数学建模评价分析与数据处理
多准则决策分析在数学建模中的应用
实际中大量信息或海量信息对应着大量的数据或海量数据， 从这些数据中寻求所需要的问题答案--数据建模问题。 通过实际对象过去或当前的相关信息，研究两个方面问题： （ 1 ）分析研究实际对象所处的状态和特征，依此做出评价 和决策；（ 2 ）分析预测实际对象未来的变化状况和趋势， 为科学决策提供依据。
对于多准则决策，还有满意解、优先解和理想解等。特 别地，多目标决策的解的种类更多，比如局部有效解、 非支配解、序有效解、Pareto真有效解等。在经典的多 准则决策中，常用的权重分配方法主要有：相邻比较法， 二项系数法，特征矢量法，加权最小二乘法，熵法和多 维优先分析线性规划法。 客观赋权法 （1）变异系数法： 计算矩阵A的第j列向量的变异系数 vj=sj /uj, 其中sj表示第j列的标准差， uj表示第j列的平均 值。对vj归一化。 （2）夹角余弦法： 构造矩阵U和V， max aij aij aij min aij j j uij , vij max aij min aij max aij min aij
M j mj M j max{xij }, m j min{xij } 1i n 1i n [0,1],(i 1, 2, , n; j 1, 2, , m) xij
(4)线性比例变换法： xij 极大型：xij 极小型：
max xij
j
xij
什么是一 致化处理? 为什么要 一致化?
区间型:期望取值落在某一个确定的区间 内为最好。
（ 1）极小型 : 对某个极小型数据指标 x ，
1 则 x ( x 0) ,或 x M x . x
（2）中间型: 对某个中间型数据指标 x ，则 1 2( x m) M m , m x 2 ( M m) x 2( M x) 1 , ( M m) x M M m 2 （3）区间型：对某个区间型数据指标 x ，则
MATLAB程序
X=[130, 10.3 , 0.35,2.76;105,10.7,0.4,2.0;20,1.4,4.5,0.22; 30,6.26,0.25,1.67;20,10.13,0.5,0.23]; Y=[1,4,23,110, 660;0.09,0.36,1.8,7.1,27.1;37,12,2.4,0.55,0.17; 0.02,0.06,0.31,1.2,4.6]; A=zeros(size(X));B=zeros(size(Y)); for i=1:4 if i~=3 A(:,i)= X(:,i)/max(X(:,i)); B(i,:)= Y(i,:)/max(Y(i,:)); else A(:,i)= min(X(:,i))./X(:,i) ; B(i,:)= min(Y(i,:))./Y(i,:) ; end end
多准则决策解的概念及性质 多准则决策中有各种解的定义，这反映了多准则决策与 单准则决策之间的一个本质问题。其原因在于问题的多 个准则之间常常彼此矛盾。因此，一般不存在使各个准 则同时达到最好的解。
如果问题的强有效解存在，则问题基本上就是求每个 准则的最优解。由于实际问题中常常目标之间互相冲 突，这种强有效解一般是不存在的。所以，我们感兴 趣的是以下两个概念。
j j j j
对U，V各对应列的夹角余弦归一化即为权重。 （3）熵值法：对矩阵A作归一化
pij
计算第j个指标的熵值：
aij
n
k 1
akj
n
e j k i 1 pij ln pij
g j 1 ej
计算第j个指标的差异系数
对于第j个指标，差异越大，对方案评价的作用越大，熵越小。 对g归一化。（物理上，能量分布得越均匀，熵就越大。如果对于我 们所考虑的那个系统来说，能量完全均匀地分布，那么，这个系统 的熵就达到最大值。 ）（k可选最大熵的倒数）
xij表示第i个方案关于第j项评的污染日趋严重，如何 对湖泊水质的富营养化进行综合评价与治理是摆在我们 面前的一项重要任务。表1和表2分别为我国5个湖泊的 实测数据和湖泊水质评价标准。
表1 全国5个主要湖泊评价参数的实测数据 指标 总磷（mg/L） 湖泊 透明度（L） 耗氧量 （mg/L） 总氮 （mg/ L）
离散型值域
3
3
连续型值域
2
2
f2
1
f2
1
0 0
1
f1
2
3
0 0
1
f1
2
3
目标函数的规范化 在多准则决策中，目标函数一般是彼此冲突的，而且还具 有不可共度量性。所以，通常在求解前要对目标函数进行预 处理，即所谓的规范化，其本质是给出某个目标的评估值在 决策者评价方案优劣时的实际价值。通过规范化，决策者便 于进行目标函数之间的比较和正确地使用一些求解方法。通 常用线性变换法对准则函数作规范化处理。 偏好关系
ax 1 c , x a x 1, a xb 1 x b , x b c 其中 [a, b] 为 x 的最佳稳定区间，c max{a m, M b} ， M 和 m 分别为 x 可能取值的最大值和最小值。
