高考数学难点突破-分类讨论思想和化归思想
高考数学专题讲座--第5讲：数学思想方法之分类思想探讨
【备战2014高考数学专题讲座】 第5讲：数学思想方法之分类思想探讨数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。
通常混称为“数学思想方法”。
常见的数学思想有：建模思想、归纳思想，分类思想、化归思想、整体思想、数形结合思想等。
数学中的所谓分类，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。
它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。
有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。
掌握好这类问题对提高综合学习能力会有很大帮助，它既有利于培养学生的创新精神与探索精神，又有利于培养学生严谨、求实的科学态度。
分类思想解题的过程（思维、动因和方法）我们把它归纳为WHDS 四个方面：W （WHI ）即为什么要进行分类。
一般地说，高考数学中，当我们研究的问题是下列五种情形时可以考虑使用分类的思想方法来解决问题：（1）涉及到分类定义的概念，有些概念是分类定义的，如绝对值的概念等，当我们应用这些概念时就必须考虑使用分类讨论的方法。
（2）直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则，如等比数列的求和公式就分为1q =和1q ≠两种情况；对数函数的单调性就分为11a a ＞，＜两种情况；直线方程分为斜率存在与不存在等，当我们应用这些受到适用范围条件限制的定理、性质、公式、法则来解决问题时，如果在解决问题中需要突破对定理、性质、公式、法则的条件限制可以考虑使用分类讨论的方法。
（3）问题中含有的参变量的不同取值（如分段函数）会导致不同结果而需要对其进行分类讨论。
（4）几何问题中几何图形的不确定（如两点在同一平面的同侧、异侧）而需要对其进行分类讨论；（5）由数学运算引起的分类讨论，如排列组合的计数问题，概率问题又要按题目的特殊要求，分成若干情况研究。
H （HOW ）即如何进行分类。
复习高中数学的5种方法
复习高中数学的5种方法复习高中数学的方法一、课后及时回忆如果等到把课堂内容遗忘得差不多时才复习，就几乎等于重新学习，所以课堂学习的新知识必须及时复习。
可以一个人单独回忆，也可以几个人在一起互相启发，补充回忆。
一般按照教师板书的提纲和要领进行，也可以按教材纲目结构进行，从课题到重点内容，再到例题的每部分的细节，循序渐进地进行复习。
在复习过程中要不失时机整理笔记，因为整理笔记也是一种有效的复习方法。
二、定期重复巩固即使是复习过的内容仍须定期巩固，但是复习的次数应随时间的增长而逐步减小，间隔也可以逐渐拉长。
可以当天巩固新知识，每周进行周小结，每月进行阶段性总结，期中、期末进行全面系统的学期复习。
从内容上看，每课知识即时回顾，每单元进行知识梳理，每章节进行知识归纳总结，必须把相关知识串联在一起，形成知识网络，达到对知识和方法的整体把握。
三、科学合理安排复习一般可以分为集中复习和分散复习。
实验证明，分散复习的.效果优于集中复习，特殊情况除外。
分散复习，可以把需要识记的材料适当分类，并且与其他的学习或娱乐或休息交替进行，不至于单调使用某种思维方式，形成疲劳。
分散复习也应结合各自认知水平，以及识记素材的特点，把握重复次数与间隔时间，并非间隔时间越长越好，而要适合自己的复习规律。
四、重点难点突破对所学的素材要进行分析、归类，找出重、难点，分清主次。
在复习过程中，特别要关注难点及容易造成误解的问题，应分析其关键点和易错点，找出原因，必要时还可以把这类问题进行梳理，记录在一个专题本上，也可以在电脑上做一个重难点“超市”，可随时点击，进行复习。
五、复习效果检测随着时间的推移，复习的效果会产生变化，有的淡化、有的模糊、有的不准确，到底各环节的内容掌握得如何，需进行效果检测，如：周周练、月月测、单元过关练习、期中考试、期末考试等，都是为了检测学习效果。
检测时必须独立，限时完成，保证检测出的效果的真实性，如果存在问题，应该找到错误的根源，并适时采取补救措施进行校正。
高考难点突破：对数专题
高中对数难点突破之一：对数大小一、对数比较大小1、习题：比较两个对数3log 2与8log 5大小2、解法一：由3log 2=9log 4=x ；8log 5=y>1 得94=x ；85=y 故，y x 54>,x>y即：3log 2>8log 5分析1：（1）实数比较大小本质是实数的有序性，（可查询戴德金定律），实数既然有大于，等于，小于，有且仅有三种情况，那么打破“等于”这个“平衡”就得到了不等于。
4<5，两个实数上方同时乘方（大于0）仍然成立，4x <5x ,但是现在y x 54>，说明，x ≤y 不能成立，为达到“平衡”，x>y 必须成立。
（当然你也可以利用逻辑y x 54>>y 4推出，但是没有这种直接，更符合中国人数学的脾气）（2）对数比较大小，源于指数比较大小，无论是“析整法”，“界外值法”或者其它方法，都是首先把对数换成指数才能比较。
因为纳皮尔发明对数的时候，就是从指数入手，或者说指数和对数根本就是一个事物的不同表示方法，对数本质是指数。
（3）为什么将3log 2利用换底公式变成9log 4，是因为变换后，才会出现，4<5乘方后结果是9>8变号不平衡的发生。
这个技巧是不同底不同真对数比较大小的核心，读者细心体会。
（4）当两个对数太接近的时候，在整数范围内，就不太容易或根本找不到像（3）中所说的“不平衡”。
比如把8log 5改成10log 5，整数范围就很难比较了。
但是，这样也失去了考察大家数学能力的意义了，因为我们可以直接按计算器计算3log 2=1.584962510log 5=1.4306765583、解法二、由3log 2=9log 4>9log 5>8log 5 即：3log 2>8log 5分析2：（1）基本想法逻辑是“转化化归思想”，i ）把不同底不同真，转化为同真或同底比较，特别是同真的时候，底数对对数的影响比较“剧烈”，底数大于1的时候，底数越大，对数值越小，这种大小是在一个局部都恒成立，比如，9log 4>9log 5中，对N5log ，不仅仅N=9成立，在9的附近也恒成立，但前提是“附近”，所以ii ）把3log 2升级成9log 4，使得9更接近8，iii ）最后就可以使用同底或同真对数比较方法比较了（2）看似简单其实不是，是因为我们因果倒置的给大家看到的，大家感觉第二个方法简单的错觉。
高考压轴题中的数学思想研究与教学建议——以2010—2019年高考数学全国卷为例
