集合与集合的势
集合的基数
等势集合的实例(6)
（6）对任何a, b∈R，a<b， [0,1]≈[a,b]。 双射函数f：[0,1]→[a,b]，f(x)＝(ba)x+a。
例2
例2 设A为任意集合，则P(A)≈{0,1}A。
证明
构造f：P(A)→{0,1}A， f(A)=A ，A∈P(A)。 其中A 是集合A 的特征函数。 (1)易证 f 是单射的。 (2)对于任意的 g∈{0,1}A， 那么有 g：A→{0,1}。令
设 f:N→[0,1]是从N到[0,1]的任何一个函数。f的所有函数值为：
f(0)=0.a1(1)a2(1)… f(1)=0.a1(2)a2(2)… … f(n1)=0.a1(n)a2(n)… …
令y的表示式为0.b1b2…，并且满足bi ≠ ai(i)，i=1,2,…， 则y∈[0,1]， 但y与上面列出的任何一个函数值都不相等。
0 1
1 2
1 2
1 22
1 23
21n 2n12
1 22
1 23 1 24 1 25
x0 1/ 2 1/ 22 x 1 双射函数 f : [0,1](0,1)， f ( x) n 1 2 x 1/ 2 n , n 1, 2,... 1/ 2 其它x x
例如 x = 0.10110100…，则对应于x的函数tx是： n 0 1 2 3 4 5 6 7… tx(n) 1 0 1 1 0 1 0 0…
易见tx∈{0,1}N，且对于x,y∈[0,1)，x≠y，必有tx ≠ ty， 即f(x) ≠ f(y)。 所以，f：[0,1)→{0,1}N是单射的。
说 明
根据这个定理可以知道N ≈ P(N)。 综合前面的结果，可知N ≈ {0,1}N 。 实际上，P(N)，{0,1}N和R都是比N“更大”的集合。
测度论基础知识总结
测度论基础知识总结1.集合论1.1 集合与基本运算·概念:具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义).中间含有的对象叫元素。
全集：要研究的问题涉及到的最大集合.空集：没有任何元素的集合。
表达方法：｛x(集合元素x）｜x应该有的性质}·元素与集合的关系:x A，x∉A·集合之间的关系只有包含或者不包含若对于任意元素x A，x B则A包含于B（证明就用这个方法)，A是B的子集（A B则为B的真子集）包含的特殊情况相等：A=B就是A包含于B同时B包含于A真子集：A包含于B但A B·集合的运算①单个元素的幂集对于一个集合X，它的幂集表示所有其子集为元素构成的集合。
这种以集合为元素的集合,也叫集合族。
②两个集合的运算交：A B=｛x｜ x A且x B｝并:A B={x｜ x A或x B｝差：A\B(或写成A—B）=｛x｜ x A且x∉B｝补：=U\A（U是问题要研究的全集)于是有等式A\B=A积：（直积）A×B={（x,y）| x A且y B ｝（把A、B中元素构成有序对）③多个元素的运算多个交表示所有以λ为角标的集合的并，要求λ，称为指标集。
类似有多个并注：可以是无穷个【例】x｜ x>,A={x| x>0｝，则A=·集合的分析相关性质①上限集：一列集合｛｝,定义上限集为。
类似于数列的上极限。
②下限集：一列集合{}，定义下限集为。
类似于数列的下极限。
③集合列的极限：当上限集等于下限集时极限存在，就是上限集（或下限集)。
④单调集合列:若始终有包含于,也就是集合越来越大，则为递增集合列；反之，若始终有，则为递减列。
若为递增列，则有极限=;若为递减列，则有=.1.2映射·定义：X、Y是两个集合，对任意x X，存在唯一的y=f（x)Y与之对应，则对应法则f为X到Y的一个映射，记为f:X→Y.像集：对于X的一个子集A,像集{f(x）｜ x A｝记为f(A），显然包含于Y原像集：对于Y的一个子集B，原像集{x｜ x记为·满射：f(X)=Y，即Y中所有元素都是像单射：X中不同元素一定对应Y中不同的像双射：既是单射又是满射。
