新教材高中数学单元素养评价(五)新人教A版必修2
单元素养评价(五)(第十章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组[10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70)频数 2 3 4 5 4 2则样本数据落在区间[10，40)的频率为( )A.0.35B.0.45C.0.55D.0.65【解析】选B.由表知[10，40)的频数为2+3+4=9，所以样本数据落在区间[10，40)的频率为=0.45.2.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”( )A.是互斥事件，不是对立事件B.是对立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是对立事件D.既不是互斥事件也不是对立事件【解析】选C.“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况，这两种情况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生，故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件.3.抛掷一颗质地均匀的骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知P(A)=，P(B)=，则“出现奇数点或2点”的概率为( )A. B. C. D.【解析】选D.因为“出现奇数点”与“出现2点”两事件互斥，所以P=P(A)+P(B)=+=.4.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7【解析】选B.某群体中的成员分为只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，它们彼此是互斥事件，所以不用现金支付的概率为1-(0.15+0.45)=0.4.5.某箱内有十张标有数字0到9的卡片，从中任取一张，则取到卡片上的数字不小于6的概率是( )A. B. C. D.【解析】选C.数字不小于6有6，7，8，9共4个样本点，而试验空间中样本点的总数为10，故P==.6.甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( )A. B. C. D.【解析】选D.根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是×+×=.7.若某公司从五位大学毕业生甲，乙，丙，丁，戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A. B. C. D.【解析】选D.试验的样本空间为Ω={(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(甲，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，共10个样本点，其中事件甲或乙被录用包含的样本点有9个，故所求的概率为.8.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为( )A. B. C. D.【解析】选B.两名同学分3本不同的书，试验的样本空间为Ω={(0，3)，(1a，2)，(1b，2)，(1c，2)，(2，1a)，(2，1b)，(2，1c)，(3，0)}，共8个样本点，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的样本点有2个，所以一人没有分到书，另一人分得3本书的概率P==. 9.一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的正整数倍的概率为( )A. B. C. D.【解析】选A.任意敲击0到9这十个数字键两次，其得到的所有结果为(0，i)(i=0，1，2，…，9)；(1，i)(i=0，1，2，…，9)；(2，i)(i=0，1，2，…，9)；…；(9，i)(i=0，1，2，…，9).样本空间中共有100个样本点.两个数字都是3的正整数倍的样本点有(3，3)，(3，6)，(3，9)，(6，3)，(6，6)，(6，9)，(9，3)，(9，6)，(9，9).共有9种.故所求概率为.10.为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程，20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是( )A. B. C. D.【解析】选D.记第i名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件A i，B i，C i，i=1，2，3.由题意，事件A i，B i，C i(i=1，2，3)相互独立，则P(A i)==，P(B i)==，P(C i)==，i=1，2，3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P=6P(A i B i C i)=6×××=.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，全选对得4分，选对但不全对得2分，有选错的得0分)11.从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用C表示抽到次品这一事件，则对C的说法不正确的是( )A.概率为B.频率为C.概率接近D.每抽10台电视机，必有1台次品【解析】选ACD.事件C发生的频率为，由于只做了一次试验，故不能得出概率接近的结论.12.抛掷一颗骰子，观察骰子出现的点数，若“出现2点”已经发生，则下列不是必然事件的是( )A.“出现奇数点”B.“出现偶数点”C.“点数大于3”D.“点数是3的倍数”【解析】选A、C、D.“出现2点”已经发生，由2为偶数，故“出现偶数点”是必然事件.13.袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率不为的是( )A.颜色相同B.颜色不全同C.颜色全不同D.无红球【解析】选ACD.有放回地取球3次，试验空间中共27个样本点，其中颜色相同的结果有3个，其概率为=；颜色不全同的结果有24个，其概率为=；颜色全不同的结果有3个，其概率为=；无红球的结果有8个，其概率为.三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上)14.一枚硬币连掷三次，事件A为“三次反面向上”，事件B为“恰有一次正面向上”，事件C为“至少两次正面向上”，则P(A)+P(B)+P(C)=________.【解析】事件A，B，C之间是互斥的，且又是一枚硬币连掷三次的所有结果，所以P(A)+P(B)+P(C)=1.答案：115.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是________.【解析】乙不输包含两人下成和棋和乙获胜，且它们是互斥事件，所以乙不输的概率为+=. 答案：16.袋中有3只白球和a只黑球，从中任取1只，是白球的概率为，则a=________.【解析】因为=，所以a=18.答案：1817.将号码分别为1，2，…，9的九个小球放入一个非透明袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个球.其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b，则使不等式a-2b+10>0成立的事件发生的概率等于________.【解析】甲、乙两人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故所有事件为(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(9，7)，(9，8)，(9，9)，共81个.由不等式a-2b+10>0得2b<a+10，于是，当b=1，2，3，4，5时，每种情形a可取1，2，…，9中每个值，使不等式成立，则共有45种；当b=6时，a可取3，4，…，9中每个值，有7种；当b=7时，a可取5，6，7，8，9中每个值，有5种；当b=8时，a可取7，8，9中每一个值，有3种；当b=9时，a只能取9，有1种.于是，所求事件的概率为=.答案：四、解答题(本大题共6小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18.(12分)某校在教师外出培训学习活动中，在一个月派出的培训人数及其概率如下表所示：派出人数2人及以下3 4 56人及以上概率0.1 0.46 0.3 0.1 0.04(1)求有4个人或5个人培训的概率.(2)求至少有3个人培训的概率.【解析】(1)设有2人以下培训为事件A，有3人培训为事件B，有4人培训为事件C，有5人培训为事件D，有6人及以上培训为事件E，所以有4个人或5个人培训的事件为事件C或事件D，A，B，C，D，E为互斥事件，根据互斥事件有一个发生的概率的加法公式可知P(C∪D)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4.(2)至少有3个人培训的对立事件为有2人及以下培训，所以由对立事件的概率可知P=1-P(A)=1-0.1=0.9.19.(14分)甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽1张.(1)写出甲、乙抽到牌的所有情况.(2)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙大，则甲胜，否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？【解析】(1)设(i，j)表示(甲抽到的牌的数字，乙抽到的牌的数字)，方片4用4′表示，则试验的样本空间为Ω={ (2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种.(2)由(1)可知甲抽到的牌的牌面数字比乙大有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5个样本点，所以甲胜的概率P=，因为≠，所以此游戏不公平.20.(14分)已知某中学高三理科班学生的数学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表：若抽取学生n人，成绩分为A(优秀)，B(良好)，C(及格)三个等级，设x，y分别表示数学成绩与物理成绩，例如：表中物理成绩为A等级的共有14+40+10=64人，数学成绩为B等级且物理成绩为C等级的共有8人.已知x与y均为A等级的概率是0.07.(1)设在该样本中，数学成绩的优秀率是30%，求a，b的值.(2)已知a≥7，b≥6，求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数多的概率.【解析】(1)由题意知=0.07，解得n=200，所以×100%=30%，解得a=18，易知a+b=30，所以b=12.(2)由14+a+28>10+b+34得a>b+2，又a+b=30且a≥7，b≥6，试验的样本空间为Ω={(7，23)，(8，22)，(9，21)，…，(24，6)}，共18个样本点，而a>b+2包含的样本点有(17，13)，(18，12)，…，(24，6)，共8个，则所求概率P==.21.(14分)某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命超过1 000小时的概率均为，且各个元件能否正常工作相互独立，求该部件的使用寿命超过1 000小时的概率.【解析】设元件1，2，3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A，B，C，显然P(A)=P(B)=P(C)=，所以该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A∪B∪AB)C，所以该部件的使用寿命超过1 000小时的概率P=×=. 22.(14分)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如下表：轿车A 轿车B 轿车C舒适型100 150 z标准型300 450 600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆.(1)求z的值.(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率.(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分为：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.【解析】(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得=，所以n=2 000.则z=2 000-(100+300)-(150+450)-600=400.(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意得=，即a=2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车.用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则试验的样本空间为Ω={(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共10个样本点.事件E包含的样本点有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个.故P(E)=，即所求概率为.(3)样本平均数=×(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.设D表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包含的基本事件为：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，所以P(D)==，即所求概率为.23.(14分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40]天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率.(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.【解析】(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为=0.6.所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温低于20，则Y=200×6+(450-200)×2-450×4=-100；若最高气温位于区间[20，25)，则Y=300×6+(450-300)×2-450×4=300；若最高气温不低于25，则Y=450×(6-4)=900，所以，利润Y的所有可能值为-100，300，900.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为=0.8.因此Y大于零的概率的估计值为0.8.。
数学人教A版选择性必修第二册模块素养评价(二) Word版含解析
