数列求和题型
已知an求sn的题型及方法
已知an求sn的题型及方法
求数列的前n项和是常见的题型，下面是一些常见的题型和解题方法：
1. 等差数列求和：
- 已知数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差。
- 求前n项和 $S_n$ 的公式为：
$S_n = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right)$
2. 等比数列求和：
- 已知数列的通项公式为 $a_n = a_1 \times q^{(n-1)}$，其中 $a_1$ 是首项，$q$ 是公比。
- 求前n项和 $S_n$ 的公式为：
$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$
当 $q \neq 1$ 时。
$S_n = n a_1$
当 $q = 1$ 时。
3. 错位相减法：
- 适用于等差数列与等比数列相乘的形式，例如数列 $a_n = a \times b^n$。
- 通过错位相减法，将原数列拆分为两个等差数列或等比数列，然后分别求和。
4. 分组求和法：
- 当数列的通项公式比较复杂时，可以将前n项分成若干组，每组内部求和，然后再求各组的和。
5. 裂项相消法：
- 适用于形如 $a_n = \frac{1}{n(n+1)}$ 的数列。
- 通过裂项将原数列拆分成易于求和的形式，然后利用部分分式的性质求和。
6. 倒序相加法：
- 适用于某些特殊的数列，通过将数列倒序排列，利用对称性质求和。
7. 数学归纳法：
- 对于一些难以直接求和的数列，可以考虑使用数学归纳法来证明前n项和的公式。
数列求和5种常考题型总结(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
数列求和5种常考题型总结【题型目录】题型一：分组求和法题型二：裂项相消法求和题型三：错位相减法求和题型四：先求和，再证不等式题型五：先放缩，再求和【典型例题】【例1】已知数列{}n a 的前n 项和1*44(N )33n n S n +=-∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【例2】已知各项均为正数的数列{}n a 中，11a =且满足221122n n n n a a a a ++-=+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足213n n S b +=.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)若在k b 与1k b +之间依次插入数列{}n a 中的k 项构成新数列{}1122334564:,,,,,,,,,,n c b a b a a b a a a b ，求数列{}n c 中前40项的和40T .【例3】设n S 是各项为正的等比数列{}n a 的前n 项的和，且*2334N S a n ∈=，=，．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在数列{}n a 的任意k a 与1k a +项之间，都插入()*N k k ∈个相同的数()1kk -，组成数列{}n b ，记数列{}n b 的前n 项的和为n T ，求100T 的值．【题型专练】1.已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，若111a b ==，22331a b a b -=-=．(1)求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n n S S a +=++，请在①4713a a +=；②137,,a a a 成等比数列；③1065S =，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n n b a -是公比为2的等比数列，13b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .3．（2022·广东广州·一模）已知公差不为0的等差数列{}n a 中，11a =，4a 是2a 和8a 的等比中项.(1)求数列{}n a 的通项公式：(2)保持数列{}n a 中各项先后顺序不变，在k a 与1(1,2,)k a k += 之间插入2k ，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，求20T 的值.4.已知等差数列{}n a 满足121,21n n a a a ==+，设2n an b =.(1)求{}n b 的通项公式，并证明数列{}n b 为等比数列；(2)将1b 插入12,a a 中，23,b b 插入23,a a 中，456,,b b b 插入34,a a 中， ，依此规律得到新数列1122334564,,,,,,,,,,a b a b b a b b b a ，求该数列前20项的和.题型二：裂项相消法求和【例1】首项为4的等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ，其中546S S S 、、成等差数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；100【例2】已知数列{}n a 的首项为正数，其前n 项和n S 满足2343n n n nS a S a =--．(1)求实数λ的值，使得{}2n S λ+是等比数列；(2)设13n n n n b S S +=，求数列{}2n b 的前n 项和．【解析】(1)当1n =时，111823a a a =-，11S a =，解得22118S a ==；当2n ≥时，把1n n n a S S -=-代入题设条件得:22198n n S S -=+，即()221191nn S S -+=+，很显然}{21n S +是首项为8+1=9，公比为9的等比数列，∴1λ=；(2)由（1）知{}21n S +是首项为21190S +=≠，公比9q =的等比数列，所以291nnS =-，()()()()()()1211191919111188919919199111n nnnn n n n n n b ++++---⎛⎫==⨯=- ---⎝---⎭．故数列{}2n b 的前n 项和为：2221122334112111111111111891919191919191918891n n n n b b b ++⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+-++-=- ⎪ ⎪---------⎝⎭⎝⎭.【例3】数列{}n a 的前n 项和n S ，342n n S a =-.(1)求n a ；(2)令2log 1n n b a =，求数列{}1n n b b +的前n 项和n T .）问的结论以及对数的运算性质，再利用裂项相消法进行求解【例4】（湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第三次联考数学试题）已知等差数列{}n a 的首项10a >，记数列{}n a 的前n 项和为()*N n S n ∈，且数列为等差数列.(1)证明：数列2n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列；(2)设数列11n n n a S a a +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为()*N n T n ∈，求{}n T 的通项公式.【例5】已知数列{}n a 满足1n a +=11a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)1n c a a =+，n S 是数列{}n c 的前n 项和，求n S ．【题型专练】1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.已知53227S S S -=-，且12,1,a a -成等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；2．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n n S a a =+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设4n b a a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：3n T <.3.已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，2414a a +=，且1a ，2a ，6a 成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【解析】(1)等差数列{}n a 中，324214a a a =+=，解得37a =，因1a ，2a ，6a 成等比数列，即2216a a a =，设{}n a 的公差为d ，于是得()()()277273d d d -=-+，整理得230d d -=，而0d ≠，解得3d =，所以()3332n a a n d n =+-=-.(2)由（1）知，()()1111()323133231n b n n n n ==--+-+，所以111111[(1)()()]34473231n S n n =-+-+⋅⋅⋅+--+11(1)33131nn n =-=++.4.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，且13n n S a +=-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知数列{}n c 满足________，记n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明：2n T <．从①211(1)(2)n n n n c a a a +++--=②221log n n n a c a ++=两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上并作答.