2019年高考数学(文科)二轮专题突破训练：六直线、圆、圆锥曲线专题能力训练16(含答案)
专题能力训练16椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.(2018全国Ⅰ,文4)已知椭圆C:=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()A.B.C.D.2.已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.B.C.D.3.已知O为坐标原点,F是椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点,P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A. B. C. D.4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=15.(2018全国Ⅱ,文11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()A.1-B.2-C. D.-16.设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的一个交点为P,设O为坐标原点.若=m+n(m,n∈R),且mn=,则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.7.已知双曲线E:=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.8.已知直线l1:x-y+5=0和l2:x+4=0,抛物线C:y2=16x,P是C上一动点,则点P到l1与l2距离之和的最小值为.9.如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求△PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点. 10.如图,动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=x+m(m>0)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|<|PR|,求的取值范围.11.设椭圆=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.二、思维提升训练12.(2018全国Ⅲ,文10)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.B.2 C.D.213.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x14.在平面直角坐标系xOy中,双曲线-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.15.在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.16.已知圆C:(x+1)2+y2=20,点B(1,0),点A是圆C上的动点,线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P.(1)求动点P的轨迹C1的方程;(2)设M,N为抛物线C2:y=x2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P,Q两点,求△MPQ面积的最大值.17.已知动点C是椭圆Ω:+y2=1(a>1)上的任意一点,AB是圆G:x2+(y-2)2=的一条直径(A,B是端点),的最大值是.(1)求椭圆Ω的方程.(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P,Q两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.专题能力训练16椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.C解析因为椭圆C的一个焦点为(2,0),所以其焦点在x轴上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=2,所以椭圆C的离心率e=.2.D解析由c2=a2+b2=4,得c=2,所以点F的坐标为(2,0).将x=2代入x2-=1,得y=±3,所以PF=3.又点A的坐标是(1,3),故△APF的面积为×3×(2-1)=,故选D.3.A解析由题意知,A(-a,0),B(a,0),根据对称性,不妨令P,设l:x=my-a,∴M,E.∴直线BM:y=-(x-a).又直线BM经过OE的中点,∴,解得a=3c.∴e=,故选A.4.D解析∵双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,∴解得所以双曲线的方程为x2-=1.故选D.5.D解析不妨设椭圆方程为=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|+|PF2|=2a.∵∠F2PF1=90°,∠PF2F1=60°,∴c+c=2a,即(+1)c=2a.∴e=-1.6.C解析在y=±x中令x=c,得A,B,在双曲线=1中令x=c得P.当点P的坐标为时,由=m+n,得由(舍去),∴,∴,∴e=.同理,当点P的坐标为时,e=.故该双曲线的离心率为.7. 2解析由题意不妨设AB=3,则BC=2.设AB,CD的中点分别为M,N,如图,则在Rt△BMN中,MN=2,故BN=.由双曲线的定义可得2a=BN-BM==1,而2c=MN=2,所以双曲线的离心率e==2.8.解析在同一坐标系中画出直线l1,l2和曲线C如图.P是C上任意一点,由抛物线的定义知,|PF|=d2,∴d1+d2=d1+|PF|,显然当PF⊥l1,即d1+d2=|FM|时,距离之和取到最小值.∵|FM|=,∴所求最小值为.9.解(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),由消去y,整理得:x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故解得因此,点B的坐标为.(2)由(1)知|AP|=t·和直线PA的方程tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=.设△PAB的面积为S(t),所以S(t)=|AP|·d=.10.解(1)设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在.于是x≠1,且x≠-1.此时,MA的斜率为,MB的斜率为.由题意,有=4.整理,得4x2-y2-4=0.故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠±1).(2)由消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0.①对于方程①,其判别式Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0,而当1或-1为方程①的根时,m的值为-1或1.结合题设(m>0)可知,m>0,且m≠1.设Q,R的坐标分别为(x Q,y Q),(x R,y R),则x Q,x R为方程①的两根,因为|PQ|<|PR|,所以|x Q|<|x R|.因为x Q=,x R=,且Q,R在同一条直线上,所以=1+.此时>1,且≠2,所以1<1+<3,且1+,所以1<<3,且.综上所述,的取值范围是.11.解(1)设F(c,0).由,即,可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为=1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(x B,y B),由方程组消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=,由题意得x B=,从而y B=.由(1)知,F(1,0),设H(0,y H),有=(-1,y H),.由BF⊥HF,得=0,所以=0,解得y H=.因此直线MH的方程为y=-x+.设M(x M,y M),由方程组消去y,解得x M=.在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔|MA|=|MO|,即(x M-2)2+,化简得x M=1,即=1,解得k=-,或k=.所以,直线l的斜率为-.二、思维提升训练12.D解析∵双曲线C的离心率为,∴e=,即c=a,a=b.∴其渐近线方程为y=±x,则(4,0)到C的渐近线距离d==2.13.C解析设点M的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+=5,则x0=5-.因为点F的坐标为,所以以MF为直径的圆的方程为(x-x0)·+(y-y0)y=0.将x=0,y=2代入得px0+8-4y0=0,即-4y0+8=0,解得y0=4.由=2px0,得16=2p,解得p=2或p=8.所以C的方程为y2=4x或y2=16x.故选C.14.2解析该双曲线的右准线方程为x=,两条渐近线方程为y=±x,得P,Q,又c=,所以F1(-,0),F2(,0),四边形F1PF2Q的面积S=2=2.15.y=±x解析抛物线x2=2py的焦点F,准线方程为y=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=4·=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2==p,所以.所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.16.解(1)由已知可得,点P满足|PB|+|PC|=|AC|=2>2=|BC|,所以动点P的轨迹C1是一个椭圆,其中2a=2,2c=2.动点P的轨迹C1的方程为=1.(2)设N(t,t2),则PQ的方程为y-t2=2t(x-t)⇒y=2tx-t2.联立方程组消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,有而|PQ|=×|x1-x2|=,点M到PQ的高为h=,由S△MPQ=|PQ|h代入化简,得S△MPQ=,当且仅当t2=10时,S△MPQ可取最大值.17.解(1)设点C的坐标为(x,y),则+y2=1.连接CG,由,又G(0,2),=(-x,2-y),可得=x2+(y-2)2-=a(1-y2)+(y-2)2-=-(a-1)y2-4y+a+,其中y∈[-1,1].因为a>1,所以当y=≤-1,即1<a≤3时,取y=-1,得有最大值-(a-1)+4+a+,与条件矛盾;当y=>-1,即a>3时,的最大值是,由条件得,即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).综上所述,椭圆Ω的方程是+y2=1.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点坐标为(x0,y0),则满足=1,=1,两式相减,整理,得=-=-,从而直线PQ的方程为y-y0=-(x-x0).又右焦点F2的坐标是(2,0),将点F2的坐标代入PQ的方程得-y0=-(2-x0),因为直线l与x轴不垂直,所以2x0-=5>0,从而0<x0<2.假设在线段OF2上存在点M(m,0)(0<m<2),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,则线段PQ的垂直平分线必过点M,而线段PQ的垂直平分线方程是y-y0=(x-x0),将点M(m,0)代入得-y0=(m-x0),得m=x0,从而m∈.。
2019年高考数学(文科)二轮专题突破课件：专题六 直线、圆、圆锥曲线 6.2 .pdf
=1.
