高二数学方差与标准差
高二数学离散型随机变量的方差和标准差
( D)
A. E(2X-1)=2np
B. V(2X+1)=4np(1-p)+1
C. E(2X+1)=4np +1 D. V(2X-1)=4np(1-p)
3.设X是一个离散型随机变量，其分布列 如下：求q值，并求E X，V X .
X
-101P1/21-2qq2
解：
1
2
1 2q
q2
1
0 1 2q 1
q2 1
q 1 1 2
EX 1 1 0 ( 2
2
1)
1
3 2
2
1
2
DX 2 1
4.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境， 且野生动物的种类和数量大致相等，而两个野生动 物保护区每个季度发生违反保护条例的事件次数的 分布列如表，试评定这两个保护区的管理水平.
例3.高三(1)班的联欢会上设计了一项游 戏,在一个口袋中装有10个红球,20个白 球,这些球除颜色外完全相同.某学生一 次从中摸出5个球,其中红球的个数为X, 求X的数学期望.方差和标准差.
2. 二项分布
设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分
布,其分布列为
P( X k) Cnk pk (1 p)nk , (k 0,1, 2, , n),
np(1 p).
例4.从批量较大的成品中随机取出10 件产品进行质量检查,若这批产品的不 合格品率为0.05,随机变量X表示这10 件产品中的不合格品数,求随机变量X 的方差和标准差.
练习:
1.设X～B( n, p )，如果E X= 12，V X= 4，
标准差与方差的区别
标准差与方差的区别标准差和方差是统计学中常用的两个概念，它们都是用来衡量数据的离散程度的。
虽然它们都是用来描述数据的分散程度，但是它们之间存在一些区别。
本文将从定义、计算方法、意义等方面对标准差和方差进行比较，帮助读者更好地理解它们之间的区别。
首先，我们来看一下标准差和方差的定义。
方差是指每个数据与平均值之差的平方的平均值，它衡量的是数据与平均值之间的离散程度。
而标准差则是方差的平方根，它的计量单位与原始数据的计量单位相同，因此更容易理解数据的离散程度。
其次，我们来比较一下它们的计算方法。
计算方差的步骤是，首先计算每个数据与平均值的差，然后将这些差的平方求和，最后再除以数据的个数。
而计算标准差则是在计算出方差的基础上，再对方差进行平方根运算。
可以看出，计算标准差需要多一步对方差的平方根运算，相对来说稍微复杂一些。
接着，我们来谈一下它们的意义。
方差和标准差都是用来衡量数据的离散程度的，但是由于标准差的计量单位与原始数据的计量单位相同，因此在实际应用中更为常见。
例如，在财务领域中，标准差常用来衡量资产收益的波动程度，而在生物学中，标准差常用来衡量样本数据的离散程度。
最后，我们需要注意的是，在实际应用中，我们应该根据具体的情况选择使用方差还是标准差。
如果我们只是想衡量数据的离散程度，那么使用方差就可以满足需求。
但是如果我们需要将离散程度与原始数据的计量单位联系起来，那么就应该使用标准差。
总的来说，标准差和方差都是用来衡量数据的离散程度的重要指标。
它们之间的区别在于计算方法和意义的不同，我们在实际应用中需要根据具体的情况选择使用哪一个指标。
希望本文能够帮助读者更好地理解标准差和方差之间的区别，从而更好地应用于实际工作中。
标准差和方差的关系
标准差和方差的关系在统计学中，标准差和方差是两个常用的概念，用于描述数据集的离散程度。
尽管它们有些相似，但它们之间存在着一定的差异。
本文将介绍标准差和方差的定义、计算方法以及它们之间的关系。
1. 方差的定义和计算方法方差是用来衡量数据集中各个数据与其均值之间的偏差程度。
假设我们有一个包含 n 个观测值的数据集，分别表示为x1, x2, …, xn。
首先，我们需要计算这些观测值的平均值μ，计算公式如下：μ = (x1 + x2 + ... + xn) / n然后，我们需要计算每个观测值与平均值之间的差的平方，并将所有差的平方相加，得到方差的计算结果：方差 = ((x1 - μ)² + (x2 - μ)² + ... + (xn - μ)²) / n方差可以帮助我们分析数据集内部的波动性，即各个观测值与平均值的偏离程度。
方差越大，说明数据集内观测值之间的差异越大。
2. 标准差的定义和计算方法标准差是方差的平方根，用于度量数据集中各个观测值与其均值之间的平均偏差程度。
标准差是方差的一种更常用的衍生度量。
计算标准差的公式如下：标准差 = sqrt(方差)标准差可以衡量数据集的离散程度，它的值越大，说明数据集内部的观测值越分散。
3. 标准差和方差的关系标准差和方差之间存在着紧密的关系。
方差是标准差的平方，而标准差是方差的平方根。
具体来说，标准差和方差之间的关系可以用如下公式表示：方差 = 标准差²通过这个公式，我们可以相互转换标准差和方差。
当我们知道方差时，可以通过计算其平方根得到标准差；而当我们知道标准差时，可以通过计算其平方得到方差。
此外，标准差和方差都是描述数据集的离散程度的量度，但由于标准差使用了方差的平方根，因此它的量级与观测值保持一致，更易于理解和解释。
4. 例子为了更好地理解标准差和方差的关系，我们来看一个简单的例子。
假设我们有以下 5 个观测值的数据集：3, 4, 5, 6, 7。
