北师大版数学必修4课时作业：第二章 章末检测卷含解析
北师大版高中数学必修四同步课时跟踪检测：第2章 平面向量阶段性测试题2
阶段性测试题二第二章 平面向量(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.AB→＋AC →－BC →＋BA →等于( ) A ．AB → B ．BA → C ．CA→ D ．0解析：原式＝(AB →＋BA →)＋(AC →＋CB →)＝AB →.答案：A2．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c ＝( ) A ．(－15,12) B ．0 C ．－3D ．－11解析：a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(1，－2)＋(－6,8)＝(－5,6)，(a ＋2b )·c ＝(－5,6)·(3,2)＝－15＋12＝－3.答案：C3．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，给出下列四个结论：①|a |＝|b |；②a ·b ＝22；③a －b 与b 垂直；④a ∥b ，其中真命题的序号是( ) A ．① B ．③ C ．①④D ．②③解析：∵|a |＝12＋02＝1，|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22，∴|a |≠|b |，∴①不正确，可排除A ，C ；a ·b ＝1×12＋0×12＝12≠22，∴②不正确，可排除D ，故选B ．答案：B4．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( )A ．a ⊥bB ．|a |＝|b |C ．a ∥bD ．|a |>|b |解析：∵|a ＋b |＝|a －b |，∴(a ＋b )2＝(a －b )2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，∴a ·b ＝0，∴a ⊥b .答案：A5．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →等于( ) A ．a ＋λb B ．λa ＋(1－λ)b C ．λa ＋bD ．11＋λa ＋λ1＋λb 解析：∵P 1P →＝λPP 2→，∴OP →－OP 1→＝λ(OP 2→－OP →)， ∴(1＋λ)OP →＝OP 1→＋λOP 2→， ∴OP →＝11＋λ OP 1→＋λ1＋λ OP 2→＝11＋λa ＋λ1＋λb .答案：D6.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF FD ＝15，连接CF 并延长交AB 于E ，则AEEB 等于( )A ．112B ．13C ．15D ．110解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，AE EB ＝λ.∵AF FD ＝15，∴CF →＝CA →＋AF →＝CA →＋16AD →＝112(AB→＋AC →)－AC →＝112AB →－1112AC →＝112a －1112b . CE→＝CA →＋AE →＝CA →＋λ1＋λAB →＝λ1＋λAB →－AC →＝λ1＋λa －b .∵CF →，CE →共线，∴CE→＝μCF →，即λ1＋λa －b ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫112a －1112b . ∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋λ＝μ12，－1＝－1112μ，解得λ＝110. 答案：D7．下列说法正确的是( )①0平行于任何向量；②若四边形ABCD 是平行四边形，则AB→＝DC →；③若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；④|a ·b |＝|a |·|b |；⑤若非零向量a 与b 满足a ∥b ，则a 与b 的夹角为0°.A ．①②B ．②④⑤C ．①⑤D ．②③⑤解析：规定0平行于任何向量，故①正确；由平行四边形的性质及相等向量的定义知AB →＝DC →，故②正确；a ·b ＝0，等价于a ＝0或b ＝0或〈a ，b 〉＝90°，故③错误；因为|a ·b |＝|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|，故④错误；若非零向量a 与b 满足a ∥b ，则a 与b 的夹角为0°或180°，故⑤错误，故选A ．答案：A8．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足 AP →＝2PM →，则P A →·(PB→＋PC →)等于( )A ．－49B ．－43C ．43D ．49解析：P A →·(PB→＋PC →)＝P A →·2PM →＝2|P A →|·|PM →|·cos180° ＝2×23×13×(－1)＝－49. 答案：A9．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，cos α，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，sin α，a ∥b,0≤α＜2π，则角α等于( )A ．π6 B ．7π6 C ．π3或4π3D ．π6或7π6 解析：因为a ∥b ，所以32sin α＝32cos α，所以tan α＝33，又0≤α＜2π，所以α＝π6或7π6. 答案：D10．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC→＝mOA →＋nOB →，其中m ，n ∈R 且m ＋n ＝1，则点C 的轨迹方程为( ) A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －2)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0解析：设OC →＝(x ，y )，∵OC →＝mOA →＋nOB →＝m (3,1)＋n (－1,3)＝(3m －n ，m ＋3n )．∴⎩⎨⎧x ＝3m －n ，y ＝m ＋3n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3x ＋y 10，n ＝3y －x 10.又∵m ＋n ＝1，∴3x ＋y 10＋3y －x10＝1， ∴x ＋2y －5＝0. 答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 解析：由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，所以m ×1＋1×2＝0，解得m ＝－2. 答案：－212．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形面积为________．解析：∵AC →·BD →＝－4×1＋2×2＝0，∴AC →⊥BD →.∴S 四边形ABCD ＝12|AC →||BD →|＝12×12＋22×(－4)2＋22＝5. 答案：513．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE→的值是________．解析：设BD→＝a ，DF →＝b ，则BA →·CA →＝(a ＋3b )·(－a ＋3b )＝9|b |2－|a |2＝4，BF →·CF →＝(a ＋b )·(－a ＋b )＝|b |2－|a |2＝－1，解得|b |2＝58，|a |2＝138.∴BE →·CE →＝(a ＋2b )·(－a ＋2b )＝4|b |2－|a |2＝4×58－138＝78. 答案：7814．(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE→＝－4，则λ的值为________． 