函数的概念与表示复习讲义与习题.doc
专题3.1 函数概念及其表示(解析版)
专题3.1函数概念及其表示【知识储备】1．函数的概念一般地，设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x 在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .2．函数的定义域、值域(1)在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．必备技巧函数的概念(1)函数的定义要求第一个非空数集A 中的任何一个元素在第二个非空数集B 中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B 中有可能存在与A 中元素不对应的元素．(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．同一函数只需判断定义域和对应关系即可.一、单选题1．若函数()y f x =的定义域M ＝{x |22x -≤≤}，值域为N ＝{y |02y ≤≤}，则函数()y f x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】A 中定义域是{x |－2≤x ≤0}，不是M ＝{x |－2≤x ≤2}，故错误；C 中图象不表示函数关系，因为存在一个x 对应两个y ，不满足函数定义；D 中值域不是N ＝{y |0≤y ≤2}.只有B 中的定义域和值域满足题意，且表示函数关系，符合题意.故选：B.2．设{}{}|02,|12M x x N y y =≤≤=≤≤，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合M 到N 的函数关系的有()个A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】由函数的定义知，①不能表示集合M 到N 的函数关系，因为图中y 的范围是[0，2]；②不能表示集合M 到N 的函数关系，因为图中y 的范围是[0，2]；③不能表示集合M 到N 的函数关系，因为对于一个x ，可能有两个y 值与之对应；④能表示集合M 到N 的函数关系.故满足题意的有④，共1个.故选：A.3．函数y =13x -的定义域为（）A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(－∞，3)∪(3，＋∞)C ．3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭(3，＋∞)D ．(3，＋∞)【答案】C【解析】要使函数y =＋13x -有意义，则所以x x -≥-≠⎧⎨⎩23030，解得32x ≥且3x ≠，所以函数y =＋13x -的定义域为3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭∪(3，＋∞).故选：C.4．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A ．2()1x xf x x +=+与()1g x x =-B ．()2f x x =与()g x =C ．()f x =()2g x =D ．y =y =【答案】B【解析】A 中，()f x 的定义域为{|1}x x ≠-，()g x 的定义域为R ，故A 错误；B 中，()2()g x x f x ==，B 正确；C 中，()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为[0,)+∞，故C 错误；D 中，y =[1,)+∞，由210x -≥可得y =(,1][1,)∞∞--⋃+，D 错误.故选：B5．已知函数()f x 与x 的值对应如下表，x 123456()f x 51015202530那么函数()y f x =的定义域为（）A ．{}1,2,3,4,5,6B ．{}15,20,25,30C ．{}1,2,3,4D ．{}4,5,6【答案】A【解析】由题意知：函数()y f x =的定义域为{}1,2,3,4,5,6.故选：A.6．下列关于函数与区间的说法正确的是（）A ．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集B ．函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了C ．数集都能用区间表示D ．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应【答案】D【解析】对于A ，函数的定义域和值域均为非空数集，A 错误；对于B ，若函数的定义域和值域均为R ，对应法则可以是y x =，也可以是2y x =，B 错误；对于C ，自然数集无法用区间表示，C 错误；对于D ，由函数定义可知，一个函数值可以有多个自变量值与之对应，D 正确.故选：D.7．已知函数()1f x x x=+，则()()1010f f -+的值是（）．A ．20-B ．0C ．1D ．20【答案】B【解析】()1=10+=10.11010f ，()1=10+=10.01101f ----则()()10.110.110010f f -=-+=+故选：B8．已知函数32231f x x x ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，则()2f -等于（）A ．4-B ．2-C ．1-D ．0【答案】D【解析】由题意，函数32231f x x x ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，令221x =--，解得0x =，令0x =，可得()20f -=.故选：D.9．已知函数()()()F x f x g x =+，其中()f x 是x 的正比例函数，()g x 是x 的反比例函数，且119,(1)93F F ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则(2)F =（）A ．3B ．8C ．9D ．16【答案】C【解析】根据题意设(),()mf x kxg x x ==，则()()()m F x f x g x kx x=+=+，因为119,(1)93F F ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以131939k m k m ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得36k m =⎧⎨=⎩，所以6()3F x x x =+，所以6(2)3292F =⨯+=，故选：C10．已知t R ∈，函数()2,23,2x f x x t x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩，若((9))4=f f ，则t =（）A ．0B ．2C ．5D ．6【答案】B【解析】因为()921f ==，所以()1134422f t t =-+=⇒=-=，故选：B11．函数()21xy x e =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 由题意，函数()()21x f x x e =-，因为()10f =，即函数()f x 的图象过点(1,0)，可排除A 、B 项；又因为2(2)30f e --=>，可排除D 项，故选：C.12．设函数221,1()3,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩，则1(2)f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（）A ．1516B ．89C ．2716-D ．18【答案】B【解析】22111118()()1()1(2)2233399f f f f ⎛⎫===-=-= ⎪+-⎝⎭，故选：B 13．某高中生周末自主学习时，进行了一次数学探究活动，他将一天的日期与星期用有序数对表示，比如某个月10日，11日是周末，就分别用(10,6)和(11,7)表示，然后在平面直角坐标系内描出对应的点.他查阅了某年七月份的日历，利用数学软件在平面直角坐标系内描出了31个点，经过思考，他构造了函数()f x ，使得这些点都在()f x 的图象上，若(4)1f =，则下列叙述正确的是（）A ．该月12日是星期二，有五天是星期二B ．该月12日是星期一，有四天是星期二C ．该月23日是星期六，有五天是星期六D ．该月23日是星期二，有四天是星期二【来源】安徽省阜阳市2021-2022学年高三上学期期末教学质量统测文科数学试题【答案】C【解析】由题意及(4)1f =可知，7月4日是星期一，列表如下：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日12345678910111213141516171819202122232425262728293031可知选项C 正确.故选：C.14．设函数，若()()()20f f a f a -+=，则实数a 的值为（）A1B ．1-C 1D ．1+【答案】B【解析】令()f a t =，()()()20f f a f a -+=，则()2f t t =-1°0t ≤时，222t t t +=-，则220t t ++=无解．2°0t >时，22t t -=-，∴1t =，∴()1f a =0a ≤时，221a a +=，则1a =；0a >时，21a -=无解综上：1a =.故选：B ．15．已知函数202()282x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，，，若()(2)(0,)f a f a a ∞=+∈+，，则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．2B ．516C ．6D ．