数据指标的无量纲化处理方法
在实际数据指标之间， 往往存在着不可公度性， 会出现 “大数吃小数 ”的错误,导致结果的不合理。
多准则/指标决策
多准则决策（MCDM）的一般形式为： max f ( x) ( f1 ( x), f 2 ( x),..., f n ( x))
xX
(1-1) 其中，X为决策空间，f(xi)是第i个目标的评估值，i=1,…,n。 若X为离散的，决策又称为多属性决策或多指标决策 （MADM）；若X为连续的，决策又称为多目标决策 （MODM）。在本质上，前者是研究已知方案的评价选 择问题，后者是研究未知方案的规划设计问题。在解法 上，前者的一些理论和方法是求解后者的基础。
数据建模一般问题的提出： 实际对象都客观存在着一些反映其特征的相关数据信息； 如何综合利用这些数据信息对实际对象的现状做出综合评 价，或预测未来的发展趋势，制定科学的决策方案？ --数据建模的综合评价、综合排序、预测与决策等问题。
综合评价 综合评价是科学、合理决策的前提。
综合评价的基础是信息的综合利用。 综合评价的过程是数据建模的过程。 数据建模的基础是数据的标准化处理。 如何构成一个综合评价问题呢？ 依据相关信息对实际对象所进行的客观、公正、合 理的全面评价。 如果把被评价对象视为系统，则问题： 在若干个(同类)系统中，如何确定哪个系统的运行 (或发展)状况好，哪个状况差？即哪个优，哪个劣？ 一类多属性(指标)的综合评价问题。
min xij
j
xij
由生物学知识可知，透明度指标为成本型指标， 其余指标都为效益型指标。将X与Y无量纲化为
1.0000 0.8077 A 0.1538 0.2308 0.1538 0.9626 0.7143 1.0000 0.0015 1.0000 0.6250 0.7246 0.0033 0.1308 0.0556 0.0797 , B 0.0046 0.5850 1.0000 0.6051 0.0043 0.9467 0.5000 0.0833 0.0061 0.0348 0.1667 1.0000 0.0133 0.0664 0.2620 1.0000 0.0142 0.0708 0.3091 1.0000 0.0130 0.0674 0.2609 1.0000
杭州西湖
武汉东胡 青海湖
130
105 20
10.3
10.7 1.4
0.35
0.4 4.5
2.76
2.0 0.22
巢湖
滇池
30
20
6.26
10.13
0.25
0.5
1.67
0.23
表2 湖泊水质评价标准
参数
指标 总磷 耗氧量 透明度 总氮
极贫营养
<1 <0.09 >37 <0.02
贫营养
4 0.36 12 0.06
变异系数法 w=std(A)./mean(A); w=w/sum(w); 夹角余弦 [n m]=size(A); maA=max(A);miA=min(A); U=(repmat(maA,n,1)-A)./ repmat(maA-miA,n,1); V=(A-repmat(miA,n,1))./ repmat(maA-miA,n,1); UN=normc(U); VN=normc(V); w=sum(UN.*VN); w=w/sum(w) 熵 [n m]=size(A); P=A./repmat(sum(A),n,1); E=-sum(P.*log(P));p=ones(1,n)/n; E0= -sum(p.*log(p));E=E/E0; w=1-E; w=w/sum(w);
数据处理与评价分析
史加荣 西安建筑科技大学理学院 jiarongs3@
1
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公共邮箱：xajdmath@
数据类型的一致化处理方法
n个决策方案m项评价指标的指标矩阵为：
x11 x X 21 xn1
x12 x21 xn 2
x1m x2 m xnm
4 0.36 12 0.06
23 1.8 2.4 0.31
110 7.1 0.55 1.2
660 27.1 0.17 4.6
一般问题的数据指标 x1 , x2 ,
, xm (m 1) 可能有
“极大型” 、 “极小型” 、 “中间型” 和 “区间型 ” 指标。
极大型:期望取值越大越好；（效益型） 极小型:期望取值越小越好；（成本型） 中间型:期望取值为适当的中间值最好;
数学建模评价模型方法
四、数据建模的动态加权方法
2. 动态加权函数的设定
四、数据建模的动态加权方法
2. 动态加权函数的设定
四、数据建模的动态加权方法
2. 动态加权函数的设定
返回
四、数据建模的动态加权方法
3. 动态加权的综合评价模型
五、数据建模的综合排序方法
定的区间内为最好。
什么是一 致化处理? 为什么要
一致化?