高考压轴题中的数学思想研究与教学建议——以2010—2019年高考数学全国卷为例刘再平收稿日期：2020-06-13基金项目：2019年度陕西省中小学教学能手专项课题——高中生函数综合题解题影响因素的调查与教学研究（GZZ1819084）.作者简介：刘再平（1987—），男，中学一级教师，陕西省教学能手，主要从事高中数学教育与解题研究.摘要：对2010—2019年全国卷函数与导数压轴题中蕴涵的五类核心数学思想——化归思想、函数与方程思想、构造思想、分类思想与数形结合思想展开研究，并且以全国卷压轴题为实例进行了详细阐述，最后针对性地提出了一些教学建议，供师生复习备考时参考.关键词：全国卷；压轴题；数学思想；教学建议一、数学思想的内涵数学思想一词已屡见不鲜，那么何为数学思想？中学数学涉及哪些数学思想？数学思想与数学方法有何区别？数学思想与数学方法是两个不同的概念，很多师生对此比较模糊.数学思想是数学的精髓，是对数学规律的理性认识，是对数学知识的本质认识，是从具体的数学内容和对数学的认知过程中提炼升华的观点，是铭记在人们头脑中起着积极作用的态度、精神和文化.数学思想在数学认知活动中应用广泛，具有普遍的指导意义，是构建和解决数学问题的指导思想.中学数学常见的数学思想有化归思想、分类思想、构造思想、数形结合思想、建模思想、函数与方程思想、极限思想、统计思想、最优化思想等.然而数学方法是指在从数学的角度发现问题、提出问题、分析问题与解决问题的过程中所采取的各种方式、手段与途径等，主要包括配方、换元、消元、放缩等.下面以2010—2019年高考数学全国卷为例进行说明.二、全国卷压轴题中的数学思想统计与分析2010—2019年高考数学全国卷共42套，有42道压轴题，其中35道是函数与导数综合试题，占83.3%，这表明函数与导数题型承担了大部分全国卷压轴题的角色，因此笔者主要研究全国卷函数与导数压轴题中的数学思想.这部分函数与导数压轴题所涉及的数学思想主要有五种：化归思想、分类思想、构造思想、数形结合思想和函数与方程思想，具体统计如下.理科2010年新课程全国卷2011年新课程全国卷2012年新课程全国卷2013年全国Ⅰ卷2013年全国Ⅱ卷2014年全国Ⅰ卷2014年全国Ⅱ卷2015年全国Ⅰ卷2015年全国Ⅱ卷2016年全国Ⅰ卷2016年全国Ⅱ卷2016年全国Ⅲ卷数学思想分类、化归、构造、函数与方程构造、分类、数形结合、函数与方程、化归分类、构造、函数与方程、化归构造、分类、化归、函数与方程化归、数形结合构造、化归、数形结合、函数与方程分类、数形结合、构造、函数与方程分类、构造、化归、数形结合、函数与方程分类、化归、构造、数形结合、函数与方程分类、构造、化归、数形结合、函数与方程构造、函数与方程、化归构造、化归、分类、函数与方程表1理科2017年全国Ⅰ卷2017年全国Ⅱ卷2017年全国Ⅲ卷2018年全国Ⅰ卷2018年全国Ⅱ卷2018年全国Ⅲ卷数学思想分类、化归、构造、数形结合、函数与方程构造、分类、数形结合、函数与方程、化归分类、数形结合、化归分类、构造、函数与方程、化归构造、化归、分类、数形结合、函数与方程构造、数形结合、分类、函数与方程续表文科2010年新课程全国卷2011年新课程全国卷2012年新课程全国卷2013年全国Ⅱ卷2014年全国Ⅰ卷2014年全国Ⅱ卷2015年全国Ⅰ卷2015年全国Ⅱ卷2016年全国Ⅰ卷2016年全国Ⅲ卷2017年全国Ⅰ卷2017年全国Ⅱ卷2017年全国Ⅲ卷2018年全国Ⅰ卷2018年全国Ⅱ卷2018年全国Ⅲ卷2019年全国Ⅱ卷数学思想构造、分类、数形结合、函数与方程构造、分类、数形结合、函数与方程、化归构造、化归、分类、函数与方程构造、数形结合、函数与方程构造、分类、化归、函数与方程化归、构造、分类、数形结合、函数与方程分类、数形结合、化归分类、化归、构造、数形结合、函数与方程分类、构造、化归、数形结合、函数与方程化归、构造、数形结合、函数与方程分类、构造、函数与方程、化归构造、分类、数形结合、函数与方程、化归分类、构造、函数与方程、化归构造、函数与方程、化归分类、化归、构造、函数与方程构造、分类、函数与方程、化归构造、化归、数形结合、函数与方程表2从表1、表2中可以得到以下结论.（1）全国卷中35道函数与导数压轴题都对数学思想有所考查，具有普遍性，要引起师生复习备考的重视.（2）全国卷函数与导数压轴题对化归思想、函数与方程思想、构造思想、分类思想与数形结合思想要求较高.具体来说，对函数与方程思想和构造思想的考查最频繁，达到32道题，占91.4%；对化归思想的考查也十分频繁，达到31道题，占88.6%；对分类讨论思想的考查频率也较高，达到28道题，占80.0%；对数形结合思想虽然要求最低，但也查考了22道题，占62.9%.（3）全国卷函数与导数压轴题在考查数学思想上具有综合性，没有考查单一的数学思想，仅涉及两种数学思想的函数与导数压轴题也只有1道题，占2.9%，其他34道压轴题都综合考查了三种以上的数学思想，占97.1%.三、全国卷压轴题中数学思想的具体分析下面以全国卷中函数与导数压轴题为例，对上述五种数学思想进行具体阐述.限于篇幅，本文只分析数学思想的运用思路，不给出详细的解答过程.1.函数与方程思想（1）函数与方程思想的内涵.函数思想是基于对函数概念本质的认识，用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征并建立函数关系，用函数的知识来观察、分析和解决问题的一种思维方式.方程思想是基于对方程概念本质的认识，根据问题所表达的含义设置未知量，进而根据题设中各个量之间的关联，建立变量之间的等量关系，列出方程或方程组去分析问题，使问题获得解决的一种思维方式.函数与方程联系紧密，可以相互转化，若函数有解析式，则这个解析式就可以看作方程；反过来，在二元方程中，若两个非空实数集变量间存在着某种对应关系，则这个方程就能看成一个函数.例如，解方程f()x=0可以看成求函数y=f()x的零点；求函数y=f()x与函数y=g()x的交点可以视为求方程f()x=g()x的解.（2）函数与方程思想的运用原则.在运用函数与方程思想时，需要遵循以下原则.转化等价性原则.函数与方程相互转化的前提是要保证转化的等价性.例如，在三角转化过程中要注意三角函数的有界性，从而避免扩大函数的定义域.简单性原则.在数学解题中，频繁的复杂推理和运算会消磨学生的数学学习兴趣，所以要善于对比和辨析，在可接受的范围内追求解法的简约性.例如，2012年新课程全国卷文科第21题可以通过变参分离.将原问题转化为函数与方程问题，再通过隐含零点的代换解决.但这样解决比较烦琐，直接运用不等式与函数的最值解决更为简洁.（3）函数与方程思想的思维程序.函数与方程思想的思维程序，如图1所示.图1【评析】函数与方程是高中数学学习的主线，函数与方程思想也是高中阶段运用最频繁的数学思想，在解决相关问题时要有运用函数与方程转化的意识.函数与方程的引入方法很多，特别是函数的引入方法更为丰富，如整体引入、局部引入、参变分离引入、分离函数引入、作差引入等.在解决引入的函数与方程问题时，通常会用到函数的单调性、奇偶性、周期性、函数最值或函数的图象等.例1（2018年全国Ⅱ卷·理21）已知函数f()x= e x-ax2.（1）若a=1，证明：当x≥0时，f()x≥1；（2）若f()x在()0，+∞只有一个零点，求a.思路：（1）略.（2）函数f()x在()0，+∞只有一个零点，即方程f()x=0在()0，+∞只有一个根，通过代数变形，得方程1-ax2e-x=0在()0，+∞只有一个根.所以引入函数g()x=1-ax2e-x.问题转化为函数g()x的图象在()0，+∞上与x轴只有一个交点.