北师大版数学七年级上册4.5整式与规律探究专题训练

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七年级数学上册-难点探究：整式中的规律探究问题压轴题七种模型全攻略(解析版)

专题11难点探究专题：整式中的规律探究问题压轴题七种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一数字类规律探索之单项式问题】 (1)【类型二数字类规律探索之排列问题】 (3)【类型三数字类规律探索之末尾数字问题】 (6)【类型四数字类规律探索之新运算问题】 (8)【类型五数字类规律探索之等式问题】 (12)【类型六图形类规律探索之数字问题】 (17)【类型七图形类规律探索之数量问题】 (19)【典型例题】【类型一数字类规律探索之单项式问题】【变式训练】(1)这组单项式的系数依次为多少？系数的绝对值的规律是什么？(2)这组单项式的次数的规律是什么？(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n 个单项式是什么吗？(4)请你根据猜想，写出第2022个、第2023个单项式．【答案】(1)1,3,5,7,,37,39,--- ，系数的绝对值的规律是21n -(2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数(3)()(1)21n nn x--(4)第2022个单项式是20224043x ，第2023个单项式是20234045x -【分析】（1）根据单项式系数的含义进行求解，再观察其绝对值的规律即可；（2）观察次的变化，从而可求解；（3）结合（1）（2）进行分析即可；（4）根据（3）进行求解即可．【详解】（1）解：这组单项式的系数依次是1,3,5,7,,37,39,--- ，系数的绝对值为1,3,5,7,,37,39, ，是从1开始的奇数，∴系数的绝对值的规律是21n -．（2）解：这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数．（3）解：由（1）问得：符合规律是(1)n -，∵这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数，∴第n 个单项式是()(1)21n n n x --．（4）解：第2022个单项式是20224043x ，第2023个单项式是20234045x -．【点睛】本题主要考查找规律，能够通过观察题中的单项式找出规律是解题关键．【类型二数字类规律探索之排列问题】例题：（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）从3开始的连续奇数按右图的规律排列，其余位置数字均为0．（1）第5行第10列的数字是（2）数字2023在图中的第【答案】04525n-行的第【分析】（1）根据第21n-行第（2）观察数据发现第21【详解】解：（1）观察数据发现根据第【变式训练】1．（2023秋·全国·七年级专题练习）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，m的值A．86B．52C．38【答案】A即故选：A．【点睛】本题稍复杂，不但要考虑相邻两个图形中数字的变化规律，还要找出每个图形中四个数之间的规【类型三数字类规律探索之末尾数字问题】例题：（2022秋·江苏连云港·七年级校考阶段练习）观察下列算式：031=，133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，732187=…归纳各计算结果中个位数字的规律，可得20033的个位数字是（）A ．1B ．3C ．9D ．7【答案】D【分析】先由前面8个具体的计算归纳得到个位数每四次循环，再利用规律解题即可．【详解】解：031=，133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，732187=…，归纳可得：个位数每四次循环，∵()200314501+÷=，∴20033与33的个位数相同，是7；故选D【点睛】本题考查的是数字变化规律的探究，乘方的含义，掌握探究的方法并灵活应用规律解决问题是解题关键．【变式训练】【类型四数字类规律探索之新运算问题】例题：（2022·湖南株洲·统考二模）定义一种关于整数n 的“F ”运算：（1）当n 是奇数时，结果为35n +；（2）【变式训练】【类型五数字类规律探索之等式问题】【变式训练】1．（2023春·山东济南·七年级统考期中）已知1x ≠，观察下列等式；()()2111x x x -+=-；()()23111x x x x -++=-；()()234111x x x x x -+++=-；…(1)猜想：()()23111n x x x x x --++++⋅⋅⋅+=________；(2)应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：①()()234512122222-+++++=________；②()()202220212020211x x x x x x -+++⋅⋅⋅+++=________．(3)求10099982222221+++⋅⋅⋅+++的值是多少？【答案】(1)1nx -(2)①63-；②20231x -(3)10121-【分析】（1）根据所列等式所呈现的规律得出答案；（2）①利用（1）中得到的结论得出结果为612-即可；②将原式变为()()220202*********x x x x x x ++-+⋅⋅++-⋅+，再利用（1）中的结论即可得出结果；（3）将原式化为()()210012122...2--⨯++++，再利用（1）中得到的结论得出结果即可．【详解】（1）解：由已知条件可得：()()231111n n x x x x x x --++++⋅⋅⋅+=-；故答案为：1n x -；（2）①()()23456121222221263-+++++=-=-，②()()202220212020211x x x x x x -+++⋅⋅⋅+++，()()220202*********x x x x x x =+++⋅⋅⋅++--+，()20231x =--，20231x =-，故答案为：20231x -；（3）10099982222221+++⋅⋅⋅+++，()()210012122...2=--⨯++++，()10112=--，【类型六图形类规律探索之数字问题】例题：（2022秋·湖北黄冈·七年级校考阶段练习）如图，根据图形中数的规律，可推断出a的值为（）A．128B．216C．226D．240【答案】C【分析】根据图形得出右下角三角形中的数字等于左下角与中间三角形中数字的积再加2，然后计算即可．=⨯+，【详解】解：由图可得：2022=⨯+，10242=⨯+，2646250682=⨯+，即右下角三角形中的数字等于左下角与中间三角形中数字的积再加2，a=⨯+=，所以14162226故选：C．【点睛】本题考查了规律型—数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律，总结规律，运用规律．【变式训练】A ．450B ．463C ．465D ．526【答案】B 【分析】结合表格找出其中的规律，求出28165x =+=，8658528=⨯+=y ，再计算y x -即可．【详解】解：由表可得：2521=+，12252=⨯+；21741=+，724174=⨯+；23761=+，2286376=⨯+；∴28165x =+=，8658528=⨯+=y ；∴52865463y x -=-=．故选：B ．【点睛】本题考查数字规律题，解题的关键是找出其中的规律：28165x =+=，8658528=⨯+=y ．2.（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）根据图中数字的规律，若第n 个图中A B C D ++-的值为196，则n =（）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】C 【分析】通过观察可知，若第n 个图中A 位置上的数是1n +，B 位置上的数是2n ，C 位置上的数是n 1-，D 位置上的数是2n ，所以2A B C D n ++-=，带入数值求出即可．【详解】解：通过观察可知，若第n 个图中A 位置上的数是1n +，B 位置上的数是2n ，C 位置上的数是n 1-，D 位置上的数是2n ，所以()()22112A B C D n n n n n ++-=+++--=，当196A B C D ++-=时，2196n \=，n Q 是正整数，14n ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查了图形中有关数字的变化规律，能准确观察到相关规律是解决问题关键．3.（2022秋·河南周口·七年级校考期中）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，则第n （n 为正整数）个三角形中，用n 表示y 的式子为（）A ．21n +B ．2n n +C ．12n n ++D ．21n n ++【答案】B 【分析】由题意可得各三角形中下边第三个数是上边两个数字的和，而上边第一个数的数字规律为1，2，3，⋯，n ，第二个数的数字规律为：2，22，32，⋯，2n ，由此即可得到答案．【详解】解：由题意可得：三角形上边第一个数的数字规律为：1，2，3，⋯，n ，三角形上边第二个数的数字规律为：2，22，32，⋯，2n ，三角形下边的数的数字规律为：112123+=+=，224226+=+=，3383211+=+=，⋯，∴第n 个三角形中的数的规律为：2n y n =+，故选：B ．【点睛】本题考查了数字类规律探索，根据题意得出：第n 个三角形中的数的规律为：2n y n =+，是解题的关键．【类型七图形类规律探索之数量问题】(1)按图示规律完成下表：(3)搭第15个图形需要多少根火柴棒？【答案】(1)13，17，21(2)41n +(3)61【分析】（1）根据所给的图形进行分析即可得出结果；（2）由（1）进行总结即可；（3）根据（2）所得的式子进行解答即可．【详解】（1）解：第1个图形的火柴棒根数为：5，第2个图形的火柴棒根数为：954541=+=+⨯，第3个图形的火柴棒根数为：13544542=++=+⨯，第4个图形的火柴棒根数为：175444543=+++=+⨯，第5个图形的火柴棒根数为：2154444544=++++=+⨯，⋯⋯故答案为：13，17，21；（2）解：由（1）得：搭第n 个图形需要火柴棒根数为：54(1)41n n +-=+．答：第n 个图形需要火柴棒根数为：41n +；（3）解：当15n =时，41415161n +=⨯+=，所以搭第15个图形需要61根火柴棒．【点睛】本题主要考查规律型：图形的变化类，解答的关键是根据所给的图形分析出其规律．【变式训练】1．（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2023个图案中的“”的个数是（）A ．6074B ．6072C ．6070D ．6068【答案】C【分析】根据题意可得第n 个图案中的“”的个数为((31)n +个，即可求解．【详解】解：∵第1个图案中的“”的个数1314=⨯+=（个），第2个图案中的“”的个数2317=⨯+=（个），第3个图案中的“”的个数33110=⨯+=（个），…，第2023个图案中的“”的个数3202316070==⨯+（个），故选：C ．【点睛】本题考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律．2．（2023春·湖北武汉·七年级统考开学考试）如图，摆第一个图形需要4根火柴，摆第二个图形需要7根火柴，……，以此类推．那么摆第八个图形需要（）根火柴．A ．24B ．27C ．25D ．28【答案】C 【分析】根据给出的图形，得到第n 个图形需要()431n +-根火柴，进而求出第八个图形所需要的火柴数．【详解】解：由图可知，摆第一个图形需要4根火柴，摆第二个图形需要437+=根火柴，摆第三个图形需要43210+⨯=根火柴，L∴第n 个图形需要()431n +-根火柴，∴摆第八个图形需要()438125+⨯-=根火柴；故选C ．【点睛】本题考查图形类规律探究．解题的关键是得到第n 个图形需要()431n +-根火柴．3．（2023春·山东青岛·七年级统考期中）如图，某品牌自行车每节链条的长度为2.5cm ，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm ．（1）观察图形，填写如表；链条节数/x（节）2345…链条长度/y（cm） 4.2 5.97.6…（2）如果一辆自行车的链条（安装以后）共由60节链条组成，那么链条的总长度是(1)按此规律摆下去，第6个图案有多少个三角形即可求出第6个图案有多少个三角形；（2）由（1）中发现的规律，即可得出第n 个图案有多少个三角形；（3）将2022n =代入31n +即可求解．【详解】（1）第1个图案有4个三角形，即4311⨯＝＋第2个图案有7个三角形，即7321⨯＝＋第3个图案有10个三角形，即10331⨯＝＋第4个图案有13个三角形，即13341⨯＝＋第5个图案有16个三角形，即16351⨯＝＋第6个图案有19个三角形，即19361⨯＝＋（2）按此规律摆下去，第n 个图案有()31n +个三角形．（3）当2022n =时，316067n +=．答：第2022个图案有6067个三角形．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类以及列代数式，根据各图案所需三角形个数的变化，找出变化规律是解题的关键．。

