第2章 质点组力学
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大学物理课件第二章质点动力学
N sin m(a 'cos a) N cos mg m(a 'sin )
m0g N
N
a’ B mg
联立解得
(m m0 )sin m cos sin a g, a ' g 2 2 m0 m sin m0 m sin
例题2 质量为m的快艇以速率v0行驶，关闭发动 机后，受到的摩擦阻力的大小与速度的大小成 正比，比例系数为k，求关闭发动机后 （1）快艇速率随时间的变化规律； （2）快艇位置随时间的变化规律
B
A
F
B
m0g
A
解：隔离两物体，分别受力分析， aA-地对楔块A N sin m0a
N
F ( N cos m0 g ) 0
N
对物体B（aB地 aB A aA地 ）
B
a
B-A
a
N sin m(aB A cos a)
A-地
mg
N cos mg m(aB A sin 0)
m0 m sin
(m m0 )sin 联立解得 a m cos sin g , aB A g 2 2 m0 m sin
B
A
F A a
解：隔离两物体，分别受力分析， 对楔块A N sin m0a N cos m0 g F 物体B相对楔块A以a’加速下滑
二、牛顿第二定律 1.动量： p mv
2.力的定义： dp d (mv ) F dt dt --牛顿第二定律(质点运动微分方程）
v c 物体质量为常量时：
dv F m ma dt
惯性演示实验
当锤子敲击在一大铁块上时，铁块下的手 不会感到有强烈的冲击；而当用一块木头取代 铁块时，木块下的手会感到明显的撞击。
m0g N
N
a’ B mg
联立解得
(m m0 )sin m cos sin a g, a ' g 2 2 m0 m sin m0 m sin
例题2 质量为m的快艇以速率v0行驶，关闭发动 机后，受到的摩擦阻力的大小与速度的大小成 正比，比例系数为k，求关闭发动机后 （1）快艇速率随时间的变化规律； （2）快艇位置随时间的变化规律
B
A
F
B
m0g
A
解：隔离两物体，分别受力分析， aA-地对楔块A N sin m0a
N
F ( N cos m0 g ) 0
N
对物体B（aB地 aB A aA地 ）
B
a
B-A
a
N sin m(aB A cos a)
A-地
mg
N cos mg m(aB A sin 0)
m0 m sin
(m m0 )sin 联立解得 a m cos sin g , aB A g 2 2 m0 m sin
B
A
F A a
解：隔离两物体，分别受力分析， 对楔块A N sin m0a N cos m0 g F 物体B相对楔块A以a’加速下滑
二、牛顿第二定律 1.动量： p mv
2.力的定义： dp d (mv ) F dt dt --牛顿第二定律(质点运动微分方程）
v c 物体质量为常量时：
dv F m ma dt
惯性演示实验
当锤子敲击在一大铁块上时，铁块下的手 不会感到有强烈的冲击；而当用一块木头取代 铁块时，木块下的手会感到明显的撞击。
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第二章1-2质点组力学
例1、当质量为m的人在质量为M的车上行走时,如车与 地的摩擦可以忽略,已知人对地速度为v1,或已知人对车 的速度为v’, 试计算车对地的速度v2.设开始时人和车相 对地是静止的. 解: 由于重力和地面支持力抵 消,各种阻力忽略,故系统动量 守恒,如已知人对地速度为v1, 而开始时人和车相对地是静止
碰撞打击等动量守恒定律是物理学中最重要最普遍的定律之一它不仅适合宏观物体同样也适合微观领域例1当质量为m的人在质量为m的车上行走时如车与地的摩擦可以忽略已知人对地速度为v或已知人对车的速度为v试计算车对地的速度v
第二章
质点组力学
§2.1 质点组 导读
• 质点组
• 系统内力
• 系统外力 • 质心
1．质点组的内力和外力 设 有n个质点构成一个系统 第i个质点：
解： v= 2.5103 m/s vr= 103 m/s
设：头部仓速率为v1，容器仓速率为v2
(m1 m2 ) v m1v1 m2 v2 m1 ( v2 vr ) m2 v2
m1vr v2 v 2.17 103 m s 1 m1 m2 3 1 v1 v2 vr 3.17 10 m s
12 rC 6.8 10 mi
例2 求半径为 R 的匀质半薄球壳的质心. 解 在半球壳上取一圆环, 其质量
y
dm ds
Rsin θ
Rdθ
R
2 πR sin d
2
由于球壳关于 y 轴 对称，故 xC = zC = 0
z
2 πR 2
θ
O
dθ
Rcosθ
x
1 yC ydm m'
3 动量守恒定律 系统所受合外力为零时, 系统的总动量保持不变
大学物理第2章质点动力学
第2章质点动力学2.1 牛顿运动定律一、牛顿第一定律任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它改 变这种状态为止。