模块素养评价(二)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知数列{a n}的前4项依次为-,1,-,,则该数列的一个通项公式可以是 ( )A.a n=(-1)n·B.a n=(-1)n+1·C.a n=(-1)n·D.a n=(-1)n+1·【解析】选A.数列的前4项分别为-,,-,,可得奇数项为负数,偶数项为正数,可知:第n项的符号为(-1)n,排除选项B,D;再观察分数的分母需满足n+2,最终可得通项公式a n=(-1)n·.2.在等差数列{a n}中,a1=2,a3+a7=28,若a m=26,则m= ( )A.6B.7C.8D.9【解析】选D.由题意,可得a3+a7=2a5=28,故a5=14.所以公差d==3,所以a n=a1+(n-1)d=2+3·(n-1)=3n-1,所以a m=3m-1=26,解得m=9.3.曲线y=ln(ax+1)在点(0,0)处的切线过点(4,8),则a= ( )A.4B.3C.2D.1【解析】选 C.y=ln (ax+1)的导数y′=,切线斜率为=2,所以a=2.4.(2020·武汉高二检测)等差数列{a n}中,a1与a4 037是f(x)=x-4ln x-的两个极值点,则lo a 2 019= ( )A.1B.2C.0D.【解析】选B.f′(x)=1-+=,因为a1与a4 037是f(x)=x-4ln x-的两个极值点,令g(x)=x2-4x+m,所以a1与a4 037是方程x2-4x+m=0的两个根,即a1+a4 037=4,也即2a 2 019=4,所以a2 019=2,则lo a2 019=2log22=2.5.在用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·2·3·…·(2n-1)(n ∈N*)时,从k到k+1,左端需要增加的代数式是( )A.2k+1B.2(2k+1)C. D.【解析】选 B.当n=k+1时,左端=(k+1)(k+2)…(k+k)(k+k+1)(k+1+k+1),所以左端增加的代数式为(k+k+1)(k+1+k+1)=2(2k+1).6.(2020·佛山高二检测)已知等比数列{a n}满足a1-a2=36,a1-a3=24,则使得a1a2·…·a n取得最大值的n为( )A.3B.4C.5D.6【解析】选 B.设等比数列{a n}的公比为q.因为等比数列{a n}满足a1-a2=36, a1-a3=24,解得,q=-,a1=27,所以a n=,当n=4时,a1a2·…·a n取得最大值.7.(2020·石家庄高二检测)已知定义在R上的偶函数f(x),其导函数为f′(x),若xf′(x)-2f(x)>0,f(-2)=1,则不等式<的解集是( )A.(-2,2)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-2,0)∪(0,2)D.(-∞,0)∪(0,2)【解析】选C.令g(x)=,则g′(x)==,因为xf′(x)-2f(x)>0,所以,当x>0时,g′(x)>0,即g(x)在区间(0,+∞)上单调递增;又f(x)是R上的偶函数,所以g(x)=是(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,又f(2)=f(-2)=1;故g(2)==,于是,不等式<化为g(x)<g(2),故|x|<2,解得-2<x<2,又x≠0,所以x∈(-2,0)∪(0,2).8.(2020·天心高二检测)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=e x的切线,则b= ( )A.0B.1C.0或1D.0或-1【解析】选C.设直线y=kx+b与y=ln x+2的切点为(x1,y1),与y=e x的切点为(x2,y2),由y=ln x+2的导数y′=,y=e x的导数y′=e x,可得k===,消去x2,可得(1+ln x1)=0,则x1=或1,则切点为或(1,2),得k=e或1,则切线为y=ex或y=x+1,可得b=0或1.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.下列关于公差d>0的等差数列{a n}的四个命题中真命题是( )A.数列{a n}是递增数列B.数列{na n}是递增数列C.数列是递增数列D.数列{a n+3nd}是递增数列【解析】选AD.因为对于公差d>0的等差数列{a n},a n+1-a n=d>0,所以数列{a n}是递增数列成立,A是真命题.对于数列{na n},第n+1项与第n项的差等于 (n+1)a n+1- na n=(n+1)d+a n,不一定是正实数,B是假命题.对于数列,第n+1项与第n项的差等于-==,不一定是正实数,C是假命题.对于数列{a n+3nd},第n+1项与第n项的差等于 a n+1+3(n+1)d-a n-3nd=4d>0,数列{a n+3nd}是递增数列成立,D是真命题.10.已知{a n}为等比数列,下列结论中正确的结论是( )A.a3+a5≥2a4B.+≥2C.若a3=a5,则a1=a2D.若a5>a3,则a7>a5【解析】选BD.若a n=(-1)n,则a3+a5≥2a4不成立,故A错误;因为+≥2|a3a5|=2,故+≥2,故B正确;若a n=(-1)n,则a3=a5=-1,但a1=-1,a2=1,a1=a2不成立,故C错误;若a5>a3,则q2a3>a3,因为q2>0,所以q4a3>q2a3,即a7>a5成立,故D正确.11.(2020·济南高二检测)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,f′(x),g′(x)为其导函数,当x<0时,f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x)<0且g(-3)=0,则使不等式f(x)·g(x)<0成立的x的取值范围是 ( )A.(-∞,-3)B.(-3,0)C.(0,3)D.(3,+∞)【解析】选BD.因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数, 所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),令h(x)=f(x)·g(x),则h(-x)=-h(x),故h(x)=f(x)·g(x)为R上的奇函数,因为当x<0时,f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x)<0,即x<0时,h′(x)=f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x)<0,所以h(x)=f(x)·g(x)在区间(-∞,0)上单调递减,所以奇函数h(x)在区间(0,+∞)上也单调递减,又g(-3)=0,所以g(3)=0,所以h(-3)=h(3)=0,所以当x∈(-3,0)∪(3,+∞)时,h(x)=f(x)·g(x)<0.12.已知函数f(x)=x3-2x2-4x-7,其导函数为f′(x),下列命题中是真命题的为 ( )A.f(x)的单调递减区间是B.f(x)的极小值是-15C.当a>2时,对任意的x>2且x≠a,恒有f(x)>f(a)+f′(a)(x-a)D.函数f(x)有且只有一个零点【解析】选BCD.f(x)=x3-2x2-4x-7,其导函数f′(x)=3x2-4x-4.令f′(x)=0,解得x=-,x=2,当f′(x)>0时,即x<-或x>2时,函数单调递增,当f′(x)<0时,即-<x<2时,函数单调递减;故当x=2时,函数有极小值,极小值为f(2)=-15,当x=-时,函数有极大值,极大值为f<0,故函数只有一个零点,A错误,BD正确;f′(x)=3x2-4x-4=(x-2)(3x+2),当x>2时,f′(x)>0,f(x)单调递增且f′(x)逐渐增大.若x>a>2,则>f′(a)⇒f(x)>f(a)+f′(a)(x -a),若a>x>2,则<f′(a)⇒f(x)>f(a)+f′(a)(x-a),故C正确.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.用数学归纳法证明:1+a+a2+…+a n+1=(a≠1,n∈N*),在验证n=1成立时,左边计算所得的项是________.【解析】用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a n+1=(a≠1,n∈N*)”时,在验证n=1成立时,将n=1代入,左边以1即a0开始,以a1+1=a2结束,所以左边应该是1+a+a2.答案:1+a+a214.已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列,且a2=1,a3+a4=6.设数列{a n-n}的前n项和为S n,那么S4________S5(填“>”“<”或“=”). 【解析】因为数列{a n}是各项均为正数的等比数列,且a2=1,a3+a4=6.解方程可得,q=2或q=-3(舍),所以a1=,所以a n-n=×2n-1-n=2n-2-n,所以S5-S4=a5-5=23-5=3,所以S4<S5.答案:<15.(2020·平顶山高二检测)若一个数列的第m项等于这个数列的前m 项的乘积,则称该数列为“m积数列”,若各项均为正数的等比数列{a n}是一个“2 020积数列”,且a1>1,则当其前n项的乘积取最大值时,n 的最大值为________.【解析】若各项均为正数的等比数列{a n}是一个“2 020积数列”,且a1>1,所以q>0.所以a2 020=a1·a2·a3·…·a2 020,所以a1·a2·a3·…·a2 019=1.又a n>0,所以a1 010=1,因为a1>1,所以0<q<1,所以a1 009>1,0<a1 011<1,所以当其前n项的乘积取最大值时,n的最大值为1 010.答案:1 01016.(2020·石嘴山高二检测)已知曲线y=f(x)=4sin x+x3在x=0处的切线与直线nx-y-6=0平行,则n为________.【解析】根据题意得f′(x)=4cos x+x2,则有f′(0)=4+0=4,即曲线y=f(x)在x=0处的切线的斜率k=4,又曲线y=f(x)在x=0处的切线与直线nx-y-6=0平行,所以n=4.答案:4【加练·固】已知曲线f(x)=ln (a+x)(a∈R)在(0,0)处的切线方程为y=x,则满足0≤f(x-2)≤1的x的取值范围为________.【解析】因为f′(x)=,所以f′(0)=,f(0)=ln a,则曲线在(0,0)处的切线方程为y=x+ln a,所以=1,ln a=0,解得a=1,所以f(x)=ln (x+1),则0≤f(x-2)≤1即0≤ln (x-1)≤1,所以1≤x-1≤e.解得2≤x≤e+1.答案:[2,e+1]四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且a1+S3=20,S5=50.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)请确定3 998是否是数列{a n}中的项.【解析】(1)设数列{a n}的公差为d.由题意有解得a1=2,d=4,则数列{a n}的通项公式为a n=2+4(n-1)=4n-2.(2)假设3 998是数列{a n}中的项,则有4n-2=3 998,得n=1 000,故3 998是数列{a n}中的第1 000项.18.(12分)已知函数f(x)=xln x.(1)求函数f(x)的图象在x=e处的切线方程;(2)求函数f(x)的最小值.【解析】(1)f′(x)=ln x+1,所以函数f(x)的图象在x=e处的切线斜率k=f′(e)=ln e+1=2.又f=e,切点坐标为,所以函数f(x)的图象在x=e处的切线方程为y=2+e,即y=2x-e.(2)函数f(x)=xln x的定义域为(0,+∞),令f′(x)=ln x+1=0,得x=.当x∈时,f′(x)<0,f(x)在上单调递减;当x∈时,f′(x)>0,f(x)在上单调递增.所以函数f(x)的最小值为f=-.19.(12分)已知数列{a n}的前n项和S n满足a n=1-2S n(n∈N*).(1)求证:数列{a n}是等比数列;(2)设函数f(x)=lo x,b n=f(a1)+f(a2)+…+f(a n),T n=+++…+,求T100.【解析】(1)因为a n=1-2S n,所以a n-1=1-2S n-1(n≥2),所以a n-a n-1=2S n-1-2S n=-2a n(n≥2),所以a n=a n-1(n≥2).又a1=1-2S1,所以a1=.所以数列{a n}是首项为,公比为的等比数列.(2)因为f(x)=lo x,所以b n=lo a1+lo a2+…+lo a n=lo(a 1·a2·…·a n)=lo=1+2+…+n=.所以==2,所以T100=++…+=2=.20.(12分)(2020·北京高考)已知函数f(x)=12-x2.(1)求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程;(2)设曲线y=f(x)在(t,f(t))处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值.【解析】(1)f(x)定义域为R,f′(x)=-2x,设切点为P(x0,y0),则k=f′(x0)=-2x0=-2,即x0=1,所以y0=f(x0)=f(1)=11,切点为(1,11),所以所求切线方程为y-11=-2(x-1),即2x+y-13=0.(2)切线方程为y-12+t2=-2t(x-t),令x=0得y=t2+12,令y=0得x=+,所以S(t)=(t2+12)|+|,t≠0,易知S(t)为偶函数,当t>0时,S(t)=t3+6t+,S′(t)=×,令S′(t)=0得t=2,-2(舍),t (0,2) 2 (2,+∞)S′(t) - 0 +S(t) ↘极小值↗所以S(t)有极小值也是最小值S(2)=32,又S(t)为偶函数,所以当t=±2时,S(t)有最小值32.21.(12分)观察以下等式:13=12;13+23=(1+2)2;13+23+33=(1+2+3)2;13+23+33+43=(1+2+3+4)2;(1)请用含n的等式归纳猜想出一般性结论,并用数学归纳法加以证明.(2)设数列{a n}的前n项和为S n,且a n=n3+n,求S10.【解析】(1)猜想13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2.证明如下:当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立;假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,13+23+33+…+k3=(1+2+3+…+k)2成立,则当n=k+1时,13+23+33+…+k3+(k+1)3=(1+2+3+…+k)2+(k+1)3= +(k+1)3=(k+1)2·==[1+2+…+(k+1)]2,可得n=k+1时,猜想也成立,综上可得对任意的正整数n,13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2.(2)数列{a n}的前n项和为S n,且a n=n3+n,S10=(13+23+...+103)+(1+2+3+ (10)=(1+2+…+10)2+=552+55=3 080.22.(12分)在等比数列{a n}中,a1>0,n∈N*,且a3-a2=8,又a1,a5的等比中项为16.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=log2,数列{b n}的前n项和为S n,是否存在正整数k,使得+++…+<k对任意n∈N*恒成立?若存在,求出正整数k的最小值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设数列{a n}的公比为q,由题意可得a3=a1q2>0,故a3=16,因为a3-a2=8,所以a2=8,所以q=2,所以a n=2n+1.(2)因为b n=log22n=n,所以S n=1+2+…+n=.因为==2,所以+++…+=2=2<2,所以正整数k的最小值为2.关闭Word文档返回原板块。
人教A版新课标高中数学必修二第二章单元测试题(含答案)
高二周末检测题一、选择题1．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行． 其中正确的命题是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③ 2 .垂直于同一条直线的两条直线一定 ( )A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 3．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是( )A ．三条交线为异面直线B ．三条交线两两平行C ．三条交线交于一点D ．三条交线两两平行或交于一点4. 在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、 能相交于点P ，那么 （ ）A 、点P 必在直线AC 上B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面BCD 内 D 、点P 必在平面ABC 外5．若平面α⊥平面β，α∩β＝l ，且点P ∈α，P ∉l ，则下列命题中的假命题是( )A ．过点P 且垂直于α的直线平行于βB ．过点P 且垂直于l 的直线在α内C ．过点P 且垂直于β的直线在α内D ．过点P 且垂直于l 的平面垂直于β 6．设a ，b 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( )A ．若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥bB ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥bC ．若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥βD ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b 7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段A 1B 1，B 1C 1上的不与端点重合的动点，如果A 1E ＝B 1F ，有下面四个结论：①EF ⊥AA 1； ②EF ∥AC ； ③EF 与AC 异面； ④EF ∥平面ABCD . 其中一定正确的有( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④8．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，P A ⊥面ABC ，AB ＝AC ，D 是BC的中点，则图中直角三角形的个数是( ) A ．5 B ．8 C ．10D ．69．如右图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM ( ) A ．与AC 、MN 均垂直相交 B ．与AC 垂直，与MN 不垂直 C ．与MN 垂直，与AC 不垂直D ．与AC 、MN 均不垂直10、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1 和 CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为( ) A 、2V B 、3V C 、4V D 、5V11．(2009·海南、宁夏高考)如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点 E 、F ，且EF ＝12，则下列结论错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A —BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等12．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 成60°的角；④AB 与CD 所成的角是60°. 其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 二、填空题13、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ，平行则四边形ABCD 一定是 .14．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的平面角大小为 .15．