北师大版七年级数学上册第三章《整式及其加减》练习题含答案解析 (31)

一、选择题1. 小明与小亮在操场上练习跑步，小明的速度是 x m/s ，小亮的速度是 y m/s ，小亮比小明跑得快，两人从同一地点同时起跑 a s 后，小明落后小亮 ( ) A ． (ax −ay ) m B ． (ay −ax ) m C ． (ax +ay ) mD ． axy m2. 小明用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：那么，当输入数据是 8 时，输出的数据是 ( )输入⋯12345⋯输出⋯3223512310730⋯ A ． 839B ． 738C ． 637D ． 5363. 如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是 ( )A ．B ．C．D．4.如图，在平面直角坐标系上有个点P(1,0)，点P第1次向上跳动1个单位至点P1(1,1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(−1,1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，⋯，依此规律跳动下去，点P第99次跳动至点P99的坐标是( )A．(26,50)B．(−26,50)C．(25,50)D．(−25,50)5.1883年，康托尔构造的这个分形，称做康托尔集，从长度为1的线段开始，康托尔取走其中间三分之一而达到第一阶段；然后从每人个余下的三分之一线段中取走中间三分之一而达到第二阶段，无限地重复这一过程，余下的无穷点就称做康托尔集，如图是康托尔集的最初几个阶段，当达到第5个阶段时，取走的所有线段的长度之和为( )A．13B．242243C．211243D．322436.如图，长方形ABCD中，AB=6，第1次平移将长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到长方形A2B2C2D2，⋯以此类推，第n次平移将长方形A n−1B n−1C n−1D n−1沿A n−1B n−1的方向向右平移5个单位，得到长方形A n B n C n D n(n>2)，则AB n长为( )A．5n+6B．5n+1C．5n+4D．5n+37.下列计算正确的是( )A．3a2+a=4a2B．−2(a−b)=−2a+bC．a2b−2a2b=−a2b D．5a−4a=18.下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小“三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，⋯⋯，按此规律，图形⑧中共有n个小三角形，这里的n=( )A．32B．41C．51D．539.为了解决老百姓看病难的问题，卫生部门决定大幅度降低药品价格，某种常用药品降价40%后的价格为a元，则降价前此药品的价格为( )A．52a元B．25a元C．53a元D．35a元10.将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形，⋯⋯，如此下去，则第2018个图中共有正方形的个数为( )A．2018B．2019C．6052D．6056二、填空题11.如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，⋯，则第n−1（n为正整数，n⋯2）个图案由个▲组成．12.下图（1）表示1张餐桌和6张椅子（每个小半圆代表1张椅子)，若按这种方式摆放20张餐桌需要的椅子张数是．13.有理数a，b，c，d在数轴上的位置如图，则∣a−b∣+∣b−c∣−∣d−a∣=．14.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A(1,1)，B(1,−1)，C(−1,−1)，D(−1,1)，y轴上有一点P(0,2)．作点P关于点A的对称点P1，作点P1关于点B的对称点P2，作点P2关于点C的对称点P3，作点P3关于点D的对称点P4，作点P4关于点A的对称点P5，作点P5关于点B的对称点P6,⋯⋯，按此操作下去，则P2020的坐标为．15.已知甲、乙为两把不同刻度的直尺，且同一把直尺上的刻度之间距离相等．小明将此两把直尺紧贴，并将两直尺上的刻度0彼此对准后，发现甲尺的刻度36会对准乙尺的刻度48．若将甲尺向右平移且平移过程中两把直尺维持紧贴，使得甲尺的刻度0对准乙尺的刻度m，则此时甲尺的刻度n会对准乙尺的刻度为．（用含m，n的式子表示）16.观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10个图形中共有个点．+(b+c)m−m2的值为．17.若a，b互为倒数，b，c互为相反数，m的绝对值为1．则abm三、解答题18.若在运动会颁奖台上面及两侧铺上地毯（如图阴影部分），长为m，宽为n，高为ℎ（单位为：cm）．(1) 用m，n，ℎ表示所需地毯的面积；(2) 若m=160，n=60，ℎ=75，求地毯的面积．19.如图所示，一块正方形纸板剪去四个相同的三角形后留下了阴影部分的图形．已知正方形的边长为a，三角形的高为ℎ．(1) 用式子表示阴影部分的面积；(2) 当a=2，ℎ=1时，求阴影部分的面积．220.阅读下面材料：在数轴上5与−2所对的两点之间的距离：∣5−(−2)∣=7；在数轴上−2与3所对的两点之间的距离：∣−2−3∣=5；在数轴上−8与−5所对的两点之间的距离：∣(−8)−(−5)∣=3．在数轴上点A，B分别表示数a，b，则A，B两点之间的距离AB=∣a−b∣=∣b−a∣．回答下列问题：(1) 数轴上表示−2和−5的两点之间的距离是；数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为；数轴上表示数和的两点之间的距离表示为∣x+2∣；(2) 七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子∣x+2∣+∣x−3∣进行探究：请你在草稿纸上画出数轴，当表示数x的点在−2与3之间移动时，∣x−3∣+∣x+2∣的值总是一个固定的值为：．21.学校操场上的环形跑道长400米，小胖、小杰的速度分别是a米/分，b米/分（其中a>b）．两人从同一地点同时出发，求：(1) 如果两人反向而行，则经过多长时间两人第一次相遇？(2) 如果两人同向而行，则经过多长时间两人第一次相遇？22.归纳．人们通过长期观察发现，如果早晨天空中有棉絮状的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学里，我们也常用这样的方法探求规律，例如：三角形有3个顶点，如果在它的内部再画n个点，并以(n+3)个点为顶点画三角形，那么最多以剪得多少个这样的三角形？为了解决这个问题，我们可以从n=1，n=2，n=3等具体的、简单的情形入手，探索最多可以剪得的三角形个数的变化规律．(1) 完成表格信息：，；(2) 通过观察、比较，可以发现：三角形内的点每增加1个，最多可以剪得的三角形增加个．于是，我们可以猜想：当三角形内的点的个数为n时，最多可以剪得个三角形．像这样通过对现象的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．在日常生活中，人们互相交谈时，常常有人在列举了一些现象后，说“这（即列举的现象）说明⋯⋯”其实这就是运用了归纳的方法．用归纳的方法得出的结论不一定正确，是否正确需要加以证实．(3) 请你尝试用归纳的方法探索（用表格呈现，并加以证实）：1+3+5+7+⋯+(2n−1)的和是多少？23.探索规律，观察下面由⋇组成的图案和算式，解答问题：1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52．⋯(1) 请猜想1+3+5+7+9+⋯+19=；(2) 请猜想1+3+5+7+9+⋯+(2n−1)+(2n+1)+(2n+3)=；(3) 请计算：101+103+⋯+197+199．24.在3×3的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”．如图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15．(1) 图2是显示部分代数式的“等和格”，可得a=（用含b的代数式表示）；(2) 图3是显示部分代数式的“等和格”，可得a=，b=；(3) 图4是显示部分代数式的“等和格”，求b的值（写出具体求解过程）．25.A，B两地果园分别有橘子40吨和60吨，C，D两地分别需要橘子30吨和70吨；已知从A，B到C，D的运价如表：到C地到D地A果园每吨15元每吨12元B果园每吨10元每吨9元(1) 若从A果园运到C地的橘子为x吨，则从A果园运到D地的橘子为吨，从A果园将橘子运往D地的运输费用为元．(2) 用含x的式子表示出总运输费（要求：列式，化简）．(3) 求总运输费用的最大值和最小值．(4) 若这批橘子在C地和D地进行再加工，经测算，全部橘子加工完毕后总成本为w元，且w=−(x−25)2+4360．则当x=时，w有最值（填“大”或“小”）．这个值是．答案一、选择题 1. 【答案】B【知识点】简单列代数式2. 【答案】D【解析】 ∵ 第 n 个数据的规律是：n+2n (n+1)，故 n =8 时为：8+28×9=1072=536．【知识点】用代数式表示规律3. 【答案】C【解析】由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为 10，符合此要求的只有C ．【知识点】用代数式表示规律4. 【答案】D【知识点】点的平移、用代数式表示规律5. 【答案】C【解析】根据题意知：第一阶段时，余下的线段的长度之和为 23，第二阶段时，余下的线段的长度之和为 23×23=(23)2，第三阶段时，余下的线段的长度之和为 23×23×23=(23)3， ⋯，以此类推，当达到第五个阶段时，余下的线段的长度之和为 (23)5=32243，取走的线段的长度之和为 1−32243=211243．【知识点】用代数式表示规律6. 【答案】A【解析】每次平移 5 个单位，n 次平移 5n 个单位，即 BN 的长为 5n ，加上 AB 的长即为 AB n 的长，AB n =5n +AB =5n +6．【知识点】用代数式表示规律7. 【答案】C【解析】3a2，a不是同类项，不能合并，故A错误；−2(a−b)=−2a+2b，故B错误；a2b−2a2b=−a2b，故C正确；5a−4a=a，故D错误，故选：C．【知识点】合并同类项、去括号8. 【答案】C【解析】设第m个图形中有a m（m为正整数）个小三角形．观察图形，可知：a1=1+1=2，a2=(1+2)+3=6，a3=(1+2+3)+5=11，a4= (1+2+3+4)+7=17，⋯，∴a m=(1+2+⋯+m)+2m−1=m(m+1)2+2m−1=12m2+52m−1(m为正整数),∴n=a8=12×82+52×8−1=51．【知识点】用代数式表示规律9. 【答案】C【知识点】用字母表示数10. 【答案】C【解析】第1个图形有正方形1个，第2个图形有正方形4个，第3个图形有正方形7个，第4个图形有正方形11个，⋯，第n个图形有正方形(3n−2)个，当n=2018时，3×2018−2=6052个正方形．【知识点】用代数式表示规律二、填空题11. 【答案】(3n−2)【解析】观察发现：第一个图形有3×2−3+1=4个三角形；第二个图形有3×3−3+1=7个三角形；第一个图形有3×4−3+1=10个三角形；⋯第n−1个图形有3n−3+1=3n−2个三角形．【知识点】用代数式表示规律12. 【答案】82【知识点】用代数式表示规律13. 【答案】c+d−2b【解析】根据数轴右侧的数大于左侧的数，则右侧数减去左侧数为正，去掉绝对值，∵a−b>0，b−c<0，d−a<0，∴∣a−b∣=a−b，∣b−c∣=−(b−c)，∣d−a∣=−(d−a)，故∣a−b∣+∣b−c∣−∣d−a∣=a−b−(b−c)+(d−a)=a−b−b+c+d−a=c+d−2b.【知识点】整式的加减运算、绝对值的几何意义14. 【答案】(0,2)【解析】∵点P坐标为(0,2)，点A坐标为(1,1)，∴点P关于点A的对称点P1的坐标为(2,0)，点P1关于点B(1,−1)的对称点P2的坐标(0,−2)，点P2关于点C(−1,−1)的对称点P3的坐标为(−2,0)，点P3关于点D(−1,1)的对称点P4的坐标为(0,2)，即点P4与点P重合了；∵2020÷4=505，∴点P2020的坐标与点P4的坐标相同，∴点P2020的坐标为(0,2)．【知识点】坐标平面内图形轴对称变换n＋m15. 【答案】43【知识点】简单列代数式16. 【答案】165【解析】第一个图形有3=3×1=3个点，第二个图形有3+6=3×(1+2)=9个点（在第一个图形的基础上，外面又包了一个三角形，三个顶点，在三边上多了三个点）；第三个图形有3+6+9=3×(1+2+3)=18个点；（在第二个图形基础上，外面又包了一个三角形，在三边上多了三个点，即：在第一图形的基础上多了两个三角形，从里向外，依次多6个点，9个点，包括增加的三角形的顶点）⋯第n个图形有3+6+9+⋯+3n=3×(1+2+3+⋯+n)=3n(n+1)个点；2=165个点，当n=10时，3×10×112故答案为：165．【知识点】用代数式表示规律17. 【答案】0或−2【解析】ab=1，c+d=0．∣m∣=1．−1=0或−2．原式=1m【知识点】简单的代数式求值三、解答题18. 【答案】(1) 地毯的面积为：(mn+2nℎ)cm2．(2) 地毯总长：60×2+160=280(cm)，160×60+2×60×75=18600(cm2)，答：地毯的面积为18600cm2．【知识点】简单的代数式求值、简单列代数式19. 【答案】aℎ=a2−2aℎ．(1) 阴影部分的面积为：a2−4×12时，(2) 当a=2，ℎ=12原式=a2−2aℎ=22−2×2×12=2.【知识点】简单列代数式、简单的代数式求值20. 【答案】(1) 3；∣x−3∣；x；−2(2) 5【解析】(1) 数轴上表示−2和−5的两点之间的距离=∣−2−(−5)∣=3；数轴上表示数x和3的两点之间的距离=∣x−3∣；数轴上表示数x和−2的两点之间的距离表示为∣x+2∣．(2) 当−2≤x≤3时，∣x+2∣+∣x−3∣=x+2+3−x=5．【知识点】绝对值的几何意义、整式的加减运算、数轴的概念21. 【答案】(1) 400a+b分钟．(2) 400a−b分钟．【知识点】简单列代数式22. 【答案】(1) 5；7(2) 2；(2n+1)(3)加数的个数和1+3221+3+5321+3+5+742⋯⋯1+3+5+7+⋯+(2n−1)n2证明：∵S=1+3+5+7+⋯+(2n−5)+(2n−3)+(2n−1)，∴S=(2n−1)+(2n−3)+(2n−5)+⋯+7+5+3+1，∴S+S=2n⋅n=2n2，2S=2n2，S=n2．【解析】(1) 由图形规律可得，答案为5，7．(2) ∵5−3=7−5=2，∴三角形内的点每增加1个，最多可以剪得的三角形增加2个；∵三角形内点的个数为1时，最多剪出的小三角形个数3=2×1+1，三角形内点的个数为2时，最多剪出的小三角形个数5=2×2+1，三角形内点的个数为3时，最多剪出的小三角形个数7=2×3+1，∴三角形内点的个数为n时，最多剪出的小三角形个数2n+1．【知识点】用代数式表示规律、整式的加减运算23. 【答案】(1) 100(2) (n+2)2(3)101+103+⋯+197+199 =(1+1992)2−(1+992)2=10000−2500=7500.【解析】(1) 1+3+5+7+9+⋯+19=(1+192)2=100．(2)1+3+5+7+9+⋯+(2n−1)+(2n+1)+(2n+3) =(1+2n+32)2=(n+2)2.【知识点】用代数式表示规律24. 【答案】(1) −b(2) −2；2(3) 2a2+a+(a−2a2)=a2+2a+(a+3)，a2+a=−3，2a2+a+(a+3)=b+3a2+2a+(a2+2a)，b=−2a2−2a+3，b=−2(a2+a)+3=6+3=9．【知识点】整式的加减运算25. 【答案】(1) (40−x)，12(40−x)．(2) 从A果园运到C地x吨，运费为每吨15元；从A果园运到D地的橘子为(40−x)吨，运费为每吨12元；从B果园运到C地(30−x)吨，运费为每吨10元；从B果园运到D地(30+x)吨，运费为每吨9元；所以总运费为：15x+12(40−x)+10(30−x)+9(30+x)=2x+1050．(3) 因为总运费=2x+1050，当x=30时，有最大值2×30+1050=1110元．当x=0时，有最小值2×0+1050=1050元．(4) 25大4360【解析】(1) 因为从A果园运到C地的橘子是x吨，那么从A果园运到D地的橘子为(40−x)吨，从A运到D地的运费是12元每吨，所以A果园将橘子运往D地的运输费用为12(40−x)吨．(4) w=−(x−25)2+4360，因为二次项系数−1<0，所以抛物线开口向下，当x=25时，w有最大值．最大值时4360．【知识点】二次函数的最值、简单的代数式求值、整式加减的应用、简单列代数式。