【评析】由于函数的零点就是令函数值等于0的方程的根，也是函数图象与x轴交点的横坐标，所以函数零点与方程的转化是运用函数与方程思想解题的典范.2.构造思想（1）构造思想的内涵.构造思想是指在解决数学问题的过程中，先对问题的条件和实质进行透彻地分析和深刻地理解，根据问题条件与结论之间的联系或问题的特征，借助长期积累的解题经验，发挥丰富的想象力和创造性思维，构造出与问题有关的辅助模型，然后通过解决辅助模型来解决原问题，即将原问题的模式转化为更能反映问题本质特征的新模式的思想方法.构造思想不仅在高考和竞赛中有着广泛的运用，而且对数学的发展也有极大的推动作用.数学家乔治∙波利亚在其编制的享誉世界的解题纲领“怎样解题表”中对构造思想给予了高度评价.（2）构造思想的思维程序.运用构造思想解题通常包括构造恒等式、构造方程、构造函数、构造不等式、构造数列、构造复数、构造平面图形、构造立体图形、构造解析模型等.函数与导数压轴题中构造思想的核心是构造函数，构造函数有一定的规律可循，思维程序如图2所示.图2例2（2017年全国Ⅱ卷·理21）已知函数f()x= ax2-ax-x ln x，且f()x≥0.（1）求a；（2）证明：f()x存在唯一的极大值点x0，且e-2<f()x0<2-2.思路：（1）略；（2）对函数f()x=x2-x-x ln x求导，得f′()x=2x-2-ln x.以函数f()x的导数构造函数，得g()x=f′()x=2x-2-ln x，x>0.【评析】当函数求导后，若令导函数等于0的方程很难求解时，由于高中阶段还没有学习二阶导数，所以需要以导函数为基础构造新函数，继续求导解决问题，这是十分常见的构造函数的方法.其他的函数构造方法还有整体构造、局部构造、多重构造、和差构造、变参分离构造、常数分离构造等.3.化归思想（1）化归思想的内涵.化归思想是指将一个待解决的复杂疑难问题通过变换与转化，归结为相对简单的、可解决的问题的一种方法，又称为转化与化归思想.化归思想的原则是化陌生为熟悉、化复杂为简单、化抽象为直观、化模糊为明朗、化未知为已知等.化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种基本的、有效的思维方式与策略，化归思想在数学解题中运用广泛，几乎无处不在.俄国著名数学家C.A.雅洁卡娅对化归思想有着高度的评价：数学解题就是把要解的问题转化与化归为已经解过的问题.化归思想的实质是揭示问题之间的联系，从而实现问题的转化.（2）化归思想的思维程序.化归思想的思维程序如图3所示.【评析】观察与联系是运用化归思想正确解决问题的前提.观察时需要思考问题的条件、隐含条件和要解决的问题是什么，问题属于哪一种类型，问题的配图和算式有什么特点，等等.联系时需要思考题目的条件和结论有什么联系，此题或同类型的问题以前见过或做过吗，当时是如何考虑的，用了哪些知识和方法，需要注意什么细节，等等.变换与转化是运用化归思想解决问题的核心.常用的变换主要有放缩、待定系数法、配方法、整体代入法及动静结合法等.常见的转化通常有数与形的转化、空间与平面的转化、高维与低维的转化、多元与单元的转化、高次与低次的转化、超越式与代数式的转化等.例3（2016年全国Ⅲ卷·文21）设函数f()x=ln x-x+1.（1）讨论f()x的单调性；（2）证明当x∈()1，+∞时，1<x-1ln x<x；（3）设c>1，证明当x∈()0，1时，1+()c-1x>c x.思路：（1）略.（2）要证1<x-1ln x<x，即证x-1ln x-1>0，x-1ln x-x<0，构造函数g()x=x-1-1，h()x=x-1-x，将证明不等式成立转化为证明函数g()x>0，h()x<0.（3）要证1+()c-1x>c x，即证c x-1-()c-1x<0.构造函数g()x=c x-()c-1x-1，x∈()0，1，即将不等式问题转为证明函数g()x<0.【评析】函数与不等式综合问题是全国卷中出现频率最高的压轴题型，这类压轴题通常可以化归为函数问题解决，这也是解决此类问题的通法.4.分类思想（1）分类思想的内涵.若问题的结论不确定或不能以统一的形式进行研究表述，那么通常需要按照一定的标准将问题分成若干类，转化成若干个小问题，当每一类小问题解决之后，再将其结果进行统一整合，来解决原问题的数学思想被称为分类思想.用分类思想解决问题时必须保证分类科学，并力求简洁，所以分类思想在培养学生逻辑思维能力方面具有重要的价值.实际上，分类不仅是一种重要的数学思想，还是一种解决问题的思维方式，可以广泛应用到其他科学研究领域，也会对我们未来的生活和工作产生积极的影响.（2）分类思想的运用原则.在运用分类思想时，需要遵循以下原则.①在同一层分类中，其分类标准必须统一，即只能有一个标准；②分类的过程需要按照一定的逻辑顺序，遵守“不重不漏”的原则，既不出现重复讨论的情况，也不存在任何遗漏；③当问题需要分多层讨论时，不能出现“跃层讨论”的混乱现象，要注意讨论的层次性和完整性.（3）分类思想的思维程序.分类讨论思想的思维程序如图4所示.图4【评析】分类思想的思维程序研究分类标准是运用分类思想解决问题的关键环节.分层整合时一般是将同层中的每类结果与其前提条件求交集，而统一整合时一般求每一层结果的并集.不必见参数就盲目讨论，有时变参分离、消元、变换主元、整体处理等可以避免讨论，要善于优化讨论，使问题的解决变得更简洁.例4（2014年全国Ⅰ卷·文21）设函数f()x=a ln x +1-a 2x 2-bx ()a ≠1，曲线y =f ()x 在点()1，f ()1处的切线斜率为0.（1）求b ；（2）若存在x 0≥1，使得f ()x 0<a a -1，求a 的取值范围.思路：（1）略.（2）对f ()x =a ln x +1-a 2x 2-x 求导，得f ′()x =()1-a ()x -1xæèöøx -a 1-a .因为x >0，a ≠1，所以令f ′()x =0，则两根为x 1=1，x 2=a 1-a，然而两根的大小关系不能确定，函数的单调性不明晰，所以以根的大小关系为标准进行分类讨论：x 1>x 2；x 1=x 2；x 1<x 2.【评析】导函数等于0的方程的根往往直接影响着函数的单调性，函数的单调性是继续解决问题的基础，所以当根的大小关系不明确时，往往需要以根的大小为标准分三类进行讨论，这也是常用的分类方法.当然，常见的分类标准还有参数正负讨论、判别式法、点动型、区间动型等.5.数形结合思想（1）数形结合思想的内涵.数形结合思想主要指数与形之间的一种对应关系，将抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系等结合起来，通过代数问题与图形之间的相互转化，将抽象思维与形象思维进行结合，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的.数形结合思想是处理数学问题的重要指导思想和基本策略，也是中学阶段最典型与最重要的思想方法之一.我国著名数学家华罗庚教授对数形结合思想有着高度的评价：“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非.”（2）数形结合思想的类型.数形结合思想主要有以下三种类型.