新编【人教A版】高中数学：必修2课本例题习题改编(含答案)

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2015版人教A 版必修2课本例题习题改编

湖北省安陆市第一高级中学 伍海军 ****************

1.原题（必修2第15页练习第4题）如图是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．

改编 如图是一个几何体的三视图（单位：cm ） （Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；

（Ⅲ）设异面直线AA '与BC '所成的角为θ，求cos θ．

解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图23－2所示． （Ⅱ）这个几何体是直三棱柱．

由于底面ABC ∆的高为1，所以AB ==． 故所求全面积22ABC BB C C ABB A S S S S ''''∆=++

1

221322382

=⨯⨯⨯+⨯+⨯=+2(cm )．

这个几何体的体积121332

ABC V S BB ∆'=⋅=⨯⨯⨯=3

(cm )

（Ⅲ）因为//AA BB ''，所以AA '与BC '所成的角是B BC ''∠．

O O

O '

O '

2

2O

O

在Rt BB C

''∆

中，BC '

==

cos BB BC θ'=

==' 2.原题（必修2第28页例3）如图，已知几何 体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图． 改编1 如图，已知几何体的三视图（单位：cm ）． （Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积． 解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图所示． （Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是 一个圆柱（底面半径为1cm ，高为2cm ）

，它的上部 是一个圆锥（底面半径为1cm ，母线长为2cm ，高为

）．

所以所求表面积2

1212127S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯

⨯=2

(cm )

，

所求体积2

2

112123

V πππ=⨯⨯+⨯⨯=3(cm )．

3.原题（必修2第30页习题1.3B 组第三题）分别以一个直角三角形的斜边，两直角边所在直线为轴，

其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，画出它们的三视图和直观图，并探讨它们体积之间的关系。

改编 已知直角三角形ABC ，其三边分为c b a ,,,（c b a >>）.分别以三角形的a 边，b 边，c 边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为321,,S S S 和

321,,V V V ,则它们的关系为 ( )

A .321S S S >>, 321V V V >>

B .321S S S <<, 321V V V <<

C .321S S S >>, 321V V V ==

D .321S S S <<, 321V V V == 解：a a bc V c b a bc S 211)(31),)((

ππ=+=,22223

1

,bc V c ac S πππ=+= , c b V b ab S 23233

1

,πππ=+=, 选B.

4.原题（必修2第32页图像）改编 如图几何体是圆柱挖去一个同底等高的圆锥所得，现用一个竖直的平面截这个几何体，所得截面可能是：

(1)

(2)(3)

(4)

解：切面过轴线为（1），否则是圆锥曲线为（4）．本题以立体几何组合体为背景，其实运用圆锥曲线数学模型．答案（1）、（4）．

5.原题（必修2第37页复习参考题B 组第三题）

改编1 如右上图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么这六条面对角线所在直线中，所成的角为 60的直线共有 12 对.

改编2 如图正方体中，o ，1o 为底面中心，以1oo 所在直线为旋转轴，线段1BC 形成的几

何体的正视图为（ ）

A

A 1

(A)(B)(C)(D)

解：选项A 、B 、D

中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成，而圆台、圆锥、圆柱的

侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线.即A、B、D不可能，故选C.

6.原题（必修2第37页复习参考题B组第三题）你见过如图所示的纸篓吗？仔细观察它的几何结构，可以发现，它可以由多条直线围成，你知道它是怎么形成的吗？

改编如图所示的纸篓，观察其几何结构，可以看出是由许多条直线围成的旋转体，该几何体的正视图为（）

(A)(B)(C)(D)

解：选项A、B、D中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成，而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线。即A、B、D不可能，故选C.

7.原题（必修2第59页例3）改编设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边

形, 用平面α去截此四棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则

这样的平面α （）

A．不存在B．只有1个 C．恰有4个D．有无数多个

解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m、n, 直线 m、n 确定了一个

平面β．作与β 平行的平面α, 与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四

边形必为平行四边形，而这样的平面α 有无数多个．答案：D.

8.原题（必修2第62页习题2.2A组第八题）如图，直线AA1，BB1，CC1相交于点O，AO=A1O，BO=B1O，CO=C1O，求证：平面ABC∥平面A1B1C1.

改编如图，直线AA1、BB1、CC1相交于点O，AO=A1O，BO=B1O，CO=C1O，形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥，设三棱锥高均为1，若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体，若液体流入下面的三棱锥，则液体高度为_______。

解：液体部分的体积为三棱锥体积的1

8

，流下去后，液体上方空出三棱锥的体积为三棱锥体积的

7

8

，

A B

C A1

B1

C1