3.1.1空间向量及其加减运算专项练习与答案
2020秋高中数学人教版2-1达标练习：3.1-3.1.1 空间向量及其加减运算含解析
2020秋高中数学人教A版选修2-1达标练习：3.1-3.1.1 空间向量及其加减运算含解析A级基础巩固一、选择题1．下列说法中正确的是(）A．任意两个空间向量都可以比较大小B．方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的空间向量可以比较大小C．空间向量的大小与方向有关D．空间向量的模可以比较大小解析：由向量概念可知只有D正确．答案:D2．下列说法中正确的是()A．若｜a｜＝｜b|，则a，b的长度相等，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量,则｜a｜＝|b｜C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形ABCD中,一定有错误!＋错误!＝错误!解析：｜a|＝｜b|，只是说明a，b模相等，但方向不确定，所以A错；相反向量方向相反，模相等,则B正确；C显然不对；四边形ABCD若为平行四边形则满足此式错误!＋错误!＝错误!，有的不规则四边形ABCD不满足此式,D错．答案:B3．已知空间向量错误!、错误!、错误!、错误!，则下列结论正确的是(）A.错误!＝错误!＋错误!B.错误!－错误!＋错误!＝错误!C.错误!＝错误!＋错误!＋错误! D。
错误!＝错误!－错误!解析:错误!－错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!.答案：B4．已知正方形ABCD的边长为1,设错误!＝a,错误!＝b，错误!＝c，则|a＋b＋c|等于(）A．0 B．3 C．2＋错误!D．2错误!解析:利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解,|a ＋b＋c|＝2|错误!|＝2错误!.答案:D5。
如图，在长方体ABCD。
A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量错误!的是()①（错误!－错误!)－错误!；②(错误!＋错误!)－错误!；③(错误!－错误!)－错误!；④(错误!－错误!)＋错误!.A．①②B．②③C．③④D．①④答案:A二、填空题6．把所有单位向量的起点移到同一点，则这些向量的终点组成的图形是________．解析:在空间中把所有的单位向量的起点移到同一点,则这些向量的终点组成的图形是以这些单位向量的公共起点为球心，半径为1的球面．答案：球面7．在长方体ABCD-A1B1C1D中,错误!＋错误!＋错误!与向量错误!之间的关系是________．解析:因为错误!＝错误!＋错误!＋错误!，错误!＝错误!＋错误!，错误!＝错误!＋错误!，错误!＝错误!＋错误!，所以错误!＋错误!＋错误!＝2错误!。
课时作业2：3.1.1 空间向量及其加减运算
3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算一、基础达标1．下列命题中，假命题是( )A ．任意两个向量都是共面向量B ．空间向量的加法运算满足交换律及结合律C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等 答案 D解析 容易判断D 是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．2．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，AD →＝c ，则CD →等于( )A ．a ＋b －cB ．c －a －bC ．c ＋a －bD ．c ＋a ＋b答案 B解析 如图，∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.即a ＋b ＋CD →－c ＝0，∴CD →＝c －a －b .3．判断下列各命题的真假：①向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ④有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 ①假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②真命题；③假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．4．已知平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则BC →等于( )A ．－a －bB ．a ＋b C.12a －bD ．2(a －b )答案 A 解析 如图，∵OA→＝a ，OB →＝b ， ∴BO→＝－b ，OC →＝－a ， ∴BC→＝BO →＋OC →＝－b －a . 5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→－AB →＋BC →化简后的结果是( )A.BD 1→B.D 1B →C.B 1D →D.DB 1→答案 A解析 如图所示，因为DD 1→＝AA 1→，DD 1→－AB →＝AA 1→－AB →＝BA 1→，BA 1→＋BC →＝BD 1→， ∴DD 1→－AB →＋BC →＝BD 1→.6．对于空间中的非零向量AB →、BC →、AC →，有下列各式：①AB →＋BC →＝AC →；②AB →－AC →＝BC →；③|AB →|＋|BC →|＝|AC →|；④|AB →|－|AC →|＝|BC →|.其中一定不成立的是________． 