北师大版七年级数学上册《整式》综合练习(含答案)

3.3 整式一、选择题1．下列说法中正确的是（）A ．单项式x 的系数和次数都是零B ．343x 是7次单项式C ．25R π的系数是5D ．0是单项式2．下列说法中正确的是（）A ．12323+-x x 是五次三项式B ．nm 232-是二次二项式 C ．4232--x x D ．3222+-x x 中一次项系数为－23．将多项式a a a -++-132按字母a 升幂排列正确的是（）A ．123+--a a aB ．132++--a a aC ．a a a --+231D ．321a a a +--4．下列式子中属于二次三项式的是（）A ．2x 2+3；B ．-x 2+3x-1；C ．x 3+2x 2+3；D ．x 4-x 2+1．5．多项式-6y 3+4xy 2-x 2+3x 3y 是按（）排列．A ．x 的升幂；B ．x 的降幂；C ．y 的升幂；D ．y 的降幂．6．同时都含有a 、b 、c ，且系数1的7次单项式共有（）A ．4个B ．12个C ．15个D ．25个二、填空题1．代数式①13-a ，②0，③n m 1+，④322b a +，⑤23xy ，⑥m 1中单项式有______；多项式有_______（填序号）．2．553c ab -是_______次单项式，系数是_______． 3．3333224--+-b ab b a a 是______次_______项式，它的项分别是_______，常数项是______．4．把多项式x x x x 213212324--+-按x 的降幂排列为_______．5．把多项式n m n n m 223223---按n 的升幂排列为_________．6．关于m 的多项式1611-+--+n n n m am m 是三次三项式，则______=a ，_____=n 7．c b a m 123+是六次单项式，则._____=m三、解答题1．对于多项式24223.1433xy y x x +--，分别回答下列问题： (1)是几项式；(2)写出它的各项；(3)写出它的最高次项；(4)写出最高次项的次数；(5)写出多项式的次数；(6)写出常数项．2．将多项式2244433314y x y y x xy y x -++-先按x 的降幂排列，再按y 的升幂排列，并指出它是几次几项式，常数项和最高次项系数各是多少？3．写出系数是3，均含有字母a 、b 的所有五次单项式．4．补入下列多项式的缺项，并按字母x 降幂排列（1）53-+-x x （3）5322x x x --+5．一个关于a 、b 的多项式，除常数项为1-外，其余各项的次数都是3，系数都为1-，并且各项都不相同，这个多项式最多有几项？请将这个多项式写出来．并先将它按字母a 降幂排列，再把它按字母b 升幂排列．6．下列关于x 、y 的多项式是一个四次三项式，试确定m 、n 的值，并指出这个多项式是按哪一个字母的升幂还是降幂排列的．243221)3(2y x y nx y x m y x m m m m m ----+--++-7．（1）将)(b a -看成一个字母，把代数式)(2)(2)(32b a b a b a -+-----按字母“b a -”降幂排列，若设b a x -=，将上述代数式改写成关于x 的多项式．（2）已知2+=b a ，先求x ，并求出上述代数式的值．参考答案选择题1．D 2．D 3．D 4．B 5．A 6．C 填空题1．②、⑤；①、④； 2．九、51- 3．四、五、4a 、b a 23-、23ab 、3b -、－3、－3 4．121232234--+-x x x x 5．322223n m n n m --- 6．0，2 7．2解答题 1．（1）四项式；（2）2422,3.1,43,3xy y x x -- （3）y x 443- （4）次；（5）5次；（6）-1.32．4422334431y xy y x y x y x +--+， 4433224431xy y y x y x y x +++-，是六次五项式，常数项为0，最高次项系数为1； 3． 53a ，b a 43，233b a ，323b a ，43ab ，53b ．4．（1）5023--⋅+x x x ，（2）2002345+⋅++-⋅+-x x x x x5．五项，13223-----b ab b a a ，32231b ab b a a -----； 6．411=+-m ∴4=m 代入多项式为22232y y nx y x y x +--+ 又∵这个多项式为四次三项式∴022=--y nx y x ∴1-=n ，是按y 的升幂排列7．（1）2)(2)()(23--+----b a b a b a ，2223-+--x x x（2）∵2+=b a ∴2=-b a ，即2=x ，原式=102)2(22223-=-+⨯+--。

北师大版七年级数学上册《探索与表达规律》专项练习(含答案)

试题汇编——找规律1、如图所示，观察小圆圈的摆放规律，第一个图中有5个小圆圈，第二个图中有8个小圆圈，第100个图中有__________个小圆圈．（1）（2）（3）2、找规律．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，则第4幅图中有个菱形,第n 幅图中有个菱形．3、用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需棋子枚（用含n 的代数式表示）.4、观察表一，寻找规律．表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中a 、b 、c 的值分别为______________．5、如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面．如果铺成一个22⨯的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个33⨯的正方形1 2 3 n … … 第1个图第2个图第3个图…图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个44⨯的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．若这样铺成一个1010⨯的正方形图案，则其中完整的圆共有个．6、如下图,用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n 个图案需要用白色棋子枚（用含有n 的代数式表示，并写成最简形式）.○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ● ● ○ ○ ● ● ● ○○ ● ○ ○ ● ● ○ ○ ● ● ● ○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ● ● ● ○○ ○ ○ ○ ○7、用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第334个图形需根火柴棒。

8、将正整数按如图5所示的规律排列下去，若有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17的有序实数对是．9、如图 2 ，用n 表示等边三角形边上的小圆圈，f(n)表示这个三角形中小圆圈的总数，那么f(n)和n 的关系是第一排第二排第三排第四排 6 ┅┅ 10 9 87 32 15 410、观察图4的三角形数阵，则第50行的最后一个数是（）1-2 3-4 5 -67 -8 9 -10。

