5 单自由度结构的地震反应
第三节 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱
第三节 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱一、水平地震作用的基本公式 由上一节可知，()()[]()()t kx t x c t xt x m +=+- 0 3.26因()()r kx t xc ，略去不计，有()()[]()t kx t x t x m ≈+-0 3.27质点的绝对加速度为3.28()()()()()t x t x mkt xt x t a 20ϖ-=-=+= 将式3.24代入上式，得3.29质点的最大绝对加速度为()m ax a t a S =3.30一、 地震反应谱 反应谱分析法：求解结构最大地震反应的方法即反应谱分析法，这种方法是对单质点单自由度体系，在给定的阻尼比 时，取不同的自振周期T ，求出任意给定的地震波下的最大加速度 。
然后，以阻尼比 为参数，作出自振周期T 与最大反应的关系曲线族，即反应谱。
这样一来，对于任何单质点、单自由度体系，如果已知其自振周期T 、阻尼比 ，便可从反应谱图中直接查得该结构体系在特定地震波下的最大反应，实际运用是比较方便的。
图3.7是根据1940.5.18美国埃尔森特罗地震时地面运动加速度记录绘出的加速度反应谱曲线。
任何地震波所得的地震反应谱，几乎后共同的特点。
1、谱曲线是多峰点的，是由于地面运动的不规则造成的，但在阻尼比等于零时反应谱的谱值最大，而任何较小的阻尼比都能否使峰点削平很多。
2、当结构自振周期较小时，随周期T 的增加，反应急剧增长，而较大自振周期时，反应逐渐衰减、稳定。
目前，世界各国已普遍计算和利用地震反应谱。
在现今设计中，已有许多可以直接应用的地震反应谱，包括最大加速度、最大相对加速度或最大相对位移反应，以满足不同使用的要求。
aS 与质点质量的乘积即为水平地震作用的绝对最大值a mS F = 3.31二、 标准反应谱βGk x Sg x mg mS F max a max a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==00 3.32式中： k—— 地震系数 β—— 动力系数mg G =——重力（一）地震系数1、概念：即指地面运动最大加速度与重力加速度的比值2、公式：gxk max0 =3.333、有关因素：与地震烈度有关4、确定：见表 3.1 （二）动力系数β1、概念：即指单质点弹性体系在地震作用下最大反应加速度与地面最大加速度之比。
单自由度体系地震能量反应的计算
图! 滞回耗能和弹性应变能 " # % ! & ’ ( ) * ’ ) ( + , / ’ 0 ( 0 ’ # * 1 # / / # + ’ 0 1 $ . 2 0 3 0 ( + 3 10 , + / ’ # * / ’ ( + # 30 3 0 ( $ . $ .
（ ， # ! " # $ % % & % ) * ) &+ , ) , . . / ) , , 12 / # $ ) 3 . # 3 4 / .， 5 )’ 0 ,6 , ) * . / 7 ) 3 % # ) . , # . 0 , 19 . # $ , % & % 5 )’ 0 ,? # ) ) B C ( $ ) , 0； ’( -0 8 8 ’" 8， ， ’ ， ’ ， ） ! ! " # $ % % & % ) * ) &+ , ) , . . / ) , )0 ,6 , ) * . / 7 ) 3 % / # $ ) 3 . # 3 4 / . 0 , 19 . # $ , % & % )0 ,? # ) ) B B ( $ ) , 0 ’( - 5 8 ’2 8 5
) 概
述
在地震过程中， 结构吸收地震波输入的能量， 产生结构反应， 并通过结构反应转化和吸收部分能量， 造成结 构吸能部位的损坏。因此， 在地震动过程中， 与结构破坏有直接联系的应是结构的地震能量反应。 结构弹塑性地震反应分析一般采用动态分析方法进行， 即根据选定的地震波和结构恢复力特性曲线， 对动 力方程进行直接积分， 采用逐步积分的方法计算地震过程中每一瞬间结构的位移、 速度和加速度反应， 从而观察 到结构在强震作用下在弹性和非弹性阶段的内力变化以及构件开裂、 损坏直到结构倒塌的全过程。这种方法又
第三章1-单自由度体系的弹性地震反应分析与地震作用
1 k
x g (t )
上式与振动方程（3.4b）完全相同。
17
3. 振动方程的简化
令： = k m (3.6) (3.7)
=
c 2 m
