角平分线的性质综合题
专题07 角的平分线性质(专题测试)(解析版)
专题07 角的平分线性质专题测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（共12小题，每题4分，共计48分）1．（2018春 榆林市期末）如图，AD 是ABC V 的角平分线，DF AB ⊥，垂足为F ，DE DG =，ADG V 和AED V 的面积分别为60和35，则EDF V 的面积为( )A.25B.5.5C.7.5D.12.5【答案】D【详解】如图，过点D 作DH AC ⊥于H ，AD Q 是ABC V的角平分线，DF AB ⊥， DF DH ∴=，在Rt ADF V 和Rt ADH V 中，AD AD DF DH=⎧⎨=⎩， Rt ADF V ∴≌()Rt ADH HL V ，Rt ADF Rt ADH S S ∴=V V ，在Rt DEF V 和Rt DGH V 中，DE DG DF DH =⎧⎨=⎩Rt DEF ∴V ≌()Rt DGH HL V ，Rt DEF Rt DGH S S ∴=V V ，ADG QV 和AED V 的面积分别为60和35，Rt DEF Rt DGH 35S 60S ∴+=-V V ，Rt DEF S ∴V =12.5，故选D ．【名师点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记掌握相关性质、正确添加辅助线构造出全等三角形是解题的关键．2．（2018春 天津市期中）如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 等于（ ）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．2：3：4D ．3：4：5【答案】C【详解】 本题主要考查三角形的角平分线。
三角形三条角平分线的交点为三角形的内心，即本题中O 点为△ABC 的内心，则O 点到△ABC 三边的距离相等，设距离为r ，有S △ABO = 12×AB×r，S △BCO = 12×BC×r，S △CAO = 12×CA×r，所以S △ABO :S △BCO :S △CAO =AB:BC:CA=20:30:40=2:3:4.故答案选C.【名师点睛】本题考查的知识点是三角形的角平分线中线和高，解题的关键是熟练的掌握三角形的角平分线中线和高.3．（2017春 商丘市期中）如图，△ABC 中，AD 为△ABC 的角平分线，BE 为△ABC 的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）A ．59°B ．60°C ．56°D ．22°【答案】A【详解】 在△ABC 中，∠C =70°,∠ABC =48°，则∠CAB =62°，又AD 为△ABC 的角平分线，∠1=∠2=62°÷2=31°又在△AEF 中，BE 为△ABC 的高∴∠EFA =90°−∠1=59°∴∠3=∠EFA =59°4．（2018出 南阳市期末）如图，∠AOB 是平角，∠AOC=50°，∠BOD =60°，OM 平分∠BOD ，ON 平分∠AOC ，则∠MON 的度数是（ ）A.135°B.155°C.125°D.145°【答案】C【详解】 解：∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∴∠COD=180°-∠AOC-∠COD=70°，∵OM 、ON 分别是∠AOC 、∠BOD 的平分线，∴∠MOC=12∠AOC=25°，∠DON=12∠BOD=30°，∴∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=125°，故选：C ．【名师点睛】本题考查角度计算，解题的关键是熟练利用角分线的性质，本题属于基础题型．5．（2018春 徐州市期末）如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,BD 是∠ABC 的平分线,AD=20,则BC 的长是 ( )A.20 C.30 D.10 【答案】D【详解】在Rt △ABC 中 由于∠A=30°,因此∠ABC=60°；因为BD 是∠ABC 的角平分中线,所以∠ABD=∠DBC=30°,因此三角形ADB 为等腰三角形,BD=AD=20在直角三角形DCB 中,DC=12BD 根据勾股定理,BD²=DC²+BC²=(12BD)²+BC²,所以BC=10故选：D【名师点睛】本题考核知识点：角平分线、等腰三角形、直角三角形.解题关键点：熟记直角三角形性质、等腰三角形性质.6．（2018春 信阳市期末）如图，在▱ABCD 中，已知AD 15cm =，AB 10cm =，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，则CE 长是( )A.8cmB.5cmC.9cmD.4cm【答案】B【详解】解：Q四边形ABCD是平行四边形，AD BC，∴==，//AD BC cm15∠交BC于点E，AEQ平分BAD∴∠=∠，DAE EABQ，//AD BC∴∠=∠，DAE AEB∴∠=∠，EAB AEB∴==，10AB BE cm()∴=-=-=．EC BC BE cm15105故选：B．【名师点睛】=是解题关键．此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的定义，正确得出AB BE7．（2018春商丘市期末）如图，已知点O在直线AB上，∠COE=90°，OD平分∠AOE，∠COD=25°，则∠BOD的度数为（）A．100° B．115° C．65° D．130°【答案】B【解析】∵∠COE=90°，∠COD=25°，∴∠DOE=90°﹣25°=65°，∵OD平分∠AOE，∴∠AOD=∠DOE=65°，∴∠BOD=180°﹣∠AOD=115°，故选：B．8．（2018春芜湖市期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB 于点D，交AC于点E．若BD=4，DE=7，则线段EC的长为（）A.3B.4C.3.5D.2【答案】A【详解】∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，∵DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．∴∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠BCF，∴BD=DF=4，FE=CE，∴CE=DE-DF=7-4=3．故选A．【名师点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质平行线段性质的理解和掌握，关键利用两直线平行内错角相等．9．（2018春石家庄市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOC＝70°，则∠COE的度数是（）A．110°B．120°C．135°D．145°【答案】D【详解】∵∠BOC＝70°，∴∠AOD＝∠BOC＝70°．∴∠AOC＝180°﹣70°＝110°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝12∠AOD＝12×70°＝35°．∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝110°+35°＝145°，故选：D．【名师点睛】此题考查角的计算，角的平分线是中考命题的热点，常与其他几何知识综合考查．10．（2018春西安市期末）如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=50°，则∠2的度数是（）A．50o B．60o C．70o D．80o【答案】D【详解】∵AB∥CD∴∠ABC=∠1=50°，∠ABD+∠BDC=180°，∵BC平分∠ABD，∴∠ABD=2∠ABC=100°，∴∠BDC=180°-∠ABD=80°，∴∠2=∠BDC=80°．故选：D．【名师点睛】本题考查的是平行，熟练掌握平行的性质和角平分线的性质是解题的关键.11．（2018春恩施市期末）长方形如图折叠，D点折叠到D′的位置，已知∠D′FC＝40°，则∠EFC＝（）A.120°B.110°C.105°D.115°【答案】B【详解】根据翻折不变性得出，∠DFE=∠EFD′，∵∠D′FC=40°，∠DFE+∠EFD′+∠D′FC=180°，∴2∠EFD′=180°-40°=140°，∴∠EFD′=70°，∴∠EFC=∠EFD′+∠D′FC=70°+40°=110°．故选：B．【名师点睛】此题考查了角的计算和翻折变化，掌握长方形的性质和翻折不变性是解题的关键．12．（2019春周口市期末）已知∠BOC＝60°，OF平分∠BOC.若AO⊥BO，OE平分∠AOC，则∠EOF的度数是( )A．45°B．15°C．30°或60°D．45°或15°【答案】A【详解】如图1，由AO⊥BO，得∠AOB＝90°，由角的和差，得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝150°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COE＝12∠AOC＝12×150°＝75°，∠COF＝12∠BOC＝12×60°＝30°，由角的和差，得∠EOF＝∠COE－∠COF＝75°－30°＝45°；如图2，由AO ⊥BO ，得∠AOB ＝90°，由角的和差，得∠AOC ＝∠AOB －∠BOC ＝30°，∵OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ，∴∠COE ＝12∠AOC ＝12×30°＝15°，∠COF ＝12∠BOC ＝12×60°＝30°， 由角的和差，得∠EOF ＝∠COE ＋∠COF ＝15°＋30°＝45°，故选A.【名师点睛】本题考查了垂线，利用了垂线的定义，角平分线的定义，角的和差，正确地进行分类讨论、准确画出图形是解题的关键.二、填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）13．（2018春 常州市期中）如图，在△ABC 中，AF 平分∠BAC ，AC 的垂直平分线交BC 于点E ，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=______度．