《§16.1 二次根式》优秀课件
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人教版数学八年级下册第十六章16.1.1二次根式的定义课件
解：(1)∵ 3 6 4 的根指数是3，∴ 3 6 4 不是二次根式． (2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴ x 2 1 是二次根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时， - 5 a 是二次根式；
当a＞0时，－5a＜0，则 - 5 a 不是二次根式． ∴ 不一定是二次根式．
(4) ＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为 二次根式．
D．x >－1且x≠3
D. 4 个
B.
【点拨】二次根式是在初始的外在形式上定义的，不能从化简结
果上判断，如 16等都是二次根式．
4. 二次根式 a从意义上说是 a 的_算__术__平__方__根___，根据算术平方 根的意义可知，只有_非__负__数___才有算术平方根，所以二次根 式 a有意义的条件就是__a_≥__0___.
再见
1
(5)当x＝－3时，（ x 3）2 无意义，∴
1 （ x 3）2
也无意义；
当x≠－3时，（
x
1
3 ）2
＞0，∴
1 （ x 3）2
是二次根式．
1
∴ （ x 3）2 不一定是二次根式．
(6)当a＝4时，a－4＝0， （ - a-4）2 是二次根式；
当a≠4时，－(a－4)2＜0， （ - a-4）2 不是二次根式．
8. a(a≥0)既表示一个二次根式，又表示非负数 a 的__算__术____ 平方根. a具有双重非负性，即 a___≥_____0， a____≥____0.
9. 已知 y＝ 2x－5＋ 5－2x－3，则 2xy 的值为( A )
A. －15
B. 15
C. －125
15 D. 2
10.若实数 m，n 满足等式|m－2|＋ n－4＝0，且 m，n 恰好是
最新人教版八年级数学下册第16章二次根式全套课件PPT(完美版)
A≥0且B≠0.
A 1有意义的条件：
B
巩固练习
2. x取何值时,下列二次根式有意义?
（1） x 1
x≥1
（4） 1 x x>0
（2） 3x
x≤0
（5） x3
x≥0
（3） 4x2
x为全体实数
（6） 1 x2 x≠0
(7)
x 1 x3
(
x
2)0
(8)
x 2 （9） x2 1
x
∴当x=1时， x2 2x 1 在实数范围内有意义. (2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为任何实数， x2 2x 3 在实数范围内都无意义.
归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项 进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
探究新知
归纳总结
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的定义识别二次根式
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
（1） 14 ； （2）81； （3） - 0.8 ；（4）-3x (x 0)
（1） 32
是
（2） -12 不是
（3）3 8
（4）4 a2
不是
不是
（5） - m (m 0) 是
（8） - x2 1
不是
（6） 2a 1 不是
（9）4 2
是
（7） a2 2a 3
是
1
最新人教版八年级数学下16.1二次根式的概念ppt公开课优质课件
(2) 2 a 3 2 (4) 5a
3 (1) a-1 0， a 1. (2) 2a 3 0， a . 2
(3) a
(3) a 0， a 0.
(4) 5 a＞0， a＜5.
5.要画一个面积为24cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，
想一想：
当x是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意义？ x3 呢？
前者x为全体实数；后者x为正数和0.
二 二次根式的双重非负性
思考: 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平
方根.对于任意一个二次根式 a ，我们知道： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2） a 表示一个数或式的算术平方根，可知 a ≥0.