【解析】(1)13n n S a +=- ①，当1n =时，123a a =-，24a ∴=；当2n ≥时，13n n S a -=-②①-②得，即12n n a a +=又2142a a =≠，∴数列{}n a 是从第2项起的等比数列，即当2n ≥时，2222n nn a a -=⋅=．1,1,2, 2.n n n a n =⎧∴=⎨≥⎩．(2)若选择①：()()()()()()2211111122211212212121222121n n n n n n n n n n n n a c a a ++++++++⋅⎛⎫====- ⎪--------⎝⎭，2231111111121212212121212121n n n n T ++⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-< ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭．若选择②122n n n c ++=，则23134122222nn n n n T +++=++++ ③，34121341222222n n n n n T ++++=++++ ④，③-④得341212131112311212422224422n n n n n n n T ++-+++⎛⎫⎛⎫=++++-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，14222n n n T ++∴=-<．5．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且()21n S n n =+，记221(1)nn n n na b a a +=-+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2021T .【解析】(1)()112n S n n =+，当1n =时，111212S =⨯⨯=；当2n ≥，n *∈N 时，()1112n S n n -=-，()()1111122n n n a S S n n n n n -=-=+--=.当1n =时也符合,()n a n n N *∴=∈.(2)()()()()()()221212111111111nn n n n n n n n n a n b a a n n n n n n ++++⎛⎫=-=-=-=-+ ⎪++++⎝⎭202111111111 (122)33420212022T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111112023=1 (1223342021202220222022)--++--+--=--=-.题型三：错位相减法求和【例1】已知数列{}n a 满足12a =，且11220n n n n a a a a +++⋅-=，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，n S 为{}n b 的前n 项和，满足14b a =，378S =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设nnb C a =，记数列{}n C 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围.【例2】已知各项均不为零的数列{}n a 满足()1212320n n n n n a a a a a ++++-+=，且11a =，23a =，设1n n nb a a +=-.(1)证明：{}n b 为等比数列；(2)求1n n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .【例3】已知数列{}n a 的首项*112,322,N n n a a a n n -==+≥∈.(1)求n a ；(2)记()3log 1n n n b a a =⋅+，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S .【例4】已知各项为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，若()214n n S a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设3nn na b =，且数列{}n b 前n 项和为n T ，求证：1n T <．【例5】已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*22N n n S a n =-∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令4n n b a n =-，求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【题型专练】1．若公比为c 的等比数列{}n a 的首项11a =且满足12(3,4,)2n n n a a a n --+==⋅⋅⋅．(1)求c 的值；(2)求数列{}n na 的前n 项和n S ．2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,121n n S a +=-.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设(21)n n b n a =-,数列{}n b 的前n 项和为n T ,若存在*n ∈N 且2n ≥,使得2(1)(1)(1)n T n n n λ-≤-+成立,求实数λ的最小值.3．已知数列{}n a 前n 项和为12,n S a =，且满足()*1,N 2n n S a n n +=+∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()()211n n b n a =--，求数列{}n b 的前n 项和n T .4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26a =，()121n n a S +=+.(1)证明：{}n a 为等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n na 的前n 项和n T .【答案】(1)证明见解析，123n n a -=⨯（*n ∈N ）5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，426S =．正项等比数列{}n b 中，12b =，2312b b +=．(1)求{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．【答案】(1)31n a n =-，2nn b =，(2)()13428n n T n +=-+【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式与求和公式，等比数列的通项公式求解即可；（2）由错位相减法求解即可(1)设等差数列的公差为d ，由已知得，4342262d ⨯⨯+=，解得3d =，所以()()1123131n a a n d n n =+-=+-=-，即{}n a 的通项公式为31n a n =-；设正项等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，因为12b =，2312b b +=，所以()2212q q+=，所以260qq +-=，解得2q =或3q =-（负值舍去），所以2nn b =．(2)()312n n n a b n =-，所以()()1231225282342312n nn T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，所以()()23412225282342312n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，相减得，()123412232323232312n n n T n +-=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅--()()211132122231212n n n -+⨯⨯-=⨯+---，所以()13428n n T n +=-+．题型四：先求和，再证不等式【例1】设n S 为数列{n a }的前n 项和，已知123n n S a a +=，且10a ≠．(1)证明：{n a }是等比数列；(2)若12341,21,a a a -+成等差数列，记32log 1n n b a =-，证明12231111n n b b b b b b ++++ ＜12．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【例2】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，___________，*n ∈N .在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.①22n n S a =-；②122222n n a a a n ++⋯⋯+=；③221232n n n a a a a +⋯⋯=注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记(1)(1)n n a b a a =--，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若对任意的*n ∈N ，1n kT n>-，求实数k 的取值范围.项和，再将不等式恒成立问题转化求函数的最值问【例3】（2022江西丰城九中高二阶段练习）等差数列{}n a 中，前三项分别为,2,54x x x -，前n 项和为n S ，且2550k S =.(1)求x 和k 的值；(2)求n T =1231111nS S S S ++++ (3)证明:n T 1<【例4】（2022·浙江·高二期末）已知数列{}n a 满足114a =，134n n a a +=-.(1)证明数列{}2n a -为等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)设()()()113131nnn nn a b +-=++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若存在*n ∈N ，使n m T ≥，求m 的取值范围.