高二数学2.3.2 离散型随机变量的方差
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一 求离散型随机变量的方差
求离散型随机变量的方差的步骤: (1)列出随机变量的分布列; (2)求出随机变量的均值; (3)求出随机变量的方差.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 袋中有 20 个大小相同的球,其中标记 0 的有 10 个,标 记 n 的有 n 个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球.ξ 表示所取球的标号.
探究一
探究二
探究三
探究四
错因分析:忽略了随机变量分布列的性质出现错误,这里只是机械地套 用公式,且对 D(ax+b)=a2D(x)应用错误.
正解:∵0.2+0.2+a+0.2+0.1=1,∴a=0.3. ∴E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8.
D(X)=(0-1.8)2×0.2+(1-1.8)2×0.2+(2-1.8)2×0.3+(3-1.8)2×0.2+(4-1.8)2×0
均值 E(X)的平均偏离程度,我们称 D(X)为随机变量 X 的方差,并称其算术平 方根 ������(������)为随机变量 X 的标准差.
(2)意义:随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值 的平均程度,方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小.
(3)离散型随机变量的方差的性质: 设 a,b 为常数,则 D(aX+b)=a2D(X).
探究一
探究二
探究三
探究四
(2)由 D(η)=a2D(ξ),得 a2×2.75=11,得 a=±2. 又 E(η)=aE(ξ)+b,所以, 当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2; 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4.
方差、标准差、均方差、均方误差的区别及意义
一、百度百科上方差是这样定义的：（variance)是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。
概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
统计中的方差（样本方差）是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。
在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。
看这么一段文字可能有些绕，那就先从公式入手，对于一组随机变量或者统计数据，其期望值我们由E(X)表示，即随机变量或统计数据的均值，然后对各个数据与均值的差的平方求和，最后对它们再求期望值就得到了方差公式。
这个公式描述了随机变量或统计数据与均值的偏离程度。
二、方差与标准差之间的关系就比较简单了根号里的内容就是我们刚提到的那么问题来了，既然有了方差来描述变量与均值的偏离程度，那又搞出来个标准差干什么呢发现没有，方差与我们要处理的数据的量纲是不一致的，虽然能很好的描述数据与均值的偏离程度，但是处理结果是不符合我们的直观思维的。
举个例子：一个班级里有60个学生，平均成绩是70分，标准差是9，方差是81，成绩服从正态分布，那么我们通过方差不能直观的确定班级学生与均值到底偏离了多少分，通过标准差我们就很直观的得到学生成绩分布在[61,79]范围的概率为，即约等于下图中的%*2三、均方差、均方误差又是什么标准差（Standard Deviation），中文环境中又常称均方差，但不同于均方误差（mean squared error，均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数，也即误差平方和的平均数，计算公式形式上接近方差，它的开方叫均方根误差，均方根误差才和标准差形式上接近），标准差是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。
标准差是方差的算术平方根。
从上面定义我们可以得到以下几点：1、均方差就是标准差，标准差就是均方差2、均方误差不同于均方误差3、均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数举个例子：我们要测量房间里的温度，很遗憾我们的温度计精度不高，所以就需要测量5次，得到一组数据[x1,x2,x3,x4,x5],假设温度的真实值是x，数据与真实值的误差e=x-xi那么均方误差MSE=总的来说，均方差是数据序列与均值的关系，而均方误差是数据序列与真实值之间的关系，所以我们只需要搞清楚真实值和均值之间的关系就行了。
标准差与方差的关系
标准差与方差的关系标准差和方差是统计学中常用的两个概念，它们都是用来衡量数据的离散程度和波动程度的。
虽然它们有着相似的作用，但是它们之间又存在着一定的联系和区别。
首先，我们来了解一下方差。
