高中数学经典例题、错题详解资料
唐山市高考数学易错解答题含解析
唐山市高考数学易错解答题解答题含答案有解析1．已知函数()sin y A ωx φ=+0,0,02A πωϕ⎛⎫>><<⎪⎝⎭的图象如图所示.（1）求这个函数的解析式，并指出它的振幅和初相； （2）求函数在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并指出取得最值时的x 的值． 2．已知ABC ∆的顶点()5,1A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，B 的平分线BN 所在直线方程为250x y --=，求： （Ⅰ）顶点B 的坐标； （Ⅱ）直线BC 的方程3．已知向量()()4,3,1,2a b ==-． (1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量a b λ-与2a b +垂直，求λ的值．4．在ABC ∆中，已知内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知1a =，45B =，ABC ∆的面积2S =. （1）求边c 的长；（2）求ABC ∆的外接圆的半径R . 5．已知函数()3cos 22f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调区间.6．据某市供电公司数据，2019年1月份市新能源汽车充电量约270万度，同比2018年增长220%，为了增强新能源汽车的推广运用，政府加大了充电桩等基础设施的投入.现为了了解该城市充电桩等基础设施的使用情况，随机选取了200个驾驶新能源汽车的司机进行问卷调查，根据其满意度评分值（百分制）按照[)50,60，[)60,70，…，[)90,100分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求图中x 的值并估计样本数据的中位数；（2）已知满意度评分值在[)50,60内的男女司机人数比为3:2，从中随机抽取2人进行座谈，求2人均为女司机的概率.7．如图，在△ABC 中，cosC ＝35，角B 的平分线BD 交AC 于点D ，设∠CBD ＝θ，其中tanθ＝2﹣1．（1）求sinA 的值；（2）若21CA CB ⋅=，求AB 的长．8．已知直线:(0)l y kx k =≠与圆22:230C x y x +--=相交于A ，B 两点． （1）若||14AB =，求k ；（2）在x 轴上是否存在点M ，使得当k 变化时，总有直线MA 、MB 的斜率之和为0，若存在，求出点M 的坐标：若不存在，说明理由． 9．设函数.（1）当时，函数的图像经过点，试求的值，并写出（不必证明）的单调递减区间； （2）设，，，若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.10．设等差数列的前n 项和为n S ，已知312a =，120S >，130S <； （1）求公差d 的取值范围；（2）判断67a a ⋅与0的大小关系，并说明理由； （3）指出1S 、2S 、⋅⋅⋅、12S 中哪个最大，并说明理由； 11．已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+，*n N ∈. （1）求证数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设()221log 1n n b a +=+，数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T，求证：11156nT ≤< 12．已知函数2()23sin cos 2cos 1f x x x x =+-. （1）求函数()y f x =的最小正周期和值域； （2）设,,A B C 为ABC ∆的三个内角，若1cos 3B =，()22C f =，求cos A 的值.13．已知1a =，2b =，且向量a 与b 的夹角为θ． （1）若3πθ=，求a b ⋅；（2）若a b -与a 垂直，求θ．14．已知集合{}2230A x x x =--<，集合{}2680B x x x =-+>. （1）求AB ；（2）若不等式20x ax b ++<的解集为AB ，求不等式20ax x b +-<的解集.15．已知函数()()212cos 1sin 2cos 42f x x x x =-⋅+. （1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （2）若()0,απ∈，且248f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭，求tan 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 16．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，12AB BB ==，1BC =，11A E AC ⊥，E 为垂足.（1）求证：11A E AB ⊥（2）求三棱锥11B AB C -的体积.17．已知()()log 1a f x x =+，()()log 1a g x x =-，(0a >且)1a ≠ （1）求()()()F x f x g x =+的定义域.（2）判断()()()F x f x g x =+的奇偶性，并说明理由.18．某制造商3月生产了一批乒乓球，从中随机抽样133个进行检查，测得每个球的直径（单位：mm ），将数据分组如下：分组频数 频率 [1．95,1．97）13 [1． 97,1．99）23 [1．99,2．31）53 [2．31,2．33] 23 合计133（Ⅰ）请在上表中补充完成频率分布表（结果保留两位小数），并在图中画出频率分布直方图；（Ⅱ）若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为2．33 mm ，试求这批球的直径误差不超过3．33 mm 的概率；（Ⅲ）统计方法中，同一组数据经常用该组区间的中点值（例如区间[1．99,2．31）的中点值是2．33作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值（结果保留两位小数）．19．（6分）已知圆C ：()2219x y -+=内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点. （1）当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程； (2)当直线l 的倾斜角为45º时，求弦AB 的长.20．（6分）已知离心率为22的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,1)M ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,0)作斜率为2直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求||AB 的长．21．（6分）已知ABC ∆的顶点()3,4B ，AB 边上的高所在的直线方程为30x y +-=，E 为BC 的中点，且AE 所在的直线方程为370x y +-=. (1)求顶点A 的坐标；(2)求过E 点且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线l 的方程. 22．（8分）已知数列{}n a 满足：123(1)(41)236n n n n a a a na +-+++⋯+=，*n N ∈（1）求1a ，2a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和n T ，求证：12n T <23．（8分）如图，AB 是O 的直径，PA O ⊥所在的平面，C 是圆上一点，60BAC ∠=︒，PA AB =.（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）求直线PC 与平面ABC 所成角的正切值.24．（10分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为菱形，E 、P 、Q 分别是棱AD 、SC 、AB 的中点，且SE ⊥平面ABCD ．（1）求证：PQ ∥平面SAD ； （2）求证：AC ⊥平面SEQ ．25．（10分）已知圆M 的方程为22430x y y +-+=，直线l 的方程为30x y -=，点P 在直线l 上，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B. （1）若60APB ∠=︒，求点P 的坐标；（2）求证：经过A ，P ，M 三点的圆必经过异于M 的某个定点，并求该定点的坐标.26．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和292n S n n =-++（*n N ∈）；（1）判断数列{}n a 是否为等差数列； （2）设123||||||||n n R a a a a =++++，求n R ；（3）设1(12)n n b n a =-（*n N ∈），123n n T b b b b =++++，是否存在最小的自然数0n ，使得不等式32n n T <对一切正整数n 总成立？如果存在，求出0n ；如果不存在，说明理由； 27．（12分）在公差是整数的等差数列{}n a 中，17a =-，且前n 项和4n S S ≥． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．28．假设关于某设备的使用年限x 和支出的维修费y(万元)有如下表的统计资料(1)画出数据的散点图，并判断y 与x 是否呈线性相关关系(2)若y 与x 呈线性相关关系，求线性回归方程y b x a ∧∧∧=+的回归系数a ∧，b ∧(3)估计使用年限为10年时，维修费用是多少? 参考公式及相关数据:2122111ˆ,,90,112.3ni in ni i i i ni i ii x y nxyb ay bx x x y xnx ====-==-==-∑∑∑∑ 29．在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边，作两个角,αβ，它们终边分别经过点P 和Q ，其中21,cos 2P θ⎛⎫⎪⎝⎭,()2sin ,1,Q θθ-∈R ，且4sin 5α.（1）求cos2θ的值； （2）求tan()αβ+的值.30．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为{}n a 前n 项和，11a =，39S = （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）设12231111n n n T a a a a a a +=++⋅⋅⋅+，比较n T与2log （3）设函数,(),2n a n f n n f n ⎧⎪=⎨⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数，()()*24n n C f n N =+∈，求1C ，2C 和数列{}n C 的前n 项和n M . 参考答案解答题含答案有解析1．（1）函数的解析式为2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，其振幅是2，初相是6π（2）12x π=-时，函数取得最大值0；3x π=-时，函数取得最小值勤-2【解析】 【分析】（1）根据图像写出A ，由周期求出ω，再由点,26π⎛⎫⎪⎝⎭确定ϕ的值．（2）根据x 的取值范围确定26x π+的取值范围，再由2sin y t = 的单调求出最值【详解】（1）由图象知，函数的最大值为2，最小值为-2，∴2A =， 又∵4612T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴T π=，2ππω=，∴2ω=.∴函数的解析式为()2sin2y x ϕ=+.