旋转经典题型
23.1 图形的旋转(9大题型)
23.1 图形的旋转旋转的概念将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角.注意：旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度；图形的旋转不改变图形的形状、大小.题型1：旋转中的概念及对应元素1.下列运动中，属于旋转运动的是（ ）A．小明向北走了4 米B．一物体从高空坠下C．电梯从1 楼到12 楼D．小明在荡秋千【答案】D【解析】【解答】解：A. 小明向北走了 4 米，是平移，不属于旋转运动，A不合题意；B. 一物体从高空坠下，是平移，不属于旋转运动，B不合题意；C. 电梯从1 楼到12 楼，是平移，不属于旋转运动，C不合题意；D. 小明在荡秋千，是旋转运动，D符合题意．故答案为：D．【分析】根据图形旋转的定义求解即可。
【变式1-1】如图，线段AB绕着点O旋转一定的角度得线段A'B'，下列结论错误的是（ ）A．AB＝A'B'B．∠AOA'＝∠BOB'C．OB＝OB'D．∠AOB'＝100°【答案】D【解析】【解答】∵线段AB绕着点O旋转一定的角度得线段A'B'，∴AB＝A′B′，∠AOA′＝BOB′，OB＝OB′，故A，B，C选项正确，∵∠AOB和∠BOB′的度数不确定，∴∠AOB′≠100°，故D选项错误.故答案为：D.【分析】由旋转的性质可得AB＝A′B′，∠AOA′＝BOB′，OB＝OB′，据此判断.【变式1-2】如图（1）中，△和△都是等腰直角三角形，∠和∠都是直角，点在上，△绕着点经过逆时针旋转后能够与△重合，再将图（1）作为“基本图形”绕着点经过逆时针旋转得到图（2）.两次旋转的角度分别为（ ）A．45°，90°B．90°，45°C．60°，30°D．30°，60°【答案】A【解析】根据图1可知，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠CAB=45°，即△ABC绕点A逆时针旋转45°可到△ADE；如右图，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠DAE=∠CAB=45°，∴∠FAB=∠DAE+∠CAB=90°，即图1可以逆时针连续旋转90°得到图2．故选A．旋转的性质一个图形和它经过旋转所得到的图形中：(1)对应点到旋转中心的距离相等； (2)两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等. 注意：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.题型2：旋转的性质及旋转中心的确定2.如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是( )A．(1，1)B．(0，1)C．(-1，1)D．(2，0)【答案】B【解析】【解答】解：如图，连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线，两线的交点即为旋转中心O′.其坐标是(0，1).故答案为：B.【分析】连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线，根据旋转的性质即可求解。
初中数学旋转题型
初中数学旋转题型
在初中数学中，旋转是一个重要的概念和技能。
掌握旋转的原理和方法，可以帮助我们解决很多几何问题。
下面介绍一些初中数学中常见的旋转题型。
1. 点的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个点P(x, y)，绕原点旋转θ度，求旋转后的点坐标。
解法：设旋转后的点为P'(x', y')，则有：
x' = x*cosθ - y*sinθ
y' = x*sinθ + y*cosθ
其中，cosθ和sinθ可以通过三角函数表查找。
2. 图形的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个图形，绕原点旋转θ度，求旋转后的图形。
解法：将图形上的每个点都按照点的旋转方法进行旋转，然后连接这些点，就得到了旋转后的图形。
3. 对称图形的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个对称图形，绕对称轴旋转θ度，求旋转后的图形。
解法：对称轴不变，将图形上的每个点都按照点的旋转方法进行旋转，然后连接这些点，就得到了旋转后的图形。
4. 正方形的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个正方形，绕其中心旋转θ度，求旋转后的正方形。
解法：连接正方形的对角线，得到两个对称轴，分别将正方形上的每个点按照点的旋转方法进行旋转，然后连接这些点，就得到了旋转后的正方形。
5. 圆的旋转
在平面直角坐标系中，给定一个圆，绕其中心旋转θ度，求旋转后的圆。
解法：圆上每个点到圆心的距离不变，因此可以先求出旋转后的圆心坐标，然后将圆心和圆上的每个点都按照点的旋转方法进行旋转，就得到了旋转后的圆。
以上就是初中数学中常见的旋转题型，希望能对大家的学习有所帮助。
(完整版)旋转题型汇总,推荐文档
二、旋转图形的做法1. 在平面直角坐标系中，等腰Rt△OAB斜边OB在y轴上，且OB=4．（1）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的三角形△OA′B′；（2）求点A在旋转过程中经过的路径长．2. 如图，在8×11的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点处．（1）画出△ABC绕点Ａ顺时针方向旋转90°得到的△AB′C′；（2）求点B运动到点B′所经过的路径的长．3．已知，如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，0）， B（1，0），C（2，2）．以A为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△AB′C′．（1）画出△AB′C′；（2）点B′的坐标为________；（3）求点C旋转到C′所经过的路线长．4. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2.（1）用尺规作图，作出△ABC绕点A逆时针旋转60°后得到的△AB1C1（不写画法，保留画图痕迹）；结论：__________________为所求。
（2）在（1）的条件下，连接B1C，求B1C的长。
5．如图，在8×8正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．将格点△ABC向下平移4个单位长度，得到△A’B’C’，再把△A’B’C’绕点O顺时针旋转90°，得到△A”B”C”，请你画出△A’B’C’和△A”B”C”．6．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-1，2),B(-3，4),C(-2，9).(1)画出△ABC；(2)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB1C1，并求出CC1的长.三、对称中心的找法1．已知：如图，四边形ABCD与四边形EFGH成中心对称，试画出它们的对称中心，并简要说明理由．四、中心对称图形的做法1．如图，在正方形网络中，已知格点△ABC，请画出ABC△关于点B成中心对称的△A’BC’建议收藏下载本文，以便随时学习！建议收藏下载本文，以便随时学习！建议收藏下载本文，以便随时学习！4.如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．（1）探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．（2）若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的关系，在图②中画出图形，并说明理由．5. 如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC边上点，且∠EAF=45°．求证：BE2+CF2=EF2.．建议收藏下载本文，以便随时学习！建议收藏下载本文，以便随时学习！我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙3. 如图17，正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点．（1）若∠EAF=45º．求证：EF=BE+DF．（2）若△AEF绕A点旋转，保持∠EAF=45º，问△CEF的周长是否随△AEF位置的变化而变化？（3）已知正方形ABCD的边长为1，如果△CEF的周长为2．求∠EAF的度数．八、应用1. 已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN 绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当∠MAN 绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．2. （1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45 °，求证：EF＝BE＋FD．（2)如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．5. 已知Rt△ABC中,∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．（Ⅰ）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图①，求证：MN2=AM2+BN2；思路点拨：考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN=BN,∠MDN=90°就可以了．请你完成证明过程：（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．8. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，求证：AM=AD.九、中心对称图形的认识1. 下列图形是中心对称图形的是2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是3．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )．A．等边三角形 B．菱形 C．等腰梯形 D．平行四边形。
