西安建筑科技大学2015年复变函数与积分变换试卷A-
复变函数积分变换复习卷及答案
复变函数复习卷及参考答案一、填空题1、复数1z i =+的三角表示式=2(cossin )44i pp+；复指数表示式=42ie p 。
2、复数()13z i =+的z =2；23Argz k pp =+；arg 3z p=；13z i =-。
3、62111i i i -æö==-ç÷+èø。
10125212131i i i i i +-=+-=-。
4、()()31123513253x y i x i y i x y +=ì++-=-Þí-=-î，求解方程组可得，45,1111x y -==。
5、()()231,f z z z =-+则()61f i i ¢-=--。
6、()n3L i -ln 226i k i pp =-+；ln()ie 12i p=+。
7、()(2)1321,(13)2ik i iiee i p p p -++==+。
8、32282(cossin)33k k i p pp p++-=+；0,1,2k =。
1224(4)2i i -==±。
9、1sin 2e e i i --=；221cos ()22i e e pp p -=+；10 、21024z dzz z ==++ò ；1212z dz i z p ==-ò 。
11、设31cos ()zf z z -=，则0z =是（一级极点）；31cos 1Re [,0]2z s z -=。
1()s i n f z z=，0z =是本性奇点。
二、判断下列函数在何处可导？何处解析？在可导处求出导数。
（1）()22f z x iy=+；解：22,,2,0,0,2u u v v u x v y x y xyxy¶¶¶¶======¶¶¶¶，一阶偏导连续，因此当,x y y x u v u v ==-时，即x y =时可导，在z 平面处处不解析。
复变函数与积分变换(14-15-1.A2)参考答案 (1)
2014---2015学年第1学期:复变函数与积分变换（30学时，A 卷）参考答案及评分标准一．填空题1、3; 2;2、e -; i π-2;3、0;4、0;5、πi ;6、12<+i z ;7、 -+-!6!4!2142z z ; 8、3; 9、t cos ; 10、1. 二．解：令,θi e z = 则,θθd ie dz i =,izdzd =θ 且根据Euler 公式, 有 ()(),2121cos 1--+=+=z z e e i i θθθ ()(),21212cos 2222--+=+=z z e e i i θθθ则有()()⎰⎰=--⋅+-+=-112220256cos 452cos 12z iz dzzz z z d πθθθ ()⎰=+-+=122425216z dz z z z z i().61⎰==z dz z f i 4分上述积分中被积函数()z f 有三个有限奇点 .2,21,0 而在积分曲线1=z 围成区域内只有二个奇点,21,0 分别是二级和一级极点. 6分 根据留数定理, 有()[]()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰21,Re 0,Re 2)(z f s z f s i dz z f Cπ. 8分根据留数计算规则, 分别有⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→)(21lim 21),(Re 21z f z z f s z()221lim 2421-+=→z z z z ()2124221=-+=z z z z1217-=; 11分[][])(lim0),(Re 20z f z dzd z f s z →=2521lim 240+-+=→z z z dz d z ()()()()2242302525412524lim+--+-+-=→z zz z z z z z()()()()224232525412524=+--+-+-=z z z z z z z z.45=14分 所以有 ()[](),6121,Re 0,Re -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+z f s z f s.3)(i dz z f Cπ-=⎰则积分πθθθπ2cos 452cos 1220=-⎰d 15分三．解： (1) 解：根据钟形脉冲函数的Fourier 变换公式, 有822222][ωπ--=e e F t. 2分又22cos 22ti t i e e t -+=, 根据Fourier 变换位移性质, 有[][]()2222222221]2[cos t t i t t i t e e F e e F et F ----⋅+⋅=⋅[][])(21222222+=--=-+=ωωωωtt e F e F())(42828)2(22+---+=ωωπee . 6分根据能量谱密度的定义()()2ωωF S =得到函数222cos )(te t tf -⋅=的能量谱密度())2(84)2(44)2(222+----++=ωωωπωee eeS . 