指数函数与对数函数二

由于指数函数 y=ax 和对数函数 x=logay所表示的 x 和 y 这两 个变量间的关系是一样的，因而函数 x=logay和 y=ax 的图 像是一样的. 把x轴，y轴的位置互换，就得到y=logax的图 像．
习惯上, x轴在水平位置，y轴在竖直位置，把上面的图 翻转，使x轴在水平位置，得到通常的y=logax的图像．
例 求下列函数的反函数，并写出反函数的定义域与值域：
6x 5 x R , 且x 1 . (1) 函数 y x 1 x 1 , x 1, . (2) 函数 y ln x 1 e x e x . (3) 函数 y 2
(4) 单调函数y=f(x+1), x0 , yR. 6x 5 解：(1) 由函数 y 得yxy=6x+5, 即(y6)x=y+5, x 1 x 5 y5 , y . 于是 x 原函数的值域为反 y6 x6 6x 5 x5 函数的定义域. 函数 y 的反函数是 y x6 x 1 6x 5 11 y 6 6 所以定义域x6,值域是y1. x 1 x 1
2. 所有的指数函数都有反函数吗？
• 对于所有的指数函数y = a x(a>0，a≠1)，无论底数取 怎样的给定的值，此函数在它的定义域上都是单调函数， 所以它都有反函数．
• 对于指数函数 y = a x(a>0 ， a ≠ 1) ，可以用先解出 x=logay，再调换x．y位置的方法得到它的反函数对数函 数y = log a x (a>0，a≠1，x>0). • 象其他原函数和反函数一样，指数函数y = a x(a>0， a≠1，x∈R，y>0)的值域和定义域就是对数函数 y = log a x (a>0，a≠1，x>0，y∈R)的定义域和值域． 特别需要注意的是对数函数的定义域是保证真数部分大 于0的自变量取值范围．
y 2 1, x ln y
y2 1 ,
2
x 1,定义域是x来自,值域是xR.(4) 单调函数y=f(x+1), x0 , yR. 解：函数y= f(x)是单调函数，它存在反函数． 由函数y=f(x+1), 得x+1= f 1(y), 即x = f 1(y) 1， 函数y=f(x+1) 的反函数是y = f 1(x) 1，定义域是xR, 值域是y0. 评述：求反函数，是由 求 的过程．步骤是 ①求出原函数的定义域和值域； ②解出x = f 1(y)； ③换字母得到y = f 1(x),同时写出反函数的定义域(当所 注定义域与解析式的自然定义域相同时，可以不注定 义域．)
9
(2) 下列关系式中，成立的是(
0
)
0
1 1 A．log 3 4 log 1 10 B．log 1 10 log 3 4 5 5 3 3 0 0 1 1 log 1 10 log 3 4 C．log 3 4 log 1 10 D． 5 0 5 3 3 1 (2) 由于 log 3 4 1 0 log 1 10, 5 3 答案为A.
指数概念的推广 指数函数
对数 对数函数
定义
图像与性质
定义
图像与性质
二．对数函数基础知识 1. 什么是对数函数？ 前面已经讨论了指数函数，指数函 数 y=ax(a>0 ， a ≠ 1) ，对于 x 的每一个确 定的值，y都有惟一确定的值和它对应； 并且当x1≠x2时， y1≠y2．就是说，指数 函数反映了数集 {x ︱ x∈R} 与数集 {y ︱ y∈(0 ， +∞)} 之 间 的 一 一 对 应 的 关 系．可见，对于任意的y∈(0，+∞)，在 R中都有惟一的数 x满足 y=ax ．如果把 y 当作自变量，那么 x 就是 y 的函数．这 个函数就是 x= logay(a>0，a≠1)，
原函数的值域为反函数的定义域.
e x e x . (3) y 2 解：函数的定义域是R，显然为增函数，所以值域为R. e x e x . ,得2y=exex, ⟹ e2x 2y ex 1=0. 由函数 y 2
ex y
e x e x 函数 y 2
.的反函数是 y ln x
指数函数和对数函数(二)
指数函数和对数函数是非常重要的基本初等函数．国 民经济增长．人口增长．细胞分裂．放射性物质的衰 变等都是现实生活中的实际问题，而指数函数和对数 函数正是描述这些问题的基本模型．在以后的学习中， 指数函数和对数函数可以用来近似地表示一些复杂的 函数，指数函数和对数函数的重要性和基础性，因此 它们是基本的初等函数．
三．函数和它的反函数 1. 反函数的定义如何理解？ 首先反函数也是一个函数，具有函数的一切本质属性， 所不同的是反函数是一个相关概念，一说反函数就必须 说明它是哪个函数的反函数．且如果说f 1(x)是f(x)的反 函数，那么f(x)也是f 1(x)的反函数，即互为反函数． 另外从反函数的生成来认识反函数，在实际中，在某一 过程有两个变量x和y，有时要研究变量y如何依懒于x的 变化而变化，这就产生了函数 y=f(x)．有时正好反过来 就得到x=f 1(y)．当然不是所有的函数都存在反函数， 只有那些由非空数集A．B构成的一一映射f：A→B定义 的函数才有反函数．如图：
一．课标要求．
理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机 画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单 调性与特殊点． 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量 关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一 类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体 对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特 殊点． 知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a>0， a≠1)．
3. 怎样画出对数函数的图像？ 从具体函数出发，画出它们的图像，分析之后，再讨论 一般函数的图像． 可以用那两种不同的方法得到对数函数的图像：如 y=log2x.
