3.1.1空间向量及其加减运算
3.1.1空间向量及其加减法
探究:
空间中，任意两个向量是否可能异面？
D’ A’
C’
a
B’
M
D A
C B
（2） 空间任意两个向量都可以转化为平面向量。
r 已u知uur空间r 两个任意向量 a
r 、b, 作
uuur r OA a,
OB b. 由O、A、B、三点确定一个平面
或共线可知，空间任意两个向量都 可用同
一平面内的有向线段表示。
向量表达式 (如图uu)ur
D1
(1)AB BC AuuCur
(2)AB CC1 A1B uuuur A1
C1 B1
(3)AA1 C1B1 DC uuAuCur 1
(4)AB AD AA1
AC1
uuuur
D
C
(5)DA DC DD1 uDuBu1ur A
B
(6)BA BC BB1 BD1
类比方法 数形结合思想
（1）三个力不共面，
（2）三力既有大小又有方向，但不在同一平
面上。
所以解决这类问题，需要空间知识，而
这种不在同一平面上的既有大小，又有方向
的量，我们称之为“空间向量”。这就是我
们今天所研究的内容：“空间向量及其加减
运算”
二．温故知新
(一）平面向量的有关概念
1.定义 向量：既有大小又有方向的量
2.表示方法
r a
r b
rB
br
O
aA
结论1：凡涉及空间两个向量的问题，平 面向量中有关结论仍适用于它们。
（3）与平面向量运算一样，我们定义 空间向量的加法、减法运算如下：
uuur uuur uuur r r OuBuur OuuAur AuuBur ar br, CA OA OC a b,
3.1.1 空间向量及其加减运算
课前篇自主预习
【做一做1】 下列命题正确的是( ) A.若向量a与b的方向相反,则称向量a与b为相反向量 B.零向量没有方向 C.若a是单位向量,则|a|=1 D.若向量m,n,p满足m=n,n=p,则不一定有m=p 解析单位向量是指模等于1的向量,所以若a是单位向量,则必有 |a|=1,即C项正确. 答案C
方法总结在进行减法运算时,可将减去一个向量转化为加上这个 向量的相反向量,而在进行加法运算时,首先考虑这两个向量在哪 个平面内,然后与平面向量求和一样,运用向量运算的平行四边形 法则、三角形法则及多边形法则来求.
④错误,空间四边形 ABCD 中,������������与������������的模不一定相等,方向也不
相反; ⑤错误,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,与������������1的模一定相等的向量是
������1������, ������������1, ������1������, ������������1, ������1������,一共有 5 个. 答案②③
及其运算律,理解空间向量 加法、减法的几何意义.
几何意义
课前篇自主预习
【思考1】类比平面向量的概念,能否给出空间向量的概念? 答案能.在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量. 1.空间向量及其表示 (1)定义:在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量.向量的大 小叫做向量的长度或模. (2)表示:①几何表示法,用有向线段表示; ②字母表示法,用a,b,c,…表示或用表示向量的有向线段的起点 和终点的字母表示. 如图,相应的向量可表示为:a 或������������. (3)模的表示方法:向量������������的模记为|������������|,向量 a 的模记为|a|.
3.1.1空间向量及其加减运算 课件(人教A版选修2-1)
答案
→ → → OA，OB，OC是不同在一个平面内的向
量，而我们以前所学的向量都在同一平面内． 结论：在空间，具有大小和方向的量叫空间向量．向量的 大小叫做向量的长度或模．
研一研· 问题探究、课堂更高效
3.1.1
问题 2 用？
空间向量和平面向量有什么区别？它有什么作
答案
空间向量与平面向量没有本质区别，都是表示既
量必相等；但两个向量相等，却不一定有起点相同，终 点相同，故①错；
研一研· 问题探究、课堂更高效
3.1.1
根据向量相等的定义，不仅模相等，而且方向相同，故② 错；
→ → 根据正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，向量AC与A1C1的方向相 → → 同，模也相等，应有AC＝A1C1，故③正确； 命题④显然正确； 空间中任意两个单位向量模均为 1，但方向不一定相同，故 不一定相等，故⑤错．
小结 在空间，零向量、单位向量、向量的模、相等（反） 向量的概念和平面向量完全一致，研一研· 问题探究、课堂更高效
3.1.1
( B )
跟踪训练 1 下列说法中正确的是 B．若向量 a 是向量 b 的相反向量，则 |a |＝|b| C．空间向量的减法满足结合律 → → → D．在四边形 ABCD 中，一定有AB＋AD＝AC
3.1.1
例 1 给出下列命题： ①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同； ②若空间向量 a， b，满足 |a |＝ |b |，则 a＝ b； → → ③在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，必有AC＝A1C1； ④若空间向量 m， n， p 满足 m＝ n， n＝ p，则 m＝ p； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中不正确的命题的个数是 ( C ) A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 解析 当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向
原创1：3.1.1 空间向量及其加减运算
归纳小结
2．熟练应用三角形法则和平行四边形法则
(1)利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾相连”
和向量的方向是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．
进行减法运算时，注意“共起点”，差向量的方向是从减向量
的终点指向被减向量的终点．
(2)平行四边形法则一般用来进行向量的加法运算．
它们的合力的大小为多少N?
