高考数学回归基础知识二、函数及其表示
函数及其表示知识梳理
函数1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：y =f (x )，x ∈A 。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域。
显然，值域是集合B 的子集.解读函数概念（1）“A ，B 是非空的数集”，一方面强调了A ，B 只能是数集，即A ，B 中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．（2）理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A ，但函数的值域不一定是非空数集B ，而是集合B 的子集．（3）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A 中的任意一个(任意性)元素x ，在非空数集B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y 与之对应．(4) “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；常用函数符号: ƒ(x) ,g(x), h(x), F(x), G(x)等.（5）函数符号“()y f x =”是数学中抽象符号之一，“()y f x =”仅为y 是x 的函数的数学表示，不表示y 等于f 与x 的乘积，()f x 也不一定是解析式，还可以是图表或图象．（6）函数只能是一对一或者多对一（7）函数求值，需要把所有定义域都做代换2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域函数的构成要素由函数概念知，一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域_.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系.辨析() f x 与()()f a a A ∈：()f a 表示当自变量x a =时函数() f x 的值，是一个常量，而() f x 是自变量x 的函数，它是一个变量，()f a 是() f x 的一个特殊值．（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x 的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；②限制型：指命题的条件或人为对自变量x 的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x 的实际意义。
高中数学基础之函数及其表示
1．一种优先意识 函数定义域是研究函数的基础依据，对函数的研究，必须坚持定义域优先的 原则． 2．两个关注点 (1)分段函数是一个函数． (2)分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集．
核心考点突破
考点一 函数的概念
【例1】 (1)下列对应是从集合A到B的函数是( A ) A．A＝N，B＝N，f：x→y＝(x－1)2 B．A＝N，B＝R，f：x→y＝± x C．A＝N，B＝Q，f：x→y＝x－1 1 D．A＝{衡中高三·一班的同学}，B＝[0,150]，f：每个同学与其高考数学的分 数相对应
为相等函数．
3．函数的表示法 表示函数的常用方法有 解析法 、图象法和 列表法 ．
4．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系 不同而分别用几个不同的
式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集 ，其值域等于各段函数
的值域的 并集 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
角度3：待定系数法求函数解析式 【例2－3】 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－ 2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝__2_x_＋__7__.
[思路引导] 设f(x)＝ax＋b(a≠0)→代入已知条件→解出a、b→得f(x)．
[解析] 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a －2b＝ax＋5a＋b，
角度2：分段函数与不等式问题
【例3－2】 (1)已知函数f(x)＝ 1)≤1的解集是_(_－__∞__，__－__1_＋___2_]_．
－x＋1，x<0， x－1，x≥0，
则不等式x＋(x＋1)f(x＋
(2)设函数f(x)＝ _a_≤___2___．
高中数学知识点总结(第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节 函数及其表示)
第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示一、基础知识1．函数与映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一 函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln1－x x ＋1＋1x的定义域是( ) A ．[－1,0)∪(0,1) B ．[－1,0)∪(0,1] C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0， 得－1<x <－12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1．使函数解析式有意义的一般准则(1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [题组训练] 1.函数f (x )＝1lnx ＋1＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2] C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln x ＋1≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是________________．解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，所以若g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，所以0≤x ≤2 018，且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}． 答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )． [解] (1)法一：待定系数法因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法二：换元法令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法三：配凑法因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．(2)解方程组法由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，② ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R)．[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________.解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．答案：12x 2＋12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)． 答案：lg2x －1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f x ＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f x ＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x (x ≠0)考点三 分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，①f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[解析] 法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0， ∴x <0，故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2x －1，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f x －1，x >1，则f (f (3))＝________.解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2， ∴f (f (3))＝f (2)＝2. 答案：23．(2017·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，故－14<x ≤0.②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a－7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0； 若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1. 答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f 2x ＋1log 2x ＋1的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]， 得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]， ∴要使函数f 2x ＋1log 2x ＋1有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1. 所以该函数的定义域为(0,1]．答案：(0,1]10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg 1－x ，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________. 解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg 1－x ，x <0，－2x ，x ≥0，∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2. 答案：－211．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0. 依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3.答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1，x ≤0，－x －12，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________． 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，－x －12≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故所求x 的取值范围是[－4,2]．答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0. (2)函数f (x )的图象如图所示．。
高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第1节函数及其表示课件新人教A版
考点三 分段函数
多维探究
角度1 分段函数求值
【例 3－1】 (2018·江苏卷)函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，
f(x)＝cxo＋s π122x，，－0<2x<≤x≤2，0，则 f[f(15)]的值为________.
解析 因为函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数 f(x)的最小正周期是 4.因为
(2)已知 f(x)是二次函数且 f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则 f(x)＝________；
(3)已知函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，且 f(x)＝2f1x· x－1，则 f(x)＝________.
解析 (1)令 t＝2x＋1(t>1)，则 x＝t－2 1，∴f(t)＝lgt－2 1，即 f(x)＝lgx－2 1(x>1). (2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2， f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝2ax＋a＋b＝x－1， 所以2aa＋＝b1＝，－1，即ab＝ ＝－ 12，32.∴f(x)＝12x2－32x＋2.