172【答案】A【解析】因为函数202()282x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，，，且()(2)(0,)f a f a a ∞=+∈+，，当02a <<时，()2228a a a +=-++，即2340a a +-=，解得4a =-或1a =，当2a ≥时，()28228a a -+=-++，无解，综上：1a =，所以()112f f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选：A16．设函数()()22230x a x f x x x a x ⎧-≤⎪=⎨-++>⎪⎩，，，若(0)f 是函数()f x 的最小值，则实数a 的取值范围是()A ．[﹣1，2]B ．()1,2-C ．[)0,2D ．[0，2]【答案】D【解析】由题意，不妨设2()()g x x a =-，2()23h x x x a =-++，①当0a <时，由一元二次函数的性质可知，2()()g x x a =-在[,0]a 上单调递增，故对于[,0]x a ∀∈，()()(0)(0)f x g x g f =<=，这与(0)f 是函数()f x 的最小值矛盾；②当0a =时，2()g x x =，22()23(1)2h x x x x =-+=-+，由一元二次函数的性质可知，2()g x x =在(,0]-∞单调递减，故对于(,0]x ∀∈-∞，()()(0)(0)0f x g x g f =>==，当0x >时，22()()23(1)2f x h x x x x ==-+=-+在1x =时取得最小值2，从而当0a =时，满足(0)f 是函数()f x 的最小值；③当0a >时，由一元二次函数性质，2()()g x x a =-在(,0]-∞上单调递减，故对于(,0]x ∀∈-∞，2()()(0)(0)f x g x g f a =>==，当0x >时，22()()23(1)2f x h x x x x a ==-+=-++在1x =时取得最小值2a +，若使(0)f 是函数()f x 的最小值，只需22a a ≤+且0a >，解得，02a <≤.综上所述，实数a 的取值范围是[0,2].故选：D.17．已知函数()()1,1,,1xa x x f x a x ⎧-≤=⎨>⎩在x ∈R 上有最大值，那么实数a 的取值范围为（）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题意可知()f x 在区间(],1-∞上是增函数，在区间()1,+∞上是减函数，且最大值在1x =处取得则01,10,1,a a a a <<⎧⎪->⎨⎪-≥⎩∴102a <≤.故选：D18．定义在R 上的函数()f x 满足()()6f x f x +=，当31x -≤<-时，2()(2)f x x =-+，当13x -≤<时，()f x x =，则(1)(2)(3)(2023)f f f f +++⋅⋅⋅+=（）A ．336B ．338C ．337D ．339【答案】B【解析】：因为当13x -< 时，()f x x =，所以(0)0f =，f （1）1=，f （2）2=，又因为()()6f x f x +=，所以函数的周期为6，f （6）(0)0f ==，当31x -<- 时，2()(2)f x x =-+，所以f （3）(3)1f =-=-，f （4）(2)0f =-=，f （5）(1)1f =-=-，所以f （1）f +（2）f +（3）f +（4）f +（5）f +（6）1=，故f （1）f +（2）f +（3）()()()()()()()(2023)337123456f f f f f f f f +⋯+=++++++（1）338=．故选：B ．19．设函数1121f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的表达式为（）A ．()111x xx +-≠B ．()111x xx +-≠C ．()111xxx +≠--D ．()211xx x ≠-+【答案】B 【解析】令()111t t x=+≠，则可得11x t =-()1t ¹所以()()211111t f t t t t +=+=-≠-，所以()()111xf x x x +-≠=故选：B 20．已知22,0()32,0x x f x x x ⎧-=⎨->⎩，若()f x ax 在[1,1]x ∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(,1][0,)-∞-+∞B ．[0,1]C ．[1,0]-D ．(1,0)-【答案】C【解析】作出()y f x =，y ax =在[]1,1-上的图象如下图所示：因为()f x ax 在[]1,1x ∈-上恒成立，所以()y f x =的图象在y ax =的图象的上方（可以部分点重合），且()1121f -=-=，令320x -=，所以23x =，所以()21,1,,03A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据图象可知：当y ax =经过点()1,1A -时，a 有最小值，min 1a =-，当y ax =经过点2,03B ⎛⎫⎪⎝⎭时，a 有最大值，max 0a =，综上可知a 的取值范围是[]1,0-，故选：C.二、填空题21．已知函数()f x 对于任意的正实数x ，y 满足()()()f xy f x f y =+，且()31f =，则()81f =______．【答案】4【解析】由题可知()()()9332f f f =+=，()()()81994f f f =+=．故答案为：4.22．函数22()1x f x x =+，则11(1)(2)(3)(2012)23f f f f f f ⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12012f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=_______．【答案】40232或2011.5【解析】∵2222222111()()111111x x x f x f x x x xx ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=++=+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，且1(1)2f =∴1114023(1)(2)(3)(2012)2320122f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦故答案为：40232．23．已知函数()25,24,2x x f x x m x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩．若[5f f =，则m =______．【答案】3【解析】由已知752f =-=．((2)25f f f m ==+=，3m =，故答案为：3．24．设函数()()11010(2)x x x xf x ⎧⎪-=≥⎨<⎪⎪⎪⎩，若()f a a =，则实数a 的值为_____．【答案】1-【解析】由题意知，()f a a =；当0a ≥时，有112a a -=，解得2a =-(舍去)；当0a <时，有1a a=，解得1a =(舍去)或1a =-．所以实数a 的值是：1a =-．故答案为：1-.25．已知函数()()31,11)x x f x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则((4))f f =_____.【答案】98或1.125【解析】∵()()31,11)x x f x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，()142f ∴=，因此，()()311941228f f f ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：98.26．已知函数(21)y f x =+的定义域为[]1,2-，则函数(1)=-y f x 的定义域为_________.【来源】辽宁省沈阳市第二中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题【答案】[]0,6【解析】函数(21)y f x =+的定义域为[]12-，，即12x -≤≤，所以1215x -≤+≤，所以115x -≤-≤，即06x ≤≤，所以函数的定义域为[]0,6.故答案为：[]0,6.27．若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是__________．【答案】[0,4)【解析】()f x 的定义域是R ，则210ax ax ++>恒成立，0a =时，2110ax ax ++=>恒成立，0a ≠时，则20Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<，综上，04a ≤<．故答案为：[0,4)．28．函数()2291163,12x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，，若()()1f x f ≥恒成立，则实数a 的取值范围为__________．【答案】[2,4]【解析】当1x >时，21632x a x +-28833312222x a a a x x =++-≥=-，当且仅当28x x=即2x =时取等号，函数()2291163,12x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，，若()()1f x f ≥恒成立，则()()1221a f f ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩，即12312102a a a ⎧≥⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩，解得24a ≤≤，故答案为：[2,4].29．若方程()()(]2,,21,,x x t f x x x t ∞∞⎧∈+⎪=⎨-∈-⎪⎩，若方程()3f x =无解，则实数t 的取值范围是______．2t ≤<【解析】当t =x t ≤时，()2113f x x =-≤<，当x t >时，方程()223f x x t =>=，方程()3f x =无解,当2t ≥时，x t ≤时，()2121f x x t =-≤-，方程()3f x =有解2x =,不符合题意.当t <时，x t ≤时，()212113f x x t =-≤-<-<,()3f x =无解，当x t >时，方程()22,f x x t x =>=时，方程()3f x =有解,不符合题意.2t <<时，x t ≤时，()21213f x x t =-≤-<,()3f x =无解，当x t >时，方程()223f x x t =>>时，方程()3f x =无解.综上，方程()3f x =无解，则实数t2t ≤<.2t ≤<30．设0a >，(),3313,333x a a x a f x x a x a x a ⎧+-<<⎪=⎨+≤-≥⎪⎩或，若()()1f x f x -<恒成立，则实数a 的取值范围是______.【答案】10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】(),3,33,313,3313,3333x a a x a x a a x a x a a x a f x x a x a x a x a x a x a ---<<-⎧⎧+-<<⎪+-≤<⎪⎪==⎨⎨+≤-≥⎪⎪+≤-≥⎩⎪⎩或或作出函数()y f x =的图像，向右平移一个单位得到()1y f x =-的图像，如图所示.要使()()1f x f x -<恒成立，必有()91a a ---<，即18a <，又0a >，所以108a <<.故答案为：10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭。
