4_含量词命题的否定
1.4.2 含有一个量词的命题的否定
1.4.2含有一个量词的命题的否定学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.知识点一全称命题与特称命题的否定思考1写出下列命题的否定：①所有的矩形都是平行四边形；②有些平行四边形是菱形.答案①并非所有的矩形都是平行四边形.②每一个平行四边形都不是菱形.思考2对①的否定能否写成：所有的矩形都不是平行四边形？答案不能.思考3对②的否定能否写成：有些平行四边形不是菱形？答案不能.知识点二含有一个量词的命题p的否定真假性判断对“含有一个量词的命题p的否定”的真假判断一般有两种思路：一是直接判断¬p的真假，二是用p与¬p的真假性相反来判断.类型一全称命题的否定例1写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p：任意n∈Z，则n∈Q；(2)p：等圆的面积相等，周长相等；(3)p：偶数的平方是正数.解(1)¬p：存在n0∈Z，使n0∉Q，这是假命题.(2)¬p：存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题.(3)¬p：存在偶数的平方不是正数，这是真命题.反思与感悟(1)写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定.(2)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”.跟踪训练1写出下列全称命题的否定：(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；(2)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；(3)p：数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；(4)p：可以被5整除的整数，末位是0.解(1)¬p：存在一个能被3整除的整数不是奇数.(2)¬p：∃x0∈Z，x20的个位数字等于3.(3)¬p：数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数.(4)¬p：存在被5整除的整数，末位不是0.类型二特称命题的否定例2写出下列特称命题的否定：(1)p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；(2)p：有的三角形是等边三角形；(3)p：有一个素数含三个正因数.解(1)¬p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0.(2)¬p：所有的三角形都不是等边三角形.(3)¬p：每一个素数都不含三个正因数.反思与感悟 与全称命题的否定的写法类似，要写出特称命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到特称命题的否定. 跟踪训练2 写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)至少有一个实数x 0，使得x 20＋2x 0＋5＝0； (2)存在一个平行四边形，它的对角线互相垂直； (3)存在一个三角形，它的内角和大于180°； (4)存在偶函数为单调函数.解 (1)命题的否定：对任意x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0，是真命题.(2)命题的否定：对于任意的平行四边形，它的对角线都不互相垂直，是假命题. (3)命题的否定：对于任意的三角形，它的内角和小于或等于180°，是真命题. (4)命题的否定：所有的偶函数都不是单调函数，是真命题. 类型三 全称命题与特称命题的应用例3 (1)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋a ≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________. 答案 (0,1)解析 方法一 若命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋a ≤0是真命题，得Δ＝(2a )2－4a ≥0，即a (a －1)≥0, 若命题p 是假命题，则a (a －1)<0，解得0<a <1.方法二 依题意，命题¬p ：∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0是真命题，得Δ＝(2a )2－4a <0，即a (a －1)<0，解得0<a <1.(2)已知命题p (x )：sin x ＋cos x >m ，q (x )：x 2＋mx ＋1>0.如果对∀x ∈R ，p (x )为假命题且q (x )为真命题，求实数m 的取值范围.解 由于命题p (x )：对∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 是假命题， 则¬p (x )：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0≤m 是真命题， 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，2]， 所以m ≥－ 2即可.