解析：∵BD→＝2DC →，∴AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB→＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →. ∵AE→＝λAC →－AB →，∴AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝－13AB →2＋23λAC →2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13λ－23AB →·AC →.∵∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，∴AD →·AE→＝－13×9＋23λ×4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13λ－23×3×2×12 ＝－3＋83λ＋λ－2＝113λ－5＝－4，∴λ＝311.答案：311三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)． (1)求a －b 及|a －b |；(2)若k a ＋b 与a －b 垂直，求实数k 的值． 解：(1)a －b ＝(4,0)，|a －b |＝42＋02＝4.(2)k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －b ＝(4,0)，∵(k a ＋b )⊥(a －b )， ∴(k a ＋b )·(a －b )＝4(k －3)＋(2k ＋2)·0＝0，解得k ＝3.16．(12分)已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(1，－1)，m ＝a ＋3b ，n ＝a －k b . (1)若m ∥n ，求k 的值；(2)当k ＝2时，求m 与n 夹角的余弦值． 解：(1)∵a ＝(－2,1)，b ＝(1，－1)，∴m ＝a ＋3b ＝(－2,1)＋3(1，－1)＝(1，－2)， n ＝a －k b ＝(－2,1)－k (1，－1)＝(－2－k,1＋k )． ∵m ∥n ，∴－2(－2－k )＝1×(1＋k )，∴k ＝－3. (2)当k ＝2时，m ＝(1，－2)，n ＝(－4,3)， ∴m ·n ＝1×(－4)－2×3＝－10，|m |＝12＋(－2)2＝5，|n |＝(－4)2＋32＝5， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－1055＝－255.∴m 与n 夹角的余弦值为－255.17．(12分)在△ABC 中，AD→＝14AB →，DE ∥BC ，与边AC 相交于点E ，△ABC的中线AM 与DE 相交于点N ，如右图所示，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示DN→.解：解法一：∵M 为BC 的中点．∴BM→＝12BC →＝12(AC →－AB →)＝12(b －a )，AM →＝AB →＋BM →＝12(a ＋b )．∵DN →∥BM →，AN→∥AM →，根据向量共线的条件，存在实数λ和μ，使得DN →＝λBM →＝12λ(b －a )，AN→＝μAM →＝12μ(a ＋b )，∴AN →＝AD →＋DN →＝14a ＋12λ(b －a )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－λ2a ＋λ2b . 根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧14－λ2＝12μ，λ2＝12μ.解方程得λ＝μ＝14，故DN→＝18(b －a )．解法二：∵AD→＝14AB →，DE ∥BC ，且与AC 相交于E ，△ABC 的中线AM 与DE 交于N ，∴AE →＝14AC →，DN →＝12DE →＝18BC →.∵AB →＝a ，AC →＝b ，∴BC →＝b －a ，∴DN→＝18(b －a )． 18．(14分)如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD 的中点，过G 任作一直线MN 分别交AB ，AC 于M ，N 两点，若AM→＝xAB →，AN →＝yAC →.试问：1x ＋1y 是否为定值．解：设AB→＝a ，AC →＝b ，则AM →＝x a ，AN →＝y b ，由G 是AD 的中点，得AG →＝12AD →＝14(AB →＋AC →)＝14(a ＋b )．∴MG→＝AG →－AM →＝14(a ＋b )－x a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x a ＋14b ，MN →＝AN →－AM →＝y b －x a ＝－x a ＋y b .∵MG→与MN →共线，∴存在实数λ，使MG →＝λMN →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x a ＋14b ＝λ(－x a ＋y b )＝－λx a ＋λy b . ∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧14－x ＝－λx ，14＝λy ，消去λ，得1x ＋1y ＝4. ∴1x ＋1y 为定值．由Ruize收集整理。
2020-2021学年北师大版数学必修4作业：第二章 4 平面向量的坐标 Word版含解析
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BC →＝( ) A ．(1,1) B ．(－1，－1) C ．(3,7)D ．(－3，－7)解析：BC →＝AC →－AB →＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)． 答案：B2．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝( ) A ．－12a ＋32b B.12a －32b C ．－32a －12bD ．－32a ＋12b解析：设c ＝xa ＋yb ，即(－1,2)＝(x ，x )＋(y ，－y )＝(x ＋y ，x －y )， ∴⎩⎨⎧x ＋y ＝－1，x －y ＝2，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－32.答案：B3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( ) A ．(2，72) B ．(2，－12) C ．(3,2)D ．(1,3)解析：设点D (m ，n )，则由题意，得(4,3)＝2(m ，n －2)＝(2m,2n －4)，故⎩⎨⎧2m ＝42n －4＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝72，即点D (2，72)，故选A.答案：A4．已知向量a ＝(8，12x )，b ＝(x,1)，x ＞0，若a －2b 与2a ＋b 共线，则x 的值为( )A ．4 B.435 C.485D.155解析：由题意a －2b ＝(8，12x )－2(x,1)＝(8－2x ，12x －2)，2a ＋b ＝2(8，12x )＋(x,1)＝(16＋x ，x ＋1)， ∵a －2b 与2a ＋b 共线， ∴8－2x 16＋x ＝12x －2x ＋1， 即(8－2x )(x ＋1)＝(16＋x )(12x －2)， 解得x ＝4. 答案：A5．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a,3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为( ) A ．(1，－1) B ．(－1,1) C ．(－4,6)D ．(4，－6)解析：由题知4a ＝(4，－12)，3b －2a ＝3(－2,4)－2(1，－3)＝(－8,18)，4a ＋(3b －2a )＝－c ，所以(4，－12)＋(－8,18)＝－c ，所以c ＝(4，－6)． 答案：D6．