考情分析
高频考点
核心归纳
-4-
命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
题后反思1.涉及椭圆(或双曲线)两焦点间的距离或焦点弦的问题, 以及到抛物线焦点(或准线)距离的问题,可优先考虑圆锥曲线的定 义.
2.求圆锥曲线标准方程时“先定型,后计算”,即先确定是何种曲线, 焦点在哪个轴上,然后利用条件求a,b,p的值.
求轨迹方程 【思考】 求轨迹方程的基本策略是什么?
例3已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分 别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ; (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
命题热点一
考情分析
高频考点
核心归纳
-8-
命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
对点训练 2 直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆
中心到 l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为( B )
A.13
B.12
C.23
D.34
解析 不妨设直线 l 经过的椭圆的一个顶点坐标为(0,b),一个
焦点坐标为(c,0),
=
1,
消去 y,整理得
7x2+6cx-13c2=0,
解得 x=-173������(舍去)或 x=c.
因此可得点 P
������,
3������ 2
,进而可得|FP|=
(������ + ������)2 +
3������ 2
2
= 52������,
所以|PQ|=|FP|-|FQ|=52������ − 32������=c.
备战2019高考数学(理科)大二轮复习练习：专题六 直线、圆、圆锥曲线 专题能力训练17
A. 5
B.2
C. 3
D. 2
13.已知 F 是抛物线 C:y2=8x 的焦点,M 是 C 上一点,FM 的延长线交 y 轴于点 N,若 M 为 FN 的中点,
则|FN|= . ������2 ������2 ‒
14.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线������2 ������2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为 F 的抛物线 x2=2py(p>0)交
专题能力训练 17 椭圆、双曲线、抛物线
一、能力突破训练
1.已知双曲线
������2 C:������2
‒
������2 ������2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为
y=
5
������2
2 x,且与椭圆12
+
������2 3 =1
有公共焦点,
则 C 的方程为( )
������2 ������2
������2 ������2
‒
故 C 的方程为 4 5 =1.
2.B 解析 不妨设抛物线 C 的方程为 y2=2px(p>0),圆的方程为 x2+y2=R2. 因为|AB|=4 2,所以可设 A(m,2 2). 又因为|DE|=2 5,
{������2
=
5
+
������2
,
4
������2 + 8 = ������2,
������ =
由
3
3 (舍去),
∴
������ 1
=
������2
∴
������ 3,
������2
������2
=
1 32 9,∴e= 4 .
备战2019高考数学大二轮复习 专题六 直线、圆、圆锥曲线 专题能力训练18 直线与圆锥曲线 理
专题能力训练18 直线与圆锥曲线一、能力突破训练1.已知O为坐标原点,F是椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A. B. C. D.2.已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,则抛物线x2=4y的焦点到双曲线的渐近线的距离是()A. B. C. D.3.如果与抛物线y2=8x相切倾斜角为135°的直线l与x轴和y轴的交点分别是A和B,那么过A,B 两点的最小圆截抛物线y2=8x的准线所得的弦长为()A.4B.2C.2D.4.(2018全国Ⅰ,理11)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=()A.B.3 C.2D.45.平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.6.(2018全国Ⅰ,理19)设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.7.如图,已知抛物线x2=y,点A,B,抛物线上的点P(x,y ).过点B作直线AP 的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围;(2)求|PA|·|PQ|的最大值.8.已知椭圆C :=1(a>b>0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:|AN|·|BM|为定值.29.(2018全国Ⅱ,理19)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B 两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.二、思维提升训练10.(2018全国Ⅲ,理16)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若∠AMB=90°,则k= .11.定长为3的线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,动点P满足=2.(1)求点P的轨迹曲线C的方程;(2)若过点(1,0)的直线与曲线C交于M,N两点,求的最大值.12.设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B 作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.113.(2018全国Ⅲ,理20)已知斜率为k的直线l与椭圆C :=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且=0.证明:||,||,||成等差数列,并求该数列的公差.2专题能力训练18直线与圆锥曲线一、能力突破训练1.A解析由题意,不妨设直线l的方程为y=k(x+a),k>0,分别令x=-c与x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka.设OE的中点为G,由△OBG∽△FBM,得,即,整理,得,故椭圆的离心率e=,故选A.2.B解析抛物线x2=4y的焦点为(0,1),双曲线=1 (a>0,b>0)的离心率为,所以=2,双曲线的渐近线为y=±x=±2x,则抛物线x2=4y的焦点到双曲线的渐近线的距离是故选B.3.C解析设直线l的方程为y=-x+b,联立直线与抛物线方程,消元得y2+8y-8b=0.因为直线与抛物线相切,所以Δ=82-4×(-8b)=0,解得b=-2,故直线l的方程为x+y+2=0,从而A(-2,0),B(0,-2).