大学物理学-机械波教案

1

])(2[0x -t u Acos y ϕλ

π

+=.

二、波函数的物理意义

1、 如果x = x 0为给定值，

)()(00

ϕωω+=u

x -

t Acos t y

)(00ϕλ

πω+=x

2-t Acos .

这就是波线上x 0处质点在任意时刻t 离开自己平衡位置的位移。即x 0处质点的振动方程。它在t = 0时的位相为00

2ϕλ

π

ϕ+-='x ，表示x 0处质点的振动比原点的振动始

终落后一个位相λ

π

ϕϕ0

02x -=-'。

2、如果t = t 0为给定值，])([)(00ϕω+=u

x

-

t Acos x y 只是x 的函数，表示t = t 0时刻各质点离开各自平衡位置的位移分布情况，称为t 0时刻的波形方程。

3、如果t ，x 都在变化，则 t 时刻波动方程

])([ω)(0u

x

-t Acos t x,y ϕ+=； t+t ∆时刻波动方程

])([ω)(0u

x

-

t t Acos t t x,y ϕ+∆+=∆+。 画出t 和t+t ∆时刻的波形，便可形象地看出波形向前传播的图象。波形向前传播的速度等于波速u 。

由于波形向前传播，x 处质点在不同时刻t 和t+Δt 的位移是不同的。但从上面的t 时刻波形和t+Δt 时刻波形可以看出：

（2） 如图所示

例4：如图，一平面简谐波沿ox 轴正方向传播，波长为λ，若p 1点处质点的振动方程为)t 2(Acos y 1φνπ+=，则P 2点处质点的振动方程为 ；与P 1点处质点振动状态相同的那些点的位置是 。 解：(1) 由图知P 2点的振动落后于P 1，

⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫

⎝⎛+=φνπu L L -t 2Acos y 212

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫

⎝⎛+=φλνπ21L L -t 2Acos

(2) λk L x 1±=+ (k=1,2,…) ∴ 1L -k x λ±=

§6.3 波的能量

一、 波的能量和能量密度

以平面简谐弹性纵波在细长棒中传播为例。如图所示，有一密度为ρ的细长棒沿

ox 轴放置，一列平面简谐纵波以波速u 沿着棒长方向传播时，棒中每一小段都受到压

缩和拉伸。设波动方程为：

])([ω0u

x t Acos y ϕ+-=

固体细长棒中纵波的传播

在坐标为x 处取一小体积元dV = sdx ，其质量为dV ρdm =dx s ρ=，当波传到该体积元时，这部分介质的速率随时间变化

0 1 2 3 4 x

y

t=T/4时的波形曲线

P 1 o P 2 x

L 1 L 2

)(])([0x ,t v u

x t ωsin A ωt y v =+--=∂∂=ϕ，

其振动动能

])([)()(0ϕ+-==u

x t ωsin ωA dV ρ21v dm 21dW 2222K ； 同时，体积元因形变而具有弹性势能，可以证明体积元的弹性势能 ])(ω[ω)(ρ0ϕ+-=u

x t sin A dV 2

1dW 222P ；

体积元的总能量

])(ω[ω)(ρ0ϕ+-=+=u

x t sin A dV dW dW dW 222P K 。

以上结果表明：

1) 波动传播过程中，任一时刻、任一体积元的动能和势能不仅大小相等，而且位相相同，即两者总是随时间同步变化。

2）波动能量和振动能量有根本区别。振动过程系统的机械能守恒；对波动来说，任一体积元都与周围质点交换能量，能量不守恒，即能量随着波动的传播而传播。

3）对振动质点来说，位移最大时、速度为零，振动势能最大、动能为零；质点通过平衡位置时，位移为零、速度最大，振动势能为零、动能最大。而对于波动中的任一体积元来说，位移最大时、相对形变为零、速度为零，所以动能和势能均为零；当体积元在位移为零（即平衡位置）时，相对形变和速度都是最大，所以势能和动能均最大。

介质中单位体积内的能量叫能量密度，用ω表示

⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-==0222)(sin ϕωωρωu x t A dv dw 。 它在一个周期内的平均值叫平均能量密度 220

2

1

1

ωρωϖA dt T

T

⎰=

=。

二、波的能流和能流密度

1、能流、平均能流：

能流 —— 单位时间内通过介质中某一面积的能量称为通过该面积的能流。 如图所示，s 为垂直于波速u 的平面，则单位时间内通过s 面的能量平均来说等于以s 为底、u 为长度的体积内的能量，即

uS w P =

P 称为通过s 面的平均能流。

式中w 为平均能量密度，对简谐波

2

2

ωA ρ2

1w =，所以uS ωA ρ2

1

P 22=

2、平均能流密度：

单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面积上的平均能量，称为平均能流密度，一般用I 表示，即

u ωA ρ2

1

u w S P I 22===

。 由此可见，平均能流密度I 与振幅的平方成正比，是波的强弱的一种量度，因而也称为波的强度。

三、波的吸收

1、无吸收的均匀介质中，波的振幅保持不变；如下图，通过面积S 1和S 2的平均能流相等。即

21P P = 所以 1221uS A 2

1

ωρ2222uS A 21ωρ=

即

A 1 = A 2

2、波的吸收

波动在均匀介质中传播时，介质总要吸收一部分波的能量而转变为其它形式的能量，所以波的振幅将沿着波的传播方向逐渐减小。实验指出：当平面波通过极薄的一层介质（厚度为dx ）后，振幅减少-dA 与波进入介质薄层时的振幅A 及薄层厚度dx 成正比：

Adx αdA =-，

式中α为常数，称为介质的吸收系数，积分可得： αx

A A -=e

0。

A 0和A 分别为x = 0和x=x 处波的振幅。由于波的强度与波的振幅的平方成正比，所

以波的强度衰减的规律为： x

e

I I α20-=

I 0和I 分别为x = 0和x=x 处波的强度。

§6.4 惠更斯原理 波的叠加和干涉

一、 惠更斯原理

1 惠更斯原理：介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，其后任一时刻，这些子波的包迹就是新的波阵面。