若向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，则当x ＝________时，a 与b 共线且方向相同． 解析：因为a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，若a ∥b ，则x ·x －1·4＝0，即x 2＝4，所以x ＝±2.当x ＝－2时，a 与b 方向相反；当x ＝2时，a 与b 共线且方向相同． 答案：27．若点O (0,0)，A (1,2)，B (－1,3)，且OA ′→＝2OA →，OB ′→＝3OB →，则点A ′的坐标为________，点B ′的坐标为________，向量A ′B ′→的坐标为________． 解析：∵O (0,0)，A (1,2)，B (－1,3)， ∴OA →＝(1,2)，OB →＝(－1,3)，OA ′→＝2(1,2)＝(2,4)， OB ′→＝3(－1,3)＝(－3,9)．∴A ′(2,4)，B ′(－3,9)，A ′B ′→＝(－3－2,9－4)＝(－5,5)． 答案：(2,4) (－3,9) (－5,5)8．若点A (－2,3)，B (3，－2)，C (12，b )三点共线，则实数b 的值为________． 解析：∵A 、B 、C 三点共线， ∴向量AB →与CB →共线，AB →＝(5，－5)，CB →＝(52，－2－b )，∴552＝－5－2－b ，即5(－2－b )＝－5×52，得b ＝12.答案：129．已知O 是坐标原点，OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，试求实数k 为何值时，A ，B ，C 三点共线．解析：AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)． 又A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →，所以(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0， 解得k ＝－2或k ＝11.所以当k ＝－2或11时，A ，B ，C 三点共线．10．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →.求：(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？(2)四边形OABP 能成为平行四边形吗？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．解析：(1)OP →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t )， 若点P 在x 轴上，只需2＋3t ＝0，即t ＝－23； 若点P 在y 轴上，只需1＋3t ＝0，即t ＝－13；若点P 在第二象限，则需⎩⎨⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0，解得－23＜t ＜－13.(2)OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )．若四边形OABP 为平行四边形，需OA →＝PB →， 于是⎩⎨⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，无解，故四边形OABP 不能成为平行四边形．[B 组 能力提升]1．已知集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ1(3,4)，λ1∈R}，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，λ2∈R}，则M ∩N 等于( ) A ．{(1,1)} B ．{(1,1)，(－2，－2)} C ．{(－2，－2)}D ．∅解析：令(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，即(1＋3λ1,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，∴⎩⎨⎧ 1＋3λ1＝－2＋4λ22＋4λ1＝－2＋5λ2，解得⎩⎨⎧λ1＝－1λ2＝0，∴a ＝(－2，－2)，故M 与N 只有一个公共元素(－2，－2)． 答案：C2．已知AB →＝e 1＋2e 2，CD →＝(3－x )e 1＋(4－y )e 2，其中e 1，e 2的方向分别与x ，y 轴的正方向相同，且为单位向量．若AB →与DC →共线，则点P (x ，y )的轨迹方程为( ) A ．2x －y －2＝0 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 C ．x －2y ＋2＝0D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：AB →＝(1,2)，CD →＝(3－x,4－y )，又AB →与CD →共线， 则有4－y －2(3－x )＝0，即2x －y －2＝0. 答案：A3．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________.解析：因为a －2b ＝(3，3)，所以由(a －2b )∥c ，得3×3－3k ＝0，解得k ＝1. 答案：14．已知向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x 、y ，使得a ＝(x ，y )；②若x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2； ③若x ，y ∈R ，a ≠0，且a ＝(x ，y )，则a 的起点是原点O ； ④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点的坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )． 在以上四个结论中，正确的结论是________(填入正确结论的序号)．解析：只有①正确；x 1＝x 2，y 1≠y 2或x 1≠x 2，y 1＝y 2时也有(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，所以②不正确；a 的起点可以是任意点，③不正确；终点坐标不一定是向量坐标，④不正确． 答案：①5．设向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)，b ＝(m ，m2＋sin α)，其中λ，m ，α为实数．若a ＝2b ，求λm 的取值范围．解析：由a ＝2b ，知⎩⎨⎧λ＋2＝2mλ2－cos 2α＝m ＋2sin α， ∴⎩⎨⎧λ＝2m －2λ2－m ＝cos 2α＋2sin α. 又cos 2α＋2sin α＝－sin 2α＋2sin α＋1＝－(sin α－1)2＋2， ∴－2≤cos 2α＋2sin α≤2， ∴－2≤λ2－m ＝(2m －2)2－m ≤2， ∴14≤m ≤2.∵λm ＝2m －2m ＝2－2m ， ∴－6≤2－2m ≤1， ∴λm 的取值范围为[－6,1]．6．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求3a ＋b －2c 的坐标；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；解析：(1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(0,6)． (2)∵a ＝m b ＋n c ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )． ∴⎩⎨⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
2020_2021学年高中数学第二章解析几何初步章末检测课时作业含解析北师大版必修220210205