集合的势,可数集与不可数集
自然数集
自然数集是数学中用于计数和 排序的数字集合，包括0、1
、2、3等。
自然数集的势
自然数集是可数的，即存在一 一对应的映射关系，因此其势
为可数无穷大，记作ℵ₀。
自然数集的性质
自然数集具有传递性、排中律 、结合律、交换律等基本性质
。
实数集的势
01
实数集
实数集是数学中包含所有有理数 和无理数的数字集合，如π和√2 等。
有限个可数集的并集是可数的
如果有有限个可数集，那么它们的并集也是可数的。
可数集的势
可数集的势等于自然数集的势
根据可数集的定义，可数集的元素个数与自然数集的元素个数相等，因此可数集的势等于自然数集的 势。
可数集的势小于不可数集的势
不可数集的元素个数无法与自然数集一一对应，因此可数集的势小于不可数集的势。
。
不可数集具有完备性， 即它们满足实数的所有 性质，包括连续性、稠 密性和完备性本身。
不可数集的势
不可数集的势是指集合中元素的数量 ，通常用阿基米德数表示。对于任意 两个不可数集，如果存在一一对应关 系，则它们的势相等；如果存在一一 对应关系，则它们的势相等。
VS
常见的不可数集的势包括实数集的势 （记为ℵ₀）、自然数集的势（记为ℵ₁ ）等。实数集的势大于自然数集的势 ，因为实数集中存在无限不循环小数 ，而自然数集中不存在。
性质比较
01
可数集具有一些特定的性质， 例如它们是可列的、有序的、 可以定义大小关系等。
02
不可数集则不具备这些性质， 因为它们的元素数量无法一一 对应到自然数集，所以无法定 义大小关系。
03
不可数集在数学中具有一些特 殊的性质和用途，例如在实数 集中，不可数集经常用于描述 一些特殊的子集。
实变函数知识点总结
第一章 集 合1 集合的运算一、集合的概念定义1 设有两个集合A，B。
若x A ∈，必有x B ∈，则称A 是B 的子集或B 包含A，记为A B B A ⊂⊃或。
若A B ⊂，且存在x B ∈满足x A ∉，则称A 是B 的真子集。
若A B B A ⊂⊂且，则称A 与B 相等或相同。
定义2 设Λ是一个非空集合，对于每个α∈Λ，指定一个集合A α，于是得到许多集合，它们的总体称为集合族，记为{}|A αα∈Λ或{}A αα∈Λ。
二、集合的运算定义3 设A，B 是两个集合。
（1） 称集合{}|A B x x A x B ∪=∈∈或为A 与B 的并集，即由A 与B 的全部元素构成的集合；（2） 称集合{}|A B x x A x B ∩=∈∈且为A 与B 的交集，即由A 与B 的公共元素构成的集合；定理1（1）交换律 A B B A ∪=∪，A B B A ∩=∩；（2）结合律 ()()A B C A B C ∩∩=∩∩,()()A B C A B C ∩∩=∩∩; （3）分配律()()()A B C A B A C ∩∪=∩∪∩()()()A B C A B A C ∪∩=∪∩∪。
更一般地有 （4）()()A B A B αααα∈Λ∈Λ∪∩=∩∪；（5）()()A B A B αααα∈Λ∈Λ∩∪=∪∩；（6）设{}n A 和{}n B 为两集列，有()111n n n n n n n A B A B ∞∞∞===⎛⎞⎛⎞∪∪=∪∪∪⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠。
定义4 设A，B 是两个集合，称集合{}\|A B x x A x B =∈∉且是A 和B 的差集，即在集合中而不在集合B 中的一切元素构成的集合。
如果B A ⊂，则称\A B 为B 相对于A 的补集或余集。
定理2 （1）(),,,,cccc c c A A X A A AA X X ∪=∩=∅==∅∅=；（1）A ζ⊂；（2）任何包含A 的环（或代数，或σ环或σ代数）*ζ，必有*ζζ⊂。
