简单几何体的侧面积
侧面积蔺
正棱锥 正棱台
S正棱锥侧=__12__c_h′___ c为底面__周__长__ h′为__斜__高__，即侧 面等腰三角形的高
S正棱台侧=_12_(_c_+_c_′__)h_′_ c′为上底面_周__长__ c为下底面__周__长__ h′为__斜__高__，即侧 面等腰梯形的高
不论做什么，请记住我的格言：笑容是良药， 音乐是秘方，睡觉则可以让你忘掉一切.祝天天快 乐！
活动2 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 把直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面分别沿着一条侧棱 展开，分别得到什么图形？侧面积是多少？
类比圆柱、圆 锥、圆台！
h
db
a
h
h
a
b
d
h' h'
其中c为底面周长，h为斜高， 即侧面等腰三角形的高.
C′ h' h'
C
其中c,c分别为上、下底面周长, h为斜高，即侧面等腰梯形的高.
A1
O1 C1
B1
D1
C
A O ED
B
1．(2014·陕西高考)将边长为1的正方形以其一边
所在的直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积
是( C )
A.4π
B.8π
C.2π
D.π
2.正四棱锥底面边长为6 ,高是4，中截面把棱锥截成
一个小棱锥和一个棱台，则棱台的侧面积为___4_5__.
简单几何体的侧面积
§7 简单几何体的再认识
7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积
1．掌握柱体、锥体、台体的侧面积公式.(重点) 2．能应用公式求柱体、锥体、台体的侧面积,熟悉 柱体与锥体、台体之间的转换关系.(难点)
课堂活动1
高中数学必修2《简单几何体的侧面积》
作业： 1、P49面T10 2、预习：7.2节：体积 3、阅读报纸（见晚自习布置）
探索思考题：
正六棱柱 ABCDEF A1B1C1D1E1F1 的各棱 长均为1，求一只蚂蚁从点 A1沿表面爬 到点D时的最短路程。
1
探索思考题：见讲与练P31面例题5
二、（1）直棱柱的侧面积
h
直棱柱的侧面展开图是矩形
s ch 直棱柱侧
（2）正棱锥的侧面积
正棱锥的侧面展开图是 一些全等的等腰三角形
s 1 ch'
正棱棱锥
2
h'
（3）正棱台的侧面积
正棱台的侧面展开 图是全等的等腰梯形
s 1 (c c')h'
正棱棱台
2
h'
例1 一个圆柱形锅炉，底面直径 d =1m, 高h =2.3m.求锅炉的表面积（保留2个有效
(2)圆锥的侧面积：
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥侧= rl
(3)圆台的侧面图是扇环
s (r r )l
圆台侧
1
2
问题1：如何推导圆台侧面积公式？
问题2：将圆柱、圆锥、圆台的侧面积 公式进行类比，它们有什么联系和区别？
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图 形围成的几何体，它们的侧面展开图是什 么？如何计算它们的侧面积？
练习：p45
1.已知正六棱柱的高为h,底面边长为 a，求表面积。
2.从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为6，8， 10，求它的对角线的长。
3.正四棱台的上、下底面边长分别是3，6，其侧面积 等于两底面积之和，则其高和斜高分别是多少？
4.要对一批圆锥形实心零部件的表面进行防腐处理， 每平方厘米的加工处理费为0.15元。已知圆锥底面直径与 母线长相等，都等于5 cm，问加工处理1000个这样的零 件，需加工处理费多少元？（精确到0.01元）
8.3简单几何体的表面积与体积-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册同步讲义
如图所示：
设外接球和内切球的半径分别为R，r，由于正四面体是中心对称图形，
所以外心和内心重合，球心O在高线上，底面中心为 ,
因为正四面体棱长为2，
所以 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
因为正四面体的体积为 ,
所以 ，
解得
9、在直三棱柱 中， ， ， ， .
（1）求三棱锥 的表面积；
（2）求 到面 的距离.
故选：
题型七表面积、体积与函数
例7 底面半径为2，高为 的圆锥有一个内接的正四棱柱(底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱).
（1）设正四棱柱的底面边长为 ，试将棱柱的高 表示成 的函数.
（2）当 取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值.
【答案】（1） ；（2） ， .
【分析】
（1）根据轴截面的三角形的比例关系，列式求函数；（2）根据 ，列出正四棱柱的表面积，并利用二次函数求最大值.
下底面面积：S下底＝πr2
侧面积：S侧＝πl(r＋r′)
表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
2、体积公式
（1）柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.
（2）锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝ Sh.
（3）台体：台体的上，下底面面积分别为S′，S，高为h，则V＝ (S′＋ ＋S)h.
