《数学分析》课本上的习题2

P.27 习题2．按N -ε定义证明： （1）11lim=+∞→n nn证明因为n n n n 11111<+=-+，所以0>∀ε，取ε1=N ，N n >∀，必有ε<<-+nn n 111. 故11lim =+∞→n nn（2）23123lim22=-+∞→n n n n 证明因为nn n n n n n n n n n n n 32525)1(232)12(23223123222222<=<-++<-+=--+)1(>n ，于是0>∀ε，取}3,1max{ε=N ，N n >∀，有ε<<--+nn n n 32312322. 所以23123lim 22=-+∞→n n n n （3）0!lim=∞→nn n n证明因为n n n n n n n n n n n n n n nn 11211)1(!0!≤⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅-==-ΛΛΛ，于是0>∀ε，取ε1=N ，N n >∀，必有ε<≤-n n n n10!. 所以0!lim =∞→n n n n（4）0sinlim =∞→nn π证明因为nnnπππ≤=-sin0sin，于是0>∀ε，取επ=N ，N n >∀，必有εππ<≤-nn0sin. 所以0sinlim =∞→nn π（5）)1(0lim>=∞→a a nnn证明因为1>a ，设)0(1>+=h ha ，于是222)1(2)1(1)1(h n n h h n n nh h a n n n -≥++-++=+=Λ，从而 22)1(22)1(0h n h n n n a n a n n n -=-≤=-，所以0>∀ε，取122+=h N ε，N n >∀，有ε<-≤-2)1(20h n a n n . 故0lim =∞→n n a n3．根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列： （1）nn 1lim∞→；（2）nn 3lim∞→；（3）31limn n ∞→（4）n n 31lim∞→；（5）n n 21lim ∞→；（6）nn 10lim ∞→；（7）n n 21lim ∞→解 （1）01lim1lim21==∞→∞→nnn n （用例2的结果，21=a ），无穷小数列. （2）13lim=∞→nn ，（用例5的结果，3=a ）（3）01lim3=∞→n n ，（用例2的结果，3=a ），无穷小数列. （4）031lim 31lim =⎪⎭⎫⎝⎛=∞→∞→nn n n ，（用例4的结果，31=q ），无穷小数列.（5）021lim 21lim=⎪⎭⎫⎝⎛=∞→∞→nn n n ，（用例4的结果，21=q ），无穷小数列. （6）110lim =∞→n n ，（用例5的结果，10=a ）.（7）121lim 21lim==∞→∞→nn nn ,（用例5的结果，21=a ）.4．证明：若a a n n =∞→lim ，则对任一正整数 k ，有a a k n k =+∞→lim证明因为a a n n =∞→lim ，所以εε<->∀>∃>∀||,,0,0a a N n N n ，于是，当Nk >时，必有N k n >+，从而有ε<-+||a a k n ，因此a a k n k =+∞→lim .5．试用定义1证明：（1）数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1不以1为极限；（2）数列}{)1(nn-发散. 证明（用定义1证明）数列}{n a 不以a 为极限（即a a n n ≠∞→lim ）的定义是：00>∃ε，0>∀N ，N n >∃0，0||0ε≥-a a n（1）取210=ε，0>∀N ，取N N n >+=20，有 0021)1(212112111ε==++≥++=-+=-N N N N N n ，故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1不以1为极限. 另证（用定义1’证明）取210=ε，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1中满足2>n 的项（有无穷多个）显然都落在1的邻域)23,21();1(0=εU 之外，故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1不以1为极限.（2）数列}{)1(nn-=},6,51,4,31,2,1{Λ，对任何R a ∈，取10=ε，则数列}{)1(nn-中所有满足“n为偶数，且1+>a n ”的项（有无穷多个），都落在a 的邻域)1,1();(0+-=a a a U ε之外，故数列}{)1(nn-不以任何数a 为极限，即数列}{)1(nn-发散.6．证明定理2.1，并应用它证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(1的极限是1.定理2.1 数列}{n a 收敛于a 充要条件是：}{a a n -为无穷小数列. （即a a n n =∞→lim 的充要条件是0)(lim =-∞→a a n n ）证明（必要性）设a a n n =∞→lim ，由数列极限的定义，,0,0>∃>∀N εN n >∀，有ε<--=-|0)(|||a a a a n n ，所以0)(lim =-∞→a a n n .（充分性）设0)(lim =-∞→a a n n ，由数列极限的定义，,0,0>∃>∀N εN n >∀，有ε<-=--|||0)(|a a a a n n ，所以a a n n =∞→lim .下面证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(1的极限是1. 因为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+n n n n )1(1)1(1是无穷小数列，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(1的极限是1.7．证明：若a a n n =∞→lim ，则||||lim a a n n =∞→. 当且仅当a 为何值时反之也成立？