二、牛顿第二定律物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比, 方向与合外力的方向相同。
表示为f ma说明:⑵在直角坐标系中，牛顿方程可写成分量式f x ma *， f y ma y ， f z ma z 。
⑶ 在圆周运动中，牛顿方程沿切向和法向的分量式f t ma t f n ma n⑷ 动量：物体质量m 与运动速度v 的乘积，用p 表示。
p mv动量是矢量，方向与速度方向相同。
由于质量是衡量，引入动量后，牛顿方程可写成dv m 一 dt 当 f 0时，r 0，dp 常量，即物体的动量大小和方向均不改变。
此结 论成为质点动量守恒定律三、 牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，且在同 一直线上。
物体同时受几个力f i ,f 2f n 的作用时，合力f 等于这些力的矢量和f n力的叠加原理d pdtf ma说明：作用力和反作用力是属于同一性质的力。
四、国际单位制量纲基本量与基本单位导出量与导出单位五、常见的力力是物体之间的相互作用。
力的基本类型：引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用。
按力的性质来分，常见的力可分为引力、弹性力和摩擦力。
六、牛顿运动定律的应用用牛顿运动定律解题时一般可分为以下几个步骤：隔离物体，受力分析。
建立坐标，列方程。
求解方程。
当力是变力时，用牛顿第二定律得微分方程形式求解。
例题例2-1如下图所示，在倾角为30°的光滑斜面（固定于水平面）上有两物体通过滑轮相连，已知叶3kg, m2 2kg，且滑轮和绳子的质量可忽略，试求每一物体的加速度a及绳子的张力F T（重力加速度g取9.80m • s 2）。
解分别取叶和m2为研究对象，受力分析如上图。
利用牛顿第二定律列方程:「m2g F TYL F T m1gsi n30o m1a绳子张力F T F T代入数据解方程组得加速度a 0.98m • s 2，张力F T 17.64N。
大学物理——第2章-质点和质点系动力学
2 2 2 α + a1 cos2 α
a1 = cot α 方 向: tanθ = ax g
由式④得:
ay
θ 为 a 与 x 正向夹角
FN = m(g + a1) cosα
10
例2-2 阿特伍德机 (1)如图所示滑轮和绳子的质量均不计,滑 轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力 均不计.且 m > m2 . 求重物释放后,物体 1 的加速度和绳的张力. 解: 以地面为参考系 画受力图,选取坐标如图
ar
ar
m1 m2
a
m g FT = m a1 1 1 m2g + FT = m2a2
a1 = ar a
FT 0
a2 = ar + a
m1 m2 ar = m + m (g + a) 1 2 a1 FT = 2m1m2 (g + a) P 1 m1 + m2
a2
y FT
y
P0 2
12
8
桥梁是加速度 a
例2-1 升降机以加速度a1上升,其中光滑斜面上有一物体m沿 斜面下滑. 求:物体对地的加速度 a ? y 斜面所受正压力的大小? 解: 由于升降机对地有加速度,为一非惯性 系,故选地面为参考系,设坐标如图.
FN
a1
a2
a = a2 + a1
在 x , y 方向上有:
G
α
x
ax = a2 a1 sin α a = a cosα 1 y
m1 m2
FT 0
m g FT = m a 1 1 m2 g + FT = m2a
m1 m2 a= g m1 + m2
2m m2 1 FT = g m + m2 1
a1 = cot α 方 向: tanθ = ax g
由式④得:
ay
θ 为 a 与 x 正向夹角
FN = m(g + a1) cosα
10
例2-2 阿特伍德机 (1)如图所示滑轮和绳子的质量均不计,滑 轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力 均不计.且 m > m2 . 求重物释放后,物体 1 的加速度和绳的张力. 解: 以地面为参考系 画受力图,选取坐标如图
ar
ar
m1 m2
a
m g FT = m a1 1 1 m2g + FT = m2a2
a1 = ar a
FT 0
a2 = ar + a
m1 m2 ar = m + m (g + a) 1 2 a1 FT = 2m1m2 (g + a) P 1 m1 + m2
a2
y FT
y
P0 2
12
8
桥梁是加速度 a
例2-1 升降机以加速度a1上升,其中光滑斜面上有一物体m沿 斜面下滑. 求:物体对地的加速度 a ? y 斜面所受正压力的大小? 解: 由于升降机对地有加速度,为一非惯性 系,故选地面为参考系,设坐标如图.