因此过A,B两点的最小圆即为以AB为直径的圆,其方程为(x+1)2+(y+1)2=2,而抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,此时圆心(-1,-1)到准线的距离为1,故所截弦长为2=2.4.B解析由条件知F(2,0),渐近线方程为y=±x,所以∠NOF=∠MOF=30°,∠MON=60°≠90°.不妨设∠OMN=90°,则|MN|=|OM|.又|OF|=2,在Rt△OMF中,|OM|=2cos 30°=,所以|MN|=3.5解析双曲线的渐近线为y=±x.由得A1由得B∵F为△OAB的垂心,∴k AF·k OB=-1.即=-1,解得,,即可得e=6.解 (1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1.由已知可得,点A 的坐标为所以AM的方程为y=-x+或y=x-(2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1<,x2<,直线MA,MB的斜率之和为k MA+k MB =由y1=kx1-k,y2=kx2-k,得k MA+k MB =将y=k(x-1)代入+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=,x1x2=则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k==0.从而k MA+k MB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.7.解 (1)设直线AP的斜率为k,k==x-,因为-<x<,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1).(2)联立直线AP与BQ的方程2解得点Q的横坐标是x Q =因为|PA|=(k+1),|PQ|=(x Q-x)=-,所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3.令f(k)=-(k-1)(k+1)3,因为f'(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在区间上单调递增,上单调递减, 因此当k=时,|PA|·|PQ|取得最大值8.(1)解由题意得解得a=2,b=1.所以椭圆C 的方程为+y2=1.(2)证明由(1)知,A(2,0),B(0,1).设P(x0,y0),则+4=4.当x0≠0时,直线PA的方程为y=(x-2).令x=0,得y M =-,从而|BM|=|1-y M |=直线PB的方程为y=x+1.令y=0,得x N =-,从而|AN|=|2-x N |=1所以|AN|·|BM|====4.当x0=0时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2,所以|AN|·|BM|=4.综上,|AN|·|BM|为定值.9.解 (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.二、思维提升训练10.2解析设直线AB:x=my+1,联立y2-4my-4=0,y1+y2=4m,y1y2=-4.而=(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).∵∠AMB=90°,=(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1)=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5=-4(m2+1)+(2m-1)4m+52=4m2-4m+1=0.∴m=k==2.11.解 (1)设A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),由=2得(x,y-y0)=2(x0-x,-y),即因为=9,所以+(3y)2=9,化简,得+y2=1,所以点P 的轨迹方程为+y2=1.(2)当过点(1,0)的直线为y=0时,=(2,0)·(-2,0)=-4,当过点(1,0)的直线不为y=0时,可设为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2).联立并化简,得(t2+4)y2+2ty-3=0,由根与系数的关系得y1+y2=-,y1y2=-,=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2=(t2+1)y1y2+t(y1+y2)+1=(t2+1)+t+1==-4+又由Δ=4t2+12(t2+4)=16t2+48>0恒成立,所以t∈R,对于上式,当t=0时,()max =综上所述,的最大值为12.解 (1)因为|AD|=|AC|,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,1所以|EA|+|EB|=4.由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为=1(y≠0).(2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),由得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,则x1+x2=,x1x2=,所以|MN|=|x1-x2|=过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y=-(x-1),A到m 的距离为,所以|PQ|=2=4故四边形MPNQ的面积S=|MN||PQ|=12可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8).当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8).13.解 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1.两式相减,并由=k 得k=0.由题设知=1,=m,于是k=-①由题设得0<m<,故k<-(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.又点P在C上,所以m=,从而P,||=于是||=2==2-同理||=2-所以||+||=4-(x1+x2)=3.故2||=||+||,则||,||,||成等差数列,设该数列的公差为d,则2|d|=|||-|||=|x1-x2|=②将m=代入①得k=-1.所以l的方程为y=-x+,代入C的方程,并整理得7x2-14x+=0.故x1+x2=2,x1x2=,代入②解得|d|=所以该数列的公差为或-1。
2019高考数学大二轮复习 专题六 直线、圆、圆锥曲线 专题能力训练16 直线与圆 理
专题能力训练16 直线与圆一、能力突破训练1。
已知圆E 经过三点A （0,1),B (2,0)，C (0,-1),且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为（ )A.(x -32)2+y 2=254 B 。
(x +34)2+y 2=2516C.(x -34)2+y 2=2516 D .(x -34)2+y 2=2542。