8分（2）解：根据能量谱密度()ωS 和相关函数()τR 之间有关系式, 有()()[]ωτS F R 1-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=--+-----414)2(14)2(122248ωωωππe F e e F e F 2分根据Fourier 变换的位移性质, 有,4124)2(122⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----ωτωe F e e F i .4124)2(122⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----ωτωe F e e F i 4分 则有()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=----4141222248ωωττππτe F e e F eeR i i 注意到 τττ2cos 222=+-i i e e , 则()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=---41122cos 4ωτπτe F e R . 6分 根据钟形脉冲函数的Fourier 变换公式 []βωββπ422--=e eF t , 有22141τωπ---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡e e F . 所以有()()212cos 4ττπτ--+=ee R . 8分四．解：根据Laplace 变换积分性质, 有[]t e L sdt t e L t tt 2sin 1]2sin [0--=⎰. 2分 由42]2[sin 2+=s t L , 根据Laplace 变换的位移性质, 有 ()412]2sin [2++=-s t e L t ,即422]2sin [2++=-s s t e L t. 4分 所以有 ()522]2sin [2++=⎰-s s s dt t e L tt . 6分 五．解：(1) 根据Euler 公式和Fourier 变换的定义, 有[]⎰+∞∞-⋅-=dx xe x F x i ω2sin 2sin⎰∞+∞-⋅--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dx e i e e xi xi x i ω222 ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰+∞∞-⋅+-+∞∞-⋅--dx e dx e i x i x i 2221ωω. 4分 根据基本公式可以得到[]()()[]2222212sin +--=ωπδωπδix F ()()[]22--+=ωδωδπi . 8分(2) 对方程两边关于函数自变量x 作Fourier 变换. 记()()[]x y F Y =ω. 根据Fourier 变换的微分和积分性质, 有()()[]02sin 322=++x F i Y Y i ωωωω. 2分 利用(1)的结论, 有()()()()[]221232+---=ωδωδωπωωY . 4分 根据Fourier 逆变换的定义和-δ函数的筛选性质, 有()()[]ωY F x y 1-=()()[]⎰+∞∞--+--=ωωωωδωδωd e xi 122432()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+---=⎰⎰∞+∞-∞+∞-ωωωωδωωωωδωωd e d e xi x i 12124322⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅--⋅=-==22221143ωωωωωωωωxi xi e e()x i xi e e 2221-+=x 2cos =. 8分六．解：根据Laplace 变换的位移性质, 有()[]()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=--1212122211s s L s F L()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=--11122212s s L et. 2分 令()()()11122++=ss s G ，则()s G 有两个一级极点i i ,-和一个二级极点-.14分 根据求Laplace 逆变换的留数公式, 有()[]()[]()[]()[]1,Re ,Re ,Re 1-++-=-s G e s i s G e s i s G e s s G L st st st . 6分根据留数计算规则, 有()[]()()[]s G e i s i s G e s st is st +=--→lim ,Re()()i s s e stis -+=-→21lim()()is sti s s e -=-+=21()212i i e it --=-.4it e --=9分()[]()()[]s G e i s i s G e s st is st -=→lim ,Re()()i s s e stis ++=→21lim()()is sti s s e =++=21()212i i e it +=.4it e -=12分()[]()()[]s G e s ds d s G e s st s st 211lim1,Re +=--→1lim21+=-→s e ds d sts()()2221121lim +-+=-→s se s te stst s()()1222121-=+-+=s ststs se s te().21t e t -+=15分代入上式，并利用Euler 公式, 有()[]()4211itit t e e e t s G L---+-+=()2cos 1te t t -+=-. 所以有()[]().cos 1231t t e t e t s F L ---⋅-+=17分。