函数的概念及其表示方法知识点及题型总结
函数的概念及其表示方法一、函数的基本概念（一）函数的有关概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域。
函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f .(1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集.（2）A ：定义域；B ：值域，其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则 ， x ∈A ， y ∈B（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f（二）已学函数的定义域和值域1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a ：定义域R, 值域R;2．反比例函xk x f =)()0(≠k ：定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ：定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2 （三）函数的值：关于函数值 )(a f例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”3︒)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数（四）函数的三要素： 对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)(只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数（五）区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．【定义域补充】求函数的定义域时列不等式组的主要依据是（1）分式的分母不等于零；（2）偶次方根的被开方数不小于零；（3）对数式的真数必须大于零;（4）指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域.)例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(.变式：求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x11111++ ④x x x x f -+=0)1()( ⑤373132+++-=x x y例2 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围例3 已知函数)(x f =32x -5x+2，求f(3), f(-2), f(a+1).变式：已知f (x )=x 2-1 g (x )=1+x 求f [g (x )]例4下列函数中哪个与函数x y =是同一个函数？ ⑴()2x y =；⑵33x y =；⑶2x y =例5 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ①3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y ③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f【抽象函数定义域的求法】 例6 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域变式：若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求f （x+1）、f （2x ）的定义域；若函数y=f （x -1）的定义域为[-1，1]，求f （x ）的定义域二、函数的表示法【知识要点】1、常用的函数表示法及各自的优点（1）函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于x 轴的直线与曲线最多有一个交点。
函数概念及其表示(知识点总结、例题分类讲解)
龙文教育教师1对1个性化教案教导处签字：日期：年月日函数及其表示【要点回顾】 函数的概念 1.函数的概念定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意x ，在集合B 中都有唯一的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为 .2.函数的定义域与值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域. 函数的三要素：定义域、值域和对应法则 3.区间的概念4.判断对应是否为函数5.定义域的求法6.函数值域的求法7.复合函数（抽象函数）定义域的求法函数的表示法1．函数的三种表示法图象法、列表法、解析法2．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
3.映射的概念设B A 、是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，对于集合A 中的任意一个元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应B A f →:为从集合A 到集合B 的一个映射，通常记为B A f →: ，f 表示对应法则.【例题讲解】考点一：函数与映射概念考查例1 判断下列图象能表示函数图象的是（ ）练习1：函数()y f x =的图象与直线x = a 的交点个数 （ ）A.只有一个B.至多有一个C.至少有一个D.0个练习2：下述两个个对应是A 到B 的映射吗？ （1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；（2）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →=(A) x y 0 xy 0练习3：下列是映射的是（ ）图1图2 图3图4 图5(A)图1、2、3 (B)图1、2、5 (C)图1、3、5 (D)图1、2、3、5函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致.例2 指出下列各函数中，哪个与函数y x =是同一个函数： （1）2x y x=； （2）2y x = （3）s t =．练习1：判定下列各组函数是否为同一个函数：（1）()f x x =， 33()f x x （2）()1f x x =+，21()1x f x x -=-练习2：试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）2)(x x f =，33)(x x g =；（2）x xx f =)(，⎩⎨⎧<-≥=;01,01)(x x x g （3）x x f =)(1+x ，x x x g +=2)(；（4）12)(2--=x x x f ，12)(2--=t t t g（5）1212)(++=n n x x f ，1212)()(--=n n x x g （n ∈N *）；考点二：函数定义域题型1：求有解析式的函数的定义域（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围，实际操作时要注意：① 分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③ 偶次根式中被开方数应为非负数；④ 零指数幂中，底数不等于0；⑤ 负分数指数幂中，底数应大于0；⑥ 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写.例１ 求下列函数的定义域：（１）()11f x x =+； （２）()f x =例2 设()213x f x -=，求()0f ，()2f ，()5f -，()f b ．练习1：函数()13f x x =-的定义域为（ ）A ．[)(]22+∞-∞-，，B ．[)()2,33+∞，C ．(][)()22,33-∞-+∞，，D ．(]2-∞-，练习2：函数xx x x f -+=0)1()(的定义域是（ ）A.{}0|<x xB. {}0|>x xC. {}10|-≠<x x x 且D. {}10|-≠≠x x x 且题型2：求复合函数和抽象函数的定义域（选讲） 1、复合函数的定义如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即()y f u =，()u g x =，那么y 关于x 的 函数(())y f g x =叫做函数()y f u =（外函数）和()u g x =（内函数）的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y 。
