公开课课件二次根式
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二次根式的乘除优质课二次根式的乘法市公开课一等奖省优质课获奖课件
加、减、乘、除四则运算
第3页
问题2 两个二次根式能否进行加、减、乘、除 运算？怎样运算？让我们从研究乘法开始．
请写出两个二次根式，猜一猜，它们积应该是 多少？
特殊化，从能开得尽方 二次根式乘法运算开始思索！
1 4= ？
第4页
探究新知
1 4 9 2×3=6
4 9 36=6
2 16 25 4×5=20
48x 100 48x 10000
x 625 3
又因为 48x 0 x0
综上所述：0 x 625 , 3
故x取0 625 之间的整数。 3
第14页
随堂练习
第15页
第16页
第17页
课堂小结
（1）二次根式乘法运算依据是什么？ （2）在本节课学习中你认为轻易犯错地方在哪里？
犯错原因是什么？
16 25 400=20
3 25 36 5×6=30
25 36 900=30
第5页
经过以上式子，观察它们之间有什么联络？你 能发觉什么规律？能用字母表示你所发觉规律吗？
第6页
二次根式乘法法则： 普通地有 a b= ab （a≥0，b≥0 ）． 二次根式与二次根式相乘，等于各被开方数相乘 算术平方根． 反之： ab= a b （a≥0，b≥0 ）．
第18页
课后作业 1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时习题.
第19页
2
A、1到2之间
B、2到3之间
C、3到4之间
D、4到5之间
5. 比较大小 2 3 __＜___3 2 - 3 3 _＜____ 2 6
第9页
典例精析
1.计算：（1）3 5 ；（2）13 27.
第10页
2.计算：
第3页
问题2 两个二次根式能否进行加、减、乘、除 运算？怎样运算？让我们从研究乘法开始．
请写出两个二次根式，猜一猜，它们积应该是 多少？
特殊化，从能开得尽方 二次根式乘法运算开始思索！
1 4= ？
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探究新知
1 4 9 2×3=6
4 9 36=6
2 16 25 4×5=20
48x 100 48x 10000
x 625 3
又因为 48x 0 x0
综上所述：0 x 625 , 3
故x取0 625 之间的整数。 3
第14页
随堂练习
第15页
第16页
第17页
课堂小结
（1）二次根式乘法运算依据是什么？ （2）在本节课学习中你认为轻易犯错地方在哪里？
犯错原因是什么？
16 25 400=20
3 25 36 5×6=30
25 36 900=30
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经过以上式子，观察它们之间有什么联络？你 能发觉什么规律？能用字母表示你所发觉规律吗？
第6页
二次根式乘法法则： 普通地有 a b= ab （a≥0，b≥0 ）． 二次根式与二次根式相乘，等于各被开方数相乘 算术平方根． 反之： ab= a b （a≥0，b≥0 ）．
第18页
课后作业 1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时习题.
第19页
2
A、1到2之间
B、2到3之间
C、3到4之间
D、4到5之间
5. 比较大小 2 3 __＜___3 2 - 3 3 _＜____ 2 6
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典例精析
1.计算：（1）3 5 ；（2）13 27.
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2.计算：
二次根式省公开课一等奖新名师优质课比赛一等奖课件
1 3
.
(2)(3 7 )2 63 .
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巩固练习 计算：
2
8 =8
2
3 =3
2 3 2 =12
3
2 3
2
=6
1.52 =1.5
- 0.82 =0.8
第26页
巩固练习
计算： ( 10 )2 (3 3)2 解： ( 10 )2 (3 3)2
10 (3)2 ( 3)2 10 27 17
第27页
巩固练习
3.若 x 3 y 5 0
求x、y值。
第28页
课堂小结
• 二次根式定义：
a (a 0)
• 二次根式性质: (1) a 0(a 0)
(2)( a )2 a(a 0)
（3） a2 a a (a≥0)
-a (a≤0)
第29页
板书设计
15.1 二次根式（1） 1.二次根式概念：
在实数范围内,负数没有平方根
第11页
a 1
1. 被开方式是什么？ 2.被开方式必须满足什么条件,此二次 根式才有意义？
第12页
求以下二次根式中字母取值范围：
1 a 1 3 a 32
2 1
1 2a
求二次根式中字母取值范围基本依据：
①被开方数大于零； ②分母中有字母时，要确保分母不为零。
第13页
合作探究：
1.都带二次根号
10，m，10 m
s ，s a
2.被开方数没有负数.