如下图所示，以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕．Q PC'B'A'C BA使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则：(1)BD与CD的关系为________．(2)∠BAC＝________.16．在正方体ABCD—A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则①四边形BFD′E一定是平行四边形．②四边形BFD′E有可能是正方形．③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形．④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.以上结论正确的为__________．(写出所有正确结论的编号)三、解答题17、如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)直线EF∥面ACD.(2)平面EFC⊥平面BCD.18．如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小．19．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.20．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．21．如图，△ABC中，AC＝BC＝22AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥底面ABC；(2)求证：AC⊥平面EBC；(3)求几何体ADEBC的体积V.高二周末检测题答一、选择题 1-5 BDDAB 6-10 DDBAB 11-12 DC 二、填空题13、菱形 14、90° 15、(1)BD ⊥CD (2)60° 16、①③④ 三、解答题17、证明：(1)∵E 、F 分别是AB 、BD 的中点，∴EF ∥AD .又AD ⊂平面ACD ，EF ⊄平面ACD ， ∴直线EF ∥面ACD .(2)在△ABD 中，∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ， ∴EF ⊥BD .在△BCD 中，∵CD ＝CB ，F 为BD 的中点，∴CF ⊥BD . ∵CF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥平面EFC ， 又∵BD ⊂平面BCD ， ∴平面EFC ⊥平面BCD .18、[解析] (1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ， ∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin60°＝ 3. ∵平面PCD ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥平面ABCD ，而AM ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥AM . ∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3， ∴EM 2＋AM 2＝AE 2.∴AM ⊥EM .又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，∴AM ⊥PM . (2)解：由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ， ∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角． ∴tan ∠PME ＝PEEM＝33＝1，∴∠PME ＝45°.∴二面角P －AM －D 的大小为45°.19[分析] 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件． [证明] (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， ∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点， ∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F .又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.20.(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，又PQ⊄平面ACD，从而PQ∥平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.故CQ⊥平面ABE.由(1)有PQ∥DC，又PQ＝12EB＝DC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，在Rt△DP A中，AD＝5，DP＝1，sin∠DAP＝5 5，因此AD和平面ABE所成角的正弦值为5 5.21[分析] (1)转化为证明GF平行于平面ABC内的直线AC；(2)转化为证明AC垂直于平面EBC内的两条相交直线BC和BE；(3)几何体ADEBC是四棱锥C－ABED.[解] (1)证明：连接AE，如下图所示．∵ADEB 为正方形，∴AE ∩BD ＝F ，且F 是AE 的中点， 又G 是EC 的中点，∴GF ∥AC ，又AC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ， ∴GF ∥平面ABC .(2)证明：∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，EB ⊂平面ABED ， ∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC . 又∵AC ＝BC ＝22AB ， ∴CA 2＋CB 2＝AB 2， ∴AC ⊥BC .又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面BCE . (3)取AB 的中点H ，连GH ，∵BC ＝AC ＝22AB ＝22， ∴CH ⊥AB ，且CH ＝12，又平面ABED ⊥平面ABC∴GH ⊥平面ABCD ，∴V ＝13×1×12＝16.。
新教材高中数学全册综合验收评价新人教A版必修第二册
全册综合验收评价(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分) 1．已知平面向量a ＝(1,1),b ＝(1,－1),则向量12a －32b 等于( )A ．(－2,－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)解析：选D 12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12,32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32,故12a －32b ＝(－1,2)． 2．某学校有老师200人,男学生1 200人,女学生1 000人,现用分层随机抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n 的样本,已知女学生一共抽取了80人,则n 的值是( ) A ．193 B ．192 C ．191 D ．190解析：选B1 000200＋1 200＋1 000＝80n,解得n ＝192.3．已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i,则z 等于( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i解析：选C 由(z －1)i ＝1＋i,两边同乘以－i,则有z －1＝1－i,所以z ＝2－i. 4．已知向量a 与b 的夹角为30°,且|a|＝1,|2a －b|＝1,则|b| 等于( )A. 6B. 5C. 3D. 2解析：选C 由题意可得a ·b ＝|b|cos 30°＝32|b|,4a 2－4a ·b ＋b 2＝1,即4－23|b|＋b 2＝1,由此求得|b|＝3,故选C.5.某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]．若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是 ( ) A ．45 B ．50 C ．55D ．60解析：选B 由频率分布直方图,知低于60分的频率为(0.01＋0.005)×20＝0.3.∴该班学生人数n ＝150.3＝50.6．已知圆锥的表面积等于12π cm 2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD.32cm 解析：选B S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π,∴r 2＝4,∴r ＝2(cm)． 7．已知向量a ＝(cos θ－2,sin θ),其中θ∈R,则|a|的最小值为( )A ．1B ．2 C. 5D ．3解析：选 A 因为a ＝(cos θ－2,sin θ),所以|a|＝cos θ－22＋sin 2θ＝1－4cos θ＋4＝5－4cos θ,因为θ∈R,所以－1≤cos θ≤1,故|a|的最小值为5－4＝1.故选A.8．在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若A ＝60°,b ＝1,其面积为3,则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝( )A ．3 3 B.2633 C.2393D.292解析：选C 设△ABC 的面积为S ,由题意知S ＝12bc sin A,即3＝12c ·sin 60°,解得c＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋16－8×12＝13,即a ＝13.由正弦定理可得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝1332＝2393.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9．在某次高中学科竞赛中,4 000名考生的参赛成绩统计如图所示,60分以下视为不及格,若同一组中的数据用该组区间中点值为代表,则下列说法中正确的是( )A ．成绩在[70,80)分的考生人数最多B ．不及格的考生人数为1 000C ．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D ．考生竞赛成绩的中位数为75分解析：选ABC 由频率分布直方图可得,成绩在[70,80)内的频率最高,因此考生人数最多,故A 正确；由频率分布直方图可得,成绩在[40,60)的频率为0.25,因此,不及格的人数为4 000×0.25＝1 000,故B 正确；由频率分布直方图可得,平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5,故C 正确；因为成绩在[40,70)内的频率为0.45,[70,80)的频率为0.3,所以中位数为70＋10×0.050.3≈71.67,故D 错误．故选A 、B 、C.10.如图,正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1,动点E 在线段A 1C 1上,F ,M 分别是AD ,CD 的中点,则下列结论中正确的是( ) A ．FM ∥A 1C 1 B ．BM ⊥平面CC 1FC ．存在点E ,使得平面BEF ∥平面CC 1D 1D D ．三棱锥B CEF 的体积为定值解析：选ABD 在A 中,因为F ,M 分别是AD ,CD 的中点,所以FM ∥AC ∥A 1C 1,故A 正确；在B 中,因为tan ∠BMC ＝BCCM ＝2,tan ∠CFD ＝CD FD＝2,所以∠BMC ＝∠CFD ,所以∠BMC ＋∠DCF ＝∠CFD ＋∠DCF ＝π2,故BM ⊥CF ,又BM ⊥C 1C ,CF ∩C 1C ＝C ,所以BM ⊥平面CC 1F ,故B 正确；在C 中,BF 与平面CC 1D 1D 有交点,所以不存在点E ,使得平面BEF ∥平面CC 1D 1D ,故C 错误； 在D 中,若三棱锥B CEF 以面BCF 为底,则高是定值,所以三棱锥B CEF 的体积为定值,故D 正确．故选A 、B 、D.11．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数,AQI 指数值越小,表明空气质量越好,其对应关系如表：AQI 指数值 0～ 51～ 101～ 151～ 201～ ＞300 50 100 150 200 300 空气 质量优良轻度 污染中度 污染重度 污染严重 污染如图是某市12月1日～20日AQI 指数变化趋势：下列叙述正确的是( )A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上的天数占14C ．该市12月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说,该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好解析：选ABD 对A ：将这20天的数据从小到大排序后,第10个数据略小于100,第11个数据约为120,因为中位数是这两个数据的平均数,故中位数略高于100是正确的,故A 正确； 对B ：这20天中,AQI 指数大于150的有5天,故中度污染及以上的天数占14是正确的,故B 正确；对C ：由折线图可知,前5天空气质量越来越好,从6日开始至15日越来越差,故C 错误；对D ：由折线图可知,上旬AQI 指数大部分在100以下,中旬AQI 指数大部分在100以上,故上旬空气质量比中旬的要好,故D 正确．故选A 、B 、D. 12.如图,在四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ⊥AD ,AB ＝2AD ＝2DC ,E 为BC 边上一点,且BC ―→＝3EC ―→,F 为AE 的中点,则( ) A ．BC ―→＝－12AB ―→＋AD ―→B ．AF ―→＝13AB ―→＋13AD ―→C ．BF ―→＝－23AB ―→＋13AD ―→D ．CF ―→＝16AB ―→－23AD ―→解析：选ABC ∵AB ∥CD ,AB ⊥AD ,AB ＝2AD ＝2DC , 由向量加法的三角形法则得BC ―→＝BA ―→＋AD ―→＋DC ―→＝－AB ―→＋AD ―→＋12AB ―→＝－12AB ―→＋AD ―→,A 对；∵BC ―→＝3EC ―→,∴BE ―→＝23BC ―→＝－13AB ―→＋23AD ―→,∴AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋＝23AB ―→＋23AD ―→,又F 为AE 的中点, ∴AF ―→＝12AE ―→＝13AB ―→＋13AD ―→,B 对；∴BF ―→＝BA ―→＋AF ―→＝－AB ―→＋13AB ―→＋13AD ―→＝－23AB ―→＋13AD ―→,C 对；∴CF ―→＝CB ―→＋BF ―→＝BF ―→－BC ―→ ＝－23AB ―→＋13AD ―→－＝－16AB ―→－23AD ―→,D 错．故选A 、B 、C.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13．设0＜θ＜π2,向量a ＝(sin 2θ,cos θ),b ＝(cos θ,1),若a ∥b,则tan θ＝________.解析：∵a ∥b,∴sin 2θ×1－cos 2θ＝0, ∴2sin θcos θ－cos 2θ＝0,∵0＜θ＜π2,∴cos θ＞0,∴2sin θ＝cos θ,∴tan θ＝12.答案：1214．在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ,则角B 的值为________．解析：由余弦定理,得a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ,结合已知等式得cos B ·tan B ＝32,∴sin B＝32,∴B ＝π3或2π3. 答案：π3或2π315.如图所示,已知在长方体ABCD EFGH 中,AB ＝23,AD ＝23,AE ＝2,则BC和EG 所成角的大小是________,AE 和BG 所成角的大小是________．解析：∵BC 与EG 所成的角等于EG 与FG 所成的角,即∠EGF ,tan ∠EGF ＝EF FG ＝2323＝1,∴∠EGF ＝45°.∵AE 与BG 所成的角等于BF 与BG 所成的角,即∠GBF ,tan ∠GBF ＝GF BF ＝232＝3,∴∠GBF ＝60°. 答案：45° 60°16．在四面体S ABC 中,SA ＝SB ＝2,且SA ⊥SB ,BC ＝5,AC ＝3,则该四面体体积的最大值为______,该四面体外接球的表面积为________． 解析：因为SA ＝SB ＝2,且SA ⊥SB ,BC ＝5,AC ＝3, 所以AB ＝2SA ＝22, 因此BC 2＋AC 2＝AB 2,则AC ⊥BC . 如图,取AB 中点为O ,连接OS ,OC , 则OA ＝OB ＝OC ＝OS ＝2,所以该四面体的外接球的球心为O ,半径为OC ＝2, 所以该四面体外接球的表面积为S ＝4π·(2)2＝8π.又因为SA ＝SB ,所以SO ⊥AB .因为底面三角形ABC 的面积为定值12AC ·BC ＝152,SO 的长也为确定的值2,因此,当SO ⊥平面ABC 时,四面体的体积最大,为V ＝13S △ABC ·SO ＝306.答案：3068π 四、解答题(本大题共6小题,共70分)17．