二、数据处理的一般方法
1. 数据类型的一致化处理方法
二、数据处理的一般方法
1. 数据类型的一致化处理方法
二、数据处理的一般方法
2. 数据指标的无量纲化处理方法
常用方法: 标准差法、极值差法和功效系数法等 。
二、数据处理的一般方法
2. 数据指标的无量纲化处理方法 (1) 标准差方法
数据处理与数据建模方法
1. 一般数据建模问题的提出 2. 数据处理的一般方法 3. 数据建模的综合评价方法 4. 数据建模的动态加权方法 ５. 数据建模的综合排序方法 ６. 数据建模的预测方法
一、一般数据建模问题的提出 一般问题：
•实际对象都客观存在一些相关的数据信息；
•如何综合利用这些相关信息给出综合评价结果 、制定决策方案，或预测未来？
4. 其他综合评价法
因子分析 聚类分析 模糊评价 层次分析法等
四、数据建模的动态加权方法
1. 动态加权问题的一般提法
问题:如何对n个系统做出综合评价呢?
四、数据建模的动态加权方法
2005年中国大学生数学建模竞赛的A题：“长江水质的 评价和预测”问题的第一部份给出了17个观测站（城市）的 最近28个月的实际检测指标数据，包括反映水质污染程度的 最主要的四项指标：溶解氧（DO）、高锰酸盐指数（CODMn） 、氨氮(NH3-N) 和PH值，要求综合这四种污染指标的28个月 的检测数据对17个城市的水质情况做出综合评价。
数学建模方法与分析
数学建模方法与分析
数学建模是利用数学方法解决实际问题的过程。
数学建模的一般步骤包括问题定义、建立数学模型、模型求解和结果分析等阶段。
数学建模方法可以分为多种，常见的方法包括：
1. 数据分析：通过统计分析和数据挖掘等方法，对问题中的数据进行处理和分析，找出其中的规律和趋势。
2. 最优化方法：根据问题的要求，建立相应的数学规划模型，通过求解最优化问题，得到最优解。
3. 随机模型：将问题建立为随机过程或概率模型，通过概率统计的方法进行分析和求解。
4. 系统动力学模型：将问题建立为动态系统模型，通过系统动力学的方法分析系统的行为和演化规律。
5. 图论和网络分析：将问题建立为图模型或网络模型，通过图论和网络分析的方法研究其结构和性质。
6. 分数阶模型：将问题建立为分数阶微分方程或分数阶差分方程，通过分数阶
微积分的方法进行分析和求解。
数学建模的分析阶段是对模型求解结果进行解释和评估。
分析结果可以包括对模型的可行性和有效性进行验证，对模型的优化方向进行探讨，以及对问题的解释和解决方案的提出等。
总的来说，数学建模方法与分析是数学建模过程中重要的环节，通过合理选择建模方法和深入分析模型结果，可以得到对实际问题有价值的解决方案。
数学建模讲座之二——数据处理和综合评价
8/10/2020
17
模糊定性指标量化的应用案例
（1）CUMCM2003-A,C:SARS的传播问题
（2）CUMCM2004-D:公务员招聘问题；
（3）CUMCM2005-B:DVD租赁问题；
（4）CUMCM2008-B:高教学费标准探讨问题 ；
诸如:教学质量、科研水平、工作政绩、 人员素质、各种满意度、信誉、态度、意识 、观念、能力等因素有关的政治、社会、人 文等领域的问题。
如何对有关问题给出定量分析呢？
8/10/2020
13
二、数据处理的一般方法
3. 定性指标的量化处理方法
按国家的评价标准,评价因素一般分为五 个等级，如A，B，C，D，E。
4. 数据建模的动态加权方法 ５. 数据建模的综合排序方法 ６. 数据建模的预测方法
