【公开课教案】“隐形圆”的探析
第七章 第6节 隐形圆-解析版
第6节 隐形圆知识与方法在解析几何问题中，若题干中某个动点的轨迹是圆，这类问题我们称之为隐形圆问题，解题的关键是发现隐形圆，运用圆的性质来求解答案.本专题后续内容将详细归纳隐形圆常见的几类题型.典型例题【例1】若圆()()2214x a y a -+-+=上存在点P ，使得P 点到原点的距离为3，则实数a 的取值范围为________.【解析】问题等价于圆22:9O x y +=与圆()()22:14C x a y a -+-+=有交点，所以2121r r OC r r -≤≤+，易求得()221OC a a =+-()22115a a ≤+-≤，解得：30a -≤≤或14a ≤≤. 【答案】[3,01,4-【例2】已知圆()22:44C x y +-=和两点(),0A m -、(),0B m ，若圆上存在点P ，使得0PA PB ⋅=，则正实数m 的取值范围为______.【解析】0PA PB ⋅=⇒点P 的轨迹方程是圆222:O x y m +=，问题等价于圆O 与圆C 有交点，所以2121r r OC r r -≤≤+，从而242m m -≤≤+，结合0m >可解得：26m ≤≤.【答案】[]2,6【反思】设A 、B 为两个定点，则由PA PB ⊥或0PA PB ⋅=所确定的点P 的轨迹是圆.【例3】在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2M 和()0,1N ，若直线20x y a -+=上存在点P 使2PM PN =，则实数a 的取值范围为______.【解析】设(),P x y ，则由|2PM PN =()()2222221x y x y +-+-222439x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以问题等价于直线20x y a -+=与圆222439x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭有交点，故222335a d -⨯+≤，425425a -+≤≤. 【答案】425425⎡-+⎢⎣⎦ 【反思】若动点P 满足PAPBλ=()01λλ>≠且，其中A 、B 是两个定点，则点P 的轨迹是圆. 变式 在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2b =，2a c =，则ABC 的面积的最大值为______.【解析】以AC 中点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则()1,0A -，()1,0C ，设(),B x y , 因为2a c =，所以2BC AB =()()2222121x y x y -+=++化简得：()22516039x y y ⎛⎫++=≠ ⎪⎝⎭，所以点B 的轨迹是以5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，43为半径的圆（不含x 轴上的两个点），如图，由图可知，()max 1442233ABC S =⨯⨯=.【答案】43【例4】已知点()2,2A ，()4,2B m ，点P 在直线20x y -+=上，若满足2PA PB ⋅=的点P 有两个，则实数m 的取值范围为______.【解析】设(),P x y ，则()2,2PA x y =--，()4,2PB x m y =--， ()()()()224222PA PB x x y m y ⋅=⇒--+--=，整理得点P 的轨迹方程为圆()()222:3124C x y m m m -+--=-+， 所以问题等价于直线20x y -+=与圆C ()2312242m m m -++<-+，解得：223m <--232m >. 【答案】()(),223232,-∞---+∞【反思】由PA PB λ⋅=可确定隐形圆，其中A 、B 是两定点.【例5】设点()0,2A ，圆()()22:24C x m y m -++-=，若圆C 上存在点M ，使得2220MA MO +=，其中O 为原点，则实数m 的取值范围为______.【解析】设(),M x y ，则由2220MA MO +=可得()2222220x y x y +-++=，化简得：()2219x y +-=，所以问题等价于圆C 与圆()2219x y +-=有公共点， 故()()221215m m ≤-+-，解得：21m -≤≤或25m ≤≤. 【答案】[][]2,12,5-【反思】22PA PB +是定值可确定隐形圆，其中A 、B 是两定点.【例6】在平面直角坐标系xOy 中，已知B 、C 为圆229x y +=上两点，点()2,2A ，且AB AC ⊥，则线段BC 的长的取值范围为______.