证明设a a n n =∞→lim ，由数列极限的定义，,0,0>∃>∀N εN n >∀，ε<-≤-||||||a a a a n n ，所以也有||||lim a a n n =∞→. 但此结论反之不一定成立，例如数列})1{(n-.当且仅当a = 0 时反之也成立. 设0||lim =∞→n n a ，于是,0,0>∃>∀N εN n >∀，ε<=||||n n a a ，所以a a n n =∞→lim .8．按N -ε定义证明：（1）0)1(lim =-+∞→n n n ；（2）0321lim3=++++∞→nnn Λ （3）1lim =∞→n n a ，其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=为奇数为偶数n nn n n nn a n 2,1证明（1）因为nnn n n 111|1|<++=-+. 于是0>∀ε，取21ε=N ，N n >∀，必有ε<<-+nn n 1|1|，从而0)1(lim =-+∞→n n n .（2）因为n n n n n n n n n n n 12212)1(3212233=+<+=+=++++Λ，于是0>∀ε，取ε1=N ，N n >∀，必有ε<<-++++n n n 103213Λ，所以0321lim 3=++++∞→nnn Λ （3）因为当 n 为偶数时，nn n a n 111|1|=--=- 当n 为奇数时，nnn n nnn n n nn a n 111|1|222<++=-+=-+=-，故不管n 为偶数还是奇数，都有n a n 1|1|<-. 于是0>∀ε，取ε1=N ，N n >∀，必有ε<<-na n 1|1|，所以1lim =∞→n n a .P.33 习题1．求下列极限：⑴ 根据P.24例2 01lim=∞→an n ，0>a ，可得4131241131lim 32413lim 323323=++++=++++∞→∞→nn n n n n n n n n ⑵0)21(lim 21lim 22=+=+∞→∞→nn n n n n ⑶根据P.25例4 0lim =∞→nn q ，1||<q ，可得313)32(31)32(lim 3)2(3)2(lim111=+-⋅+-=+-+-+∞→++∞→n nn n n n n n⑷211111limlim)(lim 22=++=++=-+∞→∞→∞→nnn n n n n n n n n 这是因为由P.29例1若a a n n =∞→lim ，则a a n n =∞→lim. 于是由1)11(lim =+∞→nn ，得1111lim ==+∞→nn .⑸10)1021(lim =+++∞→n n n n Λ，因为1lim =∞→n n a （0>a ）⑹23113113121121121lim 313131212121lim 22=--⋅--⋅=++++++∞→∞→nn n n n n ΛΛ2．设a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim ，且b a <. 证明：存在正数N ，使得当N n >时，有n n b a <.证明由b a <，有b b a a <+<2. 因为2lim ba a a n n +<=∞→，由P .24保号性定理2.4，存在01>N ，使得当1N n >时有2b a a n +<. 又因为2lim ba b b n n +>=∞→，所以，又存在02>N ，使得当2N n >时有2ba b n +>. 于是取},m ax {21N N N =，当N n >时，有n n b b a a <+<2.3．设}{n a 为无穷小数列，}{n b 为有界数列，证明：}{n n b a 为无穷小数列. 证明因为}{n b 为有界数列，所以存在0>M ，使得Λ,2,1,||=≤n M b n . 由}{n a 为无穷小数列，知,0,0>∃>∀N εN n >∀，Ma n ε<||. 从而当N n >时，有εε=⋅<⋅=M Mb a b a n n n n ||||||，所以0lim =∞→n n n b a ，即}{n n b a 为无穷小数列.4．求下列极限（1）1111lim 11131212111lim )1(1321211lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅+⋅∞→∞→∞→n n n n n n n n ΛΛ（2）因为nnn n212112181412128422222222===-+++ΛΛ，而)(12221121∞→→=<<n n nn，于是12lim 21=∞→nn ，从而222lim2222lim 21284==∞→∞→nnn n Λ（3）32323lim 23221229272725253lim 2122321lim 13222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++-+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++∞→-∞→∞→n n n n n n n n n n n ΛΛ（4）当2>n 时，11121<-<n，n n n n 11121<-<，而11lim 21lim ==∞→∞→n n n n ，所以111lim =-∞→n n n. （5）因为)(,0111)2(1)1(11022222∞→→+=+≤++++<n n n nn n n n Λ，所以 0)2(1)1(11lim 222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→n n n n Λ （6）因为1112111222222=≤+≤++++++≤+nn n n nn n n nn n Λ，且1111limlim2=+=+∞→∞→nnn n n n ，所以112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n Λ 5．设}{n a 与}{n b 中一个是收敛数列，另一个是发散数列，证明}{n n b a ±是发散数列. 又问}{n n b a 和)0(≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n b b a 是否必为发散数列.