8/10/2020
3
一、数据建模的一般问题 数据建模一般问题的提出一：般
•实际对象都客观存在着一些反映其特征的相 关数据信息； •如何综合利用这些数据信息对实际对象的现 状做出综合评价，或预测未来的发展趋势， 制定科学的决策方案？ --数据建模的综合评价、综合排序、预测与 决策等问题。
8/10/2020
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一、数据建模的一般问题
综合评价是科学、合理决策的前提。 综合评价的基础是信息的综合利用。 综合评价的过程是数据建模的过程。 数据建模的基础是数据的标准化处理。
如何构成一个综合评价问题呢？
8/10/2020
5
一、数据建模的一般问题
综合评价：
依据相关信息对实际对象所进行的客观、 公正、合理的全面评价。
a ln x b , 3 x 5
数据处理和建模方法在数学建模教学中的应用
数据处理和建模方法在数学建模教
学中的应用
数据处理和建模方法在数学建模教学中的应用是一种重要的教学方法。
它通过对实际问题或事件进行分析，将其转化为数学模型，以便能够更好地理解和描述该问题或事件。
数据处理方法主要是指对各种原始数据进行加工、分析和提取有用信息的过程。
它不仅可以帮助学生更好地理解和掌握实际问题，而且可以使学生学习到如何处理和分析原始数据的能力。
建模方法是指通过计算机建立一个模型来模拟现实中的问题的过程，可以使学生学习如何使用计算机技术来求解问题，并且可以更好地理解现实问题的特性。
数据处理和建模方法在数学建模教学中的应用可以使学生学习如何处理数据，学习如何使用计算机技术来求解问题，以及更好地理解现实问题的特性。
它可以帮助学生更好地理解和掌握实际问题，并且可以使学生能够根据所学的知识，从实践中学习如何利用数学模型去解决现实世界中的问题。
数学建模问题分析
数学建模问题分析
一、数据处理
1、插值拟合：对数据补全和基本趋势分析对数据补全和基本趋势分析插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。
插值的方法多种多样，拟合问题除了用最小二乘，还可以用机器学习OR深度学习算法来实现，但要注意过拟合问题。
2、聚类分析，用于诊断数据异常值并剔除。
聚类分析用数量化的方法对事物进行分类，事物的类别标签未知，但已知样本的多个特征取值。
3、主成分分析，线性判别分析，局部保留投影：多维数据的降维处理，减少数据冗余。
二、分类与判别
1、距离聚类（系统聚类）常用。
2、关联性聚类（常用）。
3、层次聚类。
层次法先计算样本之间的距离。
每次将距离最近的点合并到同一个类。
然后，再计算类与类之间的距离，将距离最近的类合并为一个大类。
不停的合并，直到合成了一个类。
其中类与类的距离的计算方法有：最短距离法，最长距离法，中间距离法，类平均法等。
比如最短距离法，将类与类的距离定义为类与类之间样本的最短距离。
数学建模处理数据的方法
数学建模处理数据的方法
数学建模是一种将实际问题转化为数学问题，并通过数学方法进行分析和求解的过程。
在处理数据时，数学建模可以帮助我们理清数据之间的关系，提取有用的信息，并进行预测和优化。
首先，数学建模可以通过统计方法对数据进行描述和分析。
统计方法可以帮助我们计算数据的均值、方差、相关性等指标，从而揭示数据的一些基本特征。
此外，统计方法还可以进行假设检验，判断数据之间是否存在显著差异。
