一次函数基础知识梳理

基础知识梳理

1、正比例函数

一般地，形如kx y = (k 是常数，)0(≠k )的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例

系数。

2、正比例函数图象和性质

一般地，正比例函数kx y =（k 为常数，)0(≠k ）的图象是一条经过原点和（1，k ）

的一条直线，我们称它为直线kx y =。当k>0时，直线kx y =经过第一、三象限，从左向

右上升，即随着x 的增大，y 也增大；当k<0时，直线kx y =经过第二、四象限，从左向右

下降，即随着x 的增大y 反而减小.

3、正比例函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =)0(≠k 中的常数k ，其基本

步骤是：（1）设出含有待定系数的函数解析式kx y =)0(≠k ；（2）把已知条件（自变量

与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k 的一元一次方程；（3）解方程，求出待定

系数k ； （4）将求得的待定系数的值代回解析式.

4、一次函数

一般地，形如b kx y += (k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，

b kx y +=即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

考点一：一次函数的概念

例1、一根弹簧长15㎝，它所挂的物体质量不能超过18kg ，并且每挂1kg 就伸长2

1㎝.写出挂上物体后的弹簧长度y （㎝）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数关系式 例2、下列函数中，哪些是一次函数哪些是正比例函数

（1）y=-

21x ； （2）y=-x

2； （3）y=-3-5x ； （4）y=-5x 2； （5）y=6x-21 （6）y=x(x-4)-x 2. 练习

（1）当m 为何值时，函数y=-（m-2）x

32-m +（m-4）是一次函数 （2）当m 为何值时，函数y=-（m-2）x

3

2-m +（m-4）是正比例函数 5、一次函数的图象

（1）一次函数b kx y += )0(≠k (的图象是经过（0，b ）和（k b -，0）两点的一条直线，因此一次函数b kx y +=的图象也称为直线b kx y +=.

（2）一次函数b kx y +=的图象的画法. 根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可。一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b ），（k

b -

，0）.即横坐标或纵坐标为0的点. 考点二：一次函数的图像

例3. 已知一次函数y=(4m+1)x-(m+1).

（1）m 为何值时，y 随x 的增大而减小 。

（2）m 为何值时，直线与y 轴的交点在x 轴上 。

（3）m 为何值时，直线位于第二、三、四象限 。

练习

（1）对于函数y ＝5x+6，y 的值随x 值的减小而___________。

（2）一次函数y=kx+b 满足kb>0，且y 随x 的增大而减小，则此函数的图象不经过_______象限。

（3）一次函数 y=(6-3m)x ＋(2n －4)不经过第三象限，则m 、n 的范围是__________。 例4. 下列图形中，表示一次函数y=mx+n 与正比例函数y=mnx （m ，n 为常数，且mn ≠0）的图象的是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 练习：（1）已知直线y=kx+b 经过第一、二、四象限，那么直线y=-bx+k 经过第_______象限。

（2）无论m 为何值，直线y=x+2m 与直线y=-x+4的交点不可能在第______象限。

（3）y=23

x 与y=-2x+3的图像的交点在第_________象限． （4）无论实数m 取什么值，直线y=x+m 与y=-x+5的交点都不能在（ ）

A 、第一象限

B 、第二象限

C 、第三象限

D 、第四象限

6、正比例函数与一次函数图象之间的关系

一次函数b kx y +=的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.

7、直线y=kx ＋b 的图象和性质与k 、b 的关系如下表所示： b>0 b<0 b=0 k>0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限

图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大

k<0 经过第一、二、四象限

经过第二、三、四象限 经过第二、四象限

图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小

8、直线b kx y +=1与kx y =2图象的位置关系：

(1)当b>0时，将kx y =2图象向x 轴上方平移b 个单位，就得到b kx y +=1的图象．

(2)当b<0时，将kx y =2图象向x 轴下方平移－b 个单位，就得到了b kx y +=1的图象．

9、直线1l ：111b x k y +=与2l ：222b x k y +=的位置关系可由其解析式中的系数k 和常数b 来确定：当21k k ≠时，l 1与l 2相交

考点三：一次函数图像的变换

例5.将直线y=2x 向右平移2个单位所得的直线的解析式是（ ）

A 、y=2x+2

B 、y=2x-2

C 、y=2（x-2）

D 、y=2（x+2）

例6.一次函数y=2x+3的图象沿y 轴向下平移2个单位，那么所得图象的函数解析式是（ ）

A 、y=2x-3

B 、y=2x+2

C 、y=2x+1

D 、y=2x

例7.函数x k y 11=的图象过点P （2，3），且与函数x k y 22=的图象关于y 轴对称，那么他们的解析式1y = ； 2y =

练习：

（1）若正比例函数y=kx 与y=2x 的图象关于x 轴对称，则k 的值=

（2）如图，是一个正比例函数的图象，把该图象向左

平移一个单位长度，得到的函数图象的解析式为

（3）直线x y 3

1=向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线 。（4）已知直线y=2x+1．

①求已知直线与y 轴交点A 的坐标；

②若直线y=kx+b 与已知直线关于y 轴对称，求k 与b 的值．