若直线x-2y-3=0与圆C :(x-2）2+(y+3)2=9交于E ，F 两点，则△ECF 的面积为( )A. B.2√5 C.3√55D 。
3.（2018全国Ⅲ,理6)已知直线x+y+2=0分别与x 轴、y 轴交于A ,B 两点，点P 在圆(x-2）2+y 2=2上，则△ABP 面积的取值范围是( ） A .［2，6] B .[4，8］ C 。
[√2，3√2］ D .［2√2,3√2］4。
已知实数a ,b 满足a 2+b 2-4a+3=0,函数f （x ）=a sin x+b cos x+1的最大值记为φ（a ,b ）,则φ(a ,b ）的最小值是（ ） A 。
1 B.2 C.√3+1 D.35.已知两条直线l 1：x+ay-1=0和l 2:2a 2x —y+1=0。
若l 1⊥l 2,则a= 。
6。
已知圆(x-a )2+(y-b ）2=r 2的圆心为抛物线y 2=4x 的焦点,且直线3x+4y+2=0与该圆相切,则该圆的方程为 。
7.已知圆C 的圆心与抛物线y 2=4x 的焦点F 关于直线y=x 对称,直线4x-3y-2=0与圆C 相交于A ,B 两点，且｜AB|=6,则圆C 的方程为 。
8.已知P是抛物线y2=4x上的动点，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为点M,N是圆（x—2）2+（y—5)2=1上的动点,则|PM｜+｜PN|的最小值是.9。
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线x—√3y=4相切。
（1)求圆O的方程;（2）若圆O上有两点M，N关于直线x+2y=0对称，且|MN|=2√3，求直线MN的方程;（3)设圆O与x轴相交于A,B两点，若圆内的动点P使|PA｜，｜PO｜，｜PB｜成等比数列，求PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围.10。
备战2019高考数学(理科)大二轮复习练习专题六 直线、圆、圆锥曲线 专题能力训练17 Word版含答案
专题能力训练椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练.已知双曲线(>>)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点,则的方程为().以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点,交的准线于两点.已知,则的焦点到准线的距离为().(全国Ⅱ,理)若双曲线(>>)的离心率为,则其渐近线方程为()±±±±.(天津,理)已知双曲线(>>)的离心率为,过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和,且,则双曲线的方程为().设双曲线(>>)的右焦点为,过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点,与双曲线的一个交点为,设为坐标原点.若(∈),且,则该双曲线的离心率为().....双曲线(>>)的渐近线为正方形的边所在的直线,点为该双曲线的焦点.若正方形的边长为,则..已知双曲线(>>)的右顶点为,以为圆心为半径作圆,圆与双曲线的一条渐近线交于两点.若∠°,则的离心率为..如图,已知抛物线,圆(),过点()(>)作不过原点的直线分别与抛物线和圆相切为切点.()求点的坐标;()求△的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点..如图,动点与两定点()()构成△,且直线的斜率之积为,设动点的轨迹为.()求轨迹的方程;()设直线(>)与轴相交于点,与轨迹相交于点,且<,求的取值范围..已知三点()()(),曲线上任意一点()满足·().()求曲线的方程;()点()(<<)是曲线上动点,曲线在点处的切线为,点的坐标是()与分别交于点,求△与△的面积之比.二、思维提升训练.已知为抛物线的焦点,过作两条互相垂直的直线,直线与交于两点,直线与交于两点,则的最小值为() .(全国Ⅲ,理)设是双曲线(>>)的左、右焦点是坐标原点,过作的一条渐近线的垂线,垂足为.若,则的离心率为()....已知是抛物线的焦点是上一点的延长线交轴于点,若为的中点,则..在平面直角坐标系中,双曲线(>>)的右支与焦点为的抛物线(>)交于两点,若,则该双曲线的渐近线方程为..已知圆:(),点(),点是圆上的动点,线段的垂直平分线与线段交于点.()求动点的轨迹的方程;。
2019年高考数学(文科)二轮专题突破训练专题六 直线、圆、圆锥曲线 专题能力训练16 Word版含答案
专题能力训练椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练.(全国Ⅰ,文)已知椭圆的一个焦点为(),则的离心率为().....已知是双曲线的右焦点是上一点,且与轴垂直,点的坐标是(),则△的面积为().....已知为坐标原点是椭圆(>>)的左焦点分别为的左、右顶点为上一点,且⊥轴.过点的直线与线段交于点,与轴交于点.若直线经过的中点,则的离心率为(). . . ..已知双曲线(>>)的右焦点为,点在双曲线的渐近线上,△是边长为的等边三角形(为原点),则双曲线的方程为().(全国Ⅱ,文)已知是椭圆的两个焦点是上的一点,若⊥,且∠°,则的离心率为()..设双曲线(>>)的右焦点为,过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点,与双曲线的一个交点为,设为坐标原点.若(∈),且,则该双曲线的离心率为().....已知双曲线(>>).矩形的四个顶点在上的中点为的两个焦点,且,则的离心率是..已知直线和,抛物线是上一动点,则点到与距离之和的最小值为..如图,已知抛物线,圆(),过点()(>)作不过原点的直线分别与抛物线和圆相切为切点.()求点的坐标;()求△的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点..如图,动点与两定点()()构成△,且直线的斜率之积为,设动点的轨迹为.()求轨迹的方程;()设直线(>)与轴相交于点,与轨迹相交于点,且<,求的取值范围..设椭圆(>)的右焦点为,右顶点为.已知,其中为原点为椭圆的离心率.()求椭圆的方程;()设过点的直线与椭圆交于点(不在轴上),垂直于的直线与交于点,与轴交于点.若⊥,且∠∠,求直线的斜率.二、思维提升训练.(全国Ⅲ,文)已知双曲线(>>)的离心率为,则点()到的渐近线的距离为()...设抛物线(>)的焦点为,点在上.若以为直径的圆过点(),则的方程为()或或或或.在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点,其焦点是,则四边形的面积是..在平面直角坐标系中,双曲线(>>)的右支与焦点为的抛物线(>)交于两点,若,则该双曲线的渐近线方程为..已知圆:(),点(),点是圆上的动点,线段的垂直平分线与线段交于点.()求动点的轨迹的方程;。
2019年高考数学(文科)二轮专题突破课件：专题六 直线、圆、圆锥曲线 6.3 .pdf
所以∠ABM=∠ABN.
综上,∠ABM=∠ABN.
考情分析
高频考点
核心归纳
-8-
命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
(2)证明
BC 的中点坐标为
������2 2
,
1 2
,
可得 BC 的中垂线方程为 y-12=x2
������-
������2 2
.