【解析】如图1，设BC 中点为(),M x y ，则2BC AM =，OM BC ⊥，所以222OM MB OB +=，又MB AM =，所以222OM AM OB +=，故()()2222229x y x y ++-+-=，整理得：()()225112x y -+-=，从而点M 的轨迹是圆，圆心为()1,1T ，且点A 在该圆内，2AT =101022AM ≤≤因为2BC AM =，1021022BC -≤解法2：如图2，作矩形ABQC ，设(),Q x y ，由矩形性质知，2222OA OQ OB OC +=+，所以22899x y ++=+，化简得：2210x y +=，从而点Q 102OA =10221022AQ ≤+，又BC AQ =，1021022BC -≤【答案】10221022⎡⎣，【反思】矩形性质：设P 是矩形ABCD 所在平面内任意一点，则2222PA PC PB PD +=+.【例7】设a ∈R ，直线1:10l x ay -+=与直线2:20l ax y a +-+=交于点()00,P x y ，则2200021x y y +--的取值范围为______.【解析】如图，1l 过定点()1,0A -，2l 过定点()1,2B -且12l l ⊥，故点P 在以AB 为直径的圆()2212x y ++=上，设()22001d x y +-()222220000021122x y y x y d +--=+--=-，记()0,1T ，则d PT =，易求得圆上动点P 到定点T 的距离满足2222PT -≤+2222d ≤+，所以2642642d -≤+，故24422442d --≤+，即220021x y y +--的取值范围为44242⎡-+⎣,.【答案】44242⎡-+⎣,强化训练1.（★★★）若圆()()2214x y m -+-=上存在点P ，使得点P 到点()2,0Q 的距离为1，则实数m 的取值范围为______.【解析】问题等价于已知的圆与圆()22:21Q x y -+=有交点，所以2113m ≤+，解得：2222m -≤≤【答案】22,22⎡⎤-⎣⎦2.（★★★）已知圆()222:4C x y r +-=()0r >，点()2,0A -、()2,0B ，若圆C 上有且仅有一个点P ，使得0PA PB ⋅=，则r 的值为______.【解析】设(),P x y ，则P ()2,PA x y =---，()2,PB x y =--，因为0PA PB ⋅=，所以()()()2220x x y ---+-=，整理得点P 的轨迹方程为224x y +=，故问题等价于圆C 和圆22:4O x y +=相切，从而24r -=或24r +=，结合0r >可解得：6r =或2.【答案】6或23.（★★★）在平面直角坐标系xOy 中，已知()2,0A -，()1,1B ，若直线30x y a -+=上存在点P 使2PA PB =，则实数a 的取值范围为______.【解析】设(),P x y ，则由2PA PB =可得()()()22222211x y x y ++=-+-，化简得：()22440239x y ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭，故问题等价于直线30x y a -+=与圆()22440239x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭有交点， 423210310a-⋅+，解得：142633a -≤≤. 【答案】1426,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4.（★★★★）在ABC 中，若2AB =，2AC BC ，则ABC S 的最大值为______. 【解析】以AB 中点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 则()1,0A -，()1,0B ，设(),C x y ， 由2AC BC ()()2222121x y x y ++=-+整理得：()22:38M x y -+=()0y ≠ 所以点C 的轨迹是以()3,0M 为圆心，2x 轴的交点），如图，由图可知，()max 1222222ABC S=⨯⨯= .【答案】25.（★★★）设点()2,0Q ，圆()()22:21C x y a -+-=，若圆C 上存在点P ，使得2210PQ PO +=，其中O 为原点，则实数a 的取值范围为______. 【解析】设(),P x y ，则由2210PQ PO +=可得()2222210x y x y -+++=， 化简得：()2214x y -+=由题意，圆()22:14M x y -+=与圆C 有交点，所以13MC ≤≤ 而()()2221201MC a a -+-+2113a ≤+≤，解得：2222a -≤≤【答案】2222⎡⎤-⎣⎦,6.（★★★）已知AB 是圆()()22:224C x y -+-=的弦，且3AB =，若存在线段AB 的中点P ，使得P 关于x 轴的对称点Q 在直线30kx y ++=上，则实数k 的取值范围为______. 