FN
a1
a2
a = a2 + a1
在 x , y 方向上有:
G
α
x
ax = a2 a1 sin α a = a cosα 1 y
m1 m2
FT 0
m g FT = m a 1 1 m2 g + FT = m2a
m1 m2 a= g m1 + m2
2m m2 1 FT = g m + m2 1
第二章非惯性系中的质点动力学
牵连惯性力 科氏惯性力
x'
y
O
x
非惯性系中的质点动力学基本方程
mar F FIe FIC 或质点相对运动动力学基本方程
在非惯性系内，上式写成微分方程形式
m
d
2
r
dt 2
F
FIe
FIC
非惯性系中的质点运动微分方程
质点相对运动微分方程
其中 r表 示质点M在非惯性系中的矢径
d 2r dt 2
解：
以上抛点为坐标原点，选取固定于地球的非惯 性参考系为 Oxyz
其中 z轴 铅直向上， 近似通过地球中心。
x轴水平向东， y轴水平向北。
表现重力
P F FIe mg
其中 F为地球引力
科氏惯性力
FIC maC 2m vr
vr xi yj zk
FIC
的矢量积可展开为
i j k
例2－ 4 已知：一平板与水平面成θ角，板上有一质量为m 的小球，
如图所示，若不计摩擦等阻力。
求：平板以多大加速度向右平移时，小球能保持相对静止。 若平板又以这个加速度的两倍向右平移时，小球应沿 板向上运动。球沿板走了l 距离后，小球的相对速度是 多少？
a
解： （1）在平板上固结一动参考系 Oxy
md2来自rdt 2mg
F1
F2
FIe
FIC
（a）
将上式投影到 x轴 上得 mx mx 2
令 vr x
dvr dvr dx 2x
dt dx dt
z'
O
y' F1
F2
B
mg
FIC
FIeA x'
注意
dx dt
vr
x'
y
O
x
非惯性系中的质点动力学基本方程
mar F FIe FIC 或质点相对运动动力学基本方程
在非惯性系内，上式写成微分方程形式
m
d
2
r
dt 2
F
FIe
FIC
非惯性系中的质点运动微分方程
质点相对运动微分方程
其中 r表 示质点M在非惯性系中的矢径
d 2r dt 2
解：
以上抛点为坐标原点，选取固定于地球的非惯 性参考系为 Oxyz
其中 z轴 铅直向上， 近似通过地球中心。
x轴水平向东， y轴水平向北。
表现重力
P F FIe mg
其中 F为地球引力
科氏惯性力
FIC maC 2m vr
vr xi yj zk
FIC
的矢量积可展开为
i j k
例2－ 4 已知：一平板与水平面成θ角，板上有一质量为m 的小球，
如图所示，若不计摩擦等阻力。
求：平板以多大加速度向右平移时，小球能保持相对静止。 若平板又以这个加速度的两倍向右平移时，小球应沿 板向上运动。球沿板走了l 距离后，小球的相对速度是 多少？
a
解： （1）在平板上固结一动参考系 Oxy
md2来自rdt 2mg
F1
F2
FIe
FIC
（a）
将上式投影到 x轴 上得 mx mx 2
令 vr x
dvr dvr dx 2x
dt dx dt
z'
O
y' F1
F2
B
mg
FIC
FIeA x'
注意
dx dt
vr
大学物理第二章习题质点力学的基本规律 守恒定律
第2章 质点力学的基本规律 守恒定律
基本要求
掌握经典力学的基本原理及会应用其分析和处理质点动力学问题，理 解力学量的单位和量纲。掌握动量、冲量、动量定理，动量守恒定律。并 能分析和计算二维平面简单力学问题。理解惯性系概念及经典力学的基本 原理的适用范围。掌握功与功率、动能、势能（重力势能、弹性势能、引 力势能）概念，动能定理、功能原理、机械能守恒定律。
教学基本内容、基本公式
1.牛顿定律
解牛顿定律的问题可分为两类： 第一类是已知质点的运动，求作用于质点的力； 第二类是已知作用于质点的力，求质点的运动.
2.基本定理 动量定理
动能定理
I
t2 t1
F (t )dt
mv
mv0
A12
2
F
(r)
dr
1
1 2
mv
2 2
1 2
解：根据牛顿第二定律
f
k x2
m dv dt
m dv d x dx dt
mv
dv dx
k x2
mv
dv dx
v
dv
k
dx mx2
v
v
0
dv
A/4
A
k mx2
d
x
1v2 k (4 1) 3 k 2 m A A mA
另解：根据动能定理
v 6k /(mA)
(2)写出初末态系统的动量
t 时刻水平方向动量
dm m
t+dt时刻水平方向动量
O
x
(3)求出系统水平方向动量的增量
基本要求
掌握经典力学的基本原理及会应用其分析和处理质点动力学问题，理 解力学量的单位和量纲。掌握动量、冲量、动量定理，动量守恒定律。并 能分析和计算二维平面简单力学问题。理解惯性系概念及经典力学的基本 原理的适用范围。掌握功与功率、动能、势能（重力势能、弹性势能、引 力势能）概念，动能定理、功能原理、机械能守恒定律。
教学基本内容、基本公式
1.牛顿定律
解牛顿定律的问题可分为两类： 第一类是已知质点的运动，求作用于质点的力； 第二类是已知作用于质点的力，求质点的运动.