(10分)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量m ＝22,－22,n ＝(sin x ,cos x ),x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n,求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3,求x 的值．解：(1)因为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22,n ＝(sin x ,cos x ),m ⊥n,所以m ·n ＝0,即22sin x －22cos x ＝0, 所以sin x ＝cos x ,所以tan x ＝1.(2)因为|m|＝|n|＝1,所以m ·n ＝cos π3＝12,即22sin x －22cos x ＝12,所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.因为0<x <π2,所以－π4<x －π4<π4,所以x －π4＝π6,即x ＝5π12.18．(12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知cos B ＝33,sin(A ＋B )＝69,ac ＝23,求sin A 和c 的值． 解：在△ABC 中,由cos B ＝33,得sin B ＝63, 因为A ＋B ＋C ＝π, 所以sin C ＝sin(A ＋B )＝69. 因为sin C ＜sin B ,所以C ＜B ,可知C 为锐角． 所以cos C ＝539.因此sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝63×539＋33×69＝223. 由a sin A ＝c sin C ,可得a ＝c sin Asin C ＝223c 69＝23c , 又ac ＝23,所以c ＝1.19．(12分)2019年全国移动互联创新大赛在3月到10月期间举行,为了选出优秀选手,某高校先在计算机科学系选出一名种子选手甲,再从全校征集出3位志愿者分别与甲进行一场技术对抗赛,根据以往经验,甲与这三位志愿者进行比赛一场获胜的概率分别为34,35,23,且各场输赢互不影响．求甲恰好获胜两场的概率．解：设甲与三位志愿者比赛一场获胜的事件分别为A ,B ,C ,则P (A )＝34,P (B )＝35,P (C )＝23,则甲恰好获胜两场的概率为：P ＝P (A －BC )＋P (A B －C )＋P (AB C －)＝P (A －)·P (B )·P (C )＋P (A )·P (B －)·P (C )＋P (A )·P (B )·P (C －)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×35×23＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×23＋34×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝920. 20.(12分)如图,三棱台DEF ABC 中,AB ＝2DE ,G ,H 分别为AC ,BC 的中点．(1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥BC ,AB ⊥BC ,求证：平面BCD ⊥平面EGH . 证明：(1)如图,连接DG ,CD , 设CD ∩GF ＝M ,连接MH .在三棱台DEF ABC 中,AB ＝2DE ,G 为AC 的中点,可得DF ∥GC ,DF ＝GC , 所以四边形DFCG 为平行四边形,则M 为CD 的中点．又H 为BC 的中点,所以HM ∥BD . 又HM ⊂平面FGH ,BD ⊄平面FGH , 所以BD ∥平面FGH . (2)连接HE ,GE .因为G ,H 分别为AC ,BC 的中点,所以GH ∥AB . 由AB ⊥BC ,得GH ⊥BC .又H 为BC 的中点,所以EF ∥HC ,EF ＝HC ,因此四边形EFCH 是平行四边形,所以CF ∥HE . 因为CF ⊥BC ,所以HE ⊥BC . 又HE ⊂平面EGH ,GH ⊂平面EGH ,HE ∩GH ＝H ,所以BC ⊥平面EGH .又BC ⊂平面BCD ,所以平面BCD ⊥平面EGH .21．(12分)交通指数是指交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值,记交通指数为T ,其范围为[0,10],分别有五个级别：T ∈[0,2),畅通；T ∈[2,4),基本畅通；T ∈[4,6),轻度拥堵；T ∈[6,8),中度拥堵；T ∈[8,10],严重拥堵．在晚高峰时段(T ≥2),从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段,求依次抽取的三个级别路段的个数；(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个,求至少有1个路段为轻度拥堵的概率． 解：(1)由频率分布直方图得,这20个交通路段中, 轻度拥堵的路段有(0.1＋0.2)×1×20＝6(个), 中度拥堵的路段有(0.25＋0.2)×1×20＝9(个), 严重拥堵的路段有(0.1＋0.05)×1×20＝3(个)．(2)由(1)知,拥堵路段共有6＋9＋3＝18(个),按分层抽样,从18个路段中抽取6个,则抽取的三个级别路段的个数分别为618×6＝2,618×9＝3,618×3＝1,即从交通指数在[4,6),[6,8),[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1.(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为A 1,A 2,抽取的3个中度拥堵路段为B 1,B 2,B 3,抽取的1个严重拥堵路段为C 1,从这6个路段中抽取2个路段,试验的样本空间为Ω＝{(A 1,A 2),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,B 3),(A 1,C 1),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,B 3),(A 2,C 1),(B 1,B 2),(B 1,B3),(B 1,C 1),(B 2,B 3),(B 2,C 1),(B 3,C 1)},共15个样本点,其中至少有1个路段为轻度拥堵包含的样本点有：(A 1,A 2),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,B 3),(A 1,C 1),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,B 3),(A 2,C 1),共9个．所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为915＝35.22．(12分)如图,在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中,AB ＝2,AA 1＝2,由顶点B 沿棱柱侧面经过棱AA 1到顶点C 1的最短路线与棱AA 1的交点记为M ,求： (1)三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)该最短路线的长及A 1MAM的值； (3)平面C 1MB 与平面ABC 所成二面角(锐角)的大小．解：(1)正三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧面展开图是长为6,宽为2的矩形,其对角线长为62＋22＝40＝210.(2)如图,将侧面AA 1B 1B 绕棱AA 1旋转120°使其与侧面AA 1C 1C 在同一平面上,点B 运动到点D 的位置．连接DC 1交AA 1于M ,则DC 1是由顶点B 沿棱柱侧面经过棱AA 1到顶点C 1的最短路线, ∴DC 1＝DC 2＋CC 21＝42＋22＝20＝2 5. ∵∠DMA ＝∠A 1MC 1, ∠MAD ＝∠MA 1C 1,DA ＝A 1C 1, ∴△DMA ≌△C 1MA 1,∴AM ＝A 1M ,故A 1MAM＝1.即最短路线的长为25,此时A 1MAM＝1.(3)如图,连接DB ,则DB 是平面C 1MB 与平面ABC 的交线．在△DCB 中,∠DBC ＝∠CBA ＋∠ABD ＝60°＋30°＝90°,∴CB ⊥DB . 又∵平面CBB 1C 1⊥平面ABC ,平面CBB 1C 1∩平面ABC ＝BC ,DB ⊂平面ABC , ∴DB ⊥平面CBB 1C 1,∴C 1B ⊥DB ,∴∠C 1BC 是平面C 1MB 与平面ABC 所成二面角的平面角(锐角)． ∵侧面CBB 1C 1是正方形,∴∠C 1BC ＝45°,故平面C 1MB 与平面ABC 所成的二面角(锐角)为45°.。
2019-2020学年新素养同步人教A版高中数学必修第二册学案：6.4.3 第2课时 正弦定理 Word版含答案
第2课时 正弦定理问题导学预习教材P45－P48的内容，思考以下问题： 1．在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？ 2．正弦定理的内容是什么？1．正弦定理对正弦定理的理解(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．2．正弦定理的变形若R 为△ABC 外接圆的半径，则 (1)a ＝2R sinA，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(3)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ； (4)a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝2R .判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦定理不适用于直角三角形．( ) (2)在△ABC 中必有a sin A ＝b sin B ．( )(3)在△ABC 中，若a ＞b ，则必有sin A >sin B ．( ) (4)在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则必有A ＝B .( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15 B.59 C.53D.1解析：选B.因为a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，所以由正弦定理得sin B ＝b sin Aa ＝5×133＝59.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则c ＝( )A.22B.1C. 2D.2解析：选D.由三角形内角和定理得，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(105°＋45°)＝30°. 由正弦定理得，c ＝b sin C sin B ＝22·sin 30°sin 45°＝2.在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b，则B 的度数为________．解析：根据正弦定理知，sin A a ＝sin Bb ，结合已知条件可得sin B ＝cos B ，又0°＜B ＜180°，所以B ＝45°.答案：45°已知两角及一边解三角形在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形． 【解】 因为A ＝45°，C ＝30°，所以B ＝180°－(A ＋C )＝105°. 由a sin A ＝c sin C 得a ＝c sin Asin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2.因为sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64，所以b ＝c sin B sin C ＝10×sin （A ＋C ）sin 30°＝20×2＋64＝52＋5 6.已知三角形的两角和任一边解三角形的思路(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．1．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b ＝( ) A ．42 B ．4 3 C ．4 6D ．323解析：选C.A ＝180°－B －C ＝45°，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin B sin A ＝8sin 60°sin 45°＝4 6.2．在△ABC 中，A ＝60°，sin B ＝12，a ＝3，求三角形中其他边与角的大小．解：因为sin B ＝12，所以B ＝30°或150°，当B ＝30°时，由A ＝60°得C ＝90°；当B ＝150°时，不合题意，舍去．所以由正弦定理b sin B ＝c sin C ＝a sin A ，得b ＝sin B sin A ·a ＝sin 30°sin 60°×3＝3，c ＝sin Csin A ·a ＝sin 90°sin 60°×3＝2 3.已知两边及其中一边的对角解三角形已知△ABC 中的下列条件，解三角形： (1)a ＝10，b ＝20，A ＝60°； (2)a ＝2，c ＝6，C ＝π3.【解】 (1)因为b sin B ＝asin A，所以sin B ＝b sin A a ＝20sin 60°10＝3>1，所以三角形无解．(2)因为a sin A ＝c sin C ，所以sin A ＝a sin C c ＝22.因为c ＞a ，所以C ＞A .所以A ＝π4.所以B ＝5π12，b ＝ c sin Bsin C＝6·sin5π12sin π3＝3＋1.[变条件]若本例(2)中C ＝π3改为A ＝π4，其他条件不变，求C ，B, b .解：因为a sin A ＝c sin C ，所以sin C ＝c sin A a ＝32.所以C ＝π3或2π3.当C ＝π3时，B ＝5π12，b ＝a sin Bsin A ＝3＋1.当C ＝2π3时，B ＝π12，b ＝a sin Bsin A＝3－1.(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的思路 ①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；②如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；③如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．(2)已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；②在△ABC 中，已知a ，b 和A ，以点C 为圆心，以边长a 为半径画弧，此弧与除去顶点A 的射线AB 的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：1．(2019·广东省揭阳市检测)在△ABC 中，cos A ＝12，a ＝43，b ＝42，则B 等于( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．60°解析：选C.由cos A ＝12，得sin A ＝32，A ＝60°，由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝22.因为三角形的内角和为180°，且a ＞b ，所以B ＝45°.2．已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A ．x >2 B ．x <2 C ．2<x <2 2D ．2<x <2 3解析：选C.由a sin B <b <a ，得22x <2<x ，所以2<x <2 2.判断三角形的形状已知在△ABC 中，角A ，B 所对的边分别是a 和b ，若a cos B ＝b cos A ，则△ABC一定是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【解析】 由正弦定理得：a cos B ＝b cos A ⇒sin A cos B ＝sin B cos A ⇒sin(A －B )＝0，由于－π＜A －B ＜π，故必有A －B ＝0，A ＝B ，即△ABC 为等腰三角形．【答案】 A[变条件]若把本例条件变为“b sin B ＝c sin C ”，试判断△ABC 的形状． 解：由b sin B ＝c sin C 可得sin 2B ＝sin 2C ，因为三角形内角和为180°， 所以sin B ＝sin C ．所以B ＝C .故△ABC 为等腰三角形．判断三角形形状的两种途径[注意] 在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，满足a cos A ＝bcos B＝ccos C，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：选C.由正弦定理得asin A＝bsin B＝csin C，又acos A＝bcos B＝ccos C，得sin Acos A＝sin Bcos B＝sin Ccos C，即tan A＝tan B＝tan C，所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形．1．(2019·辽宁沈阳铁路实验中学期中考试)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝()A.33 B.63C.32 D.62解析：选B.由正弦定理，得ABsin C＝ACsin B，即2sin C＝3sin 60°，解得sin C＝33.因为AB＜AC，所以C＜B，所以cos C＝1－sin2C＝6 3.2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c ＝()A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．2∶3∶1 D．