证明（用反证法证明）不妨设}{n a 是收敛数列，}{n b 是发散数列. 假设数列}{n n b a +收敛，则n n n n a b a b -+=)(收敛，这与}{n b 是发散数列矛盾，所以，数列}{n n b a +发散. 同理可得数列}{n n b a -发散.}{n n b a 和)0(≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n b b a 不一定是发散数列. 例如，若}{n a 是无穷小数列，}{n b 是有界的发散数列. 则}{n n b a 和)0(≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n b b a 是无穷小数列，当然收敛. 但是，有下列结果：如果0lim ≠=∞→a a n n ，}{n b 是发散数列，则}{n n b a 和)0(≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n a a b 一定是发散数列. 6．证明以下数列发散： （1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-1)1(n n n证明设1)1(+-=n n a nn ，则)(,11222∞→→+=n n na n ，而121212-→--=-n n a n ，由P.33，定理2.8 知⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-1)1(n n n 发散.（2）{}nn )1(-证明{}nn )1(-的偶数项组成的数列n a n22=，发散，所以{}nn)1(-发散.（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧4cosπn 证明设4cosπn a n =，则子列)(,118∞→→=n a n ，子列 )(,1148∞→-→-=+n a n ，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧4cos πn 发散.7．判断以下结论是否成立（若成立，说明理由；若不成立，举出反例）：（1）若}{12-k a 和}{2k a 都收敛，则}{n a 收敛.解结论不一定成立. 例如，设nn a )1(-=，则12=k a ，112-=-k a 都收敛，但n n a )1(-=发散.注若}{12-k a 和}{2k a 都收敛，且极限相等（即k k k k a a 212lim lim ∞→-∞→=），则}{n a 收敛.（2）若}{23-k a ，}{13-k a 和}{3k a 都收敛，且有相同的极限，则}{n a 收敛. 证明 设a a a a k k k k k k ===∞→-∞→-∞→31323lim lim lim ，则由数列极限的定义，知0>∀ε，01>∃K ，1K k >∀，ε<--||23a a k ；同样也有02>∃K ，2K k >∀，ε<--||13a a k ；03>∃K ，3K k >∀，ε<-||3a a k . 取}3,3,3m ax {321K K K N =，当N n >时，对任意的自然数n ，若23-=k n ，则必有1K k >，从而ε<-||a a n ；同样若13-=k n ，则必有2K k >，从而也有ε<-||a a n ；若k n 3=，则必有3K k >，从而ε<-||a a n . 所以a a n k =∞→lim ，即}{n a 收敛.8．求下列极限： （1）nn k 2124321lim-∞→Λ解因为nn 2126543210-<Λ121)12)(12(12)12)(32(32755533311+=+-----⋅⋅⋅<n n n n n n n Λ而0121lim=+∞→n k ，所以02124321lim=-∞→nn k Λ另解因为12254322124321+<-n n n n ΛΛ，设nn S n 2124321-=Λ， 1225432+=n n T n Λ，则n n T S <. 于是121+=⋅<n S T S S n n n n ，所以121+<n S n .（2） 答案见教材P.312提示.（3）10],)1[(lim <<-+∞→αααn n k解]1)11[(]1)11[()1(0-+<-+=-+<nn n n n n ααααα )(,011∞→→==-n nn n αα 所以，0])1[(lim =-+∞→ααn n k另解因为01<-α，所以11)1(--<+ααn n ，于是11)1()1(--+=+<+ααααn n n n n ，从而)(,0)1(01∞→→<-+<-n nn n ααα.（4） 答案见教材P.312提示.9．设m a a a Λ,,21为 m 个正数，证明：},,max {lim 2121m n nn n n n a a a a a a ΛΛ=+++∞→ 证明因为},,max{},,max{212121m n n nn n n m a a a n a a a a a a ΛΛΛ≤+++≤ 而1lim=∞→n n n ，所以},,max {lim 2121m n nn n n n a a a a a a ΛΛ=+++∞→ 10．设a a n n =∞→lim ，证明：（1）a nna n n =∞→][lim；（2）若0,0>>n a a ，则1lim =∞→n n n a .证明（1）因为1][][+<≤n n n na na na ，所以n n n a nna n na ≤<-][1. 由于a n a n na n n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∞→∞→1lim 1lim，且a a n n =∞→lim ，从而a n na n n =∞→][lim. （2）因为0lim >=∞→a a n n ，由P.29 定理 2.4，存在0>N ，使得当N n >时，有a a a n 232<<. 于是n n n na a a 232<<，并且123lim 2lim ==∞→∞→n n n n a a ，所以1lim =∞→n n n a .P.38 习题1．