【答案】24【详解】∵DE 是AC 的垂直平分线,∴EA=EC ，∠EAC=∠C,∴∠FAC=∠FAE+∠EAC=19°+∠EAC ，∵AF 平分∠BAC ，∴∠FAB=∠FAC.在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°所以70°+∠C+2∠FAC=180°，∴70°+∠EAC+2×(19°+∠EAC)=180° ，∴∠C=∠EAC=24°，故本题正确答案为24.【名师点睛】本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质、三角形内角和等于180度的应用、角的概念及其计算. 14．（2016春西安市期末）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=130°，∠C=30°，则∠DAE的度数是__________.【答案】5°【详解】∵AD⊥BC，∠C=30°，∴∠CAD=90°-30°=60°，∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC=130°，∴∠CAE=12∠BAC=12×130°=65°，∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=65°-60°=5°．故答案为：5°．【名师点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线，高线的定义，准确识图，找出各角度之间的关系并求出度数是解题的关键．15．（2017春扬州市期末）如图，AB、CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，∠BOD＝70°，∠EOF＝65°，则∠AOF的度数为______°．【答案】30°【解析】∵∠AOC 与∠BOD 是对顶角，∠BOD=70°，∴∠AOC=70°，∵OE 平分∠AOC ，∴∠AOE=12∠AOC=35°， ∴∠AOF=∠EOF-∠AOE=65°-35°=30°，故答案为：30°.16．（2018春 德州市期中）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC 的长是______．【答案】3．【解析】解：如图，过点D 作DF ⊥AC 于F ．∵AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DE=DF ．由图可知，S △ABC =S △ABD +S △ACD ，∴12×4×2+12×AC×2=7，解得：AC=3．故答案为：3．17．（2018春 广安市期末）如图所示，在ABC V 中，90C o ∠=，BE 平分ABC ∠，ED AB ⊥于D ，若6AC cm =，则AE DE +=________．【答案】6cm【详解】∵BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB ，∠C=90°，∴DE=CE ，∴AE+DE=AE+CE=AC=6cm ．故答案为：6cm．【名师点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．三、解答题（共4小题，每小题8分，共计32分）18．（2018春河源市期末）如图，AC、BD相交于点O，∠A=∠ABC，∠DBC=∠D，BD平分∠ABC，点E在BC 的延长线上。
利用角平分线性质解决问题练习题
利用角平分线性质解决问题练习题角平分线是初中数学中一个重要的概念，它有着广泛的应用。
在解决一些几何问题时，我们可以利用角平分线的性质来简化计算，提高解题效率。
下面我将给出一些角平分线的问题练习题并逐一解答。
1. 题目：在三角形ABC中，角A的角平分线交BC边于点D，若AB=AC，AD=5cm，BD=3cm，求BC的长度。
解析：根据角平分线的性质，我们知道BD/DC = AB/AC。
代入已知条件，可得3/DC = 1，解得DC=3cm。
由此可以知道，BC = BD+DC = 3+3 = 6cm。
2. 题目：在平行四边形ABCD中，角A的角平分线交BC边于点E，若AB=8cm，AD=10cm，BE=6cm，求CE的长度。
解析：由于平行四边形的特性，我们可以得知AE=AD=10cm。
根据角平分线的性质，可以得到BE/EC = AB/AC，代入已知条件可得6/EC = 8/(10+AC)，解得EC=16cm。
因此，CE的长度为16cm。
3. 题目：在正方形ABCD中，角A的角平分线交BC边于点E，知AE=5cm，求BE的长度。
解析：由于正方形的特性，我们知道BE=BC。
根据角平分线的性质，我们可以得到AE/EC = AB/AC，即5/EC = 1。
解得EC=5cm，因此BE也等于5cm。
4. 题目：在三角形ABC中，角A的角平分线交BC边于点D，且AD=BD，若AC=6cm，BD=2cm，求AB的长度。
解析：根据角平分线的性质，我们知道BD/DC = AB/AC。
代入已知条件可得2/DC = AB/6。
由于AD=BD，即DC=2cm。
代入可得2/2 = AB/6，解得AB=6cm。
5. 题目：在梯形ABCD中，AB∥DC，角BAD的角平分线交BC边于点E，若BE=6cm，ED=9cm，求CD的长度。
解析：根据梯形的特性，我们可以得知AD∥BC。
根据角平分线的性质，可以得到BE/EC = BA/AD。
代入已知条件可得6/EC =AB/(AD+ED)，即6/EC = BA/CD。
角平分线性质和判定专题练习
角平分线性质和判定综合练习知识点1 •角平分线的性质：。
2 •角平分线的判泄：。
基础练习K 如图，在RtAABC 中，ZC=90° , ZABC 的平分线BD 交AC 于D,若CD 二3cm,则点D 到AB 的距离•是（ ）6、如图，AD 是AABC 的平分线，DE 丄AB, DF 丄AC,垂足分别是E, F,连接EF 。
EF 与AD 交于G 。
AD 与EF 垂直吗？证明你的结论*5、如图，^EAABC 中，D 是BC 的中点，DE 丄AB, DF 丄AC,垂足分别是E, F, BE 二CF 。
求证：AD 是ZkABC 的角平分线。
A D C。
C10.如图，在AABC 中，ZACB 二90° , AC 二BC, AD 是角平分线，求证：AB 二AC+CD 拓展探索 11.在AABC 中，ZA 二90° , BD 平分ZABC,交AC 于点D, BC 边上有一点E,连接DE,则AD 与DE 的关系为（ ）A. AD>DEB. AD 二DEC. ADWDED.不能确定DBC12. AABC 中，ZB 二60° E,角平分线AF. CE 相交于点0,试判断线段0E. 0F 之间的数量关系，并说明理由8•已知：如图，在梯形ABCD 中，AD 〃BC, BC 二DC, CF 平分ZBCD, DF 〃AB, BF 的延长线交DC 于点E 。
求证：(1) ABFC^ADFC ； (2) AD 二DE 15. （2008年安徽省）已知：点0到AABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等, （1） 如图1，若点0在BC 上，求证：AB=AC ： 0B=0C oFC（2） 如图2,若点0在AABC 的内部，求证:AB=AC ：图2 0 图116•图1, OP 是ZA/ON 的平分线，请利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形. 谙你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题: （1）如图 2,在中，ZACE 是直角，ZB = 60 , AD, CE 分别是 ABAC. ZBC4的 平分线，AD, CE 相交于点F ・请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系: （2）如图3,在AABC 中，如果ZACB 不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1） 中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.“ B:变，请在图2中画岀 图3件不变，如图3•你认 栄系，并说明理由.ZA=ZD=30° •点E 落在 AB5.将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图1方式摆放，其中ZACB 二ZDEB 二90； 上,DE 所在的巒交AC 所在直线于点F. ⑴求证:AF+EF 亚； E,且 0。
角平分线的性质定理和判定经典习题
角平分线的性质定理和判1.已知：在等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠C=90°， AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，AB=15cm ， （1）求证：BD+DE=AC ． （2）求△DBE 的周长．2. 如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 中点， DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB ．3. 如图，已知△ABC 的周长是22，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ， 且OD=3，△ABC 的面积是多少？4.已知：如图所示，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ，求证：OB=OC ．5. 如图，已知∠1=∠2，P 为BN 上的一点， PF ⊥BC 于F ，PA=PC ， 求证：∠PCB+∠BAP=180º21NPF CBA7.已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论；（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由．（3）CD、AB、AD间有什么关系？直接写出结果8.如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．9.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC的面积．9.如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．10.已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。