初中几何之旋转最值
旋转最值题型一、等量旋转例1、阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是____________例2、△ABC 中，AB=4，AC=2，以BC 为边在△ABC 外作正方形BCDE，BD、CE 交于点O，则线段AO 的最大值为___________例3、已知线段AB，点C是平面内一动点，且AB＝AC，连接BC，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，AD，AD交BC于点E。
若AB＝2，当AD最长时，则DE的长为____________题型二、放缩旋转例4、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2BC，AD=2，BD=4，连接CD，则CD长的最大值是_____________例5、如图，矩形ABCD，E为线段AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形CEFG，且ABBC=CE CG =12，AB=5，连接BE，BF，则BE+√55BF的最小值为_____________例6、已知正方形ABCD，E为边AB上一点，AE=1，AB=4，P是平面上一点，PE=1，将线段PB绕P点逆时针旋转90°得线段PQ，则CQ的最小值为_______________课后作业1、直线l上有两个动点A. B,直线l外有一点O,连接OA,OB, OA,OB长分别为2√2、4，以线段AB为边在l的另一侧作正方形ABCD，连接OD.随着动点A. B的移动，线段OD的长也会发生变化，在变化过程中，线段OD长的最大值是___________.2、如图，已知圆O的半径为10，OA=25，P为圆上的动点，∠P=30°，∠B=90°，在P的运动过程中，则OB的最小值___________3、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为△ABC外一点，连接BD、AD、CD，∠ADC＝60°，BD＝5，DC＝4，则AD＝________.。
旋转中三种几何模型十三类题型(解析版)
旋转中三种几何模型十三类题型第一部分【模型图形归纳与题型目录】【模型1】等边三角形旋转模型在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC重合。
经过这样旋转变化，将图(1-1-a)中的P A、PB、PC三条线段集中于图(1-1-b)中的一个ΔP/CP中，此时ΔP/CP也为正三角形。
【模型2】正方形旋转模型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合。
经过旋转变化，将图(2-1-a)中的P A、PB、PC三条线段集中于图(2-1-b)中的ΔCPP/中，此时ΔCPP/为等腰直角三角形。
【模型3】等腰直角三角形旋转模型在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=900，P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。
经过这样旋转变化，在图(3-1-b)中的一个ΔP/CP为等腰直角三角形。
模型类型与题型目录【模型1】等边三角形旋转模型【题型1】利用等边三角形旋转模型求线段长....................................2；【题型2】利用等边三角形旋转模型求角度......................................4；【题型3】利用等边三角形旋转模型求面积......................................5；【题型4】利用等边三角形旋转模型进行推理....................................6；【模型2】正方形旋转模型【题型5】利用正方形的旋转模型求角度.......................................8；【题型6】利用正方形的旋转模型求线段长.....................................10；【题型7】利用正方形的旋转模型求面积.......................................12；【题型8】利用正方形的旋转模型进行推理.....................................13；【模型3】等腰直角三角形旋转模型【题型9】利用等腰直角三角形的旋转模型求线段长.............................16；【题型10】利用等腰直角三角形的旋转模型求角度..............................17；【题型11】利用等腰直角三角形的旋转模型求面积..............................18；【题型12】利用等腰直角三角形的旋转模型进行推理............................19；【题型13】拓展与延伸......................................................22.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】利用等边三角形旋转模型求线段长1.(2024·重庆沙坪坝·模拟预测)如图，△ABC，△CDE都是等边三角形，将△CDE绕点C旋转，使得点A，D，E在同一直线上，连接BE．若BE=2，AE=7，则CD的长是．【答案】5【分析】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据题意证明△CBE≌△CAD(SAS)，即可求解．解：∵△ABC，△CDE都是等边三角形，∴BC=AC,CE=DC，∠ACB=∠DCE=60°，∵∠ACD+∠DCB=∠ACB=60°，∠DCB+∠BCE=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE，在△CBE和△CAD中，BC =AC∠BCE =∠ACD CE =DC，∴△CBE ≌△CAD (SAS )，∴BE =AD ，∵BE =2，AE =7，∴BE =AD =2，∴DE =AE -AD =7-2=5，∴CD =5．故答案为：5．2.(2024·河南驻马店·三模)如图，在等边三角形ABC 中，AB =2，点P 在AB 上，且BP =32，将BP 绕点B 在平面内旋转，点P 的对应点为点Q ，连接AQ ，CQ ．当QA =QC 时，AQ 的长为．【答案】72或312【分析】延长BQ 1交AC 于点H ，由等边三角形的性质可得AB =BC =AC =2，再根据线段垂直平分线的判定可得AH =CH =1，利用勾股定理求得BH =3，根据旋转的性质分两种情况讨论：当点Q 在线段BH 上时；当点Q 在线段HB 的延长线上时，求出Q 1H ，Q 2H 的值，再利用勾股定理求解即可．解：如图，延长BQ 1交AC 于点H ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB =BC =AC =2，又∵QA =QC ，∴BQ 1垂直平分AC ，∴AH =CH =1，∴BH =22-12=3，∵将BP 绕点B 在平面内旋转，点P 的对应点为点Q ，∴BP =BQ =32，当点Q 1在线段BH 上时，Q 1H =32，∴AQ 1=AH 2+Q 1H 2=34+1=72，当点Q 在线段HB 的延长线上时，Q 2H =332，∴AQ 2=AH 2+Q 2H 2=274+1=312，故答案为：72或312．【点拨】本题考查等边三角形的性质、线段垂直平分线的判定、勾股定理、旋转的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．【题型2】利用等边三角形旋转模型求角度3.(23-24七年级下·海南海口·期末)如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上任意一点(与点B、C不重合)，△ADC经顺时针旋转后与△AEB重合．连接ED，则∠ADE=度；设∠BAD=x°，则∠AEB的度数为度(用含有x的代数式表示)．