第二章 解析几何初步章末检测(二)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知过点M (－2，a )，N (a,4)的直线的斜率为－12，则|MN |＝( )A ．10B ．180C ．63D ．65解析：k MN ＝a －4－2－a＝－12，解得a ＝10，即M (－2,10)，N (10,4)，所以|MN |＝(－2－10)2＋(10－4)2＝65，故选D.答案：D2．已知空间中点A (1,3,5)，C (1,3，－5)，点A 与点B 关于x 轴对称，则点B 与点C 的对称关系是( )A ．关于平面xOy 对称B ．关于平面yOz 对称C ．关于y 轴对称D ．关于平面xOz 对称解析：因为点(x ，y ，z )关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y ，－z )，所以B (1，－3，－5)，与点C 的坐标比较，知横坐标、竖坐标分别对应相同，纵坐标互为相反数，所以点B 与点C 关于平面xOz 对称，故选D.3．已知直线l 1：(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5＝0的斜率与直线l 2：x －y ＋1＝0的斜率相同，则实数m 等于( ) A ．2或3 B ．2 C ．3D ．－3解析：直线l 1的斜率为2m 2－5m ＋2m 2－4，直线l 2的斜率为1，则2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，即2m 2－5m ＋2＝m 2－4，整理得m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或3.当m ＝2时，2m 2－5m ＋2＝0，－(m 2－4)＝0，不符合题意，故m ＝3. 答案：C4．已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2解析：圆心在x ＋y ＝0上，排除C 、D 两项，验证A 、B 两项中圆心到两直线的距离等于半径2即可． 答案：B5．圆C ：x 2＋y 2－ax ＋2＝0与直线l 相切于点A (3,1)，则直线l 的方程为( ) A ．2x －y －5＝0 B ．x －2y －1＝0 C ．x －y －2＝0D ．x ＋y －4＝0解析：由已知条件，得32＋12－3a ＋2＝0，解得a ＝4，则圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0的圆心为C (2,0)，半径为2，则直线l 的方程为y －1＝－1k AC(x －3)＝－x ＋3，即x ＋y －4＝0.答案：D6．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D．(x－2)2＋(y－2)2＝1解析：设圆C2的圆心为(a，b)，则依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a－12－b＋12－1＝0，b－1a＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝2，b＝－2，对称圆的半径不变，为1.答案：B7.如图，半圆中阴影部分的面积S是h(0≤h≤H)的函数，则该函数的图像是( )解析：根据当h＝0时S最大．h＝H时S＝0，排除B、C两项；根据当h＝H2时，S小于半圆面积即S的最大值的一半，排除D项．故选A项．答案：A8．已知圆x2＋y2－a2＝0与两条直线l1：x－y＋2＝0，l2：x2－y2＝1都相切，则圆的半径a 的值为( )A．2 B. 2C．3 D. 3解析：由题意知，l2：x－y－2＝0，所以l1∥l2，又圆与l1，l2都相切，所以l1，l2之间的距离即为圆的直径，所以2a＝|2－(－2)|12＋12＝22，所以a＝ 2.答案：B9．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P ，若AB 的中点为C ，则|PC |＝( )A ．210 B.10C.102D.104解析：易知动直线x ＋my ＝0过定点A (0,0)，mx －y －m ＋3＝0可变形为(x －1)m －y ＋3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0－y ＋3＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3，则直线mx －y －m ＋3＝0过定点B (1,3)，由动直线方程x ＋my ＝0和动直线方程mx －y －m ＋3＝0，可知两直线垂直．当P 与A 或B 重合时，易得|PC |＝12|AB |＝1212＋32＝102；当P 与A ，B 均不重合时，则AP ⊥BP ， ∴△APB 为直角三角形且∠APB ＝90°，又C 为AB 中点，∴|PC |＝12|AB |＝102.综上，|PC |＝102.答案：C10．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－3或3D ．以上都不对解析：圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝a 2＋7，圆心为(－1,2)，半径为a 2＋7，由题意得|(－1)×3－4×2－4|32＋(－4)2＝a 2＋7－1，解得a ＝±3.11．从动点P (m,2)向圆(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝1作切线，则切线长的最小值为( ) A ．4 B ．2 6 C ．5 D.26解析：切线长d ＝(m ＋3)2＋(2＋3)2－1＝(m ＋3)2＋24，所以当m ＝－3时，d min ＝2 6.答案：B12．圆x 2＋(y ＋1)2＝3绕直线kx －y －1＝0旋转一周所得的几何体的表面积为( )A ．36πB ．12πC ．43πD ．4π解析：由题意知，圆心为(0，－1)，又直线kx －y －1＝0恒过点(0，－1)，所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径，所以S ＝4π(3)2＝12π.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．经过点P (－2，－1)，Q (3，a )的直线l 与倾斜角是45°的直线平行，则a 的值为________． 解析：倾斜角为45°的直线的斜率为1， 直线l 与它平行，则k PQ ＝1，即－1－a－2－3＝1，解得a ＝4.答案：414．在△ABC 中，已知C (2,5)，角A 的平分线所在的直线方程是y ＝x ，BC 边上的高所在的直线方程是y ＝2x －1，则顶点B 的坐标为________．解析：依题意，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －1y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，则A (1,1)．因为角A 的平分线所在的直线方程是y ＝x ，所以点C (2,5)关于直线y ＝x 的对称点C ′(5,2)在边AB 所在的直线上， 所以边AB 所在的直线方程为y －1＝2－15－1(x －1)，整理得x －4y ＋3＝0.又边BC 上的高所在的直线方程是y ＝2x －1， 所以边BC 所在的直线的斜率为－12，所以边BC 所在的直线方程是y －5＝－12(x －2)，整理得x ＋2y －12＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0x ＋2y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7y ＝52，则B (7，52)．答案：(7，52)15．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．