高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第五节指数与指数函数 理(1)

第五节 指数与指数函数
错误!
知识梳理 一、指数 1．根式．
(1)定义：如果x n
＝a 那么 x 叫做a 的n 次方根(其中n >1，且n ∈N *
)，式子n
a 叫做根式，这里的n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
(2)性质．
①当n 为奇数时，n
a n
＝a ；当n 为偶数时，n
a n
＝|a |＝⎩⎪⎨⎪
⎧
a ，a ≥0，－a ，a <0.
②负数没有偶次方根． ③零的任何次方根都是零． 2．幂的有关概念． (1)正整数指数幂：
(2)零指数幂：a 0
＝1(a ≠0)．
(3)负整数指数幂：a －p ＝1a
p (a ≠0，p ∈N *
)．
(4)正分数指数幂：a m
n ＝n
a m (a >0，m ，n ∈N *
，且n >1)． (5)负分数指数幂：a －
m
n ＝
1
a m
n
＝
1
n
a m
(a >0，m ，n ∈N *
，且n >1)．
(6)零的正分数指数幂为零，零的负分数指数幂没有意义． 3．有理数指数幂的性质．
(1)a r a s ＝a s ＋r
(a ＞0，r ，s ∈Q )．
(2)(a r )s ＝a sr
(a ＞0，r ，s ∈Q )．
(3)(ab )r ＝a r b r
(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 二、指数函数的定义
形如 y ＝a x
(a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数，其中x 是自变量，定义域是(－∞，＋∞)，值域是(0，＋∞)．
三、指数函数的图象和性质
1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.
2.理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.
3.了解指数函数模型的实际背景，知道指数函数是重要的函数模型.
基础自测
1．化简 (a，b为正数)的结果是( )
A.b
a
B．a
C.a
b
D．B
解析：原式＝
a
1
3b
8
3a
3
a
2
3b
4
3
＝
a
5
3b
4
3
a
2
3b
4
3
＝a，故选B.
答案：B
2．函数f(x)＝(a2－1)x在R上是减函数，则a的取值范围是( ) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．(－2,2)
C．(－∞，2)
D．(－2，－1)∪(1，2)
解析：0<a2－1<1,1<a2<2，解得－2＜a＜－1或1＜a＜ 2.故选D. 答案：D
3．函数y＝4x＋2x＋1－3的值域是________．
解析：定义域为R ，因为y ＝4x ＋2x ＋1－3＝(2x )2＋2·2x ＋1－4＝(2x ＋1)2－4，因为2x ＞0，所以(2x ＋1)2－4＞1－4＝－3.
所以y ＝4x ＋2x ＋1－3的值域为{y |y ＞－3}． 答案：{y |y ＞－3}
4．若x >0，则(2x 1
4＋33
2)(2x 1
4－33
2)－4x －
1
2(x －x 1
2)＝______.
解析：(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝4x 12－33－4x 1
2＋4＝－23. 答案：－23
1．(2013·北京卷)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x
关于y 轴对称，则f (x )＝( )
A ．e x ＋1
B ．e x －1
C ．e －x ＋1
D ．e
－x －1
解析：与y ＝e x 图象关于y 轴对称的函数为y ＝e －x .依题意，f (x )图象向右平移一个单位，得y ＝e －x 的图象．∴f (x )的图象由y ＝e －x 的图象向左平移一个单位得到．
∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.故选D. 答案：D
2．已知函数f (x )＝(x －k )e x
. (1)求f (x )的单调区间；
(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．
解析：(1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x .令f ′()x ＝0，得x ＝k －1. f (x )与f ′(x )随x 的变化情况见下表：
x (－∞，k －1)
k －1 (k －1，＋∞)
f ′(x ) －
0 ＋
f (x )
－e k －1
↗
(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1]上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.
综上所述，f (x )min
＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－k ，k ≤1，－e k －1
，1＜k ＜2，(1－k )e ，k ≥2.
答案：见解析
1．已知a ＝
52
，函数f (x )＝a x
，若实数m ，n 满足f (m )＞f (－n )，则m ，n 满足的关系为( )
A ．m ＋n <0
B ．m ＋n >0
C ．m >n
D ．m <n
解析：f (x )＝⎝⎛⎭
⎫52x
是R 上的增函数，实数m ，n 满足f (m )＞f (－n )，故m ＞－n ，即m ＋n ＞0.故选B.
答案：B
2．若函数f (x )＝e －(x －μ)2
的最大值是m ，且f (x )是偶函数，则m ＋μ＝______.
解析：∵函数f (x )＝e －(x －μ)2的最大值是1，∴m ＝1.又∵f (x )是偶函数，∴μ＝0.∴m ＋μ＝1.
答案：1。