二次根式-单元复习课件
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二次根式复习课(29张PPT)
特殊二次根式
总结词
特殊二次根式是指具有特殊形式或意义的二次根式，如算术平方根、完全平方 根等。
详细描述
算术平方根是指非负数的平方根，即$sqrt{a}$（$a geq 0$）；完全平方根是 指一个数的平方等于给定值的平方根，即$sqrt{x^2}$。此外，还有一些特殊的 二次根式，如勾股定理中的勾股数、几何图形中的边长等。
二次根式的加减法
总结词
掌握二次根式的加减法规则
示例
$sqrt{2} + sqrt{3}$ 不能合并；$sqrt{2} + sqrt{2} = 2sqrt{2}$。
04
二次根式的应用
实际问题中的二次根式
计算物体的高度和长度
通过已知的长度和角度，利用二次根式计算物体的 高度或长度。
速度和加速度的计算
03
二次根式的化简与运算
二次根式的化简
总结词
掌握化简二次根式的方法
示例
$sqrt{25x^{2}}$ 可以化简为 $5x$；$sqrt{9a^{2} + 6ab + b^{2}}$ 可以化简为 $3a + b$。
二次根式的乘除法
总结词
掌握二次根式的乘除法规则
示例
$sqrt{2} times sqrt{3} = sqrt{6}$；$frac{sqrt{2}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{2} times sqrt{3}}{sqrt{3} times sqrt{3}} = frac{sqrt{6}}{3}$。
与平面几何的结合
03
在解决平面几何问题时，有时需要用到二次根式的性质和运算
法则。
05
习题与解答
习题
二次根式的ppt课件
将二次根式化简成最简二 次根式，即根号内不含能 开方的因数或因式。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
数学：二次根式单元复习课件
3.求下列二次根式中字母的取值范围
x 5
1 3x
解： x 5 0 ① 3- x 0 ②
说明：二次根式被开方数 不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）
解得 - 5≤x＜3
题型2:二次根式的非负性的应用.
注意：几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0。
2
（３）
1 x x由1 来自xx 0得：x 0
1且x
0
2．（１） ( 3)2 ____3
（２）当 x 1 时， (1 x)2 __x__1 （３） (x 2)2 x 2 ，
则Ｘ的取值范围是＿x＿＿2
练一练
1．若 x 1 y 1 0
二次根式 单元复习（1）
知识结构
二个概念
最简二次根式 同类二次根式
1、 a 0(a 0)
二
三个性质 2、 a 2 aa 0
次
3、 a 2 a a 0
根
1、 ab a ba 0,b 0
式
两个公式
2、
a b
a b
(a 0,b 0)
四种运算
题型4同类二次根式：
化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式。 下列哪些是同类二次根式
18 27 8 9m 32
3 2 3 3 2 2 3 m 4 2
18 、 8 、 32 是同类二次根式
练习与反馈
1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ
的取值范围
1
（１） 3 x （２） 2x 5
由3 x 0得：x 3 由2x 5 0得：x 5
加 、减、乘、除
二次根式的概念
二次根式单元复习 (共44张PPT)
注意：对被开方数相同的二次根式 进行合并，实质是对被开方数相同的二 次根式的系数进行合并。
梳理八. 混合运算法则 1.先算乘方，再算乘除，最后算加减，
有括号先算先算括号里面的.
2.对于二次根式的运算，各种运算 律照常使用，各种乘法公式照常 使用
考点
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
（1）.表示a的算术平方根
（5）.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已 知式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意 挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷.
知识点
梳理一. 二次根定义
1. 一般地，我们把形如 a（a≥0）
的式子叫做二次根式，“ ”称为二次
根号。
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2.
梳理二．二次根式的性质
第 16章 二 次 根 式单元复习
复习内容
最简二次根式
三个概念 同类二次根式
二次根式
1、 ab a ba 0,b 0
二 次
两个性质
2、
a b
a b
(a 0,b 0)
根 式
1、 a 2 aa 0
两个公式
aa 0
2、 a2 a aa 0
四种运算
加 、减、乘、除
复习重点
（1）二次根式的运算结果，应该尽量化简， 有理数的运算律在实数范围内仍可使用
12a , 18, x2 9, 5x3 y , 27abc,
×× √
××
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×√
√
12.下列各组二次根式是否为同类二次根式？
(1) 50与 0.5 √ (2) 12与 18 ×
梳理八. 混合运算法则 1.先算乘方，再算乘除，最后算加减，
有括号先算先算括号里面的.