由(1)可得 x1+x2=-m,
所以 AB 的中垂线方程为 x=-���2���.联立
������
=
-
������ 2
������ 2 -
������ 2
2
=3,
即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
考情分析
高频考点
核心归纳
-9-
命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
题后反思1.求解定点和定值问题的基本思想是一致的,定值是证 明求解的一个量与参数无关,定点问题是求解的一个点(或几个点) 的坐标,使得方程的成立与参数值无关.解这类试题时要会合理选 择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使 用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解 题目标.当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中 要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题 解决.
考情分析
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2019年高考数学(文科)二轮专题突破训练：专题六直线、圆、圆锥曲线专题能力训练16Word版含答案
专题能力训练16椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.(2018全国Ⅰ,文4)已知椭圆C:=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()A.B.C.D.2.已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF 的面积为()A.B.C.D.3.已知O为坐标原点,F是椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点,P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A. B. C. D.4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=15.(2018全国Ⅱ,文11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()A.1-B.2-C. D.-16.设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的一个交点为P,设O为坐标原点.若=m+n(m,n∈R),且mn=,则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.7.已知双曲线E:=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.8.已知直线l1:x-y+5=0和l2:x+4=0,抛物线C:y2=16x,P是C上一动点,则点P到l1与l2距离之和的最小值为.9.如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求△PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.10.如图,动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=x+m(m>0)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|<|PR|,求的取值范围. 11.设椭圆=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.二、思维提升训练12.(2018全国Ⅲ,文10)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.B.2 C.D.213.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x14.在平面直角坐标系xOy中,双曲线-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.15.在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.16.已知圆C:(x+1)2+y2=20,点B(1,0),点A是圆C上的动点,线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P.(1)求动点P的轨迹C1的方程;(2)设M,N为抛物线C2:y=x2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P,Q两点,求△MPQ面积的最大值.17.已知动点C是椭圆Ω:+y2=1(a>1)上的任意一点,AB是圆G:x2+(y-2)2=的一条直径(A,B是端点),的最大值是.(1)求椭圆Ω的方程.(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P,Q两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.专题能力训练16椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.C解析因为椭圆C的一个焦点为(2,0),所以其焦点在x轴上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=2,所以椭圆C的离心率e=.2.D解析由c2=a2+b2=4,得c=2,所以点F的坐标为(2,0).将x=2代入x2-=1,得y=±3,所以PF=3.又点A的坐标是(1,3),故△APF的面积为×3×(2-1)=,故选D.3.A解析由题意知,A(-a,0),B(a,0),根据对称性,不妨令P,设l:x=my-a,∴M,E.∴直线BM:y=-(x-a).又直线BM经过OE的中点,∴,解得a=3c.∴e=,故选A.4.D解析∵双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,∴解得所以双曲线的方程为x2-=1.故选D.5.D解析不妨设椭圆方程为=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|+|PF2|=2a.∵∠F2PF1=90°,∠PF2F1=60°,∴c+c=2a,即(+1)c=2a.∴e=-1.6.C解析在y=±x中令x=c,得A,B,在双曲线=1中令x=c得P.当点P的坐标为时,由=m+n,得由(舍去),∴,∴,∴e=.同理,当点P的坐标为时,e=.故该双曲线的离心率为.7. 2解析由题意不妨设AB=3,则BC=2.设AB,CD的中点分别为M,N,如图,则在Rt△BMN中,MN=2,故BN=.由双曲线的定义可得2a=BN-BM==1,而2c=MN=2,所以双曲线的离心率e==2.8.解析在同一坐标系中画出直线l1,l2和曲线C如图.P是C上任意一点,由抛物线的定义知,|PF|=d2,∴d1+d2=d1+|PF|,显然当PF⊥l1,即d1+d2=|FM|时,距离之和取到最小值.∵|FM|=,∴所求最小值为.9.解(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),由消去y,整理得:x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故解得因此,点B的坐标为.(2)由(1)知|AP|=t·和直线PA的方程tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=.设△PAB的面积为S(t),所以S(t)=|AP|·d=.10.解(1)设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在.于是x≠1,且x≠-1.此时,MA的斜率为,MB的斜率为.由题意,有=4.整理,得4x2-y2-4=0.