解析：由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3，故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求直线上，所以有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求直线方程为x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y －3＝016. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴的正半轴交于点A ，以点A 为圆心的圆x 2＋(y －2)2＝r 2(r ＞0)与圆O 交于B ，C 两点，若P 是圆O 上的动点，且PB ，PC 分别交y 轴于点M ，N ，则S △POM ·S △PON 的最大值为________．解析：设P (x 0，y 0)(－2≤x 0≤2)，B (x B ，y B )，则C (－x B ，y B )，且x 20＋y 20＝4，x 2B ＋y 2B ＝4，直线PB ：y －y 0＝y 0－y B x 0－x B(x －x 0)，直线PC ：y －y 0＝y 0－y B x 0＋x B(x －x 0)．令x ＝0，得y M ＝x 0y B －y 0x B x 0－x B，y N ＝x 0y B ＋y 0x B x 0＋x B，∴y M ·y N ＝x 20y 2B －y 20x 2B x 20－x 2B＝x 20(4－x 2B )－(4－x 20)x 2B x 20－x 2B＝4(x 20－x 2B )x 20－x 2B＝4，∴S △POM ·S △PON ＝12|x 0|·|y M |·12·|x 0|·|y N |＝14x 20·|y M ·y N |＝x 20≤4，所以S △POM ·S △PON 的最大值为4.答案：4三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知A (－7,0)，B (－3，－2)，C (1,6)． (1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的外心的坐标． 解析：(1)因为|AB |＝(－7＋3)2＋22＝20，|BC |＝(1＋3)2＋(6＋2)2＝80，|AC |＝(1＋7)2＋62＝100＝10，所以|AB |2＋|BC |2＝|AC |2.所以△ABC 是以B 为直角的直角三角形． (2)因为△ABC 为直角三角形，所以其外心为斜边AC 的中点，其坐标为(1－72，6＋02)，即(－3,3)．18．(12分)设直线l 经过点(－1,1)，此直线被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0和l 2：x ＋2y －3＝0所截得线段的中点在直线x －y －1＝0上，求直线l 的方程．解析：设直线x －y －1＝0与l 1，l 2的交点分别为C (x C ，y C )，D (x D ，y D )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x C ＋2y C －1＝0x C －y C －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x C ＝1y C ＝0，∴C (1,0)． ⎩⎪⎨⎪⎧x D ＋2y D －3＝0x D －y D －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝53y D＝23，∴D (53，23)．则C ，D 的中点坐标为(43，13)，即直线l 经过点(43，13)，又直线l 经过点(－1,1)，由两点式得直线l 的方程为y －131－13＝x －43－1－43，即2x ＋7y －5＝0. 19．(12分)求由点P (5,3)向圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0所引的切线长．解析：由x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0知圆心坐标A (1，－3)，半径r ＝1，又∵P (5,3)，∴|PA |＝(5－1)2＋(3＋3)2＝52，设由点P (5,3)向圆所引的切线长为d ， 则d ＝|PA |2－r 2＝52－1＝51， ∴由点P 向圆所引的切线长为51.20．(12分)已知直线l ：y ＝3x ＋3，求： (1)点P (4,5)关于l 的对称点的坐标；(2)直线l 1：y ＝x －2关于l 的对称直线的方程．解析：(1)设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则线段PP ′的中点M 在直线l 上，且直线PP ′垂直于直线l ，即⎩⎪⎨⎪⎧y ′＋52＝3×x ′＋42＋3，y ′－5x ′－4×3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2，y ′＝7，所以点P ′的坐标为(－2,7)．(2)设直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线为l 2，则l 1上任一点P 1(x 1，y 1)关于l 的对称点P 2(x 2，y 2)一定在l 2上，反之也成立，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 22＝3×x 1＋x 22＋3，y 1－y2x 1－x 2×3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－45x 2＋35y 2－95，y 1＝35x 2＋45y 2＋35.把(x 1，y 1)代入y ＝x －2，整理得7x 2＋y 2＋22＝0， 所以l 2方程为7x ＋y ＋22＝0.21．(13分)已知点P (0,5)，圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0. (1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的弦AB 的长为43，求l 的方程；(2)求圆C 的过点P 的弦的中点的轨迹方程． 解析：(1)由题意，知C (－2,6)，圆C 的半径为4.如图所示，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则D 是AB 的中点．由题意，知|AB|＝43，|AC|＝4，|AD|＝23，在Rt△ADC中，可得|CD|＝2.当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点到直线的距离公式，得|－2k－6＋5|k2＋(－1)2＝2，解得k＝34.此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.当直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时直线l的方程为x＝0.所以直线l的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0.(2)设圆C的过点P的弦的中点为E(x，y)．当点E不与点P，C重合时，x≠0且x≠－2.在Rt△CEP中，有|CE|2＋|EP|2＝|CP|2，即(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－0)2＋(y－5)2＝(－2－0)2＋(6－5)2，化简得x2＋y2＋2x－11y＋30＝0(x≠0且x≠－2)．①当点E与点P重合时，点E的坐标为(0,5)，满足方程①.当点E与点C重合时，点E的坐标为(－2,6)，满足方程①.综上，所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.22．(13分)已知△ABC的三个顶点A(－1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆为圆H.