2.对于二次根式的运算，各种运算 律照常使用，各种乘法公式照常 使用
考点
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
（1）.表示a的算术平方根
（5）.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已 知式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意 挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷.
知识点
梳理一. 二次根定义
1. 一般地，我们把形如 a（a≥0）
的式子叫做二次根式，“ ”称为二次
根号。
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2.
梳理二．二次根式的性质
第 16章 二 次 根 式单元复习
复习内容
最简二次根式
三个概念 同类二次根式
二次根式
1、 ab a ba 0,b 0
二 次
两个性质
2、
a b
a b
(a 0,b 0)
根 式
1、 a 2 aa 0
两个公式
aa 0
2、 a2 a aa 0
四种运算
加 、减、乘、除
复习重点
（1）二次根式的运算结果，应该尽量化简， 有理数的运算律在实数范围内仍可使用
12a , 18, x2 9, 5x3 y , 27abc,
×× √
××
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×√
√
12.下列各组二次根式是否为同类二次根式？
(1) 50与 0.5 √ (2) 12与 18 ×
二次根式复习课件
第 21 章 二 次 根 式 单元复习
知识结构
三个概念
二次根式 最简二次根式 同类二次根式 1、 ab = a ⋅ b (a ≥ 0, b ≥ 0 )
二 次
两个公式
a = 2、 b
(
a b
a )
2
( a ≥ 0, b ≥ 0 )
= a
a ≥ 0 （ ａ ≥ 0）
三个性质
a
四种运算
2
=
a
= {
a ,a ≥ 0 − a ,a < 0
．
（ 2） 9 ）
4 5 ÷3
1 3 × 5 2
2
2 3
（ 3） ）
1 3 +
+
2
1 2 +1
1 3 −1
2． 若 x=
3 −1 ， y= 3 +1
3 +1 ，求 3 −1
x 2 + y 2 + 2 的值．
能力提升
1． 阅 读 下 面 一 道 题 的 解 答 过 程 ， 判 断 是 否 正 确 ， 如 若 不 正 确 ， 请 写 出 正 ． 确的解答过程．
A = 60 +80 B
2
2
= 10000
=100
b设a、b为实数,且|√2 -a|+ √ b-2 =0 为实数,
拓展1 拓展1
∴ （1）求a -2 2a+2+b 的值. a = 2，b = 2
2 2
解： ) 2 − a ≥ 0, b − 2 ≥ 0 (1 而 2 −a + b−2 = 0
∴ 2 −a = 0 ， −2= 0 b ∴a = 2，b = 2
P
B
知识结构
三个概念
二次根式 最简二次根式 同类二次根式 1、 ab = a ⋅ b (a ≥ 0, b ≥ 0 )
二 次
两个公式
a = 2、 b
(
a b
a )
2
( a ≥ 0, b ≥ 0 )
= a
a ≥ 0 （ ａ ≥ 0）
三个性质
a
四种运算
2
=
a
= {
a ,a ≥ 0 − a ,a < 0
．
（ 2） 9 ）
4 5 ÷3
1 3 × 5 2
2
2 3
（ 3） ）
1 3 +
+
2
1 2 +1
1 3 −1
2． 若 x=
3 −1 ， y= 3 +1
3 +1 ，求 3 −1
x 2 + y 2 + 2 的值．
能力提升
1． 阅 读 下 面 一 道 题 的 解 答 过 程 ， 判 断 是 否 正 确 ， 如 若 不 正 确 ， 请 写 出 正 ． 确的解答过程．
A = 60 +80 B
2
2
= 10000
=100
b设a、b为实数,且|√2 -a|+ √ b-2 =0 为实数,
拓展1 拓展1
∴ （1）求a -2 2a+2+b 的值. a = 2，b = 2
2 2
解： ) 2 − a ≥ 0, b − 2 ≥ 0 (1 而 2 −a + b−2 = 0
∴ 2 −a = 0 ， −2= 0 b ∴a = 2，b = 2
P
B
二次根式复习课件
பைடு நூலகம்
二 次 根 式
两个公式
a 2、 b
(
a (a 0, b 0) b a 0 （ａ 0）
a )2 a
,a 0 a 2 a {a a ,a 0
三个性质
四种运算
加 、减、乘、除
例．下列各式中那些是二次根式？ 那些不是？为什么？