问题1 上面问题的结果分别是
3, s, 65， h ，它们表示一些 5
正数的算术平方根.那么什么样的数有算术平方根呢？ 我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平 方时，被开方数只能是正数或0. 问题2 上面问题的结果分别是
3, s, 65， h ，分别从形式上 5
和被开方数上看有什么共同特点？ ①含有“ ” ②被开方数a ≥0
a C D
2 2.式子 3x 6 有意义的条件是
（ A ） D.x≤2
A.x＞2
3.若
B.x≥2
C.x＜2
95 n 是整数，则自然数n的值有 （ D ）
B.8个 C.9个 D.10个
A.7个
4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)
a 1
是
不是
当m>0时被开 方数是负数
不是
xy＜0
(4) -m
《二次根式》PPT课件1
（3） 21 ；
2 x （4） +1 ； √
3
≥2 （a ）； √ （ 5） a - 2
（ a＜ b）． （ 6） a - b
例 1 x是怎样的实数时，式子 x 3
在实数范围内有意义？
初步应用 巩固知识
例2 a 取何值时，下列根式有意义？ （ 2）
2 （a-1 ）
（1） a +1 ；
创设情境
提出问题
问题： （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的 时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满 足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，则 h t= 5 ． _____
合作探究 形成知识
h 上面问题中，得到的结果分别是： 3 ， S ， 65 ， ． 5
1 2 x 1 0 x 解得， 2 1 2 x 0 y 3 1 3 xy 3 2 2
12 n为一个整数 , 求自然数 n的值.
n为3，8，11，12
综合应用 深化提高
练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义．
x （1） 3- 4 x ；（2） ； x -1
4、 7 表示什么？
表示7的算术平方根
5、 a 表示什么？a 需要满足什么条件？ 为什么？
创设情境
提出问题
问题： 3 ，面积为 （1）面积为3 的正方形的边长为_______ S ． S 的正方形的边长为_______
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130 65 m． m2，则它的宽为______
第十六章二次根式
16.1 二次根式(1)
学习目标： 1．掌握二次根式的定义，知道被开方数必须是非负数的 理由，并会应用此定义判断一个根式是否为二次根式； 2．会运用二次根式的双重非负性，求被开方数中字母的 取值范围。
2 x （4） +1 ； √
3
≥2 （a ）； √ （ 5） a - 2
（ a＜ b）． （ 6） a - b
例 1 x是怎样的实数时，式子 x 3
在实数范围内有意义？
初步应用 巩固知识
例2 a 取何值时，下列根式有意义？ （ 2）
2 （a-1 ）
（1） a +1 ；
创设情境
提出问题
问题： （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的 时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满 足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，则 h t= 5 ． _____
合作探究 形成知识
h 上面问题中，得到的结果分别是： 3 ， S ， 65 ， ． 5
1 2 x 1 0 x 解得， 2 1 2 x 0 y 3 1 3 xy 3 2 2
12 n为一个整数 , 求自然数 n的值.
n为3，8，11，12
综合应用 深化提高
练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义．
x （1） 3- 4 x ；（2） ； x -1
4、 7 表示什么？
表示7的算术平方根
5、 a 表示什么？a 需要满足什么条件？ 为什么？
创设情境
提出问题
问题： 3 ，面积为 （1）面积为3 的正方形的边长为_______ S ． S 的正方形的边长为_______
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130 65 m． m2，则它的宽为______
第十六章二次根式
16.1 二次根式(1)
学习目标： 1．掌握二次根式的定义，知道被开方数必须是非负数的 理由，并会应用此定义判断一个根式是否为二次根式； 2．会运用二次根式的双重非负性，求被开方数中字母的 取值范围。
人教版八年级数学下册第十六章《二次根式》课件1 (2)
x36xx≤6
∴3≤x≤6
21x x1
x≥1 x≤1
∴x=1
3 3 x
x2
3－X≤0 X-2≠0
∴X≤3且X≠2
思考：
试一试
1、写出a的一个值，使二次根式 2 a 5 的值 为有理数，并求出这个有理数。
2、写出a的一个值，使二次根式 2 a 5 的值 为无理数，并求出这个无理数。
• 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 • 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/5/42022/5/4May 4, 2022 • 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
b-3
如图示的值表示正方形的面积，则
正方形的边长是 b 3