复变函数与积分变换测验题2参考答案
第二章 解析函数一、选择题：1．B 可参照填空题第四小题的处理方法。
2．B 注： 函数)(z f 在点z 可导，)(z f 在点z 不一定解析；反之，)(z f 在点z 不解析，则函数)(z f 在点z 可导；函数)(z f 在一 区域内处处可导等价于处处解析3．D 注： A 三角函数的模可能大于1或无界；B 若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不一定不可导C 解析的条件; v u ,在区域D 内可微，v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，4． C 由柯西黎曼方程可得。
5．B 第二节例2.3的结论： 解析函数若)(z f '在某一区域内处处为零，则函数在此区域内为常数。
6．C 注：选项A ，B ，D 中函数)(z f 只是有定义，并为要求解析。
反例：x i x z f sin cos )(+= 选项C 设解析函数),(),()(y x iv y x u z f += 则 解析函数 ),(),()(y x iv y x u z f -=两式相加得到解析函数),()(y x u z g 2= 满足柯西黎曼方程 ，因此0=∂∂xu 两式相减得到解析函数),()(y x v z h 2= 满足柯西黎曼方程 ，因此 0=∂∂xv 所以，函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导数0=∂∂+∂∂=x v i x u z f )(' 根据：第二节例2.3的结论： 解析函数若)(z f '在某一区域内处处为零，则函数在此区域内为常数。
7．A 导数公式 xv i x u z f y x iv y x u z f ∂∂+∂∂=+=)('),(),()(，则导数若 8．A 注： 本题 函数是 z e ，不是 ze 。
))sin()(cos(y i y e e e x iy x z -+-==-判定时，按照判定复变函数可导解析的方法进行处理。
2015年1全国自考工程数学—复变函数与积分变换模拟试卷(一)
2014年4月全国自考工程数学—复变函数与积分变换模拟试卷(一)一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
第1题【正确答案】 D【你的答案】本题分数2分第2题【正确答案】 D【你的答案】本题分数2分第3题A. z=0B. z=1C. z=-1D. 无奇点【正确答案】 A【你的答案】本题分数2分第4题【正确答案】 D【你的答案】本题分数2分第5题A. 1B. -1C. 0D. 2【正确答案】 A【你的答案】本题分数2分第6题A. 0B. 1C. -1D. 2【正确答案】 B【你的答案】本题分数2分第7题设f(z)=u+iv在点z0点解析，则不能断定f(z)在z0点()A. u,v满足C-R条件B. 可导C. 保形D. u,v可微【正确答案】 C【你的答案】本题分数2分第8题【正确答案】 A【你的答案】本题分数2分第9题下列变换中不正确的是（）【正确答案】 D【你的答案】本题分数2分第10题设z=1+i,则Im(sinz)=()A. sin1ch1B. cos1sh1C. cos1ch1D. sin1sh1【正确答案】 B二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
第1题 -1-i的辐角是___.【正确答案】 -3/4π+2kπ,k=0,±1,±2…【你的答案】修改分数本题分数2分你的得分___第2题题中横线处答案为：【正确答案】 1【你的答案】修改分数本题分数2分你的得分第3题题中横线处答案为：___【你的答案】修改分数本题分数2分你的得分___第4题题中横线处答案为：【正确答案】【你的答案】本题分数2分修改分数你的得分___第5题题中横线处答案为：【正确答案】【你的答案】修改分数本题分数2分你的得分第6题题中横线处答案为：___三、计算题（本大题共8小题，共52分）第1题【正确答案】【你的答案】本题分数6分你的得分修改分数第2题【正确答案】【你的答案】本题分数6分你的得分修改分数第3题【正确答案】【你的答案】本题分数6分你的得分修改分数第4题【正确答案】【你的答案】本题分数6分你的得分修改分数第5题【正确答案】【你的答案】本题分数6分你的得分修改分数第6题【正确答案】【你的答案】本题分数6分你的得分修改分数第7题【正确答案】【你的答案】本题分数6分你的得分修改分数第8题【正确答案】【你的答案】四、综合题（下列3个小题中，第1题必做，第2、3题中只选做一题。
《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷A及答案
机 密★启用前大连理工大学网络教育学院2014年3月份《复变函数与积分变换》课程考试模 拟 试 卷考试形式：闭卷 试卷类型：（A ）☆ 注意事项：本考卷满分共：100分；考试时间：90分钟。
