多面体旋转体
6.1.1认识多面体与旋转体
B
O
A
O
B
轴
练习：课本117 页试一试
母线
认识多面体 认识旋转体
课后作业：
• 1.学习指导与练习6.1. 1 • 2.手工制作：本节课课本上出现的几何体或 自由制作。 • 要求： • a：每人至少一个，可以合作完成，最 好不重复。 • b：模型大小：拿在手中，站在讲台上， 所有同学都能看清。
多面体上两个面的公共边叫做多面体的棱，棱和棱的公共点 叫做多面体的顶点．连结不在同一面上的两个顶点的线段叫 多面体的对角线.
Hale Waihona Puke 认识旋转体由一条封闭的平面曲线绕其一边所在的定直线旋转 一周所围成的几何体叫做旋转体．
这条定直线叫做旋转体的轴，那条曲线叫做旋转体的母线。
圆柱
O1 A
圆锥
S
圆台
O1 A
O
6.1.1 认识多面体与旋转体
多面体棱角分明， 她使耸天的大楼气势 磅礴、充满阳刚
旋转体曲线曼妙， 她让建筑物婀娜多姿， 秀丽端庄
认识多面体
练习：课本第 117页第1题
由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．
四面体
六面体
八面体
十二面体
二十面体
多面体的面数是几，我们就说它是几面体.
多面体旋转体精编版
多面体和旋转体一. 教学内容：1. 主要内容：多面体和旋转体2. 考点分析：多面体和旋转体每年必考，不仅有直接求多面体和旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求几何体中某些元素或元素间的关系问题，近年来即使是考查空间线面位置关系的问题，也常以几何体为依托，该部分内容不仅在选择题、填空题中考，也在解答题中出现。
解答题在高考中一直保持中档题的水平，近几年高考立体几何试题多采用一题多问的形式，降低了起点，分散了难点，既有证明，也有计算，一般要求学生先证后算，证明严谨、清楚，计算准确。
【典型例题】例1. 三棱锥，，，，求这个P ABC PA a AB AC a PAB PBC BAC -===∠=∠=∠=︒260 三棱锥的体积。
分析：由题设∠=∠=︒PAB PAC 60∴∠P ABC O BAC 在平面上的射影必在的平分线上又，，可知是正三角形∠=︒=BAC AB AC BC 60∆A 考查方向：考查三棱锥体积的常用求法。
分析一：作在底面上的射影，求和的面积P O PO ∆AB C分析二：注意到且PA AB PAB =∠=︒1260知PA PB ⊥同理，把作为底，则为高PB PC PBC PA ⊥ 分析三：割法、补法解法一：（用公式法解）如图，作底面三角形顶角A 的平分线AD ，交BC 于D ，过P 点作底面的垂线，垂足为O ，由分析知射影O 必在AD 上，易知△ABC 是正三角形，AB=2a ，∴=S a ABC ∆32PC过作，垂足为，连，则P PE AB E OE OE AB ⊥⊥在中，，Rt PAE PAE PA a ∆∠=︒=60∴===⋅︒=PE a AE a OE AE tg a 3223036，， 在中，Rt POE PO PE OE a ∆=-=2263∴=⋅=-V S PO a P ABC ABC 13233∆解法二：（利用等积转换法解）在△PAB 中PA a AB a PAB ==∠=︒，，260∴=+-⋅⋅︒=PB a a a a a 2222222603()()cos∴⊥⊥=∆P A BPA PB PA PC PB PC P 是直角三角形，，同理可证，又 ∴⊥PA PBC 平面在中，，∆PBC PB PC a BC a ===32∴=S a P B C ∆22∴==⋅=--V V S PA a P ABC A PBC PBC 13233∆解法三：（用分割求积法解） 由解法二知，，是中点，连结PB PC a D BC PD ==3∴⊥⊥=B C PD BC AD PD AD D ，，∴⊥BC PAD 平面∴=+==⋅⋅=----V V V V S BD a P ABC B PAD C PAD B PAD PAD 223233∆解法四：（用补形求积法解）延长AP 到Q ，使PQ=a ，连结QB 、QC ，可得一个棱长为2a 的正四面体∴==⋅=--V V a a P A B C Q A B C 121221222333() 例2. 如图，已知直三棱柱，用一平面去截它，得截面，且，ABC A B C B C AA h -=11122221∆A BB h CC h C S 2223==，，若的面积为，求证：∆AB介于截面与下底面之间的几何体体积。
高二-11-多面体与旋转体