知识点一：空间向量的概念
(1)定义：空间中具有 大小 和 方向 的量叫做向量．
B
(2)表示：
有向线段
向
量
的
表
示
几何表示
代数表示
A
知识点一：空间向量的概念
(3)特殊的向量
由模定义
零向量( 0 )
单位向量
(4)相等向量
由方向及模定义
相反向量
相等向量
方向相同且大小相等的向量
第三章
§3.1.1
空间向量与立体几何
空间向量及其加减运算
高中数学选修2-1·精品课件
引入课题
F1
F3
F2
三个力的特点是：
三力既有大小又有方向，
但不在同一平面上.
所以解决这类问题，
已知|F1|=2000N,
需要空间知识.
|F2|=2000N, |F3|=2000N,
空间向量
这三个力两两之间的夹角
都为60°,
另解： − − −
= − − +
=( − ) − +
= − +
= +
=0
同起点
跟踪训练
另解：设O为空间中任意一点
课件10:3.1.1 空间向量及其加减运算
1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量表达式 D→D1－ A→B
＋
→ BC
化简后的结果是(
A
)
→ A.BD1
→ B.D1B
→ C.B1D
→ D.DB1
2．对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是
(B)
A．b＝λa
B．a＝λb
C．a＝b
D．a＝－b
1．处理向量化简类题时注意充分利用图形 及平行四边形法则与三角形法则．
2．记忆适当的结论，如三角形底边中线向 量以及平行六面体对角线向量等的表示．
本节内容结束
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(1)单位向量共有多少个？
(2)试写出模为 5 的所有向量．
(3)试写出与
→ AB
相等的所有向量．
(4)试写出
→ AA1
的相反向量．
解析：(1)由于长方体的高为 1，所以长方形 4 条 高所对应的A→A1，A→1A，B→B1，B→1B，C→C1，C→1C，D→D1， D→1D这 8 个向量都是单位向量，而其他向量的模均不 为 1，故单位向量共 8 个．
例5
已知
→ AB
＝
C→D则|
→ AB
|＝|
→ CD
|反之，若|
A→ B
|＝|
→ CD
|
则
A→B＝
→ CD
成立吗？
5．长度相等且方向相同
例5 不成立
例6 (1)空间的一个平移就是一个______．
(2)向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表 示__________的向量．
(3)空间的两个向量可用同一平面内的________来表示， 空间任何两个向量都可以看作____________的向量．
3.1.1空间向量及其加减运算(第一课时)
b
结论：1）空间任意两个向量都是共面向量。 2）涉及空间任意两个向量问题，平 面向量中有关结论仍适用它们。
2.空间向量的数乘运算
例如:
a
3a
3a
2. 空间向量的数乘运算
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
即： (a b) a b （ ） a a a
进一步，OP还可表示为：
1-t OA ____ t OB OP ____
因为 所以
A
a
B
P
AB OB OA,
OP OA t(OB OA)
(1 t)OA tOB
O
1 则有 特别的，当t = 时， 2
1 OP (OA OB) 2
P点为A,B 的中点
A、B、P三点共线
定理 a // b (a 0)
b ，p a ， a b
共面
p xa yb
推论
AP t AB
OP OA t AB
AP x AB y AC OP OA x AB y AC
运用 判断三点共线，或两 判断四点共线，或直线平 直线平行 行于平面
列向量表达式，并标出 化简结果的向量：
D’ C’
⑴ AB BC ； ⑵ AB AD AA'；
A’
B’
D
C
A
B
例题
例 已知平行六面体 ABCD A' B' C ' D'，化简下 列向量表达式，并标出 化简结果的向量：
⑴AB BC； ⑵AB AD AA'； 解：⑴AB BC AC ⑵AB AD AA' AC AA' AC CC' AC'
课件11：3.1.1空间向量及其加减运算
（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
例题解析
例 已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，化简下列向 量表达式，并标出化简结果的向量.