由于q (x )：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0为真命题， 即对于∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立， 有Δ＝m 2－4<0，所以－2<m <2. 依题意，得－2≤m <2.所以实数m 的取值范围是{m |－2≤m <2}.反思与感悟 (1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决.(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设.跟踪训练3已知命题p：“∃x0∈R，sin x0<m”，命题q：“∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立”，若p∧q是真命题，求实数m的取值范围.解由于p∧q是真命题，则p，q都是真命题.因为“∃x0∈R，sin x0<m”是真命题，所以m>－1.又因为“∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，所以Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2.综上所述，实数m的取值范围是(－1,2).1.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A,2x∈B，则()A.¬p：∀x∈A,2x∉BB.¬p：∀x∉A,2x∉BC.¬p：∃x0∉A,2x0∈BD.¬p：∃x0∈A,2x0∉B答案D解析根据题意可知命题p：∀x∈A,2x∈B的否定是¬p：∃x0∈A,2x0∉B.2.设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则¬p为()A.∃x0∈R，x20＋1＞0B.∃x0∈R，x20＋1≤0C.∃x0∈R，x20＋1＜0D.∀x∈R，x2＋1≤0答案B解析命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，是一个全称命题.∴¬p：∃x0∈R，x20＋1≤0.3.下列命题的否定为假命题的是()A.∃x∈R，x2＋2x＋2≤0B.∀x∈R，lg x＜1C.所有能被3整除的整数都是奇数D.∀x∈R，sin2x＋cos2x＝1解析对于选项A，因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，所以∃x∈R，x2＋2x＋2≤0是假命题，故其否定为真命题；对于选项B，因为当x＞10时，lg x＞1，所以∀x∈R，lg x＜1是假命题，故其否定为真命题；对于选项C，因为6能被3整除，但6是偶数，所以这是假命题，其否定为真命题；对于选项D，显然成立，因此其否定是假命题.4.“∃x0∈M，p(x0)”的否定为________________.答案∀x∈M，¬p(x)5.“至多有两个人”的否定为________________.答案至少有三个人解析“至多有两个人”含义是有0人或1人或2人，故“至多有两个人”的否定为“至少有三个人”.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题.(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.一、选择题1.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数答案D解析原命题为全称命题，其否定应为特称命题，且结论否定.2.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是()A.∀x∈R，|x|>0B.∃x0∈R，|x0|>0C.∀x∈R，|x|≤0D.∃x0∈R，|x0|≤0解析由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.3.命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0成立”的否定是()A.存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0B.不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0C.对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0D.对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0答案D解析特称命题的否定是全称命题.4.已知命题“∀a、b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是()A.∀a、b∈R，如果ab<0，则a<0B.∀a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0C.∃a、b∈R，如果ab<0，则a<0D.∃a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0答案B解析条件ab>0的否定为ab≤0；结论a>0的否定为a≤0，故选B.5.下列命题错误的是()A.命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”B.若p∧q为假命题，则p、q均为假命题C.命题p：存在x0∈R，使得x20＋x0＋1<0，则¬p：任意x∈R，都有x2＋x＋1≥0D.