5.(2020·九江联考)函数 f(x)＝
1－ln 2x－2
x的定义域是________.
解析 依题意，得12－ x－ln2≠x≥0，0，解得 0<x≤e，且 x≠1. 答案 (0，1)∪(1，e]
6.已知函数f(x)满足f(x)＋2f(－x)＝ex，则函数f(x)的解析式为________________.
解得－1<x<0 或 0<x≤3，所
x＋1≠1，
以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]. (2)因为 f(x)的定义域为[0，2]，所以要使 g(x)有意义，x 满足0≤12x≤2，解得
高中数学总复习系列之函数及其表示
高中数学总复习系列之函数及其表示第页高考调研·高三总复习·数学（理）第二章函数与基本初等函数第1课时函数及其表示第页高考调研·高三总复习·数学（理）…2018考纲下载…1．了解构成函数的要素会求一些简单函数的定义域和值域．了解映射的概念在实际情景中会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．了解简单的分段函数并能简单应用．请注意本节是函数的起始部分以考查函数的概念、三要素及表示法为主同时函数的图像、分段函数的考查是热点另外实际问题中的建模能力偶有考查．特别是函数的表达式及图像仍是2019年高考考查的重要内容．课前自助餐函数与映射的概念函数映射两集合A设A是两个非空数集设A 是两个非空集合对应关系：A→B 如果按照某种确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个数x在集合B中有唯一的数(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个元素x在集合B中有唯一的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射函数(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．(2)函数的三要素：定义域、值域、对应法则．(3)函数的表示法：解析法、图像法、列表法．(4)两个函定义域和对应法则都分别相同时这两个函数才相同．分段函数在一个函数的定义域中对于自变量x的不同取值范围有着不同的对应关系这样的函数叫分段函数分段函数是一个函数而不是几个函数．1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．(1)f(x)＝＋(2)A＝R＝R：x→y＝表示从集合A到集合B的映射(也是函数)．(3)函数(x)的图像与直线x＝1的交点最多有2个．(4)y＝2x(x∈{1)的值域是2(5)y＝与y＝2表示同一函数．(6)f(x)＝则f(－x)＝答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√2．2018年是平年假设月份构成集合A每月的天数构成集合B是月份与天数的对应关系其对应如下：月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天数 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31对照课本中的函数概念上述从A到B的对应是函数吗？又从B到A的对应是函数吗？答案是不是3．已知(x)＝m(x∈R)则f(m)等于()． D．不确定答案4．已知f(x＋1)＝x－1则(x)＝________答案x－2x5.函数y＝(x)的图像如图所示那么(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．答案[－3]∪[2，3][1][1)∪(4，5]6．(2018·衡水调研卷)函数(x)＝则()＝________；方程f(－x)＝的解是________答案－2－或1解析f()＝＝－2；当x<0时由f(－x)＝(－x)＝解得x＝－当x>0时由f(－x)＝2－x＝解得x＝1.授人以渔题型一函数与映射的概念(1)下列对A到B的映射能否构成函数？A＝N＝N：x→y＝(x－1)；＝N＝R：x→y＝±；＝N＝Q：x→y＝；＝{衡中高三·一班的同学}＝[0]，f：每个同学与其高考数学的分数相对应．【解析】①是映射也是函数．不是映射更不是函数因为从A到B的对应为“一对多”．当x ＝1时值不存在故不是映射更不是函数．是映射但不是函数因为集合A 不是数集．【答案】①是映射也是函数不是映射更不是函数不是映射更不是函数是映射但不是函数(2)下列表格中的x与y能构成函数的是()【解析】中0既是非负数又是非正数；B中0又是偶数；D中自然数也是整数也是有理数．【答案】★状元笔记★映射与函数的含义(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．(2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A 为非空数集时即成为函数．(3)高考对映射的考查往往结合其他思考题1(1)下图中建立了集合P中元素与集合M中元素的对应f.其中为映射的对应是________．【解析】①中：P中元素－3在M中没有象．③中中元素2在M 中有两个不同的元素与之对应．④中中元素1在M中有两个不同的元素与之对应．【答案】②⑤(2)集合A＝{x|0≤x≤4}＝{y|0≤y≤2}下列不表示从A到B的函数的是()：x→y＝．：x→y＝：x→y＝：x→y＝【解析】依据函数概念集合A中任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应选项不符合．(2018·湖北宜昌一中月考)已知函数(x)＝|x－1|则下列函数中与(x)相等的函数是()(x)＝(x)＝(x)＝(x)＝x－1【解析】∵g(x)＝与(x)的定义域和对应关系完全一致故选【答案】★状元笔记★判断两个函数是否相同的方法(1)构成函数的三要素中(2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时才是相同函数．思考题2下列五组函数中表示同一函数的是________(x)＝x－1与g(x)＝(x)＝与g(x)＝2(x)＝x＋2与g(x)＝x＋2(u)＝与f(v)＝＝(x)与y ＝f(x＋1)【答案】④题型二函数的解析式求下列函数的解析式：(1)已知f()＝求(x)的解析式；(2)已知f(＋)＝x＋求(x)的解析式；(3)已知(x)是二次函数(x＋1)－(x)＝2x＋1且f(0)＝3求(x)的解析式；(4)定义在(0＋∞)上的函数(x)满足(x)＝()·－1求(x)的解析式．【解析】(1)(换元法)设＝t[－1]，∵f(cosx)＝＝1－(t)＝1－t[－1]．即(x)＝1－x[－1]．(2)(凑配法)∵f(＋)＝(＋)－2(x)＝x－2[2，＋∞)．