【答案】60x+60【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，图形旋转的性质，三角形内角和定理、外角和定理的运用，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质，旋转的性质可得AE=AD，∠EAD=60°，可判定△AED是等边三角形，根据∠ADC=∠AEB，及三角形外角的性质即可求解．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ABC=∠BCA=∠BAC=60°，∵△ADC旋转与△AEB重合，∴AE=AD，∠EAD=60°，∴△AED是等边三角形，∴∠ADE=60°；∵△ADC旋转后与△AEB重合，∴∠AEB=∠ADC，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，在△ABD中，∠ADC是外角，∴∠ADC=∠BAD+∠ABD=x+60，∴∠AEB=∠ADC=x+60，故答案为：60，x+60．4.(23-24八年级下·贵州毕节·期末)如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段PB绕点B沿顺时针方向旋转60°得到线段BP ，连接CP ，PP ．若PB=3，PC=4，P A=5，则∠BPC的度数是．【答案】150°/150度【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理的运用，掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理逆定理的计算是解题的关键．根据等边三角形，旋转的性质可证△BPP 是等边三角形，可得∠ABP =∠CBP ，由此可证△ABP ≌△CBP ，根据勾股定理逆定理可得△CPP 是直角三角形，结合∠BPC =∠CPP +∠BPP 即可求解．解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =BC =AC ，ABC =∠ACB =∠BAC =60°，∴∠ABP +∠PBC =60°，∵PB 绕点B 旋转60°得P B ，∴PB =P B ，∠PBP =∠PBC +∠CBP =60°，∴△BPP 是等边三角形，∠BPP =∠BP P =∠PBP =60°，∴∠ABP =∠CBP ，在△ABP ，△CBP 中，AB =CB∠ABP =∠CBP BP =BP，∴△ABP ≌△CBP SAS ，∴AP =CP =5，且PP =PB =P B =3，CP =4，∵CP 2=52=25，CP 2=42=16，PP 2=32=9，即PP 2+CP 2=CP 2，∴△CPP 是直角三角形，∠CPP =90°，∴∠BPC =∠CPP +∠BPP =90+60=150°，故答案为：150°．【题型3】利用等边三角形旋转模型求面积5.(2024·广东河源·一模)等边三角形ABC 的边长为2，将该三角形绕顶点A 在平面内旋转30°，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为()A.6-33B.6-32C.32D.34【答案】A【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得∠BAD =30°，可得AD ⊥CD ，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求CD =1，AD =3，由三角形的面积公式可求解．解：如图，设AB 与BC 的交点为D ，∵将该三角形绕顶点A 在平面内旋转30°，∴∠BAD =30°=∠CAD ，∠B =60°=∠B ，∴AD ⊥CD ，AF ⊥B C ，∴BD =CD =1=BF =C F ，AD =3CD =3=AF ，∴S △ACD =12×CD ⋅AD =12×1×3=32，∵CF =AC -AF =2-3，∴EF =23-3，∴S △EFC =12×(2-3)(23-3)=73-122，∴旋转后的图形与原图形重叠部分的面积=32-73-122=6-33，故选：A 6.(21-22九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习)如图，△ABC 是等边三角形，点P 在△ABC 内，P A =2，将△P AB 绕点A 逆时针旋转得到△QAC ，则△APQ 的面积等于()A.5B.6C.3D.23【答案】C【分析】根据等边三角形的性质推出AC =AB ，∠CAB =60°，根据旋转的性质得出△CQA ≅△BP A ，推出AQ =AP ，∠CAQ =∠BAP ，求出∠P AQ =60°，得出△APQ 是等边三角形，即可求出答案．解：∵△ABC 是等边三角形，∴AC =AB ，∠CAB =60°，∵将△P AB 绕点A 逆时针旋转得到△QAC∴△CQA ≅△BP A ，∴AQ =AP ，∠CAQ =∠BAP ，∴∠CAB =∠CAP +∠BAP =∠CAP +∠CAQ =60°，即∠P AQ =60°，∴△APQ 是等边三角形，∴QP =P A =2，过点Q 作QE ⊥AP 于点E ，如图，则PE =12AP =1，由勾股定理得，QE =QP 2-PE 2=3∴△APQ 的面积=12AP ×QE =12×2×3=3故选：C ．【点拨】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，关键是得出△APQ 是等边三角形，注意“有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的对应边相等，每个角都等于60°．【题型4】利用等边三角形旋转模型进行推理7.(2024九年级·全国·竞赛)如图，在等边△ABC 中，点D 为BC 上一点，连接AD ，将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转60°得到△ACE ，连接DE ，若AB =10cm ,AD =8cm ，则下列结论错误的是()A.∠CDE=∠ADBB.CE∥ABC.△CDE的周长是18cmD.△ADE是等边三角形【答案】A【分析】根据等边三角形得性质得AB=AC和∠B=60°，由旋转的性质得∠DAE=60°和AD=AE，则△ADE为等边三角形，则∠ADE=60°，结合三角形外角定理得∠ADC=∠B+∠BAD和AB>BD，可判定∠ADB>∠EDC，由等边三角形和旋转得∠BAC=∠ACE，可判定CE∥AB，由旋转得BD=CE，等边三角形的性质得DE=AD，可得C△CDE=DE+EC+CD=AD+BC．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠B=60°，∵△ABD绕点A按逆时针方向旋转60°得到△ACE，∴∠DAE=60°，AD=AE，∴△ADE为等边三角形，则∠ADE=60°，∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，即∠EDC=∠BAD，∵AB>BD，∴∠ADB>∠BAD，则∠ADB>∠EDC，故A错误；∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠B=60°，∵△ABD绕点A按逆时针方向旋转60°得到△ACE，∴∠ACE=∠B=60°，∴∠BAC=∠ACE，则CE∥AB，故B正确；∵△ABD绕点A按逆时针方向旋转60°得到△ACE，∴BD=CE，∵△ADE为等边三角形，∴DE=AD，∵AB=BC=10cm,AD=8cm，∴C△CDE=DE+EC+CD=AD+BD+CD=AD+BC=18cm，故C正确；∵△ABD绕点A按逆时针方向旋转60°得到△ACE，∴∠DAE=60°，AD=AE，∴△ADE为等边三角形，故D正确；故选：A．【点拨】本题主要考查等边三角形的判定和性质、旋转的性质、三角形外角定理和平行线的判定，解题的关键是熟悉等边三角形的性质和旋转的性质．8.(23-24八年级上·山东济宁·期末)如图，已知△ABE，∠ABE=120°，将△ABE绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接AC，ED，AE和CD交于点P．则下列结论中正确的是()A.∠APC=30°B.AC与BE不平行C.△BDE可以看作是△ABC平移而成的D.△ABC和△BDE都是等边三角形【答案】D【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，平移的性质，熟练掌握旋转的性质，以及等边三角形的判定与性质是解题的关键．设AE与BC相交于点F，根据旋转可得：∠ABC=∠DBE=60°,△ABE≌△CBD，从而可得∠BAE=∠BCD,BA=BC,BE=BD，进而可得△ABC和△BED 都是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得∠BAC=60°，从而可得∠BAC=∠DBE=60°，进而可得AC∥BE，再利用三角形内角和定理，以及对顶角相等可得∠APC=∠ABC=60°，最后根据AB≠BD，可得△ABC和△BED不全等，从而利用平移的性质可得△BDE不可以看作是△ABC平移而成的，即可解答.