(1) AB BC . (2) AB AD AA' .
D' A'
3.1.1 空间向量及其加减运算
学习目标
1. 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程. 2. 了解空间向量的概念. 3. 掌握空间向量的加减运算. （重点）
情景导入 看下面建筑
这个建筑钢架中有 很多向量，但它们有些 并不在同一平面内—— 这就是我们今天要学习 的空间向量.
复习引入 引入 复习平面向量 ⒈定义： 既有大小又有方向的量叫向量． 几何表示法： 用有向线段表示.
由于任意两个空间向量都能平移到同一空间，所以 空间向量的加减运算与平面向量的加减运算相同.
aA
ob
B
C
B
o
a
A
加法: OB=OA+AB=a+b， 减法：CA=OA-OC=a-b.
2. 空间向量的加法运算律
你能证明下 列性质吗？
（1）加法交换律
a+b=b+a
（2）加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
D A
C' B'
C B
解: ⑴ AB BC AC .
D'
(2) AB AD AA'
A'
AC AA'
AC CC'
AC' .
课件9:3.1.1 空间向量及其加减运算
【解析】1.方法一(统一成加法运算)：
原式＝AB CD AC BD AB BD DC CA AD DA 0.
方法二 利用OA OB BA :
原式＝AB CD AC BD
AB AC CD BD CB CD BD
DB BD 0.
方法三(利用 AB OB OA )： 设O是空间内的任意一点，则
【拓展提升】 1．化简空间向量式的常用思路 (1)统一成加法后利用空间多边形法则化简. (2)利用向量的减法法则，即利用 OA OB BA 化简. (3)利用 AB OB OA，把各个向量转化成与空间的某一点有 关的向量化简.
2．在几何体中用已知向量表示其他向量时的解答技巧 灵活运用空间向量的加法与减法法则，尽量走边路(即沿 几何体的边选择途径)，多个向量运算时，先观察分析 “首尾相接”的向量使之结合，使用减法时，把握“共 起点，方向指向被减向量”.
AA 1 AB 1 AD, 22
x y 1. 2
3AF AB BC CF
AB AD 1 (BA BB) 2
AB AD 1 (AB AA) 2
AD 1 AB 1 AA, 22
x y 1. 2
【拓展提升】利用向量解决几何问题的一般思路
【易错误区】对空间向量的概念理解不到位而致错 【典例】下列说法中，正确的个数为( ) ①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②若向量 AB，CD 满足AB CD ，且 AB与CD 同向，则 AB＞CD ； ③若两个非零向量 AB与CD满足 AB CD 0，则 AB与CD为相反 向量．
(3)首尾相接的向量之和等于由起始向量的始点指向末尾 向量的终点，因此，求空间若干向量之和时，可通过平 移将它们转化为首尾相接的向量，如图：
3.1.1空间向量及其加减运算
1.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式， 并标出化简结果的向量。(如图)
(1)AB AD AA1;
(2)B1A1 B1C1 B1B
D1 A1
C1 B1
解:
(2)B1A1 B1C1 B1B
(1)AB AD AA1;
D
AC CBB1DC1D11 D1D A
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1
An1
A2
An
A3
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量，即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1 0
A1
An1
A2
An
A3
A4
目标3：借助图形理解空间向量加减法及其运算律的意义
运算律的类比
合作交流，运算类比
平面向量
空间向量
加法交换律
abba abba
加法结合律
(a b) c a (b c)
成立吗？
空间向量的加法结合律的验证 (a b) c a (b c)
左边 : (a b) c 右边：a (b c)
O
a
A
C B
结 论A2C：1始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为邻边
的平行六面体的同始点的对角线所表示的向量.