代入式（3.4b）得 即 (t ) 2 x (t ) 2 x (t ) = g (t ) x x (3.5)
式中 ：称为自振频率
x (t )
建立振动方程有两种方法： 刚度法和柔度法
m
k
fD
m
fS
fI
x g (t )
14
1. 刚度法
地震时，任意时刻质点m的相对位移为x(t ) 任意时刻基础的位移为xg (t ) 质点m的绝对加速度为： x(t ) xg (t ) 取质点m为脱离体，则其所受 到的作用力有：
xg (t )
t
30
振动方程的特解——续
2 x 2 x = g x x
观察振动方程，可将方程右边项 xg (t )看作单位质量(m = 1)上 的动力荷载。
g (t )曲线划分成若 现将 x 干个瞬时荷载（如图）。
当t = 时： 体系的质量 m = 1 g ( ) 1 瞬时荷载为 P = x g ( ) d 瞬时冲量为 Pdt = x
x(t ) = et (c1 cosDt c2 sin Dt )
D = 1 2
D : 有阻尼单自由度体系的 自振频率
一般工程为欠阻尼情况： 边界条件： 代入上式：
x0 = x(0), x 0 = x(0)
c1 = x0
代入上式导数式： c = 2
x 0 x0
6
【2017年整理】地震反应谱、设计反应谱与地震影响系数谱曲线
【2017年整理】地震反应谱、设计反应谱与地震影响系数谱曲线地震反应谱、设计反应谱与地震影响系数谱曲线一直对反应谱这个东西，进来在听完一些免费结构讲座之后，自己总结了一下，梳理了一下几个概念，当然理解这些概念还需要对地震动的一些基本概念有一定理解，下次有机会再将地震动的东西总结一下，希望对初学者有点作用，文中所用图均来自网上。
1.地震反应谱可理解为一个确定的地面运动，通过一组阻尼比相同但自振周期各不相同的单自由度体系，所引起的各体系最大反应与相应体系自振周期间的关系曲线。
但是，不同场地类别和震中距对反应谱有影响，因而不能直接用于抗震设计，需专门研究可供结构抗震设计用的反应谱，称为设计反应谱。
2.设计反应谱由结构动力学地震系数，该参数可将地震动幅值对地震反应谱的影响分离出来。
地震系数与基本烈度的关系基本烈度6789地震系数k0.050.10(0.15)0.20(0.30)0.40(另:本人对其结果很是不解，由后文可知，地震影响系数最大值等于2.25倍的地震系数，而《抗震规范》2010 表5.1.4-1除以2.25后应该为基本烈度6789地震系数k0.0170.0355(0.0533)0.071(0.106)0.142欢迎大家讨论～)动力系数，是体系最大绝对加速度的放大系数特点:a.是一种规则化的地震反应谱，且动力系数不受地震动振幅的影响。
b.与地震反应谱具有相同的性质，受到体系阻尼比，以及地震动频谱(场地条件和震中距)的影响。
调整:1、为了消除阻尼比的影响由于大多数实际建筑结构的阻尼比在0.05左右,取确定的阻尼比然后不同建筑物根据公式相应调整。
2、按场地震中距将地震动记录分类，消除地震动频谱对地震动的影响。
3、计算每一类地震动记录动力系数的平均值考虑类别相同的不同地震动记录动力系数的变异性。
经过上述三条措施后，再将计算得到的β(T)平滑化后，可得到抗震设计采用的动力系数谱曲线。
3.地震影响系数谱曲线反应谱的局限性:不能反映地震的持续时间(加速度幅值)不能考虑多点激励的影响(刚性地基)不能反映建筑物质量和刚度分布的不均匀不能反映多个阻尼的情况不能反映场地条件和卓越周期的影响不能反映低周疲劳的影响不能反映结构周期不确定性的影响1,万,1,千地质测量质量要求表(吉林参考)11,万 1,5千 1,2千 1,千 1,万草测 1,2千草测 1 2 3 4 5 6 7 一沉 1对地层划分到组或阶，如范围大应进一步二分或三分，确定1.在1,万分成的基础上，按岩层、岩性特一般地段的研究程含矿层或地积其时代，测定其厚度及产状点进一步详细划分岩层，研究岩石的物质成度可低于1,万或成矿有利质岩 2.对标志层、成矿有利的岩层在图上的宽度大于1毫米者应扩分、结构、构造特征，胶结物性质，结核体与之相似。
反应谱-地震工程
1. 地震作用下的运动方程体系的受力平衡方程为I S ()()()0D f t f t f t ++=，其中惯性力I g ()(()())f t mu t mu t =-+，弹性恢复力S ()()f t mu t =-，阻尼力D ()()f t cu t =-代入得()g mu cu ku mu t ++=-， 22()g u u u u t ξωω++=- 2. 反应量在抗震设计中预留防震缝以防止相邻建筑物在地震中相互作用，则需要确定质量的绝对位移()t u t ，如果结构支撑着敏感设备并且要确定传递给设备的运动，那么需要确定质量的绝对加速度()t u t ，体系的内力与质量相对于运动地面的位移u（t ）线性相关的。