1、多面体定义为：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体；如：棱柱、棱锥、棱台等几何体都是多面体.2、多面体可以用它的面的数量进行命名，有几个面的多面体就叫做几面体；例如，三棱锥有一个底面和三个侧面，所以是四面体；长方体（四棱柱）有六个面，是六面体．一般地，一个n 棱锥,有一个底面和n 个侧面，所以是n ＋１面体；n 棱柱或n 棱台有两个底面和n 个侧面，所以是n ＋2面体；由此可见，面数最少的多面体是四面体，即三棱锥.3、四面体在立体几何中的作用相当于三角形在平面几何中的作用.4、与平面上的正多边形类比，在空间中可以考虑正多面体．如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体共5种.【例1】下列说法正确的是（ ）A ．多面体至少有3个面B ．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台C ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D ．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形【难度】★第11讲 多面体与旋转体 知识梳理例题分析 模块一：多面体 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~【例2】“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正方体沿交于一个顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此截去八个三棱锥得到一个阿基米德多面体，则该阿基米德多面体的棱有条.【难度】★★【例3】图中的十面体的面是由四个正五边形，四个三角形和两个正方形组成的，则图中上正方形面积是下正方形面积的（）倍.A．1B．2C．3D．4【难度】★★【难度】★★【例5】如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比.【难度】★★1. 由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体；这条直线叫做该旋转体的轴.2. 与旋转体类似地可以定义空间中的旋转面：一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为旋转面.3. 圆柱、圆锥和圆台的概念（1）圆柱、圆锥和圆台的定义将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台.（2）与圆柱、圆锥、圆台有关的概念绕着旋转的这条直线叫做轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面；无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线.模块二：旋转体 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 例题分析知识梳理【例1】已知直角梯形ABCD，现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（）A．一个圆柱、一个圆锥B．一个圆柱、两个圆锥C．一个圆台、一个圆柱D．两个圆柱、一个圆台【难度】★【例2】给出以下四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是__________．【难度】★【例3】下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是（）A．B．C．D．【难度】★【例4】已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰(如图)．分别以AB，BC，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体是由哪些简单几何体构成的？【难度】★★【例5】一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积．【难度】★★【难度】★★【例8】将一个边长为2的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为.【难度】★★【例9】已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过点C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积.【难度】★★【例1】如图，AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，D 是圆O 上一点.已知5AB BC ==，3CD =.