部编数学七年级上册专题05与整式有关的规律探究问题之六大题型(解析版)含答案

专题05 与整式有关的规律探究问题之六大题型单项式规律题例题：（2023下·云南玉溪·七年级统考期末）按一定规律排列的单项式：3579112,4,8,16,32,64x x x x x x ×××，第n 个单项式是（）A ．()211n n x -+B ．212n n x -C ．221n n x +D ．212n nx +【答案】B【分析】找出给出的一列单项式的系数和次数的规律即可解答.【详解】解：因为给出的一列单项式的系数分别是1234522,42,82,162,322=====L ，次数的规律是从1开始的连续的奇数，所以第n 个单项式是212n n x -.故选：B .【点睛】本题考查了单项式的规律探寻，根据给出的单项式找出系数和次数的规律是解题的关键.【变式训练】1．（2023下·云南昭通·八年级统考期末）一列单项式按以下规律排列：x ，23x -，25x ，7x -，29x ，211x -，13x ，L ，则第2023个单项式是（）A ．4045xB ．24045x -C ．24045x D ．4045x-【答案】A【分析】根据规律，系数是从1开始的连续奇数且第偶数个是负数，第奇数个是正数，x 的指数是3个循还一次，且分别是1，2，2，然后求解即可．【详解】解：根据x ，23x -，25x ，7x -，29x ，211x -，13x ，L ，所以系数是从1开始的连续奇数且第偶数个是负数，第奇数个是正数，有理数中分数的规律问题【变式训练】有理数的运算末位数字问题∴20233的末位数字为：7故选：C【点睛】此题考查了数字类变化规律，根据题意得到规律是解题的关键．【变式训练】有理数的新运算规律问题【变式训练】有理数中分数运算的规律问题【变式训练】图形类规律探究问题(1)数一数，完成下列表格．直线的条数2345【变式训练】1．（2023上·河北邢台·七年级统考期末）下面各图均由边长相同的正方形按一定规律拼接而成，请你观察、分析并解决下列问题：(1)第5个图中的正方形的个数是______；(2)求第n 个图中正方形的个数．【答案】(1)16(2)31n +【分析】（1）第1个图中正方形的个数是：3311=´+，第2个图中正方形的个数是：7321=´+，第3个图中正方形的个数是：10331=´+，则第n 个图中正方形的个数是：31n +，即可得；（2）由（1）即可得．【详解】（1）解：第1个图中正方形的个数是：3311=´+，第2个图中正方形的个数是：7321=´+，第3个图中正方形的个数是：10331=´+，…则第n 个图中正方形的个数是：31n +，即第5个图中的正方形的个数是：35116´+=，故答案为：16；（2）解：由（1）得，第n 个图中正方形的个数是31n +．(1)填写下表：三角形个数12345…故答案为：()21n +；（3）不存在三角形的个数是x 由2022根火柴棒拼成．理由如下：由（2）得出的规律可得：212022x +=，解得1010.5x =，∵火柴棒根数x 为正整数，∴1010.5x =不合题意，舍去，∴不存在三角形的个数是x 由2022根火柴棒拼成．【点睛】本题考查了图形类的变化规律，关键是通过观察图形，得出火柴棒数与三角形个数之间的规律．一、单选题A．63个B．87个C．91个【答案】D【分析】根据所给图形得到后面图形比前面图形多的“树枝”的个数用底数为而可得出答案.A．4044B．4046C．6069【答案】D二、填空题【答案】6068【分析】先根据题中的图形进行研究，分析出图形规律即可作答．【详解】解：第一个图的十字星是2个；(1)第四次裁剪后，得到的最小图形的面积占大正方形面积的______．(2)请你利用（1）中的结论，求下列各式的值：①23202211112222+++×××+=5112347解得78n =，答：需78张餐桌拼成一张大餐桌；（3）如图：由（1）同理可知，n 张桌子共坐()42n +人，42240n +=，解得59.5n =，n 是正整数，6078n =<，答：最少要用60张餐桌．【点睛】本题考查了数据规律的探究与实际应用；解题的关键是从题意观察、发现数据规律．。

七年级数学上册第三章整式及其加减 5 探索与表达规律典型例题素材北师大版(2021学年)

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《探索与表达规律》典型例题例1 观察下列数表:1 2 3 4 ……第一行2 3 4 5 ……第二行3 ４ 5 6 ……第三行4 5 6 ７……第四行第第第第一二三四列列列列根据数表所反映的规律，猜想第六行第六列的交叉点上的数是多少?第n行第n列交叉点上的数是多少？例2 用含n(n为自然数）的等式表示你对下列等式隐含的规律性的估计:13=１１３+23=９13+２3＋33=3613＋23+33＋４３=1０0…………例３计算：1＋2－3-４+５+6-７-8+9＋１0－1１－12＋…+１993＋1994－１9９5-1９96＋１９97.例4 (江西省中考题)如图用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案:(1)第4个图案中有白色地面砖＿_____＿＿＿＿块；（2)第n 个图案中有白色地面砖________＿＿块．例5 下表为杨辉三角系数表,它的作用是指导读者按规律写出形如n b a )(+(其中n 为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出4)(b a +展开式中所缺的系数.b a b a +=+)(2222)(b ab a b a ++=+3223333)(b ab b a a b a +++=+则432234446____)(b ab b a b a a b a ++++=+例6 （广西中考试题）阅读下列一段话，并解决后面的问题．观察下面一列数：1，2，４,8，……我们发现,这一列数从第2项起,每一项与它前一项的比都等于２.一般地,如果一列数从第2项起,每一项与它前一项的比都等于同一个常数,这一列数就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比.(１)等比数列5,－１5,４5，……的第4项是＿＿_____＿；（2)如果一列数4321,,,a a a a ，……是等比数列，且公比为ｑ,那么根据上述的规定，有q a a q a a q a a ===342312,,，…… 所以 q a a 12=，21123)(q a q q a q a a ===，312134)(q a q q a q a a ===，…….______ n a （用1a 与q 的代数式表示）(３）一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.参考答案例１分析:从左上角到右下角数的排列是1,3，5,7…,所以,第六行第六列的交叉点上的数是11,第n 行第n 列交叉点上的数是12-n .解：第六行第六列的交叉点上的数是11,第ｎ行第ｎ列交叉点上的数是12-n .说明:一个偶数可以写成2n 形式，一个奇数可以写成12-n 形式,其中ｎ是整数．例2 分析:等号右边分别是12，32,6２,1０2，…,由1＋2＝３，1+２+3＝6猜想左边各底数之和，恰为右边写为幂的形式后的底数,而第四个等式恰与此猜想相符。

(常考题)北师大版初中数学七年级数学上册第三单元《整式及其运算》测试题(包含答案解析)(4)