方法一：像指数函数一样，用列表．描点．连线的基本 方法，注意自变量必须取正实数．
方法二：根据 y=logax 和 y=ax 互为反函数 , 由 y=ax 的图像 变换来
f：A→B是一一映射，它定义了函数y= f(x)，正因为f： A→B是一一映射，才可能实现：对于象集B的每一个元 素y(象)，在对应规律“f”的逆向对应“f 1”的作用下， 在原象集A都有唯一确定的原象x与之对应，那么x就是 y的函数．这样生成的一个函数就叫做函数 y= f(x)的反 函数．记作：x= f 1(x)，习惯记作y= f 1(x)．
x 1 , x 1, . (2) y ln x 1 x 1 x 1 2 2 ln(1 ) 解：由函数 y ln 得 y ln x 1 x 1 x 1 2 (1, ) ,所以y∈(0,+∞),所以反函数 由x>1得 1 x 1 的定义域是x ∈(0,+∞). y x 1 e 1 y y y e , xe e x 1, x y , x 1 e 1 x 1 ex 1 , 函数 y ln x 1 的反函数是 y x e 1 反函数定义域是(0,+∞), ,值域是(1,+∞).
y=logax
方法三：在指数函数y=ax的图象上任取若干点，做直线 y=x的对称点，用光滑曲线连接各点，即得。
在同一坐标系中作出 这四个函数的图像．
结合图中的典型图像说明，对数函数的性质怎样体 现在它的图像中? 定义域都为(0,+),值域都是R，都过点(1,0)． y= log2x，y= lgx是增函数, y log 1 x , y log 1 x是减函数.
反函数中的“反”的含义一指y= f(x)与y= f 1(x)的对应 规律“f”与“f 1”恰好互逆；二指两个函数 y= f(x)与 y= f 1(x)定义域与值域互换，这是判断两个函数是否互 为反函数的唯一标准，与自变量．因变量分别用什么字 母表示无关，所以前提到的x=f 1(y)和y=f 1(x)均为函数 y= f(x)的反函数，是同一函数．前者为本意反函数，后 者为矫形反函数．x= f 1(y)与y= f 1(x)所不同的是：在 同一坐标系中x=f 1(y)与y=f(x)表示同一图象，而y=f 1(x) 的图象与y=f(x)的图象关于y=x对称．
6. 怎样确定几个对数函数图像的相对位置？底a对函数 图形及函数值变化的影响？ 当底a>1时，x∈(1,+∞)时，a越大，函数值增长越慢． a>b>1时 (1) 当x>1时，总有 0<logax < logbx ； (2) 当x=1时，总有 logax = logbx =0； (3) 当0<x<1时，总有 logbx <logax<0.
2 (3) log a 1, 则a的取值范围是( 3
)
2 2 A． 0, 3 1, B． 3 , 2 2 2 C． D． 0, 3 3 , 3 ,1 2 2 解：log a 1, log a log a a , 3 3 2 ① 当a>1时，由于y=logax是增函数，得 a ,所以a>1; 3 2 ②当0<a<1时，由于y=logax是减函数，得 0 a ; 3 2 综上，a的取值范围是 0, 1, . 3
2.原函数与反函数图像之间的关系 ① 原函数与反函数定义域值域互换，对应法则互逆； ② 原函数与反函数的单调性一致，偶函数不存在反函 数； ③ 原函数与反函数的的图像关于直线y=x对称．
例 (1) 若logm9<logn9<0，那么m,n满足的条件是( ) A. m>n>1 B. n > m >1 C. 0<n<m<1 D. 0<m<n<1 分析：(1) 画出草图, 由于logm9<logn9<0,知0<m , n<1, 根据底数对对数函数图像的影响， 得0<n<m<1，答案为C.