①
15
a b
2
2
②
3a
a2 1
③
x 100
第九章二次根式复习
刘艳琴
复习目标
• 1.掌握二次根式和最简二次根式的概念。 • 2.理解二次根式的性质和二次根式的运算法 则。 • 3.会用二次根式的性质和法则进行运算以及 解决一些实际问题。
知识结构
三个概念
二次根式
最简二次根式
同类二次根式
1、 ab a b a 0, b 0
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式 （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
例1：把下列各式化成最简二次根式
(1) 54
1 1 2
(2)
4a 2 16a 2
y x
(a≥0)
例2：把下列各式化成最简二次根式
(1 ) 4 (2)x
2
(x>0)
化简二次根式的方法：
（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因 式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平 方根的性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分 母有理化,将式子化简。
• 这节课你有什么收获？
达标练习一
2 -4
1 当x=- 9 时，最小值为3
6＜l＜10
二 次 根 式
两个公式
a 2、 b
(
a (a 0, b 0) b a 0 （ａ 0）
a )2 a
,a 0 a 2 a {a a ,a 0
三个性质
四种运算
加 、减、乘、除
例．下列各式中那些是二次根式？ 那些不是？为什么？
①
15
a b
2
2
②
3a
a2 1
③
x 100
第九章二次根式复习
刘艳琴
复习目标
• 1.掌握二次根式和最简二次根式的概念。 • 2.理解二次根式的性质和二次根式的运算法 则。 • 3.会用二次根式的性质和法则进行运算以及 解决一些实际问题。
知识结构
三个概念
二次根式
最简二次根式
同类二次根式
1、 ab a b a 0, b 0
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式 （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
例1：把下列各式化成最简二次根式
(1) 54
1 1 2
(2)
4a 2 16a 2
y x
(a≥0)
例2：把下列各式化成最简二次根式
(1 ) 4 (2)x
2
(x>0)
化简二次根式的方法：
（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因 式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平 方根的性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分 母有理化,将式子化简。
• 这节课你有什么收获？
达标练习一
2 -4
1 当x=- 9 时，最小值为3
6＜l＜10
华东师大版九年级上册第21章二次根式单元复习课件(共14张)
9、 1 x x2 8x 16的最小值是_____， 此时x的取值范围是____.
三、二次根式运算
乘法：a • b ab(a 0)
次
根
除法：a a (a 0,b 0)
式
bb
运 算
a a (a 0,b 0) bb
加减法：合并同类二次根式
混合 运算
1、计算
（1） 1 108 3
(2) 2a 1 a 8
(3) 6 1 1 7 49
(4)3 1 • 2x3 x
（5） 75 3 （6） 24
23 （7）1 1 1
26 （8） 3a3 a (a 0)
27
2、化简
（1） 300 （2） 200a5b4c3
(3) 292 212 (4) (4) (9)
5、 如图，已知a,b, c在数轴上的位置，化简： a2 (b c)2 ( c )2 (c a)2
ba
0c
6、
当1 x 2时，化简 x2 2x 1 x2 6x 9
7、 已知a满足2009 a a 2010，求a 20092的值
8、 若化简1 x x2 8x 16的结果是2x 5， 则的取值范围_____
2、化简下列各式：
（1）（ 0.3）2；（2）（ 2）2；（3）（ - 2 3）2；（4）（- 5 ）2
7
2
3、
已知 x2 8x 16 x2 -12x 36，化简：（2x 8)2 2 x 6
4、 已知ABC，a,b, c分别是三角形的三边， 试化简： (a b c)2 2 c a b
4x
