《步步高学案导学设计》高中数学人教A版选修2-2【配套备课资源】第一章1.1.3
《学案导学设计》高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】第一章 1.5.1-1.5.2
§1.5定积分的概念1．5.1曲边梯形的面积1．5.2汽车行驶的路程一、基础过关1．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间[，]上的值，可以近似代替为() A．f() B．f()C．f() D．f(0)2．在等分区间的情况下f(x)＝(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是()[·][·](·)[·n]3．把区间[a，b] (a<b)n等分之后，第i个小区间是() A．[，]B．[(b－a)，(b－a)]C．[a＋，a＋]D．[a＋(b－a)，a＋(b－a)]4．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为C．1二、能力提升5．由直线x＝1，y＝0，x＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的的近似值(取每个区间的右端点)是()6．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2，在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为 () A．1 B．2 C．3 D．47．＝.8．在求由抛物线y＝x2＋6与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个区间为．9．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为．10．求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积．11．已知自由落体的运动速度v＝，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．三、探究与拓展12．某物体做变速运动，设该物体在时间t的速度为v(t)＝，求物体在t＝1到t＝2这段时间内运动的路程s.答案1．C 2．B3．D4．B5．D6．C78．[，]9．5510．解令f(x)＝x2.(1)分割将区间[0,2]n等分，分点依次为x0＝0，x1＝，x2＝，…，－1＝，＝2.第i个区间为[，](i＝1,2，…，n)，每个区间长度为Δx＝－＝.(2)近似代替、求和取ξi＝(i＝1,2，…，n)，＝f()·Δx＝()2·＝i2＝(12＋22＋…＋n2)＝·＝(2＋＋)．(3)取极限S＝＝(2＋＋)＝，即所求曲边梯形的面积为.11．解(1)分割：将时间区间[0，t]分成n等份．把时间[0，t]分成n个小区间，则第i个小区间为[t，](i＝1,2，…，n)，每个小区间所表示的时间段Δt＝－t＝，在各个小区间物体下落的距离记作Δ(i＝1,2，…，n)．(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．在[t，]上任取一时刻ξi(i＝1,2，…，n)，可取ξi使v(ξi)＝g·t近似代替第i个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体Δt＝内所经过的距离可近似表示为Δ≈g·t·(i＝1,2，…，n)．(3)求和：＝Δ＝g·t·＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝2(1－)．(4)取极限：s＝2(1－)＝2.即在时间区间[0，t]内物体下落的距离为2.12．解(1)分割：将区间[1,2]等分割成n个小区间[1＋，1＋](i＝1,2，…，n)，区间长度为Δt＝，每个时间段内行驶的路程记为Δ(i＝1,2，…，n)，则≈.(2)近似代替：ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，Δ≈v(1＋)·Δt＝6·()2·＝(i＝1,2，…，n)．(3)求和：＝)≈)＝6n(－＋－＋…＋－)＝6n(－)＝3.(4)取极限：s＝＝3.。
《学案导学设计》高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】第一章 1.4
§1.4生活中的优化问题举例一、基础过关1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是() A．8 C．－1 D．－82．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为()D．23．从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为() A．24 cm3B．72 cm3C．144 cm3D．288 cm34．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为() A．120 000 cm3B．128 000 cm3C．150 000 cm3D．158 000 cm35．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则其高为()B．100 cmC．20 cm二、能力提升6. 如图所示，某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为．7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站千米处．8．