【解析】31AB PC ==⇒点P 的轨迹是圆()()22221x y -+-=， 因为P 、Q 关于x 轴对称，所以点Q 的轨迹方程为()()22221x y -++=， 从而问题等价于此圆与直线30kx y ++=有交点，222311k k -+≤+，解得：403k -≤≤【答案】4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7.（★★★）已知直线1:0l kx y +=()k ∈R 与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆()()22:232N x y +++=上的动点，则AB 的最大值为（ ）A.32B.52C.522+D.322+【解析】由题意，直线过1l 原点，直线2l 过定点()2,2P ，且12l l ⊥，所以点A 的轨迹是以OP 为直径的圆，即圆()()22:112M x y -+-=如图，由图可知，max 22522AB MN =+【答案】C8.（★★★★）已知圆22:16Q x y +=，点()1,2P ，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且0PM PN ⋅=若PQ PM PN =+，则PQ 的最小值为______.【解析】如图，因为0PM PN ⋅=，所以PM PN ⊥，故四边形PMQN 为矩形， 设MN 的中点为S ，连接OS ，则OS MN ⊥，所以222216OS OM MS MS =-=-， 又PMN 为直角三角形，所以MS PS =，故2216OS PS =-①，设(),S x y ，则由①可得()()22221612x y x y ⎡⎤+=--+-⎣⎦，整理得：()22127124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，从而点S 的轨迹为以1,12T ⎛⎫⎪⎝⎭33为半径的圆，显然点P 在该圆内部，所以min 33335PS PT =， 因为2PQ PS =，所以min335PQ=解法2：如图，因为0PM PN ⋅=所以PM PN ⊥，故四边形PMON 为矩形，由矩形性质，2222OM ON OP OQ +=+， 所以216165OQ +=+，从而33OQ = 故Q 点的轨迹是以O 为圆心，33 显然点P 在该圆内，所以min33335PQOP ==【答案】3359.（★★★★）在平面直角坐标系xOy 中，已知两个圆224x y +=和229x y +=，定点()1,0P ，动点A 、B 分别在两个圆上，满足90APB ∠=︒，则AB 的取值范围为______. 【解析】（用矩形性质）：如图，以P A 、PB 为邻边作矩形PAQB ， 由矩形性质，有2222OA OB OP OQ +=+即2491OQ +=+，所以3OQ =故点Q 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，显然点P 在圆内，易知AB PQ =， 所以min min 23231AB PQ OP ===，max max 23231AB PQ OP ==+=.【答案】231,231⎡⎤⎣⎦。
初中数学隐圆的教案
初中数学隐圆的教案教学目标：1. 理解隐圆问题的概念，掌握解决隐圆问题的基本方法；2. 培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力；3. 引导学生运用数学知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
教学内容：1. 隐圆问题的定义和特点；2. 解决隐圆问题的基本方法；3. 隐圆问题在实际中的应用。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过向学生展示一些生活中的圆形物体，如硬币、篮球等，引导学生关注圆形的特征和性质；2. 教师提出隐圆问题的定义，让学生初步了解隐圆问题。
二、探究隐圆问题的基本方法（15分钟）1. 教师引导学生观察一些隐圆问题，如在三角形中构造一个圆，使得该圆与三角形的三个顶点相切；2. 教师引导学生思考如何解决这个问题，学生可以通过画图、讨论等方式尝试解决这个问题；3. 教师引导学生总结解决隐圆问题的基本方法，如构造辅助线、利用圆的性质等。
三、解决实际问题（15分钟）1. 教师提出一个实际问题，如在一条固定直线上，如何构造一个圆，使得该圆与直线上的两个点相切；2. 教师引导学生应用隐圆问题的解决方法，尝试解决这个问题；3. 教师引导学生总结解决实际问题的方法和步骤。
四、巩固练习（10分钟）1. 教师给出一些隐圆问题的练习题，让学生独立解决；2. 教师引导学生互相交流解题思路和解题方法，共同提高解题能力。
五、总结和反思（5分钟）1. 教师引导学生总结本节课所学的内容，让学生明确隐圆问题的定义和解决方法；2. 教师引导学生反思自己在解决隐圆问题时的思考过程和解决问题的能力，鼓励学生积极思考和探索。