【题型专练】1．已知数列{}n a 满足：()2222*12323N n a a a n a n n n ++++=+∈ .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记n S 为数列{}1n n a a +的前n 项和()*N n ∈，求证：24n S ≤<.2.（2022陕西安康市教学研究室高一期末）已知数列{}n a 满足12a =，1(2)2(1)n n n a n a ++=+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明：6n S <．3．已知数列{}n a 的首项13a =，()*1212,N n n a a n n -=+≥∈，()2log 1n n b a =+.(1)证明：{}1n a +为等比数列；(2)证明：1223111112n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+<.【答案】(1)证明见解析4．已知数列{n a }的前n 项和为n S ，342n n S a =-，(1)求数列{n a }的通项公式；(2)设33log 4n n a b =，n T 为数列12n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.证明：12n T ≤<【答案】(1)143n n a -=⨯；(2)证明见解析.【分析】（1）利用,n n a S 关系及等比数列的定义求通项公式；，结合数列单调性即可证结论5.已知数列{}n a 的前n 项和31n n S =-，其中*N n ∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足11b =，()132n n n b b a n -=+≥，（i ）证明：数列13nn b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（ii ）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求380n n T n -⋅<-成立的n 的最小值.【答案】(1)()1*2·3n n a n -=∈N (2)（i ）证明见解析；（ii ）5【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求解；（2）11323n n n b b --=+⨯，两边除以13n -即可证明等差数列；利用错位相减法求n T ，解不等式即可求得n 的最小值.（1）31n n S =-，6．（2022·安徽·高三开学考试）已知数列{}n a 满足(12122n n a a a a n -+++-=- 且)*N n ∈，且24a =.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列()()1211n n n a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：132<≤n T .【答案】(1)()*2n n a n =∈N (2)证明见解析【分析】（1）将已知条件与1212n n a a a a ++++-=- 两式相减，再结合等比数列的定义即可求解；（2）利用裂项相消求和法求出n T 即可证明.（1）题型五：先放缩，再求和【例1】已知数列{}n a 的前n 项和为12n S a =，，当2n ≥时，()21212n n n S nS n n --=+-．(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求证：2222111123a a a a +++< ．【例2】（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知数列{}n a 单调递增且12a >，前n 项和n S 满足2441n n S a n =+-，数列{}n b 满足212n n nb b b ++=，且123a a b +=，233b a +=.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式;(2)若1n c a b =，求证：123415n c c c c ++++< .【例3】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()1202n n n a S S n -+=≥(1)求n a 和n S (2)求证：22221231124n S S S S n+++⋯+≤-．【例4】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，且214n n n S S a ++=+．(1)求n a ；(2)求证：121112111n a a a +++<+++ ．【答案】(1)()12n n a n -*=∈N (2)证明见解析【分析】（1）分析可知数列{}21k a -是首项为11a =，公比为4的等比数列，数列{}2k a 是首项为22a =，公比【题型专练】1.已知数列{}n a 满足：12a =，132n n a a +=-，n *∈N .(1)设1n n b a =-，求数列{}n b 的通项公式；(2)设31323log log log n n T a a a =++⋅⋅⋅+，()n *∈N ，求证：()12n n n T ->.【答案】(1)13n n b -=(2)证明见解析2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 前n 项积为n T ，且*1()n n a T n +=∈N ．(1)求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列；(2)设22212n n S T T T =++⋅⋅⋅+，求证：112n n S a +>-．为以3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*322n n a S n n N =+∈.(1)证明：数列{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的前n 项和为n S ；(2)设()31log 1n n b a +=+，证明：222121111nb b b ++⋅⋅⋅+<.【解析】(1)当1n =时，11322a S =+，即12a =由322n n a S n =+，则()1132212n n a S n n --=+-≥两式相减可得13223n n n a a a -=+-，即132n n a a -=+所以()1131n n a a -+=+，即1131n n a a -+=+数列{}1n a +为等比数列则()112133n n n a -+=+⨯=，所以31n n a =-则()()1231333333132nn n n n n S +--=+++-==--L (2)()1313log 1log 31n n n b a n ++=+==+()()2211111111n b n n n n n =<=+++所以2221211111111111122311n b b b n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L4．已知数列{}n a 满足11a =，且11n n a a n +-=+,n S 是1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.(1)求n S ；(2)若n T 为数列2n S n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的前n 项和，求证：232n n T n >>+.。
数列求和的八种方法及题型
数列求和的八种方法及题型1、抽象加法法：把等差数列的元素抽象为某一个相同的数值（称为项数，式子为S），通过加法求出所求等差数列的和。
例题：这样一个等差数列：2、4、6、8……100，求这一数列的和是多少？答案：抽象加法法：元素个数n = 99，公差d = 2，首项a = 2。
由公式S=n*（a+l）/2可得：S = 99*（2+100）/2 = 99*102/2 = 4950。
2、数值加法法：直接对元素逐一加法求和。
例题：计算这一等差数列的和：1、3、5、7……99？答案：数值加法法：元素个数n = 49，即：1+3+5+7+...+99=49*100/2=4900。
3、改编组合法：将数列改编为组合形式，将大式化简，从这个组合计算其和。
例题：求这一等差数列的和：2、5、8、11……99？答案：改编组合法：元素个数n = 48，公差d = 3，首项a = 2。
将其转换为组合：2+48d ，即2+(48*3)=150，由公式S=n*（a+l）/2可得：S = 48*（2+150）/2 = 48*152/2 = 7344。
4、数表法：把数列列成表，统计其和。
例题：求这一等差数列的和：3、5、7、9……99？答案：数表法：数列：3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99和：3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31+33+35+37+39+41+43+ 45+47+49+51+53+55+57+59+61+63+65+67+69+71+73+75+77+79+81+83 +85+87+89+91+93+95+97+99=24505、立方法：一种特殊情形——这一数列两个元素的值等于这两个元素之间的位数的立方和。
数列求和的八种重要方法与例题
练习10：
已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1),
1)求S20,S21 2)求Sn
=20 S20=-1+3+(-5)+7+……+（-37）+39
S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+……+39+（-41）
=-21
总的方向： 1.转化为等差或等比数列的求和 2.转化为能消项的 思考方式：求和看通项（怎样的类型） 若无通项，则须先求出通项 方法及题型： 1.等差、等比数列用公式法 2.倒序相加法 3.错位相减法 4.裂项相消法
1 (1 3
2n )
5
n
12 3
1 (2n 5n 1) 3
热点题型3：递归数列与数学归纳法.