求证：AF为∠BAC的平分线。
11．已知：AD 是△ABC 角平分线，DE ⊥AB ， DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD ＝CD ， 证：∠B ＝∠C.12．如图，已知在△ABC 中，90C ∠=， 点D 是斜边AB 的中点，2AB BC =，DE AB ⊥ 交AC 于E ．求证：BE 平分ABC ∠．13.如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB .14.如图，在∠AOB 的两边OA ，OB 上分别取OM=ON ， OD=OE ，DN 和EM 相交于点C ． 求证：点C 在∠AOB 的平分线上．ＢＤＥAFCDEB。
第12.3角平分线的性质和判定复习题
角平分线的性质与判定练习题一. 选择题1. 如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是（）A. PC＞PD B. PC＝PD C. PC＜PD D. 不能确定1题图4题图5题图2. 在R t△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若BC＝10，BD∶CD＝3∶2，则点D 到AB的距离是（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 103. 在△ABC中，∠C＝90°，E是AB边的中点，BD是角平分线，且DE⊥AB，则（）A. BC＞AEB. BC＝AEC. BC＜AED. 以上都有可能4. （2007年浙江义乌）如图所示，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE＝3，则点P到AB的距离是（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 65. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误的是（）A. DC＝DE B. ∠AED＝90° C. ∠ADE＝∠ADC D. DB＝DC6. 到三角形三边距离相等的点是（）A. 三条高的交点B. 三条中线的交点C. 三条角平分线的交点D. 不能确定7. 如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（）A. 4cm B. 6cm C. 10cm D. 以上都不对7题图8题图9题图10题图8. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）A. 一处 B. 二处 C. 三处 D. 四处二. 填空题9. 如图所示，点P是∠CAB的平分线上一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，如果PF＝3cm，那么PE＝__________．10. 如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝__________，∠CDA＝__________．11. 如图所示，P在∠AOB的平分线上，在利用角平分线性质推证PD＝PE时，必须满足的条件是____________________．11题图12题图13题图14题图12. 如图所示，∠B＝∠C，AB＝AC，BD＝DC，则要证明AD是∠BAC的__________线．需要通过__________来证明．如果在已知条件中增加∠B与∠C互补后，就可以通过__________来证明．因为此时BD与DC已经分别是__________的距离．13. 如图所示，C为∠DAB内一点，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，且CD＝CB，则点C 在__________．14. 如图所示，在R t△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．（1）若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是__________．（2）若BD∶DC＝3∶2，点D到AB的距离为6，则BC的长为__________．15. （1）∵OP平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴__________（依据：角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴OP平分∠AOB（依据：___________）．三. 解答题16. 已知：如图，在R t△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE ＝DC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．17. 如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF ＋∠BAF＝180°．（1）求证：DE＝DF；（2）若把最后一个条件改为：AE＞AF，且∠AED＋∠AFD＝180°，那么结论还成立吗？18. 如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD相交于点C．求证：AC ＝BC．19. 如图所示，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm．（1）在图上标出仓库G的位置．（比例尺为1∶10000，用尺规作图）（2）求出仓库G到铁路的实际距离．四. 探究题20. 有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为：（1）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧交OM、ON于点A、B；（2）以O为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM、ON于点C、D；（3）连接AD、BC相交于点E；（4）作射线OE，则OE为∠MON的平分线．你认为他这种作法对吗？试说明理由．。
角平分线的性质练习题
角平分线的性质练习题一、选择题1. 在三角形ABC中，BD是角B的平分线，若AB=5，BC=7，AC=6，那么BD的长度为：A. 4B. 6C. 8D. 无法确定2. 如果角平分线将三角形分成两个面积相等的部分，那么这两个部分的底边分别是：A. 相等B. 不相等C. 一个底边是另一个的两倍D. 底边长度无法确定3. 在三角形ABC中，角A的平分线与BC相交于点D，若AD=4，AC=8，那么AB的长度可能是：A. 6B. 8C. 10D. 12二、填空题4. 在三角形ABC中，如果角A的平分线将BC分为BD和DC两段，BD=DC，那么三角形ABD与三角形ACD的面积之比为________。
5. 若角平分线定理告诉我们，在三角形ABC中，如果BD是角B的平分线，则AB：AC=______：______。
6. 在三角形ABC中，如果角A的平分线与BC相交于点D，且AD垂直于BC，那么角B和角C的度数之和为________。
三、简答题7. 描述角平分线定理的内容，并给出一个应用此定理的几何问题。
8. 解释为什么在三角形中，角平分线可以将对边分成的两段长度与相邻两边成比例。
四、计算题9. 在三角形ABC中，已知角A的平分线AD与BC相交于点D，且BD=3，DC=4，AB=6，求AC的长度。
10. 在三角形ABC中，角B的平分线BE与AC相交于点E，已知AE=4，EC=6，AB=5，求BC的长度。
五、证明题11. 证明：在三角形ABC中，如果BD是角B的平分线，那么AB/AC = BD/DC。
12. 证明：如果点D在三角形ABC的边BC上，且AD是角A的平分线，那么三角形ABD与三角形ACD的面积相等。
六、综合题13. 在三角形ABC中，已知角A的平分线AD与BC相交于点D，且AD=2，BD=3，DC=4，AB=5，求BC的长度，并证明你的结论。
14. 给定三角形ABC，其中角A的平分线AD与BC相交于点D，角B的平分线BE与AC相交于点E。
第5讲 角平分线的性质及判定综合
第5讲 角平分线的性质及判定综合作已知角的角平分线如图，作∠AOB 的平分线的步骤（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N 。
（2）分别以点M 、N为圆心，大于21MN 为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C 。
（3）连射线OC ，射线OC 即为所求。
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边距离相等。
符号语言：如图，已知OC 是∠AOB 的角平分线，点P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于E ，则PD=PE 。
角的平分线的性质的推导：已知，如上右图，OC 是∠AOB 的角平分线，点P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于E ，求证：PD=PE 。
证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB （已知） ∴∠ODP=∠OEP=900（垂直的定义） 又∵OC 平分∠AOB （已知）∴∠AOC=∠BOC （角的平分线定义） 在Rt △DOP 和Rt △EOP 中 ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠OP OP OEP ODP BOC AOC∴Rt △DOP ≌Rt △EOP （AAS ）∴PD=PE （全等三角形的对应边相等）扩充：到三角形三边距离相等的点，是三条角平分线的交点。
练习：1.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且BC=8cm ，BE=4cm ，则△BDE 的周长为________cm 。
