函数基础知识复习

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函数基础知识

1、函数基础知识：函数分类：二次函数，指数函数，对数函数，三角函数，抽象函数，复合函数，反函数逆，反比例函数常用知识点：顶点公式，根的个数，求根公式，韦达定理，单调性（证明，做减法，除法），奇偶性，图像平移，对称轴公式，周期函数。

函数考查内容：定义域范围，值域，单调性，利用单调性求最值和值域，利用单调性奇偶求参数取值范围，求解析式，对称性比较大小，抽象函数。

2、指数函数、对数函数指数函数图像，定义域，值域，过定点。

对数函数图像，三个公式，定义域，值域，过定点3、抽象函数（一般二次函数无抽象函数，赋值，配凑）一次，指数，对数函数的抽象函数表达试：4、反函数（存在反函数必单调）一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x、 y 的关系，用x 表示y，得到x= g(y)。

若对于y在C中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变量，x是因变量，是y的函数，这样的函数x= g(y)(x∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f-1(x) 。

反函数y=f-1 (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。

注意：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起.反函数题型：存在反函数的条件，反函数的求法，定义域值域，选择图像，方程求值。

5、反比例函数形如函数（k为常数且k≠0）叫反比例函数，其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数。

反比例函数的定义域为{x|x≠0}，值域为(-∞,0)∪(0,+∞)。

6、求函数的定义域一般有三种类型：(1)实际问题中函数定义域必须有实际意义。

(2)①分式的分母不得为零; ②偶次方根的被开方数不小于零;③对数函数的真数必须大于零; ④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;⑤三角函数中的正切函数y=tanx(x∈R，且k∈Z)，余切函数y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集).(3)已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f(x)的定义域，即g(x)的值域.7、求函数的解析式一般有四种情况(1)根据某实际问引入变量，建立函数关系。

函数基础知识复习

函数及其表示基础知识梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值域．值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据．2．函数的三种表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．3．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．另：求复合函数y＝f(t)，t＝q(x)的定义域的方法：①若y＝f(t)的定义域为(a，b)，则解不等式得a＜q(x)＜b即可求出y＝f(q(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域．4．函数的单调性(1)定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2,当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数。

(2)单调区间的定义：若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．注：函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y＝1x分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接．函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．在公共的单调区间内有：增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，减函数+减函数=减函数，减函数-增函数=减函数。

函数知识基础知识点总结

函数知识基础知识点总结1. 函数的定义函数（function）是计算机程序中一组预先定义好的代码块，它可以完成特定的任务并返回一个值。

函数通常由函数名、参数列表、函数体和返回值组成。

函数名用来标识函数，在调用函数时需要使用函数名来指定要调用的函数。

参数列表是函数的输入，它是一组变量或常量，用来传递给函数进行处理。

函数体是函数的实际代码，它包含了函数要执行的一系列语句。

返回值是函数的输出，它是函数执行完毕后返回给调用者的结果。

在不同的编程语言中，函数的定义语法会有所不同。

例如，在Python中，函数的定义如下所示：```pythondef func_name(parameter1, parameter2, ...):# Function bodyreturn result```在这个例子中，`def`关键字用来定义函数，`func_name`是函数的名称，`parameter1, parameter2, ...`是函数的参数列表，`return result`是函数的返回值。

2. 函数的参数函数的参数是函数的输入，它可以是变量、常量、表达式等。

参数可以帮助函数更好地完成特定的任务，并且可以提高函数的通用性和灵活性。

在不同的编程语言中，函数的参数可以分为不同的类型，如位置参数、关键字参数、默认参数等。

位置参数是最常见的参数类型，它是按照参数列表中参数的位置依次传递给函数。

例如，在下面的函数中，`a`和`b`就是位置参数：```pythondef add(a, b):return a + b```当我们调用这个函数时，需要按照`add`函数中参数的顺序传入参数，即`add(2, 3)`会返回`5`。