(1)求圆H的标准方程；(2)若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；(3)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上始终存在不同的两点M，N，使得M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值X围．解析：(1)设圆H 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 1－D ＋F＝01＋D ＋F ＝09＋4＋3D ＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝0E ＝－6，F ＝－1所以圆H 的标准方程为x 2＋(y －3)2＝10.(2)设圆心到直线l 的距离为d ，则1＋d 2＝10，所以d ＝3.若直线l 的斜率不存在，即l ⊥x 轴时，则直线方程为x ＝3，满足题意； 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋2，圆心到直线l 的距离为d ＝|－3k －1|(－1)2＋k 2＝3，解得k ＝43，所以直线l 的方程为4x －3y －6＝0.综上可知，直线l 的方程为x ＝3或4x －3y －6＝0.(3)由题意得0＜|CP |－r ≤2r ，即r ＜|CP |≤3r 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧r ＜|CP |min ＝41053r ≥|CP |max ＝|CH |＝10， 解得103≤r ＜4105.于是圆C 的半径r 的取值X 围为[103，4105)．BSD。
2020-2021学年北师大版数学必修4课时作业：第二章 平面向量 单元质量评估1
第二章单元质量评估(一)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．在▱ABCD 中，AB→－CD →＋BD →等于( D ) A.DB → B.AD → C .AB→ D.AC→ 解析：AB→－CD →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＝AC →. 2．已知向量a ＝(x －5,3)，b ＝(2，x )且a ⊥b ，则x 的值为( C ) A ．2或3 B ．－1或6 C ．2 D ．6解析：本题考查向量垂直的条件．依题意得a ·b ＝2(x －5)＋3x ＝0，x＝2，选C.3．若向量a ＝(2,0)，b ＝(1,1)，则下列结论正确的是( C ) A ．a ·b ＝1 B ．|a |＝|b | C ．(a －b )⊥bD ．a ∥b 解析：a ·b ＝2，所以A 不正确；|a |＝2，|b |＝2，则|a |≠|b |，所以B 不正确；a －b ＝(1，－1)，(a －b )·b ＝(1，－1)·(1,1)＝0，所以(a －b )⊥b ，所以C 正确；由于2×1－0×1＝2≠0，所以a ，b 不平行，所以D 不正确．4．在四边形ABCD 中，已知AB→＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( C )A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形解析：∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2BC →，∴四边形ABCD 为梯形．5．若向量a ，b 的夹角为π3，且|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则|a |是( C )A ．2B ．4C ．6D ．12解析：本题主要考查平面向量的数量积．由(a ＋2b )(a －3b )＝－72，|b |＝4，夹角为π3，得|a |2－2|a |－24＝0，解得|a |＝6，故选C.6．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上一点P 使AP →·BP →有最小值，则P 点的坐标为( C )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)解析：设P (x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)，AP →·BP →＝(x －3)2＋1，当x ＝3时，AP →·BP→有最小值1，∴P (3,0)． 7．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( B )A ． 5B ．10C ．2 5D ．10解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝0，－4－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，故a ＋b ＝(3，－1)，从而|a ＋b |＝10.8．下列说法中正确的个数为( A ) (1)AB→＋MB →＋BC →＋OM →＋CO →＝AB →； (2)若a ·b <0，则向量a 与b 的夹角是钝角；(3)向量e 1＝(2，－3)，e 2＝(12，－34)能作为表示平面内所有向量的一组基底；(4)若a ∥b ，则a 在b 上的射影为|a |. A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：AB→＋MB →＋BC →＋OM →＋CO →＝AB →＋BC →＋(CO →＋OM →＋MB →)＝AB →＋BC →＋CB →＝AB →，(1)正确；当|a |＝|b |＝1，且a 与b 反向时，a ·b ＝－1<0，但a 与b 的夹角为180°，(2)不正确；因为e 1＝4e 2，所以e 1∥e 2，所以向量e 1，e 2不能作为一组基底，(3)不正确；若a ∥b ，则a 与b 的夹角为0°或180°，所以a 在b 上的射影为|a |cos θ＝±|a |，(4)不正确．故选A.9．已知△ABC 所在平面上的动点M 满足2AM →·BC →＝AC →2－AB →2，则点M 的轨迹过△ABC 的( D )A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心解析：2AM →·BC →＝AC →2－AB →2＝(AC →－AB →)·(AC →＋AB →)⇒2AM →·BC →＝BC →·(AC →＋AB →)⇒BC →·[2AM→－(AC →＋AB →)]＝0. 设BC 的中点为D ，则AC →＋AB →＝2AD →，∴BC →·(AM →－AD →)＝0，即BC →·DM →＝0，∴M 点的轨迹过△ABC 的外心．10．设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1，则( B )A ．若θ确定，则|a |唯一确定B ．若θ确定，则|b |唯一确定C ．若|a |确定，则θ唯一确定D ．若|b |确定，则θ唯一确定 解析：|b ＋t a |2＝b 2＋2a ·b t ＋a 2t 2，令f (t )＝a 2t 2＋2a ·b t ＋b 2，又t 是任意实数，所以可得f (t )的最小值为4a 2b 2－(2a ·b )24a 2＝4a 2b 2－4a 2b 2cos 2θ4a 2＝4b 2(1－cos 2θ)4＝1，即|b |2(1－cos 2θ)＝1，易知若θ确定，则|b |唯一确定． 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在题中横线上)11．a 表示“向东走了2S 千米”，b 表示“向南走了2S 千米”，c 表示“向西走了S 千米”，d 表示“向北走了S 千米”(S >0)，则(b －c )＋(d －a )表示向西南走了2S 千米．解析：(b －c )＋(d －a )＝(b ＋d )－(a ＋c )，(b ＋d )表示“向南走S 千米”，(a ＋c )表示“向东走S 千米”，两式相减就表示“向西南走2S 千米”．12．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(0,1)，若存在实数λ使得b ⊥(λa ＋b )，则λ等于－1.