“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件答案B解析由逆否命题“条件的否定作结论，结论的否定为条件”知A为真命题；p∧q为假命题时，p假或q假，故B错误；由“非”命题的定义知C正确；∵x>2时，x2－3x＋2>0成立，x2－3x＋2>0时，x<1或x>2，∴D正确.6.已知命题p：∃n∈N,2n>1 000，则¬p为()A.∀n∈N,2n≤1 000B.∀n∈N,2n>1 000C.∃n∈N,2n≤1 000D.∃n∈N,2n>1 000答案A解析特称命题的否定为全称命题，“>”的否定为“≤”.7.下列命题中是假命题的是()A.∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减B.∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点C.∃α、β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD.∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 答案 D解析 ∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1， ∴m ＝2，f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上递减，故A 真； ∵y ＝ln 2x ＋ln x 的值域为⎣⎡⎭⎫－14，＋∞， ∴对∀a >0，方程ln 2x ＋ln x －a ＝0有解， 即f (x )有零点，故B 真； 当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 真； 当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 为偶函数，故D 为假命题. 二、填空题8.命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是______________. 答案 任意x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5≠0解析 特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”. 9.命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为________________________________________________________________________. 答案 过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内 解析 原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词.10.已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，则m 的取值范围是________________. 答案 m ≤－2或－1<m <2 解析 p ：m ≤－1，q ：－2<m <2， ∵p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2， 当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值范围是m ≤－2或－1<m <2.11.若“∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0”为真命题，则实数a 的取值范围是________________. 答案 a >2或a <－2解析 由于∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0，又二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋1开口向上，故Δ＝a 2－4>0，所以a >2或a <－2. 三、解答题12.写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)某些梯形的对角线互相平分； (4)被8整除的数能被4整除.解 (1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0都有实数根”，其否定是¬p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实数根，因此¬p 是真命题. (2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题. (3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题. (4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题. 13.若“∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x 0＋3cos x 0<m ”为假命题，求实数m 的取值范围. 解 令f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，可知f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数， 在⎝⎛⎦⎤π6，π2上为减函数，由于f (0)＝3，f ⎝⎛⎭⎫π2＝1， 所以1≤f (x )≤2，由于“∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2， sin x 0＋3cos x 0<m ”为假命题，则其否定“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x ＋3cos x ≥m ”为真命题， 所以m ≤f (x )min ＝1，即m ≤1.。
