空间向量及其加减数乘运算
空间向量及其加减、数乘和数量积运算
8． 6 空间向量及其加减、数乘和数量积运算1．空间向量的有关概念(1) ___________________________________ 空间向量：在空间，我们把具有和的量叫做空间向量．(2) _________________________ 零向量：规定的向量叫做零向量．(3) __________________ 单位向量：的向量称为单位向量．(4) ___________________________________ 相反向量：与向量a 的向量，称为a 的相反向量，记为－a.(5) _________________________ 相等向量：的向量称为相等向量．(6) 空间向量的加法运算满足交换律及结合律：a+ b=__________ ;(a + b) + c = _______________ .2．空间向量的数乘运算⑴向量的数乘：实数入与空间向量a的乘积?a仍然是一个向量，称为向量的数乘.①当X _ 0时，入a与向量a方向相同；当X __ 0时，入a与向量a方向相反.②入a的长度是向量a的长度的________ 倍.(2) 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：①分配律：X(a＋b)= __________ ．②结合律：X宙)= _________ .(3) 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线_____________________ ，则这些向量叫做共线向量或平行向量．⑷共线向量定理：对空间任意两个向量a, b(b z 0), a // b的充要条件是______________________ .⑸空间直线I的方向向量：和直线I _________ 的非零向量a叫做直线I的方向向量.⑹空间直线的向量表示：I为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点0,点P在直线I上的充要条件是___________________________________ ，特别地，如果 a = AB，则上式可以化为OP = 0A + tAB，或_________________ ，这也是空间三点A, B, P共线的充要条件.(7) 共面向量： _______________ 的向量叫做共面向量．(8) 空间共面向量定理：如果两个向量a, b 不共线,那么向量p 与向量a, b 共面的充要条件是推论：对空间任意一点0和不共线的三点A, B, C,满足向量关系式 _______________________________ ，其中__________ ,则点P 与点A, B, C 共面.3.空间向量的数量积运算(1) 空间向量的数量积：已知两个非零向量a, b,则 ___________________ 叫做a, b的数量积，记作a b,通常规定，0w〈a, b〉w n对于两个非零向量a, b, a丄b? ____________ .(2) 空间零向量与任何向量的数量积为.(3) a a = |a||a|cos〈 a, a>= ______ .(4) 空间向量的数量积满足如下的运算律：①(X) • b= __________ ;②ab= __________ (交换律);③ a (b+ c) = ________________ (分配律).自查自纠1. (1)大小方向⑵长度为0 (3)模为1⑷长度相等而方向相反⑸方向相同且模相等(6)b+ a a + (b+ c)2. (1)①〉v ②|入| (2)① 扫+?b ②(入卩)a(3) 互相平行或重合(4)存在实数入使a= ^bO)P= (i-t)oA+to)B (7)平行于同一个平面3. (1)|a||b|cos〈a, b> a b= 0 (2)0⑶|a|1 2 3 (4)① «a b) ② b a ③a b+ a cO 在长方体ABCD-A1BQ1D1 中，BA + Be + D D1=( )A. D1B1B.D1BD.B D1~--> —> —> —> —> —>解：BA+ BC+ DD1=CD + BC + DD1 =BD + DD1=BD1,故选D.电平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若A B = a, AD = b, A A1 =等的是()11 11A . - 2a + 2b+ c B. 2a + ?b—c1 1 1 1C. —?a+ ?b—cD. —2 a—? b+ c解：BlM = B?B + BM = —c+ 1BD = —c+ 2(b—a) = —*a + 2b—c,故选C.nOB = OC,且/ AOB = Z AOC =三贝U cos〈3⑸平行⑹存在实数t,使齐=O +1aC.(8)存在惟一的有序实数对—> —> —> —>OP = xOA + yOB +(x, y),使p= x a + y bx+ y+ z= 1C.DB1c,则下列式子中与B1M相©如图所示，已知空间四边形OABC, ,BC >的值为()o解：设0A = a , OB = b , OC = c ,由已知条件〈a , b 〉=〈 a , c 〉= n 且 |b |= |c |, OA • BC = a (c — b )= a c — a b 3 11 f f=2|a ||c |— 2|a ||b |= 0，所以 cos 〈OA , BC 〉= 0•故选 A.已知空间四边形 OABC ，点M , N 分别是OA , BC 的中点，且OA = a , OB = b , OC = c ,用a , b , c 表示向 量 MN = ________ .解：如图所示，MN = *(MB + MC)= *[(OB — OM)+ (OC — OM)] = ^(OB + OC — 2O)M)= g(OB + OC — OA)=g(b + c —a ).故填 2(b + c — a ).(2017鞍山市育英中学月考)已知在正方体 ABCD-A i B i C i D i 中，侧面CCQ i D 的中心是F ，若A F = A D + mAB + nAA r ，贝H m = ________ , n = ________ .解：因为A F = A D + D F = A D + ^(D C + D D i )=A D +2(AB + A ^i ) = A D + ~A B + ^A X I ，所以 m = n =*.