已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a01，an1
(nN)
1 2
an (4
an ).
（1）证明an<an+1<2(nN) （2）求数列{an}的通项公式an
用数学归纳法证明：
类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……
典例. 已知 lg(xy) 2 2.倒序相加法
S =lgxn +lg(xn-·1 y)+ ...+lg(x·1 yn-1)+lgyn,
(x > 0,y > 0) 求S .
S =lgxn +lg(xn-·1 y)+ ...+lgyn
S =lgyn +lg(yn-·1 x)+ ...+lgxn 2S =lg(xy)n +lg(xy)n + ...+lg(xy)n
数列求和题型归纳总结
类型七：利用数列的通项求和
• 先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列 的通项揭示的规律来求数列的前项和，是一个重要的方法.
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数列求和
•七大类型
类型一：公式法（定义法）
类型二：倒序相加法
• 如果一个数列 an ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，
那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n项和即是用 此法推导的，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可
以得到n个 (a1 an ) .
• 例题3
类型三：错位相减法
类型四：裂项相消法
类型五：分段（组）求和法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列， 可把数列பைடு நூலகம்每一项分成多个项或把数列的项重新组合， 使其转化成常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
类型六：并项求和法：
• 在数列求和过程中，将某些项分组合并后即可转化为具有某种特殊的性质的特殊数列，可 将这些项放在一起先求和，最后再将它们求和，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项 合并求.利用该法时要特别注意有时要对所分项数是奇数还是偶数进行讨论.
数列求和练习题(含答案)
2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )A ．1 B.56 C.16D.130B [∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.]3．(2016·广东中山华侨中学3月模拟)已知等比数列{a n }中，a 2·a 8＝4a 5，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 5，则数列{b n }的前9项和S 9等于( )A ．9B ．18C ．36D ．72B [∵a 2·a 8＝4a 5，即a 25＝4a 5，∴a 5＝4，∴a 5＝b 4＋b 6＝2b 5＝4，∴b 5＝2， ∴S 9＝9b 5＝18，故选B.]已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和． [解](1)由已知得⎩⎨⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，3分所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.5分 (2)b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，8分所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.12分已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝6，S 5＝15.(1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2nna a ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1. ∵S 3＝6，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋12×3×(3－1)d ＝6，5a 1＋12×5×(5－1)d ＝15，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，a 1＋2d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1.3分∴{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×1＝n .5分 (2)由(1)得b n ＝a n 2a n＝n2n ，6分∴T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，①①式两边同乘12， 得12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，② ①－②得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n－n 2n ＋1，10分 ∴T n ＝2－12n －1－n2n .12分一、选择题1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )【导学号：31222189】A ．n 2＋1－12n B ．2n 2－n ＋1－12n C ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12nA [该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ， 则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋ (12)＝n 2＋1－12n .]2．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为( )A ．100B ．110C ．120D ．130C [{a n ＋a n ＋1}的前10项和为a 1＋a 2＋a 2＋a 3＋…＋a 10＋a 11＝2(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋a 11－a 1＝2S 10＋10×2＝120.故选C.]3．(2016·湖北七校2月联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里B [由题意，知每天所走路程形成以a 1为首项，公比为12的等比数列，则a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝96，即第二天走了96里．故选B.] 6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝sin n π2，n ∈N *，则S 2 016＝__________. 0 [a n ＝sin n π2，n ∈N *，显然每连续四项的和为0. S 2 016＝S 4×504＝0.]9．已知数列{a n }中，a 1＝1，又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2na n (n ∈N *)是公差为1的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . [解](1)∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2na n 是首项为2，公差为1的等差数列，∴2na n ＝2＋(n －1)＝n ＋1，3分解得a n ＝2n (n ＋1).5分(2)∵a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n－1n ＋1， ∴S n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n－1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.12分3．设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝3，a n ＋1＝2S n ＋3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)当n ≥2时，由a n ＋1＝2S n ＋3得a n ＝2S n －1＋3， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝2S n －2S n －1＝2a n ， ∴a n ＋1＝3a n ，∴a n ＋1a n＝3.当n ＝1时，a 1＝3，a 2＝2S 1＋3＝2a 1＋3＝9，则a 2a 1＝3.3分∴数列{a n }是以a 1＝3为首项，公比为3的等比数列． ∴a n ＝3×3n －1＝3n .5分(2)法一：由(1)得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)·3n ，7分 ∴T n ＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n －1)·3n ，① 3T n ＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n －1)·3n ＋1，②①－②得－2T n ＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －(2n －1)·3n ＋1 ＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)·3n ＋1 ＝3＋2×32(1－3n －1)1－3－(2n －1)·3n ＋1＝－6－(2n －2)·3n ＋1.10分 ∴T n ＝(n －1)·3n ＋1＋3.12分法二：由(1)得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)·3n .7分 ∵(2n －1)·3n ＝(n －1)·3n ＋1－(n －2)·3n ， ∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(0＋3)＋(33＋0)＋(2×34－33)＋…＋[(n －1)·3n ＋1－(n －2)·3n ] ＝(n －1)·3n ＋1＋3.12分。