答案 ②解析 根据空间向量的加减法运算，对于①：AB→＋BC →＝AC →恒成立；对于③：当AB→、BC →、AC →方向相同时，有|AB →|＋|BC →|＝|AC →|；对于④：当BC →、AB →、AC →共线且BC→与AB →、AC →方向相反时，有|AB →|－|AC →|＝|BC →|.只有②一定不成立． 7．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AB 、B 1C 的中点．如何用AB →、AD →、AA 1→表示向量MN →？解 MN→＝MB →＋BC →＋CN → ＝12AB →＋AD →＋12(CB →＋BB 1→) ＝12AB →＋AD →＋12(－AD →＋AA 1→) ＝12AB →＋12AD →＋12AA 1→. 二、能力提升8．如图，在四棱柱的上底面ABCD 中，AB →＝DC →，则下列向量相等的是( )A.AD→与CB →B.OA→与OC → C.AC →与DB →D.DO→与OB → 答案 D解析 ∵AB→＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|，AB ∥DC ，即四边形ABCD 为平行四边形，由平行四边形的性质知，DO→＝OB →.∴应选D.9．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝____________． 答案 －a ＋b －c解析 A 1B →＝A 1A →＋AB →＝C 1C →＋(CB →－CA →)＝－CC 1→＋CB →－CA →＝－c ＋b －a . 10．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC →＋AB 1→＋AD 1→与向量AC 1→之间的关系是________．答案 AC →＋AB 1→＋AD 1→＝2AC 1→ 解析 ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，AC →＝AB →＋AD →，AB 1→＝AB →＋AA 1→，AD 1→＝AD →＋AA 1→，∴AC →＋AB 1→＋AD 1→＝2AC 1→. 11．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →. 解 如图．DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B → ＝(DA →－DB →)＋(B 1C →－B 1B →)＋(A 1B 1→－A 1B →) ＝BA →＋BC →＋BB 1→＝BD →＋BB 1→＝BD 1→. 12．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)CB →＋BA 1→； (2)AC→＋CB →＋12AA 1→； (3)AA 1→－AC →－CB →. 解 (1)CB →＋BA 1→＝CA 1→. (2)因为M 是BB 1的中点，所以BM →＝12BB 1→.又AA 1→＝BB 1→，所以AC →＋CB →＋12AA 1→＝AB →＋BM →＝AM →.(3)AA 1→－AC →－CB →＝CA 1→－CB →＝BA 1→. 向量CA 1→，AM →，BA 1→如图所示．三、探究与创新13．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简(1)AB→＋BC →＋CD →； (2)AB→＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量． 解 (1)AB→＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(2)∵E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点．∴BE→＝EC →，EF →＝GD →.∴AB→＋GD →＋EC → ＝AB→＋BE →＋EF →＝AF →. 故所求向量AD→，AF →如图所示．。
课时作业8：3.1.1 空间向量及其加减运算
能提升
11．如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式．
(1) ＋ ；(2) ＋ ；(3) ＋ ＋ ；
(4) ＋ ＋ ＋ ＋ ；(5) ＋ ＋ － － ；(6) ＋ － － .
解(1) ＋ ＝ .
(2) ＋ ＝ ( ＋ )＝ ＝ .
(3)AA1＋ ＋ ＝ ＋ ＝ .
解(1)由于正方体的棱长为1，所以正方体中每条棱所表示的向量都是单位向量，如 ， 等，共24个．
(2)与向量 相等的向量有 ， ， ，共3个．
答案B
2．两个非零向量的模相等是两个向量相等的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案B
3．如图在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是()
A. ＝ B. ＋ ＝ C. ＋ ＝0D. － ＝
答案D
4．化简 － ＋ 所得的结果是()
A. B. C．0D.
答案C
5．如下图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1，在下列选项中，与 相等的向量是()
答案C
9．设点M是BC的中点，点A在直线BC外， 2＝16，| ＋ |＝| － |，则| |＝()
A．8B．4C．2D．1
解析由| ＋ |＝| － |＝| |＝| |＝4，又M为BC的中点，所以| |＝ | ＋ |＝2.
答案C
10．在空间四边形中， ＋ ＋ ＋ ＝__________________ ______.
