9.9球课件(四课时)
9.19 球
9.19 球1．球是一种常见的旋转体，它只有一个面，即整个球面．新教材中用集合的思想介绍了球体和球面的概念．即“与定点的距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体”，而其中“与定点的距离等于定长的点的集合，叫做球面”．要注意的是：球面仅指球的表面，而球体不仅包括球的表面，同时还包括球面所包围的空间．2．球的截面的性质（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面；（2）球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r ，有如下关系：22d R r -=（如图）． 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆．注：经过球面上任意两点的圆不一定都是大圆，也不一定都是小圆，视具体情况而定． 3．地球的经度和纬度．当把地球看做一个球时，经线是球面上从北极到南极的半个大圆．00经线（本初子午线），东经1800和西经1800同在一条经线上，那就是1800经线．赤道是一个大圆，其余的纬线都是小圆．某点的经度就是经过这点的经线与地轴确定的牛平面与本初子午线与地轴确定的半平面所成的二面角的度数，某点的纬度就是经过这点的球半径与赤道面所成角（线面角）的度数．4．球面距离在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离．5．球的体积公式：334R V π=．它是球体所占空间的大小的度量，它是球半径R 的函数．课本在推导此体积公式时用的是极限的思想，即“分割、求近似和、化为准确的和”的方法，球的表面积公式：24R S π=．它是球的表面的大小的度量．由于球面是不可展的曲面，所以课本中推导面积公式时仍用的是分割，求近似和．化为“准确和”的极限思想方法．例1 已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为π6和π8，则这两个截面间的距离等于 ．例2 把地球当作半径为R 的球，地球上A 、B 两点都在北纬450的纬线上，A 、B 两点的球面距离是R 34，A 在东经200，求B 点的位置．例3 在北纬450圈上有A 、B 两点，设该纬度圈上A 、B 两点的劣弧长为R 42（R 为地球半径），求A 、B 两点的球面距离．例4 在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝a ，求这个球的面积．例5 求正方体的内切球与正方体各棱相切的球及与正方体的外接球的体积之比．例6 正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O l是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O l的体积．例7半径为12的球面上有P、Q、S三点，且每两点间的球面距离均为 6，求球心到过P、Q、S三点的截面的距离．例8 在棱长为a的正方体盒内装有五个球，其中四个是半径为r的等球放在盒底四角，另一个大球半径为R，放在四个等球的上面．（1）若四个等球相邻两个外切，且还与正方体的侧面及下底面相切，而这个大球分别与这四个等球相切，且与上底面相切，试用a表示R、r．（2）若大球与正方体的六个面都相切．四个等球与大球以及所在直三面角的各个面都相切（相邻两个等球一般不相切），试用a表示R、r．例9 把半径为1的四个球垒成两层放在桌上，下层三个，上层一个，两两相切．求上层小球的球心到桌面的距离．1．一个球的外切正方体的全面积等于6，这个球的体积等于 （ ）A ．π34 B ．π86 C ．π61 D ．π66 2．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过3个点的小圆的周长为π4，那么这个球的半径为 （ ）A ．34B ．32C ．2D ．33．长方体的一个顶点上的三条棱分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是（ ）A ．π220B ．π225C ．π50D ．π2004．在北纬450圈上有甲、乙两地，它们分别在东经500与东经1400圈上，则甲、乙两地的球面距离是（ ）A ．R π21B ．R π31C ．R π41D ．R π22 5．湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下了一个面直径为24cm ，深为8cm 的空穴，则该球的半径是 （ ）A ．8cmB ．12cmC ．13cmD ．28cm6．在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝a ，那么这个球的表面积是 ．7．正方体的全面积是2a ，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是 ．8．圆柱形容器的内壁底半径为5cm ，两个直径为5cm 的玻璃小球浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器内的水面将下降 cm ．9．正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S 1、S 2，则 （ ）A ．S l ＝2S 2B ．S l ＝3S 2C ．S 1＝4S 2D ．S 1＝32S 210．已知球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面的面积是 （ ）A ．π916 B ．π38 C ．π4 D ．π964 11．半径为1的球面上有A 、B 、C 三点，A 与B ，A 与C 之间的球面距离都是2π，B 和C 之间的球面距离为3π，则过A 、B 、C 三点的截面与球心的距离是 （ ） A ．721 B ．722 C ．33 D ．22 12．已知球面上两点的球面距离为5㎝，过这两点的球半径成600角，则球的半径为 （ ）A ．π5㎝ B ．π15㎝ C ．π5㎝ D ．π15㎝ 13．