∵函数的图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，∴2sin 23πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又∵02πϕ<<，∴6π=ϕ. 故函数的解析式为2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，其振幅是2，初相是6π. （2）∵,212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，∴52,066x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦. 于是，当206x π+=，即12x π=-时，函数取得最大值0；当262x ππ+=-，即3x π=-时，函数取得最小值为-2.【点睛】本题考查由图像确定三角函数、给定区间求三角函数的最值，属于基础题． 2．（Ⅰ）(1,3)B --（Ⅱ）617450x y --= 【解析】 【分析】（Ⅰ）设()00,B x y ，可得AB 中点坐标，代入直线250x y --=可得00210x y --=；将B 点坐标代入直线250x y --=得00250x y --=，可构造出方程组求得B 点坐标；（Ⅱ）设A 点关于250x y --=的对称点为(),A x y '''，根据点关于直线对称点的求解方法可求得293,55A ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，因为A '在直线BC 上，根据两点坐标可求得直线方程. 【详解】（Ⅰ）设()00,B x y ，则AB 中点坐标为：0051,22x y ++⎛⎫⎪⎝⎭ 005125022x y ++∴⨯--=，即：00210x y --= 又00250x y --=，解得：01x =-，03y =-()1,3B ∴--（Ⅱ）设A 点关于250x y --=的对称点为(),A x y '''则1255125022y x x y -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-'''⋅-=⎩'⎪，解得：293,55A ⎛⎫'-⎪⎝⎭ BC ∴边所在的直线方程为：()335312915y x -++=++，即：617450x y --=【点睛】本题考查直线方程、直线交点的求解；关键是能够熟练应用中点坐标公式和点关于直线对称点的求解方法，属于常考题型.3．（1（2）529λ= 【解析】 【分析】（1）分别求出a ，b ，a b ⋅，再代入公式cos a b a bθ⋅=求余弦值；（2）由向量互相垂直，得到数量积为0，从而构造出关于λ的方程，再求λ的值. 【详解】(1) 2435a =+=，21b =-+=14322a b ⋅=-⨯+⨯=，∴cos 2555a b a bθ⋅===⨯. (2) ()()()4,3,24,32a b λλλλλ-=--=+-．()()()28,61,27,8a b +=+-=若()()2a b a b λ-⊥+， 则()()748320λλ++-=， 解得529λ=. 【点睛】本题考查向量数量积公式的应用及两向量垂直求参数的值，考查基本的运算求解能力.4．（1）c =（2）R = 【解析】 【分析】（1）由三角形面积公式可构造方程求得结果；（2）利用余弦定理可求得b ；利用正弦定理即可求得结果. 【详解】（1）由1sin 2S ac B =得：1222c ⨯=，解得：c =（2）由余弦定理得：2222cos 132252b ac ac B =+-=+-= 5b ∴=由正弦定理得：2sin b R B ===2R ∴= 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形的问题，考查学生对于解三角形部分的公式掌握的熟练程度，属于基础应用问题.5． (1) ()f x 的最小正周期为2π (2) ()f x 的单调增区间为()72,266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：（1）化简函数的解析式得()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据周期公式求得函数的周期；（2）由()22232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，求得x 的取值范围即为函数的单调增区间，由()322232k x k k Z ，πππππ+≤+≤+∈求得x 取值范围即为函数的单调减区间。
高中数学错题集及解析
高中数学错题集及解析1. 题目：如图所示，已知AD∥CF，DE∥CF，∠ADE=40°，∠FCD=120°，求∠BCF的度数。
A B C DE F解析：根据题目所给的已知条件，我们可以得到如下信息：AD∥CF，DE∥CF，∠ADE=40°，∠FCD=120°。
要求∠BCF的度数，我们可以利用几何知识进行推理和计算。
首先，根据平行线的性质，我们知道∠ADE=∠FCD=40°。
由于∠FCD=120°，所以∠DCF=180°-120°=60°。
接下来，我们观察四边形ADCF，可以发现∠CAF和∠ADF是对顶角，因此它们的度数相等。
∠ADE和∠DCF是共顶角，它们的度数也相等。
由此，我们可以得到以下等式：∠CAF=∠ADF=40°∠ADE=∠DCF=60°现在我们来考虑三角形BCF。
已知∠CAF=∠ADF=40°，∠BCF为所求。
我们知道，三角形内角和为180°，因此有：∠CAF+∠ADF+∠BCF=180°带入已知信息，得到：40°+40°+∠BCF=180°化简得：80°+∠BCF=180°再进一步，我们可以得到：∠BCF=180°-80°∠BCF=100°因此，∠BCF的度数为100°。
2. 题目：已知函数f(x)=2x^3-3x^2+x-5，求f(-1)和f(2)的值。
解析：我们可以使用给定的函数，将x的值代入函数中进行计算，从而得到f(x)的值。
首先，计算f(-1)的值。
将x=-1代入函数f(x)中，有：f(-1)=2(-1)^3-3(-1)^2+(-1)-5化简得：f(-1)=-2-3+(-1)-5=-2-3-1-5=-11因此，f(-1)的值为-11。
接下来，计算f(2)的值。
高中数学高频错题总结 (含例题答案)
高一上学期易错陷阱总结1、 对数型函数中，（易忽略真数位置大于0）5．已知y ＝log a (2－ax )在[0,1]上为减函数，则a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．[2，＋∞) 2、 集合中，空集的特殊性（易忘记讨论空集）13．已知集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |x ＜－1，或x ＞16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围． (1)A ∩B ＝∅； (2)A ⊆(A ∩B )． 3、集合中，元素的互异性（易忽略导致取值错误）[例2] 已知集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，求a 2 019＋b 2 020的值．跟踪探究 2.已知集合A ＝{2，x ，y }，B ＝{2x,2，y 2}且A ＝B ，求x ，y 的值．4、集合中，元素的特殊要求（比如：易忽略x等条件）跟踪探究 1.若集合A ＝{x |1≤x ≤3，x ∈N }，B ＝{x |x ≤2，x ∈N }，则A ∩B ＝( )A.{x |1≤x ≤2} B ．{x |x ≥1} C ．{2,3}D ．{1,2}5、抽象函数的定义域问题（定义域仅代表x ，括号内取值范围一致）14、函数的定义域为,则的定义域是___;函数的定义域为___.6、 区间中默认a<b14.已知函数f （x ）=, x是偶函数，则a+b=7、 换元法求值域类问题（易忽略换元后，t 的取值范围）(1)f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的值域；8、动轴定区间类问题（分类讨论不重不漏）典型案例：求函数y ＝x 2－2ax －1在[0,2]上的最值．9同增异减求单调区间问题（对数型时不能忽略真数位置大于0）（多个区间，隔开）跟踪探究 2.求函数y ＝log 2(x 2－5x ＋6)的单调区间．10、分段函数单调性问题。
（易忽略结点处）13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋4，(x ≤1)，－ax ＋3a －4，(x ＞1)且f (x )在R 上递减，则实数a 的取值范围________．11.解分式不等式。
高考数学高频易错题举例解析共42页
高考数学高频易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。
也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。
本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。
加强思维的严密性训练。
● 忽视等价性变形，导致错误。
⎩⎨⎧ x >0 y >0 ⇔ ⎩⎨⎧ x + y >0 xy >0 ，但 ⎩⎨⎧ x >1 y >2 与 ⎩⎨⎧ x + y >3 xy >2不等价。
【例1】已知f(x) = a x + xb，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。
错误解法 由条件得⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤+≤-622303ba b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32338-≤≤-b ④ ③+④得 .343)3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数bxax x f +=)(，其值是同时受b a 和制约的。
当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。
正确解法 由题意有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22)2()1(b a f ba f , 解得：).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .337)3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。
只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。
●忽视隐含条件，导致结果错误。
【例2】(1) 设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。
利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα有的学生一看到449-，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和。
高考数学高频易错题举例解析