一、选择题1．如图①是1个小正方体木块水平摆放而成，图②是由6个小正方体木块叠放而成，图③是由15个小正方体木块叠放而成，……，按照这样的规律继续叠放下去，第⑥个叠放的图形中，小正方体木块总个数是（）A ．61B ．66C ．91D ．1202．下列图形都是由同样大小的笑脸按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个笑脸，第②个图形一共有8个笑脸，第③个图形一共有18 个笑脸…按此规律，则第⑥个图形中笑脸的个数为（）A ．98B ．72C ．50D ．36 3．已知|a|＝2，b 2＝25，且ab ＞0，则a ﹣b 的值为（）A ．7B ．﹣3C ．3D ．3或﹣34．如图，将一个边长为m 的正方形纸片剪去两个小长方形，得到一个类似“9”的图案，再将剪下的两个小长方形无缝隙地拼成一个新的长方形，则新长方形的周长可表示为（）A ．59m n -B ．5.58m n -C ．45m n -D ．58m n -5．已知3a b +=，2c d -=，则()()a c b d +--+的值是（） A ．5 B ．5- C ．1 D ．1- 6．一个正方形的边长减少10%，则它的面积减少（）A ．19%B ．20%C ．1%D ．10%7．下列运算正确的是（） A ．2232x x -= B ．()a b c a b c --+=--- C ．1(3)232-÷⨯=- D ．11n =8．已知代数式2366x x -+的值为9，则代数式226x x -+的值为（） A ．18B ．12C ．9D ．79．小张在做数学题时，发现了下面有趣的结果321-=87654+--=1514131211109++---=242322212019181716+++----= ……根据以上规律可知，第20行左起第一个数是（） A ．360B ．339C ．440D ．48310．若代数式()()2226231x ax bx x ++---(,a b 为常数)的值与字母x 的取值无关，则代数式2+a b 的值为（） A ．0B ．1-C ．2或2-D ．611．下列各选项中的两个单项式，是同类项的是（） A ．3和2B ．2a -和25-C ．215a b -和212ab D ．2ab 和2xy12．若327x y 和3211-m x y 的和是单项式，则代数式1224-m 的值是（） A ．3-B ．4-C ．5-D ．12-二、填空题13．下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为______，第2021个图形的周长为______．14．若35a x y 与310.2b x y --的和仍是单项式，则a =____，b =____．15．观察后面的一列单项式：23446;810;,;x x x x --…根据你发现的规律，第10个单项式为___________． 16．已知，1231111,,,,1212312341234(1)n a a a a n n ===⋯=++++++++++⋯+++，12,n n S a a a =++⋯⋯+则2020S =_____．17．当1x =-时，代数式21x +=________．18．如图，是一个运算的流程图，输入正整数x 的值，按流程图进行操作并输出y 的值．例如，若输入x ＝10，则第一次输出y ＝5．若输入某数x 后，第二次输出y ＝3，则输入的x 的值为_________．19．计算：－2x 2＋3x 2＝__________；20．如表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2018个格子中的数为________． 3abc-52 …三、解答题21．先化简再求值：2（x 2y +xy ）﹣3（x 2y ﹣xy ）﹣4x 2y ，其中x ＝1，y ＝﹣1． 22．先化简，再求值：()()2222522225a ab baab b -+--+，其中2, 1.a b ==-23．如图，有理数a ，b ，c 在数轴上的位置大致如下：（1）去绝对值符号：|a －c |＝，| b －a |＝；（2）化简：|c －b |－|b －a |－|a ＋c |． 24．综合与探究某餐厅中1张餐桌可坐6人，如果把多张桌子摆在一起，可以有以下两种摆放方式．（1）当有4张桌子时，第一种摆放方式能坐______人，第二种摆放方式能坐人；（2）当有n 张桌子时，第一种摆放方式能坐______人，第二种摆放方式能坐______人；（3）该餐厅有30张这样的长方形桌子，按方式一每3张拼成一张大桌子，则30张桌子可拼成10张大桌子，共可坐______人？按方式二呢？（4）一天中午，该餐厅来了98名顾客共同就餐客（即桌子要摆在一起），但餐厅中只有25张这样的长方形桌子可用，若你是这家餐厅的经理，你打算选用哪种方式来摆餐桌呢？ 25．观察下面的三行单项式x ，2x 2，4x 3，8x 4，16x 5…① 2x ，﹣4x 2，8x 3，﹣16x 4，32x 5…② 3x ，5x 2，9x 3，17x 4，33x 5…③ 根据你发现的规律，完成以下各题：（1）第①行第7个单项式为；第②行第7个单项式为．（2）第③行第n 个单项式为．（3）取每行的第10个单项式，令这三个单项式的和为A ．计算当x ＝12时，256[3A ﹣2（A+14）]的值． 26．如图是一个长方体纸盒的平面展开图，已知纸盒中相对两个面上的数互为相反数．（1）填空：a =________，b =________，c =________．（2）先化简，再求值：()22253234a b a b abc a b abc ⎡⎤---+⎣⎦【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】观察所给的前三个图形，把正方体木块的总个数按层数拆分找出规律，解决问题．【详解】观察前三个图形发现第①个图形是1个正方体木块水平摆放而成，图②是1+5个正方体木块叠放而成，图③是1+5+9个正方体木块叠放而成，由此得到第⑥个图形是1+5+9+13+17+21个正方体木块叠放而成的，而1+5+9+13+17+21=66．故选：B ．【点睛】此题考查观察发现规律及运用规律的能力，其关键是要结合图形，对前几个图形中的正方体木块的总个数进行拆分．2．B解析：B 【分析】先根据题意求找出其中的规律，即可求出第⑥个图形中笑脸的个数．【详解】解：第①个图形一共有2个笑脸，第②个图形一共有：2+（3×2）=8个笑脸，第③个图形一共有8+（5×2）=18个笑脸，……第n个图形一共有：1×2+3×2+5×2+7×2+…+2（2n-1）=2[1+3+5+…+（2n-1）]，=[1+（2n-1）]×n=2n2，则第⑥个图形一共有：2×62=72个笑脸；故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形变化类，把图形分成三部分进行考虑，并找出第n个图形的个数的表达式是解题的关键．3．D解析：D【分析】根据绝对值，乘方的意义求出a、b的值，再代入计算即可．【详解】解：因为|a|＝2，所以a＝±2，因为b2＝25，所以b＝±5，又因为ab＞0，所以a、b同号，所以a＝2，b＝5，或a＝﹣2，b＝﹣5，当a＝2，b＝5时，a﹣b＝2﹣5＝﹣3，当a＝﹣2，b＝﹣5时，a﹣b＝﹣2﹣（﹣5）＝3，因此a﹣b的值为3或﹣3，故选：D．【点睛】本题主要考查了绝对值的性质和代数式求值，准确计算是解题的关键．4．A解析：A【分析】根据图形给出的已知条件列出算式，进行整式加减即可得结论．【详解】解：由图可得，新长方形的长为()(2)23m n m n m n -+-=-，宽为113(3)222m n m n -=-，则新长方形的周长为13592322592222m n m n m n m n ⎫⎫⎛⎛-+-⨯=-⨯=- ⎪⎪⎝⎝⎭⎭．故选A ．【点睛】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是观察图形正确列出算式．5．A解析：A 【分析】先把()()a c b d +--+变形为()()a b c d ++-，然后再整体代入即可．【详解】解：∵3a b +=，2c d -=， ∴()()a c b d +--+ =()()a b c d ++- =3+2 =5．故选：A ．【点睛】本题主要考查了代数式求值，解答此题的关键是灵活运用整体代入法．6．A解析：A 【分析】正方形的面积＝边长×边长，设原来正方形的边长为a ，则现在的正方形的边长为（1－10%）a ，代入公式即可求解．【详解】解：设原来正方形的边长为a ，则现在的正方形的边长为（1－10%）a ，（1－10%）a×（1－10%）a ＝0.81a 2，（a 2－0.81a 2）÷a 2×100% ＝0.19 a 2÷a 2×100% ＝19% 故选：A 【点睛】本题主要考查了列代数式和整式的加减运算．通过设原边长为a ，根据已知条件求出原面积及边长减少10%后的面积是完成本题的关键．7．D解析：D【分析】根据合并同类项法则，去括号法则，有理数的混合运算法则以及有理数的乘方运算法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、22223(31)2x x x x -=-=，故本选项计算错误，不符合题意；B 、()+a b c a b c --+=--，故本选项错误，不符合题意；C 、1113(3)23=2224-÷⨯=-⨯⨯-，故本选项错误，不符合题意； D 、11n =，故本选项正确，符合题意．故选D ．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，去括号法则，合并同类项法则，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．8．D解析：D 【分析】将x 2﹣2x 当成一个整体，在第一个代数式中可求得x 2﹣2x ＝1，将其代入后面的代数式即能求得结果．【详解】解：∵3x 2﹣6x +6＝9，即3（x 2﹣2x ）＝3， ∴x 2﹣2x ＝1， ∴x 2﹣2x +6＝1+6＝7．故选：D ．【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是将x 2﹣2x 当成一个整体来对待．9．C解析：C 【分析】根据左起第一个数3，8，15，24的变化规律，得出第n 行的左起第一个数为2(11)n +-，由此即可求出第20行的左起第一个数．【详解】根据题意可知，每行的左起第一个数依次为：2321=-， 2831=-， 21541=-， 22451=-，第n 行的左起第一个数为2(11)n +-．∴第20行的左起第一个数为2(201)1440+-=．故选：C ．【点睛】本题考查数字的变化规律．根据题意找到规律并利用规律解决问题是关键．10．B解析：B 【分析】利用去括号、合并同类项法则化简代数式，得到()()22237b x a x -+++，根据代数式()()2226231xax bx x ++---(,a b 为常数)的值与字母x 的取值无关可得220b -=，30a +=，求出a 和b 的值即可．【详解】解：()()2226231x ax bx x ++---2226231x ax bx x ++-++= ()()22237b x a x -+++=，∵代数式()()2226231x ax bx x ++---(,a b 为常数)的值与字母x 的取值无关， ∴220b -=，30a +=， ∴1b =，3a =-， ∴2321a b +=-+=-，故选：B ．【点睛】本题考查整式的加减—字母无关型，掌握去括号、合并同类项法则是解题的关键．11．A解析：A 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数相同即可判断．两个常数也是同类项．【详解】解：A. 3和2是常数，是同类项，故A 正确；B. 2a -和25-所含字母不同，故不是同类项，故B 错误；C.215a b -和212ab 相同字母的指数不同，故不是同类项，故C 错误； D. 2ab 和2xy 所含字母不同，故不是同类项，故D 错误．故选：A ．【点睛】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．要注意，两个常数是同类项．12．D解析：D【分析】根据单项式的和是单项式，可得同类项，根据同类项的意义，可得答案．【详解】由题意，得3m＝3，解得m＝1，12m−24＝12-24=-12.故选：D．【点睛】本题考查了合并同类项，利用单项式的和是单项式得出同类项是解题关键．二、填空题13．