设地球半径为R ，在北纬300圈上有甲、乙两地，它们的经度相差1200，则这两地的纬度线长为（ ）A ．R πB ．R π2C ．R π33D ．R π3 14．三个球的半径之比为1：2：3，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的 （ ）A ．1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍15．OM 是球O 的半径，A 、B 、C 是半径OM 上的三点，其中B 是AC 的中点，分别过A 、B 、C 三点与OM 垂直的球的截面积依次为S 1、S 2、S 3，则S 2与231S S +的大小关系是 （ ） A ．S 2<231S S + B ．S 2>231S S + C ．S 2=231S S + D ．不确定， 16．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，下面的几个截面图中，必定错误的是 （ ）17．有四个半径均为R ，且两两相切的球，则与这四个球均相切的球的半径为 ．18．在1200的二面角内放一个半径为5的球，使球与两个半平面各有且仅有一个公共点，则这两个点之间的球面距离等于 ．19．用一平面截正三棱锥及其外接球，所得截面如图所示（图中O 为球心）．若球的半径为R，那么，三棱锥的侧面积是．20．一球放在地面上，影子伸展到距球与地平面接触点l0cm处，同时1m长的尺子垂直放在地面上时的影长为2m，则球的半径是．21．在桌面上有三个球两两相切，且半径都为1，在桌面与三球间放置一个小球，使它与三个球相切．求此小球半径．27，求棱锥侧面与底面所成二面角的正切值．22．正三棱锥与它的内切球体积之比为 4:323．球O的半径为及，弦PA、PB、PC两两垂直，求证：PA2＋PB2＋PC2为定值．1 的正方体内有两个球，这两个球的球心O1、O2在对角线AB上，它们外切，并各切24．在棱长为3于正方体交于点A或点B的三个面．（1）求两球半径之和；（2）当两球半径分别为多大时两球面积之和最大或最小．25．在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为万米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积（结果用无理数表示）．26．设棱锥M—ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果△AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径．。
小学体育球课件ppt
篮球最初是室内游戏，后来逐渐发展成为一项全球性的运动。
篮球的文化意义
篮球已经成为全球文化的重要组成部分，它不仅是一项运动，还是 一种生活方式和文化表达方式。
网球的历史和文化
网球的起源
网球起源于12世纪的法国，最初是贵族游戏。
网球的发展和普及
网球逐渐发展成为一项全球性的运动，成为夏季 奥运会比赛项目之一。
根据情况选择不同的射门 技巧，如正脚背抽射、脚 内侧推射等。
保持冷静
在紧张的比赛中，能够保 持冷静，不受场外干扰， 发挥出自己的射门技巧。
运球技巧
灵活变向
能够灵活变向，快速突破对手的 防守，创造进攻机会。
熟练掌控
熟练掌握各种运球技巧，如护球、 抢球、变速等。
观察球场
时刻观察球场上的形势，以便选择 合适的运球路线和时机。
科技化
科技在球类运动中的应用将更 加广泛，运动员的训练、比赛 和康复等方面都将实现科技化 。
融合性
球类运动与其他运动的融合， 如篮球与足球的融合，形成新 的运动形式，满足不同人群的
需求。
08
结语
结语
回顾学习内容
回顾本节课学习的足球技巧和规则， 强调掌握这些技能对提高足球水平和 理解足球文化的重要性。
球的制作和保养
球的制作
每种球都有其独特的制作过程。例如，篮球需要将橡胶或皮革切割成适当的形状，然后将其粘合在一起。足球则 需要将五边形和六边形粘合在一起，形成一个完整的球体。乒乓球则需要将两个半球粘合在一起，形成一个完整 的球体。
球的保养
为了保持球的使用寿命和性能，需要定期对球进行保养。例如，篮球需要定期充气，足球需要定期修补和清洁， 乒乓球则需要定期更换胶皮。
(整体全面)球课件
（2）解：∵∠POB=30 ° ∴∠AOB=120° 又AB的球面距即大圆ACB 上的劣弧 ACB 的长
ACB 的弧长
2 R 3 .
C 地
30 °
A
K轴
30 ° 30 °
B
O 赤 道
P
填空题:
（3）设地球的半径为R，在北纬45 °圈上有A、B
两点，它们的经度分别是东经110 °与东经20 ° ，
O
B
二.应用举例
1.位于同一经线上两点的球面距离
例3. 求东经 57 线上，纬度分别为北纬 38和 68
的两地A ，B的球面距离． (设地球半径为R). 解 EO EOA B N
B A O E
AOB , 又 EOB 68
EOA 38 , A O B
观察现实生活中的各种球形
复习圆的有关概念
圆的定义
平面内到一个定点距离等于定长的点的轨迹叫做圆。 圆只是一条曲线，而不是一个“ 圆面”。 圆面：平面内到一个定点的距离小于或等于定长 的点的轨迹叫做圆面。 问题：谁能模仿圆和圆面，给球面和球下定义？
定义1：到一个定点的距离等于定长的点的集合 是一个球面。定点——球心，定长——球半径
R
2
(
4 3
R 2
) (
2
2 3 3
)
2
O
R
A
O
C
V
4 3
R
3
2
4 3
( )
3
4 3
256 81
B
S 4 R
4
16 9
64 9
练习1:
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来 2 的___倍. 2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来 4 的___倍.
9.9球的体积课件
4 V＝ π R 3 3
R
练习： 练习： 1、球的直径伸长为原来的2倍，计算体 、球的直径伸长为原来的 倍 积变为原来的 8 倍. C A B 2、一个正方体的顶点都在球面上，它 、一个正方体的顶点都在球面上， 的棱长为4cm，求这个球的体积 的棱长为 ，求这个球的体积.