必考题型高考数学：数列求和问题大全
必考题型高考数学：数列求和问题大全第26练数列求和问题大全题型一分组转化法求和例1等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前n项和Sn.破题切入点(1)可以通过逐个验证来确定数列的前三项，进而求得an；(2)可以分组求和：将{bn}前n项和转化为数列{an}和数列{(－1)nlnan}前n项的和．解(1)当a1＝3时，不合题意；当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；当a1＝10时，不合题意．因此a1＝2，a2 ＝6，a3＝18.所以公比q＝3.故an＝2·3n－1(n∈N)．(2)因为bn ＝an＋(－1)nlnan＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)＝2·3n－1＋(－1)n[ln2＋(n－1)ln3]＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3.所以当n为偶数时，Sn＝2×＋ln3＝3n ＋ln3－1；当n为奇数时，Sn＝2×－(ln2－ln3)＋ln3＝3n－ln3－ln2－1.综上所述，Sn＝题型二错位相减法求和例2已知：数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－n(n∈N)．(1)求a1，a2的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若数列{bn}的前n项和为Tn，且满足bn＝nan(n∈N)，求数列{bn}的前n项和Tn.破题切入点(1)代入求解即可．(2)由Sn＝2an－n得Sn－1＝2an－1－(n－1)，n≥2，两式相减构造数列求通项公式．(3)错位相减求和．解(1)Sn＝2an－n.令n＝1，解得a1＝1；令n＝2，解得a2＝3.(2)Sn＝2an－n，所以Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2，n∈N)，两式相减得an＝2an－1＋1，所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2，n∈N)，又因为a1＋1＝2，所以数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．所以an＋1＝2n，即通项公式an＝2n－1(n∈N)．(3)bn＝nan，所以bn＝n(2n－1)＝n·2n－n，所以Tn＝(1·21－1)＋(2·22－2)＋(3·23－3)＋…＋(n·2n－n)，Tn＝(1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n)－(1＋2＋3＋…＋n)．令Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，②①－②，得－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，－Sn＝－n·2n＋1，Sn＝2(1－2n)＋n·2n＋1＝2＋(n－1)·2n＋1，所以Tn＝2＋(n－1)·2n＋1－(n∈N)．题型三倒序相加法求和例3已知函数f(x)＝(x∈R)．(1)证明：f(x)＋f(1－x)＝；(2)若数列{an}的通项公式为an＝f()(m∈N，n＝1,2，…，m)，求数列{an}的前m项和Sm；(3)设数列{bn}满足b1＝，bn＋1＝b ＋bn，Tn＝＋＋…＋，若(2)中的Sm满足对不小于2的任意正整数m，Sm1)中的结论，构造倒序求和．(3)由已知条件求出Tn的最小值，将不等式转化为最值问题求解．(1)证明因为f(x)＝，所以f(1－x)＝＝＝.所以f(x)＋f(1－x)＝＋＝＝.(2)解由(1)，知f(x)＋f(1－x)＝，所以f()＋f(1－)＝(1≤k≤m－1，k∈N)，即f()＋f()＝.所以ak＋am－k＝，am＝f()＝f(1)＝.又Sm＝a1＋a2＋…＋am－1＋am，①Sm＝am－1＋am－2＋…＋a1＋am，②由①＋②，得2Sm＝(m －1)×＋2am＝－，即Sm＝－(m∈N)．(3)解由b1＝，bn＋1＝b＋bn＝bn(bn＋1)，显然对任意n∈N，bn>0，则＝＝－，即＝－，所以Tn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－＝3－.因为bn＋1－bn＝b>0，所以bn＋1>bn，即数列{bn}是单调递增数列．所以Tn关于n递增，所以当n∈N时，Tn≥T1.因为b1＝，b2＝()2＋＝，所以Tn≥T1＝3－＝.由题意，知Sm裂项相消法求和例4在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a4，a8成等比数列．(1)已知数列{an}的前10项和为45，求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝，且数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn＝－，求数列{an}的公差．破题切入点(1)列方程组(两个条件)确定an.(2)可以采用裂项相消法求得含有公差的表达式，再和已知Tn＝－对比求得公差．解设数列{an}的公差为d，由a 1，a4，a8成等比数列可得a＝a1·a8，即(a1＋3d)2＝a1(a1＋7d)，∴a＋6a1d＋9d2＝a＋7a1d，而d≠0，∴a1＝9d.(1)由数列{an}的前10项和为45可得S10＝10a1＋d ＝45，即90d＋45d＝45，故d＝，a1＝3，故数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)·＝(n＋8)．(2)bn＝＝，则数列{bn}的前n项和为Tn＝[＋＋…＋]＝＝＝＝－.所以＝1，d＝±1.故数列{an}的公差d＝1或－1.总结提高数列求和的主要方法：(1)分组求和法：一个数列既不是等差数列也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，即能分别求和，然后再合并，或对字母n分类讨论后再求和．(2)错位相减法：这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主要用于求{an·bn}的前n项和，其中{an}和{bn}分别是等差数列和等比数列．(3)倒序相加法：这是推导等差数列前n项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法：把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求通项为的前n项和，其中{an}若为等差数列，则＝·(－)．其余还有公式法求和等．1．若数列{an}的通项公式为an＝，则其前n项和Sn为()A．1－B.－－C.－－D.－－答案D解析方法一因为an＝＝－，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝1－＋－＋－＋…＋－＋－＝1＋－－＝－－.故选D.方法二因为a1＝，a2＝，所以S1＝a1＝.令n＝1，选项B中，－1－＝0，选项C中，－1－＝，故排除B，C.又S2＝＋＝，选项A中，令n＝2，则1－＝，故排除A，应选D.2．已知数列1，3，5，7，…，则其前n项和Sn为()A．n2＋1－B．n2＋2－C．n2＋1－D．n2＋2－答案A解析因为an＝2n－1＋，则Sn＝n＋＝n2＋1－.3．(2013·课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm －1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于()A．3B．4C．5D．6答案C解析am＝2，am＋1＝3，故d＝1，因为Sm＝0，故ma1＋d＝0，故a1＝－，因为am＋am＋1＝5，故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5，即m＝5.4．在数列{an}中，若存在一个确定的正整数T，对任意n∈N满足an＋T＝an，则称{an}是周期数列，T叫作它的周期．