以形助数.以形助数主要指将代数问题转化为几何问题，然后用几何的方法去解决问题，具体方法有构造距离、斜率模型、构造平面图形、构造立体图形等.以数解形.以数解形主要指将几何问题转化为代数问题，然后再用代数的方法去解决问题，具体方法有函数法、解析法、三角法等.数形互助.数形互助主要指将代数问题与几何问题根据题目相互转化，最终达到解决问题的目的，具体方法有面积法、体积法等.例5（2013年全国Ⅱ卷·理21）已知函数f ()x =e x -ln ()x +m .（1）设x =0是f ()x 的极值点，求m ，并讨论f ()x 的单调性；（2）当m ≤2时，证明f ()x >0.思路：（1）略.（2）如图5，得e x >ln ()x +2，所以要证m ≤2时，f ()x >0，即证e x -ln ()x +m ≥e x -ln ()x +2>0.)x +2图5【评析】函数伴随着图象，运用数形结合思想解决函数与导数压轴题时，需要根据题意直接或间接作出题意所表征的图象，数形互助，不但体现了问题的数学本质，而且简化了解题过程，提高了解题效率.四、教学建议数学思想在全国卷函数与导数压轴题中的运用几乎无处不在，需要引起师生的高度注意，当然，同一道函数与导数压轴题的解决视角不同，其运用的数学思想有所差异，这就需要师生的辨析与优化.那么，在日常教学中应该如何渗透数学思想呢？1.充分挖掘教材中的数学思想教材在探究对数函数的图象与性质时，通过对底数进行分类处理渗透了分类思想，通过借助指数函数的图象与性质来研究对数函数渗透了化归思想，通过（下转第77页）等联系密切.教学中，不仅要让学生认识、了解数学，也要让学生感受到数学的广博性和应用性，激发起学生对数学的兴趣和热爱.教学中可以适当设置一些问题情境，让学生对获取的信息进行归纳、整理及分类，从而抽象概括出数学问题，经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的全过程，体会数学在生活中的重要作用.在解析几何的教学中，教师要带领学生经历用坐标法求解问题的过程——从实际问题情境中，抽象出圆锥曲线问题，如行星运行轨迹、平抛运动轨迹等；利用其几何特征，科学合理地建立坐标系，用代数语言刻画几何问题；结合直观想象，利用代数运算，求得结论；得出相应的几何解释，解决问题.让学生经历问题解决的过程，增强数学应用意识，激发数学学习的热情.4.数学教学要紧跟学术的前沿，以课程改革为路径数学教育要秉持德育为先、能力为重、全面发展的教育理念.在教学中，教师不仅要随时更新自己的知识库，也要不断反思、变革教法和学法，以学生的全面发展为根本，改进学生的培养模式.推广利用自主、合作与探究的学习方式，以及启发、讨论、参与的教学方式，进一步增强育人的针对性与实效性.让学生主动参与学习的探究过程，学会合作，共享思维的汇聚和碰撞，感受知识的发生，体会知识间的联系，从而组建数学知识体系.教学中，教师应积极利用“互联网+”辅助教学的模式，更好地获取、整合并利用教学资源.在解析几何的教学中，可利用计算机软件向学生演示曲线的形成过程、相关参数对曲线的影响，以及曲线之间的相互位置关系等.同时，也可以带领学生去追溯解析几何的发展史及其对人类文明的贡献，撰写相关的数学小论文.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京:人民教育出版社，2018.［2］朱立明，胡洪强，马云鹏.数学核心素养的理解与生成路径：以高中数学课程为例［J］.数学教育学报，2018，27（1）：42-46.［3］史宁中，林玉慈，陶剑，等.关于高中数学教育中的数学核心素养：史宁中教授访谈之七［J］.课程教材教法，2017，37（4）：8-14.［4］陈蓓.高中生数学核心素养评价指标研究［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2019（9）：39-46.［5］曹一鸣，冯启磊，陈鹏举.基于学生核心素养的数学学科能力研究［M］.北京：北京师范大学出版社，2017.用函数图象来概括性质渗透了数形结合思想等，这些教材核心内容都是渗透数学思想的优质素材.2.重视数学概念课与章末复习课教学因为数学概念的生成与发展往往渗透着数学思想，章末复习课不仅要组织学生完成习题，更要突出章末复习课的两个核心功能：构建本章节知识的思维结构和渗透数学思想方法.3.有目的、有意识地突出数学思想加强数学思想教学，展示数学思想在指导数学解题方面的魅力，并通过讲练结合、合作探究与归纳领悟等多种方式促进学生感悟数学思想，提高学生灵活运用数学思想解决问题的能力.4.有计划、有步骤循序渐进地渗透数学思想由于数学思想教学具有隐晦性、活动性、主观性和差异性，所以数学思想的教学不是一蹴而就、一气呵成的，它需要教师长期的渗透，学生慢慢的感悟和运用，这是一个静待花开的过程.参考文献：［1］钱佩玲.数学思想方法与中学数学［M］.北京：北京师范大学出版社，2008.［2］张运筹.全国历届数学高考题解集［M］.合肥：中国科学技术大学出版社，2013.［3］刘再平.例谈构造辅助函数破解高考压轴题的方法［J］.中学数学教学，2018（6）：43-46.［4］刘再平.含参导数综合题分类讨论的标准探究［J］.教学考试，2018（29）：64-65.（上接第69页）。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题23分类讨论思想、转化与化归思想(热点难点突破)文(含解析)
2.设函数 f(x)＝32xx，－x1≥，1x，<1， 则满足 f(f(a))＝2f(a)的 a 的取值范围是(
)
A.23，1 B.[0，1] C.23，＋∞ Df(a)得 f(a)≥1.
当 a<1 时，有 3a－1≥1，
ln x，x＞0，
7.已知函数 f(x)＝mx，x<0，
若 f(x)－f(－x)＝0 有四个不同的实根，则 m 的取值范围是( )
A.(0，2e) C.(0，1)
B.(0，e)
D.0，1e
8.已知函数 f(x)＝x(ex－e－x)－cos x 的定义域为[－3，3]，则不等式 f(x2＋1)>f(－2)的解集为( ) A.[－ 2，－1] B.[－ 2， 2] C.[－ 2，－1)∪(1， 2] D.(－ 2，－1)∪(1， 2) 答案 C 解析 因为 f(－x)＝－x(e－x－ex)－cos(－x)＝x(ex－e－x)－cos x＝f(x)，所以函数 f(x)为偶函数，令 g(x) ＝xex－e1x，易知 g(x)在[0，3]上为增函数，令 h(x)＝－cos x，易知 h(x)在[0，3]上为增函数，故函数 f(x)＝x(ex－e－x)－cos x 在[0，3]上为增函数，所以 f(x2＋1)>f(－2)可变形为 f(x2＋1)>f(2)，所以 2<x2 ＋1≤3，解得－ 2≤x<－1 或 1<x≤ 2，故不等式 f(x2＋1)>f(－2)的解集为[－ 2，－1)∪(1， 2]. 9.已知函数 f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则 a＋b＝________.
解得a＝12， b＝－2，
所以 a＋b＝－32.