（1）求二面角A DC B −−的大小；（2）将四面体ABCD 绕母线AB 所在的直线旋转一周，求△ACD 的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积.【难度】★★【例2】已知在直角三角形ABC 中，AC BC ⊥，2,tan 22BC ABC =∠=（如图所示）（1）若以AC 为轴，直角三角形ABC 旋转一周，求所得几何体的表面积.（2）一只蚂蚁在问题（1）形成的几何体上从点B 绕着几何体的侧面爬行一周回到点B ，求蚂蚁爬行的最短距离.【难度】★★模块三：旋转体综合问题 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 例题分析1. 一个多面体至少有 个面．【难度】★2. 下列说法中，正确的是（ ）A ．底面是正多边形，而且侧棱长与底面边长都相等的多面体是正多面体B ．正多面体的面不是三角形，就是正方形C ．若长方体的各侧面都是正方形，它就是正多面体D ．正三棱锥就是正四面体【难度】★3. 如图，多面体的顶点数是 、棱数是 、面数是 ．【难度】★4. 将一个正方体切一刀，可能得到的以下几何体中的种类数为（ ）①四面体；②四棱锥；③四棱柱；④五棱锥；⑤五棱柱；⑥六棱锥；⑦七面体A ．3种B ．4种C ．5种D ．以上均不正确 【难度】★★5. 边长为2的正方形ABCD 绕BC 旋转形成一个圆柱，则该圆柱的表面积为 .【难度】★★师生总结 巩固练习7. 正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体.如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体.已知多面体满足：顶点数－棱数＋面数2=，则正二十面体的顶点的个数为（ ）A ．30B ．20C ．12D ．10【难度】★★8. 多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其顶点数V 、棱数E 及面数F 间有著名的欧拉公式：2V E F −+=，并且多面体所有面的内角总和为(2)360V −⋅.已知某正多面体所有面的内角总和为3600，且各面都为正三角形，设过每个顶点的棱数为n ，则该正多面体的顶点数V = ，棱数E = .【难度】★★9. 用斜二测画法画一个水平放管的平面图，其直观图如图所示，已知3A B ''=，1B C ''=，3A D ''=，且A D B C ''''∥．（1）求原平面图形ABCD 的面积；（2）将原平面图形ABCD 绕BC 旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．【难度】★★10. 正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC 的棱长都是a （如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体．（1）求新多面体的体积；（2）求二面角A BF C −−的余弦值.【难度】★★1. 2021年10月，麻省理工大学的数学家团队解决了n 维空间中的等角线问题等角线是组直线，这组直线中任意两条直线所成的角都相等.三维空间中，最大的等角线组有6条直线，它们是连接正二十面体的12个相对顶点形成的6条直线.已知棱长为1的正二十面体，其外接球半径为10254+，则三维空间最大等角线组中，任意两条直线形成的角的大小为 （精确到0.1°）【难度】★★★能力提升【难度】★★★。
第七讲：多面体与旋转体
第七讲 多面体与旋转体多面体与旋转体是高中数学的重要内容之一，是考查各种能力的重要载体，其中异直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角（理）以及点到平面的距离、简单图形侧面积与体积的计算是高考考查的重点内容。
本讲从内容上来说，主要集中在多面体与旋转体的概念与性质及其应用、截面面积、侧面积、全面积以及各种角与距离的计算等方面；从思想方法上来说，体会化“曲”为“直”、祖恒原理和图形割补等化归思想。
【高考热点】异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，空间线面位置关系的判断，面积与体积的计算。
【范例精讲】 例1．（1）正三棱锥S A B C -的侧棱,,SA SB SC 两两垂直，体积为V ，,,A B C '''分别是,,SA SB SC 上的点，且SC C S SB B S SA A S 41,31,21='='='，则三棱锥S A B C '''-的体积为（ ）（A ）V 91（B ）V121（C ）V241（D ）V721（2）如图，在多面体ABC D EF 中，已知A B C D 是边长为1的正方形，且A D EBC F ∆∆、均为正三角形，//,2EF AB EF =，则该多面体的体积为（ ） （A 3（B 3（C ）43（D ）32解：（1）选C ；（2）选A 。