86065【分析】把图形的周长分解成上下边和左右边之和注意表达式中数字个数与序号的关系找到规律求解即可【详解】第1个图形的周长为：1+1+2+1；第2个图形的周长为：1+1+1+2+2+1；第3个图解析：8， 6065．【分析】把图形的周长分解成上下边和左右边之和，注意表达式中数字个数与序号的关系，找到规律求解即可．【详解】第1个图形的周长为：1+1+2+1；第2个图形的周长为：1+1+1+2+2+1；第3个图形的周长为：1+1+1+1+2+2+2+1；由此得到第n个图形的周长为：1111+222+1 n n+++++++个个=3n+2，当n=2时，3n+2=8；当n=2021时，3n+2=3×2021+2=6065；故答案为：8，6065．【点睛】本题考查了图形中数字的规律探索，创新思维视角，探寻合理的解题方法找规律是解题的关键．14．4【分析】由和仍是单项式可知它们是同类项所以根据同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也相同可得出a 和b 的值继而代入可得出答案【详解】解：因为单项式与的和仍是单项式所以单项式与是同类项所以a=3b=解析：4 【分析】由和仍是单项式可知它们是同类项，所以根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出a 和b 的值，继而代入可得出答案．【详解】解：因为单项式35a x y 与310.2b x y--的和仍是单项式，所以单项式35a x y 与310.2b x y --是同类项，所以a=3，b=4，故答案为：3，4．【点睛】本题考查合并同类项，熟记同类项的定义是解答本题的关键，注意只有同类项才能合并．15．【分析】把单项式的系数的绝对值系数的符号指数分别与单项式出现的序号建立起联系寻找出其中的规律即可【详解】仔细观察发现奇数项为正偶数项为负可用表示；系数的绝对值依次为4=2×（1+1）6=2×（2+1解析：1022x -．【分析】把单项式的系数的绝对值，系数的符号，指数分别与单项式出现的序号建立起联系，寻找出其中的规律即可．【详解】仔细观察，发现奇数项为正，偶数项为负，可用n 1(-1)+表示；系数的绝对值依次为4=2×（1+1），6=2×（2+1），8=2×（3+1），10=2×（4+1），第n 个单项式的系数为2×（n+1）；指数依次为1，2，3，4，第n 个单项式的指数为n ；所以第n 个单项式为n 1(-1)+×2×（n+1）n x ，所以当n=10时，单项式为n 1(-1)+×2×1110x =1022x -．故答案为：1022x -．【点睛】本题考查了单项式中的规律探究，熟练将单项式的系数，指数与单项式的序号建立起正确的关系是解题的关键．16．【分析】根据将其转化为然后得到然后再计算即可【详解】解：∵∴∴∴故答案是：【点睛】本题考查了数字类的规律探索熟悉相关性质能对数据进行推理分析是解题的关键解析：10101011．【分析】根据11234(1)n a nn 将其转化为11212na n n，然后得到122nnn S a a a n，然后再计算2020S 即可．【详解】解：∵111121111234(1)122na n n nn n n∴111121223a2111212334a31112123445a ⋯∴12nn S a a a11111111222223344512n n11111111223344512n n11222n2nn =+， ∴20202020202010102020220221011S ，故答案是：10101011．【点睛】本题考查了数字类的规律探索，熟悉相关性质，能对数据进行推理分析是解题的关键．17．2【分析】将x=-1代入计算即可【详解】解：当x=-1时（-1）2+1=2故答案为：2【点睛】此题考查已知字母的值求代数式的值正确掌握有理数的混合运算是解题的关键解析：2 【分析】将x=-1代入计算即可．【详解】解：当x=-1时，21x +=（-1）2+1=2，故答案为：2．【点睛】此题考查已知字母的值求代数式的值，正确掌握有理数的混合运算是解题的关键．18．9或10或11或12【分析】由运算流程图先求出第一次输出的数分为偶数或者奇数；然后再分两种情况求出输入的x 的值即可【详解】解：根据题意∵第二次输出设第一次输出的数是奇数m 时则解得：；设第一次输出的数解析：9或10或11或12．【分析】由运算流程图，先求出第一次输出的数，分为偶数或者奇数；然后再分两种情况求出输入的x 的值即可．【详解】解：根据题意， ∵第二次输出3y =，设第一次输出的数是奇数m 时，则132m +=，解得：5m =；设第一次输出的数是偶数n 时，则32n=，解得：6n =．当第一次输出为5时，又可以分为两种情况：当x 为奇数时，则152x +=，解得：9x =；当x 为偶数时，则52=x，解得：10x =；当第一次输出为6时，又可以分为两种情况：当x 为奇数时，则162x +=，解得：11x =；当x 为偶数时，则62x=，解得：12x =；故答案为：9或10或11或12．【点睛】本题考查有理数的运算，结合编程的流程图出题，题目新颖，并且运用到了分类讨论这一重要数学思想．熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．19．x2【分析】合并同类项是指同类项的系数的相加并把得到的结果作为新系数要保持同类项的字母和字母的指数不变据此计算即可【详解】解：－2x2＋3x2=（－2+3）x2=x2故答案为：x2【点睛】本题主要考解析：x 2 【分析】合并同类项是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变，据此计算即可．【详解】解：－2x2＋3x2=（－2+3）x2= x2故答案为：x2．【点睛】本题主要考查了合并同类项，熟记合并同类项法则是解答本题的关键．20．-5【分析】根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出ac的值再根据有一个不同数是2可得b＝2然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环再用2018除以3根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解【详解解析：-5【分析】根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a、c的值，再根据有一个不同数是2可得b＝2，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，再用2018除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解．【详解】解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，∴3＋a＋b＝a＋b＋c，解得c＝3，a＋b＋c＝b＋c＋（−5），解得a＝−5，所以数据从左到右依次为3、−5、b、3、−5、b，有一个不同数是2，即b＝2，所以每3个数“3、-5、2”为一个循环组依次循环，∵2018÷3＝672…2，∴第2018个格子中的整数与第2个格子中的数相同，为-5．故答案为：-5．【点睛】此题考查数字的变化规律，仔细观察排列规律求出a、b、c的值，从而得到其规律是解题的关键．三、解答题21．﹣5x2y+5xy，0【分析】先去括号，然后合并同类项得到原式＝﹣5x2y+5xy，然后把x、y的值代入计算即可．【详解】解：2（x2y+xy）﹣3（x2y﹣xy）﹣4x2y＝2x2y+2xy﹣3x2y+3xy﹣4x2y＝﹣5x2y+5xy，当x ＝1，y ＝﹣1时，原式＝﹣5×1×（﹣1）+5×1×（﹣1）＝0．【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 22．2a ab -，6 【分析】先去括号，再合并同类项，最后将值代入即可．【详解】解：原式222255104410a ab b a ab b =-+-+-2a ab =-当2,1a b ==-时，22a -ab=2-2?(-1)=6．【点睛】本题考查整式的加减——化简求值．注意去括号时，括号前面是负号，去掉括号和负号将括号内变号；括号前面是正号，直接去掉括号即可． 23．（1）c －a ，b －a ；（2）2a 【分析】（1）根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简即可；（2）原式利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．【详解】解：（1）根据题意，有理数a ，b ，c 在数轴上的位置得：a ＜c ＜0，a ＜0＜b ， ∴|a －c|＝c-a ，| b －a|＝b-a ；故答案为：c －a ， b －a ．（2）∵c －b ＜0，b －a ＞0，a ＋c ＜0， ∴原式＝－( c －b )－(b －a )－(－a －c ) ＝b －c －b ＋a ＋a ＋c ＝2a ．【点睛】此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 24．（1）18；12；（2）()42n +；()24n +；（3）140；100；（4）方式一【分析】（1）仔细观察图形的变化规律解答即可；（2）通过观察图形变化，发现第一种方式每增加一张桌子，就增加4人，第二种方式是每增加一张桌子，就增加2人，由此规律解答即可；（3）根据（2）中发现的规律分别求出每一张大桌子能坐的人数，即可求出10张大桌子共可坐的人数；（4）分别求出25张桌子按两种方式摆放可坐的人数，即可做出判断．【详解】（1）观察发现：第一种摆放方式，多一张桌子多4人，故有4张桌子能坐18人，第二种摆放方式，多一张桌子多2人，故有4张桌子能坐12人，故答案为：18，12；（2）观察发现，第一种摆放方式，有n 张桌子能坐的人数为6+4（n ﹣1）=4n+2，第二种摆放方式，有n 张桌子能坐的人数为6+2（n ﹣1）=2n+4，故答案为：()42n +，()24n +；（3）第一种方式：30张桌子拼成10张大桌子可坐的人数为10×（4×3+2）=140人，第二种方式：30张桌子拼成10张大桌子可坐的人数为10×（2×3+4）=100人，故答案为：140，100；（4）方式一：当25n =时，425210298⨯+=>，方式二：当25n =时，22545498⨯+=<，所以，选用第一种摆放方式来摆放餐桌．【点睛】本题考查图形的变化规律探索、列代数式、有理数的混合运算，解答的关键是理解题意，认真观察，找到图形的变化规律．25．（1）26x 7，27x 7；（2）（2n +1）x n ；（3）14【分析】（1）观察所给的①与②式子可得①的特点，第n 个数是2n ﹣1x n ，②的特点，第n 个数是（﹣1）n ﹣1（2x ）n ；（2）观察③式子的特点，可得第n 个数是（2n +1）x n ，即可求出解；（3）先求出A ＝29x 10﹣210x 10+（210+1）x 10，再将x ＝12代入求出A ，最后再求256[3A ﹣2（A+14）]即可．【详解】解：（1）①的特点，第n 个数是2n ﹣1x n ，∴第7个单项式是26x 7；②的特点，第n 个数是（﹣1）n ﹣1（2x ）n ， ∴第7个单项式是27x 7；故答案为：26x 7，27x 7；（2）③的特点，第n 个数是（2n +1）x n ，故答案为：（2n +1）x n ；（3）①的第10个单项式是29x 10，②的第10个单项式是﹣210x 10，③的第10个单项式是（210+1）x 10，∴A ＝29x 10﹣210x 10+（210+1）x 10＝（29+1）x 10，当x ＝12时，A ＝（29+1）×（12）10，∴256[3A ﹣2（A+14）]＝256（A ﹣12）＝256×[（29+1）×（12）10﹣12]＝28×（12）10＝14．【点睛】本题考查数字的变化规律，能够通过所给例子，找到式子的规律，列出每行第n 个式子的代数式是解题的关键．26．（1）1，-3，2；（2）2abc ，-12．【分析】（1）先根据长方体的平面展开图确定a 、b 、c 所对的面的数字，再根据相对的两个面上的数互为相反数，确定a 、b 、c 的值；（2）化简代数式后代入求值．【详解】解：（1）由长方体纸盒的平面展开图知，a 与-1、b 与3、c 与-2是相对的两个面上的数字或字母，因为相对的两个面上的数互为相反数，所以1a =，3b =-，2c =．故答案为：1；-3；2；（2）原式222536242a b a b abc a b abc abc =-+--=， ∴原式()213212=⨯⨯-⨯=-．【点睛】本题考查了长方体的平面展开图、相反数及代数式的化简求值．解决本题的关键是根据平面展开图确定a 、b 、c 的值．。