高一数学上册第一章函数及其表示知识点及练习题(含答案)
函数及其表示（一）知识梳理1．映射的概念设B A 、是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射,记作f(x).2．函数的概念(1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对A 中的 任意数 x ，在集合B 中都有 唯一确定 的数y 和它对应，则这样的对应关系叫做从A 到B 的一个函数，通常记为___y=f(x),x ∈A(2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， 对于的函数值的集合所有的集合构成值域。
(3)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应法则3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
（二）考点分析考点1：判断两函数是否为同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。
考点2：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f1.2函数及其表示练习题（2）一、选择题1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f .A. ⑴、⑵B. ⑵、⑶C. ⑷D. ⑶、⑸2. 函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ）A. 1B. 0C. 0或1D. 1或23. 已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ）A. 2,3B. 3,4C. 3,5D. 2,54. 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（ ）A. 1B. 1或32C. 1，32或 D.5. 为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移， 这个平移是（ ）A. 沿x 轴向右平移1个单位B. 沿x 轴向右平移12个单位 C. 沿x 轴向左平移1个单位 D. 沿x 轴向左平移12个单位 6. 设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13二、填空题1. 设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 . 2. 函数422--=x x y 的定义域 . 3. 若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 .4.函数0y =_____________________. 5. 函数1)(2-+=x x x f 的最小值是_________________.三、解答题1.求函数()f x =.2. 求函数12++=x x y 的值域.3. 12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根，又2212y x x =+，求()y f m =的解析式及此函数的定义域.4. 已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值.参考答案（2）一、选择题 1. C 2. C 3. D 4. D∴2()3,12,f x x x x ===-<<而∴ x =5. D 平移前的“1122()2x x -=--”，平移后的“2x -”， 用“x ”代替了“12x -”，即1122x x -+→，左移 6. B [][](5)(11)(9)(15)(13)11f f f f f f f =====.二、 1.(),1-∞- 当10,()1,22a f a a a a ≥=-><-时，这是矛盾的； 当10,(),1a f a a a a<=><-时； 2. {}|2,2x x x ≠-≠且 240x -≠3. (2)(4)y x x =-+- 设(2)(4)y a x x =+-，对称轴1x =， 当1x =时，max 99,1y a a =-==-4. (),0-∞ 10,00x x x x -≠⎧⎪<⎨->⎪⎩ 5. 54- 22155()1()244f x x x x =+-=+-≥-. 三、 1. 解：∵10,10,1x x x +≠+≠≠-，∴定义域为{}|1x x ≠-2. 解： ∵221331(),244x x x ++=++≥∴y ≥，∴值域为)+∞ 3. 解：24(1)4(1)0,30m m m m ∆=--+≥≥≤得或，222121212()2y x x x x x x =+=+-224(1)2(1)4102m m m m =--+=-+∴2()4102,(03)f m m m m m =-+≤≥或.4. 解：对称轴1x =，[]1,3是()f x 的递增区间，max ()(3)5,335f x f a b ==-+=即min ()(1)2,32,f x f a b ==--+=即∴3231,.144a b a b a b -=⎧==⎨--=-⎩得。
3.1 函数的概念及其表示(学生版)
第三章《函数概念与性质》3.1函数的概念及其表示【知识梳理】知识点一函数的有关概念函数的定义设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数函数的记法y ＝f (x )，x ∈A定义域x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域值域函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域知识点二同一个函数一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．知识点三区间1．区间概念(a ，b 为实数，且a<b )定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b }闭区间[a ，b ]{x |a <x <b }开区间(a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间[a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ]2．其他区间的表示定义R {x |x ≥a }{x |x >a }{x |x ≤a }{x |x <a }区间(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )知识点四函数的表示方法知识点五分段函数1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．【基础自测】1．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是()A．1B．0C．－1D．22．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝3x＋2B．f(x)＝3x＋1C．f(x)＝3x－1D．f(x)＝3x＋43．函数y＝x1＋x的大致图象是()4．函数y＝6－x|x|－4的定义域用区间表示为________．5．已知f (n )－3，n ≥10，n ＋5)，n <10，则f (8)＝________.【例题详解】一、函数关系的判断例1(1)下列各式中，表示y 是x 的函数的有（）①()3y x x =--；②y =；③1,01,0x x y x x -≤⎧=⎨+≥⎩；④1,0,x y x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个(2)设{|04}M x x =≤≤，{|40}N y y =-≤≤，函数()f x 的定义域为M ，值域为N ，则()f x 的图象可以是（）A ．B ．C ．D ．跟踪训练1下列对应中：（1）x y →，其中{}21,1,2,3,4y x x =+∈，{}10,y x x x N ∈<∈；（2）x y →，其中2y x =，[)0,x ∈+∞，R y ∈；（3）x y →，其中y 为不大于x 的最大整数，x R ∈，y Z ∈；（4）x y →，其中1y x =-，*x ∈N ，*y N ∈.其中，是函数的是（）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（3）（4）二、求函数的定义域、函数值命题角度1求函数的定义域例2(1)函数y =）A ．[]3,1-B ．[]1,3-C ．][(),31,-∞-⋃+∞D ．][(),13,∞∞--⋃+(2)已知函数()1f x +的定义域为[1,7]，则函数()(2)h x f x =）A ．[4,16]B ．(,1][3,)-∞⋃+∞C ．[1,3]D ．[3,4]跟踪训练2(1)函数0()(3)f x x =+的定义域是（）A ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞B ．(,3)(3,3)-∞--C ．(,3)-∞-D ．(,3)-∞(2)已知函数()f x ，则函数()()13y f x f x =--的定义域为（）A ．()2,11B ．()2,13C ．()2,15D ．()4,11命题角度2求函数值例3(1)已知函数()1f x x x=+，则()()1010f f -+的值是（）．A ．20-B ．0C ．1D ．20(2)已知2211x f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，则(3)f =_________．跟踪训练3(1)已知定义域为R 的函数()23f x x =-，()3g x x =，则()()1f g -=________.(2)已知函数3()3=+++cf x ax bx x，若()4f t =，则()f t -=（）A ．4-B ．2-C ．2D ．