教学评价：1. 教师通过课堂讲解、练习和实际问题解决等方式，评价学生对隐圆问题的理解和掌握程度；2. 教师通过学生的课堂表现、练习和总结反思等方式，评价学生的思考能力和解决问题的能力。
教学资源：1. 教师准备一些隐圆问题的图片和实例，用于引导学生观察和思考；2. 教师准备一些隐圆问题的练习题，用于巩固学生所学知识。
例析四类“隐形圆”问题
2020年第9期中学数学研究•51•例析四类“隐形圆”问题福建省福安市第一中学(355000)叶珊近年来，随着对圆的方程加大的考查力度，许多“隐形圆”的问题不断呈现.所谓的“隐形圆”，就是在条件中没有直接给出有关圆的信息，而是隐藏在题目的信息中，要通过分析和转化，才能发现圆(或圆的方程)，从而可以利用圆的知识来解决问题.下面举例介绍四类常见类型，供参考.一、隐含着圆的定义或圆的方程例1若圆C：(x-2a)2+(y-a-3)2=4上，总存在两个点到原点的距离为1,则实数a的取值范围是________•解析:设P(%,y。
)为圆上一点，且PO=1,则有%o+To=1,即点P在以原点为圆心，1为半径的圆上，而点P又在圆C：(x-2a)2+(y-a-3)2=4上，依题意，这样的P点有两个，即两圆相交，所以2 -1W y(2a)2+(a+3)2W2+1,解得-务W aW0,即实数a的取值范围是[-务,0].评注:从题设中找到了动点到定点的距离为定长，这就是圆的定义，抓住它建立圆的方程，从而再利用两圆相交的性质列出不等式求出参数范围就变得很容易了.例2已知A,B,C,D四点共面,BC=2,AB2+ AC2=20,CD=3C4,4t I BD\的最大值.解析：以DC所在的直线为％轴，以线段BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，又BC=2,可设B(-1,O),C(1,O).设A(衍，yj,由4於 +AC2=20得[+I)2+j)]+[(«：!-I)2+ji]=20,化简得+y2=9戾).设D(x,y),^CD=3莎得(％-1,y)=3(冋-1,刃)，所以％i=*(%+2)且九=将它们代入X)式得仏+2)2+y2=81,即D点在以(-2,0)为圆心,9为半径的圆上，而I BD\就是圆上的动点D到点B(-1,O)的距离，根据圆的性质可知丨丽I的最大值就是圆心(-2,0)到点-1,0)加上半径，即1+9=10,所以⑷—=10.评注:依据题设中的平方和的条件得到了点A 在一个已知圆上运动，再由给出的向量的线性关系，使问题转化D点在另一个已知圆上运动，如果点B 固定，则就变成一个非常熟悉的问题了.二、含有线段长的比式例3已知圆C：(%-2)2+y2=2,直线l.y= k(x+2)与％轴交于点A,过Z上一点P作圆C的切线，切点为T,若PA=#PT,则实数％的取值范围是解析：由于直线l-.y=k(x+2)与％轴交于点A(_2,0),则刃=g设P(%,y),由PA=匹PT得/(X+2)2+y2=#V(x-2)2+y2-2,化简得仏-6)2+y2=36,即点P在以(6,0)为圆心,6为半径的圆上，又点P在直线Z上，所以直线Z 与圆相交或相切，则d W r,即I§律+「丄w6,化简得7號W9,解得-導導，所以实数％的取值范围是[-昭，昭].点评：这是一个“阿波罗斯尼圆”的问题，解题中抓住了给出的线段长等式，通过设动点，建立方程，然后再化简方程找到了一个隐含圆，这就将问题转化为直线与圆有交点问题了.例4已知点P到两定点M(_1,O)JV(.距离的比为点N到直线PM的距离为1,求直线PN的方程.解析:设P的坐标为仏,y),由题意有■^十=Q,即a/(%+1)2+j2=-J1•a/(%-1)2+j2,整理得/+y2_6%+1=0,因为点N到PM的距离为1,I MN\=2,所以厶PMN=30。
微专题22“隐形圆”问题(教学案)
微专题22“隐形圆”问题1．能用探究轨迹的思想挖掘题目中的隐形圆问题．2．能通过圆的几何意义等思想方法解决与圆有关的范围(最值)问题．3．深刻体会“等价转化”、“数形结合”等数学思想方法，能用代数方法处理几何问题．考题导航题组一利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆1．如果圆(x－2a)．2．已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则a的取值范围为__________．→＋OB→的1．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，点A，B在圆C上，且AB＝23，则||OA 最大值是________．1．已知圆C：(x－3)，则正数m的取值范围是________．2．已知点A (2，3)，B (6，－3)，点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，若满足等式AP →·BP →＋2λ＝0的点P 有两个，则实数λ的取值范围是________．