利用e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 求下列极限：（1）e n n n n n n n nn nn 11111111lim 1lim 11lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞→∞→∞→ （2）e n n n nn n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→+∞→1111lim 11lim 1（3）e n n n n n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→∞→111111lim 111lim 1（4）e n n n nn n n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→⋅∞→∞→2212211lim 211lim 211lim注：此题的求解用到事实（P.29例1）：若a a n n =∞→lim ，且Λ,2,1,0=≥n a n ，则a a n n =∞→lim .（5）nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→211lim解 因为数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 11单调增加，且有上界 3，于是)(,1311111222∞→→<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+<n n n n n n n，所以111lim 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→nn n2．试问下面的解题方法是否正确：求n n 2lim ∞→解不正确. 因为极限n n 2lim ∞→是否存在还不知道（事实上极限n n 2lim ∞→不存在），所以设a n n =∞→2lim 是错误的.3．证明下列数列极限存在并求其值： （1）设Λ,2,1,2,211===+n a a a n n证明先证数列}{n a 的有界性，用数学归纳法证明：2是}{n a 的一个上界.221<=a ，假设2<n a ，则22221=⋅<=+n n a a ，所以}{n a 有上界2.其次证明}{n a 单调增加. 02)2(21>+-=-=-+nn n n n n n n a a a a a a a a ，所以n n a a >+1，即}{n a 单调增加. 从而}{n a 极限存在，设a a n n =∞→lim ，在n n a a 221=+的两端取极限，得a a 22=，解之得a = 0 (舍去) 和 2，所以2lim =∞→n n a .注：}{n a 的单调增加也可以如下证明：122221=>==+n n n n n a a a a a ，所以n n a a >+1.还可以如下得到：121214121214121122++++++++=<=+n na a n n n ΛΛ（2）设Λ,2,1,),0(11=+=>=+n a c a c c a n n证明先证数列}{n a 的有界性，用数学归纳法证明：}{n a 的一个上界是 1 + c .c c a +<=11，假设c a n +<1，则c c c c a c a n n +=++<+<+=+1121221，所以}{n a 有上界1 + c .其次证明}{n a 单调增加（用数学归纳法证明）. 21a c c c a =+<=，假设n n a a <-1，于是n n a c a c +<+-1，从而n n a c a c +<+-1，即1+<n n a a . 故}{n a 单调增加. 所以}{n a 极限存在，设a a n n =∞→lim ，在n n a c a +=+21的两端取极限，得a c a +=2，解之得2411ca +±=. 由于a n > 0 ，所以a > 0. 故2lim =∞→n n a .（3）Λ,2,1),0(!=>=n c n c a nn 证明先证}{n a 从某一项以后单调减少. 取自然数N 使得N > c ，于是当N n >时，n n n n n n a a N c a n c n c n c n c a <+<+=+=+=++11!1)!1(11，即从第N 项开始}{n a 单调减少. 由于}{n a 的各项都大于零，所以}{n a 有下界0. 从而}{n a 极限存在. 设a a n n =∞→lim ，在n n a n ca 11+=+的两端取极限，得a a ⋅=0，故0=a ，即0lim =∞→n n a .4．利用⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 11为递增数列的结论，证明⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++nn 111为递增数列.证明设nn n n n n a ⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=12111，要证：Λ,3,2,1=≤-n a a n n ，即因为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 11为递增数列，所以有111111+⎪⎭⎫ ⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n n ，即1121+⎪⎭⎫⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n n n n ，于是n nnn n n a n n n n n n n n n n n n n n a =⎪⎭⎫ ⎝⎛++<+⋅++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+--12112121121111. 其中用到事实：1)1()2(1122≤++=+⋅++⋅n n n n n n n . 5．应用柯西收敛准则，证明以下数列}{n a 收敛： （1）n n na 2sin 22sin 21sin 2+++=Λ 证明不妨设m n >，则有nm m m n nm m a a 2sin 2)2sin(2)1sin(||21+++++=-++Λnm m n m m n m m 2121212sin 2)2sin(2)1sin(2121+++≤+++++≤++++ΛΛ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=---+--+ΛΛΛm n m n m m n m 21212112121211211111 mm m 1212211<=⋅=+ 所以，0>∀ε，取ε1=N ，N m n >∀,，有ε<-||m n a a ，由柯西收敛准则，}{n a 收敛.（2）222131211n a n ++++=Λ 证明不妨设m n >，则有2221)2(1)1(1||n m m a a m n +++++=-Λ nn m m m m )1(1)2)(1(1)1(1-++++++≤Λ mn m n n m m m m 1111112111111<-=--+++-+++-=Λ 所以，0>∀ε，取ε1=N ，N m n >∀,，有ε<-||m n a a ，由柯西收敛准则，}{n a 收敛.6．证明：若单调数列}{n a 含有一个收敛子列，则}{n a 收敛.证明 不妨设}{n a 是单调增加数列，}{k n a 是其收敛子列. 于是}{k n a 有界，即存在0>M ，使得Λ,2,1,=≤k M a k n . 对单调增加数列}{n a 中的任一项m a 必有M a a k m m ≤≤ ，即}{n a 单调增加有上界，从而收敛.7．证明：若0>n a ，且1lim1>=+∞→l a a n nn ，则0lim =∞→n n a证明因为1lim1>=+∞→l a a n n n ，所以存在 r 使得1lim 1>>=+∞→r l a an n n . 于是由数列极限的保号性定理（P.29），存在0>N ，当N n >时，r a a n n>+1，1+>n n ra a . 从而有n N n N N N a r a r ra a 13221--+++>>>>Λ， 因此，)(,0011∞→→<<--+n r a a N n N n ， 故0lim =∞→n n a .8．证明：若}{n a 为递增有界数列，则}sup{lim n n n a a =∞→；若}{n a 为递减有界数列，则}inf{lim n n n a a =∞→. 又问逆命题成立否？证明证明过程参考教材P .35，定理2.9（单调有界定理）.逆命题不一定成立. 例如数列⎪⎩⎪⎨⎧-=为偶数为奇数n nn a n 111，1}sup{lim ==∞→n n n a a ，但}{n a 不单调.9．利用不等式0),()1(11>>-+>-++a b a b a n a bn n n ，证明：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++111n n 为递减数列，并由此推出⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 11为有界数列. 证明设111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a ，由不等式)()1(11a b a n a b n n n -+>-++，有1111++++-+->-n n n n n n a b a na b na a b ，于是b a na b na b n n n n +->++11，b na a na b n n n n 1+-+>.在上式中令1111,111-=-+=+=+=n nn b n n n a ，a b >，得nn n n n n a ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-11111n n n n n n n n n n n n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+>11111nn n n a n n n n n n n =⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+11111 即n n a a >-1，故⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++111n n 为递减数列.而4111111111=⎪⎭⎫⎝⎛+≤⎪⎭⎫⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n n ，所以⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 11为有界数列.10．证明：nn e n 3)11(<+- 证由上题知⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++111n n 为递减数列，于是对任何n m >有，111111++⎪⎭⎫ ⎝⎛+>⎪⎭⎫⎝⎛+m n n n ，令∞→m ，取极限得，e n n >⎪⎭⎫ ⎝⎛++111①又因为nnnn n n n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅<⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛++113111111111② 由①、②得 nn n n n e ⎪⎭⎫⎝⎛++<⎪⎭⎫⎝⎛+<+113111，从而 nn e n e n n 3)11()11(<+-=+-11．给定两正数a 1与b 1 ( a 1 > b 1 )，作出其等差中项2112b a a +=与等比中项112b a b =，一般地令21nn n b a a +=+，Λ,2,1,1==+n b a b n n n 证明：n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 皆存在且相等. 证明因为11b a >，所以有n nn n n n a a a b a a =+<+=+221，即}{n a 单调减少. 同样可得}{n b 单调增加. 于是有11112b b b a b a a a n n n n n n ≥=≥+=≥++，即}{n a 单调减少有下界，}{n b 单调增加有上界，故n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 皆存在.在n n n b a a +=+12的两端取极限，可得n n n n b a ∞→∞→=lim lim12．设}{n a 为有界数列，记},,sup{1Λ+=n n n a a a ，},,inf{1Λ+=n n n a a a 证明：⑴ 对任何正整数n ，n n a a ≥；⑵}{n a 为递减有界数列，}{n a 为递增有界数列，且对任何正整数n ，m 有m n a a ≥；⑶ 设a 和a 分别是}{n a 和}{n a 的极限，则a a ≥； ⑷}{n a 收敛的充要条件是a a =证 ⑴ 对任何正整数n ，n n n n n n n a a a a a a a =≥≥=++},,inf{},,sup{11ΛΛ ⑵ 因为1211},,sup{},,sup{++++=≥=n n n n n n a a a a a a ΛΛ，Λ,2,1=n ，所以}{n a 为递减有界数列.由1211},,inf{},,inf{++++=≤=n n n n n n a a a a a a ΛΛ，知}{n a 为递增有界数列. 对任何正整数n ，m ，因为}{n a 为递减有界数列，}{n a 为递增有界数列，所以有m m n m n n a a a a ≥≥≥++.⑶ 因为对任何正整数n ，m 有m n a a ≥，令∞→n 得，m n n a a a ≥=∞→lim ，即m a a ≥，令∞→m 得a a a m m =≥∞→lim ，故a a ≥.⑷ 设}{n a 收敛，a a n n =∞→lim . 则0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，ε<-||a a n ，εε+<<-a a a n . 于是有εε+≤<-a a a n ，从而a a a n n ==∞→lim . 同理可得a a a n n ==∞→lim ，所以a a =反之，设a a =. 由a a n n =∞→lim ， a a a n n ==∞→lim ，得0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，有εε+<<-a a a n 及εε+<<-a a a n ，从而εε+<≤≤<-a a a a a n n nP.40 总练习题1．求下列数列的极限： （1）n n n n 3lim3+∞→解当3>n 时，有nn 33<，于是)(,323323333∞→→⋅=⋅<+<=n n n n n n n n n ，所以33lim 3=+∞→n n n n（2）n n en 5lim ∞→解设h e +=1，则当6>n 时，62!6)5()1(!2)1(1)1(h n n n h h n n nh h e n n n --≥++-++=+=ΛΛ，于是)(,0)5)(4)(3)(2)(1(!60655∞→→-----⋅<<n h n n n n n n n e n n ，所以0lim 5=∞→n n e n解法2用P .39 习题7的结论. 设n n e n a 5=，1)1(lim lim 5151>=+=+∞→+∞→e n e e n a a n n n n n n ，从而0lim lim 5==∞→∞→n n n n a e n . 解法3用P .27习题2⑸的结果0))((lim lim 5515==∞→∞→n n n n e ne n解法4用单调有界定理. 令n n en a 5=，则51)11(1n e a a n n +=+. 因为e n n <=+∞→1)11(lim 5，所以存在0>N ，当N n >时，e n <+5)11(，从而当N n >时，1)11(151<+=+ne a a n n . 于是从N n >起数列}{n a 递减，且有下界0，因此}{n a 收敛. 设a a n n =∞→lim ，在等式n n a n e a ⋅+=+51)11(1的两端取极限，得a ea ⋅=1，所以0=a . （3）)122(lim n n n n ++-+∞→解)]1()12[(lim )122(lim +-++-+=++-+∞→∞→n n n n n n n n n011121lim =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++++=∞→n n n n n2．证明： （1）)1|(|0lim 2<=∞→q q n n n证明当0=q 时，结论成立. 当1||0<<q 时，有1||1>q ，令0,1||1>+=h h q ，于是有nn h q )1(1+=，而由牛顿二项式定理，当3>n 时有3!3)2)(1()1(h n n n h n--≥+，从而)(0!3)2)(1()1(03222∞→→--≤+=<n h n n n n h n q n nn，所以 0lim 2=∞→n n q n另解用P .27习题2⑸的结果0)(sgn ))||1((lim lim 22==∞→∞→n nn n n q q n q n（2）)1(,0lg lim≥=∞→ααn nn证明因为0,lg ><x x x ，于是)(,022lg 2lg 021∞→→=<=<-n n nn n n n n αααα，所以0lg lim =∞→αn n n . （3）0!1lim =∞→nn n证明先证明不等式：nn n ⎪⎭⎫⎝⎛>3!.用数学归纳法证明，当1=n 时，显然不等式成立；假设nn n ⎪⎭⎫⎝⎛>3!成立，当n + 1 时nn n n n n n n n n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+>⋅+=+131)1(3)1(!)1()!1(113111331++⎪⎭⎫ ⎝⎛+>⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=n nn n n n故不等式nn n ⎪⎭⎫⎝⎛>3!成立. 由此可得)(,03!10∞→→<<n n n n ，所以0!1lim =∞→n n n 另解用数学归纳法证明不等式：n n n ≥!3．设a a n n =∞→lim ，证明：（1）a na a a nn =+++∞→Λ21lim（又问由此等式能否反过来推出a a n n =∞→lim ）证明因为a a n n =∞→lim ，于是有11,0,0N n N >∀>∃>∀ε，2||ε<-a a n . 从而当1N n >时，有nnaa a a a n a a a n n -+++=-+++ΛΛ212122||||||||||||12121111εε+≤⋅-+≤-++-+-+-++-+-≤++n A n N n n A na a a a a a na a a a a a n N N N ΛΛ其中||||||121a a a a a a A N -++-+-=Λ是一个定数. 再由0lim=∞→nA n ，知存在02>N ，使得当2N n >时，2ε<n A . 因此取},m ax {21N N N =，当N n >时，有 εεεε=+<+≤-+++22221n A a n a a a n Λ.反过来不一定成立. 例如nn a )1(-=不收敛，但0lim21=+++∞→na a a nn Λ.练习：设+∞=∞→n n a lim ，证明：+∞=+++∞→na a a nn Λ21lim(2) 若),2,1(0Λ=>n a n ，则a a a a n n n =∞→Λ21lim证明先证算术平均值—几何平均值—调和平均值不等式：na a a a a a a a a nnn n n+++≤≤+++ΛΛΛ212121111算术平均值—几何平均值不等式：na a a a a a nn n +++≤ΛΛ2121对任何非负实数1a ，2a 有2)(212121a a a a +≤，其中等号当且仅当21a a =时成立. 由此推出，对4个非负实数1a ，2a ，3a ，4a 有2143212121432121414321)22(])()[()(a a a a a a a a a a a a +⋅+≤=422243214321a a a a a a a a +++=+++≤按此方法继续下去，可推出不等式na a a a a a n n n +++≤ΛΛ2121对一切kn 2=（Λ,2,1,0=k ）都成立，为证其对一切正整数n 都成立，下面采用所谓的反向归纳法，即证明：若不等式对某个)2(≥n 成立，则它对1-n 也成立.设非负实数121,,,-n a a a Λ，令)(11121-+++-=n n a a a n a Λ，则有 )1(1)1()(12112111211121-+++++++≤-+++⋅----n a a a a a a n n a a a a a a n n n n nn ΛΛΛΛ整理后得)(11)(12111121---+++-≤n n n a a a n a a a ΛΛ，即不等式对1-n 成立，从而对一切正整数n 都成立.几何平均值—调和平均值不等式n n na a a a a a nΛΛ2121111≤+++的证明，可令ii x y 1=，再对i y （n i ,,2,1Λ=）应用平均值不等式. 由),2,1(0Λ=>n a n ，知0lim ≥=∞→a a n n . 若0≠a ，则a a nn 11lim=∞→. 由上一小题的结论，有)(,111212121∞→→+++≤≤+++n a na a a a a a a a a nnn n nΛΛΛ而a ana a a a a a nnn nn ==+++=+++∞→∞→111111lim111lim2121ΛΛ，所以 a a a a n n n =∞→Λ21lim .若0=a ，即0lim =∞→n n a ，则11,0,0N n N >∀>∃>∀ε，ε<n a . 从而当1N n >时，有n N n n N n n N N nn a a a a a a a a a a a 11112112121-+⋅≤⋅=εΛΛΛΛεεεε⋅=⋅=⋅=--n n N N nN n n N A a a a a a a 11112121ΛΛ其中1121N N a a a A -=εΛ，是定数，故21lim<=∞→n n A ，于是存在02>N ，使得当2N n >时，2<n A . 因此取},m ax {21N N N =，当N n >时，有εε221<⋅≤n nn A a a a Λ，故0lim 21=∞→n n n a a a Λ4．应用上题的结论证明下列各题：（1）0131211lim=++++∞→nn n Λ证明令na n 1=，则01lim lim ==∞→∞→n a n n n ，所以0131211lim=++++∞→nn n Λ.（2）)0(1lim >=∞→a a n n证明令a a =1，Λ,3,2,1==n a n ，则1lim =∞→n n a ，从而1lim lim lim 21===∞→∞→∞→n n n n n n n a a a a a Λ（3）1lim =∞→n n n证明令11=a ，Λ,3,2,1=-=n n na n ，则1lim =∞→n n a ，于是1lim lim 13423121lim lim 21===-⋅⋅⋅⋅⋅=∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n a a a a n nn ΛΛ. （4）0!1lim=∞→nn n证明令Λ,2,1,1==n na n ，则0lim =∞→n n a ，所以01lim 1211lim 3211lim !1lim==⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n ΛΛ （5）e n nn n =∞→!lim证明令Λ,3,2,111111=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛-=--n n n n a n n n ，则e a n n =∞→lim ，所以en n n n n n n n n n n n n n nn n n =⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==-∞→-∞→∞→∞→114321lim 14534232lim !lim !lim另证令Λ,2,1,!==n n n a n n ，则e n a a n n n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-∞→-∞→11111lim lim . 于是e a a a a a a a a a n n n n n n n n n n nn n n ==⋅⋅⋅==-∞→-∞→∞→∞→112312lim lim lim !limΛ. （6）1321lim3=++++∞→nnn n Λ 证明因为1lim =∞→nn n ，所以1lim 321lim3==++++∞→∞→n n n n n nnΛ （7）若)0(lim1>=+∞→n nn n b ab b ，则a b n n n =∞→lim证明n n n n n n n nn n n nn n b b b b bb b b b b b b b b b 112312112312lim lim lim lim∞→+∞→+∞→∞→⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=ΛΛa b bnn n =⋅=+∞→1lim 1 （8）若d a a n n n =--∞→)(lim 1，则d na nn =∞→lim证明设10=a⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-+=-∞→∞→n a a a a a a n an a n n n n n )()()(lim lim112010Λd a a na a a a a a n a n n n n n n n =-+=-++-+-+=-∞→-∞→∞→)(lim 0)()()(lim lim1112010Λ 5．证明：若}{n a 为递增数列，}{n b 为递减数列，且0)(lim =-∞→n n n b a ，则n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 都存在且相等.证明因为0)(lim =-∞→n n n b a ，所以}{n n b a -有界，于是存在0>M ，使得M b a M n n ≤-≤-. 从而有1b M b M a n n +≤+≤，M a M a b n n -≥-≥1，因此}{n a 为递增有上界数列，}{n b 为递减有下界数列，故n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 都存在. 又因为0)(lim lim lim =-=-∞→∞→∞→n n n n n n n b a b a ，所以n n n n b a ∞→∞→=lim lim .6．设数列}{n a 满足：存在正数M ，对一切n 有M a a a a a a A n n n ≤-+-+-=-||||||12312证明：数列}{n a 与}{n A 都收敛.证明数列}{n A 单调增加有界，故收敛. 由柯西收敛准则，0,0>∃>∀N ε，当N n m >>时，ε<-||n m A A . 于是ε<-=-++-+-≤-+---n m n n m m m m n m A A a a a a a a a a ||||||||1211Λ所以由柯西收敛准则，知数列}{n a 收敛. 7．设⎪⎭⎫ ⎝⎛+=>>a a a a σσ21,0,01，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+n n n a a a σ211, Λ,2,1=n ， 证明：数列}{n a 收敛，且其极限为σ 证明因为σσσ=⋅≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+nn n n n a a a a a 211，故数列}{n a 有下界σ.112112121=⎪⎭⎫⎝⎛+≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+σσσn n n a a a ，于是n n a a ≤+1，即数列}{n a 单调减少，从而数列}{n a收敛. 设A a n n =∞→lim ，由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n a a a σ211，得σ+=+212n n n a a a ，两端取极限得，σ+=222A A ，解得σ=A ，所以σ=∞→n n a lim .8．设011>>b a ，记211--+=n n n b a a ，11112----+⋅=n n n n n b a b a b ，Λ,3,2=n . 证明：数列}{n a 与}{n b 的极限都存在且等于11b a .证 因为 111121111212111112)(2--------------+⋅-+=++≤+⋅=n n n n n n n n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b n n n n n n n n n b b a b a b a b a -+=+⋅-+=--------111111112，所以n n n n a b a b =+≤--211，Λ,3,2=n数列}{n a 是递减的：n nn n n n a a a b a a =+≤+=+221，Λ,2,1=n 数列}{n a 有下界：0211≥+=--n n n b a a ，Λ,2,1=n ，所以}{n a 收敛，设a a n n =∞→lim . 数列}{n b 是递增的：11111111122---------=+⋅≥+⋅=n n n n n n n n n n b a a b a b a b a b ，Λ,3,2=n数列}{n b 有上界：1a a b n n ≤≤，Λ,2,1=n ，所以}{n b 收敛，设b b n n =∞→lim .令∞→n 在211--+=n n n b a a 的两端取极限，得b a =. 211--+=n n n b a a 与11112----+⋅=n n n n n b a b a b 两端分别相乘，得11--=n n n n b a b a ，Λ,3,2=n所以有11b a b a n n =，Λ,3,2=n ，令∞→n 取极限得11b a ab =，从而11b a a =。