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整式与规律探究专题训练
一、基本知识点
1.探究规律；
2.整式的有关知识二、基本方法
数字探究；图形探究；整式的运算三、知识讲练【小检测】
1. 如图，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n 个图形需要围棋子的枚数为____________
2. 下列说法中，不正确的是（）.
A 、0既不是正数，也不是负数
B 、1是绝对值最小的数
C 、0的相反数是0
D 、0的绝对值是0. 3. |–2|的相反数是（）. A 、2
1
-
B 、–2
C 、21
D 、2.
4. 已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是1，则m 2－2cd ＋
m
b
a +的值为_____ 5. 一个两位数，a 表示十位数，
b 表示个位数，那么这个两位数可表示为（） A 、a+b B 、ab C 、10ab D 、10a+b 6. 若|x|－|y|=0，则（）
A.x=y
B.x =－y
C.x=y=0
D.x=y 或x =－y 【例1】列代数式
1. 百位数字是a,十位数字比百位数字小1,个位数字是百位数字的2倍 ,则这个三位数表示为
2. 若a 是一个三位数，b 是一个两位数，若把b 放在a 的左边，组成一个五位数，则这个五位数为（）
A. b+a
B.10b+a
C.100b+a
D. 1000b+a 〖练习1〗列代数式
1. 温度由30℃下降到t ℃后是
2. 产量由m 千克增长15%后,达到千克
3. 某市出租车收费标准是:起步价9元,3千米后,每千米1.5元,某人乘坐出租车x 千米(x>3).应付费
_________________________________元
4. 一个两位数,各位数字a 比十位数字大7,则这个数可表示为
5. 某校有女生a 个,其中男生人数占53%,则该校共有学生( )人
A.(1－53%)a
B.53%a
C.
a D. a
n=2
n=3
6. n 在如下运算程序n ⇒n 2⇒+n ⇒÷n ⇒+2⇒结果是( ) A .n 2 +3 B.n+3 C.n 2+2n D.n 2+2
7. 若已知1+3=22 1+3+5=32 ，1+3+5+7=4 2 …，则1+3+5+7+…+（2n —1）等于（） A. (2n －3)2 B. (2n －1)2 C. (2n)2 D. n 2 〖练习2〗
1、写出－2x 2yz 的两个同类项
2、若2x
m －1
y 2与－x 2y n 是同类项，则(－m)n =
3、已知－3x 2－a
y 2与ky b+1x 3的和等于0，则a= ， b= ， k= 。