2.基本定理 动量定理
动能定理
I
t2 t1
F (t )dt
mv
mv0
A12
2
F
(r)
dr
1
1 2
mv
2 2
1 2
解：根据牛顿第二定律
f
k x2
m dv dt
m dv d x dx dt
mv
dv dx
k x2
mv
dv dx
v
dv
k
dx mx2
v
v
0
dv
A/4
A
k mx2
d
x
1v2 k (4 1) 3 k 2 m A A mA
另解：根据动能定理
v 6k /(mA)
(2)写出初末态系统的动量
t 时刻水平方向动量
dm m
t+dt时刻水平方向动量
O
x
(3)求出系统水平方向动量的增量
第二章 质点运动学
第二章 质点运动学运动学的任务是描述随时间的推移物体位置变化(运动)的规律,不涉及物体间相互作用与运动的关系。
§2.1 质点的运动学方程一、质点的位置矢量和运动学方程 要描述某质点在空间的位置，可以在参考系上先建立一个空间直角坐标系xyz o -，从坐标原点向该质点引一条有向线段，用r表示。
1、 位置矢量定义：自参考点（原点o ）引向质点P 所在位置的矢量。
质点位矢在直角坐标系中的表示：k z j y i x r++=ˆˆk j i,ˆ,ˆ分别为沿x 轴，y 轴，z 轴正方向的单位矢量，z y x ,,称为质点的位置坐标，质点的一组位置坐标就对应于一个位置矢量，也就对应质点一空间位置。
位矢的大小： 222z y x r r ++==位矢的方向（用方向余弦表示）：rzr y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα γβα,,分别为位矢与x 轴，y 轴，z 轴正方向的夹角。
2、质点的运动学方程由于质点的运动的不同时刻，位矢不同，则有：)(t r r= 即为质点的运动学方程，它给出了任意时刻质点的位置。
方程在直角坐标系中的正交分解式：k t z j t y i t x t r)()()()(++=质点运动学方程的标量形式为： )(),(),(t z z t y y t x x === 3、质点的运动轨迹质点运动时位矢端点描出的曲线，称质点运动轨迹。
由运动学方程消去t 得： 0),,(=z y x f[例] 一质点的运动学方程为：j t r i t R rsin cos +=，求其轨迹。
解：由已知，tR y t R x sin cos == ，则轨迹方程：222R y x =+，圆心在原点。
二、质点的位移和路程1、位移：描述质点在一定时间间隔内位置变动的物理量，用r∆表示。
)()(t r t t r r-∆+=∆位移在直角坐标中的正交分解式： k t z j t y i t x t r t t r r)()()()()(∆+∆+∆=-∆+=∆注意：质点的位移是矢量，其大小 12r r r r -=∆≠∆2、路程：描述质点在一定时间间隔内在其轨迹上经过路径的长度，用l ∆表示。
高一物理章节内容课件 第二章质点动力学
地面的加速度是多少？（以竖直向上为
正）
解：以绳为参照系，设绳对地 的加速度为 a绳对地
T '
T a绳对地
人 T mg (ma绳对地) ma0 物 Mg T (Ma绳对地) M 0
Mg ♕ mg
▲ 注意：ห้องสมุดไป่ตู้于滑轮这种左右两边的情形， 左右两边的正方向应相反
3 a绳对地 g a0 方向：右向上，左向下
★ 作用于桌面的压力
N1 N m已落下部分g , 3gm已落下的部分
4. 质点系的动量定理 任意一段时间间隔内质点系所受合外力 的冲量等于在同一时间间隔内质点系内 所有质点的动量矢量和的增量。
5．动量守恒定律(Law of Conservation of Momentum) （1）※
度，是Vx
N mg CyVx2
N
CxVx2
m
dVx dt
(mg CyVx2 ) CxVx2
m dVx dx
dx dt
dx dt
(mg CyVx ) CxVx m
2
2 dVx dx
条件：Vx V0 90km/ h时，
Vx
N
0
mg
C yV02
解：★ 注意 摩此擦M力分r布F在整个圆盘上，因
第一步：在距轴为 r 处取质量元 dm ，它受到
的摩擦力为 df
df kdm g
方向：
df
r
第二步：求 df 产生的摩擦力矩 dM 大小、方向
dM rdf sin rkdm g 方向：沿轴
dm
m
R2
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则质点系总外势能：
, 可引入外势能
对于第 i 个质点与第 j 个质点间的一对保守内力, 可引入 内势能 。
则质点系总内势能
把第 i 个质点所受非保守外力所做元功记为 把第个 i 质点与第 个 j 质点间的一对非保守内力所做元功 记为 ，则由质点系的动能定理可导出：