已知数列{xn}满足x1＝1，x2＝a(a≤1)，xn＋2＝|xn＋1－xn|，当数列{xn}的周期为3时，则{xn}的前2013项和S2013等于()A．1340B．1342C．1344D．1346答案B解析由xn＋2＝|xn＋1－xn|，得x3＝|x2－x1|＝|a－1|＝1－a，x4＝|x3－x2|＝|1－2a|，因为数列{xn}的周期为3，所以x4＝x1，即|1－2a|＝1，解得a＝0或a＝1.当a＝0时，数列{xn}为1,0,1,1,0,1，…，所以S2013＝2×671＝1342.当a＝1时，数列{xn}为1,1,0,1,1,0，…，所以S2013＝2×671＝1342.综上，S2013＝1342.5．已知数列2008,2009,1，－2008，－2009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2014项之和S2014等于( )A．2008B．2010C．1D．0答案B解析由已知得an＝an－1＋an＋1(n≥2)，∴an＋1＝an－an－1.故数列的前8项依次为2008,2009,1，－2008，－2009，－1,2008,2009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S6＝0.∵2014＝6×335＋4，∴S2014＝S4＝2008＋2009＋1＋(－2008)＝2010.6．数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________．答案1830解析∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1，∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234＝＝1830.7．在等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列的前n项和Sn＝________.答案解析设等比数列{an}的公比为q，则＝q3＝27，解得q＝3.所以an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n，故bn＝log3an＝n，所以＝＝－.则数列的前n项和为1－＋－＋…＋－＝1 －＝.8．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝1.{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.答案2n＋1－n－2解析因为an＋1－an＝2n，应用累加法可得an＝2n－1，所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n－n＝－n＝2n＋1－n－2.9．定义：若数列{An}满足An＋1＝A，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}中，a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝2x2＋2x的图象上，其中n为正整数．(1)证明：数列{2an＋1}是“平方递推数列”，且数列{lg(2an＋1)}为等比数列；(2) 设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn＝(2a1＋1)·(2a2＋1)·…·(2an＋1)，求数列{an}的通项公式及Tn关于n的表达式．(1)证明由题意得an＋1＝2a＋2an，得2an＋1＋1＝4a＋4an＋1＝(2an＋1)2.所以数列{2an＋1}是“平方递推数列”．令cn＝2an＋1，所以lgcn＋1＝2lgcn.因为lg(2a1＋1)＝lg5≠0，所以＝2.所以数列{lg(2an＋1)}为等比数列．(2)解因为lg(2a1＋1)＝lg5，所以lg(2an＋1)＝2n－1·lg5，所以2an＋1＝52n－1，即an＝(52n－1－1)．因为lgTn＝lg(2a1＋1)＋lg(2a2＋1)＋…＋lg(2an＋1)＝＝(2n－1)lg5.所以Tn＝52n－1.10．(2014·湖南)已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．解(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.故数列{an}的通项公式为an ＝n.(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝＝22n＋1－2.B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n，故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.11．(2014·课标全国Ⅱ)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明＋＋…＋n＋1＋＝3(an＋)．又a1＋＝，所以{an＋}是首项为，公比为3的等比数列．an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知＝.因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤.于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝(1－)。
考点37数列求和(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练(新高考版)
考点37数列求和（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法．【知识点】数列求和的几种常用方法1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．(1)等差数列的前n项和公式：S n＝＝.(2)等比数列的前n项和公式：S n＝{na1，q＝1，.2．分组求和法与并项求和法(1)分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的裂项技巧(1)1n(n＋1)＝1n－1n＋1.(2)1n(n＋2)＝12(1n－1n＋2).(3)1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1).1(5)1n (n ＋1)(n ＋2)＝12[1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)].常用结论常用求和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝n 2.(3)12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.(4)13＋23＋33＋…＋n 3＝[n (n ＋1)2]2【核心题型】题型一 分组求和与并项求和 (1)若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和．(2)若数列{c n }的通项公式为c n ＝{a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{c n }的前n 项和【例题1】（2024·河北·模拟预测）已知首项为2的数列{}n a 满足114522n n n n a a a a ++--=，当{}n a 的前n 项和16n S ³时，则n 的最小值为（ ）A ．40B ．41C ．42D ．43【变式1】（2024·四川攀枝花·三模）数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =-，*(1)(N )n n na S n n n =+-Î，设(1)nn n b a =-，则数列{}n b 的前51项之和为（ ）A ．149-B ．49-C ．49D ．149【变式2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知正项数列{}n a 的前n 项和为13,1,2n S a a ==，且213n n n n a a a a +++=，则16S 的最小值为 ．【变式3】（2024·全国·高考真题）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n S 的前n 项和.题型二 错位相减法求和(1)如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，常采用错位相减法．(2)错位相减法求和时，应注意：①在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式．②应用等比数列求和公式时必须注意公比q 是否等于1，如果q ＝1，应用公式S n ＝na 1【例题2】（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足11121440,2n n n a a a a a +--+===，其前n 项和为n S ，则使得625n n S a -<成立的n 的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，12a =，()122nn n a a +=+，不等式21212820n n a S n l +--+£对任意的*n ÎN 恒成立，则实数l 的取值范围为（ ）A ．(],32-¥B ．(],16-¥C ．[)32,+¥D ．