故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠±1).(2)由消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0.①对于方程①,其判别式Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0,而当1或-1为方程①的根时,m的值为-1或1.结合题设(m>0)可知,m>0,且m≠1.设Q,R的坐标分别为(x Q,y Q),(x R,y R),则x Q,x R为方程①的两根,因为|PQ|<|PR|,所以|x Q|<|x R|.因为x Q=,x R=,且Q,R在同一条直线上,所以=1+.此时>1,且≠2, 所以1<1+<3,且1+,所以1<<3,且.综上所述,的取值范围是.11.解(1)设F(c,0).由,即,可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为=1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(x B,y B),由方程组消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=,由题意得x B=,从而y B=.由(1)知,F(1,0),设H(0,y H),有=(-1,y H),.由BF⊥HF,得=0,所以=0,解得y H=.因此直线MH的方程为y=-x+.设M(x M,y M),由方程组消去y,解得x M=.在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔|MA|=|MO|,即(x M-2)2+,化简得x M=1,即=1,解得k=-,或k=.所以,直线l的斜率为-.二、思维提升训练12.D解析∵双曲线C的离心率为,∴e=,即c=a,a=b.∴其渐近线方程为y=±x,则(4,0)到C的渐近线距离d==2.13.C解析设点M的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+=5,则x0=5-.因为点F的坐标为,所以以MF为直径的圆的方程为(x-x0)·+(y-y0)y=0.将x=0,y=2代入得px0+8-4y0=0,即-4y0+8=0,解得y0=4.由=2px0,得16=2p,解得p=2或p=8.所以C的方程为y2=4x或y2=16x.故选C.14.2解析该双曲线的右准线方程为x=,两条渐近线方程为y=±x,得P,Q,又c=,所以F1(-,0),F2(,0),四边形F1PF2Q的面积S=2=2.15.y=±x解析抛物线x2=2py的焦点F,准线方程为y=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=4·=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2==p,所以.所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.16.解(1)由已知可得,点P满足|PB|+|PC|=|AC|=2>2=|BC|,所以动点P的轨迹C1是一个椭圆,其中2a=2,2c=2.动点P的轨迹C1的方程为=1.(2)设N(t,t2),则PQ的方程为y-t2=2t(x-t)⇒y=2tx-t2.联立方程组消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,有而|PQ|=×|x1-x2|=,点M到PQ的高为h=,由S△MPQ=|PQ|h代入化简,得S△MPQ=,当且仅当t2=10时,S△MPQ可取最大值.17.解(1)设点C的坐标为(x,y),则+y2=1.连接CG,由,又G(0,2),=(-x,2-y),可得=x2+(y-2)2-=a(1-y2)+(y-2)2-=-(a-1)y2-4y+a+,其中y∈[-1,1].因为a>1,所以当y=≤-1,即1<a≤3时,取y=-1,得有最大值-(a-1)+4+a+,与条件矛盾;当y=>-1,即a>3时,的最大值是,由条件得,即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).综上所述,椭圆Ω的方程是+y2=1.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点坐标为(x0,y0),则满足=1,=1,两式相减,整理,得=-=-,从而直线PQ的方程为y-y0=-(x-x0).又右焦点F2的坐标是(2,0),将点F2的坐标代入PQ的方程得-y0=-(2-x0),因为直线l与x轴不垂直,所以2x0-=5>0,从而0<x0<2.假设在线段OF2上存在点M(m,0)(0<m<2),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,则线段PQ的垂直平分线必过点M,而线段PQ的垂直平分线方程是y-y0=(x-x0),将点M(m,0)代入得-y0=(m-x0),得m=x0,从而m∈.。
2019年高考数学(文科)二轮专题冲破操练专题六 直线圆圆锥曲线 专题能力操练15 Word版含答案
专题能力训练15 直线与圆一、能力突破训练1.圆(x+1)2+y 2=2的圆心到直线y=x+3的距离为( ) A .1 B .2 C .√2 D .2√22.已知三点A (1,0),B (0,√3),C (2,√3),则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A. B.√213C.2√53D.3.直线y=kx+3与圆(x-1)2+(y+2)2=4相交于M ,N 两点,若|MN|≥2√3,则实数k 的取值范围是( )A.(-∞,-125)B.(-∞,-125]C.(-∞,125)D.(-∞,125]4.过三点A (1,3),B (4,2),C (1,-7)的圆交y 轴于M ,N 两点,则|MN|=( ) A.2√6 B.8 C.4√6 D.105.(2018全国Ⅰ,文15)已知直线y=x+1与圆x 2+y 2+2y-3=0交于A ,B 两点,则|AB|= .6.已知a ∈R ,方程a 2x 2+(a+2)y 2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 .7.若直线x a +yb =1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b 的最小值为 .8.已知P 是抛物线y 2=4x 上的动点,过P 作抛物线准线的垂线,垂足为M ,N 是圆(x-2)2+(y-5)2=1上的动点,则|PM|+|PN|的最小值是 .9.在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为圆心的圆与直线x-√3y=4相切. (1)求☉O 的方程;(2)若☉O 上有两点M ,N 关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2√3,求直线MN 的方程;(3)设☉O 与x 轴相交于A ,B 两点,若圆内的动点P 使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围. 10.已知☉O :x 2+y 2=4,点A (√3,0),以线段AB 为直径的圆内切于☉O ,记点B 的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程;(2)直线AB 交☉O 于C ,D 两点,当B 为CD 的中点时,求直线AB 的方程.11.已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与☉C :(x-2)2+(y-3)2=1交于M ,N 两点. (1)求k 的取值范围;(2)若OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12,其中O 为坐标原点,求|MN|. 二、思维提升训练12.已知圆M :x 2+y 2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2.则圆M 与圆N :(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离13.