0三、同一个函数的判定例4(1)下列四组函数，表示同一函数的是（）A ．()1f x x =+，()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩B ．()f x =()g x x=C ．()f x x =，()2x g x x=D ．()f x =，()g x 跟踪训练4和函数2()f x x =是同一函数的是（）A ．2()(1)f x x =+B ．()f x x =C ．3()x f x x=D ．(){,0,(0)()x x x x x x f x -≤>=四、求函数解析式命题角度1换元法例5(1)已知1111f x x⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()f x =________________．(2)若函数11x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则()f x =____________．跟踪训练5(1)已知21,1x f x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭求()f x =____________．(2)已知()21232f x x x +=++，求()f x 的解析式．命题角度2配凑法例6(1)若1)f x +=+，则()f x 的解析式为（）A ．2()f x x x =-B ．2()1(0)f x x x =-≥C ．2()1(1)f x x x =-≥D ．2()f x x x=+(2)已知3311()f x x x x+=+，则()f x =_____.(3)已知f (x －1x )＝x 2＋21x ，则f （x +1x）＝________.跟踪训练6(1)已知2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，求()f x .(2)已知22111(x x f x x x++=+，求()f x 的解析式.命题角度3待定系数法例7(1)已知f （x ）是一次函数，且满足()()3121217f x f x x +--=+，求f （x ）.(2)已知()f x 是二次函数，且满足(0)1f =，(1)()2f x f x x +-=，求()f x 解析式.跟踪训练7(1)已知()f x 是一次函数，且()332f x x -=-，求()f x ．(2)已知一次函数()f x 满足()()312237f x f x x =+--+，求函数()f x 的解析式．(3)已知()f x 是二次函数，且满足(0)1,(1)()2f f x f x x =+=+，求函数()f x 的解析式．命题角度4构造方程组法例8(1)若函数()f x 满足()1221f x f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()2f =（）A ．13-B ．23C ．83D ．12(2)已知()f x 满足()()23f x f x x +-=，求()f x 的解析式.跟踪训练8(1)已知()1221f x f x x ⎛⎫⎪⎝=⎭+-+，求函数()f x 的解析式．(2)已知2()2()f x f x x x +-=-，求函数()f x 的解析式.五、函数的图象例9作出下列函数的图象.(1)1({21012})y x x =-∈--,,,,；(2)211x y x +=-；(3)2|2|1y x x =-+．(4)已知函数()22,23,2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩.(i)在所给坐标系中作出()y f x =的简图；(ii)解不等式()12f x <.跟踪训练9作出函数()|2||5|f x x x =+--的图像．六、分段函数求值例10(1)已知函数()21,0x x f x x ⎧-≤⎪=>，若()3f a =，则a 的值为（）AB ．2C ．9D ．-2或9(2)已知函数()f x 的解析式22,1(),122,2x x f x x x x x +≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩，(i)求12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(ii)若()2f a =，求a 的值；跟踪训练10(1)已知函数()2,0,2,0.x x a x f x x ⎧+≤=⎨>⎩若()14f f ⎡⎤-=⎣⎦，且1a >-，则=a （）A ．12-B ．0C ．1D ．2(2)已知函数()223,11,1111,1x x f x x x x x⎧⎪+<-⎪=+-≤≤⎨⎪⎪+>⎩.(i)求((2))f f -的值；(ii)若()032f x =，求0x 的值.七、解分段函数不等式例11(1)已知()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，满足()()f a f a <-，则a 的取值范围是（）A ．()(),20,2-∞-B ．()(),22,∞∞--⋃+C ．()()2,00,2-⋃D ．()()2,02,-+∞ (2)设函数()22,,,.x x a f x x x a ⎧<=⎨≥⎩若()11>f ，则a 的取值范围为______．跟踪训练11(1)已知函数22,1,()11,1,x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩,则使得()1f x ≥的x 的取值范围为（）A ．[]1,1-B ．()1,1-C ．()1,-+∞D ．[)1,-+∞(2)已知函数242,1()23,1x x x f x x x ⎧-+<=⎨-≥⎩，则满足不等式()()21f a f a <+的a 的取值范围是___________.八、分段函数的实际应用例12某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为2000万元，每生产()*Nx x ∈百台，需另投入生产成本()R x 万元．当年产量不足46百台时，()23260R x x x =+；当年产量不小于46百台时，()4900501483020R x x x =+-+．若每台设备售价5万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完．(1)求该企业投资生产这批新型机器的年利润所()W x （万元）关于年产量x （百台）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；(2)这批新型机器年产量为多少百台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润．跟踪训练12电子厂生产某电子元件的固定成本是4万元，每生产x 万件该电子元件，需另投入成本()f x 万元，且2132,04,4()64938,420.x x x f x x x x ⎧+-<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩已知该电子元件每件的售价为8元，且该电子加工厂每月生产的这种电子元件能全部售完．(1)求该电子厂这种电子元件的利润y （万元）与生产量x （万件）的函数关系式；(2)求该电子厂这种电子元件利润的最大值．【课堂巩固】1．（多选）给出下列四个对应，其中构成函数的是（）A ．B ．C ．D ．2．（多选）下列对应关系f ，能构成从集合M 到集合N 的函数的是（）A ．13,1,22M ⎧⎫=⎨⎩⎭，{6,3,1}N =--，162f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(1)3f =-，312f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．{|1}M N x x ==≥-，()21f x x =+C ．{1,2,3}M N ==，()21f x x =+D ．M =Z ，{1,1}N =-，1,,()1,.x f x x -⎧=⎨⎩为奇数为偶数3．若函数()f x =()21f x -的定义域为（）A ．()0,2B ．[)(]2,00,2-U C ．[]22-,D ．[]0,24．（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）A ．()f x x =与()g x =B ．()1f x x =+与()211x g x x -=-C ．()xfx x =与()1,01,0x g x x >⎧=⎨-<⎩D ．()1f t t =-与()1g x x =-5．已知函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()3f x >的解集是（）A ．()()3,13,-+∞B ．()(),12,3-∞-C ．()()1,13,-+∞ D ．()(),31,3-∞- 6．（多选）下列选项中正确的有（）A ．2()21f x x x =-+与2()21g t t t =-+是同一函数B ．||()x f x x =与1,0()1,0x g x x >⎧=⎨-≤⎩表示同一函数C ．函数()y f x =的图象与直线2x =的交点最多有1个D ．若()|||1|f x x x =--，则102f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭7．（多选）已知函数25,1(),12x x f x x x +<-⎧=⎨-<⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为(,4)-∞C ．()11f -=D ．若()3f x =，则x8．（多选）已知函数()35,0,1,0,x x f x x x x +≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若()()2f f a =，则实数a 的值为（）A ．2-B ．43-C ．-1D ．19．求函数()f x +=______________________10．已知函数()f x 是一次函数且(())2()2f f x f x x +=--，则函数()f x 的解析式为_________．