(3)(待定系数法)因为(x)是二次函数可设(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)(x＋1)＋b(x＋1)＋c－(ax＋bx＋c)＝2x＋1.即2ax＋a＋b＝2x＋1解得又∵f(0)＝3＝3(x)＝x＋3.(4)(方程组法)在(x)＝2f()－1中用代替x得f()＝2(x)－1将f()＝－1代入(x)＝2f()－1中可求得(x)＝＋【答案】(1)(x)＝1－x[－1](2)f(x)＝x－2[2，＋∞)(3)f(x)＝x＋3(4)f(x)＝＋★状元笔记★函数解析式的求法(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝(x)，可将(x)改写成关于g(x)的表达式然后以x替代g(x)便得(x)的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式可用换元法(4)方程思想：已知关于(x)与f()或f(－x)等的表达式可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组通过解方程组求出(x)．思考题3(1)若函数(x)满足f(1＋)＝求(x)的解析式．(2)定义在R上的函数(x)满足f(x＋1)＝2(x)，若当0≤x≤1时(x)＝x(1－x)当－1≤x≤0时求(x)解析式．(3)已知(x)＋2f()＝x(x≠0)求(x)．【解析】(1)令1＋＝t＝t－1＝－1(t)＝(x)＝(2)当0≤x≤1时(x)＝x(1－x)当－1≤x≤00≤x＋1≤1(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)而(x)＝(x＋1)＝－－当－1≤x≤0时(x)＝－－(3)∵f(x)＋2f()＝x将原式中的x与互换得f()＋2(x)＝于是得关f(x)的方程组解得(x)＝－(x≠0)．【答案】(1)(x)＝(2)f(x)＝－－(3)f(x)＝(x≠0)题型三分段函数与复合函数(1)已知函数(x)＝(x)＝x＋1则：①g[(x)]＝________；②f[g(x)]＝________．【解析】①x＜0时f(x)＝[f(x)]＝＋1；时(x)＝x[f(x)]＝x＋1.[f(x)]＝由x＋1＜0得x＜－1.由x＋1≥0得x≥－1.∴f[g(x)]＝【答案】①g[(x)]＝[g(x)]＝(2)(2018·南京金陵中学模拟)已知函数(x)＝则使得(x)≤3成立的x的取值范围是________【解析】当x≥0时－1≤3＝2当x<0时－2x≤3－2x－3≤0－1≤x<0.综上可得x∈[－1]．【答案】[－1]★状元笔记★分段函数、复合函思考题4(1)(2018·河北清苑一中模拟)设(x)＝则f(f(－1))＝________(x)的最小值是________【解析】∵f(－1)＝(－1)＋1＝2(f(－1))＝f(2)＝2＋－3＝0.当x≥1时(x)在[1]上单调递减在[＋∞)上单调递增(x)min＝f()＝2－3<0.当x<1时(x)min＝1，∴f(x)的最小值为2－3.【答案】02－3(2)(2017·课标全国Ⅲ)设函数(x)＝则满足(x)＋f(x－)>1的x的取值范围是________【解析】当x>0时(x)＝2x恒成立当x－即x>时(x－)＝2－当x－即01恒成立．当x≤0时(x)＋f(x－)＝x＋1＋x＋＝2x＋所以－综上所述的取值范围是(－＋∞)．【答案】(－＋∞)常用结论记心中快速解题特轻松：映射问题允许多对一但不允许一对多！换句话说就是允许三石一鸟但不允许一石三鸟！函数问题定义域优先！抽象函数不要怕赋值方法解决它！4．分段函数分段算本课时主要涉及到三类题型：函数的三要素分段函数函数的解析式．通过例题的讲解(有些题目直接源于教材)一方面使学生掌握各类题型的解法；另一方面也要教给学生把握复习的尺度教学大纲是高考命题的依据而教材是贯彻大纲的载体研习教材是学生获取知识、能力的重要途径．从近几年的新课标高考试题可以看到高考试题严格遵循教学大纲及《高考大纲》有一定数量的试题直接源自教材这就要求我们在教学过程中要紧扣教材和大纲全面、系统地抓好对基础知识、基本技能、基本思想和方法的教学对各模块的内容要课外阅读抽象函数设函数(x)的定义域为R对于任意实数x都有f(x)＋f(x)＝2f()f()(π)＝－1则(0)＝________．【解析】令x＝x＝则f()＋f()＝2f()f(0)，∴f(0)＝1.【答案】1已知偶函数(x)，对任意的x恒有(x1＋x)＝f(x)＋f(x)＋2x＋1则函数(x)的解析式为________．【解析】取x＝x＝0所以f(0)＝2f(0)＋1.所以f(0)＝－1.因为f[x ＋(－x)]＝(x)＋f(－x)＋2x·(－x)＋1又f(－x)＝(x)，所以(x)＝x－1.【答案】(x)＝x－1【讲评】抽象函数问题的处理一般有两种途径：(1)看其性质符合哪类具(2)利用特殊值代入寻求规律和解法。
高考函数知识点总结
高考函数知识点总结一、函数的概念1.1 函数的定义函数是一种特殊的对应关系，即对于一个自变量的取值，对应有唯一的因变量的取值。
形式化地说，设X和Y是两个非空集合，如果存在一个由X的元素到Y的元素的对应关系f，即X中的每个元素x都对应Y中唯一确定的一个元素y，那么这个对应关系就叫做函数。
1.2 函数的表示函数一般用一对括号表示，即f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数可以用各种形式来表示，例如用文字描述、用公式表示、用图象表示等。
1.3 函数的符号表示如果函数f(x)的自变量x是属于实数集合R的，那么就称f(x)为实函数。
如果函数f(x)的因变量是属于复数集合C的，那么就称f(x)为复函数。
通常情况下，函数的符号表示可以是简单的字母，如y=f(x)，也可以是复杂的组合，如y=f(g(x))。
1.4 函数的定义域与值域函数的定义域是指自变量x的取值范围，而值域是指因变量f(x)的取值范围。
函数的定义域和值域是函数最基本的性质，准确地找出函数的定义域和值域对于理解函数的性质和规律至关重要。
1.5 函数的图象函数的图象是一个坐标系中的点的集合，它可以用来直观地表示函数的性质和规律。
对于某些函数，可以用计算机软件或手工绘图的方式获得其图象，从而更好地理解函数的性态。
二、基本初等函数2.1 一次函数一次函数是指函数f(x)=ax+b(a≠0)。
一次函数是一种最简单的函数形式，它在平面直角坐标系中的图象是一条直线，因此也被称为线性函数。
一次函数的特点是斜率a和截距b。
2.2 二次函数二次函数是指函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)。
二次函数在平面直角坐标系中的图象是一个抛物线，它具有对称轴、顶点、开口方向等性质。
二次函数又分为开口向上和开口向下两种情况。
2.3 幂函数幂函数是指函数f(x)=x^a(a为常数)。
当a是正整数时，幂函数是指数函数；当a是分数时，幂函数是根式函数。
幂函数的性质包括增减性、奇偶性、周期性等。