关键字参数是通过指定参数名来传递参数的方式。

使用关键字参数可以不必考虑参数的顺序，而直接通过参数名来传递参数值。

例如，在下面的函数中，`a`和`b`就是关键字参数：```pythondef add(a, b):return a + b```当我们调用这个函数时，可以直接指定参数名来传递参数值，即`add(a=2, b=3)`也会返回`5`。

高考数学函数基础知识清单

高考数学函数基础知识清单函数是高中数学中的重要内容和基础知识点，对于高考数学来说尤为重要。

本文将为大家总结高考数学函数基础知识清单，帮助大家复习和巩固相关概念和技能。

一、函数的定义与性质1. 函数的定义：函数是一个集合和对应关系的二元关系，通常用f(x)表示。

2. 定义域和值域：函数的定义域是输入变量x的取值范围，值域是函数对应值f(x)的取值范围。

3. 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。

二、常见的函数类型1. 一次函数：y = kx + b，其中k和b是常数，k称为比例系数，b 称为常数项。

2. 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，且a ≠ 0。

3. 幂函数：y = x^n，其中n为整数。

4. 指数函数：y = a^x，其中a为正实数且a ≠ 1。

5. 对数函数：y = log_a(x)，其中a为正实数且a ≠ 1。

6. 三角函数：正弦函数、余弦函数等。

三、函数的图像与性质1. 函数图像的表示：坐标系、平面直角坐标系。

2. 函数图像的基本性质：对称性、零点、极值等。

3. 函数的平移、伸缩和翻折：函数图像在坐标系中的变化与函数式的关系。

四、函数的运算与复合1. 函数的四则运算：加、减、乘、除。

2. 复合函数：f(g(x))，其中f(x)和g(x)是两个函数。

3. 反函数：f^(-1)(x)，满足f(f^(-1)(x)) = x和f^(-1)(f(x)) = x的函数。

五、函数方程与函数不等式1. 函数方程：包括一元函数方程和多元函数方程。

2. 函数不等式：包括一元函数不等式和多元函数不等式。

六、函数的应用1. 函数的模型：将实际问题抽象化为函数模型进行求解。

2. 函数的最大值与最小值：求极值的方法和应用。

3. 函数的应用举例：求面积、体积、最优解等实际问题。

以上是高考数学函数基础知识的清单，希望能够对大家的复习和考试有所帮助。

在复习过程中，要理解函数的定义与性质，熟练掌握各种函数的类型，能够准确绘制函数图像并分析函数的各种性质，同时要培养应用函数解决实际问题的能力。

函数的基础知识大全(完整)(包括函数在高考中所有考点知识)

函数基础知识大全§1.2.1、函数的概念1、设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,.2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.3.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域C 和对应法则f .当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. §1.2.2、函数的表示法1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. 1.函数的三种表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系. （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 2.求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．求函数解析式的常用方法： 1、换元法（注意新元的取值范围）2、待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）3、整体代换（配凑法） 4.赋值法：3.映射的定义：一般地，设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A 、B ，以及集合A 到集合B 的对应关系f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f :A →B.由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A 、B 非空且皆为数集.4.映射的概念中象、原象的理解：(1) A 中每一个元素都有象;(2)B 中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；(3)A 中每一个元素的象唯一。

(完整版)函数的基础知识大全(完整)(包括函数在高考中所有考点知识)