把形如 a a 0式子叫做二次根式
第10页
说一说:
以下各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
二次根式的ppt课件
将二次根式化简成最简二 次根式，即根号内不含能 开方的因数或因式。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
公开课课件二次根式
2 当x0且x1，1- x 有意义 4由题意可知： x-5 0 解得x5且x6
x6
当x 5且 6x时， x-+5x-6 0有意义
13
尝试与交流
22=4,（ 即4）2= 4
32=9,（ 即9）2= 9
同样地（，2）2= 2 （ 5）2= 5 你还能给出类似的例子吗？试试看 你有什么发现
当a0时(,a)2=a .
在实数范围内,负数没有平方根
11
例题讲解
例1 x为何值时, 下列各式在实数范围内有意义。
(1) 13x (2) 1x 3x (3) (x5)2
解: （1）由1-3x≥0得x≤
1
1
3
当x 3 时， 1-3x有意义
1+x 0
2 由题意可知：
解不等式组得到： -1x3
3-x 0
当 -x13时， 1+-x3-有 x 意义
斜边长为____a_2___2__5_0_0__米。
6
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S,
S 则半径为____________.
7
b-3
如图示的值表示正方形的面积, 则
正方形的边长是 b 3
s
a2 2500
b3
表示一些正数的算术平方根.
一般地,式子a (a0) 叫做二次根式,
a称为是被开方数
3由于 x+520, 当x取一切实数 x+时 52有意义
12
挑战求自x为我何值时, 下列各式在实数范围内有意义。
3 1 2x-1
2
2
2 1-x
3 1-
x
4 x-5 + x-6 0
解：1由2x-1＞0得x＞12当x＞ 12
二次根式ppt优秀课件
1、练习册16.1 2、一课一练P1-2
已知 1 有意义,那A(a, a
在 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
a )
?
下列式子 2x 6 1 中字母x的 2x
取值范围是___3____x____0
∵
2x+6≥0 -2x＞0
∴
x≥-3 x＜0
?
12 n为一个整数,
求自然数n的值.
∴当x＝ 3时， x2 2x 1 1 3
练习:算一算:
（1） 25 5 （2）（ 7）2 7
（3）（3 2）2 18
（4）（1 2）2 2 1
（5） x2 2xy y2 y x
(x﹤y)
今天我们学习了很多新知识，你能谈谈 自己的收获吗？说一说，让大家一起来 分享。
二次根式的概念:
思考：若 (m 4)2 4 m,则m的取值范围是 _m____4____
例 求下列二次根式的值
(1) (3 )2 (2) x2 2x 1(x
3)
解：(1) (3 )2 | 3 |
∵3 0
∴ (3 )2
3
(2) x2 2x 1 (x 1)2 | x 1|
当x＝ 3 时，x－１<０
∴ x2 2x 1 1 x 1 3
(1 p)2
2
2 p
1 p (2 p)
p 1 2 p 1
在实数范围内分解因式: 4x2 3
解:
∵ 3 （ 3）2
∴ 4x2 3 （2x）2 （ 3）2
(2x 3)(2x 3)
?
１．已知０＜x＜１，化简 (x 1)2 4 x
|
x
+
1 x
|
-
二次根式ppt课件
3. 代数式的概念是什么？
用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，称为代数式.
随堂检测
1.计算（ 0.04）2 的值是（
A.0.2
B.0.04
C.-0.2
B
）.
D.-0.04
2.二次根式− （ 10 − 11）2 的值是（
A. 10 − 11
B.-1
A
C. 11 − 10
）.
D.1
随堂检测
乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样
的式子为代数式.
课堂小结
1. 二次根式的性质有哪些？
平方在里面，夹上绝对值，分类来讨论.
（ ）2 =a（a≥0）；
2 =a（a≥0）
平方在外面，直接去根号；
2 = ||.
2.运用二次根式的性质进行化简，需要注意什么？
取值a的取值范围，（ ）2 =a（a≥0）； 2 =a（a≥0）.
2.从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这
个规律吗？
= ( ≥ )
典型例题
化简:
（1） 16
（2） (−5)2
解：（1） 16= 42 =4；
（2） （ − 5）2 = 52 =5.