课堂小结，梳理提升
加减运算 加法运算律
类比法
基本概念
平
推广
空
面
间
化归思想
向
向
量
量 数形结合思想
转化
教学设计1：3.1.1 空间向量及其加减运算
3．1.1空间向量及其加减运算教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：一.复习引入在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？那么，空间中的向量应该如何表示呢？其定义及运算与平面向量又有什么关系呢？二.思考分析李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m，最后乘电梯上升15 m到5楼的住处．在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示)．问题1：以上三个位移是同一个平面内的向量吗？提示：不是．问题2：如何刻画李老师行驶的位移？提示：借助于空间向量的运算．三.抽象概括空间向量表示法几何表示法空间向量用有向线段表示.字母表示法用一个字母表示，如图，此向量的起点是A，终点是B，可记作a，也可记作AB，其模记为|a|或|AB―→|.几类特殊向量①零向量：规定长度为0的向量叫做零向量，记为0.②单位向量：模为1的向量称为单位向量.③相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量，记为－a.④相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间向量的加减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB＝OA＋AB＝a＋b；CA＝OA－OC＝a－b.加法运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).1．向量是既有大小又有方向的量，其中长度可以比较大小，而方向无法比较大小．一般来说，向量不能比较大小．2．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行．3．单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量．4．空间向量是可以平移的，空间中的任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示，所以空间任意两个向量是共面的．四.例题分析及练习[例1]下列说法中正确的是()A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形ABCD中，一定有AB＋AD＝AC[思路点拨]根据向量的概念及运算律两方面辨析．[精解详析]|a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定．对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有AB ＋AD＝AC，只有在平行四边形中才能成立．故A、C、D均不正确．[答案]B[感悟体会](1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键． 训练题组11．给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．1解析：零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，不一定起点相同、终点也相同，故②错；根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a 与b 的方向不一定相同，故③错；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错． 答案：D2．给出下列四个命题：(1)方向相反的两个向量是相反向量； (2)若a ，b 满足|a |>|b |且a ，b 同向，则a >b ； (3)不相等的两个空间向量的模必不相等； (4)对于任何向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |. 其中正确命题的序号为( )A ．(1)(2)(3)B ．(4)C ．(3)(4)D ．(1)(4)解析：对于(1)，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(1)错；对于(2)，向量是不能比较大小的，故不正确；对于(3)，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故(3)错；只有(4)正确． 答案：B3.如图，在长、宽、高分别为AB ＝4，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？ (2)写出模为5的所有向量． (3)试写出AA 1―→的相反向量．解：(1)因为长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量1AA ，1A A ，1BB ，1B B ，1DD ，1D D ，1CC ，1C C 共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)因为长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有1AD ，1D A ，1C B ，1BC ，1B C ，1CB ，1A D ，1DA .(3)向量1AA 的相反向量为1AA ，1B B ，1C C ，1D D ，共4个. [例2] 化简(AB －CD )－(AC －BD )．[思路点拨] 根据向量加减运算的法则进行，注意向量的起点、终点． [精解详析] 法一：∵AB －CD ＝AB ＋DC ， ∴(AB －CD )－(AC －BD )＝AB ＋DC －AC ＋BD ＝AB ＋BD ＋DC ＋CA ＝AD ＋DA ＝0.法二：(AB －CD )－(AC －BD )＝AB －CD －AC ＋BD ＝(AB －CD )＋(DC －DB )＝CB ＋BC ＝0. [感悟体会](1)掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范．(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果． 训练题组24．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1DD －AB ＋BC 化简后的结果是( ) A ．