方差是指各个数据与所有数据算术平均数的离差平方的平均数，用来度量数据的离散程度。
方差越大，数据的波动越大，反之则波动越小。
方差的计算公式为，。
其中，n表示样本容量，xi表示第i个数据点，x̄表示所有数据的算术平均数。
接下来，我们来了解一下标准差。
标准差是方差的平方根，用来度量数据的波动程度。
标准差越大，数据的离散程度越大，反之则离散程度越小。
标准差的计算公式为：标准差= √方差。
通过以上的介绍，我们可以看出，标准差和方差之间存在着密切的联系。
方差是标准差的平方，而标准差是方差的平方根。
它们都是用来度量数据的离散程度和波动程度的，只是在具体的数值上有所不同。
在实际的统计分析中，我们常常会用到标准差和方差来描述数据的分布和离散程度。
比如在财务分析中，我们可以用标准差和方差来衡量股票价格的波动程度；在生产管理中，我们可以用标准差和方差来衡量产品质量的稳定程度；在市场营销中，我们可以用标准差和方差来衡量销售额的波动程度。
总的来说，标准差和方差都是非常重要的统计指标，它们可以帮助我们更好地理解和分析数据的特征，从而做出更准确的决策。
在实际应用中，我们要根据具体的情况选择合适的指标来描述数据的波动程度，以便更好地进行数据分析和决策制定。
综上所述，标准差与方差是统计学中常用的两个概念，它们都是用来衡量数据的离散程度和波动程度的。
它们之间存在着密切的联系，方差是标准差的平方，而标准差是方差的平方根。
在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择合适的指标来描述数据的波动程度，以便更好地进行数据分析和决策制定。
方差和标准差公式
方差和标准差公式方差和标准差是统计学中常用的概念，用来衡量数据的离散程度和波动程度。
在实际应用中，方差和标准差经常被用来评估数据的稳定性和可靠性，因此对于研究人员和决策者来说，了解方差和标准差的计算公式及其意义是非常重要的。
本文将详细介绍方差和标准差的计算公式及其应用。
方差的计算公式。
方差是衡量数据离散程度的一种统计指标，它的计算公式如下：\[Var(X) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i \bar{X})^2\]其中，\(X\) 是随机变量，\(X_i\) 是随机变量的第 \(i\) 个取值，\(\bar{X}\) 是随机变量的均值，\(n\) 是样本容量。
方差的计算公式可以简单理解为每个数据与均值的差的平方的平均值。
方差越大，表明数据的离散程度越大，反之亦然。
标准差的计算公式。
标准差是方差的平方根，它的计算公式如下：\[SD(X) = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i \bar{X})^2}\] 标准差是衡量数据波动程度的一种指标，它是方差的平方根，用来度量数据的离散程度。
标准差越大，表明数据的波动程度越大，反之亦然。
方差和标准差的应用。
方差和标准差在实际应用中有着广泛的应用，主要体现在以下几个方面：1. 金融领域。
在金融领域，方差和标准差常常被用来衡量资产的风险和波动性。
投资者可以通过计算资产的方差和标准差来评估其风险水平，从而做出相应的投资决策。
2. 质量管理。
在质量管理中，方差和标准差被用来评估生产过程的稳定性和一致性。
通过监控产品的方差和标准差，企业可以及时发现生产过程中的异常波动，从而采取相应的控制措施，保证产品质量稳定。
3. 统计学分析。
在统计学分析中，方差和标准差被用来比较不同样本之间的离散程度和波动程度。
研究人员可以通过计算样本的方差和标准差来评估样本数据的稳定性和可靠性，从而得出科学的结论。
标准差和方差的关系
标准差和方差的关系
标准差是方差的算术平方根，标准差用s表示，方差是标准差的平方，方差用s^2表示，光看它的表示方法就可以知道二者的关系。
方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。
概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。
在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。
均值和方差的关系：
均值描述的是样本集合的中间点，它告诉我们的信息是很有限的，而标准差给我们描述的则是样本集合的各个样本点到均值的距离之平均。
以这两个集合为例，[0，8，12，20]和[8，9，11，12]，两个集合的均值都是10，但显然两个集合差别是很大的，计算两者的标准差，前者是8.3，后者是1.8。
显然后者较为集中，故其标准差小一些，标准差描述的就是这种“散布度”。
之所以除以n-1而不是除以n，是因为这样能使我们以较小的样本集更好的逼近总体的标准差，即统计上所谓的“无偏估计”。
而方差则仅仅是标准差的平方。
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第24课时方差与标准差
【学习导航】
学习要求
1．体会方差与标准差也是对调查数据的一种简明的描述，要求熟练记忆公式，并能用于生产实际和科学实验中；
2．体会方差与标准差对数据描述中的异同。
【课堂互动】
自学评价
案例有甲乙两种钢筋现从中各抽取一个样本(如下表)检查它们的抗拉强度(单位:kg/mm2)，
125．
哪种钢筋的质量较好?