高考数学高频易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略.也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误.本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助.加强思维的严密性训练. ● 忽视等价性变形，导致错误.，但 与 不等价.【例1】已知f 〔x 〕 = ax + ，若求的范围.错误解法 由条件得 ⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤+≤-622303ba b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32338-≤≤-b ④ ③+得 ④.343)3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数，其值是同时受制约的.当取最大〔小〕值时，不一定取最大〔小〕值，因而整个解题思路是错误的.正确解法 由题意有, 解得：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22)2()1(b a f ba f)],2()1(2[32)],1()2(2[31f f b f f a -=-=).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把和的范围代入得 )1(f )2(f .337)3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性.只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题.●忽视隐含条件，导致结果错误. 【例2】(1) 设是方程的两个实根，则的最小值是βα、0622=++-k kx x 22)1()1(-+-βα不存在)D (18)C (8)B (449)A (-思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当.利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα.449)43(42)(22)(1212)1()1(222222--=++--+=+-++-=-+-∴k βααββαββααβα 有的学生一看到，常受选择答案〔A 〕的诱惑，盲从附和.这正是思维缺乏反思性的体现.如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案.原方程有两个实根，∴ βα、0)6k (4k 42≥+-=∆⇒.3k 2k ≥-≤或当时，的最小值是8；3≥k 22)1()1(-+-βα 当时，的最小值是18.这时就可以作出正确选择，只有〔B 〕正确. 〔2〕 已知〔x+2〕2+ =1, 求x2+y2的取值范围.错解 由已知得 y2=－4x2－16x －12，因此 x2+y2=－3x2－16x －12=－3〔x+〕2+ ，∴当x=－时，x2+y2有最大值，即x2+y2的取值范围是〔－∞, ]. 分析 没有注意x 的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值. 事实上，由于〔x+2〕2+ =1 〔x+2〕2=1－ ≤1 －3≤x ≤－1， 从而当x=－1时x2+y2有最小值1.∴ x2+y2的取值范围是[1, ].注意有界性：偶次方x2≥0，三角函数－1≤sinx ≤1，指数函数ax>0，圆锥曲线有界性等.●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误.【例3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求〔a+ 〕2+〔b+ 〕2的最小值. 错解 〔a+〕2+〔b+〕2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8,∴〔a+〕2+〔b+〕2的最小值是8.分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab ，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的.因此，8不是最小值. 事实上，原式= a2+b2+++4=〔 a2+b2〕+〔+〕+4=[〔a+b 〕2－2ab]+[〔+〕2－]+4= 〔1－2ab 〕〔1+〕+4，由ab ≤〔〕2= 得：1－2ab ≥1－=, 且≥16，1+≥17， ∴原式≥×17+4= 〔当且仅当a=b=时，等号成立〕， ∴〔a + 〕2 + 〔b + 〕2的最小值是.●不进行分类讨论，导致错误 【例4】〔1〕已知数列的前项和，求错误解法 .222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a错误分析 显然，当时，.错误原因：没有注意公式成立的条件是. 因此在运用时，必须检验时的情形.即：. 〔2〕实数为何值时，圆与抛物线有两个公共点.错误解法 将圆与抛物线 联立，消去，012222=-+-+a ax y x x y 212=y 得 ①).0(01)212(22≥=-+--x a x a x因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得 ， 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-=∆.01021202a a .817=a错误分析 〔如图2－2－1；2－2－2〕显然，当时，圆与抛物线有两个公共点.要使当方程①有一正根、一负根时，得解之，得⎩⎨⎧<->∆.0102a .11<<-a因此，当或时，圆与抛物线有两个公共点.思考题：实数为何值时，圆与抛物线，a 012222=-+-+a ax y x x y 212=(1) 有一个公共点；〔2〕有三个公共点；〔3〕有四个公共点；〔4〕没有公共点.●以偏概全，导致错误以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性.【例5】〔1〕设等比数列的全项和为.若，求数列的公比.21错误解法 ，,2963S S S =+ q q a q q a q q a --⋅=--+--∴1)1(21)1(1)1(916131.012(363）＝整理得--q q q.错误分析 在错解中，由，qq a q q a q q a --⋅=--+--1)1(21)1(1)1(916131时，应有.在等比数列中，是显然的，但公比q 完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比的情况，再在的情况下，对式子进行整理变形.正确解法若，则有但，即得与题设矛盾，故.1=q .9,6,3191613a S a S a S ===01≠a ,2963S S S ≠+1≠q 又依题意,即因为，所以所以解得963S 2S S =+⇒qq a q q a q q a --⋅=--+--1)1(21)1(1)1(916131⇒01q q 2(q 363）＝--,0)1)(12(33=-+q q 1≠q ,013≠-q .0123=+q .243-=q 说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第〔21〕题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分.〔2〕求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点.错误解法 设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为)1,0(1+=kx y⎩⎨⎧=+=xy kx y 212，消去得整理得 y .02)1(2=-+x kx .01)22(22=+-+x k x k 直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为,0=∆∴∴=.21k .121+=x y 错误分析 此处解法共有三处错误：第一，设所求直线为时，没有考虑与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的.第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况.原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透.第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即而上述解法没作考虑，表现出思维不严密.正确解法 ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切. ②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点.③一般地，设所求的过点的直线为,则，)1,0(1+=kx y )0(≠k ⎩⎨⎧=+=xy kx y 212∴.01)22(22=+-+x k x k 令解得k = ,∴所求直线为,0=∆.121+=x y 综上，满足条件的直线为：.121,0,1+===x y x y《章节易错训练题》1、已知集合M = {直线} ，N = {圆} ，则M ∩N 中元素个数是 A 〔集合元素的确定性〕〔A 〕 0 〔B 〕 0或1〔C 〕 0或2〔D 〕 0或1或22、已知A = ，若A ∩R* = ，则实数t 集合T = ___.〔空集〕3、如果kx2+2kx －〔k+2〕<0恒成立，则实数k 的取值范围是C 〔等号〕 〔A 〕 －1≤k ≤0 〔B 〕 －1≤k<0 〔C 〕 －1<k ≤0 〔D 〕 －1<k<04、命题＜3，命题＜0，若A 是B 的充分不必要条件，则的取值范围是C 〔等号〕 〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕5、若不等式x2－logax<0在〔0, 〕内恒成立，则实数的取值范围是A 〔等号〕 〔A 〕 [,1〕 〔B 〕 〔1, + 〕〔C 〕 〔,1〕〔D 〕 〔,1〕∪〔1,2〕6、若不等式〔－1〕na < 2 +对于任意正整数n 恒成立，则实数的取值范围是A 〔等号〕 〔A 〕 [－2，〕 〔B 〕 〔－2，〕〔C 〕 [－3，〕〔D 〕 〔－3，〕7、已知定义在实数集上的函数满足：；当时，；对于任意R ()f x (1)1f =0x <()0f x < 的实数、都有.证明：为奇函数.〔特殊与一般关系〕8、已知函数f 〔x 〕 = ，则函数的单调区间是_____.递减区间〔－，－1〕和〔－1， +〕 〔单调性、单调区间〕9、函数y = 的单调递增区间是________.[－，－1〕〔定义域〕 10、已知函数f 〔x 〕= ， f 〔x 〕的反函数f －1〔x 〕= . 0≤x<1〕〕〔漏反函数定义域即原函数值域〕11、函数 f 〔x 〕 = log 〔x 2 + a x + 2〕 值域为 R ，则实数 a 的取值范围是D 〔正确使用△≥0和△<0〕 〔A 〕 〔－2,2〕 〔B 〕 [－2,2] 〔C 〕 〔－,－2〕∪〔2,+〕 〔D〕〔－,－2]∪[2,+〕12、若x ≥0，y ≥0且x+2y=1，那么2x+3y2的最小值为B 〔隐含条件〕 〔A 〕2 〔B 〕〔C 〕〔D 〕013、函数y=的值域是________.〔－∞, 〕∪〔,1〕∪〔1,+∞〕 〔定义域〕 14、函数y = sin x 〔1 + tan x tan 〕的最小正周期是C 〔定义域〕〔A 〕 〔B 〕〔C 〕 2〔D 〕 315、已知 f 〔x 〕 是周期为 2 的奇函数，当 x [0,1〕 时，f 〔x 〕 = 2 x ，则 f 〔log 23〕 = D 〔对数运算〕〔A 〕 〔B 〕〔C 〕 －〔D 〕 －16、已知函数在处取得极值.〔1〕讨论和是函数的极大值还是极小值；〔2〕过点作曲线的切线，求此切线方程.〔2004天津〕〔求极值或最值推理判断不充分〔建议列表〕；求过点切线方程，不判断点是否在曲线上.〕 17、已知tan 〔－〕= － ,5〕 则tan = ；= .,2〕 、,3〕 〔化齐次式〕18、若 3 sin 2 + 2 sin 2 －2 sin = 0，则cos 2 + cos 2 的最小值是 __ .〔隐含条件〕 19、已知sin + cos = ， 〔0，〕，则cot = _______.－〔隐含条件〕20、在△ABC 中，用a 、b 、c 和A 、B 、C 分别表示它的三条边和三条边所对的角，若a =2、 、，则∠B = B 〔隐含条件〕〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕21、已知a>0 , b>0 , a+b=1，则〔a + 〕2 + 〔b + 〕2的最小值是_______.〔三相等〕 22、已知x ≠ k 〔k Z 〕，函数y = sin2x + 的最小值是______.5〔三相等〕 23、求的最小值.