地震中反应量主要指相对量u （t ），()t u，()t u 和绝对量()t u t ，()t u t ，()t u t3. 反应时程反应时程体系的位移反应时程是()u t 、伪加速度反应时程()A t ，两者的关系为：2()()A t u t ω=给定地面运动()g u t ，单自由度体谱时，地震作用是确定的，每条地震波可以得到各自对应的反应谱。
反应谱的每一条曲线对应一个结构阻尼比，每一个结构阻尼比可得到一条反应谱。
反应谱的结构反应量既可以是系的位移反应只和体系的固有频率和阻尼比有关系，同样，伪加速度反应也一样。
确定出特定体系（固有频率和阻尼比一定）的位移反应和伪加速度反应，可方便地计算体系的内力了。
4. 反应谱用某个反应量的峰值作为体系的固有周期或像圆频率之类的参数的函数图形，称为该反应量的反应谱。
反应谱可以体现出结构的最大反应量与结构自振周期和阻尼比之间关系。
在获得反应绝对加速度，也可以是速度和位移。
反应谱作为地震工程中的一个核心概念，提供了一种方便的手段来概括所有可能的线性自由度体系对地面运动的某个特定分量的峰值反应。
它还提供了一种实用的方法，将结构动力学知识应用于结构的设计以及建筑规范中侧向力条文的制定。
地震反应谱
有阻尼自由振动
振动方程为 简化为
mx cx kx 0 2hwx w2 x 0 x c / m 2hw
xe
（9） （10）
其解为
k/mw
hwt
2
( A cos wd t B sin wd t )
（11）
速度表达式： x ehwt (hwAsin wd t wd B cos wd t ) （12)
地震反应谱
汇报者：董艳博
地震反应谱 • 单自由度体系在给定的地震作用下某个（位移、速度、加 速度）最大反应与体系无阻尼自振周期的关系曲线称为该 反应的地震反应谱。
单质点系的振动
• 1、水平方向的振动时的运动方程的建立
x g (t ) ：地面（基础）的水平位移
x(t ) ：质点对地面的的相对位移
x g ( t ) x( t )
t
THANKS
t
F ( )d h (t ) x(t ) e hw sin d (t ) d cos d (t )d 0 md
地震动反应
单质点系受地震作用时的运动方程式 mx cx kx my
x y 2hwx w2 x
m( g ) x x
cx
m
x(t )：质点的总Fra bibliotek移mkx
xg (t )
x g ( t ) x( t ) ：质点的绝对加速度
取质点为隔离体，作用在质点上的力惯性力：
I m x g ( t ) x( t ) 弹性恢复力： S kx(t ) 阻尼力：（粘滞阻尼理论） R cx(t )
•
根据达朗贝尔原理， 运动方程为：
第三章-单自由度体系结构的地震反应
P(t)
t
(t)
x(t)
() (a)
t
() (b)
xt ＝e
Pdt sin t （3.11） m
图3.7 瞬时冲量及其 引起的自由振动
3.3.2
一般动力荷载下的动力反应 般动力荷载下的动力反应—— 杜哈美积分
P()
图3.8示任一动力荷载，它 图3 8示任 动力荷载 它 的整个加载过程可看作是 由一系列瞬时冲量所组成。 运用叠加原理，把各个瞬 时冲量单独作用下的动力 反应求出 然后再叠加以 反应求出，然后再叠加以 求得总的动力反应。 冲量 P d 在 t t 引起的单自由度体系的振 动为
（3 1） （3.1） （3.2）
2x 2 x ＝ a t x
c c c 2 ＝ , ξ ， 2 mω 2 mk m
称为阻尼比；k为弹簧系数；c为阻尼系数 称为阻尼比 为弹簧系数 为阻尼系数
k ＝ ， 叫做无阻尼的自振圆频率 m
P t a t ＝ m Nhomakorabea3.4.2 运动方程数值计算解
目前直接对运动微分方程进行数值积分的方法，如 平均加速度法、线性加速度法、纽马克—法、 Wilson－法等。 数值方法的基本思路 t 0 ， t 0 及各个分点间的递 x 利用初始条件 x t 0 ，x 推关系，一步一步地向下进行递推计算
叫做激振加速度
地面运动作用下单自由度体系的运动方程
X(t) -mXg(t)
D S
I
Xg(t) (a) (b) (c)
图3.4
力学模型
x(t ) 质量块的绝对加速度 相对加速度为 x(t ) xg (t ) ，相对加速度为
单自由度体系结构的地震反应
3.13.1 概述
建筑结构的地震反应
3.1 概述
3.2.1力学模型及其运动方程
线性单自由度体系的运动方程