A. B. C. D.
答案C
6．已知向量a，b是两个非零向量，a0，b0是与a，b同方向的单位向量，那么下列各式中正确的是()
A．a0＝b0B．a0＝b0，或a0＝－b0C．a0＝1D．|a0|＝|b0|
选修2-1 3.1.1空间向量及其加减运算
实用文档选修2-1 3.1.1空间向量及其加减运算一、选择题1、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F.若＝a ，＝b ，则等于( )A.14a ＋12bB.13a ＋23b C.12a ＋14b D.23a ＋13b2、平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )A.EF →＋＋＝0B. EF→－－＝0 C.EF →＋－＝0 D.EF→－＋＝03、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，向量表达式-+化简后的结果是( )A. B. 1D B C.1B D D. 1DB4、已知向量，，满足||＝||＋||，则( )实用文档 A. ＝＋ B. ＝－－C. 与同向D. 与与同向5、已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点且2＋＋=0，则等于( )A. B. C. OD → D.2OD →6、如图所示，平行四边形ABCD 的对角线的交点为O ，则下列等式成立的是()A. ＋＝B. ＋＝C. －＝D. －＝7、下列命题中，假命题是( )A. 向量与的长度相等B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等二、填空题8、判断下列各命题的真假：①向量的长度与向量的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为________．9、若G为△ABC内一点，且满足AG＋＋＝0，则G为△ABC的________．(填“外心”“内心”“垂心”或“重心”)A B的模相等的向量有________个．10、在平行六面体ABCD－A’B’C’D’中，与向量''三、解答题11、证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．实用文档12、如图所示，已知空间四边形ABCD，连结AC,BD,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点，请化简：＋＋，(2)＋＋，并标出化简结果的向量．13、判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件．实用文档实用文档以下是答案一、选择题1、D [＝＋＝a ＋23 ＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .]2、A [观察平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1可知，向量，，平移后可以首尾相连，于是＋＋＝0.]3、A[如图所示， ∵＝，1－＝－＝，∴－＋＝.]4、D [由||＝||＋||＝||＋||，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以与同向．]5、C [∵D为BC边中点，∴＋＝2，∴＋＝0，∴＝.]6、D [－＝＝.]7、D [共线的单位向量是相等向量或相反向量．]二、填空题8、3解析①真命题；②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．9、重心实用文档实用文档如图，取BC 的中点O ，AC 的中点D ，连结OG 、DG .由题意知＝－－＝＋＝2，同理＝2，故G为△ABC 的重心．10、7解析 ||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||.三、解答题11、证明如图所示，平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′，设点O 是AC ′的中点，则＝12＝12(＋＋)．实用文档设P 、M 、N 分别是BD ′、CA ′、DB ′的中点．则AP ＝＋＝＋12＝＋12(＋＋) ＝＋12(－＋＋) ＝12(＋＋)． 同理可证：＝12(＋＋) ＝12(＋＋)． 由此可知O ，P ，M ，N 四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．12、解 (1) ＋＋＝＋＝.(2)∵E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点．∴＝，＝.∴＋＋＝＋＋＝.故所求向量，，如图所示．13、解①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB，CD在同一条直线上．②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同．③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．④正确．⑤正确．实用文档。
课时作业5：3.1.1 空间向量及其加减运算
3.1.1空间向量及其加减运算一、选择题1．判断下列命题中为真命题的是( )A ．向量AB →与BA →的长度相等B ．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等解析：选A.|AB →|＝|BA →|，故选项A 对；选项B 应为球面；选项C ，空间向量可以用有向线段来表示，但不等同于有向线段；选项D ，向量不相等但有可能模相等．2．已知空间四边形ABCD ，连结AC 、BD ，则AB →＋BC →＋CD →为( )A.AD →B.BD →C.AC → D ．0解析：选A.AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.3．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( )A.AB →＝AC →＋BC →B.AB →＝－AC →－BC →C.AC →与BC →同向D.AC →与CB →同向解析：选D.由条件可知，C 在线段AB 上，故D 正确．4．下列命题是真命题的是( )A ．四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB →＝DC →B ．若非零向量a ，b 方向相反，则a 与b 是相反向量C ．若向量AB →、CD →满足|AB →|>|CD →|，则AB →与CD →同向，且AB →>CD →D ．若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0则AB →、CD →为相反向量解析：选D.A 错，应为AB →＝DC →；B 错，只有向量a 、b 方向相反，模相等时，a ，b 才是相反向量；C 错，|AB →|>|CD →|只能说明AB →的长度大于CD →的长度，但方向不定，且向量不能比较大小．