为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积成反比，现有制箱材料60平方米，问当a＝，b＝时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)．9．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：)，能使矩形广告面积最小？10．某商场预计2019年从1月份起前x个月，顾客对某种商品的需求总量p(x)件与月份x 的近似关系是p(x)＝x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．该商品的进价q(x)元与月份x的近似关系是q(x)＝150＋2x(x∈N*，且x≤12)．(1)写出今年第x月的需求量f(x)件与月份x的函数关系式；(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？11．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？三、探究与拓展12．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.答案1．C2．C3．C4．B5．A6．32米，16米7．58．6 39．解设广告的高和宽分别为x，y，则每栏的高和宽分别为x－20，，其中x>20，y>25.两栏面积之和为2(x－20)·＝18 000，由此得y＝000－20)＋25.广告的面积S＝＝x(000－20)＋25)＝000－20)＋25x.∴S′＝000[(x－20)－x],(x－20)2)＋25＝000,(x－20)2)＋25.令S′>0得x>140，令S′<0得20<x<140.∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S(x)的最小值为S(140)．当x＝140时，y＝175.即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小．10．解(1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37；当2≤x≤12时，f(x)＝p(x)－p(x－1)＝x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x(41－2x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且2≤x≤12)．验证x＝1符合f(x)＝－3x2＋40x，∴f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．(2)该商场预计销售该商品的月利润为g(x)＝(－3x2＋40x)(185－150－2x)＝6x3－185x2＋1 400x(x∈N*,1≤x≤12)，g′(x)＝18x2－370x＋1 400，令g′(x)＝0，解得x＝5，x＝(舍去)．当1≤x<5时，g′(x)>0；当5<x≤12时，g′(x)<0，∴当x＝5时，g(x)＝g(5)＝3 125(元)．综上5月份的月利润最大是3 125元．11．解设速度为x，甲、乙两城距离为a .则总费用f(x)＝(3＋200)·＝a(2＋)．由已知条件，得40＝k·203，∴k＝，∴f(x)＝a(x2＋)．令f′(x)＝000 ,100x2)＝0，得x＝10.当0<x<10时，f′(x)<0；当10<x<100时，f′(x)>0.∴当x＝10时，f(x)有最小值，即速度为10 km/h时，总费用最少．12．解(1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋πr3，又V＝，故l＝＝－r＝(－r)．由于l≥2r，因此0<r≤2.所以建造费用y＝2π×3＋4πr2c＝2πr×(－r)×3＋4πr2c，因此y＝4π(c－2)r2＋，0<r≤2.(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－＝(r3－)，0<r≤2.由于c>3，所以c－2>0.当r3－＝0时，r＝.令＝m，则m>0，所以y′＝(r－m)(r2＋＋m2)．①当0<m<2，即c>时，令y′＝0，得r＝m.当r∈(0，m)时，y′<0；当r∈(m,2]时，y′>0，所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2，即3<c≤时，当r∈(0,2]时，y′≤0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．综上所述，当3<c≤时，建造费用最小时r＝2；当c>时，建造费用最小时r＝.。
《步步高 学案导学设计》2018-2019学度 高中数学 人教A版2-2【配套备课资源】第一章 1.5.3
《步步高 学案导学设计》2018-2019学度 高中数学 人教A 版2-2【配套备课资源】第一章 1【一】基础过关1． 以下命题不正确的选项是( )A 、假设f(x)是连续的奇函数，那么ʃa －af(x)dx ＝0B 、假设f(x)是连续的偶函数，那么ʃa －af(x)dx ＝2ʃa 0f(x)dxC 、假设f(x)在[a ，b]上连续且恒正，那么ʃb a f(x)dx>0D 、假设f(x) 在[a ，b]上连续且ʃb a f(x)dx>0，那么f(x)在[a ，b]上恒正2． 定积分ʃ31(－3)dx 等于( )A 、－6B 、6C 、－3D 、3 3． ʃt 0xdx ＝2，那么ʃ0－txdx 等于( )A 、0B 、2C 、－1D 、－2 4． 由曲线y ＝x2－4，直线x ＝0，x ＝4和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( ) A 、ʃ40(x2－4)dxB.