文档：精析含一个量词的命题的否定【全国一等奖】
精析含一个量词的命题的否定《简易逻辑》列入高中学习内容以后，不少学生对逻辑联结词非p，即命题p的否定的理解存在一些误区．而对含有一个量词的命题的否定又是全称量词与存在量词的重点内容，也是新课标高考的一个亮点.下面就含有一个量词的命题的否定进行精析.一、明确命题的构成我们现在所涉及的命题一般由四部分组成：一是被判断对象；二是被判断对象的结果(或性质)；三是修饰被判断对象的量词，分为两类：一类是全称量词，一般常用“一切”、“所有”、“每一个”、“任意一个”等词语表达，另一类是特称量词，一般常用“有些”、“存在”、“至少有一个”等词语表达；四是“判断词”，是联系被判断对象与结果(或性质)的肯定词或否定词，肯定词常用“是”、“有”等表示，否定词常用“不是”、“没有”等表示．如命题“至少有一个质数不是奇数”中，“质数”为被判断对象，“奇数”为结果(或性质)，“至少有一个”为量词，“不是”为否定词．二﹑掌握常见的关键词(量词与判断词)的否定形式命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”等即可.如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改在“不是”，将“不是”改成“是”等，而是要分清命题是全称命题，还是特称命题.三﹑掌握两种基本题型对全称命题和特称命题的否定，一般要对“量词”和“判断词”同时进行否定，全称与特称互为否定，肯定与否定互为否定．下面就全称命题与特称命题的否定以例作分析例1(2007年山东高考文理科)命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1＞0 D．对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0分析：本题是一道对全称命题的否定，因此否定时既要对全称量词“任意”否定，又为对判断词“≤”进行否定，全称量词“任意”的否定为存在量词“存在”等，判断词“≤”的否定为“＞”，所以命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，x3－x2＋1＞0”，故选C.点拨：从本题的解答可以看出，对全称命题的否定，在否定判断词时，还要否定全称量词，变为特称命题.特别要注意的是，由于有的命题的全称量词往往可以省略不写，从而在作命题否定时易将全称命题只否定判断词，而不否定省略了的全称量词，如将命题p“实数的绝对值是正数”否定⌝p 写成“实数的绝对值不是正数”这就错了．很显然，这里的“p”与“⌝p ”都是假命题，与命题“⌝p”和命题“p”之间的真值关系相矛盾．究其原因，命题p为全称命题，省略了量词“所有”，正确的否定形式是“存在一个实数的绝对值不是正数”．事实上由于实数是一个全称概念，命题p应为“实数的绝对值（都）是正数”故其否定形式亦可写成“实数的绝对值不都是正数”．例2命题“原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称”的否定是( )A.原函数与反函数的图象关于直线y＝－x对称B.原函数不与反函数的图象关于直线y＝x对称C.存在一个原函数与反函数的图象不关于直线y＝x对称D.存在原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称分析：此题实际上也是一道对全称命题的否定，因为原命题省略了全称量词“所有的”，同时命题中省略了判断词“是”，因此命题可改写“所有的原函数与反函数的图象是关于直线y＝x对称”，由此对全称量词“所有的”与判断词“是”进行否定即可得到原命题的否定：存在一个原函数与反函数的图象不关于直线y＝x对称，故选C.点拨：解答本题的关键就是要找出命题中省略了的全称量词“所有的”与判断“是”.例3(2007年海南省调研文理科)已知特称命题p：∃x∈R，2x＋1≤0，则命题P的否定是（）A．∃x∈R，2x＋1＞0 B．∀x∈R，2x＋1＞0C．∃x∈R，2x＋1≥0 D．∀x∈R，2x＋1≥0分析：本题是一道对特称命题的否定，因此否定时既要对存在量词“∃”否定，又为对判断词“≤”进行否定，存在量词“∃”的否定为全称量词“∀”等，判断词“≤”的否定为“＞”，所以命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“∀x∈R，2x＋1＞0”，故选B.点拨：从本题的解答可以看出，对特称命题的否定，在否定判断词时，也要否定存在量词.如分析特称命题“有的三角形是直角三角形”的否定，是把判断词“是”，否定为“不是”，再把存在量词“有的”，否定为“所有的”，即为“所有的三角形是直角三角形”.例4命题p：“有一个二次函数的图象与y轴不相交”的否定是（）A．有一个二次函数的图象与y轴相交B．任意一个二次函数的图象与y轴相交C．任意一个二次函数的图象与y轴不相交D．存在一个二次函数的图象与y轴相交分析：本题是一道对特称命题的否定，命题中存在量词为“有一个”，判断词为“不”，对这两个肇事同时否定：“任意一个二次函数的图象与y轴相交”，故选B.点拨：在对命题进行否定时，要牢记：全称命题“∀x∈M，p(x)”的否定是特称命题“∃x∈M，⌝p(x)”，特称命题“∃x∈M，p(x)”的否定是全称命题“∀x ∈M，⌝p(x)”，这可以用来检验对命题的否定是否解答正确．。