(],8¥-【变式2】（2023·陕西咸阳·模拟预测）数列{}n a 满足12a =，且123132nn a a n n -=+-（*n ÎN 且1n >），若{}n a 的前n 项和为n S ，则满足21732n S >的最小正整数n 的值为 .【变式3】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,()21n n S n a =+且2132a a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若2nn na b =,求数列{}n b 的前n 项和n T .题型三 裂项相消法求和裂项相消法的原则及规律(1)裂项原则一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项【例题3】（2024·福建泉州·一模）记数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若{}n a 是等差数列，且6512590,1n n n S S a b a +=+==，则10T =（ ）A ．245B ．845C ．1041D ．4041【变式1】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项的积为n T ，1nn n T a T =-，则使得212024ni i a =<å成立的n 的最大值为（ ）A ．2021B ．2022C ．2023D ．2024【变式2】（2024·山西阳泉·三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，则数列()()12n n n a a a ìüïïíý++ïïîþ的前100项和100T = ．【变式3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且{}2n S n +也是等差数列．(1)求数列{}n a 的公差；(2)若11a =-，求数列11n n a a +ìüíýîþ的前n 项和n T ．【课后强化】【基础保分练】一、单选题1．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知数列{}n a 各项为正数，{}n b 满足21n n n a b b +=，112n n n a a b +++=，若12a =，11b =，则122024111a a a +++=L （ ）A ．10121013B ．10111012C ．20242025D ．202320242．（2024·河南信阳·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11S =，23S =，且132+n a 是2n a ，2n a +的等差中项，则使得1509128ni i i a =>å成立的最小的n 的值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．113．（2023·黑龙江佳木斯·三模）复数232024i 2i 3i 2024i Z =+++×××+的虚部是（ ）A ．1012B ．1011C ．1011-D ．1012-4．（2024·河北张家口·三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111,1,2,n n n a n a a a n ++ì==íî为奇数为偶数，则100S =（ ）A ．5132156´-B ．5132103´-C ．5032156´-D ．5032103´-二、多选题5．（2024·全国·模拟预测）已知2n n a =，31n b n =-，数列{}n a 和{}n b 的公共项由小到大排列组成数列{}n c ，则（ ）A ．432c =B ．{}n c 为等比数列C ．数列n n b a ìüíýîþ的前n 项和[)1,5n S ÎD6．（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 中，123,2a a ==，当n 为奇数时，23n n a a +=，当n 为偶数时，22n n a a +=，则（ ）A ．数列{}n a 是递减数列B ．814a =C ．101110aa <D ．10019i i a =<å三、填空题7．（2024·湖南岳阳·模拟预测）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，131,6a S ==，则数列11n n a a +ìüíýîþ的前10项和为 .8．（2023·河南·模拟预测）已知数列{}n a 满足212n a a a n ++×××+=，则1212222n n a a a ×+×+×××+×= .9．（2024·陕西·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，则数列{}2n n a 的则前n 项和n T = .四、解答题10．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知数列的前n 项和为()12n n +.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明：()()33221331n n n a a a n +-=++，并求数列{}n a 的前n 项和n S .11．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）记n S 为数列{}n a 的前n项和，是首项与公差均为1的等差数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()(1)1n n n na b S -+=，求数列{}n b 的前2024项的和2024T ．【综合提升练】一、单选题1．（2024·浙江杭州·二模）设数列{}{},n n a b 满足11111,2,2n n n n n a b a b n a b ++==+=+=．设nS 为数列{}n n a b +的前n 项的和，则7S =（ ）A ．110B ．120C ．288D ．3062．（2024·安徽·三模）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2111,321n n a S S n n +=+=++，则20S =（ ）A ．590B ．602C ．630D ．6503．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知数列{}n a 满足：11a =，()12n n a a n n -=+³，且1n nb a =，则数列{}n b 前n 项的和n S 为（ ）A ．1n n S n =+B ．21n nS n =+C ．2n nS n =+D ．232n n S n =+4．（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足*)2(13)(n n S a n +=ÎN ，若11n n n n a b S S ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2024T =（ ）A ．202511231--B ．202411231--C ．20241131--D ．20251131--5．（2023·江苏南通·三模）复数22021202212i 3i 2022i 2023i z =+++++L 的虚部为( ).A ．1012B ．1011-C ．1011D ．20226．（2024·全国·二模）数列{}n a 的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，22a =，34a a =，47S =，则（ ）A ．*221,N k k a a k +<Î，且2k ³B ．当5n ³，且*N n Î时，数列{}n a 是递减数列C ．101110a a <D ．1009S <7．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知公差不为零的等差数列{}n a 满足：3820a a +=，且5a 是2a 与14a 的等比中项，设数列{}n b 满足()*11N n n n b n a a +=Î，则数列{}n b 的前n 项和n S 为（ ）A ．1212121nn n -=++B ．12212121n n n ++=++C ．1112212+1æö-=ç÷+èønn n D ．11+112212+1æö+=ç÷+èøn n n 8．（2024·河南·三模）已知等差数列{}n a 的公差大于0且1624a a a +=，若246k ==，则5a =（ ）A ．134B ．94C ．74D ．54二、多选题9．（2024·安徽淮北·二模）已知数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若121,22n n n a n T +=-=-，则（ ）A ．10100S =B ．101024b =C ．11n n a a +ìüíýîþ的前10项和为919D ．1n b ìüíîþ的前10项和为1023102410．（23-24高三上·山西忻州·阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，11223n n a T T +=-=，*n ÎN （），则（ ）A ．31=-n n T B ．{}n a 为递增数列C ．13131n n n a --=-D ．{}n T 的前n 项和为13322n n +--11．