解：如图:设AE与BC相交于点F，由旋转得:∠ABC=∠DBE=60°,△ABE≌△CBD，∴∠BAE=∠BCD,BA=BC,BE=BD，∴△ABC和△BED都是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠BAC=∠DBE=60°，∴AC∥BE,∵∠AFB=∠CFP,∠APC=180°-∠BCD-∠CFP,∠ABC=180°-∠BAE-∠AFB，∴∠APC=∠ABC=60°，∵AB≠BD，∴△ABC和△BED不全等,∴△BDE不可以看作是△ABC平移而成的,故A、B、C不符合题意，D符合题意，故选:D.【题型5】利用正方形的旋转模型求角度9.(22-23八年级下·江苏无锡·期中)如图，已知正方形ABCD，P是正方形ABCD内一点．若P A=2，PB=2，PC=10，则∠APB的度数为°；△PBC的面积为．【答案】1353【分析】将△ABP 绕点B 顺时针旋转90°，使得AB 与BC 重合，根据旋转的性质可得△BPP 是等腰直角三角形，然后求出PP ′，再根据勾股定理逆定理判定出△PP C 是直角三角形，然后求出∠BP C 的度数，再根据旋转的性质可得∠APB =∠BP C ，过点B 作BH ⊥PP ，垂足为H ，过点C 作CG ⊥BP ，垂足为G ，证明△BHP 是等腰直角三角形，求出PH ，进而求出AB ，易得△BCP 是等腰三角形，推出BG =PG =1，求出CG ，即可求解．解：如图，将△ABP 绕点B 顺时针旋转90°，使得AB 与BC 重合，则P C =P A =2,△BPP 是等腰直角三角形，∵PB =2，∴PP =2PB =22，在△PP C 中，PP 2+P C 2=22 2+2 2=10，PC 2=10 2=10，∴PP 2+P C 2=PC 2，∴△PP C 是直角三角形，∴∠BP C =∠BP P +∠PP C =45°+90°=135°∵△CBP 是△ABP 绕点B 顺时针旋转90°得到，∴∠APB =∠BP C =135°；∵BP =BP ，∠PBP =90°，∴∠BPP =45°，∴∠APB +∠BPP =180°，∴A ,P ,P 三点共线，过点B 作BH ⊥PP ，垂足为H ，过点C 作CG ⊥BP ，垂足为G ，∵△BPP 是等腰直角三角形，∠BHP =90°,∠BPP =45°，∴△BHP 是等腰直角三角形，∴BH =PH ，∵BP =2，∴BH =PH =2，∴AH =AP +PH =22，∴AB =BH 2+AH 2=10，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =AB =10，∴PC =BC ，∴△BCP 是等腰三角形，∴BG =PG =12BP =1，∴CG =BC 2-BG 2=3，∴S△BCP =12BP ⋅CG =3，故答案为：135，3．【点拨】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理逆反定理，正方形性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握性质定理是本题关键．10.(23-24八年级下·广东江门·期中)如图，P为正方形ABCD内一点，P A=2，PB=4，PC=6，则∠APB=．【答案】135°/135度【分析】此题考查了旋转的性质及勾股定理的逆定理，将△APB绕B点顺时针旋转90°并连接PE，构造两个直角三角形：Rt△PBE和Rt△PCE，利用勾股定理逆定理解答即可．解：将△APB绕B点顺时针旋转90°并连接PE，∵将△APB绕B点顺时针旋转90°，得△BEC，∴△BEC≌△BP A，∠APB=∠BEC，∴△BEP为等腰直角三角形，∴∠BEP=45°，∵PB=4，∴PE=42，∵PC=6，CE=P A=2，∴PC2=PE2+CE2，∴∠PEC=90°，∴∠APB=∠BEC=∠BEP+∠PEC=45°+90°=135°．故答案为：135°．【题型6】利用正方形的旋转模型求线段长11.(22-23九年级上·浙江台州·期中)如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG，连接CF，则CF的长是()A.2B.1.5C.3D.32-3【答案】A【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质与判定，连接AC、AF，证明△ACF为等边三角形，求得AC 便可得出结果．解：连接AC 、AF ，由旋转性质得，AC =AF ，∠CAF =60°，∴△ACF 为等边三角形，∴AC =CF ，∵边长为1的正方形ABCD ，∴AB =BC =1，∴AC =AB 2+BC 2=2，∴CF =AC =2故选：A ．12.(23-24九年级上·湖北武汉·期末)如图，边长为3的正方形ABCD 绕点C 顺时针旋转30°后得到正方形EFCG ，EF 交AD 于点H ，则AH 的长是．【答案】3-1【分析】本题考查了旋转的性质，考查了正方形的性质.连接CH ，如图，根据旋转的性质得∠DCG =30°,∠CFH =∠B =90°,CF =CD =3,再根据“HL ”证明△CHF ≌△CHD ,则∠HCF =∠HCD =30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出DH 即可得到AH 的长.解：连接CH ,如图,∵边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG ，∴∠DCG =30°,∠CFH =∠B =90°,CF =CD =3,∴∠DCF =60°，在Rt △CHF 和Rt △CHD 中CH =CHCF =CD ，∴△CHF ≌△CHD ，∴∠HCF =∠HCD ，∵∠HCF +∠HCD =∠DCF ，∴∠HCF =∠HCD =30°在Rt △CDH 中，∵∠DCH =30°，∴DH =33CD =33×3=1，∴AH =3-1，故答案为3-1．【题型7】利用正方形的旋转模型求面积13.(24-25九年级上·全国·假期作业)如图，正方形ABCD 的边长为1；将其绕顶点C 按逆时针方向旋转一定角度到CEFG 的位置，使得点B 落在对角线CF 上，则阴影部分的面积是()A.14B.2-2C.2-1D.12【答案】C【分析】本题考查了正方形的性质及旋转的性质，等腰三角形的判定；依据△BFH 、△CEF 为等腰直角三角形，即可得到阴影部分的面积．解：正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 按逆时针方向旋转一定角度到CEFG 位置，使得点B 落在对角线CF 上，∴EF =CE =BC =1，∴CF =2，∴BF =2-1，∵∠BFE =45°，∴BH =BF =CF -BC =2-1，∴阴影部分的面积=12×1×1-12×(2-1)2=2-1，故选：C ．14.(24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·开学考试)如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°到AB C D 的位置，则图中阴影部分的面积为()A.12B.33C.1-33D.1-34【答案】C【分析】根据旋转的性质和正方形的性质得出AD =AB =AB ，∠BAB =∠DAD =30°，利用HL 证明Rt △AD E ≌Rt △ABE ，得出∠EAD =∠EAB =30°，利用含30°角的直角三角形的性质及勾股定理求出BE =33，根据S 阴影=S 正方形ABCD -2S △ABE 即可得答案．解：如图，连接AE ，∵边长为1的正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°到AB C D 的位置，∴AD =AB =AB ，∠BAB =∠DAD =30°，∴∠BAD =60°，在Rt △AD E 和Rt △ABE 中，AD=AB AE =AE ，∴Rt △AD E ≌Rt △ABE ，∴∠EAD =∠EAB =30°，∴BE =12AE ，即AE =2BE ，∵在Rt △ABE 中，AE 2=BE 2+AB 2，∴(2BE )2=BE 2+12，解得：BE =33，∴S 阴影=S 正方形ABCD -2S △ABE =1×1-2×12×33×1=1-33．故选：C ．【点拨】本题考查旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质和判定定理是解题关键．【题型8】利用正方形的旋转模型进行推理15.(23-24八年级下·山东济南·期末)如图，正方形ABCD 边长为52，E 从B 出发沿对角线BD 向D 运动，连接CE ，将线段CE 绕C 点顺时针旋转90°得到CF ，连接DF ，EF 设BE =m ，下列说法：①△DEF 是直角三角形；②当m =4时，EF =213；③有且只有一个实数m ，使得S △DEF =12.5；④取EF 中点G ，连接BG ，CG ，△BCG 的面积随着m 的增大而增大．正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得∠CBD =∠BDC =45°，BC =DC ，∠BCD =90°再根据旋转的性质可得CE =CF ，∠ECF =90°，从而证得△BCE ≌△DCF ，得到∠DBC =∠CDF =45°，即可求得∠BDF =∠BDC +∠CDF =90°，可判断①正确；根据正方形的性质可得BD 的长，再根据△BCE ≌△DCF 可得DF 的长，再利用勾股定理可得EF =213，可判断②正确；根据题意列出关于△DEF 面积的一元二次方程，求得有且只有一个实数m =5，使得S △DEF =12.5，可判断③正确；连接DG ，作GH ⊥CD 于点H ，可得GH ∥BC ，由∠EDF =∠ECF =90°，点G 为EF 的中点，可得DG =CG =12EF ，则CH =DH =522，从而求得S △BCG =12.5，可判断④错误；即可解题．