【详解】
（1）过圆锥及其内接圆柱的轴作截面，如图所示，
因为 ，所以 ．从而 ．
（2）由（1） ，因为 ，
所以当 时， 最大，
即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．
1、已知正方体外接球的体积是 ，那么该正方体的内切球的表面积为_____________．
【答案】
1.7.1 简单几何体的侧面积
h
d
b
h
h
b
a
a
d
S直棱柱侧＝（a + b + d ) ⋅ h = ch
1 S正棱锥侧 ＝ ch' 2
h'
h'
C′
h'
1 S正棱台侧 （c + c' )h' ＝ 2
h'
C
思考：将直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式进行比较， 思考：将直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式进行比较， 你能发现它们的联系和区别吗？ 你能发现它们的联系和区别吗？
2
答：锅炉的表面积约为 8.8m 2.
例2
圆台的上下底面半径分别是10cm和20cm,它的侧面 圆台的上下底面半径分别是10cm和20cm,它的侧面 10cm
展开图的扇环的圆心角是180° 展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是多 180 少？（结果中保留 π ） ？（结果中保留 解 如图，设上底面周长为c,因为扇环 如图，设上底面周长为c,因为扇环 c, 的圆心角是180° 所以c= 的圆心角是180°，所以c= π·SA 180
r1 = r2
S圆柱侧 = 2p rl
例1.一个无上盖圆柱形的锅炉，底面直径 d = 1m ， 1.一个无上盖圆柱形的锅炉， 一个无上盖圆柱形的锅炉 求锅炉的表面积（保留2个有效数字） 高 h = 2.3m ，求锅炉的表面积（保留2个有效数字）
骣÷ çd ÷ 解： S = S侧面积 + 2S底面积 = p dh + 2p ç ÷ ç2 桫 1 = p 创 2.3 + 2p 椿 1 4 8.8 (m 2 )
又因为c=2 ,所以SA=20.同理 所以SA=20. 又因为c=2 π×10=20 π ,所以SA=20.同理 SB=40.所以，AB=SBSB=40.所以，AB=SB-SA=20,S圆台侧= 所以
圆柱体侧面积公式,表面积公式,圆柱体体积公式
圆柱体侧面积公式,表面积公式,圆柱体体积公式圆柱体是一种常见的几何体，它的形状类似于一个圆形的柱子，由两个平行的圆形底面和一个侧面组成。
在数学中，我们可以通过一系列公式来计算圆柱体的各种属性，包括侧面积、表面积和体积。
本文将详细介绍圆柱体侧面积公式、表面积公式和体积公式。
一、圆柱体侧面积公式圆柱体的侧面积是指圆柱体的侧面的总面积。
侧面是指连接圆柱体两个底面的侧面，它的形状类似于一个长方形。
假设圆柱体的高为h，底面半径为r，那么圆柱体的侧面积S可以通过以下公式计算： S = 2πrh其中，π是圆周率，约等于3.14。
这个公式的含义是，圆柱体的侧面积等于圆柱体的高乘以底面周长的两倍。
这个公式的推导可以通过将圆柱体展开成一个长方形来实现。
将长方形的宽度设为圆柱体的高h，长度设为底面周长的两倍2πr，那么长方形的面积就是2πrh，即圆柱体的侧面积。
二、圆柱体表面积公式圆柱体的表面积是指圆柱体的所有面积之和，包括底面和侧面。
假设圆柱体的高为h，底面半径为r，那么圆柱体的表面积A可以通过以下公式计算：A = 2πr(r+h)这个公式的含义是，圆柱体的表面积等于两个底面的面积加上侧面的面积。
底面的面积是πr，因为圆的面积等于πr。
所以两个底面的面积之和是2πr。
侧面的面积是圆柱体的侧面积2πrh。
将两者加起来就得到了圆柱体的表面积。
三、圆柱体体积公式圆柱体的体积是指圆柱体所占据的空间大小，它等于圆柱体底面积乘以高。
假设圆柱体的高为h，底面半径为r，那么圆柱体的体积V可以通过以下公式计算：V = πrh这个公式的含义是，圆柱体的体积等于底面面积πr乘以高h。
底面面积πr可以通过圆的面积公式得到，所以圆柱体的体积可以通过圆柱体底面半径和高来计算。
总结圆柱体是一种重要的几何体，它具有很多特殊的性质和应用。
在数学中，我们可以通过一系列公式来计算圆柱体的各种属性，包括侧面积、表面积和体积。
这些公式不仅在数学中有很多应用，也在科学、工程、建筑等领域中得到了广泛的应用。
圆柱的侧面积公式
圆柱的侧面积公式圆柱是由一个圆面和一个平行于圆面的底面相连而成的几何体。
