt-σt 设有信号f(t)e(σ为实数)，并且能选择适当的σ使f(t)e绝对可积,则该信号的傅里叶变换存在。若用 F(σ+jω)表示该信号的傅里叶变换，根

据傅里叶变换的定义，则有

(4.1-1) 根据傅里叶逆变换(inverse Fourier transform)的定义，则

σt上式两边乘以e，得

(4.1-2) 令s= σ+jω, 则jd ω=ds，代入式(4.1-1)和式(4.1-2)得到

(4.1-3)

(4.1-4) 式(4.1-3)称为信号f(t)的双边拉普拉斯变换(two-sided Laplace transform)，

记为F(s)=,[f(t)] 。式 (4.1-4) 称为双边拉普拉斯逆变换或反变换(inverse -1two-sided Laplace transform)。记为 f(t)= ,[F(s)]。F(s)又称为

f(t)的像函数，f(t)又称为 F(s)的原函数。双边拉普拉斯变换简称为双边拉

氏

变换。

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