2018年高考数学(理)总复习_双基过关检测：“数列”_有解析

“数列”双基过关检测
一、选择题
1．已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝
a 13－a 313－3
＝33－13
10＝2，故选B.
2．(2017·江西六校联考)在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7＝－33，则a 2a 8＝( ) A ．3 B.17 C ．9
D ．13
解析：选A 由a 3a 5a 7＝－33，得a 35＝－33，故a 2a 8＝a 2
5＝3.
3．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 015＝( ) A ．8 B ．6 C ．4
D ．2
解析：选D 由题意得a 3＝4，a 4＝8，a 5＝2，a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a 2 015＝a 335×6＋5＝a 5＝2.
4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n (n ≥2)，则a 7＝( ) A ．53 B ．54 C ．55
D ．109
解析：选C a 2＝a 1＋2×2，a 3＝a 2＋2×3，……，a 7＝a 6＋2×7，各式相加得a 7＝a 1＋2(2＋3＋4＋…＋7)＝55.故选C.
5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ∈N *)，则S 6＝( ) A ．44 B ．45 C.1
3
×(46－1) D.1
4
×(45－1)
解析：选B 由a n ＋1＝3S n 得a 2＝3S 1＝3.当n ≥2时，a n ＝3S n －1，则a n ＋1－a n ＝3a n ，n ≥2，即a n ＋1＝4a n ，n ≥2，则数列{a n }从第二项起构成等比数列，所以S 6＝a 73＝3×4
5
3
＝45，故选B.
6．(2017·河南中原名校摸底)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8＝( ) A ．18 B ．12 C ．9
D ．6
解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得S 11＝
11(a 1＋a 11)2＝11(2a 1＋10d )
2
＝22，即a 1＋5d ＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d )＝6，故选D.
7．(2017·哈尔滨模拟)在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( ) A.3
2 B.23
C ．－23
D.23或－23
解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧
a 1q ＝18，
a 1q 3＝8，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝27，q ＝
2
3
或⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1
＝－27，q ＝－2
3. 又a 1<0，因此q ＝－2
3
.
8．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝( ) A ．75 B ．90 C ．105
D ．120
解析：选C a 1＋a 2＋a 3＝15⇒3a 2＝15⇒a 2＝5，a 1a 2a 3＝80⇒(a 2－d )a 2(a 2＋d )＝80，将a 2＝5代入，得d ＝3(d ＝－3舍去)，从而a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝3×(5＋30)＝105.
二、填空题
9．已知数列{a n }的通项公式a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2·
3n －
1，n 为偶数，2n －5，n 为奇数，则a 3a 4＝________.
解析：由题意知，a 3＝2×3－5＝1，a 4＝2×34－
1＝54，∴a 3a 4＝54.
答案：54
10．(2016·宁夏吴忠联考)等比数列的首项是－1，前n 项和为S n ，如果
S 10S 5＝31
32
，则S 4的值是________． 解析：由已知得S 10S 5＝1－q 10
1－q 5＝1＋q 5＝3132，故q 5＝－132，解得q ＝－12，S 4＝(－1)×⎝⎛⎭
⎫1－1161＋
12
＝－58
.
答案：－5
8
11．(2016·潍坊一模)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝13a n ＋2
3，则{a n }的通项公式a n ＝________.
解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝13a 1＋2
3，∴a 1＝1.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13a n －13a n －1，∴a n a n －1＝－1
2.
∴数列{a n }为首项a 1＝1，公比q ＝－1
2的等比数列，
故a n ＝⎝⎛⎭⎫－1
2n －1. 答案：⎝⎛⎭⎫－12n －1 三、解答题
12．(2017·德州检测)已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；
(2)设数列{b n }的通项b n ＝S n
n ，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .
解：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－
2＝2，所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)
2
×2＝k 2＋k .
由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，
解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. (2)由(1)得S n ＝
n (2＋2n )2
＝n (n ＋1)，则b n ＝S n
n ＝n ＋1， 故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，
即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列， 所以T n ＝
n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)
2
. 13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；
(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． 解：(1)证明：当n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝4
3a n －1，
又a 1＝1≠0，
∴{a n }是首项为1，公比为4
3的等比数列．
(2)由(1)知a n ＝⎝⎛⎭⎫43n －1，∵b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *
)， ∴b n ＋1－b n ＝⎝⎛⎭⎫43n －1.
当n ≥2时，可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋
1－⎝⎛⎭⎫43n －1
1－43
＝3⎝⎛⎭⎫43n －1－1，
当n ＝1时，上式也成立，
∴数列{b n }的通项公式为b n ＝3⎝⎛⎭⎫43n －1
－1.
14．设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *. (1)求a 1的值；
(2)求数列{a n }的通项公式． 解：(1)令n ＝1，T 1＝2S 1－1， ∵T 1＝S 1＝a 1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. (2)n ≥2时，T n －1＝2S n －1－(n －1)2， 则S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2] ＝2(S n －S n －1)－2n ＋1 ＝2a n －2n ＋1.
因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也满足上式，
所以S n＝2a n－2n＋1(n≥1)，
当n≥2时，S n－1＝2a n－1－2(n－1)＋1，
两式相减得a n＝2a n－2a n－1－2，
所以a n＝2a n－1＋2(n≥2)，所以a n＋2＝2(a n－1＋2)，
因为a1＋2＝3≠0，
所以数列{a n＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列．所以a n＋2＝3×2n－1，∴a n＝3×2n－1－2，
当n＝1时也成立，
所以a n＝3×2n－1－2.。