圆柱的侧面是由圆周上的点沿着圆的半径方向移动并与圆面相连形成的。
侧面的形状为矩形，其长度等于圆周的长度，宽度等于圆柱的高度。
首先，我们需要了解一些基本概念和符号。
以下是需要使用的符号及其定义：-r：圆的半径-h：圆柱的高度-π：圆周率，近似值为3.14根据定义，圆柱的侧面积可以通过计算矩形的长和宽来得出。
矩形的长等于圆周的长度，宽等于圆柱的高度。
1.计算圆周的长度圆周的长度等于2πr，其中r为圆的半径。
即周长公式为C=2πr。
2.计算圆柱的侧面积矩形的长等于圆周的长度，即L=C。
矩形的宽等于圆柱的高度，即W=h。
因此，圆柱的侧面积可以表示为S=L×W。
将L和W的值代入公式中，我们可以得到圆柱的侧面积公式：S=C×h将周长公式代入上述公式中，我们可以得到圆柱的侧面积公式的另一种形式：S=2πr×h这就是圆柱的侧面积公式。
如果我们知道圆的半径和圆柱的高度，可以直接将这些值代入公式中计算圆柱的侧面积。
举个例子，假设圆的半径为5单位，圆柱的高度为10单位，我们可以按照以下步骤计算圆柱的侧面积：1.计算圆周的长度：C=2π×5=10π2.计算圆柱的侧面积：S=10π×10=100π因此，当圆的半径为5单位，圆柱的高度为10单位时，圆柱的侧面积为100π单位。
需要注意的是，圆柱的侧面积是一个平面的度量，单位通常为平方单位。
在上述例子中，圆柱的侧面积的单位为π平方单位。
总结：圆柱的侧面积可以通过计算圆周的长度（周长）和圆柱的高度来得出。
圆周的长度可以通过圆周率π乘以圆的直径或两倍的半径来计算。
圆柱的侧面积的计算公式可以表示为S=2πr×h，其中r为圆的半径，h为圆柱的高度。
为了准确计算圆柱的侧面积，需要确保半径和高度的单位一致，并使用正确的圆周率π的近似值。
圆环体侧面积计算公式
圆环体侧面积计算公式是一个在几何学中非常重要的公式，它用于计算圆环体的侧面积。
圆环体是一种中空的几何体，由两个同心圆的面构成，其中一个圆面被另一个更大的圆面挖去中心部分后剩余的部分构成。
这个公式在许多领域都有应用，例如物理学、工程学和天文学等。
首先，我们需要了解圆环体的基本定义和性质。
圆环体可以被视为由两个圆面构成，一个是内圆面，另一个是外圆面。
这两个圆面是同心圆，即它们的圆心是重合的。
内圆面的半径为r，外圆面的半径为R。
圆环体的侧面积就是这两个圆面的面积之差。
接下来，我们使用微积分的知识来推导圆环体侧面积的计算公式。
首先，我们考虑一个很薄的圆环体，它的侧面积可以近似为一个矩形。
这个矩形的长是圆环体的周长，宽是圆环体的厚度。
因此，我们可以将圆环体的侧面积表示为：侧面积= 周长×厚度。
周长的计算公式是：周长= 2πr（内圆面半径为r）。
厚度的计算公式是：厚度= 2π(R - r)（外圆面半径为R，内圆面半径为r）。
将这两个公式代入侧面积的公式中，得到：侧面积= 2πr ×2π(R - r)。
化简后，得到圆环体侧面积的计算公式：侧面积= 4π^2(R - r)r。
这个公式表明，圆环体的侧面积与内圆面半径r、外圆面半径R 和π（圆周率）有关。
在实际应用中，我们可以使用这个公式来计算不同大小和形状的圆环体的侧面积。
值得注意的是，这个公式假设了圆环体是一个很薄的几何体，即厚度相对于半径来说很小。
如果厚度相对于半径不可忽略，那么公式需要进行修正。
修正后的公式将涉及到三维几何和积分的知识，需要使用三维空间的曲线积分来进行计算。
除了直接计算侧面积之外，还可以使用该公式来求解一些其他的问题。
例如，如果知道一个物体的表面积和体积，可以推算出它的密度和物质的分布情况；或者在工程设计中，可以使用该公式来评估结构的强度和稳定性等。
此外，该公式还可以用于解决一些物理学中的问题。
例如，在流体力学中，可以使用该公式来计算流体通过某一区域的流量；在电磁学中，可以用来计算磁场或电场的分布情况等。
初中数学 什么是棱锥的侧面积和表面积公式
初中数学什么是棱锥的侧面积和表面积公式
棱锥是一种几何体，它的底面是一个多边形，而侧面是由底面的边和顶点连接而成的三角形。
在本文中，我们将详细讨论棱锥的侧面积和表面积的定义和计算公式。
一、棱锥的侧面积和表面积的定义：
1. 棱锥的侧面积：棱锥的侧面积是指棱锥的侧面的总面积，不包括底面。
2. 棱锥的表面积：棱锥的表面积是指棱锥的所有面的总面积，包括底面和侧面。
二、棱锥的侧面积和表面积的计算公式：
1. 棱锥的侧面积公式：
棱锥的侧面积可以通过以下公式来计算：
侧面积= (底面周长× 斜高) / 2
其中，底面周长是底面的边长之和，斜高是从顶点到底面上某个点的距离。