只有D 正确．5．已知四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．空间四边形B ．平行四边形C ．等腰梯形D ．矩形解析：选B.由AO →＋OB →＝DO →＋OC →，得OB →－OC →＝DO →＋OA →，即CB →＝DA →，∴CBDA . ∴四边形ABCD 为平行四边形．6．已知正方体ABCD A ′B ′C ′D ′的中心为O ，则在下列各结论中正确的结论共有( ) ①OA →＋OD →与OB ′→＋OC ′→是一对相反向量；②OB →－OC →与OA ′→－OD ′→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA ′→＋OB ′→＋OC ′→＋OD ′→是一对相反向量；④OA ′→－OA →与OC →－OC ′→是一对相反向量．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C.如下图所示，①OA →＝－OC ′→，OD →＝－OB ′→，∴OA →＋OD →＝－(OB ′→＋OC ′→)，是一对相反向量；②OB →－OC →＝OB →＋CO →＝CB →，OA ′→－OD ′→＝OA ′→＋D ′O →＝D ′A ′→，而CB →＝D ′A ′→，故不是相反向量； ③同①也是正确的；④OA ′→－OA →＝OA ′→＋AO →＝AA ′→，OC →－OC ′→＝OC →＋C ′O →＝C ′C →＝－AA ′→，是一对相反向量．二、填空题7．如下图，在三棱柱ABC A ′B ′C ′中，AC →与A ′C ′→是________向量；AB →与B ′A ′→是________向量．答案：相等 相反8．在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝________(用a ，b ，c表示)．解析：A 1B →＝CB →－CA 1→＝CB →－(CA →＋CC 1→)＝－a ＋b －c答案：－a ＋b －c9．如下图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AB 、B 1C 的中点．用AB →、AD →、AA 1→表示向量MN →，则MN →＝________.解析：MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝12AB →＋AD →＋12(CB →＋BB 1→)＝12AB →＋AD →＋12(－AD →＋AA 1→) ＝12AB →＋12AD →＋12AA 1→ 答案：12AB →＋12AD →＋12AA 1→ 三、解答题10．如图，在以长、宽、高分别为AB ＝3、AD ＝2、AA 1＝1的长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为5的所有向量；(3)试写出与AB →相等的所有向量；(4)试写出AA 1→的相反向量．解：(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量AA 1→、A 1A →、BB 1→、B 1B →、CC 1→、C 1C →、DD 1→、D 1D →共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→、D 1A →、A 1D →、DA 1→、BC 1→、C 1B →、B 1C →、CB 1→，共8个．(3)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)共有A 1B 1→、DC →及D 1C 1→，共3个．(4) 向量AA 1→的相反向量为A 1A →、B 1B →、C 1C →、D 1D →，共4个．11．如下图所示，已知空间四边形ABCD ，连结AC 、BD ，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、DB的中点，请化简(1)AB →＋BC →＋CD →，(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．解：(1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，如图中向量AD →；(2)AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋BG →＋EC →＝AG →＋GF →＝AF →，如图中向量AF →.12．证明平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．证明：如图所示，平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′，设点O 是AC ′的中点，则AO →＝12AC ′→＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．设P 、M 、N 分别是BD ′、CA ′、DB ′的中点，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋12BD ′→＝AB →＋12(BA →＋BC →＋BB ′→)＝AB →＋12(－AB →＋AD →＋AA ′→) ＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)． 同理可证：AM →＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)，AN →＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)． 由此可知O 、P 、M 、N 四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．。
课时作业9：3.1.1 空间向量及其加减运算
3.1.1空间向量及其加减运算1.下列说法正确的是( ).A .a -a =0B .若|a |=|-b |,则a 与b 为相反向量C .平行且等长的有向线段表示的向量相等D .同向且等长的有向线段表示同一向量 答案:D解析:a -a =0,故A 错;当|a|=|-b |时,有|a|=|b|.但两个向量不一定是相反向量,B 错;C 中两向量也可能为相反向量,故C 错.2.已知向量AB ,AC ,BC 满足|AB |=|AC |+|BC |,则( ). A .AB AC BC =+ B .AB =-AC BC - C .AC 与BC 同向 D .AC 与CB 同向答案:D解析:由已知点C 在线段AB 上,如图.则易知D 正确.3.如下图,已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1,在下列选项中,与CD 相等的向量是( ).A.ABB.11ACC.11B AD.1AA答案:C解析:由于ABCD -A 1B 1C 1D 1是平行六面体,所以|CD |=|11B A |,且CD 与11B A 方向相同,故11B A CD =.4.