()
平衡方程地面运动作用下单自由度体系的运动方程平衡方程为（如图3.4）：
3.2.2单自由度体系的无阻尼自由振动3.2.3单自由度体系的有阻尼自由振动
例题分析
[例题3.1]
用下的受迫振动
3.3.1瞬时冲量及其引起的自由振动
应——杜哈美积分
3.4.1杜哈美积分的数值计算3.4 单自由度体系地震反应的数值计算
3.4.1杜哈美积分的数值计算
3.4.2运动方程数值计算解线性加速度法
线性加速度法线性加速度法
[]
例题分析例题分析
3.5 抗震设计反应谱 3.5.1水平地震作用的基本公式
采用的反应谱地震系数
动力系数标准的地震影响系数曲线
α
例题分析
例题分析
[例题3.3]
反应与计算 3.6.1材料的非线性
3.6.2单自由度非线性体系的运动方程 3.6.3非线性运动方程的求解3.6.4恢复力模型
“半退化三线型”恢复力模型。
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40
中心差分方法（线弹性情况）
知道这些 参数即可
41
中心差分方法（线弹性情况）
知道这些 参数即可 • 根据 • 根据 • 分析步长取多大？下式是稳定性要求的步 长。实际中取的更小，一般0.01~1e-5
42
中心差分方法（线弹性情况）
• 步骤总结 绝对速度 和加速度
43
中心差分方法（线弹性情况）
max max
max
mSa
g
G k G
?
G ---集中于质点处的重力荷载代表值
g ---重力加速度
Sa xg (t )
k
xg (t ) g
max
---地震系数
---动力系数
max
k ---地震影响系数
23
抗震设计谱（续）
• 重力荷载代表值应取结构和构件自重标 准值和各可变荷载组合值之和。可变荷 载的组合值系数，可按下表采用
Sd = x(t ) max
13
y g ( t )
(ms 2 )
t (s)
Elcentro 1940 （N-S） 地震记录
相对速度反应谱
(t ) max Sv x
14
y g ( t )
(ms 2 )
t (s)
Elcentro 1940 （N-S） 地震记录
绝对加速度反应谱 Sa x(t ) xg
max
15
地震动反应谱（续）
1. 目前应用的抗震设计方法是基于力的抗震设计， 加速度反应谱是基于力的抗震设计的基础，因 此后面将主要介绍加速度反应谱 2. 在 代 表 未 来 抗 震 设 计 理 论 发 展 方 向 的 抗 震 理 论 —— 基 于 性 态 的 抗 震 设 计 理 论 （Performance-based seismic design）中，位 移反应谱将起到至关重要的作用！位移谱可以 用加速度谱转化。
50
Newmark方法（线弹性情况）
• 步骤总结 隐式方法 Implicit method
i+1时刻由i和 i+1时刻求出 ，使用i+1时 刻的平衡
51
Newmark方法（线弹性情况）
• 分析步长取多大？下式是稳定性要求的步 长。实际中取的更小，一般0.01~0.005， 但比显式方法大的多
52
• 第二类误差（初始刚度预测） 迭代逼近
modified Newton–Raphson iteration
62
Newmark方法（非线性情况）
• 第二类误差（初始刚度预测） 迭代逼近
Newton–Raphson iteration
63
Newmark方法（非线性情况）
• Modified Newton–Raphson iteration：收 敛慢、收敛性相对好 • Newton–Raphson iteration：收敛快、收 敛性相对差
max(Tg / T)
1 0.6 0 0.2 0.50.8 0 0.3 1
1.5 2.5
0 0.3
1
1.5
2 T (s)
3
4
2 T (s)
3
4
(c) 1974规范设计谱
Sl Sll Slll
4
(d) 1989规范设计谱
max
3
加速度
max(Tg / T)
2
max(Tg / T)
稳定性
• 三种方法的稳定性
无条件稳定
条件稳定
53
稳定性（续）
• Procedures that lead to bounded solutions if the time step is shorter than some stability limit are called conditionally stable procedures • Procedures that lead to bounded solutions regardless of the time-step length are called unconditionally stable procedures