1BD B ．1D B C ．1B D D ．1DB解析：由正方体的性质可得1DD －AB ＋BC ＝1DD －DC ＋BC ＝1CD ＋BC ＝1BD . 答案：A5．已知空间四边形ABCD 中，AB ＝a ，CB ＝b ，AD ＝c ，则CD 等于( ) A ．a ＋b －cB ．－a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c解析：因为CD ＝CB ＋BA ＋AD ＝CB －AB ＋AD ＝b －a ＋c ，所以CD ＝－a ＋b ＋c . 答案：C6.如图所示，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．(1) 'AA －CB ； (2) 'AA ＋AB ＋''B C .解：(1) 'AA －CB ＝'AA －DA ＝'AA ＋AD ＝'AA ＋''A D ＝'AD . (2) 'AA ＋AB ＋''B C ＝('AA ＋AB )＋''B C ＝'AB ＋B ′C ′＝'AC . 向量'AD 、'AC 如图所示．五.课堂小结与归纳(1)空间中的单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中对应的概念完全一样．(2)在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．如图，1OA ＋12A A ＋23A A ＋34A A ＋45A A ＋56A A ＝6OA .即首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．求若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和． 六.当堂训练1．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与向量AD 相等的向量共有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：与AD 相等的向量有11A D ，BC ，11B C ，共3个． 答案：C2．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，模与向量A B ''的模相等的向量有( ) A ．7个B ．3个C ．5个D ．6个解析：|D C ''|＝|DC |＝|C D ''|＝|CD |＝|BA |＝|AB |＝|B A ''|＝|A B ''|. 答案：A3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为1BD 的是 ( )①(11A D －1A A )－AB ②(BC ＋1BB )－11D C ③(AD －AB )－1DD ④(11B D －1A A )＋1DDA ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 解析：①(11A D －1A A )－AB ＝1AD －AB ＝1BD； ②(BC ＋1BB )－11DC ＝1BC －MN ＝1BD ； ③(AD －AB )－1DD ＝BD －1DD ≠1BD ；④(11B D －1A A )＋1DD ＝1BD ＋1DD . 答案：A4．已知平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且OA ＝a ，OB ＝b ，则BC ＝( ) A ．－a －b B ．a ＋b C.12a －bD ．2(a －b )解析：如图，∵OA ＝a ，OB ＝b ，∴BO ＝－b ，OC ＝－a ，∴BC ＝BO ＋OC ＝－b －a .答案：A5．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA ＝a ，CB ＝b ，1CC ＝c ，则1A B ＝________.解析：1A B ＝1B B －11B A ＝1B B －BA ＝1B B －(CA －CB ) ＝－c －(a －b )＝－c －a ＋b . 答案：－c －a ＋b6．化简AB －AC ＋BC －BD －DA ＝________.解析：AB －AC ＋BC －BD －DA ＝AB ＋BC ＋CA ＋AD ＋DB ＝AC ＋CA ＋AD ＋DB ＝AB .答案：AB7.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1) CB ＋1BA ； (2) AC ＋CB ＋121AA ；(3) 1AA －AC －CB . 解：(1) CB ＋1BA ＝1CA .(2)因为M 是BB 1的中点，所以BM ＝121BB .又1AA ＝1BB ，所以AC ＋CB ＋121AA ＝AB ＋BM ＝AM .(3) 1AA －AC －CB ＝1CA －CB ＝1BA . 向量1CA ，AM ，1BA 如图所示．8．已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′.求证：AC ＋AB '＋AD '＝2AC '.证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC ＝AB ＋AD ，AB '＝AB ＋AA '，AD '＝AD ＋AA '，∴AC ＋AB '＋AD '＝(AB ＋AD )＋(AB ＋AA ')＋(AD ＋AA ') ＝2(AB ＋AD ＋AA ')． 又∵AA '＝CC '，AD ＝BC ，∴AB ＋AD ＋1AA ＝AB ＋BC ＋CC '＝AC ＋CC '＝AC '， ∴AC ＋AB '＋AD '＝2AC '.。
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《向量及向量的加法与减法》误区何在
由于向量具有几何与代数两个方面的特征，因此，对向量及相关概念的理解上易混同于
实数，向量加法与减法容易混淆于代数的加法与减法，即容易混淆其几何与代数性质而造成
错误.下面举例说明.
误区一：混淆向量→0与实数0
例2在下列四个不等式中，正确等式的个数是( )
①→a－→a＝0；②→a＋→0＝→a；③若→a＝→0，→b＝→0，则→a＋→b＝0；④|→a|－|→a|＝→0
A.1
B.2
C.3
D.4
错解：四个式子都正确，故选D.
剖析：①错：因为两个向量相减仍是向量，→a－→a应得向量→0；②式正确；③错：因为
两个零向量之和为零向量，④错：因为向量的长度是实数，它们的差|→a|－|→a|应是实数0，
因而正确答案应选A.
特别提醒：对向量概念的理解及进行向量运算时要注意与数量及数量运算的区别：向量
的加减运算结果仍是向量，数量的加减运算结果仍是数量.