含有一个量词的命题的否定
含有一个量词的命题的否定作者：曹胜才来源：《高中生学习·高二文综版》2015年第02期从命题形式上看，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，该内容常与命题的真假性判断结合考查. 对含有一个量词的命题的否定首先得弄清以下几点：（1）弄清命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提. （2）注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定. （3）“[p或q]”的否定为：“[¬ p]且[¬ q]”;“[p]且[q]”的否定为：“[¬ p]或[¬ q]”. （4）要判断“[¬ p]”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“[p]”的真假，因为[p]与[¬ p]的真假相反.含有一个量词的命题的否定例1 ;命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是（ ; ）A. 所有能被2整除的整数都是奇数B. 所有不能被2整除的整数都不是奇数C. 存在一个能被2整除的整数是奇数D. 存在一个不能被2整除的整数不是奇数解析 ;否定全称命题和特称命题时，一定要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词，二是要否定结论.答案 ;D例2 ;“[∃x∈A，x2-2x-3>0]”的否定为（ ; ）A. [∀x∈A，x2-2x-3<0]B. [∀x∉A，x2-2x-3≤0]C. [∀x∈A，x2-2x-3>0]D. [∀x∈A，x2-2x-3≤0]解析 ;特称命题的否定为全称命题，故“[∃x∈A，][x2-2x-3>0]”的否定为：“[∀x∈A，x2-2x][-3≤0]”.答案 ;D点拨 ;（1）对全（特）称命题进行否定的方法：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，并且改变量词或符号（全称量词[⇔]特称量词）;②找到[p（x）]并否定. （2）“否命题”与“命题的否定”的区别.“否命题”与“命题的否定”不是同一概念，否命题是对原命题“若[p]则[q]”的否定，既否定其条件，又否定其结论，它们之间没有真假关系. 而“命题[p]的否定”即“[¬p]”是否定命题中的结论，它们之间真假相反.如：例2中不要错选成B.与含一个量词的命题的否定有关的参数取值范围问题例3 ;已知命题“[∃x∈R，x2+2ax+1<0]”是假命题，则实数[a]的取值范围是（ ; ）A. [（-∞，-1）]B. [（1，+∞）]C. [（-∞，-1）⋃（1，+∞）]D. [-1，1]解析 ;由题意知，原命题的否定：[∀x∈R，x2+2ax+1][≥0]为真命题，即Δ[=4a2-4≤0]，[∴-1≤a≤1].答案 ;D例4 ;已知命题[p]：[∀x∈0，1，a≥ex]，命题[q]：“[∃x0∈R，x02+4x0+a=0]”，命题“[p∧q]”是假命题，则实数[a]的取值范围是（ ; ）A. [-∞，4]B. [（-∞，1）⋃（4，+∞）]C. [（-∞，e）⋃（4，+∞）]D. [1，+∞]解析 ;当[p]为真命题时，[a≥e].当[q]为真命题时，[x2+4x+a=0]有解，则[Δ=16-4a≥0，][∴a≤4].法一：[p∧q]的否定为真命题，即[¬ p∨¬q]为真命题，[∴a]的取值范围是[（-∞，e）⋃（4，+∞）].法二：若[p∧q]为真命题时，[e≤a≤4]，[∴]“[p∧q]”为假命题时，[a<e或a>4].点拨 ;（1）[p，q]为真命题时，分别求出相应参数的范围;（2）用补集思想，求出[¬p]，[¬q]对应的参数范围;（3）由复合命题真假转化为集合基本运算综合得参数范围.全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具备某一性质，无一例外，而特称命题中的存在量词却表明给定范围内的对象，有例外，两者正好构成了相反意义的表述，所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.常见量词的否定[词语＼&词语的否定＼&词语＼&词语的否定＼&等于＼&不等于＼&至多一个＼&至少两个＼&大于＼&不大于（即小于或等于）＼&至少一个＼&一个也没有＼&小于＼&不小于（即大于或等于）＼&任意＼&某个＼&是＼&不是＼&所有的＼&某些＼&都是＼&不都是（与“都不是”区别开）＼&一定＼&不一定＼&]练习1. 命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是（ ; ）A. 所有奇数的立方都不是奇数B. 不存在一个奇数，它的立方是偶数C. 存在一个奇数，它的立方是偶数D. 不存在一个奇数，它的立方是奇数2. 设[x∈Z]，集合[A]是奇数集，集合[B]是偶数集，若命题[p：∀x∈A，2x∈B]，则（ ; ）A. [¬ p：∀x∈A，2x∉B]B. [¬ p：∀x∉A，2x∉B]C. [¬ p：∃x∉A，2x∉B]D. [¬ p：∃x∈A，2x∉B]3. 