一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单
位：s）与开始落下时的高度h（单位：m）满足关系 h=5t2 .如果用含有h的式子表示t，则t=_____h ____
5
s
b3 h
5
它们有什么共同特征？
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
(a 1 ) 2
(3)
(a为任何实数)
快
解：由 a10 得a1
乐 训
练 ∴当a≥-1时， a 1 在实数范围内有意义。
营
(3)
(a为任何实数)
思考： a2 2a 1 (a 1)2
a 2 (a=0)
规律方法： ①被开方数大于或等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
求二次根式的值
∴3≤x≤6
21x x1
x≥1 x≤1
∴x=1
3 3 x
x2
3－X≤0 X-2≠0
∴X≤3且X≠2
思考：
试一试
1、写出a的一个值，使二次根式 2 a 5 的值 为有理数，并求出这个有理数。
2、写出a的一个值，使二次根式 2 a 5 的值 为无理数，并求出这个无理数。
• 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 • 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/5/42022/5/4May 4, 2022 • 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
b-3
如图示的值表示正方形的面积，则
正方形的边长是 b 3
一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单
位：s）与开始落下时的高度h（单位：m）满足关系 h=5t2 .如果用含有h的式子表示t，则t=_____h ____
5
s
b3 h
5
它们有什么共同特征？
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
(a 1 ) 2
(3)
(a为任何实数)
快
解：由 a10 得a1
乐 训
练 ∴当a≥-1时， a 1 在实数范围内有意义。
营
(3)
(a为任何实数)
思考： a2 2a 1 (a 1)2
a 2 (a=0)
规律方法： ①被开方数大于或等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
求二次根式的值
人教版八年级数学下《二次根式 第1课时：二次根式的概念和有意义的条件》精品教学课件
1 5；
2
3
2
x
2
；
3
x
；
A. 1
B. 2
D. 4
解:(1)∵−5＜0，∴ 5 不是二次根式；
(2)∵x2+2＞0，∴
课堂小结
C. 3
4 3 5；
5 是二次根式；
(3)∵当x≥0时，x3≥0，∴
3
x不一定是二次根式；
(4)∵ 3 5 的根指数是3，∴ 3 5 不是二次根式.
3
(2)由2x+3≥0，得x≥ .
2
二次根式有意义的条件
被开方数大于或等于0，即a≥0.
布置作业
创设情境
思考
当x是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意义？ x3 呢？
探究新知
解：由x2≥0，得x是任意实数，
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
∴当x为任意实数时， x 2 都有意义.
由x3≥0，得x≥0，
探究新知
应用新知
与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.
如果用含有h的式子表示t，那么t该怎么表示?
巩固新知
课堂小结
布置作业
h=5t2
h
t=
5
创设情境
探究新知
应用新知
归纳
h
上面问题中，得到的结果分别是： 3、 S、 65、
5
它们都是表示正数的算术平方根．
.
观察上面的式子，
你能写出二次
可得， x 2 1 在实数范围内有意义.
创设情境
定义
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结
人教版八年级数学下册第十六章《 二次根式的概念》公开课课件
第十六章 二次根式 16.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
知识管理
知识管理
1．二次根式 定 义：一般地，我们把形如____a___(a≥0)的式子叫做二次
根式，符号“ ”称为__二___次__根__号____．
注 意：二次根式应满足以下两个条件：
(1)形式上必须是“ a”的形式；
(2)被开方数a必须是__非__负____数．
2022/5/42022/5/4 • 16、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年5月2022/5/42022/5/42022/5/45/4/2022 17、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。
You made my day!
数学
人教版八年级下册
【点悟】 (1)二次根式的被开方数大于或等于零；(2)如果含有 分式时，分式的分母不能等于零；(3)如果含有零指数幂，负整数 指数幂时，它们的底数不能等于零．
类型之三 二次根式在实际生活中的应用 如图16－1－1所示的Rt△ABC中，∠B＝90°，点P从
点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点 B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的 面积为35平方厘米？
(2) －（x－3）2；
(4)y＝
x＋2 3x .