解：∵四边形ABCD 是正方形，BD 为对角线，∴AB =BC =CD =AD ，∠CBD =∠BDC =45°，∠BCD =90°，∵线段CE 绕C 点顺时针旋转90°得到CF ，∴CE =CF ，∠ECF =90°，又∵∠BCE =∠BCD -∠ECD ，∠DCF =∠ECF -∠ECD ，∴∠BCE =∠DCF ，在△BCE 和△DCF 中：BC =DC∠BCE =∠DCF CE =CF，∴△BCE ≌△DCF SAS ，∴∠DBC =∠CDF =45°，∴∠EDF =∠BDC +∠CDF =90°，∴△DEF 是直角三角形，故①正确；∵正方形ABCD 边长为52，∴BD =BC 2+CD 2=10，∵△BCE ≌△DCF ，BE =m ，m =4，∴DF =BE =4，∴EF =DF 2+DE 2=DF 2+BD -BE 2=213，故②正确；由题可知：S △DEF =12⋅DE ⋅DF =12⋅BD -BE ⋅BE =1210-m m =5m -12m 2，要S △DEF =12.5，则5m -12m 2=12.5，整理得：m -5 2=0，解得：m =5，∴有且只有一个实数m ，使得S △DEF =12.5，故③正确；如图，连接DG ，作GH ⊥CD 于点H ，则∠GHD =∠BCD =90°，∴GH ∥BC ，∴CH 与△BCG 的边BC 上的高相等，∵∠EDF =∠ECF =90°，点G 为EF 的中点，∴DG =CG =12EF ，∴CH =DH =12DC =12×52=522，∴S △BCG =12BC ⋅CH =12×52×522=12.5，∴△BCG 的面积不随着m 的变化而变化，故④错误；故选：C ．【点拨】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解一元二次方程，旋转的性质，直角三角形性质，综合运用以上知识是解题的关键．16.(23-24八年级下·河北唐山·期中)如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将△AEB绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG．延长AE交CG于点F，连接DE，下列结论：①AF⊥CG；②四边形BEFG是正方形，③若DA=DE，则2CF=CG；④若∠DAE=60°，S四边形ABCD =4S四边形BGFE其中正确的结论是()A.①②③④B.①②④C.①③D.①④【答案】A【分析】本题考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，设AF交BC于K，由∠ABK=90°及将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG，可得∠KAB=∠BCG，即可得∠KFC=90°，从而判断①正确；由旋转的性质可得∠AEB=∠CGB=90°，BE=BG，∠EBG=90°，由正方形的判定可证四边形BEFG是正方形，可判断②正确；过点D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性质可得AH=12AE，DH⊥AE，由“AAS”可得△ADH≌△BAE，可得AH=BE=12AE，由旋转的性质可得AE=CG，从而可得CF=FG，可判断③正确；由等边三角形的性质得到AD=AE，可得AD=2BE，再根据正方形的面积可得，可判断④正确；灵活运用以上性质进行推理是解题的关键．解：设AF交BC于K，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABK=90°，∴∠KAB+∠AKB=90°，∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG，∴∠KAB=∠BCG，∵∠AKB=∠CKF，∴∠BCG+∠CKF=90°，∴∠KFC=90°，∴AF⊥CG，故①正确；∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴∠AEB=∠CGB=90°，BE=BG，∠EBG=90°，又∵∠BEF=90°，∴四边形BEFG是矩形，又∵BE=BG，∴四边形BEFG是正方形，故②正确；如图，过点D作DH⊥AE于H，∵DA=DE，DH⊥AE，∴AH=12AE，∠ADH+∠DAH=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∴∠DAH+∠EAB=90°，∴∠ADH=∠EAB，又∵AD=AB，∠AHD=∠AEB=90°，∴△ADH≌△BAE AAS，∴AH=BE=12AE，∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴AE=CG，∵四边形BEFG是正方形，∴BE=GF，∴GF=12CG，∴CF=FG，故③正确；若∠DAE=60°，则∠EAB=30°，∵BE=12AE，∴BE=12AD，即AD=2BE，∵四边形ABCD和四边形BGFE是正方形，∴S四边形ABCD =4S四边形BGFE，故④正确；∴正确的有①②③④，故选：A．【题型9】利用等腰直角三角形的旋转模型求线段长17.(23-24九年级上·山东济宁·阶段练习)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，将△BPC绕点B逆时针旋转后，能与△BP A重合，连接PP ，如果BP=3，那么PP 的长等于()A.42B.23C.32D.33【答案】C【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握旋转前后对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角．根据旋转的性质得出∠PBP =∠ABC=90°,BP=BP =3，再根据勾股定理即可解答．解：∵△BPC绕点B逆时针旋转后，能与△BP A重合，BP=3，∠ABC=90°，∴∠PBP =∠ABC=90°,BP=BP =3，∴PP =BP2+BP 2=32，故选：C．18.(22-23八年级下·山东菏泽·期末)如图，D是等腰直角三角形ABC内一点，BC是斜边，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACD 的位置，如果AD=3，那么DD 的长是．【答案】32【分析】证明△ADD 是等腰直角三角形即可解决问题．解：由旋转可知：△ABD≌△ACD ，∴∠BAD=∠CAD ，AD=AD =3，∴∠BAC=∠DAD =90°，即△ADD 是等腰直角三角形，∴DD =AD2+AD 2=32+32=32，故答案为：32．【点拨】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【题型10】利用等腰直角三角形的旋转模型求角度19.(2024·山东聊城·三模)如图，点D是等腰直角三角形ABC内的一点，且∠BAC=90°，AB=AC，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AEC，连接ED，交AC于点F．若∠BAD=62°，则∠EFC=．【答案】107°/107度【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，余角的性质，三角形外角的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．先由旋转的性质得AE=AD，∠DAE=90°，再根据等腰直角三角形的性质和余角性质求得∠AED=∠ADE=45°，∠CAE=∠BAD=62°，然后由三角形外角性质求解即可．解：由旋转可得：AE=AD，∠DAE=90°，∴∠AED=∠ADE=45°，∵∠CAD+∠BAD=∠BAC=90°，∠CAD+∠CAE=∠DAE=90°，∴∠CAE=∠BAD=62°，∴∠EFC=∠E+∠CAE=45°+62°=107°，故答案为：107°．20.(22-23八年级下·江苏·开学考试)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，P是ΔABC内一点，P A=1，PB=3，PC=7，那么∠CP A=度．【答案】135【分析】将ΔABP绕A点逆时针旋转90°，然后连接PQ，可得AQ=AP=1，CQ=PB=3，∠QAC=∠P AB，∠QP A=45°，证明PC2+PQ2=7+2=9=CQ2，可得∠QPC=90°，从而可得答案．解：将ΔABP绕A点逆时针旋转90°，然后连接PQ，则AQ=AP=1，CQ=PB=3，∠QAC=∠P AB，∠QAP=90°，∴PQ2=AQ2+AP2=2，且∠QP A=45°，在ΔCPQ中，PC2+PQ2=7+2=9=CQ2∴∠QPC=90°，∴∠CP A=∠QP A+∠QPC=135°．故答案为：135．【点拨】本题考查的是旋转的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，熟练的利用旋转的性质解题是关键．【题型11】利用等腰直角三角形的旋转模型求面积21.(23-24八年级上·四川宜宾·期末)如图，在等腰直角三角形ABC的斜边上取异于B,C的两点E,F，使∠EAF=45°,CF=3,EF=5，则以EF、BE、CF为边的三角形的面积为．