年高考数学基础突破集合与函数2函数的概念及其表示
2021年高考数学根底突破——集合与函数2．函数概念及其表示【知识梳理】1．函数与映射概念(1)函数定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x取值范围A叫做函数定义域；与x值相对应y值叫做函数值，函数值集合{f(x)|x∈A}叫做函数值域．显然，值域是集合B子集．(2)函数三要素：定义域、值域与对应关系．(3)相等函数：如果两个函数定义域与对应关系完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两函数相等依据．(4)函数表示法: 表示函数常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数假设函数在其定义域不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同式子来表示，这种函数称为分段函数．4．常见函数定义域求法(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0．(3)一次函数、二次函数定义域为R．(4)y＝a x(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R ．(5)y ＝tan x 定义域为.5．根本初等函数值域(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)值域是R ．(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)值域是：当a ＞0时，值域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |y ≥4ac －b 24a ；当a ＜0时，值域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |y ≤4ac －b 24a ． (3)y ＝k x(k ≠0)值域是{y |y ≠0}． (4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)值域是{y |y ＞0}．(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)值域是R ．(6)y ＝sin x ，y ＝cos x 值域是[－1，1]．(7)y ＝tan x 值域是R ．【根底考点突破】考点1. 函数根本概念【例1】M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤3}，给出以下四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 函数关系有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个变式训练1. 试判断以下各组中函数f (x )与g (x )是否表示同一个函数，并说明理由．(1)f (x )＝(x －1)0，g (x )＝1； (2)f (x )＝x ，g (x )＝x 2；(3)f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2； (4)f (x )＝|x |，g (x )＝x 2. 考点2. 分段函数【例2】 假设函数，(1)求f (－5)，f (－3)，f [f (－3)]值；(2)假设f (a )＝3，求a 值．变式训练2.〔1〕【2021年高考北京理数】设函数.①假设0a ，那么()f x 最大值为_________；②假设()f x 无最大值，那么实数a 取值范围是_______.〔2〕作出函数y ＝2|x －1|－3|x |图象．考点3. 求函数解析式【例3】 (1)反比例函数f (x )满足f (3)＝－6，求f (x )解析式；(2)一次函数y ＝f (x )，f (1)＝1，f (－1)＝－3，求f (3)．变式训练3. f (1＋1x )＝1＋x 2x 2＋1x，试求f (x )． 考点4. 函数定义域【例4】 求函数定义域．变式训练4.〔1〕【2021高考江苏卷】函数y =定义域是 .〔2〕 函数f (x )＝lg 〔1－2x 〕定义域为( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，12 考点5. 函数值域【例5】 求函数22([0,3])y x x x =+∈值域．变式训练5. 求函数f (x )＝x －1－2x 值域【根底练习】1．以下四组式子中，f(x)与g(x)表示同一函数是( )A．f(x)＝4x4，g(x)＝(4x)4B．f(x)＝x，g(x)＝3x3C．f(x)＝x，g(x)＝(x)2D．f(x)＝x2－4x＋2，g(x)＝x－22．f(x)＝x2＋x＋1，那么f[f(1)]值是( )A．11 B．12 C．13 D．103．函数y＝x＋10|x|－x定义域是( )A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(0，＋∞)4．函数y＝x2－2x定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( ) A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3} C．{y|－1≤y≤3}D．{y|0≤y≤3}5．函数f(x)由下表给出，那么f(3)等于( )x1234f(x)－3－2－4－1A.－1 D．－46．f(x2－1)＝2x＋3，且f(m)＝6，那么m等于( )A ．－14 B.14 C.32 D ．－327．等腰三角形周长为20，底边长y 是一腰长x 函数，那么( )A ．y ＝10－x (0<x ≤10)B ．y ＝10－x (0<x <10)C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5<x <10)8．函数，那么f (2)等于( )A ．0 B.13C ．1D ．2 9．函数f (x )＝x ＋|x |x图象是( ) 10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2值域是( )A ．[0，＋∞)B ．RC ．[0,3]D ．[0,2]∪{3}11．a 、b 为实数，集合M ＝{b a，1}，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把集合M 中元素x 映射到集合N 中仍为x ，那么a ＋b 值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±112．