错解1 |cos sin |8cos 8sin 22cos 8sin 22222x x x x x x y =⋅⋅≥+=.16,.16|2sin |16min =∴≥=y x错解2.261182221)cos cos 8()sin sin 2(2222+-=-+≥-+++=x xx x y 错误分析 在解法1中，的充要条件是16=y .1|2sin |cos 8sin 222==x xx 且即这是自相矛盾的.在解法2中，的充要条件是261+-=y这是不可能的.正确解法1 x x y 22sec 8csc 2+=.18x tan 4x cot 2210)x tan 4x (cot 210)x tan 1(8)x cot 1(2222222=⋅⋅+≥++=+++=其中，当.18y 2x cot x tan 4x cot 222===时，，即.18min =∴y 正 确 解 法2 取正常数，易得kk x k xx k x y -+++=)cos cos 8()sin sin 2(2222.268222k k k k k -⋅=-⋅+⋅≥ 其中“”取“＝”的充要条件是≥.18k 21x tan x cos k xcos 8x sin k x sin 222222====且，即且 因此，当,18k k 26y 21x tan 2=-⋅==时，.18min =∴y 24、已知a1 = 1，an = an －1 + 2n －1〔n ≥2〕，则an = ________.2n －1〔认清项数〕25、已知 －9、a1、a2、－1 四个实数成等差数列，－9、b1、b2、b3、－1 五个实数成等比数列， 则b2〔a2－a1〕=A 〔符号〕 〔A 〕 －8 〔B 〕 8 〔C 〕 －〔D〕26、已知 {an} 是等比数列，Sn 是其前n 项和，判断Sk ，S2k －Sk ，S3k －S2k 成等比数列吗？当q = －1，k 为偶数时，Sk = 0，则Sk ，S2k －Sk ，S3k －S2k 不成等比数列； 当q ≠－1或q = －1且k 为奇数时，则Sk ，S2k －Sk ，S3k －S2k 成等比数列. 〔忽视公比q = －1〕27、已知定义在R 上的函数和数列满足下列条件：)(x f }{n a，f 〔an 〕－f 〔an －1〕 = k 〔an －an －1〕〔n = 2,3,┄〕，其中a 为常数，k 为非零常数.〔1〕令，证明数列是等比数列；〔2〕求数列的通项公式；〔3〕当时，求.〔2004天津〕〔等比数列中的0和1，正确分类讨论〕28、不等式m2－〔m2－3m 〕i< 〔m2－4m + 3〕i + 10成立的实数m 的取值集合是________.{3}〔隐含条件〕29、i 是虚数单位，的虚部为〔 〕C 〔概念不清〕〔A 〕 －1 〔B 〕 －i〔C 〕 －3〔D 〕 －3 i30、实数，使方程至少有一个实根.错误解法 方程至少有一个实根，020m )m i 21(4)i 4m (22≥-=+-+=∆∴ 或⇒,52m ≥.52-≤m错误分析 实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用.一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误.正确解法 设是方程的实数根，则a.0i )m 2a 4(1m a a ,0m i 21a )i 4m (a 22=++++∴=++++由于都是实数，,解得 m a 、⎩⎨⎧=+=++∴24012m a ma a .2±=m 31、和a = 〔3,－4〕平行的单位向量是_________；和a = 〔3,－4〕垂直的单位向量是_________.〔，－〕或〔－，〕；〔，〕或〔－ ，－ 〕〔漏解〕32、将函数y= 4x －8的图象L 按向量a 平移到L/，L/的函数表达式为y= 4x ，则向量a=______. a = 〔h ，4h+8〕 〔其中h R 〕〔漏解〕 33、已知 ||＝1，||＝，若//，求·.①若，共向，则 ·＝||•||＝，a b a b a b2②若，异向，则·＝－||•||＝－.〔漏解〕34、在正三棱锥A －BCD 中，E 、F 是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ，若BC = a ，则正三棱锥A －BCD 的体积为____________.,24〕 a3 〔隐含条件〕35、在直二面角 －AB － 的棱 AB 上取一点 P ，过 P 分别在 、 两个平面内作与棱成 45° 的斜线 PC 、PD，那么∠CPD的大小为D 〔漏解〕 〔A 〕 45 〔B 〕 60 〔C 〕 120 〔D〕60或 12036、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F. 〔1〕证明PA//平面EDB ； 〔2〕证明PB ⊥平面EFD ；〔3〕求二面角C —PB —D 的大小.〔2004天津〕〔条件不充分〔漏PA 平面EDB ，平面PDC ，DE ∩EF = E 等〕；运算错误，锐角钝角不分.〕 37、若方程 + y 2 = 1表示椭圆，则m 的范围是_______.〔0，1〕∪〔1，+ 〕〔漏解〕 38、已知椭圆 + y 2 = 1的离心率为 ，则 m 的值为 ____ .4 或 〔漏解〕39、椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点 B 与两焦点 F1、F2 组成的三角形的周长为 4 + 2且∠F1BF2 = ，则椭圆的方程是 .+ y 2 = 1或x 2 + = 1〔漏解〕40、椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为，相应于焦点F 〔c ，0〕〔〕的准线与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点.〔1〕求椭圆的方程及离心率；〔2〕若，求直线PQ 的方程；〔3〕设〔〕，过点P 且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M ，证明.〔2004天津〕〔设方程时漏条件a>，误认短轴是b = 2；要分析直线PQ 斜率是否存在〔有时也可以设为x = ky + b 〕先；对一元二次方程要先看二次项系数为0否，再考虑△>0，后韦达定理.〕 41、求与轴相切于右侧，并与⊙也相切的圆的圆心y 06:22=-+x y x C的轨迹方程.错误解法 如图3－2－1所示，已知⊙C 的方程为.9)3(22=+-y x 设点为所求轨迹上任意一点，并且⊙P 与轴相切于M 点，)0)(,(>x y x P y 与⊙C 相切于N 点.根据已知条件得3||||+=PM CP ，即，化简得3x y )3x (22+=+-).0(122>=x xy错误分析 本题只考虑了所求轨迹的纯粹性〔即所求的轨迹上的点都满足条件〕，而没有考虑所求轨迹的完备性〔即满足条件的点都在所求的轨迹上〕.事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程.从动圆与已知圆内切，可以发现以轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径〔不等于3〕的圆也符合条件，所以也是所求的方程.即动圆圆心的轨迹方程是y2 = 12x 〔x>0〕和.因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性.42、〔如图3－2－2〕，具有公共轴的两个直角坐标平面和所成的二面角等于.已知内的曲线的方程是，求曲线在内的射影的曲线方程.错误解法 依题意，可知曲线是抛物线，C ' 在内的焦点坐标是β.0),0,2(>'p pF 因为二面角等于，βα轴－y -︒60且所以轴，轴轴，轴y x y x ⊥⊥'.60︒='∠x xo设焦点在内的射影是，那么，位于轴上，F 'α),(y x F F x 从而,90,60,0︒='∠︒='∠=FO F OF F y所以所以点是所求射影的焦点.的射影的曲线方程是错误分析 上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为F 的焦点，其次，没有证明默认C/在 内的射影〔曲线〕是一条抛.正确解法 在内，设点是曲线上任意一点β),(y x M '' 〔如图3－2－3〕过点作，垂足为，过作轴，垂足为连接，N y NH ⊥.H MH 则轴.所以是二面角β-α轴－y 的平面角，依题意，.MHN ∠︒=60在.2160cos ,x HM HN MNH Rt '=︒⋅=∆中 又知轴〔或与重合〕， 轴〔或与重合〕，设，则 ⎩⎨⎧='='∴⎪⎩⎪⎨⎧'='=.221y y xx y y x x 因为点在曲线上，所以),(y x M '')0(22>'=p x p y ).2(22x p y = 即所求射影的方程为 ).0(42>=p px y数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心.以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程.在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系〔充分性、必要性、充要性等〕，做到思考缜密、推理严密.二、选择题：1．为了得到函数的图象，可以将函数的图象〔 〕 A 向右平移 B 向右平移 C 向左平移 D 向左平移6π3π6π3π错误分析:审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误. 答案: B2．函数的最小正周期为 〔 〕A B C D ππ22π23π错误分析:将函数解析式化为后得到周期,而忽视了定义域的限制,导致出错.x y tan =π=T 答案: B 3． 曲线y=2sin 〔x+cos 〔x-〕和直线y=在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1、P2、P3……，则P2P4等于 〔 〕 A ． B ．2 C ．3 D ．4正确答案：A 错因：学生对该解析式不能变形，化简为Asin 〔x+〕的形式，从而借助函数图象和函数的周期性求出P2P.4．下列四个函数y=tan2x ，y=cos2x ，y=sin4x ，y=cot 〔x+〕,其中以点〔,0〕为中心对称的三角函数有〔 〕个A ．1B ．2C ．3D ．4正确答案：D 错因：学生对三角函数图象的对称性和平移变换未能熟练掌握.5．函数y=Asin 〔x+〕〔>0,A0〕的图象与函数y=Acos 〔x+〕〔>0, A0〕的图象在区间〔x0,x0+〕上〔〕 A ．至少有两个交点 B ．至多有两个交点C ．至多有一个交点D ．至少有一个交点 正确答案：C 错因：学生不能采用取特殊值和数形结合的思想方法来解题. 6． 在ABC 中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，则C 的大小应为〔 〕A ．B ．C ．或D ．或6π3π6ππ653π32π正确答案：A 错因：学生求C 有两解后不代入检验.7．已知tan tan 是方程x2+3x+4=0的两根，若，〔-〕，则+=〔 〕A ．B ．或-C ．-或D ．-3π3ππ323ππ32π32正确答案：D 错因：学生不能准确限制角的范围.8． 若，则对任意实数的取值为〔 〕 A. 1 B. 区间〔0，1〕 C. D. 不能确定 解一：设点，则此点满足解得或 即 选A解二：用赋值法， 令 同样有 选A说明：此题极易认为答案A 最不可能，怎么能会与无关呢？其实这是我们忽略了一个隐含条件，导致了错选为C 或D.9． 在中，，则的大小为〔 〕 A. B. C. D. 解：由平方相加得 若 则 又 选A说明：此题极易错选为，条件比较隐蔽，不易发现.这里提示我们要注意对题目条件的挖掘. 10． 中,、、C 对应边分别为、、.若,,,且此三角形有两解,则的取值范围为 〔 〕 A. B. C. D. )22,2(22),2(+∞]22,2( 正确答案：A错因：不知利用数形结合寻找突破口.11．已知函数 y=sin 〔x+〕与直线y ＝的交点中距离最近的两点距离为，那么此函数的周期是〔 〕 A B C 2 D 43ππππ 正确答案：B错因：不会利用范围快速解题.12．