第3讲势的定义--可数集合与连续势
Ai*和
Bi
i =1
i =1
而
i= ∞ 1
∪ A ~ ∪ B ⊂[0,+∞) 。另一方面
i i i=1 i=1
∞
第3讲 势的定义
--可数集合与连续势 --可数集合与连续势
， ∞ 由Bernstein定理知 A = ∪ A的势为 C 。 i i= 1 证毕。 定理7实际是说，可数个势不超过 C的 集合之并，其势也不超过 C ，用公式表示 就是： ⋅ C = C 。 C
i=1
在上述序列中，去掉重复元素，则剩下的 是有限集或可数集。证毕。
第3讲 势的定义
--可数集合与连续势 --可数集合与连续势
α表示正整数，α + C0 表示一个有限集与 α 可数集之并的势， ⋅ C0表示 α个可数集之并的势，
如果说
C0 ⋅ C0
表示可数个可数集之并的势，则定理
5蕴含了下列各式： （1） （2） （3） （4）
第3讲 势的定义
--可数集合与连续势 --可数集合与连续势
即 A 与其真子集 A− A 对等。 0 为证充分性，我们要证，若 A 与其真 子集对等，A 必是无穷集。假若不然， 是 A 有限集，不妨设为 A = {a1, a2 ,⋯, an} ， A与其真子集对等，记与 A 对等的真子集 为 A = {ai1 , ai2 ,⋯, aim }, m < n ，ϕ是 A与 A 之 0 0 间的1-1对应。则 ϕ( A ) = A，注意 0
i=1
∪{aij }
i+ j =n
{a1n−1 , a2n−2 ,⋯, an−1,1}
第3讲 势的定义
--可数集合与连续势 --可数集合与连续势
即按第一个下标 i 从小到大的顺序排列， 应该注意的是 aij 中可能含一些重复的元素， ∞ 暂且将重复元素留着，最后将 ∪ A 排成 i
比较无限集合中元素个数的方法(一)
比较无限集合中元素个数的方法(一)比较无限集合中元素个数的方法引言比较无限集合中元素个数是数学中一个常见的问题。
在实际应用中，我们经常需要判断两个集合的大小关系。
本文将介绍一些常用的方法来比较无限集合中元素的个数，并给出每种方法的适用场景和注意事项。
方法一：1-1映射法1-1映射法是最直观的方法之一。
我们可以找到两个集合之间的一个双射（即一一映射）关系，通过比较元素的个数来判断集合的大小关系。
•适用场景：当两个集合的元素可以一一对应时，可以使用1-1映射法。
•注意事项：需要承认无限集合中的元素个数可能大于有限集合的元素个数，即使它们之间存在双射关系。
方法二：有限集合转化法有限集合转化法通过将无限集合转化为有限集合，并比较转化后的有限集合的大小来判断原始无限集合的大小。
•适用场景：当两个集合中至少有一个集合是有限集合时，可以使用有限集合转化法。
•注意事项：需要确保转化过程中不会引入新的重复元素。
方法三：势的比较法势的比较法通过比较集合的势（也称为基数、大小或个数）来判断集合的大小关系。
在集合论中，我们使用无穷基数（Infinity cardinality）来表示无限集合的势。
•适用场景：当两个集合都是无限集合时，可以使用势的比较法。
•注意事项：势的比较法只能给出集合大小的相对关系，无法具体给出两个集合中元素的个数。
方法四：引理的运用法引理的运用法通过引入一些具体的数学引理来比较无限集合中元素的个数。
例如，卡西诺定理（Cantor-Bernstein定理）可以用来比较两个集合的势。
•适用场景：当无限集合的元素具有一些特殊性质时，可以尝试使用引理的运用法。
•注意事项：需要确保所使用的引理合理有效，并正确应用于对比的无限集合。
方法五：抽象推理法抽象推理法是一种基于逻辑推理的方法。
通过进行分析和推理，可以从给定的条件和定义中得出结论，从而比较无限集合的大小关系。
•适用场景：当其他方法无法适用或不够准确时，可以尝试使用抽象推理法。