设防烈度I 地震系数k 6 7 8 0.05 0.10（0.15） 0.20（0.30） 9 0.40
26
地震系数k
k
g (t ) x g
max
---地震系数
27 设计基本地震加速度是否直接用于设计？No！
抗震设计谱（续）
根据同一类场地上所得到的地面加速度记录分别计算 出它的加速度反应谱曲线，然后将这些谱曲线进行统计分 析，求出其中最有代表性的平均反应谱曲线然后结合经验 判断确定，通常称这样的谱曲线为抗震设计谱！
28
抗震设计谱（续）
---地震影响系数 ---结构周期
地震影响系数最大值（阻尼比为0.05）
地震影响 多遇地震 罕遇地震 0.04 ----烈度 6 7 8 9 0.08(0.12) 0.16(0.24) 0.32 0.50(0.72) 0.90(1.20) 1.40
T
max---地震影响系数
5
荷载插值方法
6
荷载插值方法（续）
无阻尼情况
• 考虑i时刻的初始条件，得到
• i+1时刻
7
荷载插值方法（续）
无阻尼情况
• i+1时刻的反应
8
荷载插值方法（续）
无阻尼情况
• 可以得到以下递推公式
• 通过递推，可以得到结构反应的时程。值 得注意的是该方法没有任何的假设（除了 假设线性插值）。但该方法仅适用于线弹 性结构计算。 9
54
计算误差
• 计算误差：数值计算结果和真实结果的误 差。考虑以下自由振动算例
• 真实结果（理论解）
55
计算误差（续）
结构的时程反应
56
计 算 误 差
Amplitude Decay（AD）和 Period Elongation（PE）
57
中心差分方法（非线性情况）
• 使用位移差分表示速度和加速度
• 带入方程
，得到
58
Newmark方法（非线性情况）
• 带入方程 ，得到
• 下式的近似性
固定时间步长引 起的分析误差
59
Newmark方法（非线性情况）
• 第一类误差（拐点预测） 速度判断 减小步长
60
Newmark方法（非线性情况）
• 第二类误差（初始刚度预测） 迭代逼近
61
Newmark方法（非线性情况）
荷载插值方法（续）
• 递推系数（考虑阻尼）
10
地震动反应谱
11
地震动反应谱（续）
Sa
加速度反应谱
T1 Ti
T
概念：单自由度体系在给定地震动作用下 某种反应量的最大值与体系自振周期之间 的关系曲线
12
相对位移反应谱
地震动
y g ( t )
(ms 2 )
t (s)
Elcentro 1940 （N-S） 地震记录
45
Newmark方法（线弹性情况）
46
Newmark方法（线弹性情况）
• 速度和位移用以下两式表示 需要迭代
• 增量形式
47
Newmark方法（线弹性情况）
• 速度和位移用以下两式表示 需要迭代
48
Newmark方法（线弹性情况）
• 带入方程 ，得到
49
Newmark方法（线弹性情况）
• 步骤总结 绝对速度 和加速度
• 步骤总结 显式方法 Explicit method
i+1时刻由i时 刻求出，不使 用i+1时刻的 平衡条件
44
Newmark方法（线弹性情况）
• 速度和位移用以下两式表示
• 根据以上两个参数的取值不 同，对应两种常用方法：平 均加速度法和线性加速度法
Newmark NM，1959年提出。地震工程 中“最流行”的方法
0.9
1
min
0.3 0.2 0.7 1.5 3.5
0
1
2 T (s)
3
4
0 0.1 0
Tg 1
2 T (s)
3
33
4
4
中国规范设计谱（
1%
3
2% 5% 10% 20%
2
1
20 01 ）
0
0 0.25
1
2
3 T (s)
4
5
6
34
中国规范设计谱（
20 10
）
35
差异来自何处，认识问题？
38 个国家的设计谱比较
分四 类
29%
分二 类
7.9%
分三 类
36
55%
分六 类
5.3% 2.6%分Βιβλιοθήκη 类• 反应谱研究存在的问题
37
• 标准化技术（距离的影响）
38
• 标准化技术（谱的敏感区）
Chopra，2001
39
中心差分方法（线弹性情况）
• 使用位移差分表示速度和加速度
• 带入方程
，得到
水平地震影响系数是地震系数k与动力系数的乘积， 当基本烈度确定后，地震系数k为常数。仅随值而变化。 所以，水平地震影响系数最大值
max k max 2.25k
我国抗震规范中是以水平地震影响系数作为抗震设计 依据的，其数值应根据烈度、场地类别、设计地震分组以 25 及结构自振周期和阻尼比确定
0.05 2 1 0.06 1.7
30
对设计谱的再认识
31
由Housner提出的第一个地震设计谱(1959) 32