函数基础知识点总结高中

函数基础知识点总结高中一、函数的概念函数是数学中的一个重要概念，也是高中数学中的重点内容之一。

在数学中，函数是指一个或多个变量与另一个或多个变量之间的对应关系，它表示了自变量的变化如何影响因变量。

二、函数的定义1. 函数的定义在数学中，函数是一个特殊的关系，它是一个或多个自变量的值和一个或多个因变量的值之间的对应关系。

对于每个自变量的值，函数对应唯一的因变量的值。

一般的，函数可以表示为y=f(x)，其中y表示因变量，x表示自变量，f(x)表示函数。

这里x的值称为自变量的取值范围，而y的值称为函数的值域。

例如，y = 2x + 1就是一个函数，它表示了自变量x和因变量y之间的关系。

当自变量x取某个值时，可以通过函数表达式来确定因变量y的值。

2. 函数的定义域和值域函数的定义域是自变量取值的范围，它是使得函数有意义的自变量取值范围。

而函数的值域是函数的所有可能的因变量值的集合。

例如，对于函数y = 2x + 1来说，它的定义域是实数集R，值域是实数集R。

即任何实数x都可以取得一个唯一的实数y。

3. 函数的图像函数的图像是指函数在平面直角坐标系中的呈现形式。

函数的图像可以通过绘制函数的图表来表示，它展示了函数的自变量和因变量之间的关系。

三、函数的表示法1. 用表格表示函数一种常见的函数表示方法是使用表格形式。

在表格中，自变量的取值和因变量的值被列在一起，展示了它们之间的对应关系。

例如，对于函数y = 2x + 1来说，可以用表格来表示自变量x和因变量y的对应关系。

如下所示：| x | y || 1 | 3 || 2 | 5 || 3 | 7 || ...| ...|2. 用函数表达式表示函数另一种常见的函数表示方法是使用函数的表达式。

通过一个公式或方程式来表示函数的自变量和因变量之间的关系。

例如，函数y = 2x + 1就是一个函数表达式，它表示了自变量x和因变量y之间的线性关系。

当x取某个值时，通过这个表达式可以计算出对应的y的值。

初中基本函数知识点总结

初中基本函数知识点总结一、函数的基本概念1. 函数的定义：函数是一个对应关系，它把一个数集中的每一个数映射成另一个数集中的唯一一个数。

2. 自变量和因变量：在函数中，自变量是输入的值，因变量是输出的值。

3. 函数的表示：一般来说，函数可以用表格、图像、公式或者文字描述。

4. 定义域和值域：在函数中，定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

二、函数的图像和性质1. 函数的图像：函数的图像是自变量和因变量之间的关系的几何表示。

2. 函数的性质：函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性等。

三、基本初等函数1. 常数函数：常数函数的表达式是f(x) = C (C为常数)，它的图像是一条水平的直线。

2. 一次函数：一次函数的表达式是f(x) = kx + b (k和b为常数,k≠0)，它的图像是一条斜线。

3. 二次函数：二次函数的表达式是f(x) = ax² + bx + c (a、b、c为常数，且a≠0)，它的图像是一条开口向上或向下的抛物线。

4. 幂函数：幂函数的表达式是f(x) = xᵐ (m为常数)，它的图像是经过原点的曲线。

5. 指数函数：指数函数的表达式是f(x) = aˣ (a为正实数，且a≠1)，它的图像是逐渐上升或逐渐下降的曲线。

6. 对数函数：对数函数的表达式是f(x) = logₐx (a为正实数，且a≠1)，它的图像是一条拐点在(1,0)处的曲线。

四、函数的运算1. 函数的和、差、积、商：函数的和、差、积、商分别对应于两个函数的和、差、积、商。

2. 复合函数：复合函数是指一个函数的自变量被另一个函数的因变量代替。

3. 反函数：若函数y=f(x)的定义域为D，值域为R，则对于D中的任意一个数x，能使f(x) = y成立的y是唯一的，那么函数y=f(x)的反函数是一个函数，其定义域为R，值域为D。

五、函数的应用1. 函数的应用：在实际生活中，函数的运用十分广泛，包括表示物体的运动规律、生活中的购物花费、投资收益等。

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函数及其表示基础知识梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值域．值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据．2．函数的三种表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．3．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．另：求复合函数y＝f(t)，t＝q(x)的定义域的方法：①若y＝f(t)的定义域为(a，b)，则解不等式得a＜q(x)＜b即可求出y＝f(q(x))的定义域；②若y ＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域．4．函数的单调性(1)定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2,当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数。