解析：∵b ⊥(λa ＋b )，∴b ·(λa ＋b )＝λa ·b ＋b 2＝λ＋1＝0，解得λ＝－1. 13．在△ABC 中，D 在BC 边上，且CD→＝－2BD →，若CD →＝pAB →＋qAC →，则p ＋q ＝0.解析：∵CD →＝－2BD →，∴CD →＝23CB →.又CB →＝AB →－AC →，∴CD →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，∴p ＝23，q ＝－23，∴p ＋q ＝0.14．已知向量a ＝(6,2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12，直线l 过点A (3，－1)且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的方程为2x －3y －9＝0.解析：设B (x ，y )为直线l 上任意一点(不与A 重合)，则AB→＝(x －3，y ＋1)，又a ＋2b ＝(6,2)＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12＝(－2,3)，由题意得AB →·(a ＋2b )＝0，所以(x －3，y ＋1)·(－2，3)＝－2(x －3)＋3(y ＋1)＝0，即2x －3y －9＝0.15．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点，以A 为圆心，AE 为半径，作弧交AD 于点F ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PC →·PD →的最小值为5－2 5.解析：注意到在本题中向量PC →与向量PD →的差为定向量，于是4PC →·PD →＝(PC →＋PD →)2－(PC →－PD →)2＝(PC →＋PD →)2－4.取CD 的中点M ，连接PM ，AM ，则有PC →·PD →＝PM →2－1，如图，问题转化为求PM →2－1的最小值，显然当A ，P ，M 三点共线时，PM→2－1取得最小值(5－1)2－1＝5－2 5. 三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题12分)已知AB →＝(－1,3)，BC →＝(3，m )，CD →＝(1，n )，AD →∥BC→. (1)求实数n 的值；(2)若AC→⊥BD →，求实数m 的值． 解：(1)∵AB →＝(－1,3)，BC →＝(3，m )，CD →＝(1，n )，∴AD →＝AB →＋BC →＋CD→＝(3,3＋m ＋n )， ∵AD→∥BC →，∴3(3＋m ＋n )－3m ＝0，∴n ＝－3. (2)由(1)得CD →＝(1，－3)，AC →＝AB →＋BC →＝(2,3＋m )，BD →＝BC →＋CD →＝(4，m －3)．∵AC →⊥BD →，∴8＋(3＋m )(m －3)＝0，∴m ＝±1.17．(本小题12分)设点M 、N 、P 是△ABC 三边上的点，它们使BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a 、b 作为基底，将MN →、NP→、PM →表示出来． 解：MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13AC →－23(AB →－AC →)＝13AC →－23AB →＝13b －23a .同理可得NP →＝13a －23b .PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13a ＋13b . 18．(本小题12分)如图，在△ABC 中，设AB →＝a ，AC →＝b ，点D 在BC 边上．(1)若D 为BC 边中点，求证：AD →＝12(a ＋b )； (2)若AD→＝λa ＋μb ，求证：λ＋μ＝1. 证明：(1)∵AB→＝a ，AC →＝b ，∴BC →＝AC →－AB →＝b －a ，又D 为BC 边中点，∴BD →＝12BC →＝12(b －a )．∴AD →＝AB →＋BD →＝a ＋12(b －a )＝12(a ＋b )． (2)∵点D 在BC 边上，∴BD→∥BC →，则存在实数t (0≤t ≤1)，使得BD →＝tBC→＝t (b －a )，则AD →＝AB →＋BD →＝a ＋t (b －a )＝(1－t )a ＋t b ，若AD →＝λa ＋μb ，则λ＝1－t ，μ＝t ，∴λ＋μ＝(1－t )＋t ＝1.19．(本小题12分)平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求a ·b ；(2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(3)设d ＝(x ，y )满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝1，求d . 解：(1)a ·b ＝(3,2)·(－1,2)＝－3＋4＝1.(2)因为(a ＋k c )∥(2b －a )，且a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，所以2(3＋4k )＋5×(2＋k )＝0，即k ＝－1613.(3)因为d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，且(d －c )∥(a ＋b )，|d －c |＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝4＋55，y ＝1＋255或⎩⎨⎧x ＝4－55，y ＝1－255，所以d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫20＋55，5＋255或d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫20－55，5－255. 20．(本小题13分)在Rt △ABC 中，已知∠A ＝90°，BC ＝a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ →与BC →的夹角θ取何值时，BP →·CQ →的值最大？并求出这个最大值．解：解法一：如图，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC→＝0. ∵AP→＝－AQ →，BP →＝AP →－AB →，CQ →＝AQ →－AC →， ∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(AQ →－AC →)＝AP →·AQ →－AP →·AC →－AB →·AQ →＋AB →·AC → ＝－a 2－AP →·AC →＋AB →·AP →＋0＝－a 2－AP →·(AC →－AB →)＝－a 2＋12PQ →·BC →＝－a 2＋a 2cos θ.故当cos θ＝1，即θ＝0°(PQ →与BC →方向相同)时，BP →·CQ →的值最大，其最大值为0.解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．设|AB |＝c ，|AC |＝b ，则A (0,0)，B (c,0)，C (0，b )，设点P 的坐标为(x ，y )，由题意知|PQ |＝2a ，|BC |＝a ，则Q (－x ，－y )，x 2＋y 2＝a 2，∴BP →＝(x －c ，y )，CQ →＝(－x ，－y －b )，BC →＝(－c ，b )，PQ →＝(－2x ，－2y )．∴BP →·CQ→＝(x －c )(－x )＋y (－y －b )＝－(x 2＋y 2)＋cx －by .∵cos θ＝PQ →·BC →|PQ →|·|BC →|＝cx －by a 2，∴cx －by ＝a 2cos θ，∴BP →·CQ →＝－a 2＋a 2cos θ.故当cos θ＝1，即θ＝0°(PQ →与BC →方向相同)时，BP →·CQ →的值最大，其最大值为0.21．