4、下列各组二次根式中，每一组都有一个二次根式与其他的二次根式不同， 你能把这个二次根式找出来吗？
（1） 2, 3, 8, 13 (2） 2 ，1，2x , 15 22 (3) x y , 2x2 y , x2 y2 , xy (4) 26, 8xy , x2 y , x2 y 4
三、二次根式运算
乘法：a • b ab(a 0)
次
根
除法：a a (a 0,b 0)
式
bb
运 算
a a (a 0,b 0) bb
加减法：合并同类二次根式
混合 运算
1、计算
（1） 1 108 3
(2) 2a 1 a 8
(3) 6 1 1 7 49
(4)3 1 • 2x3 x
（5） 75 3 （6） 24
23 （7）1 1 1
26 （8） 3a3 a (a 0)
27
2、化简
（1） 300 （2） 200a5b4c3
(3) 292 212 (4) (4) (9)
5、 如图，已知a,b, c在数轴上的位置，化简： a2 (b c)2 ( c )2 (c a)2
ba
0c
6、
当1 x 2时，化简 x2 2x 1 x2 6x 9
7、 已知a满足2009 a a 2010，求a 20092的值
8、 若化简1 x x2 8x 16的结果是2x 5， 则的取值范围_____
2、化简下列各式：
（1）（ 0.3）2；（2）（ 2）2；（3）（ - 2 3）2；（4）（- 5 ）2
7
2
3、
已知 x2 8x 16 x2 -12x 36，化简：（2x 8)2 2 x 6
4、 已知ABC，a,b, c分别是三角形的三边， 试化简： (a b c)2 2 c a b
4x
4、下列各组二次根式中，每一组都有一个二次根式与其他的二次根式不同， 你能把这个二次根式找出来吗？
（1） 2, 3, 8, 13 (2） 2 ，1，2x , 15 22 (3) x y , 2x2 y , x2 y2 , xy (4) 26, 8xy , x2 y , x2 y 4
初中数学精品课件：第一章《二次根式》复习课件共18张ppt
a,a<0 • ab a b(a 0,b 0) • a a (a 0,b 0)
bb • a b a b(a 0,b 0) • a a (a 0,b 0)
bb
练习： 1.计算 （ 3）2 的结果是… … … … … …( C )
(A) -3 (B) ±9 (C) 3 (D) 9
二次根式复习课
课前2分钟朗读内容：
• 42
• 8 2 2 • 45 3 6
• 93 • 16 4 • 25 5
• 12 2 3 • 18 3 2 • 20 2 5
• 48 4 3 • 80 4 5 • 1 2
22
• 36 6 • 49 7 • 64 8 • 81 9
• 24 2 6 • 27 3 3 • 32 4 2
ABFG的面积为a,b,则它们的 G F
边长分别可用 a, b 表示.
在Rt△ACD和 Rt△CAG中, A B
C
AD2 ( a b)2 ( a )2
CG 2 ( a b)2 ( b)2 ∴AD2-CG2=a-b 由已知得 a+b=7 解得 a=5
a-b=3
b=2
∴ AC与EF的乘积=（ 5 2）•（ 5 2） 5 2 3
E
D
<分析>
本例先设两个正方形的面 G F
积为a,b,则它们的边长分别
可用 a, b 表示.
AB
C
这样利用图形的性质就得到以a,b为未知数的
简单方程,从而使问题得到解决.
16.如图,正方形ABFG与正方形BCDE的面积
和为7,AD2-CG2=3,求AC与EF的乘积.
E
D
解:设正方形BCDE和正方形
A
垂足为D.
bb • a b a b(a 0,b 0) • a a (a 0,b 0)
bb
练习： 1.计算 （ 3）2 的结果是… … … … … …( C )
(A) -3 (B) ±9 (C) 3 (D) 9
二次根式复习课
课前2分钟朗读内容：
• 42
• 8 2 2 • 45 3 6
• 93 • 16 4 • 25 5
• 12 2 3 • 18 3 2 • 20 2 5
• 48 4 3 • 80 4 5 • 1 2
22
• 36 6 • 49 7 • 64 8 • 81 9
• 24 2 6 • 27 3 3 • 32 4 2
ABFG的面积为a,b,则它们的 G F
边长分别可用 a, b 表示.
在Rt△ACD和 Rt△CAG中, A B
C
AD2 ( a b)2 ( a )2
CG 2 ( a b)2 ( b)2 ∴AD2-CG2=a-b 由已知得 a+b=7 解得 a=5
a-b=3
b=2
∴ AC与EF的乘积=（ 5 2）•（ 5 2） 5 2 3
E
D
<分析>
本例先设两个正方形的面 G F
积为a,b,则它们的边长分别
可用 a, b 表示.