2.在△ABC 中，∠C=90°，AM 平分∠CAB ，BM=6.2cm ，点M 到AB 的距离为2cm ，BC=_____3.在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=32，且BD ∶CD=9∶7，则D 到AB 的距离为 .A BC DEOP（第1题） （第2题） （第3题） 【例1--1】如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A. PD ＝PEB. B.OD ＝OEC. ∠DPO ＝∠EPOD.PD ＝OD【例1--2】画图，如图是三条交叉公路，请你设计一个方案，要建一个购物中心，使它到三条公路的距离相等，这样的地址有几处？请你画出来。
角平分线的性质练习题
角平分线的性质练习题角平分线是几何学中一个重要的概念，它在解决各种几何问题中起着重要的作用。
本文将通过一些练习题来探讨角平分线的性质。
练习题一：已知在△ABC中，角A的平分线交边BC于点D，证明AD是角A 的平分线。
解析：首先，我们可以利用角平分线的定义来解决这个问题。
角A的平分线是将角A分成两个相等的角的线段。
假设角BAD和角CAD是角A的平分线所分出的两个角，我们需要证明这两个角是相等的。
根据角平分线的定义，我们可以得出以下两个等式：∠BAD = ∠CAD （角平分线的定义）∠BAD + ∠CAD = ∠BAC （角的和等于整个角）将第一个等式代入第二个等式中，得到：∠CAD + ∠CAD = ∠BAC化简得：2∠CAD = ∠BAC由于∠CAD和∠BAD是同一个角的两个平分角，所以它们是相等的。
因此，AD是角A的平分线。
练习题二：已知在△ABC中，角A的平分线交边BC于点D，且AD=DC，证明△ABC是等腰三角形。
解析：要证明△ABC是等腰三角形，我们需要证明边AB和边AC的长度相等。
由于AD是角A的平分线，所以∠BAD = ∠CAD。
又已知AD=DC，所以△ADC 是一个等腰三角形。
根据等腰三角形的性质，我们可以得出以下结论：∠ADC = ∠ACD （等腰三角形的底角相等）由于∠BAD = ∠CAD，所以∠ADC = ∠ACD。
结合以上两个等式，我们可以得出：∠ADC = ∠ACD = ∠BAD = ∠CAD根据角的和等于整个角的性质，我们可以得到：∠ADC + ∠ACD + ∠BAD + ∠CAD = 180°将上述等式代入，得到：2∠ADC + 2∠ACD = 180°化简得：∠ADC + ∠ACD = 90°由于∠ADC和∠ACD是等腰三角形△ADC的两个底角，它们的和等于90°。
根据等腰三角形的性质，我们可以得出∠DAC = 90°。
角平分线性质定理典型问题综合训练(含解析)
角平分线性质定理典型问题综合训练（含解析）一．选择题（共12小题）1．下列各图中，OP 是∠MON 的平分线，点E，F，G 分别在射线OM，ON，OP 上，则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是（）A．B．C．D．2．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（）A．1 B．2 C．D．43．如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为（）A．PN＜3 B．PN＞3 C．PN≥3 D．PN≤34．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A．15 B．30 C．45 D．605．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：56．如图，点P是△ABC内一点，且PD=PE=PF，则点P是（）A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条中线的交点7．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A．一处B．二处C．三处D．四处8．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90°②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③9．如图，已知点P到BE、BD、AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC 的平分线上；③在∠EAC的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠EAC三个角的平分线的交点．上述结论中，正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为60和35，则△EDF的面积为（）A．25 B．5.5 C．7.5 D．12.511．如图，已知OQ平分∠AOB，点P为OQ上任意一点，点N为OA上一点，点M为OB上一点，若∠PNO+∠PMO=180°，则PM和PN的大小关系是（）A．PM＞PN B．PM＜PN C．PM=PN D．不能确定12．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的角平分线D．组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）二．填空题（共6小题）13．如图，∠A=90°，BC边的中垂线DE分别交BC于点D，交AB于点E，且DE=AE，则∠B=．14．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，若AC=6cm，则AE+DE=．15．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，点O到BC边的距离为3，且△ABC的周长为20，则△ABC的面积为．16．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC=36cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE=cm．17．如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，∠C=30°，AD=2，AB=2，那么S△ABC=．18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④DA平分∠CDE；⑤S△ABD：S△ACD=AB：AC．其中，正确的有个．三．解答题（共7小题）19．要在两个城镇A、B的附近修建一个加油站．如图，按设计要求，加油站到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，加油站应修建在什么位置？（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）20．如图，有三幢公寓楼分别建在点A、点B、点C 处，AB、AC、BC 是连接三幢公寓楼的三条道路，要修建一超市P，按照设计要求，超市要在△ABC的内部，且到A、C的距离必须相等，到两条道路AC、AB的距离也必须相等，请利用尺规作图确定超市P的位置．（不要求写出作法、证明，但要保留作图痕迹）．21．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA．22．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AE是△ABC的角平分线；ED平分∠AEB，交AB于点D；∠CAE=∠B．（1）求∠B的度数．（2）如果AC=3cm，求AB的长度．（3）猜想：ED与AB的位置关系，并证明你的猜想．23．已知：∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，PC和PD有怎样的数量关系，请说明理由．24．（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则有相等关系DE=DF，AE=AF．（2）如图2，在（1）的情况下，如果∠MDN=∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，其它条件不变，那么又有相等关系AM+ =2AF，请加以证明．（3）如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AC=6，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN=120°，ND ∥AB，求四边形AMDN的周长．25．已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；（2）如图2，若∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．角平分线性质定理典型问题综合训练参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下列各图中，OP 是∠MON 的平分线，点E，F，G 分别在射线OM，ON，OP 上，则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是（）A．B．C．D．【分析】角的平分线上的点到角的两边的距离相等，这里的距离是指点到角的两边垂线段的长．【解答】解：∵OP是∠MON 的平分线，且GE⊥OM，GF⊥ON，∴GE=GF，（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）故选：D．2．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（）A．1 B．2 C．D．4【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质解答．【解答】解：作PE⊥OA于E，∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD=2，故选：B．3．如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为（）A．PN＜3 B．PN＞3 C．PN≥3 D．PN≤3【分析】作PM⊥OB于M，根据角平分线的性质得到PM=PE，得到答案．