11．若()211f x x -=+，则()0f =____________，()f x =_____________.12．已知2111x f x x+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的值域为______.13．设函数21,2()1(2),2x x f x f x x ≥=⎨⎪+<⎪⎩，则(3)f -=________.14．已知函数()(4),f x x x x R =-∈.（1）把函数()f x 写成分段函数的形式；（2）在给定的坐标系内作函数()f x 的图象.15．已知函数()2,0,2,0,x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩解不等式2()f x x ≤16．已知函数f (x )＝222x x x +⎧⎪⎨⎪⎩(1)(12)(2)x x x ≤--<<≥(1)求{}f f f ⎡⎤⎣⎦的值；(2)求()3f a =，求a 的值；(3)画出函数的图像．【课时作业】1．下列函数中，相同的一组是（）A．y =2y =B．y =，y =C ．21y x =+，4211x y x -=-D ．21y x =-，4211x y x -=+2．已知函数)22f x +=+，则()f x 的最小值是（）A ．1-B ．2C ．1D ．03．设函数1121f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的表达式为（）A ．()111x xx +-≠B ．()111x xx +-≠C ．()111xxx +≠--D ．()211xx x ≠-+4．已知一次函数()f x 满足(2)2(21)94f x f x x +-+=--，则()f x 解折式为（）A ．()24f x x =--B ．()23f x x =-+C ．()34=+f x x D ．()32f x x =-+5．一次函数()f x 满足：()23f f x x ⎡⎤⎣⎦-=，则()1f =()A ．1B ．2C ．3D ．56．设22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩.若()3f x =，则x 的值为（）.A ．1BC．D ．327．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为（）A ．f (x )＝x 2－12x ＋18B ．f (x )＝213x －4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋38．已知函数2,(){2,0x x f x x x +≤=-+>，则不等式2()f x x ≥的解集是（）A ．[1,1]-B ．[2,2]-C ．[2,1]-D ．[1,2]-9．（多选）若函数()()221120x f x x x--=≠，则下列结论正确的是（）A ．1152f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()324f =-C ．()()()2411f x x x =≠-D ．()221411x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-（0x ≠且1x ≠）10．（多选）已知函数2+2,<1()=+3,1x x f x x x -≥⎧⎨⎩，则（）A ．3f f ⎡⎤=⎣⎦B ．若()1f x =-，则=2x 或3x =-C ．()2f x <的解集为()(),01,-∞⋃+∞D ．x ∀∈R ，()a f x >，则3a ≥11．若函数()1f x +的定义域为[]2,3-，则函数()()g x f x =______．12．已知集合0|A x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩，2|0,1x B x x Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，则A B = ________.13．已知()()()22112,0x g x x f g x x x -=-=≠⎡⎤⎣⎦，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________14．若一次函数()f x 满足：对任意x 都有()()221221xf x f x x x ++=++，则()f x 的解析式为______________．15．已知函数24,0(),0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩，若()4f m =，则m =___________．16．设1,()2(1),1,x f x x x <<=-≥⎪⎩若()(1)f a f a =+，则()f a =________．17．设定义在()0,∞+上的函数()g x 满足()11g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()g x =___________.18．已知()1,11x x f xx +≤⎧⎪=>，若()()1f x f x >+，则x 的取值范围是___________.19．求下列函数的定义域(1)y ；(2)y =(3)y x x=-（0a >）.20．根据下列条件，求()f x 的解析式.(1)已知)225fx =+(2)已知()()2232f x f x x x+-=-(3)已知()f x 是二次函数，且满足()()()01,12f f x f x x=+-=21．已知函数()()211x x f x x -=-；(1)作出该函数的图象；(2)写出该函数的值域．22．已知函数()21,02,036,3x x f x x x x x x ⎧<⎪⎪=-≤<⎨⎪-+≥⎪⎩(1)求()()1f f 的值；(2)若()2f a =，求a 的值；(3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数()f x 的定义域和值域．。
函数的概念、图象和性质 Word版含解析
2.1函数的概念、图象和性质命题角度1函数的概念及其表示高考真题体验·对方向1.(2017山东·1)设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=()A.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1)2.(2014江西·3)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R),若f[g(1)]=1,则a=()A.1B.2C.3D.-1新题演练提能·刷高分1.(2018北京西城期中)函数f(x)=的定义域是()A. B.C. D.2.(2018湖南邵阳期末)设函数f(x)=log2(x-1)+,则函数f的定义域为()A. B. C. D.3.(2018陕西西安一中模拟)若函数f(x)满足f(x+1)=f(x),则f(x)的解析式在下列四式中只有可能是()A.f(x)=B.f(x)=x+C.f(x)=2-xD.f(x)=lo x4.(2018广东深圳模拟)函数y=的值域为()A.,+∞B.-∞,C.0,D.(0,2]5.(2018河南南阳模拟)已知f(1-cos x)=sin2x,则f(x2)的解析式为.6.(2018北京西城期末)已知函数f(x)=若c=0,则f(x)的值域是;若f(x)的值域是-,2,则实数c的取值范围是.命题角度2函数的性质及其应用高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅱ·11)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.-50B.0C.2D.502.(2017全国Ⅰ·5)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数,若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]3.(2017北京·5)已知函数f(x)=3x-,则f(x)()A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数4.(2016山东·9)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>时,f=f,则f(6)=()A.-2B.-1C.0D.25.(2016全国Ⅲ·15)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.6.(2016天津·13)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是.新题演练提能·刷高分1.(2018河北唐山二模)设m∈R,则“m=1”是“f(x)=m·2x+2-x”为偶函数的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2018重庆二诊)已知定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(2+x)=f(-x),且f(1)=2,则f(2 018)+f(2 019)的值为()A.-2B.0C.2D.43.(2018山东烟台一模)定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则使得f(x)>f(x2-2x+2)成立的x的取值范围是()A.(1,2)B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(-∞,1)D.(2,+∞)4.(2018河北石家庄一模)已知f(x)是定义在[-2b,1+b]上的偶函数,且在[-2b,0]上为增函数,则f(x-1)≤f(2x)的解集为()A.-1,B.-1,C.-1,1D.,15.(2018安徽合肥第二次质检)已知函数f(x)=,实数a,b满足不等式f(2a+b)+f(4-3b)>0,则下列不等式恒成立的是()A.b-a<2B.a+2b>2C.b-a>2D.a+2b<26.