其次，数学建模还可以利用数据拟合方法对数据进行模型建立和参数估计。
数据拟合可以通过选择合适的函数形式，将数据与模型进行匹配，从而得到最佳拟合曲线或曲面。
这样，我们就可以利用拟合模型进行数据预测和插值。
此外，数学建模还可以利用优化方法对数据进行优化处理。
优化方法可以求解最优化问题，即在给定的约束条件下，寻找使某个目标函数取得最大或最小值的最优解。
通过优化方法，我们可以对数据进行调整、优化和规划，从而实现最优决策。
最后，数学建模还可以利用时间序列分析和回归分析等方法对数据进行预测和回归分析。
时间序列分析可以揭示数据的趋势、周期和季节性变化，从而进行未来的预测。
回归分析可以帮助我们建立因变量与自变量之间的关系模型，并进行参数估计和显著性检验。
总之，数学建模是处理数据的强大工具。
通过数学建模，我们可以从数据中提取有用的信息，进行分析和预测，并优化决策和规划。
数学建模的方法丰富多样，可以根据具体问题和数据特点选择合适的方法进行处理。
数学建模数据处理方法
数学建模数据处理方法数学建模是解决实际问题的重要方法，而数据处理是数学建模中不可或缺的一环。
数据处理方法的好坏直接影响到模型的准确性和可靠性，因此需要对数据进行准确、全面的处理和分析。
下面将从数据采集、数据清洗、数据分析三个方面介绍数学建模中的数据处理方法。
一、数据采集数据采集是数学建模中首先需要完成的工作。
数据采集工作的质量对最终结果的精确度和代表性具有至关重要的影响。
数据采集必须具有相应数据的覆盖范围，数据即时性、真实性和准确性。
采集数据的方法主要有以下几种：1.问卷调查法：通过问卷调查的方式获得数据，是一个经典的数据采集方法。
问卷设计要考虑问题的准确性、问卷的结构和便于回答等因素，其缺点在于有误差和回答方式有主观性。
2.实地调查法：通过实地调查的方式获得数据。
实地调查法拥有远高于其它数据采集方法的数据真实性和准确性，但是它也较为费时费力走，不易操作。
3.网络调查法：通过网络调查的方式获得数据，是应用最广的一种调查方法。
以网络搜索引擎为代表的网络工具可提供大量的调查对象。
在采用网络调查时要考虑到样本的代表性，避免过多的重复样本、无效样本。
此外，由于网络调查法易遭受假冒调查等欺骗行为，结果不能完全符合事实情况。
二、数据清洗在数据采集后，需要对数据进行清洗，以确保数据的准确性和完整性。
数据清洗是数据处理过程中的一项重要工作，它能大大提高数据的质量，保证数据的准确性、真实性和完整性。
数据清洗的过程中主要包括以下几个方面的工作：1.清洗脏数据：包括数据中的重复、缺失、无效和异常值等。
其中缺失值和异常值是数据清洗的重点，缺失值需要根据数据具体情况处理，可采用去除、填充、插值等方式，异常值的处理就是通过人工或自动识别的方式找出这些数据并去除或修正。
2.去除重复数据：在数据采集时出现的重复数据需要进行去重处理，在处理过程中需要注意保持数据的完整性和准确性。
3.清洗无效数据：清洗无效数据是指对数据进行筛选、排序、分组等操作，以得到有意义的数据，提高数据的价值和质量。
数学建模中的几种数据处理方法
揖参考文献铱 咱员暂姜启源,谢金星,叶俊.数学模型[M].第 3 版.北京:高等教育出版社,2003. 咱圆暂司守奎,孙玺菁.数学建模算法与应用[M].北京:国防工业出版社,2011. 咱猿暂何晓群.多元统计分析[M].第 2 版.北京:中国人民大学出版社,2012.