1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (－1，0)，Q (2，1)，直线l ：ax ＋by ＋c ＝0，其中实数a ，b ，c 成等差数列，若点P 在直线l 上的射影为H ，则线段QH 的取值范围是________．1．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a )MA 2＋MO 2＝10，则实数a 的取值范围是________．1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A (－1，0)，B (1，2)． (1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程；(2)在圆C 上是否存在点P ，使得P A 2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．1．已知点M (x ，y )与两个定点O (0，0)，A (3，0)的距离之比为12，那么点M 的坐标满足的关系为_____．2．已知点A (0，1)，B (1，0)，C (t ，0)，D 是直线AC 上的动点，若AD ≤2BD 恒成立，则最小正整数t 的值为________．1．如图，已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A (－5，0)，在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B (不同于点A )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有PBP A为一常数，则满足条件的点B 的坐标为________．冲刺强化训练(22)1．已知点A (－1，0)，B (1，0)，动点M (x ，y )满足MA ＝2MB ，则动点M 的轨迹方程是_________． 2．若圆O 1与圆O 2的半径都是1，O 1O 2＝4，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，过动点P 分别作圆O 1与圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 分别为切点)，使得PM ＝2PN ，则动点P 的轨迹方程是______________．3．已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则|P A →＋PB →|的取值范围为____________．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，0)，B (1，0)均在圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝r 2外，且圆C 上存在唯一一点P 满足AP ⊥BP ，则半径r 的值为________．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为________．6．已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →＝λ(λ<0)，若点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值是________．7．已知点A (－1，0)，B (1，0)，过定点M (0，2)的直线l 上存在点P ，使得P A →·PB →<0，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1，点A (0，2)，若圆C 上的点M 均满足MA 2＋MO 2>10，则实数a 的取值范围是________．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x ＋4)2＋(y －a )2＝16上的两个动点，且AB ＝211．若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得P A →＋PB →＝OC →，则实数a 的值为 ________．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2＋y 2＝4上两点，点A (1，1)，且AB ⊥AC ，则线段BC的长的取值范围是________．11．已知定点O (0，0)，M 是圆(x ＋1)2＋y 2＝4上的任意一点，问：是否存在不同于点O 的定点A ，使得MOMA为常数？若存在，试求出所有满足条件的点A 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图所示，A ，B 是两个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16千米处，AB 的南面为居民生活区． 为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面建一个垃圾发电厂P ． 垃圾发电厂P 的选址拟满足以下两个要求(A ，B ，P 可看成三个点)：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点P 到直线AB 的距离要尽可能大)． 现估测得A ，B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？。