= ( ≥ )
= ||
跟踪训练
1.计算：
（1） 9=
3
（3） （ − 7）2 =
7
；
（2） （ − 4）2 =
4
；
（4） （3 − ）2 =
π-3
2.如果 （3 − ）2 =x-3，那么x的取值范围是
x≥3
.
；
.
探究活动3
回顾我们学过的式子，如 5，， + ，−， ，− 3 ， 3， （ ≥ 0)
用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，称为代数式.
随堂检测
1.计算（ 0.04）2 的值是（
A.0.2
B.0.04
C.-0.2
B
）.
D.-0.04
2.二次根式− （ 10 − 11）2 的值是（
A. 10 − 11
B.-1
A
C. 11 − 10
）.
D.1
随堂检测
乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样
的式子为代数式.
课堂小结
1. 二次根式的性质有哪些？
平方在里面，夹上绝对值，分类来讨论.
（ ）2 =a（a≥0）；
2 =a（a≥0）
平方在外面，直接去根号；
2 = ||.
2.运用二次根式的性质进行化简，需要注意什么？
取值a的取值范围，（ ）2 =a（a≥0）； 2 =a（a≥0）.
2.从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这
个规律吗？
= ( ≥ )
典型例题
化简:
（1） 16
（2） (−5)2
解：（1） 16= 42 =4；
（2） （ − 5）2 = 52 =5.
= ( ≥ )
= ||
跟踪训练
1.计算：
（1） 9=
3
（3） （ − 7）2 =
7
；
（2） （ − 4）2 =
4
；
（4） （3 − ）2 =
π-3
2.如果 （3 − ）2 =x-3，那么x的取值范围是
x≥3
.
；
.
探究活动3
回顾我们学过的式子，如 5，， + ，−， ，− 3 ， 3， （ ≥ 0)
二次根式及其性质课件
1 •下列式子一定是二次根式的是( C )
知1－练
2 •(中考·武汉)若代数式 C
•则x的取值范围是( )
在实数范围内有意义，
•A．x≥－2 B．x>－2 C．x≥2 D．x≤2
知识点 2 二次根式的性质
知2－导
做一做
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
4 9 ____, 4 9 _____; 4 _____, 4 _____;
•
的根指数为2，所以
是二次根式．
• (7)是．理由：因为|x|≥0，且 根式．
的根指数为2，所以
是二次
总结
知1－讲
二次根式是在初始的外在情势上定义的，不能从化 简结果上判断，如 是二次根式. 像 （a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式 的式子，不能称为二次根式.
知1－讲
• 例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意 义？
知识点 1 二次根式的定义
知1－讲
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式． 其中a为整式或分式，a叫做被开方式． 特点：①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
知1－讲
导引： 判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根
式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知3－练
1 (中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是( A )
2 在下列根式中，不是最简二次根式的是( D )
1. 当a≥0时， 2. 当a≥0时， •3.
完成教材P43,习题T1-T4
谢谢！
知2－讲
知识点
商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法
《二次根式课件》公开课课件
二次根式的历史与文化背景
01
二次根式的起源
二次根式最初起源于古希腊数学家毕达哥拉斯学派，他们研究了直角三
角形的边长关系，发现了直角三角形的勾股定理。
02 03
二次根式的发展历程
随着数学的发展，二次根式在各个历史时期都得到了广泛的应用和研究 。特别是在文艺复兴时期，数学家们开始系统地研究二次根式的性质和 运算方法。
二次根式的性质
总结词
二次根式具有非负性、算术平方根的单调性、算术平方根的取值范围等性质。
详细描述
二次根式的被开方数是非负数，因此二次根式本身也是非负数。此外，算术平 方根具有单调性，即随着被开方数的增大，其平方根也单调增大。最后，算术 平方根的取值范围是非负实数。
二次根式的化简
总结词
化简二次根式的方法包括因式分解、配方法、直接开平方法 和分母有理化等。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词
简化表达式
详细描述
二次根式在代数式变形中有着重要的应用，它可以简化复杂的代数表达式。通过利用二 次根式的性质和运算法则，可以将复杂的代数表达式化简为更简单的形式，方便后续的
运算和分析。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词：因式分解
详细描述：在代数式变形中，二次根式还可以用于因式分解 。通过提取公因式和利用二次根式的性质，可以将多项式进 行因式分解，从而更好地理解和分析代数式的结构。
详细描述
化简二次根式是数学中常见的代数运算之一。通过因式分解 或配方法，将二次根式化为最简形式。如果被开方数是多项 式，则可以使用直接开平方法或分母有理化进行化简。化简 后的二次根式更易于计算和运用。02 二次 Nhomakorabea式的运算
二次根式的加减法
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例题讲解
例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(1) 1 3x (2) 1 x 3 x (3) (x 5)2
解：（1）由1-3x≥0得x≤
1
1
3
当x 3 时， 1-3x有意义
1+x0
2 由题意可知：
解不等式组得到： -1 x3
3-x0
当 -1x3时， 1+x- 3-x有意义
3由于x+520, 当x取一切实数时 x+52有意义
2020/11/12
4
4
2020/11/12
5
5
50米 ?米
a米
塔座所形成的这个直角三角形的
斜边长为____a_2___2_5__0_0__米。
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6
6
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，
S
则半径为____________.