（2024·山东济南·二模）数列{}n a 满足11a =，*1*1,N 41,N 4n n n n a a n a --ìÎïï=íï+Ïïî，2n ³，m b 表示{}n a 落在区间)12,2m m +éë的项数，其中*m ÎN ，则（ ）A ．310b =B ．33344n n n a +££C ．42163==+ånk k a n nD ．()214413n nk k b ==-å三、填空题12．（2024·江苏泰州·模拟预测）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()112nn n n S a =--，n *ÎN ，则（1）1a = ；（2）12100S S S ++×××+= .13．（2024·江苏南通·模拟预测）定义：[]x 表示不大于x 的最大整数，{}x 表示不小于x 的最小整数，如[]1.21=，{}1.22=.设函数()[]{}f x x x =在定义域[)()*0,N n n Î上的值域为n C ，记n C 中元素的个数为n a ，则2a =，12111na a a +++=L 14．（2023·全国·模拟预测）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，35a =，且2514,,a a a 成等比数列，设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3.53=，[]1.52-=-，记[]2log n nb a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则2024S = .四、解答题15．（2024·山东·模拟预测）设数列{}n a 满足()122n n na n a +=+，且14a =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求{}n a 的前n 项和n S ．16．（2024·河北衡水·三模）已知数列{}n a 满足：1212122n n n a a a a a ++==+=,,．(1)请写出324354a a a a a a ---，，的值，给出一个你的猜想，并证明；(2)设213n n b na +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．17．（2024·福建泉州·二模）己知数列{}n a 和{}n b 的各项为正，且3118a b =，{}n b 是公比3的等比数列．数列{}n a 的前n 项和n S 满足242n n n S a a =+．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设()()333cos π31n n nn n b C a n b b +++=+--，求数列{}n c 的前n 项和n S ．18．（2024·广西·模拟预测）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，有23322n n n S =-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)对所有正整数m ，若14mk k a a +<<，则在k a 和1k a +两项中插入4m ，由此得到一个新数列{}n b ，求{}n b 的前91项和．19．（2024·四川·模拟预测）已知数列{}n a 满足1111,02n n n n a a a a a ++=--=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足，122121211,n n n n nb b b b b a -+=-=-=，求证：24211134n b b b +++<L ．【拓展冲刺练】一、单选题1．（2023·江苏徐州·模拟预测）函数()f x 满足x ∀、y ÎR ，都有()()()2f x y f x f y +=，且()11f =，则（ ）A ．122f æö=ç÷èøB ．数列(){}f n 单调递减C ．()()121222f x f x x x f ++æö£ç÷èøD ．()04242nni ni f i =+éù×=-ëûå2．（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足13a =，215a =，且2128n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122024403440344034a a a éù++×××+=êúëû（ ）A ．2015B ．2016C ．2017D ．20183．（2024·陕西西安·模拟预测）数列{}n a 满足()1122421n n a a n a n n n -+-==³-，，则12320241111a a a a ++++=L （ ）A ．20212025B ．10122025C ．10124048D ．202340484．（2024·广东深圳·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23n S n n =+，若首项为12的数列{}n b 满足111n n na b b +-=，则数列{}n b 的前2024项和为（ ）A ．10122023B ．20252024C ．20232024D ．20242025二、多选题5．（2023·山西大同·模拟预测）已知数列{}n a 满足()121nn n a a ++=´-，n Î*N ，且51a =，则下列表述正确的有（ ）A ．15a =-B ．数列{}21n a -是等差数列C ．数列{}n a 是等差数列D ．数列11n n a a +ìüíýîþ的前n 项和为1449nn -6．（2023·浙江·二模）定义：若存在正实数M 使()*N n a M n £Î，则称正数列{}n a 为有界正数列．已知数列{}n a 满足()2ln 11n n a n +=+，n S 为数列{}n a 的前n 项和．则（ ）A ．数列{}n a 为递增数列B ．数列{}n S 为递增数列C ．数列{}n a 为有界正数列D ．数列{}n S 为有界正数列三、填空题7．（2023·陕西西安·模拟预测）已知数列{}n a 和数列{}n b ，21n a n =-，2nn b -=.设n n n c a b =×，则数列{}n c 的前n 项和n S = .8．（2024·四川·三模）在数列{}n a 中，已知112a =，()12n n n a na ++=，则数列{}n a 的前2024项和2024S =．9．（2023·陕西铜川·二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且点(),n n a S 总在直线21y x =-上，则数列{}n n a ×的前n 项和n T = .四、解答题10．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足221n n S a n =+-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知()23n n n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和.11．（2024·江苏宿迁·三模）在数列{}n a 中，113(2,2*)n n n a a n a +==Î+×N ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知数列{}n b 满足12111444nnb b b b n a ---=L ；①求证：数列{}n b 是等差数列；②若23b =，设数列1n n n nb bc a +=的前n 项和为n T ，求证：14n T <．。
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数列求和的常用方法
第一类：公式法
第二类：乘公比错项相减（等差X等比）
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n b n}的前n项和，其中{a n}{b n}分别是等差数列和等比数列。
第三类：裂项相消法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如
解析：要先观察通项类型，在裂项求和时候，尤其要注意：究竟是像例2一样剩下首尾两项，还是像例3一样剩下四项。
第四类：倒序相加法
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+a n) .
数列吗？是证明你的结论;
解析：此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的。
此例题不仅利用了倒序相加法，还利用了裂项相消法。
在数列问题中，要学会灵活应用不同的方法加以求解。
第五类：分组求和法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。
第六类：拆项求和法
在这类方法中，我们先研究通项，通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式，再代入公式
求和.
例7：求数列9，99，999，…的前n项和s n.
分析：此数列也既不是等差数列也不是等比数列启发学生先归纳出通项公式a n=10n-1可转化为一个等比数列与一个常数列。
分别求和后再相加。
解析：根据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数列，然后再分别求和.。