AB
C
这样利用图形的性质就得到以a,b为未知数的
简单方程,从而使问题得到解决.
16.如图,正方形ABFG与正方形BCDE的面积
和为7,AD2-CG2=3,求AC与EF的乘积.
E
D
解:设正方形BCDE和正方形
A
垂足为D.
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（4）、二次根式的除法法则
a a (a 0,b 0) bb
梳理五.最简二次根式的定义.
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次式.
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含开方开得尽方的因数或 因式.
典型例题
例7、化简 (1) 16 81 (2) 2000
例8、计算
(1) 21 7 (2)3 5 2 15 (3) 4 15 ( 1 5)
章
意义 应用
定义
二、教材内容分析
双曲线 K>0
自变量 表达式 反比例函数的 K<0
定义
反比例 函数的意义
图象和性质
判断几个二次根式是否为同类 二次根式的方法：
1、先化简：把各个二次根式 都化为最简二次根式。
2、再观察：化简后的二次根 式的被开方数是否相同。
梳理七.二次根式加减法则
二次根式加减时，先将二次根式化 为最简二次根式，再把被开方数相同的 二次根式进行合并。
一化、二找、三合并
梳理八. 混合运算法则 1.类似整式的加减乘除混合运算
2.对于二次根式的运算，各种运算律照常 使用，各种乘法公式照常使用
典型例题
例10、计算
(1)2 18 1 18 1 32
2
4
(2)2 12 4 1 3 48
27
(3) a2b ab2 a2 b ab a
典型例题
例11、计算
(1)( 48 50 ) 6 (2)(2 6 7 2) (7 2 2 6) (3)(3 5 4 2) (2 5 3 2)
(1) 2x 3 (2) 1 3x (3) (x 5)2
(4) x2 1 (5) 3 2x 1
(7) x 5 (x 6)0
(6) 2 1 x
变式练习：
1、能使二次根式 (x 2)2 有意义的实数x的值有 （ B）
A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个
2、已知 y x 7 7 x 9
1. 一般地，我们把形如 a（a≥0）
的式子叫做二次根式，“ ”称为二次
根号， a 称为被开方数。
二次根式
被开方数a≥0；
根指数为2. ( 双重非负性)
典型例题
例1、找出下列各根式中的二次根式。
4
a2 2a 1
3 27
a2 2
(4) 2a 1(a 1)
2
典型例题
例2.x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
求(xy 64)2的算术平方根。 1
变式练习：
3、已知x、y是实数，且
y
x2 4 4 x2 1 x 2
求3x+4y的值。
-7
梳理二．二次根式的性质
（1） a 0 （ａ 0）
（2） ( a )2 a (a≥0, )
（3）
a2
a
{a,a0 a,a0
梳理三.代数式的定义
形 如5，a, a b, ab, s , x2 , 3, a (a≥ 0 )
B、2c-b
C、b-2a
D、b-2C
典型例题
例4、把下列各式写成平方差的形式，
再分解因式；
(1)4x2 5
(2)a4 9
(3)3a2 10 (4)a4 6a2 9
典型例题
例5已知 a b 6与 a b 8
互为相反数，求a、b的值。
例6、化简 ( xபைடு நூலகம் 4)2 (x 2)2
梳理四.二次根的乘除
典型例题
例12、计算
(1)(3 2 4 5)2
(2)(2 3 5)(2 3 5)
(3)(2 3 5)2 (2 3 5)2 (4)(3 10 )2005 (3 10 )2005
变式练习：
1、比较 7 5与 5 3 的大小。
2、已知 x 3 2 , y 3 2 ,
人教版八年级 第 16 章 二 次 根 式单元复习
知识结构
三个概念
二
两个性质
次
根
式
两个公式
二次根式 同类二次根式
最简二次根式
1、 ab a ba 0,b 0
a
2、
a
(a 0,b 0)
bb
1、 a 2 aa 0