【解答】解：作PM⊥OB于M，∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OA，PM⊥OB，∴PM=PE=3，∴PN≥3，故选：C．4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A．15 B．30 C．45 D．60【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C=90°，∴DE=CD，∴△ABD的面积=AB•DE=×15×4=30．故选B．5．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．【解答】解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C．故选C．6．如图，点P是△ABC内一点，且PD=PE=PF，则点P是（）A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条中线的交点【分析】根据角平分线的性质即可得出结论．【解答】解：∵点P是△ABC内一点，且PD=PE=PF，∴点P是△ABC三条角平分线的交点．故选B．7．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A．一处B．二处C．三处D．四处【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解．【解答】解：如图所示，加油站站的地址有四处．故选D．8．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90°②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③【分析】过E作EF⊥AD于F，易证得Rt△AEF≌Rt△AEB，得到BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；而点E是BC的中点，得到EC=EF=BE，则可证得Rt△EFD≌Rt△ECD，得到DC=DF，∠FDE=∠CDE，也可得到AD=AF+FD=AB+DC，∠AED=∠AEF+∠FED=∠BEC=90°，即可判断出正确的结论．【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，∴Rt△AEF≌Rt△AEB∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；而点E是BC的中点，∴EC=EF=BE，所以③错误；∴Rt△EFD≌Rt△ECD，∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；∴∠AED=∠AEF+∠FED=∠BEC=90°，所以①正确．故选A．9．如图，已知点P到BE、BD、AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC 的平分线上；③在∠EAC的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠EAC三个角的平分线的交点．上述结论中，正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用平分线性质的逆定理分析．由已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等进行思考，首先到到两边距离相等，得出结论，然后另外两边再得结论，如此这样，答案可得．【解答】解：由角平分线性质的逆定理，可得①②③④都正确．故选D．10．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为60和35，则△EDF的面积为（）A．25 B．5.5 C．7.5 D．12.5【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，再利用“HL”证明Rt△ADF和Rt△ADH全等，Rt△DEF和Rt△DGH全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DH，在Rt△ADF和Rt△ADH中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），∴S Rt△ADF=S Rt△ADH，在Rt△DEF和Rt△DGH中，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S Rt△DEF=S Rt△DGH，∵△ADG和△AED的面积分别为60和35，∴35+S Rt△DEF=60﹣S Rt△DGH，∴S Rt△DEF=．故选D．11．如图，已知OQ平分∠AOB，点P为OQ上任意一点，点N为OA上一点，点M为OB上一点，若∠PNO+∠PMO=180°，则PM和PN的大小关系是（）A．PM＞PN B．PM＜PN C．PM=PN D．不能确定【分析】作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，根据角平分线的性质定理证明PE=PF，根据三角形全等的判定定理证明△PFN≌△PEM，得到答案．【解答】解：作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，∵OQ平分∠AOB，∴PE=PF，∵∠PNO+∠PNA=180°，∠PNO+∠PMO=180°，∴∠PNA=∠PMO，在△PFN和△PEM中，，∴△PFN≌△PEM，∴PM=PN．故选：C．12．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的角平分线D．组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）【分析】根据角平分线的性质分析，作∠E的平分线，点P到AB和CD的距离相等，即可得到S△PAB=S△PCD．【解答】解：作∠E的平分线，可得点P到AB和CD的距离相等，因为AB=CD，所以此时点P满足S△PAB=S△PCD．故选D．二．填空题（共6小题）13．如图，∠A=90°，BC边的中垂线DE分别交BC于点D，交AB于点E，且DE=AE，则∠B=30°．【分析】由于∠A=90°，ED⊥DC，DE=AE，根据角平分线的判定可得到EC平分∠ACD，即∠DCE=∠ACE，再根据线段垂直平分线的性质得到EB=EC，则∠B=∠ECB，所以∠B=∠ACB，然后根据三角形内角和定理可计算出∠B．【解答】解：连结CE，如图，∵∠A=90°，∴EA⊥AC，∵ED⊥DC，而DE=AE，∴EC平分∠ACD，即∠DCE=∠ACE，∵DE为BC边的中垂线，∴EB=EC，∴∠B=∠ECB，∴∠B=∠ACB，∴∠B=30°．故答案为30°．14．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，若AC=6cm，则AE+DE=6cm．【分析】根据角平分线的性质得到DE=CE，结合图形计算即可．【解答】解：∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，∠C=90°，∴DE=CE，∴AE+DE=AE+CE=AC=6cm．故答案为：6cm．15．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，点O到BC边的距离为3，且△ABC的周长为20，则△ABC的面积为30．【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质求出OE=OD=3和OF=OD=3，根据三角形面积公式计算即可．【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵OB是∠ABC的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE=OD=3，同理OF=OD=3，△ABC的面积=×AB×3+×AC×3+×BC×3=30．故答案为：30．16．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC=36cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE= 2.4cm．【分析】首先过点D作DF⊥BC于点F，由BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，根据角平分线的性质，可得DE=DF，然后由S△ABC=S△ABD+S△BCD=AB•DE+BC•DF，求得答案．【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，∵AB=18cm，BC=12cm，∴S△ABC=S△ABD+S△BCD=AB•DE+BC•DF=DE•（AB+BC）=36cm2，∴DE=2.4（cm）．故答案为：2.4．17．如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，∠C=30°，AD=2，AB=2，那么S△ABC=6．【分析】作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到DE=DA=2，根据直角三角形的性质得到BC=2AB=4，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：作DE⊥BC于E，∵BD平分∠ABC，∠A=90°，DE⊥BC，∴DE=DA=2，∵∠A=90°，∠C=30°，∴BC=2AB=4，∴S△ABC=S△ABD+S△DBC=×AB×AD+×BC×DE=6，故答案为：6．18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④DA平分∠CDE；⑤S△ABD：S△ACD=AB：AC．其中，正确的有5个．【分析】由在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．可得CD=DE，继而可得∠ADC=∠ADE，又由角平分线的性质，证得AE=AD，由等角的余角相等，可证得∠BDE=∠BAC，由三角形的面积公式，可证得S△ABD：S△ACD=AB：AC．