1∶3∶2解析：选D.在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C ＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶3∶2.3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－a cos B＝(2a－b)cos A，则△ABC 的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D.已知c－a cos B＝(2a－b)cos A，由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A －sin B cos A，所以sin(A＋B)－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，化简得cos A(sin B－sin A)＝0，所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，则A＝90°或A＝B，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．[A基础达标]1．在△ABC 中，一定成立的式子是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a cos A ＝b cos B C ．a sin B ＝b sin A D ．a cos B ＝b cos A解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得a sin B ＝b sin A . 2．在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B ＝( ) A.π3 B.π6 C.π3或2π3D.π6或5π6解析：选C.由正弦定理，得3sin A ＝2sin B sin A ，所以sin A (2sin B －3)＝0.因为0<A <π，0<B <π，所以sin A ≠0，sin B ＝32，所以B ＝π3或2π3. 3．(2019·济南检测)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若A ＝60°，c ＝6，a ＝6，则此三角形有( )A ．两解B ．一解C ．无解D ．无穷多解解析：选B.由等边对等角可得C ＝A ＝60°，由三角形的内角和可得B ＝60°，所以此三角形为正三角形，有唯一解．4．在△ABC 中，若c ＝3，C ＝60°，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝( )A ．6B ．2 3C ．2D ． 3解析：选C.利用正弦定理的推论，得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝c sin C ＝3sin 60°＝2.5．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，则△ABC 的形状是 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.将a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)代入已知条件，得sin 2A tan B ＝sin 2B tan A ，则sin 2A sin B cos B ＝sin A sin 2B cos A.因为sin A sin B ≠0，所以sin A cos B ＝sin Bcos A，所以sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，所以A ＝B 或A ＋B ＝π2，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．6．在△ABC 中，若a ＝3，cos A ＝－12，则△ABC 的外接圆的半径为________．解析：由cos A ＝－12，得sin A ＝1－cos 2A ＝32，设△ABC 的外接圆的半径为R ，由正弦定理，有2R ＝asin A＝23，即△ABC 的外接圆的半径为 3.答案： 37．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，B ＝2A ，cos A ＝63，则b ＝________．解析：因为cos A ＝63，所以sin A ＝33，因为B ＝2A ，所以sin B ＝sin 2A ＝2sin A cos A ＝223，又b sin B ＝asin A，所以b ＝2 6. 答案：2 68．在△ABC 中，若B ＝π4，b ＝2a ，则C ＝________．解析：在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a sin A ＝2a sin π4＝2a 22＝2a ，所以sin A ＝12，所以A ＝π6或56π.因为b ＝2a ＞a ，所以B ＞A ，即A ＜π4，所以A ＝π6，所以C ＝π－A －B ＝π－π6－π4＝712π.答案：712π9．(2019·浙江温州月考)在△ABC 中，A ＝30°，C ＝45°，c ＝2，求a ，b 及cos B . 解：因为A ＝30°，C ＝45°，c ＝2， 所以由正弦定理，得a ＝c sin A sin C ＝2sin 30°sin 45°＝1.又B ＝180°－(30°＋45°)＝105°， 所以cos B ＝cos 105°＝cos(45°＋60°)＝2－64， b ＝c sin Bsin C ＝2sin 105°sin 45°＝2sin 105°＝2sin(45°＋60°)210．如图所示，AB ⊥BC ，CD ＝33，∠ACB ＝30°，∠BCD ＝75°，∠BDC ＝45°，求AB 的长．解：在△BCD 中，∠DBC ＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理知，33sin 60°＝BCsin 45°，可得BC ＝116，在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝116×tan 30°＝11 2.[B 能力提升]11．在△ABC 中，已知B ＝60°，最大边与最小边的比为3＋12，则三角形的最大角为( ) A ．60° B ．75° C ．90°D ．115°解析：选B.不妨设a 为最大边，c 为最小边，由题意有a c ＝sin A sin C ＝3＋12，即sin Asin （120°－A ）＝3＋12，整理，得(3－3)sin A ＝(3＋3)cos A ．所以tan A ＝2＋3，所以A ＝75°，故选B.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋3b sin C －a －c ＝0，则角B ＝________．解析：由正弦定理知，sin B cos C ＋3sin B sin C －sin A －sin C ＝0.(*) 因为sin A ＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，代入(*)式得3sin B sin C －cos B sin C －sin C ＝0. 因为sin C ＞0，所以3sin B －cos B －1＝0， 所以2sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫ B －π6＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.313．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，B ＝2π3，若a 2＋c 2＝4ac ，则sin （A ＋C ）sin A sin C＝________．解析：因为a 2＋c 2ac ＝b 2＋2ac cos B ac ＝4，B ＝2π3，所以b 2＝5ac .由正弦定理得sin 2B ＝5sin A sin C ＝34，所以sin A sin C ＝320，所以sin （A ＋C ）sin A sin C ＝sin B sin A sin C ＝1033.答案：103314．已知△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，b ＝3，求c 的值． 解：(1)由a cos C ＋32c ＝b ， 得sin A cos C ＋32sin C ＝sin B . 因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 所以32sin C ＝cos A sin C . 因为sin C ≠0，所以cos A ＝32. 因为0<A <π，所以A ＝π6.(2)由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝32.所以B ＝π3或2π3.①当B ＝π3时，由A ＝π6，得C ＝π2，所以c ＝2；②当B ＝2π3时，由A ＝π6，得C ＝π6，所以c ＝a ＝1.综上可得c ＝1或2.[C 拓展探究]15．在△ABC 中，已知a ＋b a ＝sin B sin B －sin A，且cos(A －B )＋cos C ＝1－cos 2C . (1)试确定△ABC 的形状；(2)求a ＋c b的取值范围． 解：(1)在△ABC 中，设其外接圆半径为R ，根据正弦定理得，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R， 代入a ＋b a ＝sin B sin B －sin A， 得a ＋b a ＝b b －a， 所以b 2－a 2＝ab .①因为cos(A －B )＋cos C ＝1－cos 2C ，所以cos(A －B )－cos(A ＋B )＝2sin 2C ，所以sin A sin B ＝sin 2C .由正弦定理，得a 2R ·b 2R＝⎝⎛⎭⎫c 2R 2， 所以ab ＝c 2.②把②代入①得，b 2－a 2＝c 2，即a 2＋c 2＝b 2.所以△ABC 是直角三角形．(2)由(1)知B ＝π2， 所以A ＋C ＝π2， 所以C ＝π2－A . 所以sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝cos A . 根据正弦定理，得a ＋cb ＝sin A ＋sin C sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4. 因为ac <ab ＝c 2，所以a <c ，所以0＜A ＜π4，所以π4＜A ＋π4＜π2. 所以22＜sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4<1， 所以1＜2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4<2， 即a ＋cb 的取值范围是(1， 2 )．。
新教材适用高中数学综合测评新人教A版选择性必修第二册
综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.对于数列1,37,314,321,…,398是这个数列的()A.不在此数列中B.第13项C.第14项D.第15项答案:D2.已知等差数列{a n},且a1+a2+a3+a4=10,a13+a14+a15+a16=70,则前16项的和等于()A.140B.160C.180D.200解析:∵a1+a2+a3+a4+a13+a14+a15+a16=4(a1+a16)=80,∴a1+a16=20.∴所求和为=160.答案:B3.若函数f(x)=x3-f'(1)·x2-x,则f'(3)的值为()A.0B.-1C.8D.-8解析:f'(x)=x2-2f'(1)·x-1,则f'(1)=12-2f'(1)·1-1,得f'(1)=0.故f'(x)=x2-1,从而f'(3)=8.答案:C4.设等比数列{a n}的前6项和S6=6,且1-为a1,a3的等差中项,则a7+a8+a9=()A.-2B.8C.10D.14解析:由题意得2-a2=a1+a3,∴a1+a2+a3=2,又S6=6,∴a4+a5+a6=4.又{a n}为等比数列,∴S3,S6-S3,S9-S6为等比数列,∴42=2(S9-S6),∴S9-S6=8,即a7+a8+a9=8.答案:B5.两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n,T n,且,则=()A. B.C. D.解析:.答案:D6.若函数f(x)=x3-ax2+ax在区间(0,1)上有极大值,在区间(1,2)上有微小值,则实数a的取值范围是()A. B.C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.解析:f'(x)=x2-2ax+a,由题意知,f'(x)=0在区间(0,1),(1,2)上都有根,则f'(0)>0,f'(1)<0,f'(2)>0,即解得1<a<.故选A.答案:A7.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)解析:设F(x)=,x>0,则F'(x)=<0,∴F(x)=在区间(0,+∞)上单调递减.∵f(x)为奇函数,且f(-1)=0,∴f(1)=0,于是F(1)=0.∴在区间(0,1)上,F(x)>0;在区间(1,+∞)上,F(x)<0,即当0<x<1时,f(x)>0;当x>1时,f(x)<0.又f(x)为奇函数,∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;当x∈(-1,0)时,f(x)<0.综上可知,f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).故选A.答案:A8.已知函数f(x)=-1+ln x,若存在x0>0,使得f(x0)≤0有解,则实数a的取值范围是()A.(2,+∞)B.(-∞,3)C.(-∞,1]D.[3,+∞)解析:函数f(x)的定义域是(0,+∞),不等式-1+ln x≤0有解,即a≤x-x ln x在区间(0,+∞)上有解.设h(x)=x-x ln x,则h'(x)=1-(ln x+1)=-ln x.令h'(x)=0,可得x=1.由h(x)的单调性可得,当x=1时,函数h(x)=x-x ln x取得最大值1.要使不等式a≤x-x ln x在(0,+∞)上有解,只要a小于等于h(x)的最大值,即a≤1.所以选C.答案:C二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差d≠0,且≤1.记b1=S2,b n+1=S2n+2-S2n,n∈N*,则下列等式肯定成立的是()A.2a4=a2+a6B.2b4=b2+b6C.=a2a8D.=b2b8解析:A.由等差数列的性质可知2a4=a2+a6,故A肯定成立;B.b4=S8-S6=a7+a8,b2=S4-S2=a3+a4,b6=S12-S10=a11+a12,又由题意可得2(a7+a8)=a3+a4+a11+a12,所以2b4=b2+b6,故B肯定成立;C.=a2a8⇔(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),整理可得a1=d,故C可能成立;D.b8=S16-S14=a15+a16,当=b2b8时,(a7+a8)2=(a3+a4)(a15+a16),即(2a1+13d)2=(2a1+5d)·(2a1+29d),得2a1=3d,这与已知≤1冲突,故D不行能成立.答案:AB10.下列函数中,存在极值点的是()A.y=2|x|B.y=-2x3-xC.y=x ln xD.y=x sin x解析:对于A,x=0是函数的微小值点;对于B,y'=-6x2-1<0恒成立,函数在R上单调递减,所以函数无极值点;对于C,y'=1+ln x.令y'=0,解得x=.当x∈时,y'<0,函数单调递减;当x∈时,y'>0,函数单调递增.所以x=是函数的微小值点;对于D,y'=sin x+x cos x.当x∈时,y'<0,函数单调递减;当x∈时,y'>0,函数单调递增.又当x=0时,y'=0,所以x=0是函数的微小值点.故选ACD.答案:ACD11.已知函数y=m e x的图象与直线y=x+2m有两个交点,则实数m的取值可以是()A.-1B.1C.2D.3解析:设f(x)=m e x-x-2m,则f'(x)=m e x-1.要使函数y=m e x的图象与直线y=x+2m有两个交点,需f(x)有两个零点.当m≤0时,f'(x)=m e x-1<0,函数f(x)在R上单调递减,不行能有两个零点,不符合题意,舍去.当m>0时,由f'(x)=0得x=ln.当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,且f(0)=-m<0.所以f≤f(0)<0.又当x➝-∞,f(x)➝+∞,x➝+∞时,f(x)➝+∞,所以当m>0时,函数f(x)有两个零点,即函数y=m e x的图象与直线y=x+2m有两个交点,视察各选项,知m的取值可以是1,2,3.故选BCD.答案:BCD12.已知函数f(x)=,则下列说法正确的是()A.f(x)的定义域是(0,+∞)B.当x∈(0,1)时,f(x)的图象位于x轴下方C.f(x)存在单调递增区间D.f(x)有且仅有两个极值点解析:∵f(x)=,∴ln x≠0,∴x>0,且x≠1,即f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞).故A错误;当x∈(0,1)时,ln x<0,∴f(x)<0.故B正确;由f(x)=,得f'(x)=.当0<x<1时,f'(x)<0,∴f(x)在区间(0,1)上单调递减.设g(x)=x ln x-1,则g'(x)=ln x+1.当x>1时,g'(x)>0,则g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.又g(1)=-1<0,g(2)=2ln2-1>0,∴存在x0∈(1,2)使g(x0)=0,即f'(x0)=0.