2. 棱锥的表面积公式：
棱锥的表面积可以通过以下公式来计算：
表面积= 底面积+ 侧面积
其中，底面积是底面的面积，可以根据底面的形状（如正多边形）计算得到。
可以看出，棱锥的表面积由底面积和侧面积两部分组成。
三、棱锥的侧面积和表面积的应用：
1. 计算棱锥的侧面积和表面积：通过上述的公式，我们可以计算给定棱锥的侧面积和表面积，从而了解棱锥的几何特征。
2. 求解问题：棱锥的侧面积和表面积的概念可以应用于解决实际问题，如计算棱锥的涂料用量、包装纸的面积以及棱锥的表面积与体积的关系等。
需要注意的是，计算棱锥的侧面积和表面积时，需要确定底面的形状和尺寸（如边长、半径等），以及斜高的长度，并根据具体情况选择适当的单位。
综上所述，棱锥的侧面积和表面积是初中数学中重要的几何概念。
通过了解它们的定义和计算公式，我们可以更好地理解和应用于相关的问题，包括计算棱锥的侧面积和表面积以及解决实际问题。
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x
O'
r1
AOLeabharlann r2lB圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间 有何关系,如何转化？
r
l
S圆锥侧 rl
S圆柱侧 2rl
S圆台 (r1 r2 )l
例1.已知正四棱锥底面正方形的边长 4cm,高与斜高的夹角是30。 P 求正四棱锥的侧面积.
解：由题意知斜高 h4
1 1 S侧 ch 16 4 32 2 2
S圆柱侧 2rl
S圆锥侧 rl
其中r为底面半径, l 为侧面母线长。
圆台的侧面展开图通常叫作扇环，。
x r1 l x r2
r1 l x r2 r1
S圆台侧 S大扇 S小扇
1 1 2r2 (l x) 2r1 x 2 2
S
(r1 r2 )l
一、直棱柱、正棱锥、正棱台
直棱柱的侧面展开图如下：
h
S直棱柱侧 ch
其中c为底面周长，h为高。
正棱锥的侧面展开图如下：
侧面展开
h'
S正棱锥侧
其中c为底面周长， h 为斜高，即侧面三角 形的高。
1 ch 2
h'
正棱台的侧面展开图如右图： 侧面展开
h'
S正棱台侧
1 (c c)h 2
600
下底面周长 2 20 40 oA oA 40
例3 一个正四棱台的上下底面边长 分别为4cm和6cm，高是 3 cm,求四 棱台的侧面积。
解：由图可知
A
B
C
A
C
h 3 1 10
2 2
D
B
S侧
1 （c c） h 2
D
1 (16 24) 10 20 10 2
练习：
1、圆锥的底面圆半径是3，圆锥的 15 高是4，则圆锥的侧面积是_______. 2、正六棱柱的高为h,底面边长为a, 则正六棱柱侧面积是______ 6ah 。
3、圆柱的一个底面面积为S，侧面展开 图是一个正方形，那么这个圆柱的 4S 侧面积是_______.
例1 一个圆柱形的锅炉，底面直径d=1m， 高h=2.3m。求锅炉的表面积（保留2个有 效数字）。
解：S S侧 S底
d 2 dh 2 ( ) 2
1 2 .3 2
O`
O
8.8(m )
2
例3 一个正三棱台的上下底面边长 3 分别为3cm和6cm，高是 cm,求三 2 棱台的侧面积。 C1 A1
A
D
30
o
C
o 2
B
例2 圆台的上下底半径分别是10cm和 。 20cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是180 那么圆台的侧面积是多少？
解：上底面周长 2 10
20 oc oc 20
l oA oc 20 S圆台侧 (r1 r2 ) l
h'
c,c’分别为上下底面周长， h’为斜高，即 侧面等腰梯形的高。
棱柱、棱锥、棱台的侧面积公式之间 有何关系,如何转化？
上底扩大 上底缩小
S直棱柱=
ch
c’=c
S正棱台=
1 2
c’=0
S正棱锥=
1 2
(c+c’)h’
ch’
二、圆柱、圆锥、圆台
圆柱、圆锥的侧面展开图如下图，思考： 如何求其侧面积？ r l
O1 D1
27 3 2
B1 C O E
A
D
B
有一根长为5 cm，底面半径为1 cm的圆 柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈 ，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一 母线的两端，则铁丝的最短长度为多少 厘米？（精确到0.1 cm）
O`
再思考：在本题中，应怎样缠绕，才能使铁丝的 长度最短？
O