||40x2－4dx C 、ʃ40|x2－4|dxD 、ʃ20(x2－4)dx ＋ʃ42(x2－4)dx5． 设a ＝ʃ10x 13dx ，b ＝ʃ10x2dx ，c ＝ʃ10x3dx ，那么a ，b ，c 的大小关系是 ( )A 、c>a>bB 、a>b>cC 、a ＝b>cD 、a>c>b6． 假设ʃa －a|56x|dx ≤2 016，那么正数a 的最大值为( )A 、6B 、56C 、36D 、2 016 【二】能力提升7．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S ＝________.8．计算定积分ʃ1－14－4x2dx ＝________.9．设f(x)是连续函数，假设ʃ10f(x)dx ＝1，ʃ20f(x)dx ＝－1，那么ʃ21f (x)dx ＝________.10．利用定积分的定义计算ʃ21(－x2＋2x)dx 的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．11．用定积分的意义求以下各式的值：(1)ʃ30(2x ＋1)dx ；(2)ʃ32－321－x2dx. 12．lim n →∞ln n 1＋1n 21＋2n 2…1＋n n2等于 ( )A 、ʃ21ln2xdxB 、2ʃ21ln xdxC 、2ʃ21ln(1＋x)dxD 、ʃ21ln2(1＋x)dx【三】探究与拓展 13．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x3， x ∈[－2，22x ， x ∈[2，πcos x ， x ∈[π，2π]，求f(x)在区间[－2,2π]上的积分．答案1．D 2．A 3．D 4．C 5．B 6．A7．－ʃ0－πsin xdx8．π9．－210．解 令f(x)＝－x2＋2x.(1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分为n 个小区间[1＋i －1n ，1＋i n ](i ＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n .(2)近似代替、作和 取ξi ＝1＋i n (i ＝1,2，…，n)，那么Sn ＝∑n i ＝1f(1＋i n )·Δx ＝∑n i ＝1[－(1＋i n )2＋2(1＋i n )]·1n＝－1n3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n)2]＋2n2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n] ＝－1n3[2n 2n ＋14n ＋16－n n ＋12n ＋16]＋2n2·n n ＋1＋2n 2 ＝－13(2＋1n )(4＋1n )＋16(1＋1n )(2＋1n )＋3＋1n ，(3)取极限ʃ21(－x2＋2x)dx ＝lim n →∞Sn ＝lim n →∞[－13(2＋1n )(4＋1n )＋16(1＋1n )(2＋1n )＋3＋1n ]＝23，ʃ21(－x2＋2x)dx ＝23的几何意义为由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0与曲线f(x)＝－x2＋2x 所围成的曲边梯形的面积．11．解 (1)在平面上，f(x)＝2x ＋1为一条直线，ʃ30(2x ＋1)dx 表示直线f(x)＝2x ＋1，x ＝0，x ＝3与x 轴围成的直角梯形OABC 的面积，如图(1)所示，其面积为S ＝12(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知ʃ30(2x ＋1)dx＝12.(2)由y ＝1－x2可知，x2＋y2＝1(y ≥0)图象如图(2)，由定积分的几何意义知ʃ32－321－x2dx 等于圆心角为120°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×23π×12－12×1×1×sin 23π＝π3－34，S 矩形＝|AB|·|BC|＝2×32×12＝32，∴ʃ32－321－x2dx ＝π3－34＋32＝π3＋34.12．B13．解 由定积分的几何意义知 ʃ2－2x3dx ＝0，ʃπ22xdx ＝π－22π＋42＝π2－4，ʃ2ππcos xdx ＝0，由定积分的性质得 ʃ2π－2f(x)dx ＝ʃ2－2x3dx ＋ʃπ22xdx ＋ʃ2ππcos xdx ＝π2－4.。
《步步高 学案导学设计》2021-2021学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】综合检测
综合检测(二)一、选择题1． “金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电〞．此推理方法是( )A ．完全归纳推理B ．归纳推理C ．类比推理D ．演绎推理 2． 复数21－i等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i3． 设f (x )＝10x ＋lg x ，那么f ′(1)等于( ) A ．10B ．10ln 10＋lg e C.10ln 10＋ln 10D ．11ln 104． 假设大前提：任何实数的平方都大于0，小前提：a ∈R ，结论：a 2>0，那么这个演绎推理出错在( )A ．大前提B ．小前提C ．推理形式D ．没有出错5．观察以下数表规律2→3 6→710→110→1 4→5 8→9 12→… 那么数2 007的箭头方向是( )A ．2 007→B ．↓ ↑2 007→C ．↑D ．→2 007→2 007 ↓6． 