函数为增函数的区间是………………………… 〔 〕 A.B.C.D. ]3,0[π]127,12[ππ]65,3[ππ],65[ππ 正确答案：C错因：不注意内函数的单调性.13．已知且，这下列各式中成立的是〔 〕A. B. C. D.πβα<+23πβα>+23πβα=+23πβα<+ 正确答案〔D 〕错因:难以抓住三角函数的单调性.14．函数的图象的一条对称轴的方程是〔〕正确答案A错因：没能观察表达式的整体构造，盲目化简导致表达式变繁而无法继续化简.15．ω是正实数，函数在上是增函数，那么〔 〕 A ． B ． C ．D ．230≤<ω20≤<ω7240≤<ω2≥ω 正确答案A错因：大部分学生无法从正面解决，即使解对也是利用的特殊值法.16．在〔0，2π〕内，使cosx ＞sinx ＞tanx 的成立的x 的取值范围是 〔 〕 A 、 〔〕 B 、 〔〕 C 、〔〕 D 、〔〕 正确答案：C17．设，若在上关于x的方程有两个不等的实根，则为()sin()4f x x π=+[]0,2x π∈()f x m =12,x x 12x x +A 、或B 、C 、D 、不确定2π52π2π52π正确答案：A18．△ABC 中，已知cosA=，sinB=，则cosC 的值为〔 〕 A 、 B 、 C 、或 D 、65166556651665566516-答案：A点评：易误选C.忽略对题中隐含条件的挖掘.19．在△ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C 的大小为〔 〕 A 、 B 、 C 、或 D 、或6π65π6π65π3π32π答案：A点评：易误选C ，忽略A+B 的范围. 20．设cos1000=k ，则tan800是〔 〕A 、B 、C 、D 、k k 21-k k 21--k k 21-±21kk -±答案：B点评：误选C ，忽略三角函数符号的选择.21．已知角的终边上一点的坐标为〔〕，则角的最小值为〔 〕.A 、B 、C 、D 、65π32π35π611π正解：Dπαπαπα61165,3332cos tan ==∴-==或，而032sin >π032cos <π所以，角的终边在第四象限，所以选D ，απα611=误解：,选B παπα32,32tan tan ==22．将函数的图像向右移个单位后，再作关于轴的对称变换得到的函数的图像，则可以是〔 〕.A 、B 、C 、D 、x cos 2-x cos 2x sin 2-x sin 2 正解：Bx x y 2cos sin 212=-=,作关于x 轴的对称变换得,然后向左平移个单位得函数 可得xy 2cos -=4π)4(2cos π+-=x y x x f x sin )(2sin ⋅==x x f cos 2)(=误解：未想到逆推，或在某一步骤时未逆推，最终导致错解.23． A ，B ，C 是ABC 的三个内角，且是方程的两个实数根，则ABC 是〔 〕A 、钝角三角形B 、锐角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形 正解：A由韦达定理得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+31tan tan 53tan tan B A B A253235tan tan 1tan tan )tan(==-+=+∴B A B A B A在中，ABC ∆025)tan()](tan[tan <-=+-=+-=B A B A C π 是钝角，是钝角三角形.24．曲线为参数〕上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是〔 〕.A 、B 、C 、1D 、21222正解：D.θθsin cos +=d由于所表示的曲线是圆，又由其对称性，可考虑的情况，即⎩⎨⎧==θθsin cos y x I ∈θθθcos sin +=d则∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 2πθd 2max =d误解：计算错误所致.25．在锐角⊿ABC 中，若，，则的取值范围为〔 〕A 、B 、C 、D 、),2(+∞),1(+∞)2,1()1,1(- 错解: B.错因:只注意到而未注意也必须为正.,0tan ,0tan >>B A C tan 正解: A.26．已知，〔〕，则 〔C 〕A 、B 、C 、D 、324--m m m m 243--±125-12543--或错解：A错因：忽略，而不解出1cos sin 22=+θθm 正解：C27．先将函数y=sin2x 的图象向右平移个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为 〔 〕 A ．y=sin 〔－2x+ 〕 B ． y=sin 〔－2x －〕 C ．y=sin 〔－2x+ 〕 D ． y=sin 〔－2x －〕 错解：B错因：将函数y=sin2x 的图象向右平移个单位长度时，写成了)32sin(π-=x y正解：D28．如果，那么的取值范围是〔 〕 A ．， B ．， C ．，， D ．，，21[-]2121[-]121[-21()21 ]121[-23()23 ]1错解: D ．错因:只注意到定义域,而忽视解集中包含.3π≠x 32π=x 正解: B ．29．函数的单调减区间是〔 〕 A 、 〔〕 B 、 C 、 D 、)](22,42[z k k k ∈++ππππ)](2,4[z k k k ∈++ππππ答案：D 错解：B错因：没有考虑根号里的表达式非负. 30．已知的取值范围是〔 〕 A 、 B 、 C 、 D 、 ]21,21[-]21,23[-]23,21[-]1,1[- 答案：A 设，可得sin2x sin2y=2t,由.错解：B 、C错因：将由t y x t y x y x +=+==21)sin(sin cos 21cos sin 相加得与 选B ，相减时选C ，没有考虑上述两种情况均须满足.31．在锐角ABC 中，若C=2B ，则的范围是〔 〕 A 、〔0，2〕 B 、 C 、 D 、 答案：C 错解：B错因：没有精确角B 的范围 32．函数 〔 〕A 、3B 、5C 、7D 、9 正确答案：B错误原因：在画图时，0＜＜时，＞意识性较差. 33．在△ABC 中，则∠C 的大小为 〔 〕A 、30°B 、150°C 、30°或150°D 、60°或150° 正确答案：A错误原因：易选C ，无讨论意识，事实上如果C=150°则A=30°∴，∴＜＜6和题设矛盾21sin =A BA cos 4sin 3+211 34． 〔 〕A 、B 、C 、D 、π2π2π4π正确答案：C错误原因：利用周期函数的定义求周期，这往往是容易忽视的，本题直接检验得()2,2ππ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+T x f x f 故35． 〔 〕A 、B 、C 、D 、ππ22π23π正确答案：B错误原因：忽视三角函数定义域对周期的影响.36．已知奇函数等调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则〔 〕 A 、f 〔cosα〕＞ f 〔cos β〕 B 、f 〔sinα〕＞ f 〔sinβ〕 C 、f 〔sinα〕＜f 〔cosβ〕 D 、f 〔sinα〕＞ f 〔cosβ〕 正确答案：〔C 〕错误原因：综合运用函数的有关性质的能力不强. 37．设那么ω的取值范围为〔 〕A 、B 、C 、D 、20≤>ω230≤>ω7240≤>ω2≥ω 正确答案：〔B 〕错误原因：对三角函数的周期和单调性之间的关系搞不清楚.二填空题：1．已知方程〔a 为大于1的常数〕的两根为，，且、，则的值是_________________.α∈β ⎝⎛-2π,⎪⎭⎫2π2tanβα+ 错误分析：忽略了隐含限制是方程的两个负根，从而导致错误.βαtan ,tan 01342=+++a ax x 正确解法： ，1>a ∴a 4tan tan -=+βα0<o a >+=⋅13tan tan βα是方程的两个负根∴βαtan ,tan 01342=+++a ax x又 即⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2,ππβα⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈∴0,2,πβα⎪⎭⎫⎝⎛-∈+0,22πβα 由===可得tan ()βα+βαβαtan tan 1tan tan ⋅-+()1314+--a a 34.22tan -=+βα答案: -2 .2．已知,则的取值范围是_______________.错误分析:由得代入中,化为关于的二次函数在上的范围,而忽视了的隐含限制,导致错误.αβαcos 4cos 4cos 522=+βα22cos cos +αβαcos 4cos 4cos 522=+ααβ22cos 45cos cos -=βα22cos cos +αcos []1,1-αcos答案: .⎥⎦⎤⎢⎣⎡2516,0略解: 由得 αβαcos 4cos 4cos 522=+ααβ22cos 45cos cos -=()1 []1,0cos 2∈β ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴54,0cos α将〔1〕代入得=.3．若,且,则_______________.()π,0∈A 137cos sin =+A A =-+AA AA cos 7sin 15cos 4sin 5错误分析:直接由,及求的值代入求得两解,忽略隐含限制出错.137cos sin =+A A 1cos sin 22=+A A A A cos ,sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππ,2A 答案: .438 4．函数的最大值为3，最小值为2，则______，_______. 解：若则 1252a b ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩若则说明：此题容易误认为，而漏掉一种情况.这里提醒我们考虑问题要周全. 5．若Sin cos ，则α角的终边在第_____象限. 正确答案：四错误原因：注意角的范围，从而限制α的范围.6．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则的值为_________.2tan 2tan 32tan 2tan C A C A ++ 正确答案：3错因：看不出是两角和的正切公式的变形.7．函数的值域是 ．sin (sin cos )y x x x =+([0,])2x π∈正确答案：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．若函数的最大值是1，最小值是，则函数的最大值是 ．正确答案：5cos y a x b =+7-cos sin y a x b x =+ 9．定义运算为:例如，,则函数f 〔x 〕=的值域为．正确答案：10．若，α是第二象限角，则=__________135sin =α2tan α答案：5点评：易忽略的范围，由得=5或.11．设ω>0，函数f 〔x 〕=2sinωx 在上为增函数，那么ω的取值范围是_____ 答案：0<ω≤32 点评：]2,2[]4,3[πππωπω-⊆-12．在△ABC 中，已知a=5，b=4，cos 〔A －B 〕=，则cosC=__________答案：81点评：未能有效地运用条件构造三角形运用方程思想实施转化.13．在中，已知，b ，c 是角A 、B 、C 的对应边，则①若，则在R 上是增函数；②若，则ABC 是；③的最小值为；④若，则A=B ；⑤若，则，其中错误命题的序号是_____.正解：错误命题③⑤.① 0sin sin ,sin sin >-∴>⇔>B A B A b a上是增函数。
高中数学错题精选解析几何部分
高中数学解析几何部分错题精选1. （如中）若直线(1)y k x =-与抛物线243y x x =++的两个交点都在第二象，则k 的取值范围是______________.解 答： (-3, 0)易错原因：找不到确当的解答方法。
本题最好用数形结合法。