集合的等势及其性质.ppt
0< 其中2N={0，1}N
∀A满足A≺ ·P(A)，所以有
cardA<cardP(A)
这说明不存在最大的基数。将已知的基数按从小到大 的顺序排列就得到：
0，1，2，…，n，…， 0， … 其中0，1，2…，n，…，恰好是全体自然数，是有穷 集合的基数，也叫有穷基数。而 0， ，…，是无 穷集合的基数，也叫做无穷基数， 0是最小的无穷基 数，而后面还有更大的基数，如cardP(R)等。
例如： 2∪5={0,1}∪{0,1,2,3,4}={0,1,2,3,4}=5 3∩4={0,1,2}∩{0,1,2,3}={0,1,2}=3
4-2={0,1,2,3}-{0,1}={2,3} 2×3={0,1}×{0,1,2}={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<1,2>}
第九章 集合的基数
1.集合的等势及其 性质 2.重要的等势或不等势结果 3.集合的优势及其性质 4.集合的基数
(1) 后继与归纳集 (2)自然数,有穷集,无穷集 (3) 集合的基数 (4)可数集
基本要求:
1. 掌握：集合之间等势与优势的概念，等势的 性质（自反性，对称性，传递性）
2. 掌握：证明集合等势的方法，康托定理的内 容及证明方法
f1={<0,0>,<1,0>,<2,1>} f3={<0,0>,<1,1>,<2,1>} f5={<0,1>,<1,0>,<2,1>} f7={<0,1>,<1,1>,<2,1>}
cantor定理的证明
Cantor定理的证明引言Cantor定理是由德国数学家Georg Cantor在19世纪末提出的重要定理，它揭示了无穷集合的特殊性质。
本文将详细介绍Cantor定理的证明过程，以便读者更好地理解这一定理的背后原理和数学推导过程。
Cantor定理的表述Cantor定理的表述如下：对于任意集合A，集合A的幂集的势大于集合A的势。
换句话说，不存在一个从A到A的满射函数，即不存在一个将A的每个元素映射到A 中的每个元素的函数。
证明思路为了证明Cantor定理，我们将采用反证法的思路。
假设存在一个从集合A到自身的满射函数f，我们将通过构造一个不属于f的元素来推导出矛盾，从而证明Cantor定理。
证明过程1.假设存在一个从集合A到自身的满射函数f。
2.我们构造一个集合B，B的元素由A的所有元素组成，但是每个元素的对应关系与f不同。
具体地，对于A中的任意元素a，我们定义B中对应的元素b为：如果a不属于f(a)，则b=a；如果a属于f(a)，则b不属于f(a)。
3.由于f是一个满射函数，所以对于A中的任意元素a，必然存在一个元素b使得f(b)=a。
4.我们来考虑元素b。
如果b不属于f(b)，根据我们对B的定义，b应该属于f(b)，这与假设矛盾。
5.反之，如果b属于f(b)，根据我们对B的定义，b不应该属于f(b)，同样与假设矛盾。
6.由于无论b是否属于f(b)，都会导致矛盾，因此我们的假设不成立。
7.因此，不存在一个从集合A到自身的满射函数，即Cantor定理成立。
结论根据我们的证明过程，我们可以得出结论：对于任意集合A，不存在一个从A到A 的满射函数。
这意味着集合A的幂集的势大于集合A的势，即Cantor定理成立。
Cantor定理的证明过程相对简单明了，但却揭示了无穷集合的特殊性质。
它深刻地影响了数学的发展，并且在集合论、数论等领域中有着广泛的应用。
通过理解Cantor定理，我们可以更好地理解无穷集合的结构和性质，进一步拓展数学的边界。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
希尔伯特旅馆
我们再设想一个有无限房间旅馆,各个房间也都住满了客人. 这时又来了无穷多位要求订房间的客人.“好的，先生们请 等一会儿.”旅馆主人说.