上式称为质点系的机械能定理。 定义质点系总势能： 总机械能：
质点间有内力相互作用是构成质点系的条件。
质点系内的质点是在外力与内力的共同作用下运动的； 对质点系内各质点的运动来说, 内力与外力有等同的作用。 质点系内一对对的内力造成了各质点间动量与角动量 的等量转移, 内力对质点系的运动至关重要 质点的动量 和角动量 分别从线运动和角运动的 角度描述质点的运动。质点的动量定理 和角动量 定理 指出, 力是质点动量变化率的度量, 力矩是质 点角动量变化率的度量。
对上式求时间导数可得：
由于 则：
由y 轴方向的动量定理
及y2=常量和
即可求出
用质点系动量定理解决问题可使未知内力不在方程中 出现, 因而使求解得以简化。
§2.3 动量矩定理与动量矩守恒律
一、质点系的角动量 1. 质点系角动量的定义 质点系对O点的总角动量 对O点角动量的矢量和： 定义为质点系内每个质点
式中
为质点系在质心系中对质心的角动量,
为质点系所受外力对质心力矩的矢量和。与惯性系中对固 定点的角动量定理形式相同, 均与内力矩无关。 证明: 由于各质点所受惯性力 量和 对质心力矩的矢 因此惯性力不在
方程中出现, 定理有与惯性系内定理相同的形式。 2. 质点系在质心系中对质心的角动量守恒定律 在某一过程中 则 常矢量 质点系在质心系中对过质心固定方向轴的角动量定理 （略）
证明:
由于 则 2. 质点系对固定轴的角动量定理 在固定 则 3. 质点系的角动量守恒定律 轴上取固定点O , 用 点乘
（1） 在某一过程中, 质点系所受对固定点O 的外力矩 的矢量和恒为零, 即 则在该过程中质点系对固定 点O 的角动量守恒，
常矢量 (2) 在某过程中, 质点系所受对固定 轴的外力矩之 和恒为零, 即 则在该过程中点系对固定 轴的角 动量守恒。 常量 三、质点系在质心系中对质心的角动量定理 1. 质点系在质心系中对质心的角动量定理为
对质量连续分布的物体, 上式中的求和应改为积分。
2. 质心相对质点系的位置与各质点质量及分布情况 有关, 与参考系及参考点的选取无关。 (1) 两质点的质心在两质点的连线上, 到两质点的距离 与质点质量成反比。 (2) 两质点系的质心即为分别位于两个质点系质心、 质量分别为两质点系总质量的两个假想质点的质心。 (3) 质量均匀分布的物体, 其质心与几何中心重合 (4) 若重力加速度为常矢量, 则质心与重心重合 3. 质点系总动量的另一等价表述：
第二章 质点系力学 §2.1 质点系
由多个有相互作用的质点所构成的力学体系。 质点系模型概括了宇宙中各种各样的客体。 一、质点系动力学的依据 依然是牛顿力学的基本出发点——牛顿 运动定律。 质点系内各质点间的关联遵从牛顿第三定律, 牛顿第三定 律显示了它作为牛顿力学基本出发点 的重要作用。
二、质点系的内力和外力 当质点系构成后, 就有内、外之分；质点系内质点所 受的力也就有了内力和外力之分。 三、质点系动力学的研究方法 研究质点系动力学问题有两种方法。一种方法是对质 点系内每一个质点建立其运动微分方程：
x
选逆时针为正方向
oБайду номын сангаас
绳对质点组的力为内力
注：也可用对通过滑轮中 心水平轴的动量矩定理
§2.4 动能定理与机械能守恒定律
一、质点系的动能
1. 质点系动能的定义
质点系的总动能 T 定义为质点系内每个质点动能之 和, 即： 2. 柯尼希定理
式中 Tc为位于质心的假想质点的动能, T’为质点系在质心 系中的动能。
若：
则这一对内力为保守内力 与质点力学中讨论的外势能 V(e) 区分, 一对内保守力 的势能记为V (i) , 称为内势能。 外势能是对势能的一种理解方式, 是简化功能关系的 一种方法。外势能的概念又必须存在, 否则完整的质点动 力学就不能建立。
3. 质点系的机械能定理和机械能守恒定律. 对于第 i 个质点所受保守外力
根据牛顿第三定律, 一对内力大小相等、 方向相反、 沿相互作用两质点的连线方向。 四、质点系内所有质点所受全部内力矢量和为零
显然
不可称为合内力
五、对任意参考点 , 质点系内所有质点所受全部内力矩 的矢量和为零
不失一般性地设这一对内力 Fij 和F ji
为引力
显然
六、 质点系内所受全部内力做功之和一般不为零
解： 环心即为圆环质心, 建立质心系 如图。则 ：
二、质点系在惯性系中对固定点和固定轴的角动量定理 1. 质点系对固定点的角动量定理
质点系对固定点O的角动量定理表述为: 在惯性系中, 质点系对固定点O的角动量的时间变化率等于质点系所受 对O点的外力矩的矢量和, 与内力矩无关, 即：
式中
为第个 i 点所受合外力。
五、质心运动定理 质心运动定理是质点系动量定理的另一种等价表述。 建立质心运动定律的基本思想是把质点系“假想质点化”