误区二：混淆向量平行与直线平行
例2下列命题中正确的命题个数是（）
①若→a∥→b且→b∥→c，则→a∥→c；②若→AB∥→CD，则直线AB∥CD；③若→AB与→CD共线，则A、
B、C、D四点共线.
A.0
B.1
C.2
D.3
错解：全部正确，选D.
剖析：①错：因为与直线平行的传递性混淆所致.若→b＝→0，则→a与→c可以为任意向量，
因此得不到→a∥→c；②错：这是因为把平行向量的概念与平行直线的概念等同所致.因为→AB∥
→
CD只能说明这两个向量的方向相同或相反，所以当A、B、C、D四点在一条直线上时，可得→AB CD，但不能得出AB∥CD.③错：错误原因是把向量共线与平面几何中的线段共线等同.在平
∥→
AB与→CD共线，即→AB与→CD是平行
面几何中，若AB与CD共线，可得A、B、C、D四点共线；而→
AB与→CD的方向相同或相反即可，当然A、B、C、D四点不一定共线.
向量，→
特别提醒：注意平行向量与平行直线、共线向量与线段共线是既有联系又有区别的，在
解题时不能等同.
误区三：混淆路程和位移的概念
例3一架飞机向北飞行300km，然后改变方向向西飞行300km，最后又改变方向再向
北飞行300km，求飞机飞行三次位移和.
错解：300×3＝900(km)，即飞机飞行三次的位移和为900km.
剖析：上述解法混淆了路程和位移的概念，路程只有大小，没有方向，而位移是向
量，既有大小又有方向，其运算遵循平行四边形法则或三角形法则.
AB|＝|→BC|＝|→CD|＝300，|→AE|＝300，|→ED|＝600,
正解：如图1所示，|→
图1
故|→AD
|＝|→AE |2＋|→ED |2＝3005，ta n ∠EAD ＝|→ED ||→EA |＝600300
＝2，故∠EAD ＝a r cta n2， 因为→AB
＋→BC ＋→CD ＝→AD ，所以飞机飞行三次位移的和是→AD ，它的大小是3005km ，方向是西偏北a r cta n2.
特别提醒：在物理学中除位移外，还有许多物理量都属于向量，如速度、加速度、力等，因此在利用向量解答与物理学中相关的量问题时，一定要弄清楚量的性质.
误区四：忽视向量减法的几何意义
例4计算：(1)如图2，求→AB －→AC ；(2)如图3，求→AB －→CD ；(2)如图4，求→AB －→BC . 错解：(1)→AB
－→AC ＝→BC ；(2)→AB －→CD ＝→DB ；(3)→AB
－→BC ＝→CA . 剖析：错解错误的原因是不理解向量减法的几
何意义，要求两个向量的差，应该将它们的起点平
移至同一个点，然后将它们的终点连结起来，并且
指向被减向量.
正解：(1)→AB －→AC ＝→CB . (2)如图5，过点A 作→AE ＝→CD ，则→AB
－→CD ＝→AB －→AE ＝→EB . (3)如图6，过点A 作→AD ＝→BC ，则→AB －→BC ＝→AB －→AD ＝→DB . 特别提醒：利用三角形法则进行向量的减法运算时注意两点，一是两个向量共起点，二是所得向量方向指向被减向量的终点；利用三角形法则进行加法运算时也要注意两点，一是向量必须首尾相接，二是所得向量方向指向最后一个向量的终点.
误区五：错用实数运算律或运算法则
例5如图7，已知矩形ABCD ，|→AB |＝1，|→AD |＝2，设→AB ＝→a ，→BC ＝→b ，→BD ＝→c ，则|→a ＋
→b ＋→c |＝______.
错解：|→a ＋→b ＋→c |＝|→a |＋|→b |＋|→c |＝3＋ 5.
剖析：上述解法受实数运算律和运算法则的影响致错.由向量的三角形法则有
|→a ＋→b ＋→c |＝|→AB ＋→BC ＋→BD |＝|→AB ＋→BD ＋→AD |＝|→AD ＋→AD |＝2|→AD |＝4. 特别提醒：在向量的加减法运算中要善于运用向量的加法运算的交换律、结合
律，向量加法的三角形法则，及加减法的互化等法则，千万莫与实数的运算律或运算法混淆.
图2 图3 图 4
图5 图 6
图7。