【答案】6【分析】首先把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG，可得△ACF≌△ABG．进而得到AG=AF，BG=CF=3，∠ABG=∠ACF=45°，，再证明△BEG是直角三角形，进而即可得解．解：把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG．则△ACF≌△ABG，∴AG=AF，BG=CF=3，∠ABG=∠ACF=45°，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠GBE=∠ABC+∠ABG=90°，∴BE=EG2-BG2=52-32=4，×3×4=6，∴以EF、BE、CF为边的三角形的面积为12故答案为：6．【点拨】本题考查了勾股定理及等腰直角三角形的性质，旋转的性质，正确作出辅助线后得出直角三角形是解答此题的关键．22.(23-24八年级下·福建·期末)将直角边长为6cm的等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB C ，则图中阴影部分的面积是cm2．【答案】63【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质．关键是通过旋转的性质判断阴影部分三角形的特点，计算三角形的面积．设AB与B C 交于D点，根据旋转角∠CAC =15°，等腰直角△ABC的一锐角∠CAB=45°，可求∠C AD，旋转前后对应边相等，对应角相等，AC =AC=6cm，∠C =∠C=90°，根据勾股定理求得C D，进而根据三角形的面积公式可求阴影部分面积．解：设AB与B C 交于D点，根据旋转性质得∠CAC =15°，而∠CAB=45°，∴∠C AD=∠CAB-∠CAC =30°，又∵AC =AC=6cm，∠C =∠C=90°，∴AD=2C D，由勾股定理得，AD2-C D2=AC 2，即4C D2-C D2=62，∴C D=23cm，×6×23=63cm2．∴阴影部分的面积=12故答案为：63．【题型12】利用等腰直角三角形的旋转模型进行推理23.(22-23八年级上·四川宜宾·期末)如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D是BC边上的动点(不与点B、C重合)，DE与AC交于点F，连接CE．下列结论：①BD= CE；②BD2+CD2=2AE2;③∠DAC=∠CED；④在△ABC内存在唯一一点P，使得P A+PB+PC 的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE=2+3．其中含所有正确结论的选项是．【答案】①②③【分析】①正确．证明△BAD ≌△CAE ，可得结论；②正确．根据△BAD ≌△CAE 得到∠ABC =∠ACB =∠ACE =45°，得到∠DCE =90°证明即可；③正确．根据△BAD ≌△CAE 得到∠BDA =∠CEA ，根据三角形外角性质，得到∠BDA =45°+∠DAC ，∠CEA =45°+∠CED 证明即可；④错误．将△BPC 绕点B 顺时针旋转60°得到△BNM ，连接PN ，当点A ，点P ，点N ，点M 共线时，P A +PB +PC 值最小，此时∠APB =∠BPC =∠CP A =120°，PB =PC ,AD ⊥BC ，设PD =t ，则BD =PD =3t ，构建方程求出t ，可得结论．解：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，∴AB =AC ,AD =AE ,∠ABD =∠ACD =∠ADE =∠AED =45°，∴∠BAD =90°-∠DAC =∠CAE ，∵BA =CA∠BAD =∠CAE DA =EA，∴△BAD ≌△CAE SAS ，∴BD =CE ，故①正确；∵△BAD ≌△CAE ，∴∠ABC =∠ACB =∠ACE =45°，∴∠DCE =90°，∴DC 2+CE 2=DE 2，∵BD =CE ，AD 2+AE 2=DE 2=2AE 2，∴BD 2+CD 2=2AE 2；故②正确；∵△BAD ≌△CAE ，∴∠BDA =∠CEA ，根据三角形外角性质，得到∠BDA =45°+∠DAC ,∠CEA =45°+∠CED ，∴∠DAC =∠CED ，故③正确；将△BPC 绕点B 顺时针旋转60°得到△BNM ，连接PN ，根据旋转性质，得到△PBN 是等边三角形，当点A ，点P ，点N ，点M 共线时，P A +PB +PC 值最小，此时∠APB =∠BPC =∠CP A =120°，PB =PC ,AD ⊥BC ，∠BPD =60°，∠PBD =30°设PD=t，则BD=AD=3t，根据题意，得BD=PD=3t，解得t=3+1，故CE=BD=AD=3t=3+3故④错误．故答案为：①②③．【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．24.(2023·天津河北·二模)如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠CBA=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，点B,C的对应点分别为点D,E，下列结论中错误的是()A.BC=ADB.AC=CEC.∠CAE-∠BAC=10°D.△ABD是等边三角形【答案】C【分析】根据旋转可知AB=AD，AC=AE，∠CAE=∠BAD=60°，则得△ABD和△ACE是等边三角形，即可作答．解：根据旋转的性质可知AB=AD，AC=AE，∠CAE=∠BAD=60°，∴△ABD和△ACE是等边三角形，故选项D结论正确，∴AC=CE，故选项B结论正确；∵△ABC为等腰直角三角形，∠CBA=90°，∴AB=BC，∠BAC=45°∴BC=AD，故选项A结论正确，∠CAE-∠BAC=60°-45°=15°，故选项C结论错误，符合题意；故选：C．【点拨】本题考查了旋转的性质和全等三角形的判定与性质，得出△ABD和△ACE是等边三角形是解答本题的关键．第三部分【拓展延伸】【题型13】拓展延伸25.如图，P 在等边△ABC 内且∠APC =120°，则PB P A 的最小值是()A.12B.33C.22D.32【答案】D【分析】将△APC 旋转60°到△ADB ，由于要求PB P A的最小值，我们不断让P A 变大，点P 往下移，如图1，根据直角三角形中斜边比直角边大，当PE 与PB 重合时取到最小值，如图2，当P A ⊥PB 时，取到最小值，此时P A ∥BD ，P A =PD ，且∠PDB =60°，可得PB P A 的最小值．解：将△APC 旋转60°到△ADB ，由于要求PB P A 的最小值，我们不断让P A 变大，点P 往下移，如图1，当CP ⊥AB 时，P A =PB ，PB P A =1，PB P A=PB PD ，根据直角三角形中斜边比直角边大，当PE 与PB 重合时取到最小值，如图3，当P A ⊥PB 时，取到最小值，此时P A ∥BD ，P A =PD ，且∠PDB =60°，可得PB P A=32．故选：D ．【点拨】本题考查等边三角形的性质，垂线段最短，旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中压轴题．26.(2024九年级·全国·竞赛)如图，△ABC 和△ADE 都为等腰直角三角形，点D 在AC 上，点E 在BA 的延长线上，AB =AC =10cm ，AD =AE =6cm ，现将△ADE 绕点A 旋转60°，得到△AD E ，连接BE 、CD ，过点A 作AF ⊥BE ，垂足为点F ，直线AF 交CD 于点G ，则线段FG 的长度为cm ．【答案】7+1573或7-1573【分析】分△ADE 按顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论，过点E 作E M ⊥BE ，垂足为点M ，过点C 作CH ∥AD 交AG 的延长线于点H ，连接HD ，利用勾股定理，含30度角的直角三角形的特征求出AM =3cm ,E M =33cm ，根据等面积法求出AF =1573cm ，证明△ABE ≌△CAH AAS ，得到AD =CH ，易得四边形ACHD 为平行四边形，利用平行四边形对角线互相平分的性质即可求解．解：如图1和图2，过点E 作E M ⊥BE ，垂足为点M ，过点C 作CH ∥AD 交AG 的延长线于点H ，连接HD ，则有∠E AM =60°,AE =AE =6cm ，得∠AE M =30°,AM =3cm ,E M =33cm ，∴BM =AB +AM =13cm ,BE =ME 2+BM 2=14cm ，由等面积法有12BE ⋅AF =12AB ⋅E M ；∴AF =1573cm ，∵∠GAD +∠FAE =90°=∠FAE +∠AE F ，∠HAC +∠FAB =90°=∠FAB +∠ABF ，∴∠GAD =∠AE F ,∠HAC =∠ABF ，∵CH ∥AD ，∴∠AHC =∠GAD ，∴∠AHC =∠AE F ，∵AB =AC ，∴△ABE ≌△CAH AAS ，∴AE =CH =AD =AD =6cm ,BE =AH =14cm ，∵CH ∥AD ，∴四边形ACHD 为平行四边形，∴AG =12AH =7cm ，∴在图1中，FG =AF +AG =7+1573cm ，在图2中，同理得：FG =AG -AF =7-1573cm ．。
旋转常考题型
时针旋转一定角度后，点B恰好落在初始
△ABC的边上.