函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，那么a ，b 的值为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝11 B.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝11 C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝5D ．以上都不对7． 给出以下命题：①ʃa b d x ＝ʃb a d t ＝b －a (a ，b 为常数且a <b )； ②ʃ0－1x 2d x ＝ʃ10x 2d x ；③曲线y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与直线y ＝0围成的两个封闭区域面积之和为2， 其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．38． 用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >12(n >1，n ∈N *)的过程中，从n ＝k 到n ＝k ＋1时左边需增加的代数式是( )A.12k ＋2B.12k ＋1－12k ＋2C.12k ＋1＋12k ＋2D.12k ＋19． 结论：“在正三角形ABC 中，假设D 是BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，那么AGGD＝2”．假设把该结论推广到空间，那么有结论：在棱长都相等的四面体A —BCD 中，假设△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的间隔 都相等，那么AO OM等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2D ．e 211．设x ，y ，z 都是正数，那么三个数x ＋1y ，y ＋1z ，z ＋1x 的值( ) A ．都小于2B ．至少有一个不大于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2二、填空题12．假设复数z 满足z (1＋i)＝1－i(i 是虚数单位)，那么其共轭复数z ＝________.13．通过类比长方形，由命题“周长为定值l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为l 216〞，可猜测关于长方体的相应命题为______________________________________ ________________________________________________________________________.14．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是秒，s 的单位是米)，那么它在4秒末的瞬时速度为________．15．如下图的数阵中，第20行第2个数字是________．1 12 12 13 14 13 14 17 17 14 15 111 111 111 15三、解答题16．复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i(2＋i )2.求：(1)z 1＋z 2；(2)z 1·z 2；(3)z 1z 2.17．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x >0，试求ʃπ2－1f (x )d x .18．a ，b ，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1)a 2＋b 2＋c 2≥13；(2)a ＋b ＋c ≤ 3.19．如图，平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a .求证：b 与c 是异面直线．20．函数f (x )＝4ln(x －1)＋12x 2－(m ＋2)x ＋32－m (m 为常数)，(1)当m ＝4时，求函数的单调区间；(2)假设函数y ＝f (x )有两个极值点，务实数m 的取值范围．21．是否存在常数a ，b ，使等式121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝an 2＋n bn ＋2对一切n ∈N ＋都成立？假设不存在，说明理由；假设存在，请用数学归纳法证明．答案1．B 2．A 3．B 4．A 5．D 6．B 7．B 8．B 9．C 10．D 11．C 12．i13．外表积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为(S 6)3214.12516米/秒 15.119116．解 z 2＝15－5i (2＋i )2＝15－5i 3＋4i ＝5(3－i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝5－15i5 ＝1－3i.(1)z 1＋z 2＝(2－3i)＋(1＋3i)＝3.(2)z 1·z 2＝(2－3i)(1－3i)＝2－9－9i ＝－7－9i. (3)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝(2－3i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )＝2＋9＋3i 10＝1110＋310i. 17．解 ʃπ2－1f (x )d x ＝ʃ0－1f (x )d x ＋ʃπ20f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃπ20(cos x －1)d x ＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|π20 ＝13＋1－π2＝43－π2. 