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，∴CD=ED，故①正确；∴∠CDE=90°﹣∠BAD，∠ADC=90°﹣∠CAD，∴∠ADE=∠ADC，即AD平分∠CDE，故④正确；∴AE=AC，∴AB=AE+BE=AC+BE，故②正确；∵∠BDE+∠B=90°，∠B+∠BAC=90°，∴∠BDE=∠BAC，故③正确；∵S△ABD=AB•DE，S△ACD=A C•CD，∵CD=ED，∴S△ABD：S△ACD=AB：AC，故⑤正确．故答案为：①②③④⑤．三．解答题（共7小题）19．要在两个城镇A、B的附近修建一个加油站．如图，按设计要求，加油站到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，加油站应修建在什么位置？（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）【分析】分别作出线段AB的中垂线；作角分线OP，进而得出其交点P即为所求．【解答】解：如图所示，P点即为所求．20．如图，有三幢公寓楼分别建在点A、点B、点C 处，AB、AC、BC 是连接三幢公寓楼的三条道路，要修建一超市P，按照设计要求，超市要在△ABC的内部，且到A、C的距离必须相等，到两条道路AC、AB的距离也必须相等，请利用尺规作图确定超市P的位置．（不要求写出作法、证明，但要保留作图痕迹）．【分析】如图，由于P按照设计要求，在△ABC的内部，且到A、C的距离必须相等，因此确定P在线段AC的垂直平分线上，又P到两条道路AC、AB的距离也必须相等，由此确定P在∠CAB的平分线上，所以P是线段AC的垂直平分线和∠CAB的平分线的交点．【解答】解：如图所示21．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AM=BM，然后利用“HL”证明Rt△AOM和Rt△BOM全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=OB，再根据等边对等角的性质即可得证．【解答】证明：∵OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，∴AM=BM，在Rt△AOM和Rt△BOM中，，∴Rt△AOM≌Rt△BOM（HL），∴OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．22．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AE是△ABC的角平分线；ED平分∠AEB，交AB于点D；∠CAE=∠B．（1）求∠B的度数．（2）如果AC=3cm，求AB的长度．（3）猜想：ED与AB的位置关系，并证明你的猜想．【分析】（1）先由角平分线的定义及已知条件得出∠CAE=∠EAB=∠B，再根据直角三角形两锐角互余得出∠CAE+∠EAB+∠B=3∠B=90°，那么∠B=30°；（2）根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AB=2AC=6cm；（3）先由∠EAB=∠B，根据等角对等边得出EB=EA，又ED平分∠AEB，根据等腰三角形三线合一的性质得到ED⊥AB．【解答】解：（1）∵AE是△ABC的角平分线，∴∠CAE=∠EAB，∵∠CAE=∠B，∴∠CAE=∠EAB=∠B．∵在△ABC中，∠C=90°，∴∠CAE+∠EAB+∠B=3∠B=90°，∴∠B=30°；（2）∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm，∴AB=2AC=6cm；（3）猜想：ED⊥AB．理由如下：∵∠EAB=∠B，∴EB=EA，∵ED平分∠AEB，∴ED⊥AB．23．已知：∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，PC和PD有怎样的数量关系，请说明理由．【分析】过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，由角平分线的性质易得PE=PF，然后由同角的余角相等证明∠1=∠2，即可由ASA证明△CFP≌△DEP，从而得证．【解答】答：PC=PD．证明：过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，∴∠CFP=∠DEP=90°，∵OM是∠AOB的平分线，∴PE=PF，∵∠1+∠FPD=90°，∠AOB=90°，∴∠FPE=90°，∴∠2+∠FPD=90°，∴∠1=∠2，在△CFP和△DEP中，，∴△CFP≌△DEP（ASA），∴PC=PD．24．（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则有相等关系DE=DF，AE=AF．（2）如图2，在（1）的情况下，如果∠MDN=∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，其它条件不变，那么又有相等关系AM+ AN=2AF，请加以证明．（3）如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AC=6，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN=120°，ND ∥AB，求四边形AMDN的周长．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，然后利用“角角边”证明△ADE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）由（1）得DE=DF，再求出∠MDE=∠NDF，然后利用“角边角”证明△MDE和△NDF全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=NF，然后求AM+AN=AE+AF，再求解即可；（3）根据（2）求出AM+AN=2AC，根据角平分线的定义求出∠BAD=∠CAD=30°，根据两直线平行，内错角相等可得∠ADN=∠BAD=30°，从而得到∠CAD=∠ADN，再根据等角对等边可得AN=DN，根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半可得DN=2CN，然后求出DN，【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°，在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（AAS），∴DE=DF，AE=AF；（2）解：AM+AN=2AF；证明如下：由（1）得DE=DF，∵∠MDN=∠EDF，∴∠MDE=∠NDF，在△MDE和△NDF中，，∴△MDE≌△NDF（ASA），∴ME=NF，∴AM+AN=（AE+ME）+（AF﹣NF）=AE+AF=2AF；（3）由（2）可知AM+AN=2AC=2×6=12，∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于D，∴∠BAD=∠CAD=30°，∵ND∥AB，∴∠ADN=∠BAD=30°，∴∠CAD=∠ADN，∴AN=DN，在Rt△CDN中，DN=2CN，∵AC=6，∴DN=AN=×6=4，∵∠BAC=60°，∠MDN=120°，∴∠CDE=∠MDN，∴DM=DN=4，∴四边形AMDN的周长=12+4×2=20．25．已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；（2）如图2，若∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）得到∠ACD=∠ACB=30°后再可以证得AD=AB=AC从而，证得结论；（2）过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F，证得△CED≌△CFB后即可得到AD+AB=AE﹣ED+AF+FB=AE+AF，从而证得结论．【解答】（1）关系是：AD+AB=AC（1分）证明：∵AC平分∠MAN，∠MAN=120°∴∠CAD=∠CAB=60°又∠ADC=∠ABC=90°，∴∠ACD=∠ACB=30°（2分）则AD=AB=AC（直角三角形一锐角为30°，则它所对直角边为斜边一半）（4分）∴AD+AB=AC（5分）；（2）仍成立．证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F（6分）∵AC平分∠MAN ∴CE=CF（角平分线上点到角两边距离相等）（7分）∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°∴∠CDE=∠ABC又∠CED=∠CFB=90°，∴△CED≌△CFB（AAS）（10分）∵ED=FB，∴AD+AB=AE﹣ED+AF+FB=AE+AF（11分）由（1）知AE+AF=AC（12分）∴AD+AB=AC（13分）。
角的平分线的性质测试题