说明：对于第（1）小题，注意转化三棱锥的顶点灵活使用体积计算公式；对于（2）则需要利用图形的割补思想求解。
例2．在北纬45圈上有,A B 两点，设该纬度圈上,A B两点的劣弧长为4R （R 为地球半径），求,A B 两点间的球面距离。
解：设北纬45圈的半径为r ，则4r R =，设O '为北纬45圈的圆心，A O B α'∠=，则4r R α=，24R R α=，2πα=，所以AB R ==，在AB C ∆中，3A OB π∠=，所以，,A B 两点的球面距离等于3R π。
认识多面体和旋转体
课题: 6.1.1 认识多面体和旋转
【教学目标】
了解多面体和旋转体的基本概念,认识多面体的面、棱、顶点、对角线及旋转体的轴和母线；通过学习认识空间几何体的结构特征，提高学生的归纳总结能力，培养学生由具体到抽象，由一般到特殊的思想方法。
【教学重点】
多面体和旋转体的有关概念
【教学难点】
多面体和旋转体的基本概念，初步形成空间想象力
【教学方法】
观察演示探究
【教学过程】
教学
环节教学内容师生活动二次修改
导入
PPT展示：在现实生活中，我们周围存在着很多
形状各异的几何体，让学生观察它们的结构特点
圆形的方形的，多面的，旋转的都有
教师展示图形，并
分析这些图形的结构特
点，学生认真观察，并
回答老师提出的问题：
这些图形各有什么特
点？
估计学生认识到：方的，
圆的，有尖的等多面体
教师分析所展示图形并
板书多面体。
高三立体几何复习讲义：多面体与旋转体
多面体与旋转体一、棱柱1、 由几个多边形围成的封闭的几何体叫做多面体。
2、 两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱。
棱柱的互相平行的两个面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻的两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两个底面间的距离叫做棱柱的高。
棱柱的基本性质：（1） 棱柱的侧面都是平行四边形。
（2） 棱柱的两个底面及平行于底面的截面都是全等的多边形。
3、 侧棱与底面不垂直的的棱柱叫做斜棱柱。
侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱。
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
性质：（1） 直棱柱侧面都是矩形。
（2） 直棱柱侧棱与高相等。
（3） 正棱柱的侧面都是全等的矩形。
4、 底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体。
底面是矩形的直棱柱是长方体。
长方体的对角线平方等于三边长的平方和。
5、 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。
6、 h V S =⋅棱柱底. 二、棱锥1、有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
棱锥的这个多边形的面叫做底面，其余各个三角形的面叫做侧面。
相邻的两个侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。
棱锥的基本性质：如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么： （1） 侧棱和高被这个平面分成比例线段； （2） 截面和底面都是相似多边形；（3） 截面面积与底面面积之比，等于顶点到截面与顶点到底面的距离平方之比。
2、如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这个棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质：（1） 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。
（2） 正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形。
正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
高中数学中的多面体和旋转体
多面体和旋转体是高中数学中的重要概念，它们在几何学中起着重要的作用。
本篇文章将介绍多面体和旋转体的基本概念、性质以及它们在实际生活中的应用。
一、多面体多面体是指由若干个平面多边形围合而成的三维几何体。