O
课堂小结： 课堂小结： 熟练掌握球的体积公式： 熟练掌握球的体积公式：
4 V＝ π R 3 . 3
一、复习回顾： 复习回顾： 1.球的定义 球的定义
简单多面体与球
§ 9.9 球的体积
a.到定点（球心）的距离等于或小于 到定点（ 到定点 定长（ 的所有点的集合， 定长（半径）的所有点的集合，叫做 球体，简称球。 球体，简称球。 b.到定点（球心）的距离等于定长（半 到定点（ 的距离等于定长（ 到定点 的所有点的集合，叫做球面。 径）的性质 球的截面性质
(1)球心和截面圆心 球心和截面圆心 的连线垂直于截面． 的连线垂直于截面．
3.两点的球面距离 两点的球面距离 A、B间的球面距离
A
R
B
O R d r
O
三、例题分析 二、球的体积和表面积 球的体积公式： 球的体积公式： 例1、一种空心钢球的质量是 、一种空心钢球的质量是142g，外 ， 径是5.0cm，求它的内径（钢的密度是 径是 ，求它的内径（ 7.9 例2、已知过球面上三点A、B、C的截 、已知过球面上三点 、 、 的截 面到球心O的距离等于球半径的一半 的距离等于球半径的一半， 面到球心 的距离等于球半径的一半， 且AB=BC=CA=3cm，求球的体积 ，求球的体积.
《球》示范公开课教学PPT课件【高中数学必修2(北师大版)】
新课学习
二、知识应用： 题型五 计算球表面积、体积的实际问题
例 6.一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为 3cm，瓶里所装的水深为 8cm，将一个钢球 完全浸入水中，瓶中水的高度上升到 8.5cm，求钢球的半径.
解：设钢球的半径为 R，由题意得：
32
8
4
3
R3
32
8.5 ，
解得，R=1.5cm.
再见
设正方体边长为 a ，球的半径为 R .
R 1a 2
⑵ 正方体的外接球： 正方体的体对角线为球的直径 设正方体边长为 a ，球的半径为 R .
R 3a 2
新课学习
二、知识应用： 题型一 计算球的体积、表面积问题 例 1. (1) 已知球的半径为 2cm，求这个球的体积、表面积.
解：V球 =
4 R3
北师大版·统编教材高中数学必修2
第一章·第七节
柱、锥、台的体积
新课学习
一、新课讲授：
1．球的概念：半圆以它的直径为旋转轴，旋转一周所形成的曲面叫做 球面．球面所围成的几何体，叫做球体，简称球．
球心
半径
O
直径
新课学习
一、新课讲授： 2.球的体积：
公式推导： ri
R2
[R n
(i
1)]2
（i
1,2,3,,n
］（注：12
22
••• n2
1 n(n 1)(2n 1) ）
6
＝ R3
n
［n－
1 n2
• (n 1)n(2n 1) ＝R3 (1
6
(n
1)(2n 6n 2
1)
）=
R
3
1
(1
1 n
人教版高中数学必修系列：9.10球(备课资料)
[鼎尖教案]人教版高中数学必修系列：9.10球(备课资料)●备课资料一、进一步理解并应用球的性质球的性质是圆的性质在空间中的延伸，教学中，应要求学生在熟练掌握圆的性质的基础上推导出球的性质，进而使学生在解决与球有关的问题中学会用“变未知为〞的转化的数学思想，将空间的球变为平面的圆去解决.下面，试举两例，供读者体会.［例1］球的两个平行截面分别为5π和8π,它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径.分析：作出球的轴截面，实现空间图形平面化，进而利用圆的性质去解决问题.解：如下图，设这两个截面的半径分别为r 1、r 2,球心到截面距离分别为d 1、d 2,球半径为R ，那么πr 12=5π,πr 22=8π,∴r 12=5,r 22=8.12ORr r又∵R 2=r 12+d 12=r 22+d 22, ∴d 12-d 22=8-5=3, 即〔d 1-d 2)(d 1+d 2)=3. 又d 1-d 2=1, ∴⎩⎨⎧=-=+,1,32121d d d d 解得⎩⎨⎧==.1,221d d∴R =2121d r +=45+=3.评述：以上例题中表达了空间球的“与截面垂直的直径过截面圆的圆心〞到平面圆的“与弦垂直的直径过弦的中点〞及“球半径2=球心到截面圆的距离2+截面圆的半径2〞到“圆半径2=圆心到弦的距离2+弦长的一半2〞的等价转化思想.［例2］球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这三个点的小圆的周长为4π,求这个球的半径.分析：解决这个问题的关键是将条件中的“任意两点的球面距离等于大圆周长的61〞与“经过这三个点的小圆周长为4π〞，转化成平面图形图中的问题去解决.解：如下图，设这三个点是A 、B 、C ，球半径为R ，A 、B 、C 所在的小圆半径为r ,那么2πr =4π,∴r=2.又∵A 、B 、C∴球心角∠AOB =∠AOC =∠COA =3π. 又OA =OB =OC =R ，∴AB =BC =CA =R .∴△ABC 是半径为2的圆O ′的内接三角形. ∴△ABC 的高为3. ∴AB =R =23.评述：(1)此题通过将“两点的球面距离等于大圆周长的61〞转化成“两点间的线段长等于球的半径〞，将“经过三个点的小圆周长为4π,求球的半径〞转化成“求周长为4π的圆的内接正三角形的边长〞，从而将球面上两点间的距离、弧长公式及圆内接正三角形三者作为整体，表达了等价化归的数学思想，实现了问题的解决.(2)将旧知识灵活巧妙地应用到新问题中，需有牢固的基础和一定的变通能力，这是我们在教学中应引起重视的一个重要方面.