18．证明 (1)∵a 2＋19≥23a ，b 2＋19≥23b ，c 2＋19≥23c ，∴(a 2＋19)＋(b 2＋19)＋(c 2＋19)≥23a ＋23b ＋23c ＝23. ∴a 2＋b 2＋c 2≥13.(2)∵a ·13≤a ＋132，b ·13≤b ＋132， c ·13≤c ＋132， 三式相加得a 3＋b 3＋c 3≤12(a ＋b ＋c )＋12＝1，∴a ＋b ＋c ≤ 3.19．证明 假设b ，c 不是异面直线，即b 与c 共面，设b 与c 确定的平面为γ，那么γ∩α＝b ，γ∩β＝c . ∵a ∥c ，∴a ∥γ.又∵a ⊂α，且α∩γ＝b ，∴a ∥b ，这与a ∩b ＝A 矛盾． 因此b 与c 不可能共面，故b 与c 是异面直线． 20．解 依题意得，函数的定义域为(1，＋∞)．(1)当m ＝4时，f (x )＝4ln(x －1)＋12x 2－6x －52.f ′(x )＝4x －1＋x －6＝x 2－7x ＋10x －1＝(x －2)(x －5)x －1.令f ′(x )>0，解得x >5，或1<x <2. 令f ′(x )<0，解得2<x <5.可知函数f (x )的单调递增区间为(1,2)和(5，＋∞)，单调递减区间为(2,5)． (2)f ′(x )＝4x －1＋x －(m ＋2)＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6x －1假设函数y ＝f (x )有两个极值点，那么⎩⎨⎧Δ＝[－(m ＋3)]2－4(m ＋6)>0，1－(m ＋3)＋m ＋6>0，m ＋32>1.解得m >3.21．解 假设存在常数a ，b 使等式成立，那么将n ＝1，n ＝2代入上式，有⎩⎪⎨⎪⎧13＝a ＋1b ＋2，13＋415＝4a ＋22b ＋2.得a ＝1，b ＝4，即有121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n 2＋n4n ＋2对于一切n ∈N ＋都成立． 证明如下：(1)当n ＝1时，左边＝121×3＝13，右边＝1＋14×1＋2＝13，所以等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N ＋)时等式成立，即 121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1) ＝k 2＋k4k ＋2， 当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k 2＋k4k ＋2＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k＋12k＋1·(k2＋k＋12k＋3)＝k＋12k＋1·2k2＋5k＋22(2k＋3)＝k＋12k＋1·(2k＋1)(k＋2)2(2k＋3)＝(k＋1)(k＋2)4k＋6＝(k＋1)2＋(k＋1) 4(k＋1)＋2，也就是说，当n＝k＋1时，等式成立，综上所述，等式对任何n∈N＋都成立．。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】第一章 1.6
§1.6 微积分基本定理一、基础过关1． 已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是 ( ) ①它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝s (t )|b a ；②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)；③它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝lim n →∞∑i ＝1n b －a ns ′(ξi )；④它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝ʃb a s ′(t )d t .A ．①B ．①②C ．①②④D ．①②③④2． 若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A ．F (x )＝13x 3B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)3． ʃ10(e x ＋2x )d x 等于( ) A ．1 B ．e －1C ．eD ．e ＋14． 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为( ) A.32 B.43C.23 D ．－235． ʃπ20sin 2x 2d x 等于( ) A.π4 B.π2－1C ．2 D.π－246．ʃ1－1|x |d x 等于( )A ．ʃ1－1x d xB ．ʃ1－1(－x )d xC ．ʃ0－1(－x )d x ＋ʃ10x d xD ．ʃ0－1x d x ＋ʃ10(－x )d x二、能力提升7． 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0x ＋a 03t 2d t ，x ≤0， 若f [f (1)]＝1，则a ＝________.8．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．9．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为________． 10．计算下列定积分：(1)ʃ21(e x ＋1x)d x ；(2)ʃ91x (1＋x )d x ； (3)ʃ200(－0.05e －0.05x ＋1)d x ；(4)ʃ211x (x ＋1)d x . 