2. （如中）若双曲线22221x y a b-=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为 A 0916X Y ±= B 0169X Y ±= C 034X Y ±= D 043X Y ±= 解 答：C易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义。
3. （如中）椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是A B C D 解 答：D易错原因：短轴长误认为是b4．（如中）过定点（1，2）作两直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是A k>2B -3<k<2C k<-3或k>2D 以上皆不对解 答：D易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑2240D E F +-> 5．（如中）设双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线L ，则双曲线的离心率为A 2B 2CD 解 答：D易错原因：忽略条件0a b >>对离心率范围的限制。
6．（如中）已知二面角βα--l 的平面角为θ，PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且PA=4，PB=5，设A 、B 到二面角的棱l 的距离为别为y x ,，当θ变化时，点),(y x 的轨迹是下列图形中的A B C D解答：D易错原因：只注意寻找,x y的关系式，而未考虑实际问题中,x y的范围。
7．（如中）已知点P是抛物线22y x=上的动点，点P在y轴上的射影为M，点A的8．（如中）若曲线y=(2)y k x=-+3有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围是A 01k≤≤ B34k≤≤ C314k-<≤D10k-<≤解答：C易错原因：将曲线y=转化为224x y-=时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线y x=平行的直线与双曲线的位置关系。
(完整版)高中数学易错题
高中数学易错题数学概念的理解不透必修一（1）若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ ） A.a ≤-21或a ≥21 B.a ＜21 C.-21≤a ≤21 D.a ≥ 21【错解】选A.由题意，方程ax 2+x+a=0的根的判别式20140a ∆<⇔-<⇔ a ≤-21或a ≥21，所以选A.【正确解析】D .不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，若a=0,则不等式为x<0解集不合已知条件，则a 0≠；要不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则需二次函数y=ax 2+x+a 的开口向上且与x 轴无交点，所以a>0且20140120a a a ⎧∆≤⇔-≤⇔≥⎨>⎩.必修一（2）判断函数f(x)=(x －1)xx-+11的奇偶性为____________________【错解】偶函数.f(x)=(x -===，所以()()f x f x -===，所以f （x ）为偶函数.【正解】非奇非偶函数.y=f(x)的定义域为：(1)(1)01011101x x xx x x +-≥⎧+≥⇔⇔-≤<⎨-≠-⎩，定义域不关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数.1) 必修二（4）1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） (A)12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒ （B ）12l l ⊥，3//l l ⇒13l l ⊥(C)123////l l l ⇒ 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面 【错解】错解一：选A.根据垂直的传递性命题A 正确； 错解二：选C.平行就共面；【正确解答】选B.命题A 中两直线还有异面或者相交的位置关系；命题C 中这三条直线可以是三棱柱的三条棱，因此它们不一定共面；命题D 中的三条线可以构成三个两两相交的平面，所以它们不一定共面.必修五（5）x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 【错解】C.当.x=ab 时，a 、x 、b 成等比数列成立；当a 、x 、b 成等比数列时，x=ab 成立 .【正确解析】选D.若x=a=0，x=ab 成立，但a 、x 、b 不成等比数列， 所以充分性不成立；反之，若a 、x 、b成等比数列，则2x ab x =⇔=x=ab 不一定成立，必要性不成立.所以选D.排列组合（6）(1)把三枚硬币一起掷出，求出现两枚正面向上，一枚反面向上的概率. 分析:（1）【错解】三枚硬币掷出所有可能结果有2×2×2=8种，而出现两正一反是一种结果，故所求概率P=.81【正解】在所有的8种结果中，两正一反并不是一种结果，而是有三种结果：正、正、反，正、反、正，反、正、正，因此所求概率,83=P 上述错解在于对于等可能性事件的概念理解不清，所有8种结果的出现是等可能性的，如果把上述三种结果看作一种结果就不是等可能性事件了，应用求概率的基本公式n m P =自然就是错误的.公式理解与记忆不准（7）若1,0,0=+>>y x y x ，则yx41+的最小值为___________.【错解】 y x 41+8)2(14422=+≥≥y x xy ，错解原因是忽略等号成立条件. 【正解】yx 41+=945)(4≥++=+++yx xy yy x xy x（8）函数y=sin 4x+cos 4x －43的相位____________，初相为__________ .周期为_________，单调递增区间为____________.【错解】化简y=sin 4x+cos 4x －43=1cos 44x ，所以相位为4x ，初相为0，周期为2π，增区间为….【正确解析】y=sin 4x+cos 4x －43=11cos 4sin(4)442x x π=+.相位为42x π+，初相为2π，周期为2π，单调递增区间为21[,]()42k k k Z ππ-∈. 审题不严 （1）读题不清必修五（9）已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12x f x =+，则()f x 的反函数的图像大致是【错解】选B.因为1()2x y =在0x >内递减，且1()()12x f x =+过点（0，2），所以选B. 【正确解答】A .根据函数与其反函数的性质，原函数的定义域与值域同其反函数的值域、定义域相同.当10,0()1,122x x y ><<⇒<<，所以选A.或者首先由原函数过点（0，2），则其反函数过点（2，0），排除B 、C ；又根据原函数在0x >时递减，所以选A. 排列组合（10）一箱磁带最多有一盒次品.每箱装25盒磁带，而生产过程产生次品磁带的概率是0.01.则一箱磁带最多有一盒次品的概率是 .【错解】一箱磁带有一盒次品的概率240.01(10.01)⨯-，一箱磁带中无次品的概率25(10.01)-，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是240.01(10.01)⨯-+25(10.01)-.【正确解析】一箱磁带有一盒次品的概率124250.01(10.01)C ⋅⨯-，一箱磁带中无次品的概率02525(10.01)C ⋅-，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是124250.01(10.01)C ⋅⨯-+02525(10.01)C ⋅-.（2）忽视隐含条件必修一（11）设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是（ ）不存在)D (18)C (8)B (449)A (-【错解】利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα2222(1)(1)2121αβααββ∴-+-=-++-+2()22()2αβαβαβ=+--++23494().44k =--选A.【正确解析】利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα2222(1)(1)2121αβααββ∴-+-=-++-+2()22()2αβαβαβ=+--++23494().44k =--Θ 原方程有两个实根βα、，∴0)6k (4k 42≥+-=∆ ⇒.3k 2k ≥-≤或当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8；当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18.选B. 必修一(12)已知(x+2)2+ y 24=1, 求x 2+y 2的取值范围.【错解】由已知得 y 2=－4x 2－16x －12，因此 x 2+y 2=－3x 2－16x －12=－3(x+38)2+328， ∴当x=－83 时，x 2+y 2有最大值283 ，即x 2+y 2的取值范围是(－∞, 283].【正确解析】由已知得 y 2=－4x 2－16x －12，因此 x 2+y 2=－3x 2－16x －12=－3(x+38)2+328 由于(x+2)2+ y 24 =1 ⇒ (x+2)2=1－ y 24≤1 ⇒ －3≤x ≤－1，从而当x=－1时x 2+y 2有最小值1.∴ x 2+y 2的取值范围是[1, 283 ].（此题也可以利用三角函数和的平方等于一进行求解）必修一（13） 方程1122log (95)log (32)20x x ------=的解集为___________________- 【错解】111122222log (95)log (32)20log (95)log (32)log 40x x x x --------=⇔----=11111122log (95)log 4(32)954(32)(31)(33)0x x x x x x -------=-⇔-=-⇔--=1310x --=或1330x --=所以x=1或x=2.所以解集为{1，2}.【正解】111122222log (95)log (32)20log (95)log (32)log 40x x x x --------=⇔----=111111221954(32)log (95)log 4(32)3203302950x x x x x x x x -------⎧-=-⎪-=-⇔->⇔-=⇔=⎨⎪->⎩所以解集为{2}.字母意义含混不清（14）若双曲线22221x y a b -=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为（ ）A.0916x y ±= B.0169x y ±= C.034x y ±= D.043x y±= 【错解】选D.22222222252593310416164443c c a b b b b x y e y x a a a a a a +==⇒===+⇒=⇒=±⇒=±⇒±=，选D. 【正确解析】2222222211x y y x a b b a-=-⇒-=，与标准方程中字母a,b 互换了.选C.4.运算错误（1）数字与代数式运算出错若)2,1(),7,5(-=-=b a ρρ，且（b a ρρλ+）b ρ⊥，则实数λ的值为____________.【错解】(5,72)a b λλλ+=--+r r ，则（b a ρρλ+）()052(72)03b a b b λλλλ⊥⇔+⋅=⇔-+-+=⇒=r r r r.【正确解析】(5,72)a b λλλ+=--+r r，（ba ρρλ+）19()052(72)05b a b b λλλλ⊥⇔+⋅=⇔-+-+=⇒=r r r r必修二18. 