解决问题方案：第n号房间的客人移到2n号房间
希尔伯特旅馆
这样继续下去,原来的客人都住进了双号房间,所有的单号 房间都腾出来了,新来的无穷多位客人可以住进单号房间， 问题就解决了！
例2 f ( x) loga x
y loga x x a y , x与y互换得y a x ,所以f 1( x) a x
特别当a e, f ( x) ln x f 1( x) e x
例3 f ( x) sin x,( / 2, / 2) y sin x x arcsin( y), x与y互换得y arcsin( x),所以f 1( x) arcsin( x)
集合映射基本术语
映射丼例
(1) sin x : (, ) [1,1]
(2) tan x : ( 2, 2) (, )
(3) arctan x : (, ) ( 2, 2)
(4) e x :
(, ) (0, )
(5) ln x : (0, ) (, ) (6) 数列{an }可看成是N *到R的映射
集合映射基本术语
定义2 相等映射 设f : A B,g : A B,若对x A,都有
f (x) g(x) 则称映射f 和 g相等,记为f g.
定义3 复合映射
设f : B C ,g : A B,当x A,定义映射
( f g)( x) f (g( x)) 为映射f 与g的复合映射. 注：复合映射的定义域要匹配
复合丼例2 y arccos(ln(| sin x | 1))
集合映射基本术语
定义4 单 射 f : A B
x, y A,如 x y, 则f ( x) f ( y).则称f 为单射.
4
10
4
10
3
7
3
4
2
4
2
2
1
2
1
f
g
A
B
A
B
f 为单射，g不是单射.
集合映射基本术语
定义5 满 射 f : A B,若f ( A) B,则称f 为满射.
例1 设f ( x) x , g( x) x10 , h( x) x 3,求f g h. 1 x
解： f g h( x) f (g(h( x))) f (g( x 3))
f
((
x
3)10
)
(
( x
x
3)10 3)10
. 1
例 2 设f ( x) ax b,求f n( x).
xn1 , xn2 , xn3 , xn4 ................ ..................................................
重新排列：x11 , x21 , x12 , x31 , 1, 2, 3, 4,
可见 S N*, 结论得证.
希尔伯特旅馆
集合势的定义不基本性质
集合的分类 定义（至多可数集）
设Nn 1, 2, , n
1 n N * , 使A~Nn ,则称A为有限集
2 若A不是有限集,则称A为无限集
3 若A ~ N * ,则称A为可数集
不是有限集和可数集的集合称为不可数集
有限和可数集统称为至多可数集
集合
有限集
可数集
至多可数集
例2 设A是[0,1]上有理数的全体,则A是可数集.
证明: 将A的元素排列
0, 1, 1, 2
得到排列： 0,1, 1 , 1 , 2 , 1 , 2 , 3 , 233444
12 ,,
33 1 ，2 ，3 ， 444
去掉重复得到排列： 0,1, 1 , 1 , 2 , 1 , 3 ,
23344
1，2，3，4，5，6 ，7，
1 ，2 ，3 ，4 ，因此集合[0,1]中 5555
有理数是可数集.
思考题目：有理数集合是可数集
集合势的定义不基本性质(1)
例3 证明(0,1)与[0,1]有相同的势.
证明： A [0,1]
:
A1
{0,1, 1 , 1 , 1 234
,1, n
} , A2 A A1
111
B
(0,1)
:
集合映射基本术语
x
g
g( x)
f ( g( x)) f
输入
输出
g
f
x
g( x)
f ( g( x))
fg
推广：fi : Ai Ai1 , i 1, 2, 3, 4, , n,
f1 f2
fn f1 f2
fn1 fn x
特殊情况：f : A A, f n f f
f
集合映射基本术语
x
yB
f 1
f 1( y)
f
y
I A, IB分别称为A, B上的恒等映射.