(2018全国Ⅲ,文8)已知直线x+y+2=0分别与x 轴、y 轴交于A ,B 两点,点P 在圆(x-2)2+y 2=2上,则△ABP 面积的取值范围是( ) A .[2,6] B .[4,8] C .[√2,3√2] D .[2√2,3√2]14.在平面直角坐标系xOy 中,A (-12,0),B (0,6),点P 在圆O :x 2+y 2=50上.若PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20,则点P 的横坐标的取值范围是 .15.在平面直角坐标系中,当P (x ,y )不是原点时,定义P 的“伴随点”为P'(yx 2+y 2,-xx 2+y 2);当P 是原点时,定义P 的“伴随点”为它自身.现有下列命题:①若点A 的“伴随点”是点A',则点A'的“伴随点”是点A ; ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上;③若两点关于x 轴对称,则它们的“伴随点”关于y 轴对称; ④若三点在同一条直线上,则它们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 .(写出所有真命题的序号) 16.在平面直角坐标系xOy 中,已知☉C 1:(x+3)2+(y-1)2=4和☉C 2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线l 过点A (4,0),且被☉C 1截得的弦长为2√3,求直线l 的方程;(2)设P 为平面上的点,满足:存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2,它们分别与☉C 1和☉C 2相交,且直线l 1被☉C 1截得的弦长与直线l 2被☉C 2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P 的坐标. 17.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M :x 2+y 2-12x-14y+60=0及其上一点A (2,4). (1)设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线x=6上,求圆N 的标准方程; (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ,C 两点,且BC=OA ,求直线l 的方程;(3)设点T (t ,0)满足:存在圆M 上的两点P 和Q ,使得TA ⃗⃗⃗⃗⃗ +TP⃗⃗⃗⃗⃗ =TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求实数t 的取值范围. 专题能力训练15 直线与圆一、能力突破训练1.C 解析 由题意可知圆心坐标为(-1,0),故圆心到直线y=x+3的距离d=|-1-0+3|√2=√2,故选C .2.B 解析 由题意知,△ABC 外接圆的圆心是直线x=1与线段AB 垂直平分线的交点,设为P ,而线段AB 垂直平分线的方程为y-√32=√33(x -12),它与x=1联立得圆心P 坐标为(1,2√33),则|OP|=√12+(2√33)2=√213.3.B 解析 当|MN|=2√3时,在弦心距、半径和半弦长构成的直角三角形中,可知圆心(1,-2)到直线y=kx+3的距离为√4-(√3)2=1,即√1+k =1,解得k=-12.若使|MN|≥2√3,则k ≤-12.4.C 解析 设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,将点A ,B ,C 代入,得{D +3E +F +10=0,4D +2E +F +20=0,D -7E +F +50=0,解得{D =-2,E =4,F =-20.则圆的方程为x 2+y 2-2x+4y-20=0. 令x=0得y 2+4y-20=0,设M (0,y 1),N (0,y 2),则y 1,y 2是方程y 2+4y-20=0的两根,由根与系数的关系,得y 1+y 2=-4,y 1y 2=-20,故|MN|=|y 1-y 2|=√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=√16+80=4√6.5.2√2 解析 圆的方程可化为x 2+(y+1)2=4,故圆心C (0,-1),半径r=2,圆心到直线y=x+1的距离d=|0-(-1)+1|√2=√2,所以弦长|AB|=2√r 2-d 2=2√4-2=2√2.6.(-2,-4) 5 解析 由题意,可得a 2=a+2,解得a=-1或2.当a=-1时,方程为x 2+y 2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4),半径为5;当a=2时,方程为4x 2+4y 2+4x+8y+10=0,(x +1)2+(y+1)2=-不表示圆. 7.8 解析 ∵直线x a +yb =1过点(1,2),∴1a +2b =1.∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b )(1a +2b )=4+(b a +4a b )≥4+2√b a ·4ab =8. 当且仅当b=2a 时“=”成立.8.√26-1 解析 抛物线y 2=4x 的焦点为F (1,0),圆(x-2)2+(y-5)2=1的圆心为C (2,5),根据抛物线的定义可知点P 到准线的距离等于点P 到焦点的距离,进而推断出当P ,C ,F 三点共线时,点P 到点C 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小值为|FC|=√(2-1)2+(5-0)2=√26,故|PM|+|PN|的最小值是|FC|-1=√26-1.9.解 (1)依题意,☉O 的半径r 等于原点O 到直线x-√3y=4的距离,即r=√1+3=2.所以☉O 的方程为x 2+y 2=4. (2)由题意,可设直线MN 的方程为2x-y+m=0. 则圆心O 到直线MN 的距离d=√5.由垂径定理,得m 25+(√3)2=22,即m=±√5.所以直线MN 的方程为2x-y+√5=0或2x-y-√5=0. (3)设P (x ,y ),由题意得A (-2,0),B (2,0). 由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得√(x +2)2+y 2·√(x -2)2+y 2=x 2+y 2,即x 2-y 2=2.因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2-x ,-y )·(2-x ,-y )=2(y 2-1),且点P 在☉O 内,所以{x 2+y 2<4,x 2-y 2=2.由此得y 2<1.所以PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[-2,0). 10. 解 (1)设AB 的中点为M ,切点为N ,连接OM ,MN ,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+|AB|,即|AB|+2|OM|=4.取A 关于y 轴的对称点A',连接A'B ,则|A'B|=2|OM|, 所以|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4>|A'A|.所以点B 的轨迹是以A',A 为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=√3,b=1,故曲线Γ的方程为x 24+y 2=1. (2)因为B 为CD 的中点,所以OB ⊥CD , 则OB⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .设B (x 0,y 0), 则x 0(x 0-√3)+y 02=0.又x 024+y 02=1,解得x 0=3,y 0=±√23.则k OB =±√22,k AB =∓√2,则直线AB 的方程为y=±√2(x-√3),即√2x-y-√6=0或√2x+y-√6=0.11.解 (1)由题设,可知直线l 的方程为y=kx+1.因为l 与C 交于两点,所以√1+k <1.解得4-√73<k<4+√73.所以k 的取值范围为(4-√73,4+√73).