在一次跳伞训练中，甲、已两位学员各跳一次.设命题[p]是“甲降落在指定范围”，[q]是“乙降落在指定范围”，则命题：“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ; ）A. [（¬p）∨（¬q）] ; ;B. [p∨（¬q）]C. [（¬p）∧（¬q）] ;D. [p∧q]4. 已知“命题[p：∃x∈R]，使得[ax2+2x+1<0]成立”为真命题，则实数[a]满足（ ; ）A. [0，1] ;B. [（-∞，1）]C. [1，+∞] ;D. [-∞，1]5. 已知[f（x）=3sinx-πx，]命题[p：∀x∈（0，π2），f（x）<0，]则（ ; ）A. [p]是真命题，[¬p：∀x∈（0，π2），f（x）>0]B. [p]是真命题，[¬p：∃x0∈（0，π2），f（x0）≥0]C. [p]是假命题，[¬p：∀x∈（0，π2），f（x）≥0]D. [p]是假命题，[¬p：∃x0∈（0，π2），f（x0）≥0]6. 已知命题[p1]存在[x∈R]，使得[x2+x+1<0]成立;[p2]对任意[x∈1，2]，[x2-1≥0.] 以下命题为真命题的是（ ; ）A. [¬p1∧¬p2] ;B. [p1∨¬p2]C. [¬p1∧p2] ; ;D. [p1∧p2]参考答案1. C ;全称命题的否定，改变量词为“存在一个”，然后否定结论即可.2. D ;全称命题的否定，注意符号变化，不要错选C.3. A ;复合命题的否定，“至少有一位学员没有降落在指定范围内”的否定是“都降落在指定范围”即“[p∧q]”的否定.4. B ;注意讨论，若[a=0]时，符合题意;若[a≠0]，则[△=4-4a>0]即[a<1].5. B ;[f（x）=3cosx-π<0]，[f（x）在（0，π2）]上是减函数，[f（x）<f（0）]，[而f（0）=0]，[∴]命题为真命题，又全称命题的否定是特称命题.6. ;C ;由题意知[p1]为假命题，[p2]为真命题.。
含有一个量词的命题的否定
2.判断下列命题是全称命题还是特 称命题，你能写出下列命题旳否定吗？
（1）全部旳矩形都是平行四边形； （2）每一种素数都是奇数； （3）x∈R, x2－2x＋1≥0； （4）有些实数旳绝对值是正数； （5）某些平行四边形是菱形； （6） x∈R, x2＋1＜0.
分析
前三个命题都是全称命题，即具
有 “ x ∈M，p（x）”旳形式；
（2）命题“ x ∈N, x3>x2”旳否定是
___x_∈__N__,_x_3_≤__x_2__.
2. 选择题
（1）命题“原函数与反函数旳图象有关
y=x对称”旳否定是（C ）
A. 原函数与反函数旳图象有关y=-x对称 B. 原函数不与反函数旳图象有关y=x对称 C.存在一种原函数与反函数旳图象不有关 y=x对称 D. 存在原函数与反函数旳图象有关y=x对称
（2）命题“全部能被3整除旳整数都
是奇数”旳否定是（C ）
A.全部能被3整除旳整数都不是奇数 B.不存在一种奇数，它不能被3整除 C.存在一种奇数，它不能被3整除 D.不存在一种奇数，它能被3整除
3.解答题
写出下列命题旳否定，并判断 它们旳真假：
（1）正方形旳四边相等; （2）平方和为0旳两个实数都为0; （3）对任意实数x，x>0.
（1）每条直线在y轴上都有截距； （2）每个二次函数旳图像都与x轴相交.
解：（1）存在一条直线，它在y轴上没有 截距；
（2）存在一种二次函数，它旳图像 与x轴相交.
探究二：
写出下列命题旳否定：
（1）有些实数旳绝对值是正数； （2）某些平行四边形是菱形； （3） x∈R, x2＋1＜0.
经过观察，我们发觉，以上三个特称 命题旳否定都能够用全称命题表达.
常用逻辑用语含有一个量词的命题的否定
在日常生活中，我们常常需要对这些命题进行否定。如“不是所有的猫都喜欢吃 鱼”、“不是所有人都喜欢运动”、“不是有些人喜欢吃甜食”等等。这些否定 命题中，量词不变，但是否定的内容变了。
在法律和医学中的应用
法律中的否定
在法律中，否定命题的应用非常广泛。如“不得侵犯他人的 人身权利”、“不得盗窃他人财物”、“不得伪造证件”等 等。这些命题中都包含着量词，如“不得”、“可以”。
命题
命题是一个判断（陈述）的语义表达，它可以被证实为真或 假。
命题的否定的定义与性质
命题的否定
命题的否定是在原命题的基础上，对其结论进行否定，即原命题为真，其否 定为假；原命题为假，其否定为真。
命题否定的性质
命题的否定具有唯一性，即对于任何一个命题，其否定只有一个。
常用逻辑用语与命题否定的关系
关系
02
关注逻辑学的新进展：随着逻辑学的发展，对于含有一个量词的命题的否定的 研究也在不断深入。需要关注逻辑学的新进展，以便了解最新的研究成果和研 究趋势。
03
研究实际应用：研究含有一个量词的命题的否定不仅是为了理论上的探讨，还 为了解决实际应用中的问题。因此，需要结合实际应用场景，研究和解决具体 问题。
04
命题否定与逻辑关系
命题否定与逻辑运算符的关系
命题否定与逻辑运算符的关联
命题否定是一种逻辑否定与逻辑运算符的差异
命题否定只对一个命题进行操作，而逻辑运算符可以对多个命题进行操作。
命题否定与逻辑推理的关系
命题否定与逻辑推理的关联
数学命题的否定
数学命题的否定是指以原命题的否定的真假为依据，即 若原命题为真则其否命题为假，若原命题为假则其否命 题为真。
在日常思维中的应用
含有量词的命题的否定
• 1.能正确的对含有一个量词的命题进行否定． • 2.知道全称命题的否定是特称命题，特称命题 的否定是全称命题.