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7
7
b-3
如图示的值表示正方形的面积，则
正方形的边长是 b 3
s
a2 2500
表示一些正数的算术平方根．
b3
一般地,式子 a (a 0)叫做二次根式,
a称为是被开方数
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8
8
说说对二次根式 的认识,好吗? a
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9
9
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根
2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
当a0时,( a)2=a .
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14
14
快速反应
例2 计算：
( 5)2 5 a+b2 a+b0= a+b
( 100)2 100 2 52= 20
(
2 )2 5
2 5
( 3)2 3
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15
15
试一试
已知:在Rt ABC中,C=90,AC= 3,BC= 5
求以AB为边长的正方形的面积.
解得x=7,y=9
xy-642=7×9-642=1， 1的算术平方根是1 即xy-642的算术平方根是1
2020/11/12
17
17
2.已知 a b 6与 a b 8
互为相反数，求a、b的值。
解：由题意可知： a-b+6 + a+b-8 =0
a-b+6=0
a+b-8=0
解得 : a=1,b=7
B
解: 在Rt ABC中,∵ AC= 3,BC= 5
∴ AB2=AC2+BC2
= 32+ 52
=3+5
C
A
=8
∴ 以AB为边长的正方形的面积为8.
2020/11/12
16
16
拓展与应用
例3
1、已知 y x 7 7 x 9
求 (xy 64)2 的算术平方根。 x-70 解：由题意可知： x-70
x0 解得x0且x1
2
当x0且x1， 1-
有意义 x
4由题意可知： x-50 解得x5且x6
x6
2020/11/12 当x5且x6时， x-5+x-60有意义
13
13
尝试与交流
22=4,即（ 4）2= 4
32=9,即（ 9）2= 9
同样地，（ 2）2= 2 （ 5）2= 5 你还能给出类似的例子吗？试试看 你有什么发现
二次根式的概念
2020/11/12
1
1
1. 16的平方根是 ±4 ;
2. 9的算术平方根是3 ;
3. 25的算术平方根是＿＿5＿＿
2020/11/12
2
2
回顾：
什么是平方根？什么叫做算术平方根？
如果一个数的平方等于a,那么这个数就称为a的平方根， 也称为二次方根。也就是说，
若 x2 =a,则 x就叫做a的平方根 记做x= a
20
20
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
二次根式的性质:
a 0, a 0（. 双重非负性）
2 a a(a 0)
2020/11/12
21
21
1.P60 1、2
2.补充习题相关练习
2020/11/12
22
22
2020/11/12
12
12
挑战自求我 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
3 1 2x-1
22ຫໍສະໝຸດ 2 1-x34 x-5+x-60
1- x
解 ：1由 2x-1＞ 0得 x＞12当x＞
1 2
时， 2
3 2x-1 有意义
2由1-x＞0得 x＜1 当 x＜1 时， 有意义
3由题意可知：
1- x0
1-x
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a和b的值分别为：a=1,b=7
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举一反三
1、已知: a+b-6+a+b-82=0,求a和b的值 2、已知： a-b+6+ a+b-8=0,求a和b的值
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一路下来，我们结识了很多新知识， 你能谈谈自己的收获吗？说一说，让大 家一起来分享。
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一个正数a正的平方根称为这个数的算术平方根，记做 a, 0只有一个平方根就是0本身，也就是它的算术平方根
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由此表明：
当a是正数时， a表示 a的算术平方根，
也就是a的正的平方根
当a是零时， a等于 0，也叫零的算术平方根；
当a是负数时， a 没有意义.
a中a的范围是a0, a是非负数，即 a0
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
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说一说: 下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)，
(6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
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