10.设
专题1-1 三角函数 重难点、易错点突破(含答案)
专题1-1 三角函数重难点、易错点突破（建议用时：180分钟）1 同角三角函数关系巧应用同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系的巧应用.一、知一求二例1 已知sin α＝255，π2≤α≤π，则tan α＝_________________________________.二、“1”的妙用例2 证明：1－sin 6x －cos 6x 1－sin 4x －cos 4x ＝32.三、齐次式求值例3 已知tan α＝2，求值：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝________； (2)2sin 2α－3cos 2α＝________.2 三角函数的性质总盘点三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”.要能够灵活地运用性质，必须在脑海中能及时地浮现出三角函数的图象.下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们用心体会.一、定义域例1 函数y ＝cos x －12的定义域为________.二、值域与最值例2 函数y ＝cos(x ＋π3)，x ∈(0，π3]的值域是________.三、单调性例3 已知函数f (x )＝sin(π3－2x )，求： (1)函数f (x )的单调减区间；(2)函数f (x )在[－π，0]上的单调减区间.四、周期性与对称性例4 已知函数f (x )＝sin(2ωx －π3)(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象的对称轴方程是________.五、奇偶性例5 若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π))是偶函数，则φ＝________.1 善用数学思想——巧解题一、数形结合思想例1 在(0，2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________.二、分类讨论思想例2 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值.三、函数与方程的思想例3 函数f (x )＝3cos x －sin 2x (π6≤x ≤π3)的最大值是________.四、转化与化归思想例4 比较下列两个数的大小tan(－13π4)与tan(－17π5).2 三角恒等变形的几个技巧三角函数是高考的热点，素以“小而活”著称．除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧．下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助．一、灵活降幂例1 3－sin 70°2－cos 210°＝________. 二、化平方式例2 化简求值：12－1212＋12cos 2α(α∈(3π2，2π))．三、灵活变角例3 已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝________. 四、构造齐次弦式比，由切求弦例4 已知tan θ＝－12，则cos 2θ1＋sin 2θ的值是________． 五、分子、分母同乘以2n sin α求cos αcos 2αcos 4α·cos 8α…cos 2n －1α的值例5 求值：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.1 数形结合百般好，形象直观烦琐少——构建正弦、余弦函数图象解题正弦、余弦函数的图象是本章的重点，也是高考的一个热点，它不仅能直观反映三角函数的性质，而且它还有着广泛的应用，若能根据问题的题设特点灵活构造图象，往往能直观、准确、快速解题.一、确定函数的值域例1 定义运算a ※b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，例如，1※2＝1，则函数f (x )＝sin x ※cos x 的值域为________.二、确定零点个数例2 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －sin x 在区间[0，2π]上的零点个数为________.三、确定参数的值例3 已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝_________.四、判断函数单调性例4 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )________.(将正确说法的序号填上) ①在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上是单调增函数 ②在区间⎣⎡⎦⎤3π4，13π12上是单调增函数 ③在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π4上是单调减函数 ④在区间⎣⎡⎦⎤π3，5π6上是单调减函数 五、确定参数范围例5 当0≤x ≤1时，不等式sinπx 2≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是________. 六、研究方程的实根例6 已知方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝k 在[0，π]上有两个实数根x 1，x 2，求实数k 的取值范围，并求x 1＋x 2的值.2 聚焦三角函数最值的求解策略一、化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求解例1 求函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋sin 2x cos 2x 2－sin 2x的最值．例2 求函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小值，并写出y 取最小值时x 的集合．二、利用正弦、余弦函数的有界性求解例3 求函数y ＝2sin x ＋12sin x －1的值域．例4 求函数y ＝sin x ＋3cos x －4的值域．三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例5 设关于x 的函数y ＝cos 2x －2a cos x －2a 的最小值为f (a )，写出f (a )的表达式．四、利用函数的单调性求解例7 求函数y ＝(1＋sin x )(3＋sin x )2＋sin x的最值．例8 在Rt △ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上，设AB ＝a ，∠ABC ＝θ，△ABC 的面积为P ，正方形面积为Q .求P Q的最小值．易错问题盘点一、求角时选择三角函数类型不当而致错例1 已知sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，求α＋β的值．二、忽视条件中隐含的角的范围而致错例2 已知tan 2α＋6tan α＋7＝0，tan 2β＋6tan β＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．三、忽略三角形内角间的关系而致错例3 在△ABC 中，已知sin A ＝35，cos B ＝513，求cos C .四、忽略三角函数的定义域而致错例4 判断函数f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x的奇偶性．五、误用公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)而致错例5 若函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)，x ∈R 是偶函数，求θ的值．专题1-1 三角函数重难点、易错点突破参考答案1 同角三角函数关系巧应用例1 解析 由sin α＝255，且sin 2α＋cos 2α＝1得cos α＝±55， 因为π2≤α≤π，可得cos α＝－55，所以tan α＝sin αcos α＝－2. 答案 －2点评 已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用平方关系求另一弦函数值，再求切函数值，需要注意的是利用平方关系时，若没有角度的限制，要注意分类讨论.例2 证明 因为sin 2x ＋cos 2x ＝1，所以1＝(sin 2x ＋cos 2x )3，1＝(sin 2x ＋cos 2x )2，所以1－sin 6x －cos 6x 1－sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )3－sin 6x －cos 6x (sin 2x ＋cos 2x )2－sin 4x －cos 4x＝3sin 4x cos 2x ＋3cos 4x sin 2x 2sin 2x cos 2x ＝3(sin 2x ＋cos 2x )2＝32. 即原命题得证.点评 本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解.例3 解析 (1)因为cos α≠0，分子分母同除以cos α，得2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1. (2)2sin 2α－3cos 2α＝2sin 2α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α， 因为cos 2 α≠0，分子分母同除以cos 2α，得2sin 2α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan 2α＋1＝2×22－322＋1＝1. 答案 (1)－1 (2)1点评 这是一组在已知tan α＝m 的条件下，求关于sin α、cos α的齐次式值的问题.解这类问题需注意以下几点：(1)一定是关于sin α、cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos α≠0，所以分子、分母可同时除以cos n α(n ∈N ＋).这样可以将所求式化为关于tan α的表达式，整体代入tan α＝m 的值求解.2 三角函数的性质总盘点例1解析 由题意得cos x ≥12，所以2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z . 即函数的定义域是[2k π－π3，2k π＋π3]，k ∈Z . 答案 [2k π－π3，2k π＋π3]，k ∈Z 点评 解本题的关键是先列出保证函数式有意义的三角不等式，然后利用三角函数的图象或者单位圆中三角函数线求解.例2 解析 因为0<x ≤π3，所以π3<x ＋π3≤23π，f (x )＝cos x 的图象如图所示： 可知cos 23π≤cos(x ＋π3)<cos π3，即－12≤y <12.故函数的值域是[－12，12). 答案 [－12，12) 点评 解本题的关键是从x 的范围入手，先求得ωx ＋φ的范围，再结合余弦函数的图象对应得出cos(ωx ＋φ)的范围，从而可得函数的值域或者最值.例3 解 由f (x )＝sin(π3－2x )可化为f (x )＝－sin(2x －π3). 