(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1, 整理得(1+k 2)x 2-4(1+k )x+7=0. 所以x 1+x 2=4(1+k )1+k2,x 1x 2=71+k2.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2 =(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+1=4k (1+k )1+k2+8.由题设可得4k (1+k )1+k2+8=12,解得k=1,所以l 的方程为y=x+1.故圆心C 在l 上,所以|MN|=2.二、思维提升训练12.B 解析 圆M 的方程可化为x 2+(y-a )2=a 2,故其圆心为M (0,a ),半径R=a.所以圆心到直线x+y=0的距离d=√1+1=√22a.所以直线x+y=0被圆M 所截弦长为2√R 2-d 2=2√a 2-(√22a)2=√2a ,由题意可得√2a=2√2,故a=2. 圆N 的圆心N (1,1),半径r=1. 而|MN|=√(1-0)2+(1-2)2=√2, 显然R-r<|MN|<R+r ,所以两圆相交. 13. A 解析 设圆心到直线AB 的距离d=|2+0+2|√2=2√2. 点P 到直线AB 的距离为d'.易知d-r ≤d'≤d+r ,即√2≤d'≤3√2.又AB=2√2,∴S △ABP =12·|AB|·d'=√2d', ∴2≤S △ABP ≤6.14.[-5√2,1] 解析 设P (x ,y ),由PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20,易得x 2+y 2+12x-6y ≤20. 把x 2+y 2=50代入x 2+y 2+12x-6y ≤20得2x-y+5≤0.由{2x -y +5=0,x 2+y 2=50,可得{x =-5,y =-5或{x =1,y =7.由2x-y+5≤0表示的平面区域及P 点在圆上,可得点P 在圆弧EPF 上,所以点P 横坐标的取值范围为[-5√2,1].15.②③ 解析 对于①,若令P (1,1),则其伴随点为P'(12,-12),而P'(12,-12)的伴随点为(-1,-1),而不是P ,故①错误;对于②,令单位圆上点的坐标为P (cos x ,sin x ),其伴随点为P'(sin x ,-cos x )仍在单位圆上,所以②正确;③设A (x ,y )与B (x ,-y )为关于x 轴对称的两点,则A 的“伴随点”为A'(y x 2+y 2,-xx 2+y 2),B 点的伴随点为B'(-y x 2+y 2,-xx 2+y 2),A'与B'关于y 轴对称,故③正确;对于④,取直线l :y=1.设其“伴随曲线”为C ,其上任一点M (x ,y ),与其对应的直线l 上的点为N (t ,1).则由定义可知{x =1t 2+1, ①y =-tt 2+1,②①2+②2得x 2+y 2=1+(-t )2(t 2+1)2=11+t 2=x , 整理得x 2+y 2-x=0,显然不是一条直线. 故④错误.所以正确的序号为②③.16.解 (1)设直线l 的方程为y=k (x-4),即kx-y-4k=0,由垂径定理,得圆心C 1到直线l 的距离d=√22-(2√32)2=1.由点到直线距离公式,得√k +1=1,化简,得24k 2+7k=0,解得k=0或k=-724.当k=0时,直线l 的方程为y=0;当k=-724时,直线l 的方程为y=-724(x-4),即7x+24y-28=0.故所求直线l 的方程为y=0或7x+24y-28=0.(2)设点P 坐标为(m ,n ),直线l 1,l 2的方程分别为y-n=k (x-m )和y-n=-1(x-m ),即kx-y+n-km=0,-1k x-y+n+1k m=0.∵直线l 1被☉C 1截得的弦长与直线l 2被☉C 2截得的弦长相等,两圆半径相等, ∴由垂径定理得圆心C 1到直线l 1与圆心C 2到直线l 2的距离相等.∴|-3k -1+n -km |√k +1=|-4k -5+n+1km |√1k2+1,化简,得(2-m-n )k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5. ∵关于k 的方程有无穷多解,∴{2-m -n =0,m -n -3=0或{m -n +8=0,m +n -5=0.解得{m =52,n =-12或{m =-32,n =132. 故点P 坐标为(52,-12)或(-32,132).17.解 圆M 的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M (6,7),半径为5.(1)由圆心N 在直线x=6上,可设N (6,y 0). 因为圆N 与x 轴相切,与圆M 外切, 所以0<y 0<7,于是圆N 的半径为y 0, 从而7-y 0=5+y 0,解得y 0=1.因此,圆N 的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l ∥OA ,所以直线l 的斜率为4-02-0=2.设直线l 的方程为y=2x+m ,即2x-y+m=0, 则圆心M 到直线l 的距离 d=|2×6-7+m |√5=|m+5|√5. 因为BC=OA=√22+42=2√5, 而MC 2=d 2+(BC 2)2, 所以25=(m+5)25+5,解得m=5或m=-15.故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. (3)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).因为A (2,4),T (t ,0),TA⃗⃗⃗⃗⃗ +TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以{x 2=x 1+2-t ,y 2=y 1+4. ①因为点Q 在圆M 上, 所以(x 2-6)2+(y 2-7)2=25. ② 将①代入②,得(x 1-t-4)2+(y 1-3)2=25.于是点P (x 1,y 1)既在圆M 上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上, 从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点, 所以5-5≤√[(t +4)-6]2+(3-7)2≤5+5, 解得2-2√21≤t ≤2+2√21.因此,实数t 的取值范围是[2-2√21,2+2√21].。
2019年高考数学(文科)二轮专题突破训练：专题六 直线、圆、圆锥曲线 专题能力训练15
取 A 关于 y 轴的对称点 A',连接 A'B,则|A'B|=2|OM|, 所以|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4>|A'A|.
������2
所以点 B 的轨迹是以 A',A 为焦点,长轴长为 4 的椭圆.其中,a=2,c= 3,b=1,故曲线 Γ 的方程为 4 +y2=1.
(2)因为 B 为 CD 的中点,所以 OB⊥CD,
二、思维提升训练 12.已知圆 M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线 x+y=0 所得线段的长度是 2 2.则圆 M 与圆 N:(x-1)2+(y-1)2=1 的位置
关系是( )
A.内切
B.相交
C.外切
D.相离
13.(2018 全国Ⅲ,文 8)已知直线 x+y+2=0 分别与 x 轴、y 轴交于 A,B 两点,点 P 在圆(x-2)2+y2=2 上,则△ABP
则������������ ⊥ ������������.设 B(x0,y0),
则 x0(x0- 3)+������20=0.
������20 又4
+
������20 =1,
2
2
解得 x0= 3,y0=± 3. 2
则 kOB=± 2 ,kAB=∓ 2,则直线 AB 的方程为 y=± 2(x- 3),即 2x-y- 6=0 或 2x+y- 6=0.
(3)设 P(x,y),由题意得 A(-2,0),B(2,0).
由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列, 得 (������ + 2)2 + ������2· (������ - 2)2 + ������2=x2+y2, 即 x2-y2=2.