学习中心______________ 姓名____________ 学号____________一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、已知iii z +--=131，则=z Re （ ）A 、0B 、21-C 、23-D 、无法确定2、下列函数中，为解析函数的是（ ） A 、xyi y x 222--B 、xyi x +2C 、)2()1(222x x y i y x +-+-D 、33iy x +3、设2,3z i z =+=ω，则=ωarg （ ）A 、3π B 、6π C 、6π-D 、3π-4、2)1()1()31(-+--=i i i z 的模为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、25、=-⎰=-dz z e z z1|2|2（ ） A 、e 2B 、e π2C 、22e πD 、i e 22π6、C 为正向圆周：2||=z ，则=-⎰dz z z e C z2)1(（ ）A 、i πB 、i π2C 、i π-D 、i π47、将点1,,1-=i z 分别映射为点0,1,-∞=ω的分式线性变换为（ ） A 、11-+=z z ω B 、zz -+=11ω C 、zz e i-+=112πωD 、112-+=z z eiπω 8、0=z 是3sin zz的极点，其阶数为（ ） A 、1B 、2C 、3D 、49、以0=z 为本性奇点的函数是（ ） A 、zzsin B 、2)1(1-z zC 、ze 1D 、11-z e 10、设)(z f 的罗朗展开式为 +-++-+-+----nz n z z z z )1()1(2)1(11)1(222，则 =]1),([Re z f s （ ）A 、-2B 、-1C 、1D 、2二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、=-i33____________________________________2、设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=⎰zdz z C3)(_________。
复变函数与积分变换试题及答案5
复变函数与积分变换试题及答案5复变函数与积分变换试题与答案 1．若(,)u x y 与(,)v x y 都是调和函数，则()(,)i (,)f z u x y v x y =+是解析函数。
（） 2．因为|sin |1z ≤，所以在复平⾯上sin z 有界。
（）3．若()f z 在0z 解析，则()()n f z 也在0z 解析。
（） 4．对任意的z ，2Ln 2Ln z z =（）⼆填空（每题3分）1．i 22i =-- ， ia r g 22i =-- 。
2．ln(3i)-= ， i i = 。
3.在映照2()24f z z z =+下，曲线C在iz =处的伸缩率是，旋转⾓是。
4.0z =是241e zz -的阶极点，241Re [,0]ze s z -=。
三解答题（每题7分）设2222()i()f z x axy by cx dxy y =++-++。
问常数,,,a b c d为何值时()f z 在复平⾯上处处解析？并求这时的导数。
求(1)-的所有三次⽅根。
3．2d Cz z其中C 是0z=到34i z =+的直线段。
4．||2e cos d z z z z=?。
(积分曲线指正向)5．||2d (1)(3)z zz z z =+-?。
(积分曲线指正向)6 将1()(1)(2)f z z z =--在1||2z <<上展开成罗朗级数。
7.求将单位圆内||1z <保形映照到单位圆内||1w <且满⾜1()02f =，1πarg ()22f '=的分式线性映照。
四解答题（1,2,3题各6分, 4题各9分）1．求0 0()e 0ktt f t t -设22()e e sin 6()t t f t t t t t δ-=+++, 求()f t 的拉⽒变换。
设221()(1)F s s s =+，求()F s 的逆变换。
4. 应⽤拉⽒变换求解微分⽅程23e (0)0, (0)1t'==? 复变函数与积分变换试题答案 1若(,)u x y 与(,)v x y 都是调和函数，则()(,)i (,)f z u x y v x y =+是解析函数。
复变函数与积分变换试题及答案(4)
3 4
考试科目：复变、积分学号：
12
西安建筑科技大学考试试卷（共4页）
班级：姓名：考试科目：复变函数与积分变换学号：
五．将函数 在圆环域 内展开成罗朗级数。
六．计算下列各积分（积分路径均取正向）：1Βιβλιοθήκη ；2． ；3． ；
七、（10分）应用拉氏变换求方程组 满足x(0)=y(0)=z(0)=0的解y(t)。
西安建筑科技大学考试试卷（共4页）评卷人填写
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
分数
阅卷人
（全日制）班级：姓名：
一．填空题：
1． ；
2．方程 的全部解为；
3． ；
4． ；
5． ；
6．幂级数 的收敛半径 。
二．讨论函数 可导性与解析性。
三．已知调和函数 ，求解析函数 。
四．将函数 展开成 的幂级数，并指出幂级数的收敛半径。
复变函数与积分变换试题14
复变函数与积分变换 试题一、填空、判断题（共24分）(a ) 填空 （每空2分）1、，=+8)1(i ， ln （－3 i ）=2、把点z = 1，i ，-1 分别映照成点w = 1，0，-1 的分式线性映照 w = f (z) 把单位圆 |z| < 1 映照成 。
3、4sinz )(z z f =的孤立奇点的类型是 ，奇点处的留数是 。
4、积分dz )z 1cosz e (2|z |z ⎰=-+π= 。
（b ）判断题 （每题3分，请在正确的题后打“√”,错误的题后打“×”） 1、arg z 1z 2 = arg z 1 + arg z 2 （ ）2．若()f z 在0z 解析，则()()n f z 也在0z 解析。
（ ）3、若(,)u x y 与(,)v x y 都是调和函数， 则()(,)i (,)f z u x y v x y =+是解析函（ ） 4．因为|sin |1z ≤，所以在复平面上f (z) = sin z 有界。