所以原函数的单调减区间即为函数y ＝sin(2x －π3)的单调增区间. (1)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 所以f (x )＝sin(π3－2x )的单调减区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z . (2)在减区间[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z 中， 令k ＝－1、0时，可以得到当x ∈[－π，0]时，f (x )＝sin(π3－2x )的单调减区间为[－π，－7π12]，[－π12，0]. 点评 解本题的关键是先把函数化为标准形式y ＝sin(ωx ＋φ)，ω>0，然后把ωx ＋φ看做一个整体，根据y ＝sin x 的单调性列出不等式，求得递减区间的通解；如果要求某一个区间上的单调区间，再对通解中的k 进行取值，便可求得函数在这个区间上的单调区间.例4 解析 由T ＝π＝2π2ω得ω＝1， 所以f (x )＝sin(2x －π3)， 由2x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，解得f (x )的对称轴为x ＝5π12＋k π2，k ∈Z . 答案 x ＝5π12＋k π2，k ∈Z 点评 解本题的关键是先由周期公式求得ω的值，再解决对称轴问题，求解对称轴有两种方法：一种是直接求得函数的对称轴；另一种是根据对称轴的特征——对应的函数值为函数的最值解决.同样地，求解对称中心也有两种方法.例5 解析 函数是偶函数，所以函数关于x ＝0对称.由x ＋φ3＝π2＋k π，k ∈Z ，可得函数的对称轴方程是x ＝x 3π2＋3k π－φ，k ∈Z .令3π2＋3k π－φ＝0，k ∈Z ， 解得φ＝3π2＋3k π，k ∈Z ，又φ∈[0，2π)，故φ＝3π2. 答案 3π2点评 解本题的关键是把奇偶性转化为对称性解决：偶函数⇔函数图象关于y 轴对称；奇函数⇔函数图象关于原点对称.1 善用数学思想——巧解题例1 解析 在同一坐标系中画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈(0，2π)的图象如图： 由图知，x ∈(π4，5π4).答案 (π4，5π4)点评 求解三角函数的方程、不等式时，通常利用函数的图象使问题变得更简单. 例2 解 角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上， 在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ， r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |.当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34，综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34； 或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.点评 (1)若角的终边位置象限不确定，应分类讨论.(2)若三角函数值含有变量，因变量取不同的值会导致不同的结果，需要讨论.例3 解析 f (x )＝3cos x －sin 2x ＝cos 2x ＋3cos x －1＝(cos x ＋32)2－74， 设cos x ＝t ，因为π6≤x ≤π3，所以由余弦函数的单调性可知，12≤cos x ≤32，即12≤t ≤32，又函数f (t )＝(t ＋32)2－74在[12，32]上是单调增函数，故f (t )max ＝f (32)＝54，所以f (x )的最大值为54. 答案 54点评 遇平方关系，可想到构造二次函数，再利用二次函数求解最大值. 例4 解 tan(－13π4)＝－tan π4，tan(－17π5)＝－tan 2π5.因为0<π4<2π5<π2，且y ＝tan x 在(0，π2)上是单调增函数，所以tan π4<tan 2π5.所以－tan π4>－tan 2π5，即tan(－13π4)>tan(－17π5).点评 三角函数值比较大小问题一般将其转化到某一三角函数的一个单调区间内，然后利用三角函数的单调性比较大小.另外诱导公式的使用也充分体现了将未知化为已知的化归与转化思想.2 三角恒等变形的几个技巧例1 解析3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝3－cos 20°3－cos 20°2＝2.答案 2点评 常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1进行降幂：如cos 4θ＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ＝1－12sin 22θ，等等．例2 解 因为α∈(3π2，2π)，所以α2∈(3π4，π)， 所以cos α>0，sin α2>0，故原式＝12－121＋cos 2α2＝ 12－12cos α＝ sin 2α2＝sin α2.点评 一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α、1－cos 2α、1＋sin 2α、1－sin 2α常常化为平方式：2cos 2α、2sin 2α、(sin α＋cos α)2、(sin α－cos α)2.例3 解析 cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1＝2sin 2(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79.答案 －79点评 正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“π6－α”表示待求角“2π3＋2α”，善于发现前者和后者的一半互余．例4 解析 cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＋2sin θcos θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＋2tan θ＝1－141＋14＋2×(－12)＝3414＝3.答案 3点评 解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“cos 2θ1＋sin 2θ”化为关于sin θ和cos θ的二次齐次弦式比．例5 解 原式＝12cos 20°cos 40°cos 80°＝4sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°8sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°8sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝116·sin 160°sin 20°＝116.点评 这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.1 数形结合百般好，形象直观烦琐少——构建正弦、余弦函数图象解题例1 解析 根据题设中的新定义，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x >cos x ，作出函数f (x )在一个周期内的图象，如图可知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 答案 ⎣⎡⎦⎤－1，22点评 有关三角函数的值域的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确地求解. 例2 解析 在同一直角坐标系内，画出y ＝⎝⎛⎭⎫12x及y ＝sin x 的图象，由图象可观察出交点个数为2. 答案 2点评 有关三角函数的交点个数的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确求解.例3 解析 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)且f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3， 又f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内只有最小值、无最大值，画出函数大致图象，如图所示， ∴f (x )在π6＋π32＝π4处取得最小值.∴π4ω＋π3＝2k π－π2(k ∈Z ).∴ω＝8k －103(k ∈Z ). ∵ω>0，∴当k ＝1时，ω＝8－103＝143；当k ＝2时，ω＝16－103＝383，此时在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内已存在最大值.故ω＝143. 答案143点评 本小题考查对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质的理解与应用，求解本题应注意两点：一是f (x )在π4处取得最小值；二是在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内只有最小值而无最大值，求解时作出其草图可以帮助解题.例4 解析 作出函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象如图所示.由图象可知②正确. 答案 ②点评 形如f (x )＝|A sin(ωx ＋φ)＋k |(A ≠0，ω≠0)的函数性质，可作出其图象，利用数形结合思想求解. 例5 解析 作出函数y ＝sinπx2，y ＝kx 的函数图象，如图所示.当k ≤0时，显然成立；当0<k ≤1时，由图象可知： sinπx2≥kx 在[0，1]上成立.综上所述，k ≤1. 答案 (－∞，1]点评 数形结合时，函数图象要根据题目需要作得精确可信，必要时应结合计算判断.本题讨论y ＝kx 与y ＝sinπx2的图象关系时，不要忘记k ≤0的情况. 例6 解 在同一坐标系内作出函数y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4(0≤x ≤π)与y 2＝k 的图象，如图所示.当x ＝0时，y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫0＋π4＝1. 所以当k ∈[1，2)时，两曲线在[0，π]上有两个交点，即方程有两个实数根x 1、x 2，且x 1、x 2关于x ＝π4对称，x 1＋x 2＝π2.故实数k 的取值范围是[1，2)，且x 1＋x 2＝π2.点评 本题通过函数图象的交点个数判断方程实数根的个数，应重视这种方法.2 聚焦三角函数最值的求解策略例1 解 原函数变形得：f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－sin 2x cos 2x2－sin 2x＝1－14sin 22x 2－sin 2x＝⎝⎛⎭⎫1＋12sin 2x ⎝⎛⎭⎫1－12sin 2x 2⎝⎛⎭⎫1－12sin 2x ＝14sin 2x ＋12.∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝14.例2 解 原函数化简得：y ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2. 当2x ＋π4＝2k π＋32π，k ∈Z ，即x ＝k π＋58π，k ∈Z 时，y min ＝2－ 2.此时x 的集合为{x |x ＝k π＋58π，k ∈Z }．点评 形如y ＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数)的式子，都能转化成y ＝A sin(2ωx ＋φ)＋B 的形式求最值．