令质点系总质量
则
令
定义位于 矢端的几何点为质心, 称 为质心的位置 矢量、 为质心速度、 为质心加速度, 则
为质心运动定理。 1. 是质点的位置矢量 值， 直角坐标分量为： 以其质量 为权重的平均
m11 m22 0
km1m2 1 1 km1m2 2 2 0 m11 m22 a a 2 2 2
4. 质点系动量守恒定律的另一种等价的表述形式: 若 在某一过程中, 质点系所受外力的矢量和恒等于零, 即：
则在该过程中点系 心速度等于常矢量, 即 。
5. 质心和质心运动定理在从整体上研究质点系的运 动中起着重要作用。 六、 质心系 我们定义原点位于质心, 随质 心平动的坐标系 Cx’ y’ z’ 为质心 系, 一般情况下质心系 是非惯性系
进一步考虑由 的质点系, 则：
和
两个质点构成的, 不受外力
上述二式指出动量和角动量都既不会凭空产生，亦不 会凭空消失, 它们只是在不同质点间流动。 力描述了动量的流动, 力矩描述了角动量的流动。于 是我们可以认为力就是动量“流速率”(单位时间的流量), 力矩就是角动量“流速率”, 由此内力的作用得到了形象 地 述。
证明
因：
故：
三、质点系的动量守恒定律 作为质点系动量定理的推论，质点系的动量守恒定律 表述为： 若在某一过程中，质点系所受外力矢量和恒为零 即：
则在该过程中质点系的总动量守恒
四、质点系沿固定方向的动量定理和动量守恒定律 设 为表示固定方向的单位矢量, 用 点乘
则得到： 若在某一过程中，质点系所受的外力沿 和恒为零，即： 则在该过程中质点系总动 量沿 方向的分量守恒： 方向的分量
( e ) (i ) F F mi r i 1,2,, n i i i
共 3n个标量的二阶微分方程，内力使得各质点的运 动相互关联, 必须联立求解(计算机数值解)。 另一种方法是从整体上对质点系进行研 究, 讨论质 点系存在哪些普遍规律。
一个内力及其反作用力都是质点系内质点所受的力, 所以内力成对出现。
证明:
质点系内第i 个质点的动能定理为：
对 n 个质点求和, 则：
质点系动能的微分与内力元功有关。 由于刚体内力做功之和为零, 即 动能的微分与内力元功无关。 2. 内势能 从严格意义上讲动能与势能的转化, 要用一对保守力 做功之和来度量 所以刚体
由于一对内力所做元功之和, 已归结为其中一个力在其受 力质点相对另一质点的相对位移中所做元功, 即：
质点系对过O点的
轴的角动量Ll定义为：
2. 一个重要关系式
证明: 由图显见 注意到质心系为平动参考系, 则 故：
质心的位置矢量定义式对任何坐标系均成立
由于： 于是：
例题 3 半径为R ，质量为 m 的均匀细圆环, 在Oxy 面 内沿 x 轴做无滑滚动, 环心速度为 , 求圆环对O点的角 动量。
质点系的机械能守恒定律表述为: 若在某一过程中, 质点系所受非保守外力均恒不做功：
每一对内非保守力做功之和均恒为零：
则在该过程中质点系的总机械能守恒。 质点系机械能守恒说明, 在运动过程中质点系的动能 与势能可以相互转化, 但没有机械运动与其他形式的运动 之间的能量转化。
三、质点系在质心系中的动能定理 质点系在质心系中的动能定理为：
例题4 质量为m 、长度为 l 的匀质杆被抛出后在竖 直平面内运动。已知抛出时质心速度为 角速度为 试大致分析杆的运动。忽略空气阻力。
解: 由质心运动定理可知, 质 心 C 沿抛物线, 做初速为 的抛体 运动。 杆所受外力只有重力 作用于质心 C , 对质心 C 力矩为零,
即 。根据质点系在质心系中对质心的角动量守恒 定律可知 常矢量, 即 , 可见运动中 角速度ω保持不变
一对内力做功之和为零的条件为:
由于刚体内任意两个质点间的距离均保持不 变, 所以 刚体内力做功之和为零。 例题 1 可在水平面上滑动的尖劈 2上, 有一可 沿斜面 以相对尖劈的速度 v ' 滑动的重物1. 以重物和尖劈为质点 系, 试分析两者间内力做功情况。
解： 把重物和尖劈间的 一对内力沿斜面和垂直斜面 方向分解。
显然在质心系中质心速度恒为零, 心系中，质点系的总动量恒为零
, 所以在质
例题 2 质量为m的滑块 1, 放在质量为m0倾角为α的 直角尖劈2上, 尖劈放在光滑水平面上, 初始时滑块与尖劈 均静止, 在重力作用下, 滑块相对尖劈以匀加速度a沿斜面 下滑, 求尖劈的加速度和桌面对尖劈的支撑力。 解： 以由滑块和尖劈构成的质点系为研究对象, 建立 与水平面固连的坐标系Oxyz 如图。系统受外力 和 以及支撑力 如图. 因沿Ox方向不受外力, 故质点沿 x 轴方向动量守恒, 即:
, 可引入外势能
对于第 i 个质点与第 j 个质点间的一对保守内力, 可引入 内势能 。
则质点系总内势能