（ ） 二、解答题（ ）1、设 1i 11e r z θ= ， 2i 22e r z θ= 证明： ( a ) |z ||z ||z z |2121= ( b ) 2121z z )z z (=2、设 )pxy x (i y n my )(2323+++=x z f 是解析函数，试确定 m , n , p 的值。
3、将 )z 2)(1(1)(--=z z f 在 0 < | z - 1 | < 1 上展开成罗朗级数。
三、计算题（8分+12分=20分）1、计算⎰+cdz iy x )(2，其中 C 是沿曲线 2x y = 由点 0=z 到点 i z +=12、用两种方法（含留数方法）计算积分⎰-+cz z dz )2)(1(z 的值。
其中 C ：| z | = 3 。
3、求 方程 01z 4=+ 的全部根 4、求把上半平面Im ( z ) >0 ，保形映照到单位圆 | w | < 1内， 且满足f （i ）=0，0)i (arg ='f的分式线性映照。
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2014—2015学年第 2 学期
西安建筑科技大学考试试卷（A /B □卷）
一、 选择题（每题2分，共16分，把答案写在方括号内）
1．下列所给区域中是多连通区域的为【 】
(A)Im ()0z ≤ (B) 3|1|8z <-< (C)Re ()0z > (D)3arg z π-<<
2．设C 为2|2015|z =-的正向圆周，则积分2sin 2C z dz z π=-⎰ （）
【 】 (A) 2i π (B) 2i π- (C) 22i π (D)22i π-
3．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点0z 处解析的充要条件是【 】
(A) 函数),(),()(y x iv y x u z f +=仅在点0z 处可导；
(B) 函数),(y x u 和),(y x v 仅在点0z 处满足柯西-黎曼方程；
(C) 函数),(y x u 和),(y x v 仅在点0z 处可微，而且满足柯西-黎曼方程；
(D) 函数),(),()(y x iv y x u z f +=点0z 的某个邻域内处处可微，而且满足柯西-黎曼方程.
4.下列复数项级数中条件收敛的是【 】 (A)1(14)
!n n n i ∞=∑
(B)∑∞=-1)1(n n (C)∑∞=1n n n i (D)134()7n n i ∞
=+∑ 5.设级数0
(1)n n
n c z ∞=-∑在点4z =收敛，在13z i =+发散，则它的收敛半径=R 【 】. （A ）3（B ）12（C ）2（D ）13
6．下列函数中以0=z 为本性奇点的是【 】 (A) 2sin z z z - (B)1sin z z + (C)1z
e (D)321(1)sin z z z z +++ 7．函数1()2z
f z e z -=-() 在2z =处的留数是【 】
(A)2e (B) e (C)22e (D)e 2
8．3z =-为对数函数(1)Ln z ω=+的【 】.
（A ）连续点;（B ）不连续点；（C ）可导点；（D ）无定义点.
二、填空题（每题2分，共14分）
9.复数12(1+)i z -=的指数表示式为 .
10
．计算复值函数值(1)n i L -
=.
11．已知C 为||4z =的正向圆周，求34z
C e dz z =⎰ .
12．设C 为正向圆周1||=z ,则积分 218C dz z z =+-⎰.
13.
计算幂函数值3()i -=. 14．映射38+1z z ω=-在点1+z i =处的伸缩率是 .
15．若3()+cos g t t t =, 则函数()g t 的拉普拉斯变换为 .
三、计算题（每题5分，共25分）
16．求幂级数
12+15n n n n z ∞=∑的收敛半径.
17．讨论函数
()2sin (2cos 2)x x f z e y i e y =--的解析性,其中z x yi =+.
18. 利用留数计算积分
32||1/2
2z dz z z =-⎰
19. 求函数3
(1)(4)()i i F ωωω++=的傅里叶逆变换
20. 求积分值3sin cos ()C z z
dz z π--⎰ ，其中
C 为正向圆周7||2z =内.
四、解答题（每题9分,共36分）
21. 问0z =是复变函数2sin ()(1)z f z z z =-的几级极点？计算2sin (1)
z dz z z Γ-⎰的值,其中曲线Γ是不同时包含0与1且不经过0与1的任何简单闭曲线。
22. 利用留数计算定积分
221(1)(9dx x x +∞-∞++⎰)
23. 试将有理复变函数
+10()(+4)(2)z f z z z =-分别在（1）圆环区域02z <<内； （2）圆环区域24z <
<内 展开成洛朗级数.
24. 已知拉普拉斯变换221()cos (),L kt s s k -=+221()sin (),L kt k s k -=+m 为正整数
11()!()m m m L t s +-=，要求用拉普拉斯变换求微分方程2sin y y y t '''-+=满足初始条件
(0)0,(0)1
y y '==-的特解.
五、证明题（9分） 2 25. 证明二元实函数32(,)31u x y x xy =-+是调和函数,并求其共轭调和函数(,)v x y ,求()(,)(,)f z u x y iv x y =+的导函数()f z '.。