二、“两点间的球面距离〞的学习1.在“两点间的球面距离〞的教学中，应注意些什么？答：(1)球面上两点间的距离，必须是在球的过此两点的大圆中求此两点所对应的劣弧的长度，而不能在过此两点的球的小圆中求.(2)球面上两点间的距离指的是球面上两点之间的最短距离. 2.球面上两点间的距离的求法.设球面上两点间的球心角为α弧度，球半径为R ，那么球面上两点间距离为|α|·R ,所以求球面上两点间距离的关键是确定球心角.(1)两点在同一经线圆上，可直接计算两点间的劣弧长度.(2)两点在同一纬线圆上，先求弦长，由余弦定理求球心角，化为弧度，再用l =|α|·r 可求得.(3)两点经纬度都不同时，用异面直线上两点间距离公式求弦长，再由余弦定理求球心角.对于这一种情况，高考不作要求.［例3］设地球半径为R ，城市A 位于东经90°，北纬60°，城市B 位于东经150°，北纬60°，求城市A 与城市B 之间的距离.分析：因所求A 、B 两点在同一纬线圆上，故需先求出弦长，由余弦定理求球心角，再用l =|α|·r 求得A 、B 两点间的球面距离.解：如图，设北纬60°纬度圆圆心为O ′，那么∠AO 1B =60°, ∵r =R ·cos60°=21R , ∴AB =21R . 在△AOB 中，cos AOB =BO AO ABBO AO ⋅-+2222=2222241RRR R -+=87, ∴∠AOB =arccos 87.∴过A 、B 的大圆的劣弧长为R ·arccos 87. ∴A 、B 的球面距离为R ·arccos87. ●备课资料一、球体积公式的学习球体积公式表达了球的体积与球半径之间的函数关系，即V 〔R 〕=34πR 3,教学中应要求学生熟练掌握在各种不同条件下求出球的半径，进而求出球的体积方法.下面，我们通过例题的分析,体会不同条件下对球半径R 不同的求法.［例1］一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上，那么此球的体积是A.332πB.43πC.362πD.4(3+1)π分析：正方体内接于球，那么由球及正方体都是中心对称图形知，它们的中心重合，这样就找到了正方体的对角线与球直径相等这一重要关系.解：∵正方体的体积是8, ∴正方体的棱长为2.又∵球的半径与内接正方体棱长的关系为2r =3a , ∴r =3. ∴球的体积V =34π(3)2=43π. 答案：B评述：此题的关键是寻找球半径与其内接正方体棱长之间的关系.［例2］正三棱锥P —ABC 的侧棱长为l ,两侧棱的夹角为2α，求它的外接球的体积. 分析：利用正三棱锥的性质及平面几何知识求出球的半径.解：如下图，作PD ⊥底面ABC 于D ，那么D 为正△ABC 的中心.∵OD ⊥底面ABC ， ∴P 、O 、D 三点共线.∵P A =PB =PC =l ,∠APB =2α, ∴AB =α2cos 2222l l -=2l sin α. ∴AD =33AB =323l sin α.再设∠APD =β，作OE ⊥P A 于E 点，在Rt △APD 中， ∵sin β=PA AD =332sin α, 又OP =OA =R ， ∴PE =21P A =21l . 在Rt △POE 中，∵R =PO =βcos PE =α2sin 3412-l, ∴V 球=34π［α2sin 3412-l］3. ∴V 球=2223)sin 43(2sin 3π3αα--l . 评述：此题应准确把握图形的特点，找出几何体内各个元素之间的关系，进而求出球的半径.［例3］一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球. 求：〔１〕圆锥的侧面积； 〔２〕圆锥内切球的体积.分析：作出轴截面图，将问题转化为△ABC 的外接圆半径和高，求它的边AB 、BC 的长和内切圆半径，可通过平面几何知识解决.解：〔1〕如下图，作出轴截面，那么等腰三角形SAB 内接于⊙O ，而⊙O 1内切于△SAB .设⊙O 的半径为R ，那么有34πR 3=972π. ∴R 3=729,R =9. ∴SE =18. SD =16,∴ED =2.连结AE ，那么由SE 是直径，SA ⊥AE ，SA 2=SD ·SE =18·16=288， ∴SA =122.∵AB ⊥SD ，∴AD 2=SD ·DE =16×2=32. ∴AD =42.∴S 圆锥侧=π·42·122=96π. (2)设内切球O 1的半径为r ,∵△SAB 的周长为2〔122+42〕=322, ∴21r ×322=21×82×16. ∴r =4.∴内切球O 1的体积V 球=34πr 3=3256π. 评述：(1)在处理与球有关的相接切问题时，一般要通过作一适当的截面，将问题由立体转化为平面问题解决，而这类截面常指的是圆锥的轴截面、球的大圆等.(2)通过此例的分析，应使学生注意归纳、总结解决数学综合性较强的问题的规律和 方法.二、参考练习题1.球与正四面体的6条棱都相切，那么球与正四面体的体积比是多少？解：如下图，设正四面体棱长为a ,球半径为R ，取AB 中点E ，CD 中点F ，连结AF 、CF ，那么AF =BF =23a, ∴EF ⊥AB .同理可得EF ⊥CD . ∴EF 是AB 、CD 的公垂线. ∴EF 是AB 、CD 的距离, EF =22AE AF -=224143a a -=22a .又∵球与正四面体的6条棱都相切, ∴EF 是该球的直径，即2R =22a . ∴R 3=322a 3. ∴V 球=34πR 3=34π·322a 3=242πa 3. 