映射f ：A →B ，其中集合A ＝{－3,－2,－1,1,2,3,4}，集合B中元素都是集合A 中某个元素在映射f 下对应元素，且对任意a ∈A ，在B 中与它对应元素是|a |，那么集合B 中元素个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．713．设a <b ，函数y ＝(x －a )2(x －b )图象可能是( )14．以下图中能表示函数关系是________．15．设f (x )＝11－x，那么f [f (x )]＝________. 16．函数y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)值域是________．17．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2，x ≤2，2x ，x >2，那么f (－4)＝________，又f (x 0)＝8，那么x 0＝________.18．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1，x ≥0，x 2，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x 2，x ≤1，2，x >1，那么f [g (π)]＝________，g [f (2)]＝________.19．全集U ＝R ，函数y ＝x －2＋x ＋1定义域为A ，函数y ＝2x ＋4x －3定义域为B . (1)求集合A ，B ；(2)求(∁U A )∪(∁U B )．20．二次函数f (x )满足f (0)＝0，且对任意x ∈R 总有f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．2021年高考数学根底突破——集合与函数2．函数概念及其表示〔教师版〕【知识梳理】1．函数与映射概念(1)函数定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x取值范围A叫做函数定义域；与x值相对应y值叫做函数值，函数值集合{f(x)|x∈A}叫做函数值域．显然，值域是集合B子集．(2)函数三要素：定义域、值域与对应关系．(3)相等函数：如果两个函数定义域与对应关系完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两函数相等依据．(4)函数表示法: 表示函数常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数假设函数在其定义域不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同式子来表示，这种函数称为分段函数．4．常见函数定义域求法(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0．(3)一次函数、二次函数定义域为R．(4)y＝a x(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R ．(5)y ＝tan x 定义域为.5．根本初等函数值域(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)值域是R ．(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)值域是：当a ＞0时，值域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |y ≥4ac －b 24a ；当a ＜0时，值域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |y ≤4ac －b 24a ． (3)y ＝k x(k ≠0)值域是{y |y ≠0}． (4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)值域是{y |y ＞0}． (5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)值域是R ．(6)y ＝sin x ，y ＝cos x 值域是[－1，1]．(7)y ＝tan x 值域是R ．【根底考点突破】考点1. 函数根本概念【例1】M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤3}，给出以下四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 函数关系有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】用x ＝a,0≤a ≤2动直线去截图象，哪个始终只有一个交点，哪个就表示具有函数关系．由图可知，图(2)(3)都具有这一性质，而(1)(4)那么不具有这一性质，所以有2个具有函数关系．变式训练1. 试判断以下各组中函数f (x )与g (x )是否表示同一个函数，并说明理由．(1)f (x )＝(x －1)0，g (x )＝1； (2)f (x )＝x ，g (x )＝x 2；(3)f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2； (4)f (x )＝|x |，g (x )＝x 2.【解】(1)f (x )定义域是{x |x ∈R ，且x ≠1}，g (x )定义域是R ，它们定义域不同，故不是同一个函数；(2)定义域一样都是R ，但是g (x )＝|x |，即它们解析式不同，也就是对应关系不同，故不是同一个函数；(3)定义域一样都是R ，但是它们解析式不同，也就是对应关系不同，故不是同一个函数；(4)定义域一样都是R ，解析式化简后都是y ＝|x |，也就是对应关系一样，故是同一个函数．考点2. 分段函数【例2】 假设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋ 2 x ≤－2，x 2 －2<x <2，2x x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f [f (－3)]值；(2)假设f (a )＝3，求a 值．【解析】(1)f (－5)＝－5＋2＝－3，f (－3)＝(－3)2＝3，f [f (－3)]＝f (3)＝2×3＝6.(2)①假设a ＋2＝3，那么a ＝1>－2不成立，舍去；②假设a 2＝3，那么a ＝±3，－2<±3<2成立；③假设2a ＝3，那么a ＝32<2不成立，舍去． 变式训练2. 〔1〕【2021年高考北京理数】设函数.①假设0a =，那么()f x 最大值为_________；②假设()f x 无最大值，那么实数a 取值范围是_______.【答案】2，(,1)-∞-.【解答】解：①假设a=0，那么，那么，当x ＜﹣1时，()0f x '>，此时函数为增函数；当x ＞﹣1时，()0f x '<，此时函数为减函数，故当1x =-时，()f x 最大值为2.