aa 0 2、 a2 a aa 0
四种运算
加 、减、乘、除
梳理一. 二次根定义
2 (4) 10x 101 xy
典型例题
例9、计算
(1) 40 45
(2)3 m6n5 5 m4n2
典型例题
例4、判断下列各式中哪些是最简二次
根式，哪些不是？为什么？
(1) 3a2b
(2) 1.5ab
(3) x2 y2 (4) a b
变式练习：
1、 x2 16 x 4 x 4 成立的条件
（1）、积的算术平方根的性质
ab a b (a 0, b 0)
积的算术平方根，等于积中各因式的算 术平方根的积. （2）、二次根式的乘法法则
a b ab (a 0, b 0)
（3）、商的算术平方根的性质
a a (a 0, b 0) bb
商的算术平方根等于被除式的算 术平方根除以除式的算术平方根
是 x4 。
变式练习：
2、把下列二次根化为最简二次根式。
(1) 12
(5) 3 2
(9) 3 24
(2) 48 (3) 125 (4) 800
(6) 1 (7) 3 3
8
5
(10) 1
(11)
2 1
(8) 0.4
3 2 5
梳理六 .同类二次根式的定义。
几个二次根式化为最简二次根 式后，若被开方数相同，则这几个 二次根式就叫做同类二次根式。
(3)(2 3)2
(2)(1 6)2 2
(4)(3 x )2
变式练习：
1、式子 (a 1)2 a 1成立的条件是
（D）
A.a 1 B.a 1 C.a 1 D.a 1
变式练习：
2、已知三角形的三边长分别是a、b、c，
且 a c，那么 c a (a c b)2
等于（ D ）
A、2a-b
3 2
3 2
求 x2 y xy2 的值。
---------八年级数学下册教材分析
一、人教版八年级数学下册内容的安排
四边形
勾股定理
反比例函 数
分式
数与代 数
统计与概率
实践活动
八
年
实践与运用
综合应用
级
数
课题学习
学
二、教材内容分析
性质 通分
约分
乘除 乘方
整数指数幂
加减
定义 解方程 方程的解 应用
第 分十 式六
t 的 式 子 ， 它 们 都 是 用 基本 运 算 符 号 （ 基 本 运 算 包 括 加 、 减 、 乘 、除 、 乘 方 和 开 方 ） 把 数 和 表 示 数 的 字 母 连接 起 来 的 式 子 ，
我 们 称 这 样 的 式 子 为代 数 式 .
典型例题
例3、计算
(1)( 2 )2 3
a a (a 0,b 0) bb
梳理五.最简二次根式的定义.
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次式.
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含开方开得尽方的因数或 因式.
典型例题
例7、化简 (1) 16 81 (2) 2000
例8、计算
(1) 21 7 (2)3 5 2 15 (3) 4 15 ( 1 5)
章
意义 应用
定义
二、教材内容分析
双曲线 K>0
自变量 表达式 反比例函数的 K<0
定义
反比例 函数的意义
图象和性质
判断几个二次根式是否为同类 二次根式的方法：
1、先化简：把各个二次根式 都化为最简二次根式。
2、再观察：化简后的二次根 式的被开方数是否相同。
梳理七.二次根式加减法则
二次根式加减时，先将二次根式化 为最简二次根式，再把被开方数相同的 二次根式进行合并。
一化、二找、三合并
梳理八. 混合运算法则 1.类似整式的加减乘除混合运算
2.对于二次根式的运算，各种运算律照常 使用，各种乘法公式照常使用
典型例题
例10、计算
(1)2 18 1 18 1 32
2
4
(2)2 12 4 1 3 48
27
(3) a2b ab2 a2 b ab a
典型例题
例11、计算
(1)( 48 50 ) 6 (2)(2 6 7 2) (7 2 2 6) (3)(3 5 4 2) (2 5 3 2)
(1) 2x 3 (2) 1 3x (3) (x 5)2
(4) x2 1 (5) 3 2x 1
(7) x 5 (x 6)0
(6) 2 1 x
变式练习：
1、能使二次根式 (x 2)2 有意义的实数x的值有 （ B）
A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个
2、已知 y x 7 7 x 9