4、两个班去植树，一班植树a 棵，二班植树棵树比一班的2倍还多b 棵，两班一共种了 ______________________________棵。

5、三个连续偶数，中间一个是a ，则这三个数的和为。

6、把下列各式中的括号去掉：
① 2－3(a －2b+3c)= ② 8[2a －(3b+4c)]=
7、从多边形一个顶点出发连接其余各顶点，可以把四边形分成个三角形，可以把五边形分成个三角形，依此类推，可以把n 边形分成个三角形。

8、观察下列等式： 4×1×2+1=32 4×2×3+1=52 4×3×4+1=72 4×4×5+1=92
用含n 的等式表示出来【例2】计算求值
1、 x 2y －3xy 2+2yx 2
－y 2x 2、 4(ab c －2a )－3a(6－2abc)
3、化简求值：3x 2y 2+2x y －7x 2y 2
－2
3
xy+2,其中x=－2,y=－1。

4、已知x=2时 px 3 +qx+1=2005 求当x =－2时，代数式px 3 +qx+1的值.
〖练习3〗
1．下列判断中正确的是（）
（A ）3a 2bc 与bca 2不是同类项（B ）5
2n
m 不是整式
（C ）单项式－x 3y 2的系数是－1 （D ）3x 2－y ＋5xy 2是二次三项式 2. 下列各组式子中，不是同类项的是（）
A 、23与－15
B 、5a 4与3ay 4
C 、abc 与10cba
D 、－4x 2y 与3x 2y 3. 下列计算结果正确的是（）
A 、－(2x －y)=－2x －y
B 、－3a+(4a 2+2)=-3a+4a 2
－2 C 、－[－(2a －3y)]=2a －3y D 、－3(a －7)= －3a+7 4. 将(a+b)+2(a+b)-4(a+b)合并同类项等于（） A 、a+b B 、-(a+b) C 、-a+b D 、a-b 5. 下列各式中与代数式x-(2y-3z)相等的是（）
A 、x+(-2y+3z)
B 、x+(-2y)-3z
C 、x+(2y+3z)
D 、x+[-(2y+3z)] 6. 若2a 与1－a 互为相反数，则a=（） A 、1 B 、-1 C 、21 D 、3
1 〖练习4〗计算题
1、7x －3y －10y －9x
2、3a 4+5a 2b －10－3a 2b+a 4－1
3、5a+(4b －3a )－(－3a+b)
4、3x －[5x+(3x －1)]
5、先化简再求值：5x 2
－(3y 2+5x 2)+(4y 2+7xy),其中x =－1,y=2。

③
②
①
【例3】探究规律
1、用火柴棒摆如下图形：仔细观察其中的规律，
（2）搭n 个这样的三角形需要多少根火柴棒？
〖练习5〗
1. 用火柴棒摆“金鱼”比赛，如图所示：
仔细观察其中的规律，
（2）写出第n 个图形需要的火柴棒数
（3）小明说他用300根火柴棒摆成了这样的图案，你相信吗？请说明理由.
（1）填写表格中的空缺部分
（2）请你计算37名同学一共握手多少次？
（3）请你计算n 名同学握手活动，一共握手多少次？
……。