【分析】
在平均数相同的情况下，观察上述数据表，发现乙
样本的最小值100低于甲样本的最小值110，最大值145
高于甲样本的最大值135，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定．
在平均数相同的情况下，比较两组数据的极差能大概判断它们的稳定程度．
极差: 我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差．
从数据表上可以看出，乙的极差较大，数据较分散;甲的极差小，数据较集中，这就说明甲比乙稳定．
运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论．这时，我们考虑用更为精确的方法——方差．
在上一课时中，学习了总体平均数的估计，其中提到平均数是“最理想”近似值的缘由．同样我们可以考虑每一抗拉强度与平均抗拉强度的离差，离差越小，稳定性就越高．那么，怎样来刻画一组数据的稳定程度呢？
在上一课时中，设n个实验值
i
a(i=1，2，…，n)的近似值为x，那么它与这n个实验
值
i
a(i=1，2，…，n)的离差分别为
1
a
x-，
2
a
x-，…，
n
a
x-．由于上述离差有正有负，
故不宜直接相加．可以考虑将各个离差的绝对值相加，研究|
1
a
x-|+|
2
a
x-|+…+|
n
a
x-|取最小值时x的值．但由于含绝对值，运算不太方便，所以考虑离差的平方和，即
(
1
a
x-)2+(
2
a
x-)2+…+(
n
a
x-)2，当此和最小时，对应的x的值作为近似值，因为
(
1
a
x-)2+(
2
a
x-)2+…+(
n
a
x-)2
=2
2
2
2
1
2
1
2)
(2
n
n
a
a
a
x
a
a
a
nx+⋅⋅⋅+
+
+
+⋅⋅⋅+
+
-，
所以当)
(
1
2
1n
a
a
a
n
x+⋅⋅⋅+
+
=时离差的平方和最小，故可用)
(
1
2
1n
a
a
a
n
+⋅⋅⋅+
+作为表
示这个物理量的理想近似值，称其为这n个数据
1
a，
2
a，…，
n
a的平均数或均值，一般记为)
(
1
2
1n
a
a
a
n
a+⋅⋅⋅+
+
=．
在上述过程中，可以发现，一组数据与其平均数的离差的平方和最小，考虑用与其平均数的离差的平方和来刻画一组数据的稳定程度是可行的．即本案例中，可用各次抗拉强度与平均抗拉强度的差的平方和表示．由于比较的两组数据的容量可能不同，因此应将上述平方和除以数据的个数，我们把由此所得的值称为这组数据的方差．
因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，我们将方差开方后的值称为这组数据的标准差．标准差也可以刻画数据的稳定程度．
一般地，设一组样本数据
n
x
x
x,
,
,
2
1
⋅⋅⋅，其平均数为x，则称∑
=
-
=
n
i
i
x
x
n
s
1
2
2)
(
1
为这个样本的方差，其算术平方根∑=-=n
i i x x n s 1
2)(1 为样本的标准差，分别简称样本方差，样本标准差．
根据上述方差计算公式可算得甲、乙两个样本的方差分别为50和165，故可认为甲种钢筋的质量好于乙种钢筋．
【精典范例】
例1 甲、乙两种冬水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2）, 试根
【解】
甲品种的样本平均数为10，样本方差为
222)101.10()109.9()108.9[(-+-+- ])102.10()1010(22-+-+5÷
＝0.02
乙品种的样本平均数也为10，样本方差为
222)108.10()103.10()104.9[(-+-+- 5])108.9()107.9(22÷-+-+
＝0.24
例2 为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换。
已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差
【分析】用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均寿命。