1. 一般地，我们把形如 a（a≥0）
的式子叫做二次根式，“ ”称为二次
根号， a 称为被开方数。
二次根式
被开方数a≥0；
根指数为2. ( 双重非负性)
典型例题
例1、找出下列各根式中的二次根式。
4
a2 2a 1
3 27
a2 2
(4) 2a 1(a 1)
2
典型例题
例2.x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
求(xy 64)2的算术平方根。 1
变式练习：
3、已知x、y是实数，且
y
x2 4 4 x2 1 x 2
求3x+4y的值。
-7
梳理二．二次根式的性质
（1） a 0 （ａ 0）
（2） ( a )2 a (a≥0, )
（3）
a2
a
{a,a0 a,a0
梳理三.代数式的定义
形 如5，a, a b, ab, s , x2 , 3, a (a≥ 0 )
B、2c-b
C、b-2a
D、b-2C
典型例题
例4、把下列各式写成平方差的形式，
再分解因式；
(1)4x2 5
(2)a4 9
(3)3a2 10 (4)a4 6a2 9
典型例题
例5已知 a b 6与 a b 8
互为相反数，求a、b的值。
例6、化简 ( xபைடு நூலகம் 4)2 (x 2)2
梳理四.二次根的乘除
典型例题
例12、计算
(1)(3 2 4 5)2
(2)(2 3 5)(2 3 5)
(3)(2 3 5)2 (2 3 5)2 (4)(3 10 )2005 (3 10 )2005
变式练习：
1、比较 7 5与 5 3 的大小。
2、已知 x 3 2 , y 3 2 ,
人教版八年级 第 16 章 二 次 根 式单元复习
知识结构
三个概念
二
两个性质
次
根
式
两个公式
二次根式 同类二次根式
最简二次根式
1、 ab a ba 0,b 0
a
2、
a
(a 0,b 0)
bb
1、 a 2 aa 0
aa 0 2、 a2 a aa 0
四种运算
加 、减、乘、除
梳理一. 二次根定义
2 (4) 10x 101 xy
典型例题
例9、计算
(1) 40 45
(2)3 m6n5 5 m4n2
典型例题
例4、判断下列各式中哪些是最简二次
根式，哪些不是？为什么？
(1) 3a2b
(2) 1.5ab
(3) x2 y2 (4) a b
变式练习：
1、 x2 16 x 4 x 4 成立的条件
（1）、积的算术平方根的性质
ab a b (a 0, b 0)
积的算术平方根，等于积中各因式的算 术平方根的积. （2）、二次根式的乘法法则
a b ab (a 0, b 0)
（3）、商的算术平方根的性质
a a (a 0, b 0) bb
商的算术平方根等于被除式的算 术平方根除以除式的算术平方根
是 x4 。
变式练习：
2、把下列二次根化为最简二次根式。
(1) 12
(5) 3 2
(9) 3 24
(2) 48 (3) 125 (4) 800
(6) 1 (7) 3 3
8
5
(10) 1
(11)
2 1
(8) 0.4
3 2 5
梳理六 .同类二次根式的定义。
几个二次根式化为最简二次根 式后，若被开方数相同，则这几个 二次根式就叫做同类二次根式。
(3)(2 3)2
(2)(1 6)2 2
(4)(3 x )2
变式练习：
1、式子 (a 1)2 a 1成立的条件是
（D）
A.a 1 B.a 1 C.a 1 D.a 1
变式练习：
2、已知三角形的三边长分别是a、b、c，
且 a c，那么 c a (a c b)2
等于（ D ）
A、2a-b
3 2
3 2
求 x2 y xy2 的值。
---------八年级数学下册教材分析
一、人教版八年级数学下册内容的安排
四边形
勾股定理
反比例函 数
分式
数与代 数
统计与概率
实践活动
八
年
实践与运用
综合应用
级
数
课题学习
学
二、教材内容分析
性质 通分
约分
乘除 乘方
整数指数幂
加减
定义 解方程 方程的解 应用
第 分十 式六
t 的 式 子 ， 它 们 都 是 用 基本 运 算 符 号 （ 基 本 运 算 包 括 加 、 减 、 乘 、除 、 乘 方 和 开 方 ） 把 数 和 表 示 数 的 字 母 连接 起 来 的 式 子 ，
我 们 称 这 样 的 式 子 为代 数 式 .
典型例题
例3、计算
(1)( 2 )2 3