• 1.对含有一个量词的命题进行否定．(重点) • 2.对量词的否定词的理解．(难点) • 3.常与命题的真假性判断结合考查.
• 1．(1)所有同学都顺利通过了考试； • (2) 圆周上任意一点到圆心的距离都等于圆的 半径长． • 写出以上两个全称命题的否定，从中你能发现 原命题和它的否定在形式上有什么变化吗？ • 2．(1)有的函数是奇函数； • (2)至少有一个三角形没有外接圆． • 写出以上两个特称命题的否定，从中你能发现 原命题和它的否定在形式上有什么变化吗？
• • • • •
1.写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)任何一个素数是奇数； (2)任何一个平行四边形的对边都平行； (口向下．
• 解析： (1) 命题的否定为：存在一个素数， 它不是奇数，因为 2 是素数，而不是奇数，所 以其否定是真命题． • (2) 命题的否定为：存在一个平行四边形的对 边不都平行，其否定是假命题． • (3) 命题的否定为： ∃ x0∈R ，有 |x0|≠x0 ，如 x0 ＝ －1，|－1|≠－1，其否定是真命题． • (4) 命题的否定为：存在一个二次函数的图象 开口不向下，其否定是真命题．
• [ 题后感悟 ] (1) 全称命题的否定是特称命题．因 为要否定全称命题“∀x∈M，p(x)成立”只需在M 中找到一个x，使得p(x)不成立，也即“∃x0∈M， ¬p(x0)成立”． • (2)要证明一个全称命题是假命题，只需举一个反 例． • (3)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千 万不要将否定写成“是”或“不是”．
• 1 ．命题“任意四边形都有外接圆”的否定为 ( ) • A．任意四边形都没有外接圆 • B．任意四边形不都有外接圆 • C．有的四边形没有外接圆 • D．有的四边形有外接圆 • 答案： C
1.4.3 含有一个量词的 命题的否定 全称命题-高中数学选修2-1教案
1.4.3含有一个量词的命题的否定【教学内容分析】“含有一个量词的命题的否定”选自数学人教A版选修2-1第一章第四节的内容，它包括两块内容：一是含有一个全称量词的命题的否定，二是含有一个存在量词的命题的否定。
本节课是学生在老师的带领下，通过探究理解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，并且会正确地对含有一个量词的命题进行否定。
在教学中使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力,通过学生的合作探究,培养培养他们的良好的思维品质。
【学情分析】本节内容是数学选修2-1第一章的最后一节内容,学习对象为高二年级学生，他们在前面已经学习了全称量词与存在量词的定义，以及否命题和一般命题的否定。
所以本节课在此基础上，也是学生对命题的否定的再认识，学生能够知道含有一个量词的命题的否定方法和前面学习的一般命题的否定方法有部分区别。
同时学好本节课也是为了让学生对否命题与命题的否定能够区分开。
【教学目标】1．知识与技能目标：理解全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；2．过程与方法目标：通过探究实例，能够归纳出含一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律；3．情感态度价值观：通过本节课的学习，培养学生的辨析能力以及良好的思维品质。
【教学重难点】重点：理解全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定。
【设计思路】本节课是针对于高二年级的教学内容，“含有一个量词的命题的否定”即是含有全称量词或者存在量词的命题的否定。
学生通过探究实例，老师进行引导归纳出全称命题的否定变成了特称命题，在这一过程当中，量词进行改变，条件不变，结论进行否定。
其次学生通过类比全称命题的否定是特称命题，自行归纳得出特称命题的否定是全称命题，在这一过程当中，还是量词进行改变，条件不变，结论否定。
所以通过对比形式变化，可以得出：含有一个量词的命题的否定即是：量词改变，结论否定。
含有一个量词的命题的否定(整理)
“特称命题”是指含有“存在量词”的命题。
小结
含有一个量词的命题的否定 一般地，我们有：
“x M , p( x)”的否定为“ x M , p( x)” , “x M , p( x)”的否定为“ x M , p( x)”。
即“全称肯定”的否定是“特称否定” ，另外“全称否定”的定是“特称肯定”. 反过来也一样.