在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,若CA =a ,CB =b ,1CC =c ,则1B A 等于( ). A .a+b -c B .a -b+c C .-a+b+c D .-a+b -c 答案:D解析:111B A AB AA CB CA AA =-=--=b -a -c =-a+b -c .5.设有四边形ABCD ,O 为空间任意一点,且AO OB DO OC +=+,则四边形ABCD 是( ). A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形D.矩形答案:A解析:由于AO OB AB +=,DO OC DC +=,所以AB DC =,从而|AB |=|DC |,且AB DC .所以四边形ABCD 是平行四边形.6.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,下列各式中运算的结果为向量1AC 的共有( ). ①(AB CB -)+1CC ;②1111C AA A D D ++; ③(1AB BB +)+11B C ;④(111AA A B +)+11B C . A.1个 B.2个C.3个D.4个答案:C解析:①(AB CB -)+1111CC AB BC CC AC CC AC =++=+=;②111111C C AA A D D AA A AC ++=+=; ③(1AB BB +)+111111BC AB BC AC =+=;④(111AA A B +)+111111BC AB BC AC =+=. 因此共有3个式子化简结果是1AC .7.在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,1AB CB AA ++化简的结果可表示为 . 答案:1DB解析:1111AB CB AA DC CB BB DB BB DB ++=++=+=.8.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心为O ,则下列各结论中正确的是 .(填序号) ①OA OD +与11OB OC +是一对相等向量;②OB OC -与11OA OD -是一对相反向量; ③OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量; ④1OA OA -与1OC OC -是一对相等向量. 答案:③解析:依题意,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,应有1OA OC +=0,1OB OD +=0,1OC OA +=0,1OD OB +=0,故(OA OB OC OD +++)+(1111OA OB OC OD +++)=0.9.如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB=3,AD=2,AA 1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中.(1)单位向量共有多少个?(2). (3)试写出与AB 相等的所有向量. (4)试写出1AA 的相反向量.解:(1)模为1的向量有1A A ,1AA ,1B B ,1BB ,1C C ,1CC ,1D D ,1DD ,共8个单位向量.(2)1AD ,1A D ,1D A ,1DA ,1BC ,1B C ,1C B ,1CB .(3)与向量AB 相等的向量(除它自身之外)为11A B ,DC 及11DC . (4)向量1AA 的相反向量为1A A ,1B B ,1C C ,1D D .10.在如图所示的平行六面体中,求证:''AC AB AD ++=2'AC .证明:∵平行六面体的六个面均为平行四边形, ∴AC AB AD =+,''AB AB AA =+,''AD AD AA =+.∴''AC AB AD ++=(AB AD +)+('AB AA +)+('AD AA +)=2('AB AD AA ++).。
课时作业6：3.1.1 空间向量及其加减运算
3.1.1空间向量及其加减运算1．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，则AB →＋BC →＋CD →为( )A.AD →B.BD →C.AC → D ．0解析：选A.AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.2．下列命题，正确的是( )A ．若a ≠b ，则|a |≠|b |B ．若|a |>|b |，则a >bC ．若a ＝b ，则|a |＝|b |D ．若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b解析：选C.A 显然错；向量不能比较大小，故B 错；C 正确；|a |＝|b |说明a 与b 长度相等，方向不一定相同，所以D 错．3．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( )A.AB →＝AC →＋BC →B.AB →＝－AC →－BC →C.AC →与BC →同向D.AC →与CB →同向解析：选D.由条件可知，C 在线段AB 上，故D 正确．4．给出下列命题：①若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；②在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→；③若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p .其中不正确的命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．0解析：选A.根据向量相等的定义——不仅模相等，而且方向相同，故①错；根据正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AC →与A 1C 1→的方向相同，模也相等，应有AC →＝A 1C 1→，故②正确；命题③显然正确，故选A.5．在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 的形状一定是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形解析：选A.∵AC →＝AB →＋AD →，∴四边形ABCD 是以AB 与AD 为邻边，AC 为对角线的平行四边形．6．式子(AB →－CB →)＋CC 1→运算的结果是__________．解析：(AB →－CB →)＋CC 1→＝(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→.答案：AC 1→7．给出下列命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若a ＝0，则－a ＝0；③|－a |＝|a |，其中正确命题的序号是__________．