11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求ʃ30f (x )d x 的值．12．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．三、探究与拓展13．求定积分ʃ3－4|x ＋a |d x .答案1．D 2.B 3．C 4．B 5．D 6．C7．1 8.339．f (x )＝4x ＋310．解 (1)∵(e x ＋ln x )′＝e x ＋1x， ∴ʃ21(e x ＋1x)d x ＝(e x ＋ln x )|21＝e 2＋ln 2－e. (2)∵x (1＋x )＝x ＋x ，(12x 2＋23x 32)′＝x ＋x ， ∴ʃ91x (1＋x )d x ＝(12x 2＋23x 32)|91 ＝1723. (3)∵(e －0.05x ＋1)′＝－0.05e －0.05x ＋1， ∴ʃ200(－0.05e －0.05x ＋1)d x ＝e －0.05x ＋1|200＝1－e.(4)∵1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1，(ln x )′ ＝1x ，(ln(x ＋1))′＝1x ＋1， ∴ʃ211x (x ＋1)d x ＝ln x |21－ln(x ＋1)|21＝2ln 2－ln 3. 11．解 由积分的性质，知：ʃ30f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃ21f (x )d x ＋ʃ32f (x )d x＝ʃ10x 3d x ＋ʃ21x d x ＋ʃ322x d x ＝x 44|10＋23x 32|21＋2xln 2|32＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2＝－512＋432＋4ln 2.12．解 ∵(23ax 3－12a 2x 2)′＝2ax 2－a 2x ， ∴ʃ10(2ax 2－a 2x )d x＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2 ＝－12(a 2－43a ＋49)＋29＝－12(a －23)2＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29. 13．解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时，原式＝ʃ3－4(x ＋a )d x ＝(x 22＋ax )|3－4＝7a －72. (2)当－4<－a <3即－3<a <4时，原式＝ʃ－a －4[－(x ＋a )]d x ＋ʃ3－a (x ＋a )d x ＝(－x 22－ax )|－a －4＋(x 22＋ax )|3－a ＝a 22－4a ＋8＋(a 22＋3a ＋92) ＝a 2－a ＋252. (3)当－a ≥3即a ≤－3时，原式＝ʃ3－4[－(x ＋a )]d x ＝(－x 22－ax )|3－4＝－7a ＋72. 综上，得ʃ3－4|x ＋a |d x＝⎩⎪⎨⎪⎧ 7a －72 (a ≥4)a 2－a ＋252 (－3<a <4)－7a ＋72 (a ≤－3).。
《步步高学案导学设计》2021-2022学度高中数学人教A版2-2第一章(二)
《步步高学案导学设计》2021-2022学度高中数学人教A 版2-2(配套备课资源)第一章1一、基础过关1． 下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f(x)＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x2． 函数y ＝x1－cos x的导数是( )A.1－cos x －xsin x 1－cos xB.1－cos x －xsin x 1－cos x 2C.1－cos x ＋sin x 1－cos x 2D.1－cos x ＋xsin x 1－cos x 23． 若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0 4． 设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a等于 ( )A ．2 B.12C ．－12 D ．－25． 设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y ＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－126．已知a 为实数，f(x)＝(x2－4)(x －a)，且f ′(－1)＝0，则a ＝________.7．若某物体做s ＝(1－t)2的直线运动，则其在t ＝1.2 s 时的瞬时速度为________．二、能力提升8． 设函数f(x)＝sin θ3x3＋3cos θ2x2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范畴是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]9．若函数f(x)＝13x3－f ′(－1)·x2＋x ＋5，则f ′(1)＝______. 10．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x2＋3)(3x －1)；(2)y ＝(x －2)2；(3)y ＝x －sin x 2cos x2.11．设y ＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f ′(x)＝2x ＋2，求f(x)的表达式．12．