(2)单调区间的定义：若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．分别在(－∞，注：函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y＝1x0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接．函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．在公共的单调区间内有：增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，减函数+减函数=减函数，减函数-增函数=减函数。

(3)图象法：利用图象研究函数的单调性．函数的奇偶性与周期性基础知识梳理1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．注：奇、偶函数的定义域关于原点对称．2．奇、偶函数的性质（1）奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．（2）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反。

（3）若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0 ，偶函数恒有|)(|)(xfxf=.判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．注：若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝1f(x)或f(x＋a)＝－1f(x)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2a；练习检测1．(2011·江西)若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( )．A.)0,21(-B.]0,21(-C.),21(+∞-D ．(0，＋∞)解析由log 12(2x ＋1)＞0，即0＜2x ＋1＜1，解得－12＜x ＜0. 答案 A2．下列各对函数中，表示同一函数的是( )．A ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg xB ．f (x )＝lg x ＋1x －1，g (x )＝lg(x ＋1)－lg(x －1) C ．f (u )＝ 1＋u1－u，g (v )＝ 1＋v1－vD ．f (x )＝(x )2，g (x )＝x 2 答案 C3．函数y ＝f (x )的图象如图所示．那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．解析任作直线x ＝a ，当a 不在函数y ＝f (x )定义域内时，直线x ＝a 与函数y ＝f (x )图象没有交点；当a 在函数y ＝f (x )定义域内时，直线x ＝a 与函数y ＝f (x )的图象有且只有一个交点．任作直线y ＝b ，当直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象有交点，则b 在函数y ＝f (x )的值域内；当直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象没有交点，则b 不在函数y ＝f (x )的值域内．答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 4求下列函数的定义域： (1)f (x )＝|x －2|－1log 2(x －1)；(2)f (x )＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4.[审题视点] 理解各代数式有意义的前提，列不等式解得．解(1)要使函数f (x )有意义，必须且只须⎩⎨⎧|x －2|－1≥0，x －1>0，x －1≠1.解不等式组得x ≥3，因此函数f (x )的定义域为[3，＋∞)． (2)要使函数有意义，必须且只须⎩⎨⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，即⎩⎨⎧x >－1，(x ＋4)(x －1)<0，解得：－1<x <1. 因此f (x )的定义域为(－1,1)．5. (2012·天津耀华中学月考)(1)已知f (x )的定义域为]21,21[-，求函数y ＝f )21(2--x x 的定义域；(2)已知函数f (3－2x )的定义域为[－1,2]，求f (x )的定义域．解 (1)令x 2－x －12＝t ，知f (t )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t ⎪⎪⎪－12≤t ≤12，∴－12≤x 2－x －12≤12，整理得⎩⎨⎧x 2－x ≥0，x 2－x －1≤0⇒⎩⎨⎧x ≤0或x ≥1，1－52≤x ≤1＋52，∴所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－52，0∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1＋52.(2)用换元思想，令3－2x ＝t ， f (t )的定义域即为f (x )的定义域， ∵t ＝3－2x (x ∈[－1,2])，∴－1≤t ≤5，故f (x )的定义域为[－1,5]．6.(1)已知f )12(+x＝lg x ，求f (x )；(2)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式． [审题视点] (1)用代换法求解；(2)构造方程组求解．解 (1)令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1. (2)x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．求函数解析式的方法主要有：(1)代入法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)解函数方程等．7. (1)已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，试求f (x )的表达式． (2)已知f (x )＋2f (1x )＝2x ＋1，求f (x )．解 (1)由题意可设f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，则 a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1 ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1 ∴⎩⎨⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝12，b ＝12. 因此f (x )＝12x 2＋12x .(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝2x ＋1，消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，得f (x )＝4＋x －2x 23x.8. 求函数y ＝log 13(x 2－3x )的单调区间．正解设t ＝x 2－3x ，由t ＞0，得x ＜0或x ＞3，即函数的定义域为(－∞，0)∪(3，＋∞)．函数t 的对称轴为直线x ＝32，故t 在(－∞，0)上单调递减，在()3，＋∞上单调递增．而函数y ＝log 13t 为单调递减函数，由复合函数的单调性可知，函数y ＝log 13(x 2－3x )的单调递增区间是(－∞，0)，单调递减区间是(3，＋∞)．9. 求函数f (x )＝log 2(x 2－2x －3)的单调区间． [尝试解答] 由x 2－2x －3＞0，得x ＜－1或x ＞3，即函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．令t ＝x 2－2x －3，则其对称轴为x ＝1，故t 在(－∞，－1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．