解析：①若|a |＝0，则a ＝0，即①错误；②正确；③正确．答案：②③8．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝__________.解析：A 1B →＝CB →－CA 1→＝CB →－(CA →＋CC 1→)＝b －(a ＋c )＝b －c －a .答案：b －c －a9.如图所示，在长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为5的所有向量；(3)试写出与AB →相等的所有向量．解：(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D →这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．(2)由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，BC 1→，C 1B →，B 1C →，CB 1→共8个．(3)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)共有A 1B 1→，DC →及D 1C 1→3个．10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →.解：如图，DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →＝(DA →－DB →)＋(B 1C →－B 1B →)＋(A 1B 1→－A 1B →)＝BA →＋BC →＋BB 1→＝BD →＋BB 1→＝BD 1→.能力提升1．已知空间向量a 和b ，若p ：a ＝b ，则q ：|a |＝|b |，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由p 知道两个向量相等，则它们的大小相等，所以能够推出q ；由q 知道两个向量的长度相等，但它们的方向不确定，所以不能够推出p .2．在正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1中，设AB →＝a ，BC →＝b ，BB 1→＝c ，则用a 、b 、c 表示AE 1→＝__________.解析：AE 1→＝AD →＋DE →＋EE 1→＝2BC →－AB →＋BB 1→，所以AE 1→＝－a ＋2b ＋c .答案：－a ＋2b ＋c3．已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列表达式：(1)AB →＋BB ′→－DA ′→＋D ′D →－BC →；(2)AC ′→－AC →＋AD →－AA ′→.解：(1)原式＝AB →＋A ′D ′→＋D ′D →＋CB →＝AB →＋A ′D →＋CB →＝DC →＋DA →＋A ′D →＝DB →＋A ′D →＝A ′B →；(2)原式＝CC ′→＋A ′D →＝AA ′→＋A ′D →＝AD →.4.如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、DB 的中点，请化简(1)AB →＋BC →＋CD →，(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．解： (1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，如图中向量AD →；(2)连接GF ，AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋BG →＋EC →＝AG →＋GF →＝AF →，如图中向量AF →.。
课时作业11:3.1.1 空间向量及其加减运算
3.1.1 空间向量及其加减运算一、选择题1．下列命题中，正确的有( )(1)若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件； (2)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(3)向量a 、b 相等的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝|b |a ∥b；(4)|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件； (5)AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个2．空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A.DB → B ．AC → C.AB →D.BA →3．已知空间向量AB →、BC →、CD →、AD →，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝BC →＋CD → B ．AB →－DC →＋BC →＝AD → C.AD →＝AB →＋BC →＋DC →D.BC →＝BD →－DC →4．如图所示，平行四边形ABCD 的对角线交点是O ，则下列等式成立的是( )A.OA →＋OB →＝AB →B.OA →＋OB →＝BA →C.AO →－OB →＝AB →D.OA →－OB →＝CD →5．在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，与向量AA ′→相等的向量(不含AA ′→)的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有( )①AB →＋BC →＋CC 1→ ②AA 1→＋B 1C 1→＋D 1C 1→ ③AB →－C 1C →＋B 1C 1→ ④AA 1→＋DC →＋B 1C 1→ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题7．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝__________. 8．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝__________. 三、解答题9.如图所示的是平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1，化简下列各式． (1)AB →＋AD →＋AA 1→； (2)DD 1→－AB →＋BC →.10.在四棱柱ABCD —A ′B ′C ′D ′中，底面ABCD 为矩形，化简下列各式．(1)AB →＋BB ′→－D ′A ′→＋D ′D →－BC →； (2)AC ′→－AC →＋AD →－AA ′→.一、选择题11．已知正方形ABCD 的边长为1，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( ) A ．0 B ．3 C ．2＋ 2D ．2 212．