p:“所有的平行四边形是矩形” 假命题
¬p:“不是所有的平行四边形是矩形” 也就是说“存在至少一个平行四边形它不是矩形”
所以，¬p : “存在平行四边形不是矩形”真命题
情景二
对于下列命题：
想一想？
所有的人都喝水； 2 存在有理数，使 x 2 0； 对所有实数都有 | a | 0 。
命题（3）的否定为“并非对所 有的实数 a，都有 a 0” , 即“存在实数 a，使 a 0” .
探究
写出下列命题的否定
1)所有的矩形都是平行四边形； x M,p(x)
2)每一个素数都是奇数； 2 3)x R, x 2 x 1 0 否定:
2)存在一个素数不是奇数；
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
从形式看,特称命题的否定都变成了全称命题. 含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论
特称命题 p : x M,p(x) 它的否定
p : x M,p(x)
例2 写 出下列特称 命题 的否定： 1）p:x R,x2 +2x+3 0；
2）p:有的三角形是等边三角形；
含有存在量词的命题，叫做特称命题
复习回顾
判断全称命题和特称命题真假
要判定全称命题“ x∈M, p(x) ”是真命题，需要对集合M中 每个元素x, 证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0,使 得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题
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4 含量词命题的否定。
数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“ ”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。
那么它的否定又怎么样？
一般地，全称命题P：x A,有P（x）成立；其否定命题┓P为：x A,
使P（x）不成立。
存在性命题P：x A,使P（x）成立; 其否定命题┓P为：x A,有P（x）不成立。
用符号语言表示：
非（（x）p(x)）=( x)非p(x) 非(( x)p(x))=( x)非p(x)
在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。
即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.
例4 写出下列命题的否定。
（1）所有自然数的平方是正数。
（2）任何实数x都是方程5x-12=0的根。
（3）对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.
（4）有些质数是奇数。
解；（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。
（2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。
（3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。
（4）的否定：所有的质数都不是奇数。
但解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”。
在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。
例5 写出下列命题的否定。
（1）若x2＞4 则x＞2.。
（2）若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。
（3）可以被5整除的整数，末位是0.。
（4）被8整除的数能被4整除。
（5）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。
解（1）的否定：存在实数x0，虽然满足x02＞4但x0≤2.。
或者说：存在小于或等于2的数x0，满足x02＞4。
（完整表达为对任意的实数x,若x2＞4 则x＞2）
（2）的否定：虽然实数m≥0,但存在一个x0，使x02+ x0-m=0无实数根。
（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。
）
（3）的否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0.。
（4）的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)
（5）的否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。
（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它
的四条边中任何两条都相等。
）
由此看来，要准确表达含量词命题的否定，就要求我们掌握好一些词语的否定如下表：
词语是一定是都是大于小于且词语的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于或词语必有一个至少有n个至多有一个所有x成立所有x不成立词语的否定一个也没有至多有n-1个至少有两个存在一个x不成立存在有一个成立。