求旋转角α（0°＜α＜180°）的度数.
解：有两种情况：
①点B落在AB上，如B′，∵DB=DB′，
∴∠BDB′=180-∠B-∠BB′D =180°-40°-40°=100°，即
α=100°.
②点B落在AC上，如B″，在Rt△DCB″中，
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．
解：（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，
∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
AC=BC
在△ACD与△BCE中， ∠ACD=∠BCE
CD=CE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
在△EE′C中，E′C＝1，EC＝3，EE′=
由勾股定理逆定理可知∠EE′C＝90°，
∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝135°.
如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α
度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，
AC与A1C1，BC1分别交于点E，F．
求证：△BCF≌△BA1D.
旋转常考题型
一.旋转的相关概念识别
如图,△ABC为等边三角形,点P在△ABC中,将
△ABP旋转后能与△CBQ重合.
(1)旋转中心是哪一点?
(2)旋转角是多少度?
(3)△BPQ是什么三角形?
分析 (1)根据对应点到旋转中心的距离相等来确定旋转中心
的位置.(2)对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角.(3)
移到同一个BC所在的圆中，则有大圆
初二数学专题：旋转题型含答案
旋转专题（含解析）1、将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定与原图形重合的是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形2、如图，在平面直角坐标系中将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A1B1C1，设点A1的坐标为（m，n），则点A 的坐标为（）A．（﹣m，﹣n） B．（﹣m，﹣n﹣2） C．（﹣m，﹣n﹣1） D．（﹣m，﹣n+1）3、如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．35° B．40° C．50° D．65°4、大自然中存在很多对称现象，下列植物叶子的图案中既是轴对称，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．5、在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )6、下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（）A. B. C. D.7、在下面的汽车标志图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形有（）A．2 个 B．3个 C．4个 D．5个8、如图，在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心是A.点AB.点BC.点CD.点D9、在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2016次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是．10、在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为．11、下列图形中：①圆；②等腰三角形；③正方形；④正五边形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有个．12、如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若AB=2，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．13、如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，求△DCE的面积．14、如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．15、在中, , 将绕点顺时针旋转角, 得, 交于点,分别交于两点.(1) 在旋转过程中, 线段与有怎样的数量关系? 证明你的结论;(2) 当时, 试判断四边形的形状, 并说明理由;(3) 在(2)的情况下, 求线段的长.参考答案一、选择题1、D【考点】旋转对称图形．【分析】根据旋转对称图形的性质，可得出四边形需要满足的条件，结合选项即可得出答案．【解答】解：由题意可得，此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，则这个四边形是正方形．故选D．2、B【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】设点A的坐标为（x，y），然后根据中心对称的点的特征列方程求解即可．【解答】解：设点A的坐标为（x，y），∵△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A1B1C1，点A1的坐标为（m，n），∴=0，=﹣1，解得x=﹣m，y=﹣n﹣2，所以，点A的坐标为（﹣m，﹣n﹣2）．故选B．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握中心对称的点的坐标特征是解题的关键．3、C 【考点】旋转的性质．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．【解答】解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°．故选C．4、D【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故选项错误；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故选项错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故选项正确．故选D．5、B6、A7、A8、B二、填空题9、3024π．【考点】轨迹；旋转的性质．【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．【解答】解：∵AB=4，BC=3，∴AC=BD=5，转动一次A的路线长是：=2π，转动第二次的路线长是：=π，转动第三次的路线长是：=π，转动第四次的路线长是：0，以此类推，每四次循环，故顶点A转动四次经过的路线长为：π+π+2π=6π，2016÷4=504，顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π．故答案为：3024．．10、（2，1）11、 2 个．三、简答题12、【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．【分析】（1）由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等，以及AB=AC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS得到三角形AEC与三角形ADB全等即可；（2）根据∠BAC=45°，四边形ADFC是菱形，得到∠DBA=∠BAC=45°，再由AB=AD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，求出BD的长，由BD﹣DF求出BF的长即可．【解答】解：（1）由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB，在△AEC和△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS）；（2）∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC=45°，∴∠DBA=∠BAC=45°，由（1）得：AB=AD，∴∠DBA=∠BDA=45°，∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，∴BD2=2AB2，即BD=2，∴AD=DF=FC=AC=AB=2，∴BF=BD﹣DF=2﹣2．13、【考点】旋转的性质．【分析】由旋转的性质得出△ACE≌△ABD得出AE=AD=5．CE=BD=6．∠DAE=60°，得出△ADE是等边三角形，因此DE=AD=5．作EH⊥CD垂足为H．设DH=x，由勾股定理得出方程，解方程求出DH，由勾股定理求出EH，即可得出△DCE 的面积．【解答】解：由旋转的性质得：△ACE≌△ABD，∴AE=AD=5．CE=BD=6．∠DAE=60°．∴DE=5．作EH⊥CD垂足为H．设DH=x．由勾股定理得：EH2=CE2﹣CH2=DE2﹣DH2，即62﹣（4﹣x）2=52﹣x2，解得：x=，∴DH=，由勾股定理得：EH===，∴△DCE的面积=CD×EH=．【点评】本题考查了旋转的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质，由勾股定理求出DH，EH是解决问题的关键．14、【考点】旋转的性质；正方形的判定；平移的性质．【专题】几何图形问题．【分析】（1）根据旋转和平移可得∠DEB=∠ACB，∠GFE=∠A，再根据∠ABC=90°可得∠A+∠ACB=90°，进而得到∠DEB+∠GFE=90°，从而得到DE、FG的位置关系是垂直；（2）根据旋转和平移找出对应线段和角，然后再证明是矩形，后根据邻边相等可得四边形CBEG是正方形．【解答】（1）解：FG⊥ED．理由如下：∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，∴∠DEB=∠ACB，∵把△ABC沿射线平移至△FEG，∴∠GFE=∠A，∵∠ABC=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∴∠DEB+∠GFE=90°，∴∠FHE=90°，∴FG⊥ED；（2）证明：根据旋转和平移可得∠GEF=90°，∠CBE=90°，CG∥EB，CB=BE，∵CG∥EB，∴∠BCG=∠CBE=90°，∴四边形BCGE是矩形，∵CB=BE，∴四边形CBEG是正方形．【点评】此题主要考查了图形的旋转和平移，关键是掌握新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．15、(1) =. 1分由旋转可证明, 或者, 所以可得结论; 3分(2) 四边形为菱形. 1分先证四边形为平行四边形, 再由, 所以得菱形; 2分(3) 过点作于, 在中, 可求得, 1分所以. 2分(也可从∠, 先求得, 再求得.)。