隐圆的教学设计
隐圆的教学设计教材分析：何谓隐圆？有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解.苏教版高中数学新教材对圆的方程这节教学内容中较老教材大量加入了隐圆的相关知识点，阿波罗尼斯圆出现在例题中，定义出现在思考中。
而且课后习题中也见多种形式的隐圆，圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.而圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对接下来直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义.直线与圆位置关系是直线、圆几何关系中最重要的内容，也是高考的热点内容之一.学情分析：圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的.虽然学生在前一章“直线与方程”中初步体会了解析几何研究问题的一般思路和数形结合的思想方法。
但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强.圆的方程这一章就是解决两大问题：（1）如何建立圆的方程？（2）如何利用圆的方程研究圆的性质？通过本节隐圆模式的探索与学习,能使学生从题干中提取出有效的隐形圆的信息,进行加工处理,从而解决问题.1.学习目标1.根据确定圆的几何要素，掌握圆的方程；2.能使用代数的方法导出阿波罗尼斯圆的方程，并能对其做出几何解释；依此用代数及几何的方法归纳与总结其它几种类型的隐性圆；3.识别隐性圆，并能利用几何法简化研究直线与圆及圆与圆的位置关系，让学生充分体会解析几何的特点“代数的方法研究几何性质，利用几何性质可简化运算”。
2.教学重点与难点教学重点：归纳总结隐圆的几种类型。
教学难点：利用隐圆解决有关直线与圆及圆与圆有关的网络交汇问题。
3.教学过程3.1 类型一：利用圆的定义(到定点O的距离等于定长r的动点P的轨迹即OP=r)确定隐形圆书本57页第13题：如图，长为2（是正常数）的线段的两个端点A，B分别在互相垂直的两条直线上滑动，求线段的中点M的轨迹.分析：以两个互相垂直的直线作为轴，其交点为坐标原点M，则可得,取的中点，从而由圆的定义知线段的中点M的轨迹就是以为圆心，为半径的一个圆.书本57页第14题：已知点，若点P是圆 =4上的一个动点，点是线段AP的中点，求点的轨迹方程。
初中隐圆问题专题教案
初中隐圆问题专题教案1. 知识与技能：（1）理解隐圆问题的概念，认识隐圆问题在初中数学中的重要性；（2）掌握解决隐圆问题的基本方法和技巧；（3）能够运用圆的有关性质和定理解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳，培养学生的逻辑思维能力；（2）运用数形结合的思想，提高学生解决问题的能力；（3）培养学生合作交流、解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和自信心；（2）培养学生克服困难的意志和团队合作的精神；（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 隐圆问题的概念及分类2. 隐圆问题的解决方法（1）利用圆的性质解决隐圆问题；（2）利用圆的定理解决隐圆问题；（3）利用数形结合解决隐圆问题。
3. 典型隐圆问题分析（1）三角形内切圆问题；（2）四边形外接圆问题；（3）圆与圆的位置关系问题。
三、教学过程1. 导入新课通过展示一些生活中的隐圆问题，引导学生关注隐圆问题，激发学生的学习兴趣。
2. 自主学习让学生通过阅读教材，理解隐圆问题的概念，了解隐圆问题的分类。
3. 合作交流让学生分组讨论，总结解决隐圆问题的基本方法和技巧。
4. 课堂讲解讲解典型隐圆问题，引导学生运用圆的性质和定理解决问题。
5. 练习巩固布置一些相关的练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固所学内容。
6. 总结反思让学生总结本节课所学内容，反思自己在解决问题中的不足之处。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思考问题的方式、合作交流的能力等。
2. 练习反馈：检查学生在练习中的解答情况，了解学生对知识的掌握程度。
3. 课后总结：收集学生的课后总结，了解学生的学习效果和反思情况。