又V 正四面体=122a 3, ∴V 球∶V 正四面体=π∶2.2.棱长为a 的正四棱锥的外接球的体积是多少？解：如下图，设正四棱锥P —ABCD ，作PO ⊥平面ABCD ，那么O 为正方形ABCD 的中心，∴OA =OB =OC =OD =22a . 又∵P A =PC =a ,AC =2a , ∴∠APC =90°.∵O 为AC 的中点， ∴OP =22a . ∵点O 到A 、B 、C 、D 的距离相等, ∴球半径R =OA =22a . ∴V 球=34π·(22a )3=32πa 3. ●备课资料一、球表面积公式的学习球的表面积公式表达了球的表面积与球半径之间的函数关系，即S 〔R 〕=4πR 2,教学中应要求学生熟练掌握在各种不同条件下求出球的半径，进而求出球的表面积.下面，我们通过例题的分析体会不同条件下对球半径R 的不同求法.［例1］正方体的全面积是a 2,它的顶点都在这个球面上，那么这个球的表面积是A.3π2aB.2π2aC.2πa 2D.3πa 2分析：正方体内接于球，那么由球及正方体都是中心对称图形知，它们的中心重合，这样，就找到正方体的对角线与球直径相等这一结论了.解：设球的半径为R ，那么正方体的对角线长为2R .依题意，34R 2=61a 2, 即R 2=81a 2. ∴S 球=4πR 2=4π·81a 2=2π2a.答案：B［例2］长方体一个顶点上三条棱的长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是A.202πB.252πC.50πD.200π分析：由长方体内接于球可以得到长方体的对角线长等于球的直径. 解：设球的半径为R ，那么〔2R 〕2=32+42+52. ∴R 2=225. ∴S 球表面积=4πR 2=4π·225=50π. 答案：C ［例3］过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB =BC =CA =2，那么球面面积是A.916π B.38π C.4πD.964π 分析：设球心是O ，可借助三棱锥O —ABC 进行分析解决，三棱锥O —ABC 是正三棱锥，OD 是高，OA 等于球的半径R ，AB =BC =CA =2，为求球面积S ，只需求出R 即可.解：∵D 是正△ABC 的中心, ∴AD 是△ABC 的外接圆半径. ∵AD = 60sin 2AB =332,又OD =21R =21OA ， OA 2=OD 2+AD 2,∴R 2=41R 2+34. ∴R 2=916.∴球面积S =4πR 2=964π. 答案：D［例4］长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，那么它的外接球的表面积为________.分析：根据球内接长方体的体对角线与球直径相等及矩形面积公式求得球半径. 解：设长方体的有公共顶点的三条侧棱长分别为x 、y 、z,那么由有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===,15,5,3zx yz xy 解得⎪⎩⎪⎨⎧===.5,1,3z y x ∴球的半径R =21AB =21222z y x ++=23. ∴S 球=4πR 2=9π.［例5］在球心同侧有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm 2和 400π cm 2,求球的表面积.分析：画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径. 解：如图，圆O 为球的轴截面，由球的截面性质知，AO 1∥BO 2，且假设O 1、O 2分别为两截面圆的圆心，那么OO 1⊥AO 1，OO 2⊥BO 2，设球半径为R .∵π·O 2B 2=49π,∴O 2B =7 cm.同理π·O 1A 2=400π.∴O 1A =20 cm. 设OO 1=x cm,那么OO 2=〔x +9) cm. 在Rt △OO 1A 中，R 2=x 2+202; 在Rt △OO 2B 中，R 2=〔x +9)2+72, ∴x 2+20=72+(x +9)2,解得x =15. ∴R 2=x 2+202=252.∴R =25. ∴S 球=4πR 2=2500π cm 2. ∴球的表面积为2500π cm 2.评述：(1)例1、例4解决的关键在于分析球半径与其内接长方体的对角线之间的关系，从而求出球半径.(2)如果能注意到例3是一选择题，那么除用以上方法计算求出答案外，还可以用估值方法作出判断：设球半径为R ，球面积是S ，根据棱锥和三角形的性质，有R =OA >AD >21AB =1, ∴S =4πR 2>4π.∴可排除A 、B 、C.显然，这种方法带给我们简洁、明快的感觉，同时也提高了做题的速度. 二、与圆锥的内切球有关的问题的处理方法 在遇到圆锥的内切球问题时，常常引进母线与底面所成的角为参数，使得圆锥的底面半径和高均可用这个参数表示出来，进而使问题获解.［例6］如下图，P 是以AB 为直径的半圆上的一点，过P 作半圆的切线，分别交直径BA 的延长线于S 点，交过B 的半圆的切线于C 点，将图形绕SB 旋转一周，得到一个圆锥和一个球，假设球的表面积为4π,求当圆锥的体积最小时，该圆锥的表面积.BSACDOP分析：求出圆锥体积最小时的圆锥形状是解决问题的关键，而圆锥的体积那么与它的底面半径及高有关，因此需要由条件列出圆锥体积与其底面半径和高的函数关系，使问题得到解决.BSACDOP解：图中SDC 为圆锥的轴截面，设球半径为r ,∵S 球=4π,∴r =1. 