把第 i 个质点所受非保守外力所做元功记为 把第个 i 质点与第 个 j 质点间的一对非保守内力所做元功 记为 ，则由质点系的动能定理可导出：
上式称为质点系的机械能定理。 定义质点系总势能： 总机械能：
质点间有内力相互作用是构成质点系的条件。
质点系内的质点是在外力与内力的共同作用下运动的； 对质点系内各质点的运动来说, 内力与外力有等同的作用。 质点系内一对对的内力造成了各质点间动量与角动量 的等量转移, 内力对质点系的运动至关重要 质点的动量 和角动量 分别从线运动和角运动的 角度描述质点的运动。质点的动量定理 和角动量 定理 指出, 力是质点动量变化率的度量, 力矩是质 点角动量变化率的度量。
对上式求时间导数可得：
由于 则：
由y 轴方向的动量定理
及y2=常量和
即可求出
用质点系动量定理解决问题可使未知内力不在方程中 出现, 因而使求解得以简化。
§2.3 动量矩定理与动量矩守恒律
一、质点系的角动量 1. 质点系角动量的定义 质点系对O点的总角动量 对O点角动量的矢量和： 定义为质点系内每个质点
式中
为质点系在质心系中对质心的角动量,
为质点系所受外力对质心力矩的矢量和。与惯性系中对固 定点的角动量定理形式相同, 均与内力矩无关。 证明: 由于各质点所受惯性力 量和 对质心力矩的矢 因此惯性力不在
方程中出现, 定理有与惯性系内定理相同的形式。 2. 质点系在质心系中对质心的角动量守恒定律 在某一过程中 则 常矢量 质点系在质心系中对过质心固定方向轴的角动量定理 （略）
证明:
由于 则 2. 质点系对固定轴的角动量定理 在固定 则 3. 质点系的角动量守恒定律 轴上取固定点O , 用 点乘
（1） 在某一过程中, 质点系所受对固定点O 的外力矩 的矢量和恒为零, 即 则在该过程中质点系对固定 点O 的角动量守恒，
常矢量 (2) 在某过程中, 质点系所受对固定 轴的外力矩之 和恒为零, 即 则在该过程中点系对固定 轴的角 动量守恒。 常量 三、质点系在质心系中对质心的角动量定理 1. 质点系在质心系中对质心的角动量定理为
对质量连续分布的物体, 上式中的求和应改为积分。
2. 质心相对质点系的位置与各质点质量及分布情况 有关, 与参考系及参考点的选取无关。 (1) 两质点的质心在两质点的连线上, 到两质点的距离 与质点质量成反比。 (2) 两质点系的质心即为分别位于两个质点系质心、 质量分别为两质点系总质量的两个假想质点的质心。 (3) 质量均匀分布的物体, 其质心与几何中心重合 (4) 若重力加速度为常矢量, 则质心与重心重合 3. 质点系总动量的另一等价表述：
第二章 质点系力学 §2.1 质点系
由多个有相互作用的质点所构成的力学体系。 质点系模型概括了宇宙中各种各样的客体。 一、质点系动力学的依据 依然是牛顿力学的基本出发点——牛顿 运动定律。 质点系内各质点间的关联遵从牛顿第三定律, 牛顿第三定 律显示了它作为牛顿力学基本出发点 的重要作用。
二、质点系的内力和外力 当质点系构成后, 就有内、外之分；质点系内质点所 受的力也就有了内力和外力之分。 三、质点系动力学的研究方法 研究质点系动力学问题有两种方法。一种方法是对质 点系内每一个质点建立其运动微分方程：
x
选逆时针为正方向
oБайду номын сангаас
绳对质点组的力为内力
注：也可用对通过滑轮中 心水平轴的动量矩定理
§2.4 动能定理与机械能守恒定律
一、质点系的动能
1. 质点系动能的定义
质点系的总动能 T 定义为质点系内每个质点动能之 和, 即： 2. 柯尼希定理
式中 Tc为位于质心的假想质点的动能, T’为质点系在质心 系中的动能。
若：
则这一对内力为保守内力 与质点力学中讨论的外势能 V(e) 区分, 一对内保守力 的势能记为V (i) , 称为内势能。 外势能是对势能的一种理解方式, 是简化功能关系的 一种方法。外势能的概念又必须存在, 否则完整的质点动 力学就不能建立。
3. 质点系的机械能定理和机械能守恒定律. 对于第 i 个质点所受保守外力
根据牛顿第三定律, 一对内力大小相等、 方向相反、 沿相互作用两质点的连线方向。 四、质点系内所有质点所受全部内力矢量和为零
显然
不可称为合内力
五、对任意参考点 , 质点系内所有质点所受全部内力矩 的矢量和为零
不失一般性地设这一对内力 Fij 和F ji
为引力
显然
六、 质点系内所受全部内力做功之和一般不为零
解： 环心即为圆环质心, 建立质心系 如图。则 ：
二、质点系在惯性系中对固定点和固定轴的角动量定理 1. 质点系对固定点的角动量定理
质点系对固定点O的角动量定理表述为: 在惯性系中, 质点系对固定点O的角动量的时间变化率等于质点系所受 对O点的外力矩的矢量和, 与内力矩无关, 即：