五、教学资源1. 教材：初中数学教材相关章节；2. 课件：隐圆问题相关的课件；3. 练习题：隐圆问题相关的练习题；4. 生活中的隐圆问题案例：例如自行车轮胎、篮球等。
六、教学建议1. 注重引导学生观察、分析、归纳，培养学生的逻辑思维能力；2. 注重培养学生的数形结合思想，提高学生解决问题的能力；3. 鼓励学生合作交流，培养学生的团队合作精神；4. 关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在课堂上得到锻炼和提高。
隐藏圆课件
提高教学效率
个性化教学
隐藏圆课件可以节省教师板书的时间，让 他们有更多时间讲解重点和难点，从而提 高教学效率。
隐藏圆课件可以根据不同学生的需求和水 平，提供个性化的学习资源和教学方案。
缺点分析
技术依赖
隐藏圆课件依赖于一定的技术 设备和软件，如果设备出现问 题或软件崩溃，教学活动可能
会受到影响。
信息过载
引导与提示
隐藏圆可以作为引导用户注意的元素 ，如焦点指示、操作提示等，帮助用 户更好地理解和使用界面。
04 隐藏圆的优缺点分析
CHAPTER
优点分析
提高课堂互动性
增强视觉效果
隐藏圆课件通过互动式设计，能够吸引学 生的注意力，提高他们的学习兴趣和参与 度。
通过动态演示和丰富的视觉元素，隐藏圆 课件能够更直观地展示教学内容，帮助学 生更好地理解和记忆。
使用Illustrator制作隐藏圆
在工具箱中选择椭圆工具， 按住Shift键绘制一个圆形。
打开Illustrator软件，新建一 个文档。
02
01
03
在图层面板中选中圆形图层 ，点击添加图层样式按钮，
选择“内阴影”。
在内阴影设置中，调整距离 、大小和透明度等参数，使
圆形呈现隐藏效果。
04
05
点击确定，完成隐藏圆的制 作。
根据设计需求选择合适的隐藏圆类型
01
02
03
基础型
适用于简单的遮挡和引导 视线，使画面更加整洁。
提示型
用于提供交互提示或引导 ，增强用户体验。
装饰型
用于美化页面，提升视觉 效果。
注意隐藏圆的适用场景和限制
适用场景
页面布局需要隐藏、遮挡部分内容；需 要引导用户视线；交互设计需要提示或 引导。
中考数学专题《隐形圆解析》
D
E O
C
B
取 CB 中点 M，所以 E 点轨迹是以 M 为圆心、CB 为直径的圆弧．
A
D
E O
CM
B
连接 AM，与圆弧交点即为所求 E 点，此时 AE 值最小， AE AM EM 102 22 2 2 26 2 ．
A
E
C
M
B
【2019 园区一模】如图，正方形 ABCD 的边长为 4，动点 E、F 分别从点 A、C 同时出发，
C
M
E
A
O
B
【寻找定边与直角】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB =90°，BC=4，AC=10，点 D 是 AC 上的 一个动点，以 CD 为直径作圆 O，连接 BD 交圆 O 于点 E，则 AE 的最小值为_________．
A
D
O
E
C
B
【分析】连接 CE ，由于 CD 为直径，故∠CED=90°，考虑到 CD 是动线段，故可以将此 题看成定线段 CB 对直角∠CEB ．
A
D
O
P
F
B
E
C
连接 OC，与圆的交点即为 P 点，再通过勾股定理即可求出 PC 长度． 思路概述：分析动点形 成原理，通常“ 非直即圆” （不是直线就 是圆），接下来可以 寻找与动 点相关有无定直线与定 角．
【2013 武汉中考】如图，E 、F 是正方形 ABCD 的边 AD 上的两个动点，满足 AE =DF，连 接 CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H，若正方形边长为 2，则线段 DH 长度的最小 值是________．
A
O
B
【辅助圆+相切】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB =90°，∠B=30°，AB =4，D 是 BC 上一动点， CE ⊥AD 于 E ，EF⊥AB 交 BC 于点 F，则 CF 的最大值是_________．
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“圆”形毕露（二）
考纲要求：
江苏省高考考试说明中圆的方程是C 级考点,近几年在各地模考和高考中出现频率较高,在题设中没有明确给出圆的相关信息,而是隐含在题目中的,要通过分析、转化,发现圆(或圆的方程),从而最终利用圆的知识来求解,我们称这类问题为“隐形圆”问题．
考点解读：
在平面上给定相异两点B A ,,设点P 在同一平面上且满足λ=⋅(或22PB PA +是定值),则点P 的轨迹是个圆.
小题热身
(1)平面内到原点距离为1的点的轨迹方程为 .
(2)从圆1:22=+y x O 外一点P 向圆引两条切线,切点分别是A 、B ,使得∠APB ＝60°,则点P 的轨迹方程为 .
(3)已知两点)0,2(),0,2(B A ,若存在点P ,使得∠APB =90°,则点P 的轨迹方程为 .