例3 解 原函数整理得sin x ＝y ＋12(y －1).∵|sin x |≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋12(y －1)≤1，解出y ≤13或y ≥3.即函数的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，13∪[3，＋∞)． 例4解 原函数整理得sin x －y cos x ＝－4y －3，∴y 2＋1sin(x ＋φ)＝－4y －3， ∴sin(x ＋φ)＝－4y －31＋y 2.∵|sin(x ＋φ)|≤1，解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4y －31＋y 2≤1得：－12－2615≤y ≤－12＋2615. 即值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2615，－12＋2615.点评 对于形如y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d 或y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d 的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值．例5 解y ＝cos 2x －2a cos x －2a ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫cos x －a 22－⎝⎛⎭⎫a 22＋2a ＋1.当a2<－1，即a <－2时，f (a )＝y min ＝1，此时cos x ＝－1. 当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，f (a )＝y min ＝－a 22－2a －1，此时cos x ＝a2.当a2>1，即a >2时，f (a )＝y min ＝1－4a ，此时cos x ＝1. 综上所述，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(a <－2)，－a22－2a －1(－2≤a ≤2)，1－4a (a >2).点评 形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数可转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 在区间[－1,1]上的最值问题解决．例6 解 设sin x ＋cos x ＝t ，t ∈[－2， 2 ]，则2sin x cos x ＝t 2－1，原函数变为y ＝t 2＋t ＋1，t ∈[－2，2 ]，当t ＝－12时，y min ＝34；当t ＝2时，y max ＝3＋ 2.点评 一般地，既含sin x ＋cos x (或sin x －cos x )又含sin x cos x 的三角函数采用换元法可以转化为t 的二次函数解最值．注意以下结论的运用，设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(t 2－1)；sin x －cos x ＝t ，则sin x cosx ＝12(1－t 2)． 例7 解 y ＝sin 2x ＋4sin x ＋3sin x ＋2＝(sin x ＋2)2－1sin x ＋2＝(sin x ＋2)－1(sin x ＋2)，令t ＝sin x ＋2，则t ∈[1,3]，y ＝t －1t.利用函数单调性的定义易证函数y ＝t －1t 在[1,3]上为增函数．故当t ＝1即sin x ＝－1时，y min ＝0； 当t ＝3即sin x ＝1时，y max ＝83.例8 解 AC ＝a tan θ，P ＝12AB ·AC ＝12a 2tan θ.设正方形边长为x ，AG ＝x cos θ，BC ＝acos θ.BC 边上的高h ＝a sin θ，∵AG AB ＝h －x h ，即x cos θa ＝a sin θ－x a sin θ， ∴x ＝a sin θ1＋sin θcos θ， ∴Q ＝x 2＝a 2sin 2θ(1＋sin θcos θ)2. 从而P Q ＝sin θ2cos θ·(1＋sin θcos θ)2sin 2θ＝(2＋sin 2θ)24sin 2θ＝1＋⎝⎛⎭⎫sin 2θ4＋1sin 2θ. 易知函数y ＝1t ＋t 4在区间(0,1]上是减少的， 所以当sin 2θ＝1时，⎝⎛⎭⎫P Q min ＝94. 点评 一些复杂的三角函数最值问题，可以通过适当换元转化为简单的代数函数后，利用函数单调性巧妙解决．易错问题盘点例1 [错解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝55×31010＋255×1010＝22. 因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β∈(0，π)． 所以α＋β＝π4或3π4. [剖析] 由sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，可以知道α和β都是定值，因此α＋β也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的．这是因为sin(α＋β)在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos(α＋β)的值．[正解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010， cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β∈(0，π)， 所以α＋β＝π4.温馨点评 根据条件求角，主要有两步：(1)求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，从而确定所求角的值.完成第一步一般要选择相对角的范围区分度比较大的三角函数，且确定范围要尽量缩小.例2 [错解] 由题意知tan α、tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6 ①tan αtan β＝7 ②∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1.∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π， ∴α＋β＝π4或α＋β＝54π.[剖析] 由①②知tan α<0，tan β<0，角α、β都是钝角．上述解法忽视了这一隐含条件．[正解] 由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝7易知tan α<0，tan β<0.∵α、β∈(0，π)， ∴π2<α<π，π2<β<π.∴π<α＋β<2π.又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝54π.例3 [错解] 由sin A ＝35，得cos A ＝±45，由cos B ＝513，得sin B ＝1213，当cos A ＝45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.当cos A ＝－45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝5665.[剖析] 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的和为π，解题时要充分利用这一定理．本题得到cos A ＝±45后，没有对cos A ＝－45这一结果是否合理进行检验，从而导致结论不正确．[正解] 由cos B ＝513>0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin B ＝1213. 由sin A ＝35，得cos A ＝±45，当cos A ＝－45时，cos A <－12.∴A >2π3.∵sin B ＝1213>32，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴B >π3. 故当cos A ＝－45时，A ＋B >π，与A 、B 是△ABC 的内角矛盾．∴cos A ＝45，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.例4 [错解] f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x＝1＋2sin x 2cos x 2－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2x 21＋2sin x 2cos x 2＋⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2－1＝2sin x2⎝⎛⎭⎫cos x 2＋sin x 22cos x 2⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 2＝tan x2，由此得f (－x )＝tan ⎝⎛⎭⎫－x 2＝－tan x2＝－f (x )， 因此函数f (x )为奇函数．[剖析] 运用公式后所得函数f (x )＝tan x2的定义域为{}x |x ∈R ，x ≠2k π＋π，k ∈Z .两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错．[正解] 事实上，由1＋sin x ＋cos x ≠0可得sin x ＋cos x ≠－1， 即2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠－1，从而sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠－22， 所以x ＋π4≠2k π＋5π4且x ＋π4≠2k π＋7π4(k ∈Z )，故函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π，且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z ，显然该定义域不关于原点对称． 所以函数f (x )为非奇非偶函数．例5 [错解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)， ∴f (0)＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数， ∴|f (0)|＝f (x )max ＝ 2. ∴f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝±2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝±1，∴θ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z . 即θ＝k π＋π4，k ∈Z .[剖析] 因为x ＋θ与x －θ是不同的角，所以函数f (x )的最大值不是2，上述解答把f (x )的最大值误当作2来处理．[正解] 因为f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数，所以f (x )＝f (－x )对一切x ∈R 恒成立．即sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ)恒成立． ∴[sin(x ＋θ)＋sin(x －θ)]＋[cos(x －θ)－cos(x ＋θ)]＝0. ∴2sin x cos θ＋2sin x sin θ＝0恒成立． 即2sin x (cos θ＋sin θ)＝0恒成立． ∴cos θ＋sin θ＝0.∵cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝0， ∴θ＋π4＝k π，即θ＝k π－π4，k ∈Z .。