∴当1<x<x0时,g(x)<0,即f'(x)<0,当x>x0时,g(x)>0,即f'(x)>0,∴f(x)在区间(0,1)和(1,x0)上单调递减,在区间(x0,+∞)上单调递增,x=x0为f(x)唯一的一个极值点.故C正确,D错误.故选BC.答案:BC三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)13.若等差数列{a n}满意a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=时,{a n}的前n项和最大.解析:∵a7+a8+a9=3a8>0,∴a8>0.∵a7+a10=a8+a9<0,∴a9<-a8<0.∴数列{a n}的前8项和最大.答案:814.已知周长为20 cm的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则该圆柱体积的最大值为cm3. 解析:设矩形相邻两边长分别为x(0<x<10)cm,(10-x)cm,绕长为(10-x)cm的一边旋转得到的圆柱的体积V(x)=πx2(10-x)=10πx2-πx3,则V'(x)=20πx-3πx2.令V'(x)=0,解得x=0(舍去)或x=.当x∈时,V'(x)>0,V(x)在区间上单调递增;当x∈时,V'(x)<0,V(x)在区间上单调递减,因此当x=时,V(x)取得最大值为cm3.答案:15.设直线y=m与曲线C:y=x(x-2)2的三个交点分别为A(a,m),B(b,m),C(c,m),其中a<b<c,则实数m 的取值范围是,a2+b2+c2的值为.解析:设f(x)=x(x-2)2,则f'(x)=3x2-8x+4.令f'(x)=0,解得x=或x=2.由f(x)的单调性,得f(x)的极大值为f,微小值为f(2)=0.若直线y=m与曲线C:y=x(x-2)2有三个交点,则0<m<,即m的取值范围为.设g(x)=f(x)-m=x(x-2)2-m=x3-4x2+4x-m.若直线y=m与曲线C:y=x(x-2)2有三个交点,且其坐标分别为A(a,m),B(b,m),C(c,m),则方程x3-4x2+4x-m=0有三个根,分别为a,b,c,即x3-4x2+4x-m=(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x-abc.故a+b+c=4,ab+bc+ac=4,于是a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=8.答案:816.数列{a n}满意:na n+2+(n+1)a n=(2n+1)·a n+1-1,a1=1,a2=6,令c n=a n cos ,数列{c n}的前n项和为S n,则S4n=.解析:∵na n+2+(n+1)a n=(2n+1)a n+1-1,∴na n+2-na n+1=(n+1)a n+1-(n+1)a n-1,∴.∴=1-,,,……(n≥2).上述n-1个式子相加得5-=1-,即a n+1-a n=4n+1(n≥2).又当n=1时,a2-a1=4×1+1=5也成立,∴a n+1-a n=4n+1.∴a2-a1=4×1+1,a3-a2=4×2+1,a4-a3=4×3+1,……a n-a n-1=4(n-1)+1(n≥2),上述n-1个式子相加得a n-1=(n-1)(2n+1),即a n=n(2n-1)(n≥2).又当n=1时,a1=1×(2×1-1)=1也成立,∴a n=n(2n-1).∵c n=a n cos,∴c4k-3+c4k-2+c4k-1+c4k=0-(4k-2)(8k-5)+0+4k(8k-1)=32k-10(k∈N*).∴S4n=(c1+c2+c3+c4)+(c5+c6+c7+c8)+…+(c4n-3+c4n-2+c4n-1+c4n)=(32×1-10)+(32×2-10)+…+(32n-10)=16n2+6n.答案:16n2+6n四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求{a n}的通项公式;(2)记c n=a n+b n,求数列{c n}的前n项和.解:(1)设等比数列{b n}的公比为q.则q==3,于是b1==1,b4=b3q=9×3=27.设等差数列{a n}的公差为d.已知a1=b1=1,a14=b4=27,由a14=a1+13d,得d==2.∴a n=a1+(n-1)d=2n-1.(2)由(1)知a n=2n-1,b n=3n-1,∴c n=a n+b n=(2n-1)+3n-1.∴{c n}的前n项和S n=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1==n2+.18.(12分)已知在等差数列{a n}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|a n|}的前n项和.解:由a1=-60,a17=-12知,等差数列{a n}的公差d==3.所以a n=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由a n≤0,即3n-63≤0,得n≤21,即{a n}中前20项是负数,从第21项起为非负数.设S n和S n'分别表示{a n}和{|a n|}的前n项和.当n≤20时,S n'=-S n=-=-n2+n.当n>20时,S n'=-S20+(S n-S20)=S n-2S20=-60n+-2n2-n+1260.综上,S n'=19.(12分)已知函数f(x)=x3-2ax2+bx+c,(1)当c=0时,f(x)在点P(1,3)处的切线平行于直线y=x+2,求a,b的值;(2)若f(x)在点A(-1,8),B(3,-24)处有极值,求f(x)的解析式.解:(1)当c=0时,f(x)=x3-2ax2+bx,则f'(x)=3x2-4ax+b.由题意得f(1)=3,f'(1)=1,即解得(2)因为f(x)=x3-2ax2+bx+c,所以f'(x)=3x2-4ax+b.由题意知-1,3是方程3x2-4ax+b=0的两根,所以解得a=,b=-9.由f(-1)=-1-2a-b+c=8,a=,b=-9,可得c=3,所以f(x)=x3-3x2-9x+3.检验知,符合题意.20.(12分)已知成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n}中的b3,b4,b5.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列是等比数列.(1)解:设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d.依题意得a-d+a+a+d=15,解得a=5.所以数列{b n}中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d.依题意得(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍去).故数列{b n}是第3项为5,公比为2的等比数列.所以其通项公式为b n=b3·q n-3=5·2n-3.(2)证明:数列{b n}的前n项和S n==5·2n-2-,即S n+=5·2n-2.所以S1+=2.因此是以为首项,2为公比的等比数列.21.(12分)设函数f(x)=a2ln x-x2+ax(a>0).(1)求f(x)的单调区间;(2)求全部使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立的a的值.(注:e为自然对数的底数)解:(1)函数f(x)=a2ln x-x2+ax(a>0)的定义域为(0,+∞),导数f'(x)=-2x+a=-.由于a>0,故当x∈(0,a)时,f'(x)>0,于是f(x)的单调递增区间为(0,a);当x∈(a,+∞)时,f'(x)<0,于是f(x)的单调递减区间为(a,+∞).(2)由题意得f(1)=a-1≥e-1,则a≥e.由(1)知f(x)在区间[1,e]上单调递增,要使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立,只需解得a=e.因此当a=e时,e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立.22.(12分)已知函数f(x)=ln x-f'(1)·x+ln ,g(x)=-f(x).(注:e为自然对数的底数)(1)求f(x)的单调区间;(2)设函数h(x)=x2-x+m,若存在x1∈(0,1],对随意的x2∈[1,2],总有g(x1)≥h(x2)成立,求实数m的取值范围.解:(1)∵f'(x)=-f'(1),∴f'(1)=1-f'(1).∴f'(1)=.∴f(x)=ln x-x+ln.∴f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=.∵当0<x<2时,f'(x)>0;当x>2时,f'(x)<0,∴函数f(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,+∞).(2)∵g(x)=2x--ln x-ln,∴g(x)的定义域为(0,+∞),g'(x)=2-.∵2x2-x+2=2>0,∴当x∈(0,1]时,g'(x)>0,函数g(x)在区间(0,1]上单调递增.∴函数g(x)在区间(0,1]上的最大值为g(1)=ln2-1.∵h(x)=x2-x+m=+m-,∴h(x)在区间[1,2]上的最大值为h(2)=2+m.而“存在x1∈(0,1],对随意的x2∈[1,2],总有g(x1)≥h(x2)成立”等价于“g(x)在区间(0,1]上的最大值不小于h(x)在区间[1,2]上的最大值”.∴ln2-1≥2+m,解得m≤ln2-3.因此实数m的取值范围为(-∞,ln2-3].11。
高中数学课时素养评价5.._5..3导数的四则运算法则简单复合函数的导数含解析选择性第二册
十五导数的四则运算法则简单复合函数的导数(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2020·秦州高二检测)函数f(x）=x—2ln x,则f′（1）=（）A。
—1 B。
1 C。
2 D.-2【解析】选A.根据题意,f(x)=x—2ln x，其导数f′(x)=1-，则f′(1)=1—2=-1.2。
（2020·福州高二检测）已知函数f（x）=,则f′(x）= (）A. B.C。
D。
【解析】选C。
根据题意，f(x）=，则f′（x）==。
3。
(2020·高安高二检测）f(x)=x（2 018+ln x)，若f′（x0)=2 020,则x0等于（）A.e2B。
1 C.ln 2 D。
e【解析】选D.f（x)=x（2 018+ln x）,则f′（x）=2 019+ln x,所以f′（x0)=2 019+ln x0=2 020,所以x0=e。
4.（2020·兰州高二检测）已知f(x)=sin x+cos x+，则f′等于（）A。
—1+ B.1+C.1 D。
—1【解析】选D。
f′(x）=cos x-sin x,故f′=cos —sin =—1。
二、填空题(每小题5分,共10分)5。
(2020·南通高二检测）已知函数f(x）=(x+a）ln x，f′(x）是函数f(x)的导函数.若f(1)=f′(1)，则实数a的值为________。
【解析】根据题意,函数f(x)=(x+a)ln x,则f(1)=(1+a）ln 1=0,则f′(x）=(x+a）′ln x+（x+a）(ln x）′=ln x+,则f′(1）=ln 1+1+a=1+a，则有1+a=0，解得a=-1.答案:—16。
(2020·全国Ⅰ卷）曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为________.【解题指南】设切线的切点坐标为(x0，y0）,对函数求导，利用y′=2，求出x0，代入曲线方程求出y0,得到切线的点斜式方程，化简即可.【解析】设切线的切点坐标为(x0,y0）,y=ln x+x+1，y′=+1，y′=+1=2，x0=1,y0=2,所以切点坐标为（1，2)，所求的切线方程为y—2=2(x—1），即y=2x.答案：y=2x三、解答题（每小题10分，共20分)7.求下列函数的导数:（1)y=x.（2)y=.(3）y=cos （3x—2).(4）f(x)=3x2+xcos x+lg x。
[精品]新人教A版必修五高中数学模块综合测评2和答案
模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列1,3,7,15，…的通项a n可能是( )A．2n B．2n＋1C．2n－1 D．2n－1【解析】取n＝1时，a1＝1，排除A、B，取n＝2时，a2＝3，排除D.【答案】 C2．不等式x2－2x－5>2x的解集是( )A．{x|x≤－1或x≥5}B．{x|x<－1或x>5}C．{x|1<x<5}D．{x|－1≤x≤5}【解析】不等式化为x2－4x－5>0，所以(x－5)(x＋1)>0，所以x<－1或x>5.【答案】 B3．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于( )A．16 B．32C．64 D．256【解析】∵{a n}是等比数列且由题意得a1·a19＝16＝a210(a n>0)，∴a8·a10·a12＝a310＝64.【答案】 C4．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 【解析】5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3b sin A ，则△ABC 的面积等于( )A.12B.32 C ．1D.34【解析】 ∵a ＝3b sin A ，∴由正弦定理得sin A ＝3sin B sin A ，∴sin B ＝13.∵ac ＝3，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×3×13＝12，故选 A.【答案】 A6．等比数列{a n }前n 项的积为T n ，若a 3a 6a 18是一个确定的常数，那么数列T 10，T 13，T 17，T 25中也是常数的项是( )A ．T 10B ．T 13C ．T 17D ．T 25【解析】 由等比数列的性质得a 3a 6a 18＝a 6a 10a 11＝a 8a 9a 10＝a 39，而T 17＝a 179，故T 17为常数．【答案】 C7．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3【解析】 由题意：A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知：a ＝－1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－3. 【答案】 A8．古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 远望巍巍塔七层，说明该数列共有7项，即n ＝7.红光点点倍加增，说明该数列是公比为2的等比数列．共灯三百八十一，说明7项之和S 7＝381.请问尖头几盏灯，就是求塔顶几盏灯，即求首项a 1. 代入公式S n ＝a 1－q n1－q，即381＝a 1－271－2，∴a 1＝381127＝3.∴此塔顶有3盏灯． 【答案】 B9．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，则yx的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,1] C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)【解析】 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0的相关区域如图中的阴影部分所示．yx表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率，由图可知，yx的取值范围为(1，＋∞)．【答案】 C10．在△ABC 中，若c ＝2b cos A ，则此三角形必是( ) A ．等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．有一角为30°的直角三角形【解析】 由正弦定理得sin C ＝2cos A sin B ， ∴sin (A ＋B )＝2cos A sin B ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝2cos A sin B ， 即sin A cos B －cos A sin B ＝0， 所以sin (A －B )＝0. 又因为－π<A －B <π， 所以A －B ＝0， 即A ＝B . 【答案】 A11．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2 【解析】 ∵x >1， ∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋x －＋3x －1＝x －2＋x －＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥23＋2.【答案】 A12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2，BC →·BA →＝12，则tan B 等于( ) A.32B.3－1 C ．2D ．2－ 3【解析】 由BC →·BA →＝12，得ac cos B ＝12，∴2ac cos B ＝1.又由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－1， ∴a 2－b 2＋c 2＝1， ∴tan B ＝2－31＝2－ 3.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知点P (1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式 2x ＋by ＋1>0表示的平面区域内，则b 的取值范围是______. 【导学号：05920089】【解析】 点P (1，－2)关于原点的对称点为点P ′(－1，2)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2×1－2b ＋1>0，－2＋2b ＋1>0，解得12<b <32.