已知直线l 与点A （3，3）和B （5，2）的距离相等，且过二直线1l ：3x －y －1=0和2l：x+y－3=0的交点，则直线l的方程为_______________________【错解】先联立两直线求出它们交点为（1，2），设所求直线的点斜式，再利用A、B到12k=⇔=-，所以所求直线为x+2y-5=0.【正确解析】x-6y+11=0或x+2y-5=0.联立直线1l：3x－y－1=0和2l：x+y－3=0的方程得它们的交点坐标为（1，2），令过点（1，2）的直线l为：y-2=k(x-1)（由图形可看出直线l的斜率必然存在），11,62k k=⇔==-，所以直线l的方程为:x-6y+11=0或x+2y-5=0.（2）运算方法（如公式、运算程序或运算方向等）选择不当导致运算繁杂或不可能得解而出错必修二19. 已知圆(x－3)2+y2=4和直线y=mx的交点分别为P，Q两点，O为坐标原点，则OQOP⋅的值为.【运算繁杂的解法】联立直线方程y=mx与圆的方程(x－3)2+y2=4消y，得关于x的方程22(1)650m x x+-+=，令1122(,),(,)P x y Q x y，则12122265,11x x x xm m+=⋅=++，则221212251my y m x xm==+，由于向量OPuuu r与向量OQuuu r共线且方向相同，即它们的夹角为0，所以212122255511mOP OQ OP OQ x x y ym m⋅=⋅=+=+=++u u u r u u u r.【正确解析】根据圆的切割线定理，设过点O的圆的切线为OT（切点为T），由勾股定理，则222325OP OQ OT⋅==-=.（3）忽视数学运算的精确性，凭经验猜想得结果而出错曲线x2－122=y的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且4=AB，则这样的直线有___________条.【错解】4条.过右焦点的直线，与双曲线右支交于A、B时，满足条件的有上、下各一条（关于x轴对称）；与双曲线的左、右分别两交于A、B两点，满足条件的有上、下各一条（关于x 轴对称），所以共4条.【正解】过右焦点且与X 轴垂直的弦AB （即通径）为222241b a ⨯==，所以过右焦点的直线，与双曲线右支交于A 、B 时，满足条件的仅一条；与双曲线的左、右分别两交于A 、B 两点，满足条件的有上、下各一条（关于x 轴对称），所以共3条. 5.数学思维不严谨（1）数学公式或结论的条件不充分24.已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=11()()x y x y++的最小值为 .【错解一】因为对a>0,恒有12a a +≥,从而z=11()()x y x y++≥4,所以z 的最小值是4.【错解二】22222()2x y xy z xy xy xy +-==+-≥21)-=，所以z 的最小值是1). 【正解】z=11()()x y x y ++=1y xxy xy x y+++=21()222x y xy xy xy xy xy xy +-++=+-，令t=xy, 则210()24x y t xy +<=≤=，由2()f t t t =+在10,4⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减,故当t=14时 2()f t t t =+有最小值334,所以当12x y ==时z 有最小值334.（2）以偏概全，重视一般性而忽视特殊情况必修一(1)不等式|x+1|(2x －1)≥0的解集为____________解析：（1）【错解】1[,)2+∞.因为|x+1|≥0恒成立，所以原不等式转化为2x-1≥0，所以1[,)2x ∈+∞【正确解析】}1{),21[-⋃+∞.原不等式等价于|x+1|=0或2x-1≥0，所以解集为1[,){1}2x ∈+∞⋃-.必修一(2)函数y =的定义域为 .(2) 【错解】10(1)(1)011x x x x x+≥⇒+-≥⇒≥-或1x ≤-.【正解】(1)(1)0(1)(1)010111011x x x x x x x x x+-≥+-≤⎧⎧+≥⇒⇒⇒-≤<⎨⎨-≠≠-⎩⎩（3）解题时忽视等价性变形导致出错 27.已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.n a【错解】 .222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 【正确解析】当1=n 时，113a S ==，n 2≥时，1111(21)(21)222nn n n n n n n a S S ----=-=+-+=-=.所以13(1)2(2)n n n a n -⎧=⎪=⎨≥⎪⎩.选修实数a 为何值时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点. 【错解】 将圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线 x y 212=联立，消去y ， 得 ).0(01)212(22≥=-+--x a x a x ①因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-=∆.01021202a a ， 解之得.817=a【正确解析】要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根.当方程①有一正根、一负根时，得⎩⎨⎧<->∆.0102a 解之，得.11<<-a因此，当817=a 或11<<-a 时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点.(1)设等比数列{}n a 的全n 项和为n S .若9632S S S =+，求数列的公比q .【错解】 ,2963S S S =+Θq q a q q a q q a --⋅=--+--∴1)1(21)1(1)1(916131， .012(363）＝整理得--q q q1q 24q ,0)1q )(1q 2(.01q q 20q 33336=-=∴=-+∴=--≠或得方程由.【正确解析】若1=q ，则有.9,6,3191613a S a S a S ===但01≠a ，即得,2963S S S ≠+与题设矛盾，故1≠q .又依题意 963S 2S S =+ ⇒ q q a q q a q q a --⋅=--+--1)1(21)1(1)1(916131 ⇒ 01q q 2(q 363）＝--,即,0)1)(12(33=-+q q 因为1≠q ，所以,013≠-q 所以.0123=+q 解得 .243-=q空间识图不准必修二直二面角α－l －β的棱l 上有一点A ，在平面α、β内各有一条射线AB ，AC 与l 成450，AB βα⊂⊂AC ,，则∠BAC= .【错解】如右图.由最小角定理，12221cos cos cos 23BAC BAC πθθ∠=⋅=⨯=⇒∠=. 【正确解析】3π或23π.如下图.当6CAF π∠=时，由最小角定理，时，12221cos cos cos 2223BAC BAC πθθ∠=⋅=⨯=⇒∠=；当AC 在另一边DA 位置23BAC π∠=.。
高三数学错题整理与解析
高三数学错题整理与解析在高三数学学习过程中，学生经常会遇到各种错题。
对于这些错题，我们需要进行仔细的整理与解析，以提高学生的数学水平。
本文将对高三数学错题进行整理分类，并给出详细的解答和解析。
一、代数与函数1. 题目：已知函数$f(x) = \frac{1}{x}$，求函数$f(f(x))$的表达式。
解析：将$f(x) = \frac{1}{x}$代入$f(f(x))$中，得到$f(f(x)) =\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x$。
2. 题目：已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图像关于$x$轴对称，且顶点在直线$y = 2x + 1$上。
求$a$、$b$、$c$的值。
解析：由于图像关于$x$轴对称，所以顶点的纵坐标为0。
将顶点的横坐标代入直线方程$y = 2x + 1$中，得到$0 = 2x_0 + 1$，解得$x_0 = -\frac{1}{2}$。
将$x_0 = -\frac{1}{2}$代入二次函数$f(x)$中的横坐标，得到$a\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + b\left(-\frac{1}{2}\right) + c = 0$。
根据顶点坐标的性质，我们知道顶点的横坐标为$-\frac{b}{2a}$，因此$-\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2}$，解得$b = a$。
将$b = a$代入上述方程，得到$a\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + a\left(-\frac{1}{2}\right) + c = 0$，整理得$c = \frac{1}{4}$。
综上所述，$a = b$，$c = \frac{1}{4}$。
二、几何与三角学1. 题目：已知$\triangle ABC$中，$AB = 7$，$AC = 9$，$BC = 5$，$D$为边$BC$上一点，且$\angle BAD = \angle CAD$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【例1】设M=｛1、2、3｝，N=｛e、g、h｝，从M至N的四种对应方式，其中是从M 到N的映射是（）M NA M NBM NCM ND映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射。
函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A 到集合B的一个函数。
（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应）映射与函数的区别与联系：函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。
映射与函数（特殊对应）的共同特点：○1可以是“一对一”；○2可以是“多对一”；○3不能“一对多”；○4A中不能有剩余元素；○5B中可以有剩余元素。
映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求B中的每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；（5）一一映射是一种特殊的映射方向性上题答案应选C【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”，所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数（特殊对应）的全部5个特点。
本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。
【例2】已知集合A=R，B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→（x+1、x2）,（1）求2在B中的对应元素；（2）（2、1）在A中的对应元素【分析】（1）将x=2代入对应关系，可得其在B中的对应元素为（2+1、1）；（2）由题意得：x+1=2,x2=1 得出x=1，即（2、1）在A中的对应元素为1【例3】设集合A={a、b}，B={c、d、e}，求：（1）可建立从A到B的映射个数（）；（2）可建立从B到A的映射个数（）【分析】如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则集合A到集合B 的映射共有n m 个；集合B到集合A的映射共有m n个，所以答案为23=9；32=8【例4】 若函数f(x)为奇函数，且当x ﹥0时，f(x)=x-1,则当x ﹤0时，有（ ） A 、f(x) ﹥0 B 、f(x) ﹤0 C 、f(x)·f(-x)≤0 D 、f(x)-f(-x) ﹥0 奇函数性质： 1、图象关于原点对称； 2、满足f(-x) = - f(x) ；3、关于原点对称的区间上单调性一致； 4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f(0)=0； 5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的） 偶函数性质：1、 图象关于y 轴对称；2、满足f(-x) = f(x) ；3、关于原点对称的区间上单调性相反；4、如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有f(x)=0；5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的） 基本性质：唯一一个同时为奇函数及偶函数的函数为其值为0的常数函数(即对所有x ，f(x)=0)。