设函数f(x)＝ax －bx ，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y ＝f(x)上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．三、探究与拓展13．已知曲线C1：y ＝x2与曲线C2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C1和C 2都相切，求直线l 的方程．答案1．D 2．B 3．B 4．D 5．A6.127．0.4 m/s 8．D9．610．解 (1)方法一 y ′＝(2x2＋3)′(3x －1)＋(2x2＋3)(3x －1)′ ＝4x(3x －1)＋3(2x2＋3) ＝18x2－4x ＋9.方法二 ∵y ＝(2x2＋3)(3x －1) ＝6x3－2x2＋9x －3，∴y ′＝(6x3－2x2＋9x －3)′ ＝18x2－4x ＋9.(2)∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4，∴y ′＝x ′－(4x)′＋4′＝1－4·12x －12＝1－2x －12.(3)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－(12sin x)′＝1－12cos x. 11．解 设f(x)＝ax2＋bx ＋c(a ≠0)， 则f ′(x)＝2ax ＋b.又已知f ′(x)＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2. ∴f(x)＝x2＋2x ＋c.又方程f(x)＝0有两个相等实根， ∴判别式Δ＝4－4c ＝0， 即c ＝1.故f(x)＝x2＋2x ＋1.12．(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f(2)＝12， ①又f ′(x)＝a ＋b x2，∴f ′(2)＝74，②由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3. 故f(x)＝x －3x .(2)证明 设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y －y0＝(1＋3x20)(x －x0)，即y －(x0－3x0)＝(1＋3x20)(x －x0)．令x ＝0得y ＝－6x0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x0)． 令y ＝x 得y ＝x ＝2x0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x0,2x0)．因此点P(x0，y0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x0||2x0|＝6.故曲线y ＝f(x)上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.13．解 设l 与C1相切于点P(x1，x21)，与C2相切于点Q(x2，－(x2－2)2)．关于C1：y ′＝2x ，则与C1相切于点P 的切线方程为y －x21＝2x1(x －x1)，即y ＝2x1x －x21.①关于C2：y ′＝－2(x －2)，则与C2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x －x2)，即y ＝－2(x2－2)x ＋x22－4.②因为两切线重合，因此由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧2x1＝－2x2－2，－x21＝x22－4解得⎩⎪⎨⎪⎧ x1＝0，x2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x1＝2，x2＝0.因此直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.。
《学案导学设计》高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】第一章 1.2.2(二)
目 式再求导数．
开 关
7
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)f(x)＝x·tan x；
(2)f(x)＝2－2sin2x2；
本 课 时 栏
(3)f(x)＝xx－＋11； (4)f(x)＝1＋sinsinx x.
目 开 关
解
(1)f′(x)＝(x·tan x)′＝xcsoisn xx′
开
关
差的导数
[f(x)－g(x)]′＝_f_′__(_x_)－__g_′__(_x_)
两个函数的 积的导数
[f(x)·g(x)]′＝_f_′__(x_)_g_(_x)_＋__f_(x_)_g_′__(_x)_
两个函数的 商的导数
[gfxx]′＝f′___x_g__[x_g_－x__f]_2x_g_′___x__(g_(_x_)≠__0_)
本 课 时
∴f′(x)＝1－x＋2 1′＝－x＋2 1′
栏 目 开
＝－2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋212.
关
(4)∵f(x)＝1＋sinsinx
， x
∴f′(x)＝cos
x1＋sin x－sin 1＋sin x2
x·cos
x
＝1＋cossinxx2.
9
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 导数的应用
＝xsin
x′cos
x－xsin cos2x
xcos
x′
＝sin
x＋xcos xcos cos2x
x＋xsin2x＝sin
xcos x＋x cos2x .