②，令()0f x '=，那么x=±1，假设f 〔x 〕无最大值，那么，或，解得：(,1)a ∈-∞-．〔2〕作出函数y ＝2|x －1|－3|x |图象． 【解析】当x <0时，y ＝－2(x －1)＋3x ＝x ＋2； 当0≤x <1时，y ＝－2(x －1)－3x ＝－5x ＋2； 当x ≥1时，y ＝2(x －1)－3x ＝－x －2， 因此，依上述解析式作出图象如以下图 考点3. 求函数解析式【例3】 (1)反比例函数f (x )满足f (3)＝－6，求f (x )解析式； (2)一次函数y ＝f (x )，f (1)＝1，f (－1)＝－3，求f (3)．【解析】(1)设反比例函数f (x )＝k x (k ≠0)，那么f (3)＝k3＝－6，解得k ＝－18，故f (x )＝－18x.(2)设一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f (1)＝1，f (－1)＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1－a ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－1，∴f (x )＝2x －1. ∴f (3)＝2×3－1＝5.变式训练3. f (1＋1x )＝1＋x 2x 2＋1x，试求f (x )．【解析】解法一：(换元法)令t ＝1＋1x，那么t ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)，于是x ＝1t －1，代入1＋x 2x 2＋1x 中，可得f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．解法二：(配凑法)f (1＋1x )＝1＋x 2x 2＋1x ＝x 2＋2x ＋1x 2－2x x 2＋1x＝(1＋1x )2－(1＋1x )＋1，因为1＋1x≠1，所以函数解析式为f (x )＝x 2－x＋1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)． 考点4. 函数定义域 【例4】 求函数定义域．【解析】要使函数解析式有意义，由解得x ≥－1且x ≠2，所以函数定义域为{x |x ≥－1且x ≠2}．变式训练4.〔1〕【2021高考江苏卷】函数y =定义域是 .〔2〕函数f (x )＝lg 〔1－2x 〕定义域为( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，0) C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12D ．⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，12 【解析】〔1〕要使函数有意义，必须2320x x --≥，即2230x x +-≤，31x ∴-≤≤．故应填：[]3,1-，〔2〕要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x >0，lg 〔1－2x 〕≥0，解得x ≤0，应选A.考点5. 函数值域【例5】 求函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0，3])值域．【解析】(1)(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，因为y ＝(x ＋1)2－1在[0，3]上为增函数，所以0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0，3])值域为[0，15]． 变式训练5. 求函数f (x )＝x －1－2x 值域解: 法一：(换元法)令1－2x ＝t ，那么t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数值域是⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，12. 法二：(单调性法)f (x )定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，12，容易判断f (x )为增函数，所以f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝12，即函数值域是⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，12. 【根底练习】1．以下四组式子中，f (x )与g (x )表示同一函数是( )A ．f (x )＝4x 4，g (x )＝(4x )4B ．f (x )＝x ，g (x )＝3x 3C ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2D ．f (x )＝x 2－4x ＋2，g (x )＝x－2答案：B解析：A 、C 、D 定义域不同，B 定义域、对应关系、值域都一样．2．f (x )＝x 2＋x ＋1，那么f [f (1)]值是( )A ．11B ．12C ．13D ．10 解析：f [f (1)]＝f (3)＝9＋3＋1＝13. 答案：C 3．函数y ＝x ＋1|x |－x定义域是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(0，＋∞)解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |>x ，∴x <0且x ≠－1，即定义域为(－∞，－1)∪(－1,0)．答案：C4．函数y ＝x 2－2x 定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( )A ．{－1,0,3}B ．{0,1,2,3}C ．{y |－1≤y ≤3}D ．{y |0≤y ≤3}解析：x ＝0，y ＝0；x ＝1，y ＝－1；x ＝2，y ＝0；x ＝3，y ＝3，∴值域为{－1,0,3}．答案：A5．函数f (x )由下表给出，那么f (3)等于( )x 1 2 3 4f (x )－3 －2 －4 －1A.－1 B ．－2 C ．－3 D ．－4答案：D6．f (x2－1)＝2x ＋3，且f (m )＝6，那么m 等于( )A ．－14 B.14 C.32D ．－32解析：令2x ＋3＝6，得x ＝32，所以m ＝x 2－1＝12×32－1＝－14，或先求f (x )解析式，再由f (m )＝6，求m .答案：A7．等腰三角形周长为20，底边长y 是一腰长x 函数，那么( )A ．y ＝10－x (0<x ≤10)B ．