集合映射基本术语
求逆映射丼例 例1 求f ( x) x3 2的逆映射(反函数)
步一:将映射写成 y x3 2 步二:解出x x3 y 2 x 3 y 2 步三:x与y位置互换 y 3 x 2 因此逆映射(反函数) f 1( x) 3 x 2
解: f 2( x) a ax b b a2 x ab b a2 x a 1 b
f 3( x) a a2 x ab b b a3 x a2 a 1 b
数学归纳法：
f n( x) an x (an1 an2 a 1)b.
集合映射基本术语
复合丼例1 y cos(ex )
希尔伯特旅馆
有一家旅馆,内设有有限个房间,而所有的房间都已客满.这 时来了一位新客,想定个房间,“对丌起”旅馆主人说“所 有房间都住满了。”
希尔伯特旅馆
现在设想另一家旅馆,内设有无限个房间,所有的房间也都 客满了.这时有一位新客,想订个房间.“丌成问题！”旅馆 主人说。 他就把1号房间的旅客移到2 号房间,2号房间的旅客移到3 号房间…,这样继续下去.新客 被安排住进了已被腾空的1号 房间。
f2 ( x) x, x A2
f2是A2到B2的一一映射.
集合势的定义不基本性质(2)
集合势的基本结论
定理1 可数集的任何无限子集是可数集
定理2 En为可数集序列,则S En可数集
n1
定理3 全体有理数集合为可数集
定理4 实数集合是不可数集
集合势的定义不基本性质
定理2证明:设En是至多可数集合, n 1, 2, 3, .
集合势的定义不基本性质
集合势的定义不基本性质
集合势的定义 如果集合A与B间存在一一映射, 则称A与B有相同的势或等价.
记为 A ~ B
集合等价的性质
自反性： A ~ A
对称性： 如 A ~ B, 则 B ~ A. 传递性： 如 A ~ B, B ~ C, 则 A ~ C.
利用等价关系可以对集合进行分类 ——“等价类” “势是一种相同的特征”
定义6 一一对应 f : A B,既是单射,又是满射.
1
x
2
y
3
z
4
e
5
w
A B
1
x
2
y
3
z
4
e
5
w
A B
集合映射基本术语
定义7 映射的逆像
设f : A B, F B,则A的子集
f 1( F ) { x A : f ( x) F }.
称为F的逆像.
Q
1
W
2
E
3
R
4
T
f 1 Q 1 f 1 E f 1 R 3,4
这样安排所有的旅客而且空出了1,6, 10,12,14…这些丌能表示为 奇素数的K次幂的房间。
希尔伯特旅馆 无穷个可数集的并 可数集
集合势的定义不基本性质
作业题目
1)
y
sin
x,
2
,
2
1,1
2)
y
tan
x
2,1,1来自,3)证明：2
,
2
1,1
, 1,1
, a,b a,b a,b a,b 0, ,0
无限集 不可数集
集合势的定义不基本性质
例 1 设Z是整数的全体,则Z是可数集. 证明: 将Z的元素排列
0,1, 1, 2, 2, 3, 3,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
定义: f (n)
n
n 2k
2
, k 1, 2,
(n 1) n 2k 1
2
则f 定义了N * Z的一一映射,得证.
集合势的定义不基本性质
可数集+可数集 可数集
希尔伯特旅馆
此时又来了无穷多个旅游大巴,每个旅游大巴有无穷多个旅客, 老板丌慌丌忙,“好的，先生们请再等一会儿.”旅馆主人说.
解决问题方案：让原来的n号房间客人搬到2的n次方 号房间
希尔伯特旅馆
将所有奇素数排成一 aij：第i辆大巴第 j 位乘客，j 1,2,3,4, 列也是一个无穷集合. aij：aij安排第i个奇素数的j次幂房间
第1讲 集合不集合基本性质
集合映射基本术语
几个基本定义
定义1 设A, B为两个集合,如果f 是一种规则，
对x A, 在B中有唯一元素f ( x)与之对应,
称f 是A到B的映射.
f :AB
A称为f 的定义域.
A
B
f
x
f (x)
f ( x) B, 称为x在 f 下的像.A中元素x的像的全体称
为映射的值域记为f A y y B, y f x , x A