【解析】 利用二次根式有意义的条件，可把每一个问题转化 为解相应的不等式或不等式组．
解：(1)由题意，得 5－2x≥0，解得 x≤52，
所以当 x≤52时， 5－2x有意义； (2)由题意，得－(x－3)2≥0，即(x－3)2≤0，解得 x＝3， 所以当 x＝3 时， －（x－3）2有意义； (3)由题意，得8x－＋x8≥≥00，，解得－8≤x≤8， 所以当－8≤x≤8 时， x＋8＋ 8－x有意义； (4)由题意，得3x＋ x≠20≥，0，解得 x≥－2 且 x≠0， 所以当 x≥－2 且 x≠0 时，y＝ x3＋x 2有意义．
第1课时 二次根式的概念
知识管理
知识管理
1．二次根式 定 义：一般地，我们把形如____a___(a≥0)的式子叫做二次
根式，符号“ ”称为__二___次__根__号____．
注 意：二次根式应满足以下两个条件：
(1)形式上必须是“ a”的形式；
(2)被开方数a必须是__非__负____数．
2022/5/42022/5/4 • 16、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年5月2022/5/42022/5/42022/5/45/4/2022 17、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。
You made my day!
数学
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【点悟】 (1)二次根式的被开方数大于或等于零；(2)如果含有 分式时，分式的分母不能等于零；(3)如果含有零指数幂，负整数 指数幂时，它们的底数不能等于零．
类型之三 二次根式在实际生活中的应用 如图16－1－1所示的Rt△ABC中，∠B＝90°，点P从
点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点 B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的 面积为35平方厘米？
(2) －（x－3）2；
(4)y＝
x＋2 3x .
【解析】 利用二次根式有意义的条件，可把每一个问题转化 为解相应的不等式或不等式组．
解：(1)由题意，得 5－2x≥0，解得 x≤52，
所以当 x≤52时， 5－2x有意义； (2)由题意，得－(x－3)2≥0，即(x－3)2≤0，解得 x＝3， 所以当 x＝3 时， －（x－3）2有意义； (3)由题意，得8x－＋x8≥≥00，，解得－8≤x≤8， 所以当－8≤x≤8 时， x＋8＋ 8－x有意义； (4)由题意，得3x＋ x≠20≥，0，解得 x≥－2 且 x≠0， 所以当 x≥－2 且 x≠0 时，y＝ x3＋x 2有意义．
新人教版八年级下册数学16.1.1二次根式的定义优质课件
是x 2二次1根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时，
是二-5次a 根式；
当a＞0时，－5a＜0，则
不-是5a二次根式．
∴ 不一定是二次根式．
-5a
(4) ＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为
二次a根式．
知1－讲
第八页，共三十页。
(5)当x＝－3时，
（x
1
3无）2意义，∴
也1 无意义；
A
A.
a
C.
B.
D.
b2 1
0
（a b）2
第十二页，共三十页。
知1－练
4．下列式子：
7，2x , 1 m , a2 b2 , 100 , 5 , a 1
中，一定是二次根式的有( )CFra bibliotekA．2个
B．3个
C．4个
D．5个
知1－练
第十三页，共三十页。
知识点 2 二次根式有意义的条件
式子 a只有在条件a≥0时才叫二次根式． 即a≥0是 为a 二次根式的前提条件.
C．7
D．－7
第二十四页，共三十页。
知3－讲
导引：根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入
+ (y+
代数式进行计算即可得解．因为x y 1
x3)2y=0都1 是0非负数，它们的和为0，所以(y+3)2=
0，
，所以y+3=0，x+y-
1=0，
解得y=-3，x=4，所以x-y=7.故选C．
第二十五页，共三十页。
____h__.
5
上面问题的结果分别是
3， S , 65 ,，它h
5
们表示一些正数的算术 平方根.
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3
一般：( a )2 _____ . 为什么？a的取值范围是什么？
变式：若将 ( a )2变为 a2 ，结果一定还是a吗？
问题5 填空：
a2 ？= a
1 特例： (1) 22 __2__; (1)2 __3__; 0.12 _0_._1___ .
