(完整word版)数列常见题型总结经典(超级经典)

高中数学《数列》常见、常考题型总结

题型一 数列通项公式的求法

1．前n 项和法（知n S 求n a ）???-=-11n n n S S S a )

2()1(≥=n n

例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T

1、若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=，求该数列的通项公式。

2、若数列}{n a 的前n 项和32

3-=

n n a S ，求该数列的通项公式。 3、设数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}{n S 的前n 项和为n T ，满足22n S T n n -=， 求数列}{n a 的通项公式。

2.形如)(1n f a a n n =-+型（累加法）

（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+.

（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法.

例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3,111

1≥+==--n a a a n n n ,证明2

13-=n n a 1. 已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 2. 已知数列}{n a 满足31=a ，)2()

1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 3.形如

)(1n f a a n

n =+型（累乘法） （1）当f(n)为常数，即：q a a n n =+1（其中q 是不为0的常数），此数列为等比且n a =11-?n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.

例1、在数列}{n a 中111

,1-+=

=n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。 1、在数列}{n a 中1111,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。 2、求数列)2(1

232,111≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式。 4.形如s

ra pa a n n n +=

--11型（取倒数法） 例1. 已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1

211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a 练习：1、若数列}{n a 中，11=a ,1

31+=+n n n a a a ,求通项公式n a . 2、若数列}{n a 中，11=a ，112--=-n n n n a a a a ，求通项公式n a . 5．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（构造新的等比数列）

（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列;（2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;

（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 方法如下：设)(1A a c A a n n +=++,利用待定系数法求出A

例1．已知数列}{n a 中，,2

121,211+=

=+n n a a a 求通项n a . 练习：1、若数列}{n a 中，21=a ,121-=+n n a a ,求通项公式n a 。

3、若数列}{n a 中，11=a ,1321+=+n n a a ,求通项公式n a 。 6.形如)(1n f pa a n n +=+型（构造新的等比数列）

(1)若b kn n f +=)(一次函数(k,b 是常数，且0≠k )，则后面待定系数法也用一次函数。 例题. 在数列{}n a 中，2

31=

a ，3621-+=-n a a n n ,求通项n a . 练习：1、已知数列{}n a 中，31=a ，2431-+=+n a a n n ，求通项公式n a (2)若n

q n f =)((其中q 是常数，且n ≠0,1)

①若p=1时，即：n n n q a a +=+1，累加即可

②若1≠p 时，即：n n n q a p a +?=+1，后面的待定系数法也用指数形式。 两边同除以1+n q . 即： q

q a q p q a n n n n 111+?=

++, 令n n n q

a b =,则可化为q b q p b n n 11+?=+.然后转化为类型5来解， 例1. 在数列{}n a 中，5

21-=a ，且)(3211N n a a n n n ∈+-=--．求通项公式n a 1、已知数列{}n a 中，211=a ，n n n a a )2

1(21+=-，求通项公式n a 。 2、已知数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 2331?+=+，求通项公式n a 。 题型二 根据数列的性质求解（整体思想）

1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；

2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和，

327++=n n T S n n ，则=55b a . 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5

935,95S S a a 则（ ） 5、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。

6、已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3 .

7、在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（ ）

8、在等比数列中，已知910(0)a a a a +=≠，1920a a b +=，则99100a a += . 题型三：证明数列是等差或等比数列

A)证明数列等差

例1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0（n ≥2），a 1=

21.求证：{n S 1}是等差数列； B ）证明数列等比

例1、已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈

⑴证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； ⑵求数列{}n a 的通项公式；

题型四：求数列的前n 项和

基本方法：A ）公式法，

B ）分组求和法

1、求数列n {223}n +-的前n 项和n S .

C ）裂项相消法，数列的常见拆项有：1111()()n n k k n n k =-++；n n n n -+=++11

1； 例1、求和：S =1+n

++++++++++ΛΛ32113211211 例2、求和：n

n +++++++++11341231121Λ. D ）倒序相加法， 例、设22

1)(x

x x f +=，求：).2010()2009()2()()()()(21312009120101f f f f f f f ++++++++ΛΛ E ）错位相减法，

1、若数列{}n a 的通项n n n a 3)12(?-=，求此数列的前n 项和n S .

3. 21123(0)n n S x x nx x -=++++≠L （将分为1=x 和1≠x 两种情况考虑）