又y ＝log 2t 为单调增函数．故函数y ＝log 2(x 2－2x －3)的单调增区间为(3，＋∞)，单调减区间为(－∞，－1)． 10.．(2011·江苏)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是______．解析要使y ＝log 5(2x ＋1)有意义，则2x ＋1＞0，即x ＞－12，而y ＝log 5u 为(0，＋∞)上的增函数，当x ＞－12时，u ＝2x ＋1也为增函数，故原函数的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞11. 函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3 解析 y ＝x －5x －a －2＝1＋a －3x －(a ＋2)，需⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，a ＋2≤－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <3，a ≤－3，∴a ≤－3. 答案 C12.已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23. (1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．[审题视点] 抽象函数单调性的判断，仍须紧扣定义，结合题目作适当变形． (1)证明法一 ∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有 f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )， ∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0. 再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )．在R 上任取x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵x ＞0时，f (x )＜0，而x 1－x 2＞0，∴f (x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．因此f (x )在R 上是减函数．法二设x 1＞x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵x ＞0时，f (x )＜0，而x 1－x 2＞0， ∴f (x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在R 上为减函数． (2)解 ∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f (x 1)f (x 2)与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1＝x 2·x 1x 2或x 1＝x 2＋x 1－x 2等．【训练】已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f )(21x x ＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＜0.(1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．解 (1)令x 1＝x 2＞0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＞x 2，则x 1x 2＞1，由于当x ＞1时，f (x )＜0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＜0，即f (x 1)－f (x 2)＜0，因此f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f (x )在[0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.1．(2011·全国)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( )．A.－12B.－14C.14D.12解析因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12.故选A. 答案 A2．(2011·浙江)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析法一 ∵f (－x )＝f (x )对于x ∈R 恒成立，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |对于x ∈R 恒成立，两边平方整理得ax ＝0对于x ∈R 恒成立，故a ＝0. 法二由f (－1)＝f (1)，得|a －1|＝|a ＋1|，得a ＝0. 答案03. 已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f (1－m )＋f (1－m 2)＜0的实数m 的取值范围．解 ∵f (x )的定义域为[－2,2]， ∴有⎩⎨⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.①又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴在[－2,2]上递减，∴f (1－m )＜－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m ＞m 2－1，即－2＜m＜1.②综合①②可知，－1≤m＜1.4.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．[审题视点] (1)只需证明f(x＋T)＝f(x)，即可说明f(x)为周期函数；(2)由f(x)在[0,1]上的解析式及f(x)图象关于x＝1对称求得f(x)在[1,2]上的解析式；(3)由周期性求和的值．(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．(2)解当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，又f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．(3)解∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1又f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1.判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．5. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 013)＋f(2 015)的值为()．A．－1 B．1 C．0 D．无法计算解析由题意，得g(－x)＝f(－x－1)，又∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)的周期为4，∴f(2 013)＝f(1)，f(2 015)＝f(3)＝f(－1)，又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，∴f(2 013)＋f(2 015)＝0.答案C6. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()．A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)[尝试解答]由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知，f(x)在[－2,2]上递增，又f(x －4)＝－f(x)⇒f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)＜f(80)＜f(11)．故选D.答案 D。