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3214．(2015·江苏高考)设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．【解析】 由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝n －＋n2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1， ∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足此式， ∴a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)．∴1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴S 10＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋110－111＝2×⎝⎛⎭⎪⎫1－111＝2011.【答案】 201115．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，a ＝2，又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ， ∴a 2－b 2＝c 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ，∴A ＝60°.∵在△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (“＝”当且仅当b ＝c 时取得)， ∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3.【答案】316．若1a <1b<0，已知下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋ab>2；⑤a 2>b 2；⑥2a >2b .其中正确的不等式的序号为______． 【解析】 ∵1a <1b<0，∴b <a <0，故③错；又b <a <0，可得|a |<|b |，a 2<b 2， 故②⑤错，可证①④⑥正确． 【答案】 ①④⑥三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．【解】 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ， ∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >0，3＋d <0，∴－247<d <－3.(2)∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7>0，a 7<0，∴a 6>0， 又由(1)知d <0.∴数列前6项为正，从第7项起为负． ∴数列前6项和最大．18．(本小题满分12分)已知α，β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a ，b ∈R ，求b －3a －1的最大值和最小值．【解】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝－a ，αβ＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－α＋β，b ＝αβ2，∵0≤α≤1,1≤β≤2，∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2.∴⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ≤－1，0≤b ≤1，建立平面直角坐标系aOb ，则上述不等式组表示的平面区域如下图所示．令k ＝b －3a －1，可以看成动点P (a ，b )与定点A (1,3)的连线的斜率． 取B (－1,0)，C (－3,1)， 则k AB ＝32，k AC ＝12，∴12≤b －3a －1≤32. 故b －3a －1的最大值是32，最小值是12. 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，试求当△ABC 的面积取最大值时，△ABC 的形状. 【导学号：05920090】【解】 (1)∵(2b －c )cos A －a cos C ＝0，由余弦定理得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 22ab＝0，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)由(1)得b 2＋c 2－bc ＝3及b 2＋c 2≥2bc 得bc ≤3.当且仅当b ＝c ＝3时取等号．∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×3×32＝334. 从而当△ABC 的面积最大时，a ＝b ＝c ＝ 3.∴当△ABC 的面积取最大值时△ABC 为等边三角形．20．(本小题满分12分)已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R .(1)求a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0. 【解】 (1)∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立．①当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；②当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)由x 2－x －a 2＋a <0，得(x －a )[x －(1－a )]<0.∵0≤a ≤1，∴①当1－a >a ， 即0≤a <12时， a <x <1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝⎛⎭⎪⎫x －122<0，不等式无解； ③当1－a <a ，即12<a ≤1时， 1－a <x <a .综上，当0≤a <12时，原不等式的解集为(a,1－a )； 当a ＝12时，原不等式的解集为∅； 当12<a ≤1时，原不等式的解集为(1－a ，a )． 21．(本小题满分12分)若数列{a n }满足a 2n ＋1－a 2n ＝d ，其中d 为常数，则称数列{a n }为等方差数列．已知等方差数列{a n }满足a n >0，a 1＝1，a 5＝3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和． 【解】 (1)由a 21＝1，a 25＝9，得a 25－a 21＝4d ，∴d ＝2.a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，∵a n >0，∴a n ＝2n －1.数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝(2n －1)12n ， 设S n ＝1·12＋3·122＋5·123＋…＋(2n －1)·12n ，①12S n ＝1·122＋3·123＋5·124＋…＋(2n －1)· 12n ＋1，② ①－②，得12S n ＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －(2n －1)·12n ＋1 ＝12＋2·14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－(2n －1)·12n ＋1， 即S n ＝3－2n ＋32n ， 即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和为3－2n ＋32n . 22．(本小题满分12分)如图1所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分时测得该轮船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分该轮船到达位于海岛正西方且距海岛5千米的E 港口，如果轮船始终匀速直线航行，则船速是多少？(结果保留根号)图1【解】 轮船从点C 到点B 用时80分钟，从点B 到点E 用时20分钟，而船始终匀速航行，由此可见，BC ＝4EB .设EB ＝x ，则BC ＝4x ，由已知得∠BAE ＝30°，在△AEC 中，由正弦定理得EC sin ∠EAC ＝AEsin C ， 即sin C ＝AE sin ∠EAC EC ＝5sin 150°5x ＝12x， 在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝ABsin C， 即AB ＝BC sin C sin 120°＝4x ×12x sin 120°＝43＝433. 在△ABE 中，由余弦定理得 BE 2＝AE 2＋AB 2－2AE ·AB cos 30°＝25＋163－2×5×433×32＝313， 所以BE ＝313(千米)． 故轮船的速度为v ＝313÷2060＝93(千米/时)．。
高中数学 第十章 概率单元质量评估(含解析)新人教A版必修第二册-新人教A版高一第二册数学试题
第十章单元质量评估一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列试验中是古典概型的是( C )A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点B．在数轴上－1～2之间任取一点x，观察x是否小于0C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面的情况D．某人射击中靶或不中靶解析：A中尽管点数之和只有有限个取值：2,3，…，12，但它们不是等可能的；B中试验的样本点有无数个；D中“中靶”“不中靶”不一定是等可能发生的．因此，A，B，D都不是古典概型．故选C.2．从装有两个红球和两个白球的口袋中任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是( D )A．“至少有一个白球”与“都是白球”B．“至少有一个白球”与“至少有一个红球”C．“至少有一个白球”与“都是红球”D．“恰有一个白球”与“恰有两个白球”解析：A选项错，事件“至少有一个白球”包含事件“都是白球”，则两事件不互斥，也不对立；B选项错，事件“至少有一个白球”与“至少有一个红球”的交事件为“一个白球和一个红球”，从而两事件不互斥，也不对立；C选项错，事件“至少有一个白球”与“都是红球”互斥且对立．易知D选项正确．3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级品)的概率为( A ) A．0.92 B．0.95 C．0.97 D．0.08解析：记事件A＝“生产的产品为甲级品”，B＝“生产的产品为乙级品”，C＝“生产的产品为丙级品”，则P(B)＝0.05，P(C)＝0.03，且事件A，B，C两两互斥，P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，所以P(A)＝0.92，选A.4．某单位志愿服务团有20人，他们年龄分布如下表所示：则这20A ．12,30B ．12,36C ．17,30D ．17,36解析：极差是45－28＝17,25%分位数是30，故选C.5．含甲、乙在内的4个人站成一排照相，甲在乙右边的概率为( C )A.14B.34C.12D.35解析：方法1：设这4人分别为甲、乙、丙、丁，则他们站成一排的所有样本点为(甲，乙，丙，丁)，(甲，乙，丁，丙)，(甲，丙，乙，丁)，(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，乙，丙)，(甲，丁，丙，乙)，…，(丁，甲，乙，丙)，(丁，甲，丙，乙)，(丁，乙，甲，丙)，(丁，乙，丙，甲)，(丁，丙，甲，乙)，(丁，丙，乙，甲)，共24个．其中事件甲在乙右边的样本点数为12，故所求概率为12. 方法2：整体法考虑，4个人站成一排照相，分甲在乙右边、甲在乙左边两个样本点，从而甲在乙右边的概率为12，故选C. 6．袋中有6个除颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球，从袋中任取2球，则2球的颜色为一白一黑的概率为( B )A.15B.25C.35D.45解析：从袋中任取2球共15种取法，2球的颜色为一白一黑的情况共6种，故所求概率为615＝25. 7．A 地的天气预报显示，A 地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生0～9之间整数值的随机数，并用0,1,2,3,4,5,6表示没有强浓雾，用7,8,9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：402 978 191 925 273 842 812 479 569 683231 357 394 027 506 588 730 113 537 779则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为( D )A.14B.25C.710D.15解析：由题意知，在20组随机数中表示三天中至少有两天有强浓雾的有978,479,588,779，共4组，故所求概率近似为420＝15.8．在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是( C )A.110B.310C.25D.14解析：从中随机取出2个小球的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，样本点共有10个，取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的样本点有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(1,5)，共4个，所以取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是410＝25. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．已知某厂的产品合格率为0.8，现抽出10件产品检查，则下列说法不正确的是( ABC )A ．合格产品少于8件B ．合格产品多于8件C ．合格产品正好是8件D ．合格产品可能是8件解析：某厂的产品合格率为0.8，现抽出10件产品检查，合格产品可能是8件．故选ABC.10．掷一枚均匀的硬币两次，记事件A ＝“第一次出现正面”，B ＝“第二次出现反面”，则有( AD )A ．A 与B 相互独立 B ．P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )C ．A 与B 互斥D ．P (AB )＝14解析：对于选项A ，由题意得事件A 的发生与否对事件B 的发生没有影响，所以A 与B 相互独立，所以A 正确；对于选项B ，C ，由于事件A 与B 可以同时发生，所以事件A 与B 不互斥，故选项B ，C 不正确；对于选项D ，由于A 与B 相互独立，因此P (AB )＝P (A )P (B )＝14，所以D 正确．故选AD.11．下列说法不正确的是( ABC )A ．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场 B ．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C ．随机试验的频率与概率相等D ．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为76%解析：概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性．12．甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是( ACD )A ．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜B ．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜C ．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一X ，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜D ．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜解析：对于A ，C ，D ，甲胜、乙胜的概率都是12，游戏是公平的；对于B ，点数之和大于7与点数之和小于7的概率相等，但点数之和等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．将一枚骰子先后抛掷两次，观察向上的点数．设抛掷两次向上的点数分别为a 和b ，则等式2a －b ＝1成立的概率为 16. 解析：∵2a －b ＝1，∴a －b ＝0.又先后抛掷骰子两次，该试验样本空间的样本点一共有36个，当a －b ＝0时，包含的样本点有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，共6个．∴所求概率为636＝16. 14．在利用整数随机数进行随机模拟试验中，整数a 到整数b 之间的每个整数出现的可能性是 1b －a ＋1(用a 和b 表示)． 解析：[a ，b ]中共有(b －a ＋1)个整数，每个整数出现的可能性相等，故每个整数出现的可能性是1b －a ＋1. 15．甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率．