每个面都是一个平面多边形，并且相邻两个面的公共边是相交于一点的。
多面体分为凸多面体和凹多面体，如果一个多面体的任何一个面都在另一个面的外部，则这个多面体是凸多面体；否则，这个多面体是凹多面体。
1. 多面体的性质（1）多面体的顶点数V和面数F之间有如下关系：V = F + E - 3，其中E表示边数。
这个公式称为欧拉公式。
（2）多面体的棱数E和面数F之间有如下关系：E = 3F - E - F，这个公式称为欧拉-斯图姆定理。
（3）多面体的对角线数D和面数F之间有如下关系：D = 2F - 4，这个公式称为拉格朗日定理。
2. 多面体的应用（1）多面体在计算机图形学中有着广泛的应用，例如，计算机生成的三维图形通常都是由许多平面多边形构成的。
（2）多面体在机械制造中也有着重要的应用，例如，制造凸轮、齿轮等零件时需要使用凸多面体或凹多面体的概念。
二、旋转体旋转体是指由一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所生成的立体。
曲线称为旋转体的母线，定直线称为旋转体的轴。
1. 旋转体的性质（1）如果一个旋转体的底面是一个圆，则这个旋转体一定是圆柱或圆锥；如果这个圆的半径等于旋转体的底面半径，则这个旋转体是圆柱；否则，这个旋转体是圆锥。
（2）如果一个旋转体的底面是一个椭圆或其他平面曲线，则这个旋转体一定是圆台或球；如果这个椭圆或其他平面曲线是旋转体的底面半径的倍数，则这个旋转体是圆台；否则，这个旋转体是球。
2. 旋转体的应用（1）旋转体在建筑工程中有着广泛的应用，例如，圆柱形和球形建筑物的外壳是由旋转体的概念构成的。
（2）旋转体在油管和通风管道的设计中也有着重要的应用。
认识多面体和旋转体课件
体积计算
对于多面体，体积可以通过计算各个 面的体积之和得到。对于旋转体，体 积可以通过计算底面圆的体积或整个 旋转体的体积得到。
角度和弧度的计算
角度计算
在多面体中，角度可以通过测量各个 面之间的夹角得到。在旋转体中，角 度可以用来描述旋转体的旋转角度。
弧度计算
在旋转体中，弧度可以用来描述旋转 体的旋转程度，通常用于旋转轴的角 度测量。
旋转体的建模
旋转体的建模可以使用旋转几何公式进行，例如圆柱和圆锥可以使用旋转面的几何公式进行建模。
建模方法的比较和选择
01 02
精度和复杂性
使用CAD软件进行建模可以获得高精度的模型，但需要一定的技能和经 验。而使用数学公式进行建模可以创建相对简单的模型，但对于复杂模 型可能不够精确。
适用范围
CAD软件适用于各种类型的多面体和旋转体建模，而数学公式适用于某 些特定类型的模型，例如正多面体和旋转体。
在科学研究和教学中的应用
多面体和旋转体的科学研究价值
多面体和旋转体的研究涉及到几何学、拓扑学、物理学等多个学科领域，对于推动数学 和科学的发展具有重要意义。
多面体和旋转体的教学价值
在数学和工程学科的教学中，多面体和旋转体是重要的教学素材，有助于培养学生的空 间思维、几何直觉和解决实际问题的能力。
THANKS
该直线称为旋转轴， 平面图形称为旋转面 。
旋转体的分类
根据旋转面的形状，旋转体可以 分为圆柱、圆锥、圆台等类型。
根据旋转轴的方向，旋转体可以 分为正轴和斜轴两类。
根据旋转轴与旋转面的关系，旋 转体可以分为直纹和单叶两类。
旋转体的性质
旋转体的侧面是曲面，其展开 后是平面图形。
旋转体的体积和表面积与旋转 面和旋转轴的形状、大小和位 置有关。
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.教学内容:1. 主要内容：多面体和旋转体2. 考点分析：多面体和旋转体每年必考，不仅有直接求多面体和旋转体的面积和体积问题, 也有已知面积或体积求几何体中某些元素或元素间的关系问题，近年来即使是考查空间线面位 置关系的问题，也常以几何体为依托，该部分内容不仅在选择题、填空题中考，也在解答题中 出现。
解答题在高考中一直保持中档题的水平，近几年高考立体几何试题多采用一题多问的形 式，降低了起点，分散了难点，既有证明，也有计算，一般要求学生先证后算，证明严谨、清 楚，计算准确。
【典型例题】例 1.三棱锥 P —ABC ，PA =a , AB =AC =2a , N PAB =NPBC =ZBAC =60°，求这个三棱锥的体积。
分析：由题设ZPAB /PAC =60.P 在平面ABC 上的射影O 必在.BAC 的平分线上又.BAC =60，AB =AC ，可知.,<BC 是正三角形考查方向：考查三棱锥体积的常用求法。