8
研一研·问题探究、课堂更高效
(2)∵f(x)＝2－2sin2x2＝1＋cos x，
《学案导学设计》高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】第一章 1.2.2(二)
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)一、基础过关1．下列结论不正确的是() A．若y＝3，则y′＝0B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1D．若y＝x＋x，则y′＝x＋x2．函数y＝x)的导数是() x－x,1－x) x－x,(1－x)2)x＋x,(1－x)2) x＋x,(1－x)2)3．若函数f(x)＝4＋2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于() A．－1 B．－2C．2 D．04．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线＋y＋1＝0垂直，则a等于() A．2C．－D．－25．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为() A．4 B．－C．2 D．－6．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝.7．若某物体做s＝(1－t)2的直线运动，则其在t＝1.2 s时的瞬时速度为．二、能力提升8．设函数f(x)＝θ,3)x3＋θ,2)x2＋θ，其中θ∈[0，]，则导数f′(1)的取值范围是() A．[－2,2]B．[，]C．[，2] D．[，2]9．若函数f(x)＝x3－f′(－1)·x2＋x＋5，则f′(1)＝.10．求下列函数的导数：(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝(－2)2；(3)y＝x－.11．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的表达式．12．设函数f(x)＝－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．三、探究与拓展13．已知曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝－(x－2)2，直线l与C1和C2都相切，求直线l的方程．答案1．D2．B3．B4．D5．A67．0.4 m8．D9．610．解(1)方法一y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.方法二∵y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.(2)∵y＝(－2)2＝x－4＋4，∴y′＝x′－(4)′＋4′＝1－4·x－＝1－2x－.(3)∵y＝x－＝x－x，∴y′＝x′－( x)′＝1－x.11．解设f(x)＝2＋＋c(a≠0)，则f′(x)＝2＋b.又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c.又方程f(x)＝0有两个相等实根，∴判别式Δ＝4－4c＝0，即c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.12．(1)解由7x－4y－12＝0得y＝x－3.当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，②由①，②得错误!解之得错误!.故f(x)＝x－.(2)证明设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)．令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.13．解设l与C1相切于点P(x1，)，与C2相切于点Q(x2，－(x2－2)2)．对于C1：y′＝2x，则与C1相切于点P的切线方程为y－＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－. ①对于C2：y′＝－2(x－2)，则与C2相切于点Q的切线方程为y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x －x2)，即y＝－2(x2－2)x＋－4. ②因为两切线重合，所以由①②，得错误!解得错误!或错误!所以直线l的方程为y＝0或y＝4x－4.。
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1.1.3 导数的几何意义 一、基础过关 1． 下列说法正确的是 ( )
A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线
B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在
C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在
D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在
2． 已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )
A ．f ′(x A )>f ′(x
B )
B ．f ′(x A )<f ′(x B )
C ．f ′(x A )＝f ′(x B )
D ．不能确定
3． 在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4
的点是 ( ) A ．(0,0)
B ．(2,4)
C ．(14，116)
D ．(12，14
) 4． 设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于
( ) A ．1
B.12 C ．－12 D ．－1
5． 曲线y ＝－1x
在点(1，－1)处的切线方程为 ( ) A ．y ＝x －2
B ．y ＝x
C ．y ＝x ＋2
D ．y ＝－x －2
6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12
x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝_______. 二、能力提升
7． 设f (x )为可导函数，且满足lim x →0
f (1)－f (1－x )x ＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是
( ) A ．1
B ．－1 C.12 D ．－2
8．若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________.
9． 设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎡⎦
⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________．
10．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．
11．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求：
(1)它们的交点；
(2)抛物线在交点处的切线方程．
12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6
平行，求a 的值．
三、探究与拓展
13．根据下面的文字描述，画出相应的路程s 关于时间t 的函数图象的大致形状：
(1)小王骑车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
(2)小华早上从家出发后，为了赶时间开始加速；
(3)小白早上从家出发后越走越累，速度就慢下来了．
答案
1．C 2．B 3．D 4．A 5．A
6．3
7．B
8．3
9.⎣
⎡⎦⎤－1，－12 10．解 曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率
k ＝y ′|x ＝1
＝lim Δx →0 3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx
＝lim Δx →0
(3Δx ＋2)＝2. ∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2，
由点斜式得y －2＝2(x ＋1)，
即2x －y ＋4＝0.
所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0.
11．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3y ＝13
. ∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．
(2)∵y ＝x 2＋4，
∴y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋4－(x 2＋4)Δx
＝lim Δx →0 (Δx )2＋2x ·Δx Δx
＝lim Δx →0
(Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，
即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，
在点(3,13)处的切线斜率为6.
∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0； 在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.
12．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)
＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)
＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，
∴Δy Δx
＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时，
Δy Δx
无限趋近于3x 20＋2ax 0－9. 即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9
∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2－9－a 23
. 当x 0＝－a 3
时， f ′(x 0)取最小值－9－a 23
. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，
∴该切线斜率为－12.
∴－9－a 23
＝－12. 解得a ＝±3.又a <0，
∴a ＝－3.
13．解 相应图象如下图所示．。