咱责任编辑院杨玉洁暂
作者简介院刘佳渊1986要冤袁女袁淄博职业学院袁现从事高等数学教学尧数学建模竞赛指导等工作遥
5 聚类分析与主成分分析
聚类分析与主成分分析是多元分析的最基本内容袁也是数学建模 中常用到的方法遥 比如 2012 年国赛葡萄酒评价问题尧2013 年城市公 共自行车问题都可以应用聚类分析尧 主成分分分析这类统计分析方 法遥 近年来袁随着数据处理问题越来越多地出现在数学建模竞赛中袁这 一类建模方法也越发受到重视遥 聚类分析是将样品或变量按相似程度 划分类别袁使得同一类中的元素之间的相似性比其他类的元素的相似 性更强遥 聚类分析主要分为 Q 型分析与 R 型分析袁Matlab 软件中 linkage( )与 pdist( )结合可以进行聚类分析遥 主成分分析的原理袁是以 较少数的综合变量取代原有的多维变量袁使数据结构简化袁把原指标 综合成较少几个主成分袁 这几个主成分是原来若干个指标的线性组 合袁它们能尽可能的反应原始变量的信息袁且彼此不相关袁主成分分析 实际是一种降维方法遥 Matlab 中函数 pcacov尧princop尧pcares 都可以进 行主成分分析, 我们以 pcacov 为例说明一下主成分分析的调用方法遥 [coeff,latent,explained]= pcacov(v),其中 v 是总体或样本的相关系数矩 阵袁输出 coeff 是 p 个主成分的系数矩阵袁explained 是这 p 个主成分各 自的贡献率遥
2023年数学建模国赛c题第三问数据处理
2023年数学建模国赛C题第三问涉及到数据处理，这是一个非常重要的主题。
数据处理是指将原始数据转换为可供分析和决策使用的有用信息的过程。
在数学建模比赛中，正确地处理数据可以对模型的准确性和可靠性产生重大影响。
本文将从简到繁地介绍数据处理的基本概念，并重点讨论如何在2023年数学建模国赛C题第三问中进行数据处理。
1. 数据处理的基本概念数据处理是指将原始数据按照一定的方法进行整理、清洗、分析和加工，最终得到有用的信息的过程。
在数学建模中，原始数据通常是通过实地调查或实验获得的，可能存在错误、缺失或不一致的情况。
数据处理是确保数据质量和有效性的重要环节。
2. 数据处理的步骤数据处理的步骤通常包括数据清洗、数据转换和数据分析三个部分。
数据清洗是指识别和纠正数据中的错误、缺失或异常值，以确保数据的准确性和一致性。
数据转换是将原始数据转换为可分析和可视化的形式，常见的方法包括标准化、归一化和离散化。
数据分析是对清洗和转换后的数据进行统计分析、模式识别和预测建模，以得出有用的结论和决策。
3. 2023年数学建模国赛C题第三问的数据处理在2023年数学建模国赛C题第三问中，题目可能会提供原始的大量数据，要求参赛选手根据特定的问题进行数据处理和分析。
解决这一问题需要选手具备良好的数据处理能力。
选手需要对提供的数据进行仔细的清洗和验证，确保数据的准确性和完整性。
选手需要根据题目要求，对数据进行适当的转换和加工，以满足问题的分析和建模需要。
选手需要运用数学建模的相关知识和技能，对经过处理的数据进行深入的分析和建模，得出科学的结论。
4. 个人观点和理解数据处理是数学建模中至关重要的一环，它直接影响着模型的准确性和可靠性。
在处理数据时，严谨的态度和灵活的方法是至关重要的。
另外，良好的数学建模能力和对问题本质的深刻理解也是成功处理数据的关键。
我认为在2023年数学建模国赛C题第三问中，正确地处理数据将会成为取得优异成绩的重要因素之一。
数学建模中的数据处理方法(非常全)
曲线拟合
注意：有时，面对一个实际问题，究竟是 用插值还是用拟合不好确定，还需大家在 实际中仔细区分。同时，大家（包括学过 计算方法的同学）注意去掌握相应的理论 知识。
数值微分与积分
数值积分 数值微分
数值积分
先看一个例子：
现要根据瑞士地图计算其国土面积。于是对地 图作如下的测量：以西东方向为横轴，以南北 方向为纵轴。（选适当的点为原点）将国土最 西到最东边界在x轴上的区间划取足够多的分 点xi，在每个分点处可测出南北边界点的对应 坐标y1 ，y2。用这样的方法得到下表
61.0 68.5 76.5 80.5 91.0 96.0 101.0 104.0 106.5
y1
36
34
41
45
46
43
373328Fra biblioteky2117 118 116 118 118 121 124 121 121
x
111.5 118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0
一维插值
解决上述问题,我们可分两步:
用原始数据绘图作为选用插值方法的参考. 确定插值方法进行插值计算
一维插值(px_lc11.m)
对于上述问题,可键入以下的命令:
x0=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15]';
y0=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6]'
r(i)=(x(i+1)-x(i-1))/(20*x(i));
else
r(length(x))=(x(length(x)-2)-4*x(length(x)-