3
1 (2) (2)2 __2_; ( 1)2 _3_; (0.1)2 _0_._1.
探究二：二次根式的性质
问题3 用“＞、＜、＝”填空. 特例： 4 __＞__ 0; 9 _＞___ 0; 1.21 __＞__ 0; 0 __=__ 0.
16 追问： a___0, 为什么？a的取值范围是什么？
试一试： (1)若 x 3 y 4 0, 则x __3__, y __-_4_ . (2)若 x 2与 y 2 互为相反数，则x y =___0__.
C. x2 1
（四）概念应用体验
D. x
例2 当x _____≥_1___时， x 1 在实数范围内有意义.
变式1：当x___≤_2_____时， 2 x 在实数范围内有意义. 变式2：当__1_≤_x_≤_2___时， x 1 2 x 在实数范围内有意义.
（五）概念反思体验
1.判断二次根式的条件：(1)含有 ; (2)被开方数a 0. 2.二次根式有意义的条件：被开方数a≥0.
1
( 1)2 __7___; ( )2 _____ .
7
议一议: ( a )2与 a2 有何区别?
( a )2与 a2 对比
( a)2
a2
表示意义 a的算术平方根的平方 a的平方的算术平方根
a的取值范围
a≥0
a为任意实数
结果
a
a
例3 计算：(1) ( 0.2)2; (2) 102 ; (3) ( 4)2 .
(3)若 x 3 ( y 2)2 z 3 0,则x 2y z =___1_0__.
问题4 填空：
1
特例：( 4)2 __4__;( 1 )2 _9___;( 0.16)2 _0_.1_6__;( 0)2 __0__ .
9
1
猜测：( 3)2 __3__;( 1 )2 __3__;( 0.1Hale Waihona Puke 2 __0_._1__ .3
(3) 02 ____0___ .
一般： a2 _____(a _______).
试一试:
题组一：(
3)2 ___3___;
(
1.5)2 __1._5__;
(
2 7
)2
2 __7___;
题组二： 42 ___4___;
0.32 __0_.3__;
2 ( 2)2 __3___; 3
题组三： (5)2 __5__;
义务教育教科书八年级下册第十六章 二次根式
一、情景引入
问题1 张老师正在装修新房，面积约40平方米的客厅地 面用了约80块正方形地砖，请你帮老师算一算：地砖的 边长约是多少?
二、新知探究
探究一：二次根式的概念
（一）概念背景体验
问题2 请用带根号的式子填空： （1）面积为3的正方形的边长为_______. （2）面积为S的正方形的边长为_______. （3）跳水运动员从跳台跳下，他在空中的时间t(秒) 与跳台高度
变式 训练：
计算：(1) (3 2)2; (2) ( 7 2 )2; (3) ( )2 .
7
三、反思体悟
悟一悟: 1.本节课学到了哪些数学知识？ 2.在学习过程中体会到怎样的数学思想？
我们的收获
概念：a (a 0) a有意义的条件 : a 0
特殊到一般
二次根式
性质
双重非负性：当a ( a )2 a(a 0)；a2
0时，a 0 | a | (a为任意实数)
转化 分类讨论
四、拓展延伸
阅读：∵当a≥0时，( a )2 =a. ∴当a≥0时， a ( a )2. 这告诉我们：任意一个非负数a都可以写成它的算术平 方根的平方的形式，请利用此性质解决以下问题： （1）把下列各非负数写成另一个非负数的平方的形式.
2； 3; 5. （2）在实数范围内分解因式： x4 4
谢谢聆听 欢迎指导！
h(米)满足关系h=5t2 .如果用含有h的式子表示t，则t=_____.
（二）概念生成体验
观察问题1、2中的四个式子，思考： （1）形式上有何特点？ （2） 内的数或式需满足什么条件？
1 ； 3； S； h.
2
5
（三）概念辨析体验
例1 下列式子一定是二次根式的是（ C ）.
A. 7 B. 3 m