通常，一个偶函数和一个奇函数的相加不会是奇函数也不会是偶函数；如x + x 2。
两个偶函数的相加为偶函数，且一个偶函数的任意常数倍亦为偶函数。
两个奇函数的相加为奇函数，且一个奇函数的任意常数倍亦为奇函数。
两个偶函数的乘积为一个偶函数。
两个奇函数的乘积为一个偶函数。
一个偶函数和一个奇函数的乘积为一个奇函数。
两个偶函数的商为一个偶函数。
两个奇函数的商为一个偶函数。
一个偶函数和一个奇函数的商为一个奇函数。
一个偶函数的导数为一个奇函数。
一个奇函数的导数为一个偶函数。
两个奇函数的复合为一个奇函数，而两个偶函数的复合为一个偶函数。
一个偶函数和一个奇函数的复合为一个偶函数【分析】 f(x)为奇函数，则f(-x) = -f(x)，当X ﹤0时，f(x) = -f(-x) = -[-(-x) – 1] = -x+1>0,所以A 正确，B 错误； f(x)·f(-x)=（x-1）（-x+1）﹤0，故C 错误； f(x)-f(-x)= （x-1）-（-x+1）﹤0,故D 错误【例5】 已知函数f(x)是偶函数，且x ≤0时，f(x)=xx-+11，求：（1）f(5)的值； （2）f(x)=0时x 的值；（3）当x ＞0时，f(x)的解析式【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】计算题，函数的性质及应用 【分析及解答】（1）根据题意，由偶函数的性质f(x)= f(-x)，可得f(5)= f(-5)=）（）（5--15-1+=—32（2）当x ≤0时，f(x)=0 可求x ，然后结合f(x)= f(-x)，即可求解满足条件的x ， 即当x ≤0时，xx-+11=0 可得x=—1；又f(1)= f(-1)，所以当f(x)=0时，x=±1 （3）当x ＞0时，根据偶函数性质f(x)= f(-x)=)(1)(1x x ---+=xx+-11【例6】 若f(x)=e x+ae -x为偶函数，则f(x-1)＜ee 12+的解集为（ ）A.（2，+∞）B.（0,2）C.（-∞，2）D.（-∞，0）∪（2，+∞） 【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析及解答】根据函数奇偶性的性质先求出a 值，结合函数单调性的性质求解即可 ∵f(x)=e x +ae -x 为偶函数，∴f(-x)=e -x +ae x = f(x)= e x +ae -x ，∴a=1， ∴f(x)=e x +e -x 在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递减，则由f(x-1)＜ee 12+=e+e 1， ∴ -1 ＜x-1＜1， 求得 0 ＜x ＜2 故B 正确【点评】 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质先求出a 值是解题关键【例7】 函数f(x)=21x b ax ++是定义在(-1,1)上的奇函数，且f(21)=52，（1）确定函数f(x)的解析式；（2）证明f(x)在(-1,1)上为增函数；（3）解不等式f(2x-1)+ f(x) ＜0【考点】 函数奇偶性与单调性的综合 【专题】函数的性质及应用 【分析及解答】（1） 因为f(x)为（-1,1）上的奇函数，所以f(0)=0，可得b=0，由f(21)=52，所以2)21(121+a=52，得出a=1，所以f(x)= 21x x + （2） 根据函数单调性的定义即可证明任取-1 ＜x 1＜x 2＜1，f(x 1)—f(x 2)=2111x x +—2221x x +=)1)(1()1)((22212121x x x x x x ++--因为-1 ＜x 1＜x 2＜1，所以x 1-x 2＜0，1—x 1x 2＞0，所以f(x 1)—f(x 2) ＜0， 得出f(x 1) ＜f(x 2)，即f(x)在(-1,1)上为增函数（3） 根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f ”，再考虑到定义域可得一不等式组，解出即可：f(2x-1)+ f(x)= ＜0，f(2x-1) ＜—f(x)，由于f(x)为奇函数，所以f(2x-1) ＜f(—x)，因为f(x)在(-1,1)上为增函数，所以2x-1＜—x ○1， 因为-1 ＜2x-1＜1○2，-1 ＜x ＜1○3，联立○1○2○3得 0 ＜ x ＜31，所以解不等式f(2x-1)+ f(x) ＜0的解集为（0，31） 【点评】 本题考查函数的奇偶性、单调性及抽象不等式的求解，定义是解决函数单调性、奇偶性的常用方法，而抽象不等式常利用性质转化为具体不等式处理。
【例8】 定义在R 上的奇函数f(x)在（0，+∞）上是增函数， 又f(-3)=0，则不等式x f(x) ＜0的解集为（ ）【考点】 函数单调性的性质 【专题】综合题；函数的性质及应用【分析及解答】 易判断f(x)在（-∞，0）上的单调性及f(x)图像所过特殊点，作出f(x)草图，根据图像可解不等式。
解：∵ f(x)在R 上是奇函数，且f(x)在（0，+∞）上是增函数，∴ f(x)在（-∞，0）上也是增函数，由f(-3)=0，可得- f(3)=0，即f(3)=0，由f(-0)=-f(0)，得f(0)=0 作出f(x)的草图，如图所示：由图像得：x f(x) ＜0⇔⎩⎨⎧〈〉0)(0x f x 或⎩⎨⎧〉〈0)(0x f x ⇔0﹤x ﹤3或-3﹤x ﹤0，∴ x f(x) ＜0的解集为：（-3，0）∪（0，3），故答案为：（-3，0）∪（0，3）【点评】 本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键。
【例9】 已知f （x+1）的定义域为[-2,3]，则f （2x+1）的定义域为（ ） 抽象函数定义域求法总结：（1）函数y=f[g(x)]的定义域是（a ，b ），求f （x ）的定义域：利用a ＜x ＜b ，求得g （x ）的范围就是f （x ）的定义域；（2）函数y=f （x ）的定义域是（a ，b ），求y=f[g(x)]的定义域：利用a ＜g(x)＜b ，求得x 的范围就是y=f[g(x)]的定义域。
【考点】 函数定义域极其求法【分析及解答】 由f （x+1）的定义域为[-2,3]，求出 f （x ）的定义域，再由2x+1在函数f （x ）的定义域内求解x 的取值集合，得到函数f （2x+1）的定义域。
解：由f （x+1）的定义域是[-2,3]，得-1≤x+1≤4 ；再由-1≤2x+1≤4 ⇒0≤x ≤25 ∴ f （2x+1）的定义域是[0，25]，故选A 【点评】 本题考查了复合函数定义域的求法，给出函数f[g(x)]的定义域是（a ，b ），求函数f （x ）的定义域，就是求x ∈（a ，b ）内的g(x)的值域；给出函数f （x ）的定义域是（a ，b ），只需由a ＜g(x) ＜b ，求解x 的取值集合即可。
【例10】 已知函数f(x)=x 7+ax 5+bx-5，且f(-3)= 5，则f(3)= （ ）A. -15B. 15C.10D.-10 【考点】 函数的值；奇函数【分析及解答】 令g(x)= x 7+ax 5+bx ，则g(-3)=解法1：f(-3)= (-3)7+ a(-3)5+b(-3)-5=-（37+a35+3b-5）-10=- f(3)-10=5，∴f(3)=-15 解法2：设g(x)= x7+ax5+bx ，则g(x)为奇函数，f(-3)= g(-3)-5=- g(3)-5 ∴g(3)=-10, ∴f(3)= g(3)-5=-15③当-a ／2≥2时，当x ∈[-2,2]时，f(x)最小值≥a 即：f(2)=4+2a+3≥a ，得-7≤a ≤-4 综上所述得：-7≤a ≤2 解法2：【例16】下列各组函数表示相等函数的是（ ）A. y=39x 2--x 与y=x+3 B. y=12-x 与y=x-1C. y=x 0(x ≠0)与y=1（x ≠0）D. y=2x+1（x ∈Z ）与y=2x-1（x ∈Z ）解：A. y=392--x x =x+3（x ≠3）与y=x+3定义域不同，不是相等的函数；B. y=2x -1=|x|-1与 y=x-1对应关系不同，不是相等的函数；C. y=x 0=1（x ≠0）与y=1（x ≠0）是相等函数；正确D. y=2x+1，x ∈Z 与y=2x-1，x ∈Z 对应关系不同，不是相等函数．【例17】函数y=4x 2-mx+5在区间[-2,+∞）上时增函数，在区间（-∞，2]上是减函数，则f(1)=（ ） A.-7 B.1 C.17 D.25解： -2x 2+12x-18≧0，2x 2-12x+18≦0，（x-3）2≦0，则X=3，即：定义域为{3}11、若不等式ax 2+bx+2>0的解集为{ x ︱-1/2<x<2}，则实数a=______,b=______ 解：由题意方程ax 2+bx+2=0的两个根为x 1=-1/2，x 2=2即⎪⎩⎪⎨⎧-===⋅=+-=-=+12232212121a a c x x a b x x ⇒a=-2，b=3 12、不等式ax 2+bx+c ≧0的解集为{x ︱-1/3≦x ≦2}，则不等式cx 2+bx+a<0的解集为（ ）解：由题意方程ax 2+bx+c=0的两个根为x 1=-1/3，x 2=2即⎪⎩⎪⎨⎧-==⋅=-=+32352121a c x x a b x x 不等式cx 2+bx+a<0，转化为x 2+(b/c)x+c/a<0，即x 2+5/2x-3/2<0，解得方程x 2+5/2x-3/2=0的两个根为x 1=-3,x 2=1/2），因为x 2+(b/c)x+c/a<0，则解集为（-3,1/2）13、不等式ax 2+bx+c>0的解集为（-3,4），求b x 2+2ax-c-3b<0的解集14、关于x 的不等式（1+m ）x 2+mx+m<x 2+1对x ∈R 恒成立，求实数x 的取值 解：由（1+m ）x 2+mx+m<x 2+1⇒mx 2+mx+m-1<015、函数bx ax x f +=2)( （a ≠0）满足f(-3)=2，则f （3）的值为（ ）16、函数14--)(2+=x x x f （-3≦x ≦3）的值域是（ ）解:14--)(2+=x x x f =—（x+2）2+5 （-3≦x ≦3）当x=-2时，函数最大值为5，当x=3时函数有最小值为-2017、偶函数f(x)的定义域[-5,5]，其在[0,5]的图象如图所示，则f(x)的解集为（ ） 本题考查偶函数的性质，函数的单调性及应用和不等式的解法，数形结合思想. 当时，函数图像如图，由图知：只有当时，函数的图像在x 轴上方，即时，因为函数收偶函数，偶函数的图像关于y 轴对称，所以时，函数的图像在x 轴上方时，只有则不等式的解集为故选D18、如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]行单调递减，那么实数a 的取值范围是（ ）A.a ≦-3 B.a ≧-3 C.a ≦5 D.a ≧519、定义在R 上的函数)(x f 对任意两个不相等实数a ，b ，总有ba b f a f --)()(>0成立，则必有_______ A. )(x f 在R 上是增函数 B. )(x f 在R 上是减函数C.函数)(x f 是先增加，后减少D.函数)(x f 是先减少，后增加解：利用函数单调性定义，在定义域上任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2,因为b a b f a f --)()(>0 所以f(a)-f(b)<0，所以)(x f 在R 上是增函数。