连结OC ，设∠SCB =2θ，那么∠OCD =θ,∴圆锥底面半径BC =cot θ,圆锥的高SB =cot θ·tan2θ, 圆锥的体积V =31π(cot θ)2·tan2θ·cot θ=3π·)tan 1(tan 122θθ-⋅. 由0<2θ<2π,∴0<θ<4π. ∴tan 2θ<1,1-tan 2θ>0. 由0<tan 2θ(1-tan 2θ)≤(2tan 1tan 22θθ-+)2=41,当且仅当1-tan 2θ=tan 2θ,即tan θ=22时“=〞成立. 当圆锥底面半径BC =cot θ=2,高SD =cot θ·tan2θ=4时，圆锥体积取得最小值. 此时，圆锥表面积S =π·BC 2+π·BC ·SC =π·(2)2+π·216)2(2+=8π.评述：(1)以上例题中，通过设圆锥母线与底面所成角为２θ，使圆锥的底面半径与高均可用θ表示出来，将体积化为θ的函数，再运用平均不等式求最值.(2)运用平均不等式求最值时，要注意其条件，特别是取等号的条件不可忽视.(3)对于以上tan 2θ(1-tan 2θ),也可用二次函数求它的最大值，从而得到体积的最小值.而圆锥的形状也可由SA 的大小决定，设为x ，那么圆锥的高为x +2,底面半径也用x 表示.∵BC =PC ，SP 2=SA ·SB ,∴BC =xx 2+.∴V =31π·(xx 2+)2·(x +2). 当V 取最小值时，x =2.(4)对本课时教案例2的处理也可用以下方法得到处理：设圆锥底面半径为r ,母线长为l ,内切球半径为R ，设∠OAO 1=θ，那么由切线的性质可得∠SAO =∠OAO 1=θ,∠SAO 1=2θ,∴r =R cot θ,l =θ2cos r =θθ2cos cot R .∴πR 2cot 2θ+π·R cot π·θθ2cos cot R =2·4πR 2.∴cot 2θ+θθ2cos cot 2=8.∴1+θ2cos 1=8tan 2θ,即θθ2cos 2cos 1+=8·θθ2cos 12cos 1+-.∴9cos 22θ-6cos2θ+1=0. ∴cos2θ=31. ∴2ππrrl S S =底侧=r l=θ2cos 1=3. ●备课资料与球有关的综合问题的解决方法与球有关的综合问题，常常表达在球与 其他几何体相接切问题中，它是知识与能力的结合，要求我们对球的定义及其性质熟练掌握,并要注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，达到巩固知识、提升能力的目的.下面通过对例题的分析，体会其中的数学思想与方法.［例题］圆锥的内切球半径为r ,求圆锥体积的最小值. 分析：通过作圆锥的轴截面及它截内切球所得的截面圆，寻找圆锥与球之间的主要元素关系，使问题获解.αr..专业. 解：如图，设圆锥母线与底面所成的角为2α，那么圆锥的底面半径R =αtan r , 高h =R ·tan2α=αtan r ·αα2tan 1tan 2-=α2tan 12-r . 圆锥的体积V =31πR 2h =31πα22tan r ·α2tan 12-r =32πr 3·)tan 1(tan 122αα-≥32πr 3222)2tan 1tan (1αα-+=38πr 3. 当且仅当tan 2α=1-tan 2α,即tan α=22,α=arctan 22时，取等号. 又∵0<α<4π,∴arctan 22∈(0, 4π). ∴V 的最小值为38πr 3. 评述：解决这个问题的关键是通过作一个合适的截面，使空间问题转化为平面问题.。
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[] 其他 锂能改善造血功能，提高人体免疫机能。锂对中枢神经活动有调节作用，能镇静、安神，控制神经紊乱。锂可置换替代钠，防治心血管疾病。人体每 日需摄入锂.mg左右。 锂的生物必需性及人体健康效应。锂是有效的情绪稳定剂。随着新的情绪稳定剂的出现，对锂治疗的兴趣和研究虽已减少，但锂仍是 治疗急性躁狂症和躁狂-抑郁病预防性管理的最有效措施。许多研究证明，锂对动物和人具有必需功能或有益作用。动物缺锂可导致寿命缩短、生殖异常、行 为改变及其他异常。人类流行病学研究显示，饮水锂浓度与精神病住院率、杀人、自杀、抢劫、暴力犯罪和度品犯罪率呈显著负相关。度品犯的营养性锂补 充研究证
于维生素A合成的一步。有机锂化物加成到醛和酮上，得到水解时能产生醇的加成产物。 由锂和氨反应制得的氨基锂被用来引入氨基，也被用作脱卤试剂和 催化剂。 [] 生理 当狼吃下含有锂化合物的肉食后，能引起消化不良，食欲大减，从而改变狼食肉的习性，这种习性还具有遗传性。 人类对金属锂的应用已 有了良好的开端，但由于锂的生产工艺比较复杂，成本很高。如果人们一旦解决了这些问题，锂的优良性能将得到进一步的发挥，从而扩大它的应用范围。
类比得到球的性质：
1、同球或等球的半径相等，直径是半径的两倍。 2、与截面垂直的直径过截面圆的圆心。 3、连结球心和截面圆心的直线垂直于截面。 4、球半径的平方=球心到截面的距离的平方+截面圆的 半径的平方。 5、不过球心的截面截得的是球的小圆，经过球心的截 面是球的大圆，且大圆是 篮球等。那么如何给球下定义呢？
优点，已被广泛应用于各种领域，是很有前途的动力电池。用锂电池发电来开动汽车，行车费只有普通汽油发动机车的/。由锂制取氚，用来发动原子电池组， 中间不需要充电，可连续工作年。要解决汽车的用油危机和排气污染，重要途径之一就是发展向锂电池这样的新型电池。 锂化合物早先的重要用途之一是用