题型旋转
题型旋转题型旋转一．选择题（共17小题）1．旋转和平移都只是改变图形的（ ） A ． 大小 B ． 形状 C ． 位置 D ． 方向2．骑自行车时，人的运动是（ ） A ． 平移 B ． 旋转 C ． 既平移又旋转3．我们打开数学书封面时，封面对于课本的运动是（ ） A ． 平移 B ． 旋转 C ． 既平移又旋转4．骑自行车时，人的运动是（ ），车轮的运动是（ ） A ． 平移 B ． 旋转 C ． 既平移又旋转5．下面哪些图形不能由通过平移和旋转得到？请将序号填在（ ）里．A ．B．C．6．下列各组图形，只通过平移或旋转，不能形成长方形的是（ ）A ． AB ． BC ． CD ． D7．以下面图形右面的一条边为轴，旋转一周，（ ）会得到圆锥． A ．B ．C ．D ．8．开门时钥匙的运动属于（ ） A 平移 B 旋转．．9．下列物体的运动是“旋转”现象的是（ ） A ． 妈妈拉开手提包的运动 B ． 站在电梯里的人上下的运动C ． 升旗时，国旗的升降运动D ． 打开电扇，电扇扇叶的运动10．以一个长方形的长为轴，把它旋转一周，可以得到一个（ ） A ． 长方体 B ． 圆柱体 C ． 圆锥体 D ． 正方体11．下面不能由图形通过旋转得到的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．12．时针从3：00到9：00是围绕钟面中心旋转了（ ） A ． 360° B ． 180° C ． 90° D ． 60°13．下列现象中，（ ）是旋转． A ． B ． C ．14．如图所示，选项中哪一项与其他四项都不相同？（ ） A ．B ．C ．D ．E ．15．下面现象中，（ ）是旋转现象． A ． 电梯上下运动 B ． 风车转动 C ． 推拉门运动16．下面（ ）图形旋转就会形成圆锥，（ ）图形旋转就会形成圆柱．A ．B ．C．D．17．下面哪个图形是如图旋转后得到的图形？（）A．B．C．D．二．填空题（共13小题）18．在括号里填上“平移”或“旋转”．19．下面的现象中是平移的画“√”，是旋转的画“○”．（1）小红在拉动抽屉．_________（2）运动中直升飞机的螺旋桨．_________（3）石英钟面上的秒针．_________．20．钟表上的秒针在平移运动．_________．21．在括号里填上“平移”或“旋转”．_________．22．把正确答案的序号填在括号里．①钟面上分钟和时针的转动（_________）②电梯的运动（_________）③拍摄照片（_________）④投影幻灯（_________）⑤剪纸蝴蝶（_________）A、平移B、旋转C、对称D、放大．23．图形的变换只有平移和旋转两种．_________．24．下面哪些是平移现象？哪些是旋转现象？在相应的括号里填“平移”或“旋转”．时针运动_________国旗沿笔直旗杆上升_________荡秋千_________．25．汽车行驶是_________现象，风车转动是_________现象．26．汽车行驶时，车轮做_________运动，车身做_________运动．27．电烫斗烫衣服是_________现象；拉开抽屉是_________现象．28．平移和旋转的共同点是改变图形的_________．29．下面物体的运动是平移的画“√”，是旋转的画“○”．风车转动_________推拉窗_________升国旗_________拧水龙头_________．30．小朋友滑滑梯是_________现象，陀螺（tuó luó）的转动是_________现象．题型旋转参考答案与试题解析一．选择题（共17小题）1．旋转和平移都只是改变图形的（）A ．大小B．形状C．位置D．方向考点：平移；旋转。
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章末复习
旋转
01 分点突破
知识点1中心对称与中心对称图形
1.（济宁中考）下列图形是中心对称图形的是 （
）
® @ @ ®
知识点2平面直角坐标系与旋转
3. （阜新中考）如图，正方形OABC 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2 , 0），将正方形 OABC 绕点0顺时针旋转45 °，得到正方形 OA B ' C',则 点C'的坐标为（ ）
A. （ 2, 2）
B. （— 2,
2）
C. （ 2，——,2）
D. （2 . 2, 2丫2）
「 ------- H
_ ----- ------ *
儿 A m
4. ________________________________ （宁夏中考）如图，在平面直角坐标系
xOy 中，△ A B '。
’由厶ABC 绕 点P 旋转得到，则点P 的坐标为 .
5. _________________________ （北京中考）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A AOB 可以看作是△ OCD 经过若干次图形的变化 （平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ OCD 得到△ AOB 的过程：
A
BCD
2.（齐齐哈尔中考）下列汉字或字母既是中心对称图形又是轴对称图形的 是（
）
A
rh
C H
D Z
知识点3旋转中的计算问题
6.（天津中考）如图，将厶ABC绕点B顺时针旋转60°得厶DBE点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD.下列结论一定正确的是（）
A.Z ABD-Z E
B.Z CBE=Z C
C. AD// BC
7.（吉林中考）如图，在Rt△ ABC中，/ ACB= 90°, AC= 5 cm, BC= 12 cm 将厶ABC绕点B顺时针旋转60°,得到△ BDE连接DC交AB于点卩，则厶人。
卩和厶BDF的周长之和为
& （徐州中考）如图，已知AC绕点A按逆时针方向旋转（1）线段DC= 4;
（2）求线段DB的长度.
AC= 4,
60°,得到线段AD连接
BC= 3 3，将线段
DC DB.
02 9. B' 的是（中考题型演练
（聊城中考）如图，将△ ABC绕点C顺时针旋转，使点
处，此时，点A的对应点A'恰好落在BC的延长线上，下列结论错误）
B落在AB边上点
A.Z BCB =Z ACA C. / B' CA=Z B' AC
10.(河南中考)如图，已知菱形 OABC 勺顶点0(0, 0) , B(2 , 2)，若菱形 绕点O 逆时针旋转，每秒旋转 45°,则第60秒时，菱形的对角线交点 D 的坐标为()
A. (1 , - 1)
B. 11.(辽阳中考)如图，在
厶ABC 中，/ ACB= 90°, BC = 1, AC = 2,将厶ABC 绕点C 按逆时针方向旋转
90°得到△ ABQ,连接 人代则厶ABA 的面积 为
12. ____________________________________ (威海中考)如图，A 点的坐标为(一1 , 5) , B 点的坐标为(3 , 3) , C 点 的坐标为(5 , 3) , D 点的坐标为(3 , - 1)，小明发现：线段 AB 与线段CD 存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可得到另一条 线段，你认为这个旋转中心的坐标是
__________________________________________ .
13. (福州中考)如图，在
B.Z ACB= 2/B
D. B ' C 平分/ BB' A
D. （0，- ,2）
AB = BC = 2，将△
ABC绕点C逆时针旋转60°,得到△ MNC连接BM则BM的长是
14. (金华中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为
A( —2,- 2) , B( —4,- 1) , C( —4,- 4).
⑴作出△ ABC关于原点0成中心对称的△ AB i C i；
(2)作出点A关于x轴的对称点A',若把点A'向右平移a个单位长度后落在厶
A i BC的内部(不包括顶点和边界)，求a的取值范围.
15. (莱芜中考)已知△ ABC M^ DEC是两个大小不同的等腰直角三角形.
(1)如图1所示，连接AE, DB试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；
⑵如图2所示，连接DB将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF,
连接AF,试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由.。