12.3 角的平分线的性质专题一利用角的平分线的性质解题1．如图，在△ABC中，AC=AB，D在BC上，若DF⊥AB，垂足为F，DG⊥AC，垂足为G，且DF=DG．求证：AD⊥BC.2．如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB=OC．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，21BAC B∠∠，AD是∠∶∶BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，AC=3 cm，求BE的长．专题二角平分线的性质在实际生活中的应用4．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A．在AC、BC两边高线的交点处B．在AC、BC两边中线的交点处C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处5．如图，要在河流的南边，公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A处的距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在__________，理由是__________．6．已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点．（保留作图痕迹）状元笔记【知识要点】1．角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2．角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【温馨提示】1．到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，不是其他线段的交点．2．到三角形三边距离相等的点不仅有内角的平分线的交点，还有相邻两外角的平分线的交点，这样的点共有4个．【方法技巧】1．利用角的平分线的性质解决问题的关键是：挖掘角的平分线上的一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——直接考虑垂线段相等，若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段．2．利用角平分线的判定解决问题的策略是：挖掘已知图形中一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——先证明两条垂线段相等，然后说明角平分线或角的关系；若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，再证明两条垂线段相等；若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段后，证明两条垂线段相等．参考答案:1．证明：∵DF AB DG AC DF DG ⊥⊥=，，，∴AD 是BAC ∠的平分线，∴BAD CAD =∠∠．在ABD △和ACD △中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=（公共边）（已求）已知）AD AD DAC DAB AC AB (∴SAS)ABD ACD (△≌△．∴ADB ADC =∠∠．又∵180BDA CDA +=︒∠∠，∴90BDA =︒∠，∴AD BC ⊥．2．证明：∵AO 平分∠BAC ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴OD =OE ，在Rt △BDO 和Rt △CEO 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,COE DOB OEOD CEO BDO∴(ASA)BDO CEO △≌△．∴OB =OC ．3．解：∵∠C =90°，∴∠BAC +∠B =90°，又DE ⊥AB ，∴∠C =∠AED =90°，又21BAC B =∶∶∠∠，∴∠A =60°，∠B =30°，又∵AD 平分∠BAC ，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴DC =DE ，∴3AE AC ==cm ．在Rt △DAE 和Rt △DBE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠.DE DE BEDAED B DAE∴△DAE ≌△DBE （AAS ），∴3BE AE == cm ．4．C 解析：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A 、∠B 两内角平分线的交点处．故选C ．5．∠A 的角平分线上，且距A1cm 处 角平分线上的点到角两边的距离相等6．解：作两个角的平分线，交点P 就是所求作的点．人教版七年级上册期末测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．某天的最高气温是8℃，最低气温是－3℃，那么这天的温差是( )A．－3℃B．8℃C．－8℃D．11℃2．下列立体图形中，从上面看能得到正方形的是( )3．下列方程是一元一次方程的是( )A．x－y＝6 B．x－2＝xC．x2＋3x＝1 D．1＋x＝34．今年某市约有108 000名应届初中毕业生参加中考，108 000用科学记数法表示为( )A．0.108×106B．10.8×104C．1.08×106D．1.08×1055．下列计算正确的是( )A．3x2－x2＝3 B．3a2＋2a3＝5a5C ．3＋x ＝3xD ．－0.25ab ＋14ba ＝0 6．已知ax ＝ay ，下列各式中一定成立的是( )A ．x ＝yB ．ax ＋1＝ay －1C ．ax ＝－ayD ．3－ax ＝3－ay7．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%，则该商品每件的进价为( )A ．100元B ．105元C ．110元D ．120元8．如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角的度数是( )A ．130°B ．40°C ．90°D ．140°9．如图，C ，D 是线段AB 上的两点，点E 是AC 的中点，点F 是BD 的中点，EF ＝m ，CD ＝n ，则AB 的长是( )A ．m －nB ．m ＋nC ．2m －nD ．2m ＋n10．下列结论： ①若a ＋b ＋c ＝0，且abc ≠0，则a ＋c 2b ＝－12； ②若a ＋b ＋c ＝0，且a ≠0，则x ＝1一定是方程ax ＋b ＋c ＝0的解；③若a ＋b ＋c ＝0，且abc ≠0，则abc ＞0；④若|a |>|b |，则a －b a ＋b>0. 其中正确的结论是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④二、填空题(每题3分，共24分)11．－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23的相反数是________，－15的倒数的绝对值是________．12．若－13xy 3与2x m －2y n ＋5是同类项，则n m ＝________. 13．若关于x 的方程2x ＋a ＝1与方程3x －1＝2x ＋2的解相同，则a 的值为________．14．一个角的余角为70°28′47″，那么这个角等于____________．15．下列说法：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③若∠AOC ＝12∠AOB ，则射线OC 是∠AOB 的平分线；④连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；⑤学校在小明家南偏东25°方向上，则小明家在学校北偏西25°方向上，其中正确的有________个．16．在某月的月历上，用一个正方形圈出2×2个数，若所圈4个数的和为44，则这4个日期中左上角的日期数值为________．17．规定一种新运算：a△b＝a·b－2a－b＋1，如3△4＝3×4－2×3－4＋1＝3.请比较大小：(－3)△4________4△(－3)(填“>”“＝”或“<”)．18．如图是小明用火柴棒搭的1条“金鱼”、2条“金鱼”、3条“金鱼”……则搭n条“金鱼”需要火柴棒__________根．三、解答题(19，20题每题8分，21～23题每题6分，26题12分，其余每题10分，共66分)19．计算：(1)－4＋2×|－3|－(－5)；(2)－3×(－4)＋(－2)3÷(－2)2－(－1)2 018.20．解方程：(1)4－3(2－x)＝5x；(2)x －22－1＝x ＋13－x ＋86.21．先化简，再求值：2(x 2y ＋xy )－3(x 2y －xy )－4x 2y ，其中x ＝1，y ＝－1.22．有理数b 在数轴上对应点的位置如图所示，试化简|1－3b |＋2|2＋b |－|3b －2|.23．如图①是一些小正方体所搭立体图形从上面看得到的图形，方格中的数字表示该位置的小正方体的个数．请在如图②所示的方格纸中分别画出这个立体图形从正面看和从左面看得到的图形．24．已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE 的平分线．(1)当点C，E，F在直线AB的同侧时(如图①所示)，试说明∠BOE＝2∠COF.(2)当点C与点E，F在直线AB的两侧时(如图②所示)，(1)中的结论是否仍然成立？请给出你的结论，并说明理由．25．为鼓励居民节约用电，某市电力公司规定了电费分段计算的方法：每月用电不超过100度，按每度电0.50元计算；每月用电超过100度，超出部分按每度电0.65元计算．设每月用电x度．(1)当0≤x≤100时，电费为________元；当x>100时，电费为____________元．(用含x的整式表示)(2)某用户为了解日用电量，记录了9月前几天的电表读数．该用户9月的电费约为多少元？(3)该用户采取了节电措施后，10月平均每度电费0.55元，那么该用户10月用电多少度？26．如图，O为数轴的原点，A，B为数轴上的两点，点A表示的数为－30，点B表示的数为100.(1)A，B两点间的距离是________．(2)若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点O的距离的3倍，求点C表示的数．(3)若电子蚂蚁P从点B出发，以6个单位长度/s的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向左运动，设两只电子蚂蚁同时运动到了数轴上的点D，那么点D表示的数是多少？(4)若电子蚂蚁P从点B出发，以8个单位长度/s的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向右运动．设数轴上的点N到原点O 的距离等于点P到原点O的距离的一半(点N在原点右侧)，有下面两个结论：①ON＋AQ的值不变；②ON－AQ的值不变，请判断哪个结论正确，并求出正确结论的值．(第26题)答案一、1.D 2.A 3.D 4.D 5.D 6.D7．A 8.D 9.C 10.B二、11.23；5 12.－8 13.－514．19°31′13″15.3 16.717．> 18.(6n＋2)三、19.解：(1)原式＝－4＋2×3＋5＝－4＋6＋5＝7；(2)原式＝12＋(－8)÷4－1＝12－2－1＝9.20．解：(1)去括号，得4－6＋3x＝5x.移项、合并同类项，得－2x＝2.系数化为1，得x＝－1.(2)去分母，得3(x－2)－6＝2(x＋1)－(x＋8)．去括号，得3x－6－6＝2x＋2－x－8.移项、合并同类项，得2x＝6.系数化为1，得x＝3.21．