先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5表示甲获胜；6,7,8,9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．例如，产生30组随机数．034 743 738 636 964 736 614 698 637 162332 616 804 560 111 410 959 774 246 762428 114 572 042 533 237 322 707 360 751据此估计乙获胜的概率为 1130. 解析：由题意知，相当于做了30次试验．表示乙获胜的有738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707，共11个．所以估计乙获胜的概率为1130. 16．在集合{1,2,3}中有放回地先后随机取两个数，若把这两个数按照取的先后顺序组成一个两位数，则其样本点总数为__9__，“个位数与十位数不相同”的概率是 23. 解析：根据题意，在集合{1,2,3}中有放回地先后随机取两个数，样本点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9个；按照取的先后顺序组成一个两位数后，其中个位数与十位数相同的样本点有3个，即(1,1)，(2,2)，(3,3)，则“个位数与十位数不相同”的样本点有9－3＝6(个)，则其概率为69＝23. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题10分)某医院一天内派出下乡医疗的医生人数及其概率如下：(1)(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y 、z 的值． 解：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0.1＋0.16＋x ＝0.56，∴x ＝0.3.(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96＋z ＝1，∴z ＝0.04.由派出医生最少3人的概率为0.44，得y ＋0.2＋z ＝0.44，∴y ＝0.44－0.2－0.04＝0.2.18．(本小题12分)在甲、乙等5位学生参加的一次社区专场演唱会中，每位学生的节目集中安排在一起演出，采用抽签的方法随机确定各位学生的演出顺序(序号为1,2,3,4,5)．(1)甲、乙两人的演出序号至少有一个为偶数的概率；(2)甲、乙两人的演出序号不相邻的概率．解：样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，共10个样本点．其中甲、乙两人至少有一人被安排在偶数号的样本点有：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(4,5)，共7个．甲、乙两人被安排在不相邻的演出序号的样本点有：(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,5)，共6个．(1)事件A ＝记“甲、乙两人的演出序号至少有一个为偶数”，则P (A )＝710. (2)事件B ＝记“甲、乙两人的演出序号不相邻”，则P (B )＝610＝35. 19．(本小题12分)某公司随机收集了该公司所生产的四类产品的售后调查数据，经分类整理得到下表：(1)从公司收集的这些产品中随机选取1件，求这件产品是获得用户满意评价的丙类产品的概率；(2)假设该公司的甲类产品共销售10 000件，试估计这些销售的甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数．解：(1)由题意知，样本中公司的产品总件数为100＋50＋200＋150＝500，丙类样本产品中获得用户满意评价的产品件数为200×0.8＝160，∴所求概率为P ＝160500＝0.32.(2)在样本100件甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数是100×(1－0.9)＝10，∴不能获得用户满意评价的件数占比为10100＝110. ∵该公司的甲类产品共销售了10 000件，∴这些甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数是10 000×110＝1 000. 20．(本小题12分)某小组共有A ，B ，C ，D ，E 五名同学，他们的身高(单位：m)以及体重指标(单位：kg/m 2)如下表所示：(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在 1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．解：(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的样本点有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共6个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78以下的样本点有：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P ＝36＝12.(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的样本点有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的样本点有：(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共3个．因此选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P ＝310. 21．(本小题12分)为预防某病毒爆发，某生物技术公司研制出一种抗病毒疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，公司选定2 000个样本分成三组，测试结果如下表：(1)求x 的值；(2)现用分层随机抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取多少个？(3)已知y ≥465，z ≥30，求不能通过测试的概率．解：(1)∵在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率为0.33，即x2 000＝0.33，∴x ＝660.(2)C 组样本个数为y ＋z ＝2 000－(673＋77＋660＋90)＝500，用分层随机抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，应在C 组抽取360×5002 000＝90(个)． (3)设事件M ＝“测试不能通过”，C 组疫苗有效与无效的可能的情况记为(y ，z )，已知y≥465，Z≥30，由(2)知y＋z＝500，且y，z∈N，所以样本空间Ω＝{(465,35)，(466,34)，(467,33)，(468,32)，(469,31)，(470,30)}，共6个样本点．若测试不能通过，则77＋90＋z>2 000×(1－90%)，即z>33.M＝{(465,35)，(466,34)}，共2个样本点，则P(M)＝26＝13.故不能通过测试的概率为13.22．(本小题12分)为了研究某种理财工具的使用情况，对[20,70]年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成5组：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70]，并整理得到频率分布直方图如图：(1)求直方图中a的值；(2)采用分层随机抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，则三个组中各抽取多少人？(3)在(2)中抽取的8人中，随机抽取2人，则这2人都来自第三组的概率是多少？解：(1)由频率分布直方图的性质，可得(0.040＋2a＋0.015＋0.005)×10＝1，解得a＝0.020.(2)由频率分布直方图知第二组、第三组、第四组的频率比为1∶2∶1，∴三个组依次抽取的人数为2,4,2.(3)记第二组两人分别为A1，A2，第三组四人分别为B1，B2，B3，B4，第四组两人分别为C1，C2.样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，B4)，(B3，C1)，(B3，C2)，(B4，C1)，(B4，C2)，(C1，C2)}，共28个样本点，而都来自第三组的为(C1，C2)，故其概率为P＝128.。
2020_2021学年新教材高中数学第五章统计与概率单元素养评价含解析新人教B版必修第二册
单元素养评价(二)(第五章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.为全面地了解学生对任课教师教学的满意程度,特在某班开展教学调查.采用简单随机抽样的办法,从该班抽取20名学生,根据他们对语文、数学教师教学的满意度评分(百分制),绘制茎叶图如图.设该班学生对语文、数学教师教学的满意度评分的中位数分别为a,b,则( )A.a<bB.a>bC.a=bD.无法确定【解析】选A.由茎叶图得:a=错误!未找到引用源。
=75.5,b=错误!未找到引用源。
=76,所以a<b.【补偿训练】如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图,已知甲的成绩的极差为31,乙的成绩的平均值为24,则下列结论错误的是( )A.x=9B.y=8C.乙的成绩的中位数为26D.乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差【解析】选B.因为甲的成绩的极差为31,所以其最高成绩为39,所以x=9;因为乙的成绩的平均值为24,所以y=24×5-(12+25+26+31)-20=6;由茎叶图知乙的成绩的中位数为26;对比甲、乙的成绩分布发现,乙的成绩比较集中,故其方差较小.2.(2020·某某高一检测)若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m,n,则点P(m,n)满足函数y=-x+4上的概率是( )A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
【解析】选D.连续抛掷两次骰子出现的结果共有6×6=36个,其中每个结果出现的概率都是等可能的,点P(m,n)在直线x+y=4上包含的结果有(1,3),(2,2),(3,1)共3个,所以点P(m,n)在直线x+y=4上的概率是错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
.3.在普通高中新课程改革中,某地实施“3+1+2”选课方案.该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门,假设每门学科被选中的可能性相等,那么政治和地理至少有一门被选中的概率是( )A.错误!未找到引用源。
2020-2021学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册第五章单元素养评价试卷(四)
单元素养评价(四)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.自变量x从x0变化到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A.从x0到x1的平均变化率B.在x=x1处的变化率C.在x=x1处的变化量D.在区间[x0,x1]上的导数2.(2020·宁城高二检测)一个质量m=5 kg的物体做直线运动,设运动距离s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=1+t2表示,并且物体的动能E k=mv2,则物体开始运动后第4 s 时的动能是( )A.160 JB.165 JC.170 JD.175 J3.若f(x)=sin α-cos x,则f′(x)等于 ( )A.cos α+sin xB.2sin α+cos xC.sin xD.cos x4.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形面积为( )A. B. C. D.15.已知函数f(x)=x3+ax+4,则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3时取得极值,则a= ( )A.2B.3C.4D.57.将周长为4的矩形ABCD绕AB旋转一周所得圆柱体积最大时,AB的长为( )A. B. C. D.18.(2020·全国Ⅲ卷)若直线l与曲线y=和圆x2+y2=都相切,则l的方程为( ) A.y=2x+1 B.y=2x+C.y=x+1D.y=x+二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.(2020·济南高二检测)以下四个式子分别是函数在其定义域内求导,其中正确的是( )A.′=B.(cos 2x)′=-2sin 2xC.′=3xD.(lg x)′=10.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则( )A.在x=-2时,函数y=f(x)取得极值B.在x=1时,函数y=f(x)取得极值C.y=f(x)的图象在x=0处切线的斜率小于零D.函数y=f(x)在区间(-2,2)上单调递增11.已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示,则g(x)=( )A.在区间(0,1)上是单调递增的B.在区间(1,4)上是单调递减的C.在区间上是单调递减的D.在区间上是单调递减的12.(2020·烟台高二检测)已知函数f(x)=xln x,若0<x1<x2,则下列结论正确的是( )A.x2f(x1)<x1f(x2)B.x1+f(x1)<x2+f(x2)C.<0D.当ln x>-1时,x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f(x1)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.已知f(x)=x(2 016+ln x),f′(x0)=2 017,则x0=________.14.已知函数f(x)满足f(x)=f(π-x),且当x∈时,f(x)=x+sin x,设a=f(1),b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系是________.15.(2020·长沙高二检测)已知曲线C1:f(x)=-e x-2x,曲线C2:g(x)=ax+cos x,(1)若曲线C1在x=0处的切线与C2在x=处的切线平行,则实数a=________.(2)若曲线C1上任意一点处的切线为l1,总存在C2上一点处的切线l2,使得l1⊥l2,则实数a的取值范围为________.16.已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表,f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,给出关于f(x)的下列命题:x -1 0 2 4 5f(x) 1 2 0 2 1①函数y=f(x)在x=2取到极小值;②函数f(x)在[0,1]是减函数,在[1,2]是增函数;③当1<a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点;④如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最小值为0.其中所有正确命题是________(写出正确命题的序号).四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)已知f′(x)是一次函数,x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1.求f(x)的解析式.18.(12分)设函数f(x)=ln x+ln(2-x)+ax(a>0),若f(x)在(0,1]上的最大值为,求a的值.19.(12分)(2020·西安高二检测)已知f′(x)为函数f(x)的导函数,且f(x)=e x·e x+2f(0)e x-f′(0)x.(1)求f′(0)的值;(2)求f(x)的单调区间与极值.20.(12分)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值.(2)当a=3,b=-9时,若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28,求k的取值范围.21.(12分)(2019·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=2sin x-xcos x-x,f′(x)为f(x)的导数.(1)证明:f′(x)在区间(0,π)上存在唯一零点.(2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.22.(12分)某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,根据经验知道,其次品率P与日产量x(万件)之间大体满足关系:P=(其中c为小于6的正常数)(注:次品率=次品数/生产量,如P=0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其余为合格品).已知每生产1万件合格的仪器可盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1万元,故厂方希望定出合适的日产量.(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数.(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?。