y ＝10－x (0<x <10)C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5<x <10)解析：∵2x ＋y ＝20，∴y ＝20－2x ，解不等式组，得5<x <10. 答案：D8．函数，那么f (2)等于( )A ．0 B.13 C ．1 D ．2解析：f (2)＝2－1＝1. 答案：C9．函数f (x )＝x ＋|x |x图象是( )解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0，画出f (x )图象可知选C.答案：C10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2值域是( )A ．[0，＋∞)B ．RC ．[0,3]D ．[0,2]∪{3}答案：D11．a 、b 为实数，集合M ＝{ba，1}，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把集合M 中元素x 映射到集合N 中仍为x ，那么a ＋b 值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：∵f ：x →x ，∴M ＝N . ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，ba ＝0，解得a ＝1，b ＝0.∴a ＋b ＝1.答案：C12．映射f ：A →B ，其中集合A ＝{－3,－2,－1,1,2,3,4}，集合B 中元素都是集合A 中某个元素在映射f 下对应元素，且对任意a ∈A ，在B 中与它对应元素是|a |，那么集合B 中元素个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：∵|±3|＝3，|±2|＝2，|±1|＝1，|4|＝4，∴B ＝{1,2,3,4}．答案：A13．设a <b ，函数y ＝(x －a )2(x －b )图象可能是( )解析：由于f (a )＝0，f (b )＝0，那么函数图象过点(a,0)，(b,0)． 当x <b 时，那么x －b <0，(x －a )2>0，此时f (x )<0，即在区间(－∞，a )∪(a ，b )上，函数图象位于x 轴下方，排除A 、B 、D.答案：C14．以下图中能表示函数关系是________．解析：(3)中元素2对应着两个元素1与3，不符合函数定义．(1)、(2)、(4)均符合函数定义．答案：(1)(2)(4)15．设f (x )＝11－x，那么f [f (x )]＝________.解析：f [f (x )]＝f (11－x )＝11－11－x＝1－x －x ＝x －1x.答案：x －1x16．函数y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)值域是________．解析：画出函数图象，如右图所示，观察图象可得图象上所有点纵坐标取值范围是[f (2)，f (5))，即函数值域是[2,11)．答案：[2,11)17．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ≤2，2x ，x >2，那么f (－4)＝________，又f (x 0)＝8，那么x 0＝________.解析：f (－4)＝(－4)2＋2＝18；令x 2＋2＝8，解得x ＝±6，∵x ≤2，∴x ＝－6；令2x ＝8，解得xx 0＝－6或4.答案：18 4或－618．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≥0，x 2，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2，x ≤1，2，x >1，那么f [g (π)]＝________，g [f (2)]＝________.解析：f [g (π)]＝f (2)＝3×2＋1＝7，g [f (2)]＝g (7)＝2. 答案：7 219．全集U ＝R ，函数y ＝x －2＋x ＋1定义域为A ，函数y ＝2x ＋4x －3定义域为B .(1)求集合A ，B ； (2)求(∁U A )∪(∁U B )． 解：(1)函数y ＝x －2＋x ＋1应满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋1≥0，∴x ≥2.∴A ＝{x |x ≥2}．函数y ＝2x ＋4x －3应满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4≥0，x －3≠0，∴x ≥－2且x ≠3. ∴B ＝{x |x ≥－2且x ≠3}．(2)∁U A ＝{x |x <2}，∁U B ＝{x |x <－2或x ＝3}，∴(∁U A )∪(∁U B )＝{x |x <2或x ＝3}．20．二次函数f (x )满足f (0)＝0，且对任意x ∈R 总有f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵f (0)＝c ＝0，∴f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ，f (x )＋x ＋1＝ax 2＋bx ＋x ＋1＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .。
高中数学课件-2 1 函数及其表示
第二章
2.1
函数及其表示
知识梳理 知识梳理 双击自测 核心考点 学科素养
考纲要求
-6-
3.映射的概念 两个非空集合A和B间存在着对应关系f,而且对于A中的每一个元 素x,B中总有唯一的一个元素y与它对应,就称这种对应为从A到B的 映射,记作f:A→B.A中的元素x称为原像,B中的对应元素y称为x的像, 记作f:x→y. 4.映射与函数的关系 函数是从非空数集到非空数集的映射,该映射中的原像的集合称 为定义域,像的集合称为值域.
(2)函数 f(x)= A.(2,3) C.(2,3)∪(3,4]
������2 -5������+6 4-|������| +lg ������-3
的定义域为(
)
B.(2,4] D.(-1,3)∪(3,6]
关闭
要使函数有意义,须 即 -4 ≤ ������ ≤ 4,
4-|������| ≥ 0,
������ 2 -5������ +6 ������ -3
函数及其表示
知识梳理 双击自测 核心考点 核心考点 学科素养
考纲要求
-14-
考点4
知识方法
易错易混
思考:怎样判断两个函数相等? 解题心得:两个函数是否相等,取决于它们的定义域和对应关系 是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,才相 等.另外,函数的自变量习惯上用x表示,但也可用其他字母表示, 如:f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1均相等.