【解】
各组中值分别为165,195,225,255,285,315, 345,375，由此算得平均数约为
%20255%18225%11195%1165⨯+⨯+⨯+⨯ %2375%7345%16315%25285⨯+⨯+⨯+⨯+ ＝267.9268≈
将各组中值对于此平均数求方差得
+-⨯+-⨯⨯22)268195(11)268165(1[100
1
+-⨯+-⨯22)268255(20)268225(18 +-⨯+-⨯22)268315(16)268285(25 ])268375(2)268345(722-⨯+-⨯
＝2128.60（天2）
故标准差约为4660.2128≈
答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天。
例3（1）求下列各组数据的方差与标准差（结果精确到0.1）：
（2）比较计算结果，各组方差和标准差的关系是什么？
【解】
(1) 甲：6.7，2.6； 乙：6.7，2.6
丙：666.7，25.8 丁：26.7，5.2 (2) 乙的方差与标准差分别与甲的相同；
丙的方差是甲的方差的100倍，标准差是甲的10倍； 丁的方差是甲的方差的4倍，标准差是甲的2倍
例4某市共有50万户居民，城市调查队按千分之一的比例进行入户调查，抽样调查的结果
(1)一般工作人员家庭人均月收入的估计1x 及其方差的估计2
1s ；
(2)管理人员家庭人均月收入的估计2x 及其方差的估计2
2s
(3)平均数的估计x 及总体方差的估计2
s 【解】分组数据用组中值作为本组数据的代表。
(1) 1x =995， 21s =83475 (2) 2x =1040， 22s =90900 (3) x =1004 2
s =85284
追踪训练
1.若样本1a ，2a ，3a ，．．．，n a 的平均数5x =，方差2
0.025S =，则样本14a ，24a ，34a ，．．．，4n a 的平均数x '＝______20_____ ，2S '＝____0.4_____．
2．若21,k k ，…，8k 的方差为3，则)3(21-k ，)3(22-k ，…，)3(28-k 的方差为12。
3.
甲的平均数为：0.66 标准差：0.21 乙的平均数为：10 标准差：0.92
第9课时方差与标准差
分层训练
1．以下可以描述总体稳定性的统计量是( ) (A)样本均值x (B)样本中位数 (C)样本方差2
s (D)样本最大值x(n)
(A)22乙甲乙甲＞，＝s s x x （B ）2
2乙甲乙甲＜，＝s s x x (C)22乙甲乙甲＝，＝s s x x (D)22乙
甲乙甲＝，s s x x ≠ 3．设一组数据的方差是2
s ，将这组数据的每个数据都乘10，所得到的一组新数据的方差
是
( ) (A)0.12
s (B) 2
s (C)102
s (D)1002
s
4．已知,,21x x …，6x 的方差为2，则21x ＋3, 22x ＋3，…,26x ＋3的标准差是___________
用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值x =_______,病人等待时间标准差的估计值s=___________
6．已知样本99,100,101，x ,y 的平均数是100，方差是2，则y x ⋅＝________
7．（1）美国加利福尼亚州州长提出给所有的州政府雇员月薪增加70美元。
这对于州政府雇员的平均月薪将会有何影响？对于月薪的标准差呢？
（2）整个政府部门的月薪递增5%将对平均月薪有何影响？对于月薪的标准差呢？
86件测量数据为
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定。
拓展延伸
估计两个供货商的交货情况，并问哪个供货商交货时间短一些，哪个供货商交货时间比较具有一致性与可靠性。
10．已知样本90, 83, 86, 85, 83, 78, 74, 73, 71, 70的方差为 2
s ，且关于x 的方程
03)1(2=-++-k x k x 的两根的平方和恰好是2s ，求k 的值。