故填2； 4 5.类型一空间向量的运算GE （20i7枣阳市鹿头中学月考）如图所示，在空间几何体 ABCD-A i B i C i D i 中，各面为平行四边形， 设AA i = a , AB = b , AD = c , M , N , P 分别是AA i , BC , CQ i 的中点，试用 a , b , c 表示以下各向量：4 AP ；5 MP + NC i .解：(i)因为 P 是 C i D i 的中点，所以 AP = AA i + A i D i + D i P = a + AD + 2D i C i = a + c +?AB = a + c +^b. ⑵因为M 是AA i 的中点， 所以 IMP = MA + A P =苏》+A P =—a + a + c + 丁 b = 2a + ；b + c .-f f f i -f f i -f f又 NG = NC + CC i =尹c + AA i = 2AD + AA i方类解析1=2。
9.5空间向量及其运算第一课时空间向量及其加减与数乘运算-PPT课件
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想一想： 1．空间向量的概念及表示方法 如同平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量． 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向 量或相等的向量． 2．空间向量的加法、减法与数乘运算的定义 (1)与平面向量一样，我们定义空间向量的加法、减法与数乘向量，运算如下： OB― →＝ OA― →＋ AB― → ＝a＋b； CA― →＝ OA―→－ OC― → ＝ a－ b； OP― →＝ λa(λ∈ R)．
法二：用三角形法则求：作 MN― →＝ a， NP― →＝b，则有如图(2)所示 MP― →＝ a＋ b. 2．向量的减法运算结果仍是向量，它可以看作是加法运算即 a－ b＝a＋ (－b)，例如上 面图(2)中 MP― →－ MN― →＝ NP― →，图 (1)中 AB―→－ AD―→＝ DB― →.
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做一做： 1．两个向量 (非零向量)的模相等是两个向量相等的 ( B (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
)
解析：两个向量相等，则其模也相等，反之，则不一定正确．应选 B.
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3.1空间向量及其运算
当堂自测
4．已知 A，B，C 三点不共线，O 为平面 ABC 外一点，若 1→ 2→ → → 确定的点 P 与 A，B，C 共面，则 由向量OP＝ OA＋ OB＋λOC 5 3 2 λ＝________ ． 15
向量概念的应用
例 1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( D ) A．若向量 a，b 平行，则 a，b 所在直线平行 B．若|a|＝|b|，则 a，b 的长度相等而方向相同或相反 → ，CD → 满足|AB → |>|CD → |，则AB → >CD → C．若向量AB → 与CD → 满足AB → ＋CD → ＝0，则AB → ∥CD → D．若两个非零向量AB
范老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶 2 000 m， 再向西行驶 2 500 m， 最后乘电梯上升 30 m 到 10 楼的住处． 在 这个过程中， 范老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是 三个位移的合成(如图所示)，它们是不在同一平面内的位移．如 何刻画这样的位移呢？
复习与预习
当堂自测
1．在平行六面体 ABCD -A1B1C1D1 中，M 为 AC 与 BD 的交 → → → 点．若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则下列 → 向量中与B 1M相等的向量是 ( A ) 1 1 1 1 A．－ a＋ b＋c B． a＋ b＋c 2 2 2 2 1 1 1 1 C． a－ b＋c D．－ a－ b＋c 2 2 2 2
[解析] (2)若 2ke1－e2 与 e1＋2(k＋1)e2 共线， 则 2ke1－e2＝λ[e1＋2(k
2k＝λ， 1 ＋1)e2]，∴ ∴k＝－ . 2 －1＝2λ（k＋1），
[小结 ] 可以利用向量之间的关系判断空间任意三点共线， 这 与利 用平 面向量 基本 定理 判断平 面内 三点共 线是 相似 的．结合共线向量的有关知识可知，要证空间中 E， F， B 三点共线，只需证明下面结论中的一个成立即可： → → → → → → → → (1)EB＝mEF；(2)AB＝AE＋λEF；(3)AB＝nAE＋(1－n)AF.
《空间向量的加减法与数乘运算》
②结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.
2.空间向量的数乘运算
（1）数乘运算法则与平面向量类似，实数 与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作
a.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算，向量a的长度和方向满足：
① | a || || a |
②当 >0时，向量 a与向量a方向相同；当 <0时，向量a与向量a方向相反；当
（1）. AB AD AA'
（2）.DD AB BC （3）. AB AD 1 (DD' BC)
2
解 （1）. AB AD AA AC AA AC CC AC
（2）. DD AB BC BB BA
（3）设点M为CB'的中点，则AB
AC 1 CB AM
ADBC1(DBAD
设计意图
师生互动，通过教师讲解、学生板演等方式研究例题，突破重难点，提升学生的直观想 象、数学运算及逻辑推理核心素养.