分析一：作P 在底面上的射影O ,求PO 和丄tC 的面积1注意到 PA = —AB 且N PAB =60°分析二： 2知 PA_PB同理PB_PC ,把PBC 作为底，贝U PA 为高分析三：割法、补法解法一：（用公式法解）如图，作底面三角形顶角A 的平分线AD ，交BC 于D ，过P 点作 底面的垂线，垂足为 O ,由分析知射影 O 必在AD 上，易知△ ABC 是正三角形，AB=2a ,过 P 作PE_AB ，垂足为 E ,连 OE ,贝U OE_AB多面体和旋转体-S A BC =■- 3a在 Rt. PAE 中，.PAE =60 , PA =a6 在 Rt.POE 中，PO = .PE 2_OE 2 -a3PO解法二：(利用等积转换法解)在厶 PAB 中PA 二a , AB =2a , . PAB =60.PB 2 =a 2 (2a)2 -2 a (2a)cos60'=3a 2..PA 是直角三角形， PA_PB ，同理可证PA_PC ,又PB PC=P.PA_平面 PBC在 PBC 中，PB = PC =、,3a ，BC=2a,P B C = ■- 2a解法三：（用分割求积法解）由解法二知，PB =PC =：j 3a , D 是BC 中点，连结PD.「TC_PD ，BC_AD ，PD AD =D.BC_平面 PAD例2.如图，已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，用一平面去截它，得截面 M2B 2C 2，且AA 2=m ，BB 2 =h 2，CC 2 =h 3,若UEC 的面积为S ，求证：1介于截面与下底面之间的几何体体积 V S （h 1 h 2 h 3）。
3-V P _ABC 二V A _PBCJs PBC PA -3 ' 3 a 3 - V P ABC =V B -PAD 'V C -PAD = 2V B -PAD BD a 3解法四：（用补形求积法解）延长 的正四面体 AP 到Q ，使PQ=a ，连结QB 、QC ，可得一个棱长为 2aV P ABC _ 1 V Q ABC2 、、2 (2a)3 — a 3 PE aAE , OE 二 AE tg30AD.V 」S(h i h 2 h 3)3证法二： 连结AB 2、B 2C ，并作BE_AC 于E；侧面AAQ j C —底面ABC.BE_平面AA i C i C ,设AC 二a , BE =h则 V =V B 2/BC ' VB 2 ^A 2ACC 2 1 1 1= -Sh 2 -[-(h i h 3)a]h3 3 21 1 1Sh ? (h 1 h 3) ah3 32考查方向：不规则几何体体积的求法分析：将不规则几何体割补成规则几何体是求其体积的基本方法。
证法一： 连结AB 2、B 2C 、CA 2，这样就把几何体ABC —A 1B 1G 分成三个三棱锥-V c 人BB 2 - V B 2^ABC Sh 2 3 VC .AA 2B 2 _ _ _1= V C^BA 2 =VA 2~ABC ■ Sh i VC 4 2B 2C 2 - V A 2 -CB 2C 2 二 V A 2-BCC 2 - V B -A 2 C 2 C _ _ _ 1 = V B -ACC 2 =VC 2-ABC Sh3V =V C _ABB 2 ■ V C _A 2B 2A ■ V C _A 2B 2C 2■ V =VC 4BB 2 ■ V C _AA 2B 2 ' V C -A 2B 2C 21 c Sg ：「h2"h3)3小结：证法一运用了“分割”和“等积变形”的方法，将所求的几何体分割成三棱锥，然后运用三棱锥的顶点与底面的轮换，使问题得到解决，证法二引入了参数，使运算得到了简化。
例3.已知圆锥外切于半径为1的球，求当圆锥体积最小时它的表面积。
考查方向：面积最值的求法。
分析：用一个变量把目标函数表示出来。
解法一：如图，作圆锥SO的轴截面，此时球的截面是该等腰三角形的内切圆连结OiB，设.SBO =2乙则.0!B0 »幕SO是圆锥的高，圆0弭勺半径是1.在Rt QiB0中，BON ctgv-ctgr在Rt SOB 中，SO = BO tg2 v - ctg 二tg2 二.圆锥SO的体积1 2V BO SO3二2 ■二一ct g v ct g tg23兀 23 tg2"1 -tg%2兀-3[（tg2—寸）2—*]0 ：：：2"二2a Ji.0 ::: v :::4-当tg即tg时，Vmin ：2 2 3此时，BO 二 2, SO =4.SB =：；BO 2 SO 2 =3.2解法二： 设C 是SB 与圆的切点，连结O !C ，设棱锥高SO = h,底半径OB = r ，母线 SB=l在 RtSOQ 中，SO 1 =h —1, O 1C =1.SC = .,(h —1)2 —1 = h 2 -2hBO 二 BC 二 r.I =SC CB 二、h 2-2h r在 Rt SOB 中，h 2 r 2 =(.h 2—2h - r)2 二(h 2 -2h) (2h -4) 43 h -2-才2(h-24 8 l 当h -2 一 ，即h = 4时，V 皿山=一门，此时r = •. 2 h -2 3I =3.2.S 全二S 底 S 侧二二r 2 二rl =8 二小结：解法一是应用二次函数求最值，解法二是用基本不等式法求最值。