2025年高考数学必考知识点解析
2025年高考数学必考知识点解析高考，对于每一位学子来说，都是人生中的一次重要挑战。
而数学作为其中的关键学科，其重要性不言而喻。
随着教育改革的不断推进，高考数学的考查重点和形式也在悄然发生变化。
为了帮助广大考生更好地应对 2025 年高考数学，本文将对一些必考知识点进行详细解析。
函数一直是高考数学的核心内容之一。
包括函数的定义、性质（单调性、奇偶性、周期性）、函数的图像以及常见的函数类型（如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等）。
考生需要熟练掌握函数的基本概念和运算，能够根据函数的性质解决相关问题，并且能够运用函数的思想来解决实际应用问题。
三角函数也是必考的重点。
从三角函数的定义、诱导公式、基本关系式，到三角函数的图像和性质（如周期性、最值、单调性等），再到解三角形，都需要考生有清晰的理解和熟练的运算能力。
在解决三角形相关问题时，要能够灵活运用正弦定理、余弦定理等知识。
数列同样占据着重要的地位。
等差数列和等比数列的通项公式、求和公式是必须牢记的基础知识。
此外，数列的递推关系、数列的综合应用也是常考的题型。
考生要学会通过分析数列的特点，找到解题的关键。
立体几何是考查空间想象能力和逻辑推理能力的重要部分。
包括空间直线与平面的位置关系、空间向量的应用、几何体的表面积和体积等。
在解决立体几何问题时，要善于建立空间直角坐标系，利用空间向量来求解角度和距离问题。
概率与统计也是不容忽视的知识点。
概率的基本概念、常见的概率分布（如二项分布、正态分布等）、统计图表的分析、样本均值和方差的计算等，都是高考的常见考点。
考生要能够理解概率的本质，运用统计方法来处理和分析数据。
解析几何是高考数学中的难点之一。
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和性质，直线与圆锥曲线的位置关系，以及弦长公式、中点坐标公式等，都需要考生深入掌握。
解题时要善于将几何问题转化为代数问题，通过联立方程求解。
导数在高考中常常用于研究函数的单调性、极值和最值。
高中数学的化归思想
高中数学的化归思想摘要：化归的思想方法是中学数学中的重要思想方法之一，也是高考数学中重点考查的思想方法。
关键词：高中数学化归思想化归的思想方法是中学数学中的重要思想方法之一，也是高考数学中重点考查的思想方法。
化归思想就是将复杂或陌生、新颖的数学问题、数学信息和数学情景转化为简单或已知的数学知识和成熟的经验方法，从而解决问题的策略。
笔者结合自己多年的教学经验浅谈以下几点看法，供大家参考：一、对化归思想的认识化归思想是数学中常用的一种重要数学思想，其本质就是转化，曾被笛卡儿誉为“万能方法”。
他在《指导思维的法则》一书中指出：第一，将任何种类的问题转化为数学问题；其次，将任何种类的数学问题转化为代数问题；第三，将任何代数问题转化为方程式的求解。
那么，到底什么是化归思想呢？它怎么有如此大的“本事”呢？所谓化归思想，一般是指人们将待解决或难以解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。
应用化归思想时要遵循三个基本原则：熟悉化原则，即将陌生的问题转化为熟悉的问题；简单化原则，即将复杂的问题转化为简单的问题；直观化原则，即将抽象问题转化为具体问题。
数学的化归思想包涵化归的对象、目标和方法三要素。
其中化归方法是实现化归的关键。
化归思想方法的实质是转化矛盾的思想方法，其遵循“运动——转化——解决”的基本思想。
这种思想方法可分为①多维化归方法，如：换元法、恒等变换法、反证法、构造法、待定系数法、数学归纳法；②二维化归法，如解析法、三角代换法、向量法；③单维化归法，如：复数法、代入法、加减法、判别式法、曲线系数法、坐标变换法。
化归思想的实质是通过事物内部的联系将将待处理问题规范化、模式化，从而得到解决。
转化有等价转化与非等价转化。
等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。
非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。
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| y bx |
根据点到直线的距离公式得｜y｜=
①
1 b2
依题设，点 C 在直线 AB 上，故有
y b (x a) 1 a
由 x–a≠0，得 b (1 a) y
②
xa
将②式代入①式，得 y2［(1–a)x2–2ax+(1+a)y2］=0
若 y≠0，则
(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)
所以当 k=1，k=2 时，c＜Sk 不成立，从而①不成立
因为
3 2
S3
2
13 4
c
，又
3 2
Sk–2＜
3 2
Sk+1–2
3
所以当 k≥3 时， Sk–2＞c，从而①成立.
2
综上所述，不存在自然数 c,k,使 Sk1 c 2 成立. Sk c
［例 2］给出定点 A（a,0)（a＞0）和直线 l：x=–1，B 是直线 l 上的动点，∠BOA 的角平分线交 AB 于点 C.求点 C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与 a 值的关系.
(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0≤x＜a)
以下同解法一.
解法三：设 C(x,y)、B(–1,b)，则 BO 的方程为 y=–bx，直线 AB 的方程为
y b (x a) 1 a
∵当 b≠0 时，OC 平分∠AOB，设∠AOC=θ,
∴直线 OC 的斜率为 k=tanθ,OC 的方程为 y=kx 于是
难点 38 分类讨论思想
分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识
点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，
树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标
准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”
( a )2
y2 a2
1(0 x a)
④
1 a
1 a2
所以当 0＜a＜1 时，方程④表示椭圆弧段；
当 a＞1 时，方程④表示双曲线一支的弧段.
解法二：如图，设 D 是 l 与 x 轴的交点，过点 C 作 CE⊥x 轴，E 是垂
足.
（i）当｜BD｜≠0 时，
设点 C(x,y)，则 0＜x＜a，y≠0
)
1 2
Sn
2
，(n∈N*)
（2）要使
Sk 1
c
2 ，只要
c
(3 2
Sk
2)
0
Sk c
c Sk
因为 Sk
4(1
1 2k
)
4
所以 Sk
(
3 2
S
k
2) 2
1 2 Sk
0 ，(k∈N*)
3
故只要 Sk–2＜c＜Sk，（k∈N*）
2
因为 Sk+1＞Sk，(k∈N*)
①
3
3
所以 Sk–2≥ S1–2=1.
问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出
3 2
Sk
2
c
Sk
.
技巧与方法：本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型.在探讨第 2 问的解法时，采取优化结论的
策略，并灵活运用分类讨论的思想：即对双参数 k,c 轮流分类讨论，从而获得答案.
1
解：（1）由 Sn=4(1– ），得
2n
S n1
4(1
1 2 n 1
命题意图：本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法.综合性较强，解 法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力.属★★★★★级题目.
知识依托：求动点轨迹的基本方法步骤.椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点. 错解分析：本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹 方程表示曲线类型. 技巧与方法：精心思考，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应满足的关系式.巧 妙地利用角平分线的性质. 解法一：依题意，记 B（–1，b)，(b∈R），则直线 OA 和 OB 的方程分别为 y=0 和 y=–bx. 设点 C(x,y)，则有 0≤x＜a，由 OC 平分∠AOB，知点 C 到 OA、OB 距离相等.
由 CE∥BD，得| BD | | CE | | DA | | y | (1 a) .
| EA |
ax
∵∠COA=∠COB=∠COD–∠BOD=π–∠COA–∠BOD
∴2∠COA=π–∠BOD
∴
tan(2COA)
1
2
tan tan
COA 2 COA
tan( BOD) tan BOD
∵ tan COA | y | x
tan BOD | BD | | y | (1 a) | OD | a x
2| y| ∴x
|
y|
(1 a) 整理，得
1 y a x
x2
(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)
(ii)当｜BD｜=0 时，∠BOA=π，则点 C 的坐标为(0,0)，满足上式.
综合(i)、(ii)，得点 C 的轨迹方程为
若 y=0 则 b=0,∠AOB=π，点 C 的坐标为（0，0）满足上式.
综上，得点 C 的轨迹方程为
（1–a）x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a )
(i)当 a=1 时，轨迹方程化为 y2=x(0≤x＜1 )
③
此时方程③表示抛物线弧段；
(ii)当 a≠1，轨迹方程化为
(x a )2 1a
●难点磁场
1.（★★★★★）若函数 f (x) 1 (a 1)x3 1 ax2 1 x 1 在其定义域内有极值点，则 a 的取
3
2 45值为.来自2.（★★★★★）设函数 f(x)=x2+｜x–a｜+1，x∈R.
(1)判断函数 f(x)的奇偶性；
(2)求函数 f(x)的最小值.
●案例探究
1
［例 1］已知{an}是首项为 2，公比为 的等比数列，Sn 为它的前 n 项和.
2
（1）用 Sn 表示 Sn+1;
（2）是否存在自然数 c 和 k，使得 Sk1 c 2 成立. Sk c
命题意图：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力，属★★★★★级
题目.
知识依托：解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质.
错解分析：第 2
2
2
又 Sk＜4，故要使①成立，c 只能取 2 或 3.
当 c=2 时，因为 S1=2，所以当 k=1 时，c＜Sk 不成立，从而①不成立.
当
k≥2
时，因为
3 2
S2
2
5 2
c
，由
Sk＜Sk+1(k∈N*)得
3
3
Sk–2＜ Sk+1–2
2
2
3
故当 k≥2 时， Sk–2＞c，从而①不成立.
2
当 c=3 时，因为 S1=2，S2=3，