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归纳小结
教学内容
1.基本知识 （1）空间向量的加减法运算法则； （2）加法运算律； （3）空间向量的数乘运算及其运算律； （4）共线向量基本定理. 2.数学核心素养 （1）直观想象； （2）数学运算； （3）逻辑推理.
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高中数学 GAOZHONGSHUXUE
归纳小结
师生互动
教师引导学生分组回答，小组评价.
设计意图
培养学生的概括总结能力.
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布置作业
教学内容
教材第100页练习第1，2题.
师生互动
学生独立完成，教师批改.
空间向量及其加减数乘运算(北师大版选修2-1)
D1 A1 G D A B C B1
C1
M
解：) AB BC AC; (1 ＝
(2) AB AD AA AC AA AC CC1 AC1 1 1
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
F2
F1=10N
F2=15N
思考题：考虑空间三个向量共面的充要条件.
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
C
A
Aห้องสมุดไป่ตู้
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法 数乘 运算 运 算 律
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
加法交换律 a b b a
加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a k b ＋
C
B
(2) AE AA x AB y AD
'
A
D C
B
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列
各式中的x,y.
E
A
D
C
(1) AC x( AB BC CC )
' '
B
(2) AE AA x AB y AD
向量及其加减法,向量与数的乘法
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
以M1为起点，M2 为终点的有向线段.
向量的模： 向量的大小.| a| 或 | M1M2 |
单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1 M 20
零向量：模长为0的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
四、小结
向量的概念（注意与标量的区别） 向量的加减法（平行四边形法则） 向量与数的乘法（注意数乘后的方向）
思考题
已知平行四边形ABCD的对角线
AC a,
BD b
10、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的
11、始 要使点，a则b终点a构 b成成__立__，__向__量_a__,_b_应__满__足_____；_____
12、_要__使__a___b___a____b_成_；立，向量a,
b 应满足_______
___________ .
二、用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平 行四边形 .
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量. a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
二、向量的加减法
[1]
加法：a
b
c
（平行四边形法则）
b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若 a‖
a b
空间向量的加减和数乘运算
分配律
$k(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) = koverset{longrightarrow}{a} + koverset{longrightarrow}{b}$。
单调性
当$k > 0$时，数乘会使向量增大；当$k < 0$时，数乘会使向量缩小。
在线性代数中，向量组的线性组合可以通过数乘运算来实现，从而研究向量组之间的关系。
向量组的线性组合
向量空间是由向量构成的集合，通过向量的加减和数乘运算可以研究向量空间的结构和性质。
向量空间
04
空间向量加减和数乘运算的注意事项
01
02
零向量的特殊性
零向量与任意向量数乘，结果仍然是零向量。
零向量与任意向量相加或相减，结果仍然是该任意向量。
解析
根据空间向量加法和减法的定义，$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + (overset{longrightarrow}{a} - overset{longrightarrow}{b})$的坐标等于两个向量的对应坐标相加和相减。即，$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + (overset{longrightarrow}{a} - overset{longrightarrow}{b}) = ( - 1 + 3,5 + ( - 1),2 + 4) = (2,4,6)$。
计算方法
根据定义，数乘的计算方法为将向量的每个分量分别乘以该实数。
空间向量及其加减运算和数乘运算
详细描述
向量减法满足交换律和结合律，即 $overset{longrightarrow}{AB} overset{longrightarrow}{CD} = overset{longrightarrow}{CD} overset{longrightarrow}{AB}$，并且 $(overset{longrightarrow}{AB} overset{longrightarrow}{CD}) overset{longrightarrow}{EF} = overset{longrightarrow}{AB} (overset{longrightarrow}{CD} + overset{longrightarrow}{EF})$。
总结词
向量加法是将两个向量首尾相接，然后由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量。
详细描述
向量加法是向量运算中的基本运算之一，其定义是将两个向量首尾相接，然后由第一个向量的起点指向第二个向 量的终点的向量。在二维空间中，向量加法可以通过平行四边形的法则进行计算；在三维空间中，向量加法可以 通过三角形法则进行计算。
向量加法的几何意义
总结词
向量加法的几何意义是表示两个向量在空间中的相对位置关系。
详细描述
向量加法的几何意义可以理解为表示两个向量在空间中的相对位置关系。具体来说，如果有一个向量 $overset{longrightarrow}{AB}$和另一个向量$overset{longrightarrow}{CD}$，那么 $overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{CD}$表示向量$overset{longrightarrow}{AB}$和向 量$overset{longrightarrow}{CD}$在空间中的相对位置关系。
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3.共线向量定理: a // b a b (其中 b 0 )
当 x y 1 时, P 为 A, B 的中点 2
6.空间向量基本定理:若向量 a,b, c 不共面,则对于空间任意向量 p ,存在有序
实数组{x, y, z},使得 p xa yb zc .