高二数学下B911球第一课时
高二数学下（B）9.11 球(第一课时)兰州一中张海忠一、教学目标设计1．1知识与技能（1）学生能够由圆的定义和性质类比得到球的定义及其截面性质，发展其类比求异的创新思维能力。
（2）理解地球的经纬度和球面距离的概念，培养空间想象能力和实际应用意识。
（3）能够初步应用球的有关概念和性质解决简单问题，掌握解决空间问题的一般思维方法，即空间问题平面化，复杂图形简单化。
1．2过程与方法（1）学生通过观察类比圆的定义得出球的定义。
（2）学生通过观察类比、交流合作，概括总结出球的截面性质。
（3）学生通过观察，理解地球的经纬度及球面距离的概念。
（4）学生通过例题与练习，表述思维，初步运用球的性质解决问题。
1．3情感与态度（1）通过多媒体演示中国女排奥运夺冠的图片，激发学生的爱国热情，培养学生的爱国主义精神。
（2）通过生生、师生之间的交流合作，讨论、探索、概括总结出球的截面性质及球面距离的概念，提高学生的合作意识，完善学生的人格品质。
（3）通过将平面的圆、圆面与空间的球面、球相类比、转化，树立学生运动变化、对立统一、普遍联系的辩证唯物主义观点。
二、教材内容及重点、难点分析2.1教材内容：球的有关概念和性质。
2.2 明确重点、难点及创新点重点：球的有关概念和性质。
难点：地球的经纬度和球面距离。
创新点：由平面图形的圆面与圆的概念和性质类比得出空间图形球面与球的概念和性质，并将空间问题转化为平面问题从而得到解决。
三、教学对象分析3.1学生特点：反应灵活，思辩能力较强，主动积极。
3.2学法指导：观察、概括、总结、归纳、类比联想是学法指导的重点。
让学生观察、思考后，总结、概括、归纳的知识更有利于学生掌握；为了加深知识理解、掌握和更灵活地运用，运用类比联想去主动的发现问题、解决问题，从而更系统地掌握所学知识，形成新的认知结构和知识网络，让学生真正地体会到在问题解决中学习，在交流中学习。
四、教学策略及教法设计培养学生数学素质，首先数学课堂教学要素质化，即在课堂教学过程中，加强知识发生过程的教学，充分调动学生思维的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生个性品质，从而达到提高学生整体的数学素养的目的。
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例3.圆柱底面直径与高都等于球的直径。 求证： ①球的表面积等于圆柱侧面积。 ②球的表面积等于圆柱全面积的三分之二
例2:已知过球面上三点A、B、C的截面到球心 O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２ cm，求球的体积，表面积．
解：如图，设球O半径为R， 截面⊙O′的半径为r， R OO , ABC是正三角形 2 2 3 2 3 OA AB r 3 2 3
)
4.垂直于球的半径的平面是这个球的切面 5.过球面上任意两点都有无数个小圆 (
( ) )
参考答案
提示
• 1 由纬线圈上的弧长求得AB的弦长,再 求AB所对的大圆中心角,最后再求球面 距离. • 2 (略)
返回练习
参考答案
C 地 30° A 轴 B
30°
30°
O 赤 道
本 节 什课 么主 呢要 ?学 习 了
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径 是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
4 5 3 4 3 7.9 [ ( ) x ] 142 3 2 3 5 3 142 3 3 x ( ) 11.3 2 7.9 4 由计算器算得: x 2.24 2 x 4.5
• 在球面上两点之间的最短距离 就是经过这两点的大圆在这两 点间的劣弧的长度——这个弧 长叫两点的球面距离。如左图 中
◆ 为什么经过两点的 大圆劣弧最短呢?
三 地球的经度纬度
北极 P 地 轴 O 线 A B 道 赤
经度：
本 初 子 午
某点的经度是经过这点的经 线和地轴确定的半平面与0度经 线(本初子午线）和地轴确定的 半平面所成二面角的度数。
第二步：求近似和
Si
hi
O O
Vi
1 Vi Si hi 3
V 由第一步得： V1 V2 V3 Vn
1 1 1 1 V S1h1 S 2 h2 S3h3 S n hn 3 3 3 3
第三步：化为准确和
hi
如果网格分的越细,则: “小锥体” S i 就越接近小棱锥 hi的值就趋向于球的半径R
当d=0时，截面过球心， 此时截面的面积最大， 此圆叫做球的大圆
当0<d<R时，平面与 球截得的圆叫小圆
大圆和小圆
• 球面被经过球心的平面 截得的圆叫做大圆 • 如灰色圆面、绿色圆面
• 球面被不经过球心的平 • 面截得的圆叫做小圆 • 如蓝色圆面、红色圆面
如何在球面 上找到点A 到点B的最 短路径呢?
Vi
Si
R
O
Vi
1 Vi Si R 3 1 1 1 1 V Si R S 2 R S3 R S n R 3 3 3 3 1 1 R(Si S 2 S3 ... S n ) RS 3 3
4 又球的体积为：V R 3 3 4 1 3 R RS , 从而S 4 R 2 3 3
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
(变式3)把正方体的纸盒装入半径为4cm 的球状木盒里,能否装得下?
半径为4cm的木盒能装下的最大正方体 与球盒有什么位置关系?