(4)已知两点),0,2(),0,2(B A -若存在点P ,使得
20AP BP λ+=,则点P 的轨迹方程为 .
(5)已知两点),0,2(),0,2(B A -若存在点P ,使得1022=+PB PA ,则点P 的轨迹方程为 .
题型一 利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆
例 1(1)如果圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1,则实数a 的取值范围是 ．05
6<<a
（2）(2016南京二模)已知圆1:22=+y x O ,圆()()14:22=+-+-a y a x M ．若圆M 上存在点P ,过点P 作圆O 的两条切线,切点为A ,B ,使得∠APB ＝60°,则a 的取值范围为 ．
题型二 动点P 对两定点B A ,张角是90°(1PA PB k k =-,或
0PA PB =)确定隐形圆
例 2 已知圆()()143:22=-+-y x C 和两点()0),0,(),0,(>-m m B m A ,若圆上存在点P ,
使得∠APB =90°,则m 的取值范围是 ．
题型三 两定点B A ,,动点P 满足λ=⋅PB PA 确定隐形圆
例 3 (2017南通密卷3)已知点)3,2(A ,点)3,6(B 点P 在直线 3430x y -+=上,
若满足等式 20AP BP λ+=的点P 有两个,则实数λ的取值范围是 ．
题型四 两定点B A ,,动点P 满足22PB PA +是定值确定隐形圆
例 4 (1)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1,点)2,0(A ,若圆C 上存在点P ,满足1022=+PO PA ,则实数a 的取值范围是 ．
(2)(2017.12南京十校联考12)已知,A B 为直线l ：y x =-上两动点,且4AB =，圆C ：226620x y x y +--+=,圆C 上存在点P ,使2210PA PB +=,则线段AB 中点
M ]214,214-
提升练习
(1)(2017苏北四市一模)已知B A ,是圆1:221=+y x C 上的动点, AB P 是圆()()143:222=-+-y x C 上的动点,则 PA PB +的取值范围是 ．
(2)(2017南通市一模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知C B ,为圆22
4x y +=上两点,点 A(1,1) ,且AC AB ⊥,则线BC 段的长的取值范围为 ．
一．阿波罗尼斯圆
1. 在直角坐标系中，()30，
A ，直线42;-=x y l ，圆C 的半径为1，圆心C 在l 上 圆心C 也在直线1-=x y 上，过A 点作作圆C 的切线，求切线的方程
（1）圆心C 也在直线1-=x y 上，过A 点作圆C 的切线，求切线的方程。
（1）若圆C 上存在点M ，使得MA=2MO ，求圆C 的横坐标的取值范围。
2. ABC ∆中，AB=2,BC AC 2=,则ABC ∆面积的最大值是________________
二．动点P 满足M BP AP =+22,则动点P 的轨迹是以AB 为中点O 为圆心，半径为r
（其中()M AO r =+222)
1.在直角坐标系xoy 中，已知圆C ：()()1222=+-+-a y a x ，点A （0，2），若
圆C 上存在点M ，满足：
1022=+MO MA ,则实数a 的取值范围是______________ 2.在直角坐标系xoy 中，已知圆C ：()()2,1,1,0-A 0,422B x y x =-+
(1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M,N 两点，且MN=AB ，求l 的方程。
(2)在圆C 上存在点P 使得1222=+PB PA ？若存在，求P 点的个数；若不存在，说明理由。
三．若ABCD 为矩形,则2222PD PB PC PA +=+
1. 圆O ：1622=+y x ，点()2,1P ,N M ,是圆O 上的不同的两点，且满足：
0=∙PM ,若+=,的最小值为_______________
2. 向量,,12===，且()()＝０－∙的取值范围是_____
四．双重身份
1. 在ABC ∆中，点D 在边BC 上，且BD=2DC ，1,900==∠AD BAC ,CD 的取值范围是-_____
五．若m =∙,（A,B 为定点），且0412>+AB m ,则点P 的轨迹是以AB 为中点为圆心，241AB m r +=的圆上。
其推导：
1.已知,,是同一平面内的三个向量，其中,是相互垂直的单位向量，且())
1=-∙-的最大值是____________。