(2018山西太原一模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=4x2+2,设g(x)=f(x)-2x2,若g(x)的最大值和最小值分别为M和m,则M+m=()A.1B.2C.3D.47.(2018湖北黄冈、黄石等八市3月联考)已知实数a>0,a≠1,函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围是.命题角度3函数图象的识别与应用高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅱ·3)函数f(x)=的图像大致为()2.(2018全国Ⅲ·7)函数y=-x4+x2+2的图像大致为()3.(2017山东·10)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是()A.(0,1]∪[2,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)∪[2,+∞) D.(0,]∪[3,+∞)4.(2016全国Ⅰ·7)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为()新题演练提能·刷高分1.(2018山东烟台期末)函数y=x2-cos x的图象大致为()2.(2018福建厦门第一次质检)已知函数f(x)的图象如图所示,则该函数的解析式可能是()A.f(x)=B.f(x)=e x ln|x|C.f(x)=D.f(x)=(x-1)ln|x|3.(2018山东济南一模)函数y=的图象大致为()4.(2018东北三省三校一模)函数f(x)=|x|+(其中a∈R)的图象不可能是()5.(2018青海西宁一模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(-x-1)=f(x-1),当x∈[-1,0]时,f(x)=-x3,则关于x的方程f(x)=|cos πx|在-上的所有实数解之和为()A.-7B.-6C.-3D.-1命题角度4函数与方程高考真题体验·对方向1.(2014北京·6)已知函数f(x)=-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)2.(2015湖南·15)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.新题演练提能·刷高分1.(2018河南濮阳一模)函数f(x)=ln 2x-1的零点位于区间()A.(2,3)B.(3,4)C.(0,1)D.(1,2)2.(2018青海西宁一模)偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,则函数g(x)=f(x)-|lg x|在x∈(0,10)上的零点个数为()A.11B.10C.9D.83.(2018北京城六区一模)已知函数f(x)=(1)当m=0时,函数f(x)的零点个数为;(2)如果函数f(x)恰有两个零点,那么实数m的取值范围为.4.(2018广东惠州4月模拟)已知函数f(x)对任意的x∈R,都有f+x=f-x,函数f(x+1)是奇函数,当-≤x≤时,f(x)=2x,则方程f(x)=-在区间[-3,5]内的所有零点之和为.。
函数的概念及相关典型例题
函数的概念及相关典型例题一、知识点1、函数的定义：给定两个非空数集A 和B ，如果按照某个对应关系f ，对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都存在唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就把对应关系f 叫做定义在集合A 上的函数，记作B A f →:，或)(x f y =，x ∈A 。
习惯上我们称y 是x 的函数。
2、函数的三要素：①、定义域：x 取值的集合A 叫做函数的定义域，也就是自变量 x 的取值围；②、对应关系（对应法则）：对应关系f 是核心，它是对自变量x 进行“操作”的“程序”，是连接x 与y 的纽带。
③、值域：就是函数值的集合，{}A x x f ∈|)(。
A BB A f →:对应关系定义域A 值域{}A x x f ∈|)( 3、常见函数的定义域和值域①．一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R;②．反比例函xkx f =)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠y y ; ③．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|24、 相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么我们就称这两个函数相等或称这两个函数为同一函数 。
（与表示自变量的字母无关，例如：12)(+=t t f 与12)(+=x x f 表示同一函数。
）5、复合函数：如果函数y =)(t f 的定义域为A ，函数t=g (x )的定义域为D ，值域为C ，则当C=A 时，称函数y =))((x g f 为f 与g 在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，t=g (x )叫函数，y =)(t f 叫外函数。
（函数的值域等于外函数的定义域）6、区间。
定 义 名 称 符 号 数 轴 表 示{x|a ≤x ≤b} 闭区间 [a ，b] {x|a<x<b} 开区间 (a ，b){x|a ≤x<b} 左闭右开区间 [a ，b ）{x|a<x ≤b}左开右闭区间(a ，b]这样实数集R 也可用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x ≥a ，x>a ，x ≤b ，x<b ，R 的实数x 的集合分别表示为[a ，+∞)，（a ，+∞）,(- ∞,b ],(- ∞,b),(-∞，+∞）。
函数的定义及表示方法(知识点+例题+习题)精编word版
一、函数的定义及表示方法1．函数的概念（1）定义：设A ，B 是非空的数集，如果按照某种对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作()y f x =，x A ∈．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集． 注意：①给x 一个值，只能得出一个y ，如2y x =是函数，2y x =就不是函数；②判断一个图像是否为函数图像，即观察直线x a =是否与图像至多有一个交点； ③函数三要素：定义域，值域，对应关系． （2）函数的表示方法：设{|02}M x x =≤≤，{|02}N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是（ ）A B C D2．函数相等如果两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．3．区间的概念（1）一般区间的表示（a ，b 为实数，且a b <）（2）特殊区间的表示注意：函数的定义域和值域必须写成集合或者区间的形式．4．分段函数定义：在()y f x =的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数通常称为分段函数． 例如：223,(,0)()21,[0,)x x f x x x +∈-∞⎧=⎨+∈+∞⎩．注意：分段函数是一个函数而不是几个函数，在定义域内不同的区间上有不同的对应法则，值域是各段函数在相应区间上函数取值集合的并集．5．映射设A，B是非空的集合，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在→为从集合A到集合B的一个映集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么就称:f A B射．→而言，集合A和B可以是任何元素的集合，函数即为数的映射．注意：对映射:f A B解析：a ，b ，c 各有2种对应方法，故总数为2228⨯⨯=种映射．练习题：设{|02}A x x =≤≤，{|12}B y y =≤≤，下列图形表示A 到B 的函数的图像的是（ ）A B C D函数||xy xx=+的图像是（）A B C D下列是从集合A到集合B的映射的是（）A B C D答案解析：11解析：当0a≥时，()222af a=-=，解得2a=当0a<时，2()32f a a=-+=，解得1a=±，又0a<，则1a=-综上2a=或1a=-时都成立．答案：1-或212解析：去绝对值化为1,(0)1,(0)x xyx x+>⎧=⎨-<⎩，观察可知D正确．答案：D13解析：根据映射的定义，集合A中的元素对应过去，有且只能有集合B中的元素与之对应，A和C选项中中出现了一对多的情况，B选项中有没有对应的情况，只有D符合定义．答案：D14解析：A中每个元素的对应方式有3种，A中有5个元素根据分布计数原理，总映射数为33333243⨯⨯⨯⨯=．答案：C数学浪子整理制作，侵权必究。
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第四讲函数的概念与表示一．知识归纳：1．映射（ 1）映射：设 A 、 B 是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合 A 中的任一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及 A到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作 f ： A→B。
（ 2）象与原象：如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射，那么集合 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象， a 叫做 b 的原象。
注意：（ 1）对映射定义的理解。
（ 2）判断一个对应是映射的方法。
2．函数（ 1）函数的定义①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是 x 的函数， x 叫作自变量。