球外接于正方体
二、球的表面积
球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法 用展开图求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体 积公式的推导方法,是否也可借助于这种极限思想方法 来推导球的表面积公式呢? 下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式．
用一个平 面 去截一个 球
截面什么图形呢？
二
球的截面及其性质
球的截面的性质:
垂直 1.球心和截面圆心的连线OO’与截面⊙O’_____.
为什么垂直呢?
2.球心到截面的距离 d与球的半径R、截面
r R2 d 2 半径r,有下面的关系:________________.
D A C B
大圆和小圆
2
A
ri
O
R (i 1) nROຫໍສະໝຸດ 第i层“小圆片”下底面的半径：
R 2 ri R [ (i 1)] , i 1, 2, n n
2
R 2 ri R [ (i 1)] , i 1, 2,, n n
2
R R3 i 1 2 2 Vi ri [1 ( ) ], i 1, 2, n n n n
我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如 上图重新拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别 是 R和R的矩形 .
那么圆的面积就近似等于 R2 .
当所分份数不断增加时，精确程度就越 来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面 积公式．
分割 求近似和 化为准确和
下面我们就运用上述方法导出球的体积公式
练习1
1.设地球的半径为R，在北纬30 °圈上有甲乙两地，
它们的经度相差120 ° ，那么这两地的纬线的长为 ___________ 2.设地球的半径为R，在北纬30 °圈上有A、B 两点，它们的经度相差180 ° ，则A、B两点的 球面距离是___________
3.过球面上两点可作一个且只能作一个大圆 (
S i
o o
第一步：分割
球面被分割成n个网格，表面积分别为：
S1，S2，S3 ,, Sn
则球的表面积：
O
S S1 S2 S3 Sn
设“小锥体”的体积为Vi
则球的体积为：
Si V V V V V 1 2 3 n
O
Vi
•地球的经线 就是球面上 从北极到南 极的半个大 圆
由地理知识知：AOB 为P点所在经线的经度。
纬度
与赤道面所成角的度数.
某点的纬度就是经过这点的球半径 ：
由地理知识知： AOP为P点所在纬线的纬度。
例题1
我国首都北京 靠近北纬40 度，球北纬 40度纬线的 长度（地球 半径约是 6370km)
即先把半球分割成n部分，再求出每一 部分的近似体积，并将这些近似值相加，得 出半球的近似体积，最后考虑n变为无穷大 的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.
A A
O
C2
O
B2
r1 R R
2
R 2 2R 2 2 r2 R ( ) , r3 R ( ) , n n
解答
本 初 子 午 线 C 地 轴
北京
O A 赤
经度116
纬度40
B 道
解答
如图： C 设纬线的圆心为D点，DP为纬 地 本 线半径 初 D 北京 子 ∴ OD⊥DP P 40 午 ∵DPO= POB=40°， 轴 线 ∴DP=OP×cos OPD 纬度40 ∴纬线长=2 × DP O 经度116 = 2 × OP × cos40 ° A B 赤 道 ≈2 × 3.14 × 6370 ×0.766 ≈30660(km)
课堂小结
了解球的体积、表面积推导的基本思路： 分割→求近似和→化为标准和的方法，是 一种重要的数学思想方法—极限思想，它 是今后要学习的微积分部分“定积分”内 容的一个应用； 熟练掌握球的体积、表面积公式： 4 3 1V R 3 2 2 S 4 R
能解决球的截面有关计算问题及球的 “内接”与“外切”的几何体问题．
一、球的体积
高等于底面半径的旋转体体积对比
R
V圆锥
1 3 R 3
V半球 ? V圆柱
3 3 R R 3
3
猜测 : V半球
2 4 3 3 R , 从而V R . 3 3
学习球的知识要注意和圆的有关指示结 合起来．所以我们先来回忆圆面积计算公式 的导出方法．
V半球 V1 V2 Vn
1 2 (n 1) [n ] 2 n n
3 2 2 2
R
1 (n 1) n (2n 1) [n 2 ] n n 6 1 (n 1)(2n 1) 3 R [1 2 ] n 6
R3
V半球
1 1 (1 )(2 ) n n ] R3[1 6
1 当n 时, 0 n 2 3 V半球 R 3 4 从而V R 3 3
4 定理：半径是R的球的体积为：V R 3 3
例1:钢球直径是5cm,求它的体积.
4 4 5 3 125 3 3 V R ( ) cm 3 3 2 6
9.9
我们常见的球体有那些呢?
中 国 国 球
别 看 俺 小 俺 乒 也 乓 是 球 球 ,
贝 克 汉 姆 的 球
乔 丹 的 球
— .
那么球的概念怎么定义的呢？
绕直径 旋 转一周
一
球的概念
直径 1. 球面------ 半圆 以它的_____ ____ 曲面 为旋转轴,旋转所成的_____.
2.球体------球面所围成的几体, 简称球. 3.球心------半圆的圆心. (即点O) 球面上任一点 4.球半径-----连接球心和___________的线 段.(OA或OC) 球面上 5.球直径-----连接________两点 并且经过_____的线段. (AB) 球心 6球面还可以看作是在空间中与定点(球心) 的距离等于定长 (半径)的所有点的集合(轨迹). (若在平面上呢?) 7. 一个球用表示它的球心的字母来表示,例如:球O.
1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块, 每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似 看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近 于甚至等于球的表面积. 2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为 顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大, 越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.