给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤零向量没有方向． 其中假命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．413．空间四边形ABCD 中，若E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，则下列各式中成立的是( )A.EB →＋BF →＋EH →＋GH →＝0B.EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝0C.EF →＋FG →＋EH →＋GH →＝0D.EF →－FB →＋CG →＋GH →＝014．如果向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( ) A.AB →＝AC →＋BC →B ．AB →＝－AC →－BC →C.AC →与BC →同向D.AC →与CB →同向 二、填空题15．已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，设M 、N 分别是BC 、CD 的中点，则MN →用AB →、AC →、AD →表示的结果为________________________________．16．已知平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′，则下列四式中： ①AB →－CB →＝AC →；②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→； ③AA ′→＝CC ′→；④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 正确的是__________．三、解答题17.如图，在空间四边形ABCD 中，AB 的中点为E ，DC 的中点为F ，证明EF →＝12(AD →＋BC →)．答 案基础巩固强化 一、选择题 1．【答案】 C【解析】 (1)正确．∵AB →＝DC →， ∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥CD →.又∵A 、B 、C 、D 不共线，∴四边形ABCD 是平行四边形． 反之，在▱ABCD 中，AB →＝DC →.(2)正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同． ∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同．故a ＝c . (3)不正确．由a ∥b ，知a 与b 方向相同或相反． (4)正确．a ＝b ⇒|a |＝|b |，|a |＝|b |⇒/ a ＝b .(5)不正确．由AB →＝CD →，知|AB →|＝|CD →|，且AB →与CD →同向．故选C. 2．【答案】 D【解析】 解法1：DA →＋CD →－CB →＝(CD →＋DA →)－CB → ＝CA →－CB →＝BA →.解法2：DA →＋CD →－CB →＝DA →＋(CD →－CB →) ＝DA →＋BD →＝BA →. 3．【答案】 B【解析】 根据向量加减法运算可得B 正确． 4．【答案】 D【解析】 OA →－OB →＝BA →＝CD →，故选D. 5．【答案】 C【解析】 利用向量相等的定义求解． 6．【答案】 D【解析】 根据空间向量的加法法则以及正方体的性质，逐一进行判断：①AB →＋BC →＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；②AA 1→＋B 1C 1→＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1； ③AB →－C 1C →＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④AA 1→＋DC →＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→； 所以，所给四个式子的运算结果都是AC 1→. 二、填空题7．【答案】 b －c －a【解析】 A 1B →＝CB →－CA 1→＝CB →－(CA →＋CC 1→)＝b －(a ＋c )＝b －c －a . 8．【答案】 0【解析】 方法1：(利用相反向量的关系转化为加法运算) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0. 方法2：(利用向量的减法运算法则求解) (AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝(AB →－AC →)＋BD →－CD → ＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0. 三、解答题9.【答案】 (1)AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AC 1→. (2)DD 1→－AB →＋BC →＝DD 1→－(AB →－AD →)＝DD 1→－DB →＝BD 1→. 10.【答案】 (1)原式＝AB →＋AA ′→＋AD →－AA ′→－AD →＝AB →. (2)原式＝CC ′→＋AD →－AA ′→＝AD →.能力拓展提升一、选择题 11．【答案】 D【解析】 利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，|a ＋b ＋c |＝2|AC →|＝2 2.12．【答案】 D【解析】 ①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a 与b 的方向不一定相同；③真命题．向量的相等满足递推规律；④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故④错；⑤假命题．零向量的方向是任意的． 13．【答案】 B【解析】 EB →＋FC →＝EB →＋BF →＝EF →， EH →＋GE →＝GH →，易证四边形EFGH 为平行四边形， 故EF →＋GH →＝0，故选B. 14．【答案】 D 二、填空题15．【答案】 12(AD →－AB →)【解析】 MN →＝12BD →＝12(AD →－AB →)16．【答案】 ①②③【解析】 AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确；AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，②正确；③显然正确；∵AB →＋BB ′→＋BC →＝AC ′→，∴④不正确．三、解答题17. 【证明】 证法1：设AC 的中点为G ，连接EG ，FG . ∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴GF →＝12AD →，EG →＝12BC →.故EF →＝EG →＋GF →＝12(AD →＋BC →)．证法2：∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点，∴EA →＋EB →＝0，DF →＋CF →＝0，∵EF →＝EA →＋AD →＋DF →，EF →＝EB →＋BC →＋CF →， ∴2EF →＝AD →＋BC →，∴EF →＝12(AD →＋BC →)．证法3：∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点， ∴GE →＝12(GA →＋GB →)，GF →＝12(GC →＋GD →)，∴EF →＝GF →－GE →＝12(GC →＋GD →－GA →－GB →)＝12[(GC →－GB →)＋(GD →－GA →)]＝12(BC →＋AD →)．。
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3.1.1空间向量及其加减运算专项练习
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，与向量A ′B ′―――→
的模相等的向量有( ) A ．7个 B ．3个 C ．5个
D ．6个
解析： |D ′C ′―――→|＝|DC ―――→|＝|C ′D ′―――→|＝|CD →|＝|BA →|＝|AB →|＝|B ′A ′―――→|＝|A ′B ′―――→
|. 答案： A
2．已知向量a ，b 是两个非零向量，a 0，b 0是与a ，b 同方向的单位向量，那么下列各式中正确的是( )
A ．a 0＝b 0
B ．a 0＝b 0或a 0＝－b 0
C ．a 0＝1
D ．|a 0|＝|b 0|
解析： 两单位向量的模都是1，但方向不一定相同或相反． 答案： D
3．下列命题是真命题的是( )
A ．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反
C ．若向量AB →，C
D →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →
D ．若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →∥CD →
解析： A 错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任两向量均共面． B 错．因为|a |＝|b |仅表示a 与b 的模相等，与方向无关．
C 错．空间任两向量不研究大小关系，因此也就没有AB →>C
D →
这种写法． D 对．∵AB →＋CD →
＝0，
∴AB →＝－CD →，∴AB →与CD →共线，故AB →∥CD →
正确． 答案： D
4．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →
|，则( ) A.AB →＝AC →＋BC → B.AB →＝－AC →－BC → C.AC →与BC →
同向
D.AC →与CB →
同向
解析： 由|AB →|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB →
|，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC →与CB →
同向．
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA →与C 1A 1→是________向量，CB →与B 1C 1→
是________向量．
解析： CA 綊C 1A 1，CB 綊C 1B 1，所以CA →＝C 1A 1→，CB →＝－B 1C 1→
. 答案： 相等 相反
6．下列命题中正确的是________． ①如果a ，b 是两个单位向量，则|a |＝|b |； ②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同； ③若a ，b ，c 为非零向量，且a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内．
解析： 对于①：由单位向量的定义即得|a |＝|b |＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．
答案： ①③④
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．如图，在长、宽、高分别为AB ＝4，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
(1)单位向量共有多少个？ (2)写出模为5的所有向量； (3)试写出AA 1→
的相反向量．
解析： (1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →
，DD 1→，D 1D →，CC 1→，C 1C →
共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．
(2)由于长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→，D 1A →，C 1B →，BC 1→
，
B 1
C →，CB 1→，A 1
D →，DA 1→.
(3)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →
.
8．如图所示，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，化简下列向量表达式：
(1)AA 1→－CB →； (2)AB 1→＋B 1C 1→＋C 1D 1→； (3)12AD →＋12AB →－12
A 1A →. 解析： (1)AA 1→－C
B →＝AA 1→＋B
C →＝AA 1→＋A 1
D 1→＝AD 1→. (2)AB 1→＋B 1C 1→＋C 1D 1→＝AD 1→.
(3)12AD →＋12AB →－12A 1A →＝12AD →＋12AB →＋12AA 1→＝12(AD →＋AB →＋AA 1→)＝12
AC 1→.
(10分)如图，已知空间四边形ABCD 中，向量AB →＝a ，AC →＝b ，AD →
＝c ，若M 为BC 中点，G 为△BCD 的重心，试用a ，b ，c 表示下列向量：
(1)DM →；(2)AG →. 解析： (1)连接AM ，
在△ADM 中，DM →＝DA →＋AM →
，
由线段中点的向量表示知， AM →＝12(AB →＋AC →)＝1
2(a ＋b )．
由相反向量的概念知， DA →＝－AD →
＝－c . 所以DM →＝DA →＋AM →
＝12(a ＋b )－c ＝1
2
(a ＋b －2c )． (2)在△ADG 中，注意到三角形重心的性质， 得AG →＝AD →＋DG →
＝c ＋23DM →
＝c ＋23⎝⎛⎭⎫12DB →＋12DC → ＝c ＋13(AB →－AD →＋AC →－AD →
)
＝c ＋13(a ＋b －2c )＝1
3
(a ＋b ＋c )．。