或：空间四点 O, A, B,C 不共面,则对于空间任意一点 P ,存在有序实数组
{x, y, z},使得 OP xOA yOB zOC . 特别地: 当 x y z 1时, P, A, B,C 四点共面
三.特殊向量:
1.零向量： 0 ，即 0 =0 ； 规定:零向量的方向是任意的.
2.单位向量：模为1个单位长度的向量.
四.向量间的关系:
1.相等向量:方向相同且模相等的向量.
2.相反向量:与 a 长度相等,方向相反的向量,叫做 a 的相反向量. 记作: a
3.共线向量(平行向量):表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合. 记作： a // b 规定： 0 // a (其中 a 为任一向量)
当 x y z 1 时, P 为 ABC 的重心 3
问题.已知 A、B、M 三点不共线，对于平面 ABM 外的任一点 O， 确定在下列各条件下，点 P 是否与 A、B、M 一定共面？ (1)O→B＋O→M＝3O→P－O→A；(2)O→P＝4O→A－O→B－O→M.
例 3 如图所示，已知平行四边形 ABCD， 过平面 AC 外一点 O 作射线 OA，OB， OC，OD，在四条射线上分别取点 E，F， G，H，并且使OOEA＝OOFB＝OOGC＝OOHD＝k， 求证：E，F，G，H 四点共面．
跟踪训练 2.化简： (1)(A→B－C→D)－(A→C－B→D)； (2)(A→B＋C→D)－(A→C＋B→D)．
3.1.2 空间向量的数乘运算
1.向量的数乘运算： a (其中 R )
①模： a a ； ②方向： 0 ， a 的方向与 a 相同；
0 ， a 的方向与 a 相反； 0，a 0.
减向量终点指合律
①ab ba
② (a b) c a (b c)
O
a
A
b
向量加法结合律：
O
a
b +c
CA
C
B
c
b
(空间向量)
Bc
推广: （1）首尾相接的若干向量之和,等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A1A2 A2 A3 An1An A1An
第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
(类比学习法:类比平面向量学习空间向量)
3.1.1 空间向量及其加减运算
一.定义:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.
(向量的大小叫做向量的长度或模.如: a )
二.向量的表示:
1.几何表示：空间向量也用有向线段表示
2.字母表示： AB , a
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中不正确的命题的个数是( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
五.空间向量的加减运算
1.加法运算： ①三角形法则(首尾相连)
②平行四边形法则(起点相同)
2.减法运算：三角形法则(起点相同)
b
a
向量加法的三角形法则
b ab a
向量加法的平行四边形法则
b
a
向量减法的三角形法则
OP OA t AB (其中 t R )
这两个等式都称为空间直线的向量表示式.
5.平面向量基本定理: 若向量 a，b 不共线
则 p 与 a, b 共面 p xa yb (其中实数 x, y 存在且唯一) 或:若 A, B,C 为不共线三点
则 P, A, B,C 四点共面 CP xCA yCB (其中实数 x, y 存在且唯一) 特别地: 当 x y 1时, P, A, B 三点共线
③与 a(a 0) 同向的单位向量为： a ； a
分配律 (a b) a b 2.运算律：
结合律 （ a) ( )a
例 1.设 A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心． 求证：A→G＝31(A→B＋A→C＋A→D)．
证明 连接 BG，延长后交 CD 于点 E，由 G 为△BCD 的重心，知B→G＝23B→E.
例 2 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E 在 A1D1 上，且A→1E＝2E→D1，F 在对 角线 A1C 上，且A→1F＝23F→C. 求证：E，F，B 三点共线．
4.共线向量定理的推论: 若点 A, B 直线 l , a 为 l 的方向向量 则 点 P l OP OA ta
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A1A2 A2 A3 An1An An A1 0
例 2.如图,已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1 (底面是平行四边形的四棱柱)， 化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量． (1) AA1 CB ； (2) AA1 AB B1C1 ； (3) DC AD AA1 .
4.共面向量: 空间中任何两个向量都是共面向量.
例 1.给出下列命题： ①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同； ②若空间向量 a，b ，满足 a b ，则 a b ； ③在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，必有A→C＝A→1C1； ④若空间向量 m, n, p ，满足 m n, n p ，则 m p ；