式中
为第个 i 点所受合外力。
五、质心运动定理 质心运动定理是质点系动量定理的另一种等价表述。 建立质心运动定律的基本思想是把质点系“假想质点化”
令质点系总质量
则
令
定义位于 矢端的几何点为质心, 称 为质心的位置 矢量、 为质心速度、 为质心加速度, 则
为质心运动定理。 1. 是质点的位置矢量 值， 直角坐标分量为： 以其质量 为权重的平均
m11 m22 0
km1m2 1 1 km1m2 2 2 0 m11 m22 a a 2 2 2
4. 质点系动量守恒定律的另一种等价的表述形式: 若 在某一过程中, 质点系所受外力的矢量和恒等于零, 即：
则在该过程中点系 心速度等于常矢量, 即 。
5. 质心和质心运动定理在从整体上研究质点系的运 动中起着重要作用。 六、 质心系 我们定义原点位于质心, 随质 心平动的坐标系 Cx’ y’ z’ 为质心 系, 一般情况下质心系 是非惯性系
进一步考虑由 的质点系, 则：
和
两个质点构成的, 不受外力
上述二式指出动量和角动量都既不会凭空产生，亦不 会凭空消失, 它们只是在不同质点间流动。 力描述了动量的流动, 力矩描述了角动量的流动。于 是我们可以认为力就是动量“流速率”(单位时间的流量), 力矩就是角动量“流速率”, 由此内力的作用得到了形象 地 述。
证明
因：
故：
三、质点系的动量守恒定律 作为质点系动量定理的推论，质点系的动量守恒定律 表述为： 若在某一过程中，质点系所受外力矢量和恒为零 即：
则在该过程中质点系的总动量守恒
四、质点系沿固定方向的动量定理和动量守恒定律 设 为表示固定方向的单位矢量, 用 点乘
则得到： 若在某一过程中，质点系所受的外力沿 和恒为零，即： 则在该过程中质点系总动 量沿 方向的分量守恒： 方向的分量
( e ) (i ) F F mi r i 1,2,, n i i i
共 3n个标量的二阶微分方程，内力使得各质点的运 动相互关联, 必须联立求解(计算机数值解)。 另一种方法是从整体上对质点系进行研 究, 讨论质 点系存在哪些普遍规律。
一个内力及其反作用力都是质点系内质点所受的力, 所以内力成对出现。
证明:
质点系内第i 个质点的动能定理为：
对 n 个质点求和, 则：
质点系动能的微分与内力元功有关。 由于刚体内力做功之和为零, 即 动能的微分与内力元功无关。 2. 内势能 从严格意义上讲动能与势能的转化, 要用一对保守力 做功之和来度量 所以刚体
由于一对内力所做元功之和, 已归结为其中一个力在其受 力质点相对另一质点的相对位移中所做元功, 即：
质点系对过O点的
轴的角动量Ll定义为：
2. 一个重要关系式
证明: 由图显见 注意到质心系为平动参考系, 则 故：
质心的位置矢量定义式对任何坐标系均成立
由于： 于是：
例题 3 半径为R ，质量为 m 的均匀细圆环, 在Oxy 面 内沿 x 轴做无滑滚动, 环心速度为 , 求圆环对O点的角 动量。
质点系的机械能守恒定律表述为: 若在某一过程中, 质点系所受非保守外力均恒不做功：
每一对内非保守力做功之和均恒为零：
则在该过程中质点系的总机械能守恒。 质点系机械能守恒说明, 在运动过程中质点系的动能 与势能可以相互转化, 但没有机械运动与其他形式的运动 之间的能量转化。
三、质点系在质心系中的动能定理 质点系在质心系中的动能定理为：
例题4 质量为m 、长度为 l 的匀质杆被抛出后在竖 直平面内运动。已知抛出时质心速度为 角速度为 试大致分析杆的运动。忽略空气阻力。
解: 由质心运动定理可知, 质 心 C 沿抛物线, 做初速为 的抛体 运动。 杆所受外力只有重力 作用于质心 C , 对质心 C 力矩为零,
即 。根据质点系在质心系中对质心的角动量守恒 定律可知 常矢量, 即 , 可见运动中 角速度ω保持不变
一对内力做功之和为零的条件为:
由于刚体内任意两个质点间的距离均保持不 变, 所以 刚体内力做功之和为零。 例题 1 可在水平面上滑动的尖劈 2上, 有一可 沿斜面 以相对尖劈的速度 v ' 滑动的重物1. 以重物和尖劈为质点 系, 试分析两者间内力做功情况。
解： 把重物和尖劈间的 一对内力沿斜面和垂直斜面 方向分解。
显然在质心系中质心速度恒为零, 心系中，质点系的总动量恒为零
, 所以在质
例题 2 质量为m的滑块 1, 放在质量为m0倾角为α的 直角尖劈2上, 尖劈放在光滑水平面上, 初始时滑块与尖劈 均静止, 在重力作用下, 滑块相对尖劈以匀加速度a沿斜面 下滑, 求尖劈的加速度和桌面对尖劈的支撑力。 解： 以由滑块和尖劈构成的质点系为研究对象, 建立 与水平面固连的坐标系Oxyz 如图。系统受外力 和 以及支撑力 如图. 因沿Ox方向不受外力, 故质点沿 x 轴方向动量守恒, 即: