新编【人教A版】高中数学：必修2课本例题习题改编(含答案)

新编人教版精品教学资料2015版人教A 版必修2课本例题习题改编湖北省安陆市第一高级中学 伍海军 ****************1.原题（必修2第15页练习第4题）如图是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．改编 如图是一个几何体的三视图（单位：cm ） （Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；（Ⅲ）设异面直线AA '与BC '所成的角为θ，求cos θ．解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图23－2所示． （Ⅱ）这个几何体是直三棱柱．由于底面ABC ∆的高为1，所以AB ==． 故所求全面积22ABC BB C C ABB A S S S S ''''∆=++1221322382=⨯⨯⨯+⨯+⨯=+2(cm )．这个几何体的体积121332ABC V S BB ∆'=⋅=⨯⨯⨯=3(cm )（Ⅲ）因为//AA BB ''，所以AA '与BC '所成的角是B BC ''∠．O OO 'O '22OO在Rt BB C''∆中，BC '==cos BB BC θ'===' 2.原题（必修2第28页例3）如图，已知几何 体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图． 改编1 如图，已知几何体的三视图（单位：cm ）． （Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积． 解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图所示． （Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是 一个圆柱（底面半径为1cm ，高为2cm ），它的上部 是一个圆锥（底面半径为1cm ，母线长为2cm ，高为）．所以所求表面积21212127S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=2(cm )，所求体积22112123V πππ=⨯⨯+⨯⨯=3(cm )．3.原题（必修2第30页习题1.3B 组第三题）分别以一个直角三角形的斜边，两直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，画出它们的三视图和直观图，并探讨它们体积之间的关系。

改编 已知直角三角形ABC ，其三边分为c b a ,,,（c b a >>）.分别以三角形的a 边，b 边，c 边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为321,,S S S 和321,,V V V ,则它们的关系为 ( )A .321S S S >>, 321V V V >>B .321S S S <<, 321V V V <<C .321S S S >>, 321V V V ==D .321S S S <<, 321V V V == 解：a a bc V c b a bc S 211)(31),)((ππ=+=,222231,bc V c ac S πππ=+= , c b V b ab S 232331,πππ=+=, 选B.4.原题（必修2第32页图像）改编 如图几何体是圆柱挖去一个同底等高的圆锥所得，现用一个竖直的平面截这个几何体，所得截面可能是：(1)(2)(3)(4)解：切面过轴线为（1），否则是圆锥曲线为（4）．本题以立体几何组合体为背景，其实运用圆锥曲线数学模型．答案（1）、（4）．5.原题（必修2第37页复习参考题B 组第三题）改编1 如右上图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么这六条面对角线所在直线中，所成的角为 60的直线共有 12 对.改编2 如图正方体中，o ，1o 为底面中心，以1oo 所在直线为旋转轴，线段1BC 形成的几何体的正视图为（ ）AA 1(A)(B)(C)(D)解：选项A 、B 、D中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成，而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线.即A、B、D不可能，故选C.6.原题（必修2第37页复习参考题B组第三题）你见过如图所示的纸篓吗？仔细观察它的几何结构，可以发现，它可以由多条直线围成，你知道它是怎么形成的吗？改编如图所示的纸篓，观察其几何结构，可以看出是由许多条直线围成的旋转体，该几何体的正视图为（）(A)(B)(C)(D)解：选项A、B、D中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成，而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线。

即A、B、D不可能，故选C.7.原题（必修2第59页例3）改编设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面α （）A．不存在B．只有1个 C．恰有4个D．有无数多个解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m、n, 直线 m、n 确定了一个平面β．作与β 平行的平面α, 与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面α 有无数多个．答案：D.8.原题（必修2第62页习题2.2A组第八题）如图，直线AA1，BB1，CC1相交于点O，AO=A1O，BO=B1O，CO=C1O，求证：平面ABC∥平面A1B1C1.改编如图，直线AA1、BB1、CC1相交于点O，AO=A1O，BO=B1O，CO=C1O，形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥，设三棱锥高均为1，若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体，若液体流入下面的三棱锥，则液体高度为_______。

解：液体部分的体积为三棱锥体积的18，流下去后，液体上方空出三棱锥的体积为三棱锥体积的78，A BC A1B1C1设空出三棱锥的高为x ，则331x =87，所以，x=273,液面高度为1-273.9.原题（必修2第63页习题2.2B 组第四题）如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题:其中所有正确命题的序号是_______，为什么？ (1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH 所在四边形的面积为定值； (4)棱A 1D 1始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图（3）所示时，BF BE ⋅是定值.改编 如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面七个命题，真命题的有_______. (1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH 所在四边形的面积为定值； (4)棱A 1D 1始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图（3）所示时，BF BE ⋅是定值；(6)当容器任意倾斜时, 水面可以是六边形；(7)当容器任意倾斜时, 水面可以是五边形.（1） （2） （3） 解：（1），（2），（4），（5），（6），（7）.（6） （7）10.原题（必修2第79页复习参考题A 组第十题）如图，已知平面,αβ，且,,,,AB PC PD C D αβαβ=⊥⊥是垂足，试判断直线AB 与CD 的位置关系？并证明你的结论. 改编 如图，已知平面,αβ，且,,,,AB PC PD C D αβαβ=⊥⊥是垂足．（Ⅰ）求证：AB ⊥平面PCD ；（Ⅱ）若1,2PC PD CD ===α与平面β的位置关系，并证明你的结论．解：（Ⅰ）因为,PC AB αα⊥⊂，所以PC AB ⊥．同理PD AB ⊥．又PC PD P =，故AB ⊥平面PCD ．（Ⅱ）设AB 与平面PCD 的交点为H ，连结CH 、DH ．因为AB ⊥平面PCD ，所以,AB CH AB DH ⊥⊥，所以CHD ∠是二面角C AB D --的平面角．又1,2PC PD CD ===所以2222CD PC PD =+=，即090CPD ∠=．在平面四边形PCHD 中，090PCH PDH CPD ∠=∠=∠=，所以090CHD ∠=．故平面α⊥平面β．11.原题（必修2第90页习题3.2B 组第一题）已知点)2,5(),2,2(-N M ,点P 在x 轴上，且MPN ∠为直角,求点P 的坐标.改编：已知点)2,5(),2,2(-N M ,P 在x 轴上，若MPN ∠为锐角，则点P 的横坐标的取值范围是________解： 用向量的数量积判别：0>⋅NP MP ，易求答案为6>m 或1<m12.原题（必修2 第100页习题3.2 A 组第三题）已知)4,7(-A ，)6,5(-B ，求线段AB 的垂直平分线的方程.改编1 已知)4,7(-A 关于直线l 的对称点为)6,5(-B ，则直线l 的方程是（ ） A.01165=-+y x B.0156=--y x C.01156=-+y x D.0165=+-y x 解：依题意得，直线l 是线段AB 的垂直平分线.∵65-=AB k ，∴561=-=AB l k k ，∵AB 的中点为（1，1），∴直线l 的方程是)1(561-=-x y 即0156=--y x ，故选（B ）. 改编2 已知圆16)4()7(22=++-y x 与圆16)6()5(22=-++y x 关于直线l 对称 ，则直线l 的方程是 .解：依题意得，两圆的圆心)4,7(-A 与)6,5(-B 关于直线l 对称，故直线l 是线段AB 的垂直平分线，由改编1可得直线l 的方程为0156=--y x .改编3 求点)4,7(-A 关于直线0156:=--y x l 的对称点B 的坐标.解：设),(y x B .由l AB ⊥，且AB 的中点在直线l 上，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--⋅-+⋅-=⋅-+0124527615674y x x y ，解得⎩⎨⎧=-=65y x ，∴)6,5(-B .13.原题（必修2第100页习题3.2A 组第九题）求过点)3,2(P ，并且在两轴上的截距相等的直线方程. 改编1 求过点)3,2(P ，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程是 . 解：依题意，直线的斜率为1或直线经过原点，∴直线的方程为23-=-x y 或x y 23=，即01=+-y x 或023=-y x .改编2 直线l 经过点)3,2(P ，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线l 的方程.解:依题意，直线l 的斜率为±1，∴直线l 的方程为23-=-x y 或)2(3--=-x y ，即01=+-y x 或05=-+y x .14.原题（必修2第101页习题3.2B 组第五题）若直线l 沿x 轴向左平移3个单位，再沿y 轴向上平移1个单位后，回到原来的位置，试求直线l 的斜率.改编： 若直线l 沿x 轴向右平移3个单位，再向上平移4个单位后，得到的直线与原来的位置在水平方向上相差2个单位，则原直线的斜率为 0.84或.15.原题（必修2第110页习题 3.3B 组第七题）已知AO 是ABC 边BC 的中线，求证：2222||||2(||||)AB AC AO OC +=+.改编 已知在三角形ABC 中，D 是BC 边的中点，且AB=8,BC=8,AC=6,则AD= 解:16.原题（必修2第110页习题 3.3B 组第八题）已知01,01,x y <<<<求证：≥改编 长方形ABCD 的顶点坐标是A(0,0)，B(a,0)，C(a,b)，D(0,b)，P 是坐标平面上的动点，若AP 2+BP 2+CP 2+DP 2的值最小，则点P 的位置在( )A.长方形的顶点处B.AB 边的中点处C.两条对角线的交点处D.三角形ABC 的重心处 解:设P(x,y)，|AP|2+|BP|2+|CP|2+|DP|2=x 2+y 2+(x-a) 2+y 2+(x-a) 2+(y-b) 2+x 2+(y-b) 2=4(x-a/2) 2+4(y-a/2) 2+a 2+b 2 当P(a/2,b/2)时，|AP|2+|BP|2+|CP|2+|DP|2最小，选C .17.原题（必修2 第114页复习参考题A 组第3题）求直线01052=--y x 与坐标轴围成的三角形的面积.改编1 过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是 . 解：设所求直线方程为)5(4+=+x k y ，依题意有5)45)(54(21=--k k， ∴01630252=+-k k （无解）或01650252=+-k k ，解得52=k 或58=k . ∴直线的方程是01052=--y x 或02058=+-y x .改编2（2006年上海春季卷）已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 面积的最小值为 .解：设直线AB 的方程为)0()2(1<-=-k x k y ，则4])1()4(24[21)]1()4(4[2114421)21)(12(21=-⋅-+≥-+-+=--=--=∆kk k k k k k k S OAB ，当且仅当k k 14-=-即21-=k 时取等号，∴当21-=k 时，OAB S ∆有最小值4. 改编 3 已知射线)0(4:>=x x y l 和点)4,6(M ，在射线l 上求一点N ，使直线MN 与l 及x 轴围成的三角形面积S 最小.解：设)1)(4,(000>x x x N ，则直线MN 的方程为0)4)(6()6)(44(00=-----y x x x .令0=y 得1500-=x x x ，∴]211)1[(101]1)1[(101104)15(2100020020000+-+-=-+-=-=⋅-=x x x x x x x x x S 40]211)1(2[1000=+-⋅-≥x x ，当且仅当11100-=-x x 即20=x 时取等号，∴当N 为（2，8）时，三角形面积S 最小.18.原题（必修2第115页复习参考题B 组第七题）设,,,a b c d R ∈，求证：对于任意,,p q R∈≥改编 设R d c b a ∈,,,，a,b,c,d 为常数，其中()()03232<+-•+-d c b a ，对于任意实数x ,()()()()的最小值为22223232--+-+--+-x d x c x b x a .解:可设A （a ，b ），B （c ，d ），C （x ，2x+3），由()()03232<+-•+-d c b a ，知A ，B 在直线y=2x+3两侧，()()()()的最小值为22223232--+-+--+-x d x c x b x a ||AB =()()22a d b c -+-.19.原题（必修2第129页例3）改编 若圆042222=-+-+m mx y x 与圆08442222=-+-++m my x y x 相切，则实数m 的取值集合是 .解：∵圆4)(22=+-y m x 的圆心为)0,(1m O ，半径21=r ，圆9)2()1(22=-++m y x 的圆心为)2,1(2m O -，半径32=r ，且两圆相切，∴2121r r O O +=或1221r r O O -=，∴5)2()1(22=++m m 或1)2()1(22=++m m ，解得512-=m 或2=m ，或0=m 或25m =-，∴实数m 的取值集合是122{,,0,2}55--. 20.原题（必修2第130页例4）改编 某圆拱型彩虹桥，跨度为20米，高为4米，要用19根铁索等距离分布悬挂桥面，则其中一侧第m 根铁索的长度f(m)= _______米.-10.5.21.原题（必修2第132页习题4.2 A 组第三题）求以)3,1(N 为圆心，并且与直线0743=--y x 相切的圆的方程.改编1 （2006年重庆卷）过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线的方程为（ ） A.x y 3-=或x y 31= B.x y 3=或x y 31-=C.x y 3-=或x y 31-= D.x y 3=或x y 31=解：设直线方程为kx y =，即0=-y kx .∵圆方程可化为25)1()2(22=++-y x ，∴圆心为（2，-1），半径为210.依题意有2101122=++k k ，解得3-=k 或31=k ，∴直线方程为x y 3-=或x y 31=，故选（A ）.改编2 （2006年湖北卷）已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为 . 解：∵圆1)1(22=+-y x 的圆心为（1，0），半径为1，∴1125522=++a ，解得8=a 或18-=a .改编3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程.解：设所求圆的方程为222)()(r b y a x =-+-，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+r ba b a r b a 5252)5(222， 解得⎪⎩⎪⎨⎧===531r b a 或⎪⎩⎪⎨⎧===55155r b a ，∴圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x . 22.原题（必修2第132页练习第三题）某圆拱桥的水面跨度20m ，拱高4m .现有一船宽10m ，水面以上高3m ，这条船能否从桥下通过？改编 某圆拱桥的水面跨度是20m ，拱高为4m .现有一船宽9m ，在水面以上部分高3m ，故通行无阻.近日水位暴涨了1.5m ，为此，必须加重船载，降低船身.当船身至少应降低m 时，船才能通过桥洞.（结果精确到0.01m ） 解：建立直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为222)(r b y x =-+.∵圆经过点（10，0），（0，4），∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=+2222)4(100rb rb ，解得⎩⎨⎧=-=5.145.10r b .∴圆的方程是)40(5.14)5.10(222≤≤=++y y x . 令5.4=x ，得)(28.3m y ≈. 故当水位暴涨1.5m 后，船身至少应降低m 22.1)328.3(5.1=--，船才能通过桥洞.23.原题（必修2第133页习题4.2A 组第九题）求圆2240x y +-=与圆2244120x y x y +-+-=的公共弦的长.改编 两圆C 1 ：x 2+ y 2-1=0和C 2：x 2+ y 2-8x+12=0的公切线长为_______. 解：C 1A BC 2C 1C 2D A BD(1)(2)C 1 ：x 2+ y 2=1，C 2：（x-4）2+ y 2 = 4， |C 1 C 2|=4图（1）：|AB|=22)12(4--=15；图（2）：|AB|=22)12(4+-=7，即公切线长15和7.24.原题（必修2第133页习题4.2B 组第2题）已知点)2,4(),6,2(),2,2(----C B A,点P 在圆422=+y x 上运动，求222PC PB PA ++的最大值和最小值.改编 1 已知点)2,4(),6,2(),2,2(----C B A,点P 坐标满足422≤+y x ，求222PC PB PA ++的最大值和最小值.解：设点P 的坐标是),(y x ，则222222222222(2)(2)(2)(6)(4)(2)2200334683()33d PA PB PC x y x y x y x y y x y =++=++++++-+-++⎡⎤=+-+=+-+⎢⎥⎣⎦）要求d 的最值，即求点P 与点 )32,0(Q 距离' d 的最值；因为点P 坐标满足422≤+y x ，所以'd 的最大值为2)2(+OQ ，则'd 的最小值0在点P 与点 )32,0(Q 重合时取得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴88,3200d改编2 已知)0,2(-A ，)0,2(B ，点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动，则22PB PA +的最小值是 .解：设),(y x P ，则828)(2)2()2(222222222+=++=+-+++=+OP y x y x y x PB PA .设圆心为)4,3(C ，则325min =-=-=r OC OP ，∴22PB PA +的最小值为268322=+⨯.25.原题（必修2第133页习题4.2B 组第3题）已知圆x 2+y 2=4，直线l: y=x+b .当b 为何值时，圆x 2+y 2=4上恰有3个点到直线l 的距离都等于1.改编 已知圆x 2+y 2=4, 直线l: y=x+b . 圆上至少有三个点到直线l 的距离都是1，则b 的取值范围是_____.解：⎡⎣ 26.原题（必修2第144页复习参考题B 组第2题）已知点(,)M x y 与两个定点1M ，2M 距离的比是一个正数m ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑1m =和1m ≠两种情形）.改编1 已知两定点)0,2(-A ，)0,1(B ，如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所包围的面积等于（ ） A.π B.π4 C.π8 D.π9解：设点P 的坐标是),(y x .由PB PA 2=，得2222)1(2)2(y x y x +-=++，化简得4)2(22=+-y x ，∴点P 的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为π4，故选B. 改编2 由动点P 向圆122=+y x 引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，APB ∠=600，则动点P 的轨迹方程是 .解：设),(y x P .∵APB ∠=600，∴OPA ∠=300.∵AP OA ⊥，∴22==OA OP ，∴222=+y x ，化简得422=+y x ，∴动点P 的轨迹方程是422=+y x .改编3 （2006年四川卷）已知两定点)0,2(-A ，)0,1(B ，如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所包围的面积等于（ ）A.πB.π4C.π8D.π9解：设点P 的坐标是),(y x .由PB PA 2=，得2222)1(2)2(y x y x +-=++，化简得4)2(22=+-y x ，∴点P 的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为π4，故选（B ）. 改编4（2003年北京春季卷）设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值)0(>a a ，求P 点的轨迹.解：设动点P 的坐标为),(y x P .由)0(>=a a PB PA ，得a y c x y c x =+-++2222)()(，化简得0)1()1(2)1()1(2222222=-+++-+-a c x a c y a x a .当1≠a 时，化简得01)1(222222=+-+++c x a a c y x ，整理得222222)12()11(-=+-+-a ac y c a a x ； 当1=a 时，化简得0=x .所以当1≠a 时，P 点的轨迹是以)0,11(22c a a -+为圆心，122-a ac 为半径的圆；当1=a 时，P 点的轨迹是y 轴.27.原题（必修2第144页复习参考题B 组第3题）求由曲线22||||x y x y +=+围成的图形的面积. 改编 由曲线222||2||x y x y +=+围成的图形的面积为_______.解：围成的图形如图，面积为84π+.。