②近代定义：设 A 、 B 都是非空的数的集合，f： x→y是从 A 到 B 的一个对应法则，那么从 A 到 B 的映射 f ： A→B就叫做函数，记作y=f(x) ，其中 x∈ A,y ∈ B，原象集合 A 叫做函数的定义域，象集合 C 叫做函数的值域。
注意：①C B; ② A,B,C 均非空（ 2）构成函数概念的三要素：①定义域②对应法则③值域3．函数的表示方法：①解析法②列表法③图象法注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。
二．例题讲解：【例 1】下列各组函数中，表示相同函数的是（）(A) f(x)=lnx 2,g(x)=2lnx (B)f(x)=a log a x (a>0 且 a≠1),g(x)=x(C) f(x)= 1 x 2 , g(x)=1 - |x| (x ∈[ - 1,1]) (D) f(x)= log a a x (a>0 且 a≠1),g(x)= 3 x3解答：选D点评：判断两个函数是否相同主要是从定义域、对应法则两个方面加以分析。
变式：下列各对函数中，相同的是（ D ）(A) f(x)= x 2, g(x)=x (B)f(x)=lgx 2 ,g(x)=2lgx(C)f(x)= lg x 1 , g(x)=lg(x - 1)- lg(x+1) (D) f(x)= 1 u 1 v 1, g(x)=vx 1 u 1【例 2】（ 1）集合 A={3,4},B={5,6,7} ，那么可以建立从 A 到 B 的映射的个数是；从B 到 A 的映射的个数是。
（ 2）设集合 A 和 B 都是自然数集合N，映射 f：A→B把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的元素2n+n，则在映射 f 下，像20 的原象是。
解答：（ 1）从 A 到 B 可分两步进行，第一步 A 中的元素 3 可有 3 种对应方法（ 5 或 6精选或 7），第二步 A 中的元素 4 也有 3 种对应方法，故不同的映射个数有3× 3=9 个；反之从B 到 A ，道理相同，有 2× 2× 2=8 个。
（ 2）原象是 4。
点评： 计算映射的个数问题一定要先搞清每个元素可对应的方法数，分步进行。
变式 1：已知集合 M={1,2,3,m},N={4,7,n4,n 2+3n},m,n ∈ N * ,映射 f ： x → y=3x+1, 是从 M 到 N 的一个函数，则 m,n 的值分别为（ B ）（ A ）2，5 （B ）5，2 （C ）3，6（D ）6，3变式 2：已知函数 y=f(x), (x ∈ [a,b]), 那么集合 {(x,y)|y=f(x),x ∈ [a,b]} ∩ {(x,y)|x=2} 中所含元素的个数是（）(A) 1(B) 0(C)0 或 1(D)1 或 2分析：本题首先要理解两个集合的意义， 这里实际上是函数y=f(x), (x ∈ [a,b]) 的图象与直线 x=2 的交点的个数，显然当 2∈ [a,b] 时由函数定义交点个数为1，当 2 [a,b] 时由函数定义交点个数为 0。
故选 C 。
点评：函数的三要素中定义域和对应法则决定值域，对应法则是核心， 它必须符合 “任一”、“唯一”的要求。
【例 3】已知 f(x)=2x - 1,g(x)=x 2 x 01 x,求 f[g(x)],g[f(x)]2 x 21 x 0(2x 1) 2 x1 解答： f[g(x)]=， g[f(x)]=23 x 01x12点评： 了解函数符号的意义，理解相互之间的关系；若函数f(x) 的定义域为 A ，则当f[g(x)] 中的 g(x) ∈ A 时， f[g(x)] 才有意义，因而求f[g(x)] 时，必须考虑 g(x) ∈ A 。
1x ( ,0)，求 f(x+1).变式： 已知 f(x)= xx 2x [0,)1 x(,1)解答： f(x+1)=x 1(x 1) 2 x[ 1,)【例 4】 (1)已知函数 f(1 -cos x)=sin 2x ，求 f(x);(2) 已知 3f(x)+5f(1 )=2x+1 ，求 f(x)x解答： (1) 令 1- cosx=t(0 ≤t ≤,则2) cosx=1- t,∴ f(1-cos x)=f(t)=sin 2x=1 - cos 2x=1 - (1- t)2=- t 2+2t,故 f(x)= - x 2+2x ( 0≤x ≤2)（ 2）由 3f(x)+5f( 1 )=2x+1 得 3f( 1 )+5f(x)= 2 +1，联立解得 f (x)5 3x1xxx8x 8 8点评： 函数 f(x) 的含义抽象，在函数的定义域与对应法则f 不变的条件下，可以变换精选自变量字母，以至变换为其它字母的代数式。
例如，f(x)=x 2+1 与 f(u+1)=(u+1) 2+1 应视为同一函数。
变式：设 f(x) 是定义在 R 上的函数，对一切x∈ R 均有 f(x)+f(x+2)=0 ，当 - 1<x≤ 1 时，f(x)=2x - 1, 求当 1<x≤ 3 时，函数 f(x) 的解析式。
解答：由 1<x≤ 3 得 - 1<x - 2≤ 1, ∵对一切x∈ R 均有 f(x)+f(x+2)=0 ，∴ f(x)= - f(x+2) ，故f(x - 2)=- f[(x - 2) +2]= - f(x) ；又 - 1<x- 2≤ 1 时， f(x - 2)= 2(x - 2)- 1=2x - 5，∴ f(x)= - f(x - 2)= - 2x+5 （ 1<x≤ 3）点评：将 1<x ≤ 3 转化成 - 1<x- 2≤ 1 再利用已知条件是解本题的关键。
4．函数的概念与表示复习题一、选择题：1．设 f 是从集合 A 到集合 B 的映射，下列四个说法：①集合 A 中的每一个元素在集合 B 中都有象；②集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象；③集合 A 中不同的元素在集合 B 中的象也不同；④集合 B 中不同的元素在集合 A 中的原象也不同，其中正确的是（）A．①和②B．②和③C．③和④ D ．①和④2 ．下列各组函数：①f ( x) x 2 ， g (x) x2 4x 4 ；② f (x) x2 1 ，x 1g( x) x 1；③ f ( x) x ，g( x) xxx 1, (x 0) ；④ f (x) 1 ，g (x)1, (x. x x 0)其中 f(x) 和 g(x) 表示同一个函数的是（）A．①B．①和②C．③D．④3．M={x|0 ≤ x≤ 2},N={y|0 ≤给y≤出的2}四个图形，其中能表示集合M到N的函数关系的（）A．0 个 B.1个 C.2个 D.3个4．某物体一天中的温度是时间t 的函数； T(t)=t 3- 3t+60 ，时间单位是小时，温度单位为o C, t=0 表示 12∶ 00，其后 t 去值为正，则上午8 时的温度为（）A． 80O C B. 112O C C. 58O C D . 18O C5．函数 y=f(x+a) 与 y=f(x+b) (a ≠b)相比较下列说法正确的是（）A．定义域相同 B. 对应法则相同 C. 值域相同 D. 以上说法都不对精选x ,x ∈ [0,π]，则 f 1）6．若 f(cosx)= ( )等于（2 21 B.C.2 A ． cosD.23 437．设函数 f (x) f ( 1) lg x 1 ，则 f(10) 值为（）xA ． 1B.- 1C. 101D.108．已知集合 A={x|0 ≤ x ≤ 6} ，B={y|0 ≤ y ≤3} ，则下列对应关系 f 中，不能看成是从集合 A 到集合 B 的映射的是 （ ）A ． f ： xy1B ． f ： x1xxy23 C ． f ： xy xD ． f ： x1 xy6二、填空题9．已知 (x,y) 在映射 f 下的象是 (2x+y,x - 2y)，则 (1,3)在 f 下的原象是。
x 3 ,( x 0)10. 已知 f (x)2, ( x 0) 则 f(2)=， f( - 2)=， f[f( - 6)]。
0, ( x 0)x 1x ，则 f ( x).11．已知 f ()x1三、解答题12．若 f : y3x 1 是从集合 A= { 1,2,3, k} 到集合 B= { 4,7,a 4 , a 2 3a} 的一个映射， 求自然数 a 和 k 的值及集合 A 和 B.2x 3, (x 1),13．已知g( x)x 2 ,( 1 x 2),且 g(t )3 ， 求 t .3x 2, ( x 2),14． 已知 n N , f nn 2(n 10) , 求f 5 和 f 10 的值 .f f n 5 (n10)15. 根据下列条件，分别求出函数的解析式（ 1）已知 f x1 x 31, 求 f(x)xx 3精选（ 2）已知af x 1 ( , , , 0, a 2 b 2 ) ，求 f(x)bf cx a b c R abx（ 3）已知二次函数f(x)=ax 2+bx+c (a,b,c 均为实数 )，满足 f( - 1)=0 ，对于任意实数x 都有f(x) ≥x，并且当 x∈(0,2)时， f(x) ≤(x1) 2 求 f(x) 的解析式。
44．函数的概念与表示复习题答案与提示一、 1． D2． A3． B4．A5． C 6.B7.A8.C精选二、 9．(1, 1) 10． 8， 0， 2 11．1 x(x 1)三、 12． a=2,k=5.A={1,2,3,5},B={4,7,10,16}1 x13．当x 1, g(x) 2x 3 1；当 1 x 2, 0 x2 4 ；当x 2, g(x) 3x 2 4.g(t) 3, g(t) t 2 3, t 3. 3 ( 1,2), t 3.14． f 5 f f 10 f 10 2 f 8 f f 13 f 11 9 f 5 9f 0 f f 5 f f 11 f 9 f f 14 f 12 10 f 0 1215．（ 1）f x x3 3x x 2 （ 2）f x c ax ba 2b 2 x(3) f x 1 x 2 1 x 14 2 4提示：f( - 1)=0 a- b+c=0, 在 f(x) ≥x，∈ (0,2) 时，f(x) (x 1) 2≤中令 x=1 得 f(1)=a+b+c=1,4故 b=0.5=a+c,对于任意实数x 都有 f(x) ≥x ax2+(b- 1)x+c ≥0恒成立，所以 a>0,⊿ ≤ 0.(b- 1)2- 4ac≤0(a 1 )2 0 ,所以 a 14 4精选。