第二章
2.1
函数及其表示
知识梳理 知识梳理 双击自测 核心考点 学科素养
考纲要求
-4-
1.函数的基本概念 (1)函数的定义:给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f, 对于集合A中的任何一个数x,在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与 之对应,那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数,记作f:A→B 或y=f(x),x∈A,此时x叫作自变量,集合A叫作函数的定义域,集合 {f(x)|x∈A}叫作函数的值域. (2)函数的三要素是:定义域、值域和对应关系. (3)相等函数:如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一 致,我们就称这两个函数相等. (4)表示函数的常用方法有:解析法、列表法和图像法. (5)分段函数:若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区 间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫作分段函数.分段函数 的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
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高考数学回归基础知识：二、函数及其表示
二、函数及其表示
(一)函数的概念 1、定义
一般地，我们说：
设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=),(
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(叫做函数的值域，显然，值域是集合B 的子集。
2、函数的三要素
(1)函数的三要素是指定义域、对应关系和值域。
(2)由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。
3(2)满足不等式a<x<b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为(a ，b)；
(3)满足不等式a ≤x<b 或a<x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为
[)(]b a b a ,,,
这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点。
实数集常用区间表示为()-∞+∞，，
“∞”读作“无穷大”。
“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”
⎩⎨
⎧≠-≥⇒⎩⎨⎧≠-≥+2
1
0201x x x x ，即x ≥-1且x ≠2， 故所求函数的定义域为{}21|≠-≥x x x 且
例2 (1)已知函数f(x)的定义域是［-1，3］，求f(x+1)和f(x 2
)的 定义域
(2)已知函数f(2x+3)的定义域为(]2,1-，求f(x-1)的定义域
解析 (1)∵f(x)的定义域为［-1，3］，
∴f(x+1)的定义域由-1≤x+1≤3确定，即-2≤x ≤2， ∴f(x+1)的定义域为［-2，2］.
f(x 2
)的定义域由-1≤x 2
≤3确定，即33≤≤-x
∴f(x 2
)的定义域为[33，-]
(2)∵函数f(2x+3)的定义域为(]2,1-， ∴2x+3中的x 满足-1<x ≤2， ∴1<2x+3≤7.
令t=2x+3，则f(t)的定义域为(]7,1. 又1<x-1≤7，∴2<x ≤8 ∴f (x-1)的定义域为(]8,2
4、反函数
式子y=f(x)表示y 是自变量x 的函数，设它的定义域为A ，值域为C ，我们从式子y=f(x)中解出x 得到x=g(y)，如果对于y 在C 中的任何一个值通过式子x=g(y),x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=g(y)表示y 是自变量x 的函数，这样的函数x=g(y)叫做y=f(x)的反函数，记作)(1
y f
x -=，一般写成)(1
x f
y -=.
解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系。
列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。
2
⎪⎪⎩⎨∈⋯⋯n
n D x x f )(
分段函数是一个函数，而不是几个函数，对于分段函数必须分段处理，其定义域为D 1∪D 2∪…∪D n .
球通”移动电话资费“套餐”，这个套餐的最大特点是针对不同用户采用了不同的收费方法，具体方案如下：
话用时之和)的函数关系式。
解析 “套餐”中第3种收费函数为 3、复合函数
若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即y=f(u),u=g(x),x ∈(a, b),u ∈(m,n)，那么y 关于x 的函数y=f ［g(x)］，x ∈(a,b)叫做f 和g 的复合函数，u 叫做中间变量，u 的取值范围是g(x)的值域。
4、映射
设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任何一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。
代入解析式求得y=f(t)的解析式，要注意t 的取值范围为所求函数的定义域。
③赋值法：可令解析式中的自变量等于某些特殊值求解。
④列方程(组)法求解。
若所给式子中含有f(x)，⎪⎭
⎫
⎝⎛x f 1或f(x),f(-x)等形式，可考虑构
造另一个方程，通过解方程组获解。
5．配凑法
例 解答下列各题：
(1)已知f(x)=x 2
-4x+3，求f(x+1)；
(2)已知f(x+1)=x 2
-2x ，求f(x)；
(3)已知二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5，图象过原点，求g(x)。
解析 (1)f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+3=x 2
-2x (2)方法一：(配凑法)
f(x+1)=(x+1)2-2x-1-2x=(x+1)2-4x-1=(x+1)2
-4(x+1)+3，
∴f(x)=x 2
-4x+3
方法二：(换元法)令x+1=t ，则x=t-1，
f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t 2
-4t+3，
∴f(x)=x 2
-4x+3.
(2)由题意设g(x)=ax 2
+bx+c ，a ≠0. ∵g(1)=1,g(-1)=4，且图象过原点，
∴ .
0,5,
1⎪⎩
⎪
⎨⎧==+-=++c c b a c b a 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==.0,2,3c b a
∴g(x)=3x 2
-2x.。