解：原式＝2x2y＋2xy－3x2y＋3xy－4x2y＝(2x2y－3x2y－4x2y)＋(2xy＋3xy)＝－5x2y＋5xy.当x＝1，y＝－1时，原式＝－5x2y＋5xy＝－5×12×(－1)＋5×1×(－1)＝5－5＝0.22．解：由题图可知－3<b<－2.所以1－3b>0，2＋b<0，3b－2<0.所以原式＝1－3b－2(2＋b)＋(3b－2)＝1－3b－4－2b＋3b－2＝－2b－5.23．解：如图所示．24．解：(1)设∠COF＝α，则∠EOF＝90°－α.因为OF是∠AOE的平分线，所以∠AOE＝2∠EOF＝2(90°－α)＝180°－2α.所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－(180°－2α)＝2α.所以∠BOE＝2∠COF.(2)∠BOE＝2∠COF仍成立．理由：设∠AOC＝β，则∠AOE＝90°－β，又因为OF是∠AOE的平分线，所以∠AOF＝90°－β2.所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－(90°－β)＝90°＋β，∠COF＝∠AOF＋∠AOC＝90°－β2＋β＝12(90°＋β)．所以∠BOE＝2∠COF.25．解：(1)0.5x；(0.65x－15)(2)(165－123)÷6×30＝210(度)，210×0.65－15＝121.5(元)．答：该用户9月的电费约为121.5元．(3)设10月的用电量为a度．根据题意，得0.65a－15＝0.55a，解得a＝150.答：该用户10月用电150度．26．解：(1)130(2)若点C在原点右边，则点C表示的数为100÷(3＋1)＝25；若点C在原点左边，则点C表示的数为－[100÷(3－1)]＝－50.故点C表示的数为－50或25.(3)设从出发到同时运动到点D经过的时间为t s，则6t －4t＝130，解得t＝65.65×4＝260，260＋30＝290，所以点D表示的数为－290.(4)ON－AQ的值不变．设运动时间为m s，则PO＝100＋8m，AQ＝4m. 由题意知N为PO的中点，得ON＝12PO＝50＋4m，所以ON＋AQ＝50＋4m＋4m＝50＋8m，ON－AQ＝50＋4m－4m＝50.故ON－AQ的值不变，这个值为50.。
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11.3角平分线的性质
1．如图，已知BQ是∠ABC的内角平分线，CQ是∠ACB的外角平分线，由Q出发，作点Q到BC、AC和AB的垂线QM、QN和QK，垂足分别为M、N、K，则QM、QN、QK的关系是．
2．如图，在△ABC中，∠B=300，∠C=900，AD平分∠CAB，交CB于D，DE⊥AB于E，则∠BDE= = ．
3．如图，已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别为E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD= ．
4．如图，已知AB∥CD，0为∠CAB、∠ACD的平分线的交点．OE⊥AC，且OE=2，则两平行线AB、CD间的距离等于．
5．已知Rt△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD:CD=9:7，则D到AB边的距离为( )．
(A)18 (B)16 (c)14 (D)12
6．如图，MP⊥NP，MQ为∠NMP的角平分线，MT=MP，连结TQ，则下列结论不正确的是( )．
(A)TQ=PQ (B) ∠MQT=∠MQP (c) ∠QTN=900 (D) ∠NQT=∠MQT
7．如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A 放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．说明它的道理．
8．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC．求证：BE=CF．
9．如图，C、D是∠AOB平分线上的点，CE⊥OA于E，CF⊥OB于F．求证：∠CDE=∠CDF．
10．如图，AD⊥DC，BC⊥DC：，E是DC上一点，AE平分∠DAB．
(1)如果BE平分∠ABC，求证：点E是DC的中点；
(2)如果E是DC的中点，求证：BE平分∠ABC．
11．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S．若AQ=PQ，PR=PS，下列结论：①AS=AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是( )．
(A)①③ (B)②③ (C)①② (D)①②③
12．如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论中：①AD上任意一点到B、C的距离相等；②AD任意一点到AB、AC的距离相等；③AD⊥BC且BD=CD；④∠BDE=∠CDF．其中正确的是( )．
(A)②④ (B) ②④ (C)②③④ (D)①②③④
13．(山东竞赛题，2003)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠CAB=300，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E 点，则∠AEB=( )．
(A)500 (B)450 (C)400 (D)350
14．如图，已知相交直线AB和CD及另一直线MN．如果要在MN上找出与AB、CD距离相等的点，方法是，这样的点至少有个，最多有个．
16．如图，∠C=900，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．
17．如图，在△ABC中，AB=BC=AC，AD⊥BC于D，E、F分别为AB、AC中点．求证：DA平分∠EDF．
18．如图，△ABC 中，∠ABC=1000，∠ACB 的平分线交AB 于E ，在AC 上取一点D ，使∠CBD=200
，连结DE ．求∠CED 的
度数．
19．如图，已知在△ABC 中，∠B=600
,△ABC 的角平分线AD 、CE 相交于点O ，求证：AE+CD=AC
．
轴对称图形练习题
一、选择题
1．下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有（ ）个 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．下列图形中：①平行四边形；②有一个角是30°的直角三角形；③长方形；④等腰三角形. 其中是轴对称图形有（ ）个
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 3．已知∠AOB ＝30°，点P 在∠AOB 的内部，P 1与P 关于OA 对称，P 2与P 关于OB 对称，则△P 1OP 2是 （ ） A ．含30°角的直角三角形； B ．顶角是30的等腰三角形；
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形.
4．如图：等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则 ∠APE 的度数是 （ ） A ．45° B ．55° C ．60° D ．75°
5. 等腰梯形两底长为4cm 和10cm ，面积为21cm 2，则 这个梯形较小
的底角是（ ）度. A ．45° B ．30° C ．60° D ．90° 6．已知点P 在线段AB 的中垂线上，点Q 在线段AB 的中垂线外，则 （ ） A ．PA+PB ＞QA+QB B ．PA+PB ＜QA+QB D ．PA+PB ＝QA+QB D ．不能确定
7．已知△ABC 与△A 1B 1C 1关于直线MN 对称，且BC 与B 1C 1交与直线MN 上一点O ， 则 （ ） A ．点O 是BC 的中点 B ．点O 是B 1C 1的中点 C ．线段OA 与OA 1关于直线MN 对称
D ．以上都不对
8．如图：已知∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ， PD ⊥OA ，若PC=4，则PD= （ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
9．∠AOB 的平分线上一点P 到OA 的距离 为5，Q 是OB 上任一点，则 （ ）
A ．PQ ＞5
B ．PQ≥5
C ．PQ ＜5
D ．PQ≤5
B A
D P
O C P
A
E
C
B D
10．等腰三角形的周长为15cm ，其中一边长为3cm ．则该等腰三角形的底长为 （ ）
A ．3cm 或5cm
B ．3cm 或7cm
C ．3cm
D ．5cm 二．填空题
11．线段轴是对称图形，它有_______条对称轴． 12．等腰△ABC 中，若∠A=30°，则∠B=________．
13．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若CD=4，则点D 到AB 的距离是__________． 14．等腰△ABC 中，AB=AC=10，∠A=30°，则腰AB 上的高等于___________．
15．如图：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=6，AD=5，BC=8，且AB ∥DE ，则△DEC 的周长是____________． 16．等腰梯形的腰长为2，上、下底之和为10且有一底角为
60°，则它的两底长分别为____________．
17．若D 为△ABC 的边BC 上一点，且AD=BD ，AB=AC=CD ， 则∠BAC=____________．
18．△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，
若∠BAC=115°，则∠
EAF=___________． 三．解答题
19．如图：已知∠AOB 和C 、D 两点，求作一点P ，使PC=PD ，且P 到∠AOB 两边的距离相等．
20．如图：AD 为△ABC 的高，∠B=2∠C ，用轴对称图形说明：CD=AB+BD ．
21．有一本书折了其中一页的一角，如图：测得AD=30cm,BE=20cm ，∠BEG=60°，求折痕EF 的长．
B
E
C
D
A
A
C ·
·D O
B
A
C
D
B。