例4.四面体的一条棱长是 X ，其他各条棱长都是 1。
S 全=S 侧.S 底二 r: BO2 SB 二 BO =8二十「2hn h 2 3 h -2,h-V 锥(1 )把四面体的体积 V 表示成x 的函数f(x)；(2 )求f(x)的值域；(3)求f(x)的单调区间。
考查方向：立体几何与函数的关系解：(1)如图，设 BC=x ，贝U S 到面ABC 的垂足 连OA 并延长交BC 于D ,则D 是BC 中点且AD_BC 易知 AD =2、4-乂2 , S ：，.二 C = 、4 - x $设.*BC 的外接圆半径为R ,由R a b ^4^^BC得7，sb 启1Xi 2- l V S ABC SO3 — x (0 x 叮• 3)3 12(2)f(x)诗 3-八1； x 2 (3-X 2) 2 2 r. 2 2而x ，3-x =3为定值，x 0, 3-X 0，6.当且仅当x 2 =3 -x 2即x 二6时，f(x)取得最大值 1■ f(x)的值域为(0，一］8(3)；当x 一时，f (x)取得最大值2又 0 ::: x ：： ,3'6 ■ -6 —-f (x)的递增区间是(0，-丁］，递减区间是， ■- 3) 小结：讨论函数V(x)的性质要注意变量 x 的实际意义。
例5.斜棱柱的底面是等腰三角形 ABC , AB=AC=10 , BC=12，棱柱顶点A i 到A 、B 、C 三点O 是厶ABC 的外心等距离，侧棱长是13，求它的侧面积。
解法一：取BC中点D，则BC_AD设AQ_底面ABC，则0在AD上.BC_AA i （三垂线定理）.mC_BB i.侧面B i BCC i为矩形取AB中点EA i A 二A [B.AB _A i EAE =5 | —由=A1E =12A[A =13 |S侧=12 10 2 13 12 =396C i解法二：取BC中点D，则C1" J BC _［平面ADA iA i D _BC —.EC—AA j，过B作BE_AA j于E,连CE,贝U AA , _平面BEC.2 EC为棱柱的直截面— 5等腰xJAB中，易知cosEAB =一 (13)2.s i rE A B：-320.BE =AB sinEAB = 3.S侧=（竺2 12）13=39613选题目的：熟练求斜棱柱侧面积的两种解法，旨在培养和提高计算能力，并令学生体会良好的逻辑思维能力是达到正确熟练运算的基础。
例6.如图，在半径为5cm的球面上有A、B、C三点，每两点间的距离分别是AB=6.4cm，BC=4.8cm，CA=8cm，求：（1 ）过这三点的平面与球心O的距离。
（2）B、C两点间的球面距离。
（3）过O'O的球的直径PD的端点P与厶ABC的三顶点组成的三棱锥P-ABC的侧面PBC 与底面所成的二面角。
（4）由点P和厶丁TC的外接圆组成的圆锥PO'与球O的体积比DP解: （1）；OO'_ 截面ABC在「me中4.8: 6.4：8 =6: 8: 10.A B为直角三角形，且Z A B 890■门'C =4，OC =5,贝U OO' =35 …— … ‘ 5O' MP 二arctg ，故所求二面角为 arctg2 2体的体积为VAB 、V BC 、VAC ， 那么它们的大小关系是 （2）B 、C 两点的球面距离是截面 BOC 的劣弧BC 的长在.EOC 中,cosBOC = 2 2 2OB 2 OC 2 -BC 2 2 OB OC 337625BC 为 5arccos H 7口 337 （、5 arccos （cm ）625（3M BC O'MP P — ABC PBC即B 、 C 两点的球面距离为 的平面角 1而 PO' =8cm ，O' M AB =32 cm2在 RtPO' M 中，tgO'MP = PO'O'M (4) V 圆锥 4 3 ― 4 _3 500 zv 球O =3 二5 3■：( cm 3)故V 圆锥P : V 球O '128 :8=竺二(cm 3) 32.设正方体的全面积为 1和2, 2 则这个圆台与截得它的圆锥的侧面积之比为（C. 3: 4D. 1 : 4224cm ，一个球内切于该正方体, 那么这个球的体积是（4 3 8 3 cm cm A. 3 B. 3 3. C. J6ncm 3 2cm 的圆柱形器皿中, 倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ 32 3cmD. 3量得水面的高度为 6cm ，若将这些水 A. 6(3cm B. 6cm C. 23，'18cm D. 3v72cm【模拟试题】1.圆台两底半径分别是 A. 2 : 1 B. 1 :5. 三棱锥的三条侧棱两两垂直，底面内一点到三个侧面的距离分别为 点到三棱锥顶点的距离为 ______________ 。