(本小题14分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，AB →＝2e 1＋e 2，BE →＝－e 1＋λe 2，EC →＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线． (1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－2)，求BC→的坐标； (3)已知点D (3,5)，在(2)的条件下，若四边形ABCD 为平行四边形，求点A 的坐标．解：(1)AE →＝AB →＋BE →＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2. ∵A ，E ，C 三点共线，∴存在实数k ，使得AE →＝kEC →，即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)，则(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2.∵e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，λ＝k －1，解得k ＝－12，λ＝－32.(2)BC →＝BE →＋EC →＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)． (3)∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD →＝BC →.设A (x ，y )，则AD →＝(3－x,5－y )．由(2)知BC →＝(－7，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x ＝－7，5－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝7，即点A 的坐标为(10,7)．。
2020-2021学年北师大版数学必修4作业：第二章 2.2 向量的减法 Word版含解析
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．给出下列各式： (1)AB →－AC →＋BD →－CD →； (2)OA →－OD →＋AD →； (3)NQ →＋QP →＋MN →－MP →.其中化简结果为零向量的式子的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：(1)AB →－AC →＋BD →－CD →＝(AB →＋BD →)－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0；(2)OA →－OD →＋AD →＝(OA →－OD →)＋AD →＝DA →＋AD →＝0；(3)NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝(NQ →＋QP →)＋(MN →－MP →)＝NP →＋PN →＝0. 答案：D2．下列等式不正确的是( ) A ．a ＋0＝a B ．a ＋b ＝b ＋a C.AB →＋BA →≠0D.AC →＝DC →＋AB →＋BD →解析：根据向量加法的三角形法则，A 正确；向量加法满足交换律，B 正确；因为AB →与BA →是一对相反向量，相反向量的和为零向量，所以C 不正确；根据向量加法的多边形法则，D 正确． 答案：C3．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD →－AC →等于( ) A.CB → B.BC → C.CD →D.DC →解析：在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD →－AC →＝CD →.4．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝( ) A ．8 B ．4 C ．2D ．1解析：以AB →，AC →为邻边作平行四边形ACDB ，则|AD →|＝|AB →＋AC →|，|CB →|＝|AB →－ AC →|.因为|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以|AD →|＝|CB →|，所以四边形ACDB 为矩形，故AC ⊥AB ，所以AM 为Rt △BAC 斜边BC 上的中线，因此|AM →|＝12|BC →|＝2. 答案：C5．若a ≠0，b ≠0，且|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 所在直线的夹角是________． 答案：30°6．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________.解析：BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝(BA →－BC →)－(OA →－OD →)＋DA →＝CA →－DA →＋DA →＝CA →. 答案：CA →7．化简：(1)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)＝________. (2)(PQ →－MO →)＋(QO →－QM →)＝________.解析：(1)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)＝AD →＋MB →＋BC →＋CM →＝AD →＋(MB →＋BC →)＋CM →＝AD →＋MC →＋CM →＝AD →.(2)(PQ →－MO →)＋(QO →－QM →)＝PQ →＋QO →－(QM →＋MO →)＝PO →－QO →＝PO →＋OQ →＝PQ →. 答案：(1)AD → (2)PQ →8．四边形ABCD 是边长为1的正方形，则|AB →－AD →|＝________. 解析：|AB →－AD →|＝|DB →|＝12＋12＝ 2.9.如图，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示以下向量： (1)AC →；(2)AD →；(3)DF →＋FE →＋ED →. 解析：(1)AC →＝OC →－OA →＝c －a . (2)AD →＝AO →＋OD →＝－OA →＋OD →＝－a ＋d .(3)DF →＋FE →＋ED →＝DO →＋OF →＋FO →＋OE →＋EO →＋OD →＝0.10.如图所示，已知在矩形ABCD 中，|AD →|＝43，|AB →|＝8.设AB →＝a ，BC →＝b ，BD →＝c ，求|a －b －c |.解析：如图，b ＋c ＝BD ′→，a －b －c ＝a －(b ＋c )＝a －BD ′→＝BB ′→－BD ′→＝D ′B ′→，则|a －b －c |＝|D ′B ′→|＝(2×43)2＋(2×8)2＝87.[B 组 能力提升]1．若|OA →|＝8，|OB →|＝5，则|AB →|的取值范围是( ) A ．[3,8] B ．(3,8) C ．[3,13]D ．(3,13)解析：因为AB →＝OB →－OA →，故当OA →，OB →同向共线时，|AB →|＝|OA →|－|OB →|＝3； 当OA →，OB →反向共线时，|AB →|＝|OA →|＋|OB →|＝13；当OA →，OB →不共线时，||OB →|－|OA →||＜|OB →－OA →|＜|OB →|＋|OA →|，即3＜|AB →|＜13.综上可得3≤|AB →|≤13. 答案：C2．如图，在正六边形ABCDEF 中，与OA →－OC →＋CD →相等的向量有________．①CF →；②AD →；③BE →；④DE →－FE →＋CD →；⑤CE →＋BC →；⑥CA →－CD →；⑦AB →＋AE →. 答案：①④3．在五边形ABCDE 中，设AB →＝m ，BC →＝n ，CD →＝p ，DE ＝q ，EA →＝r ，求作向量m －p ＋n －q －r.解析：因为m －p ＋n －q －r ＝(m ＋n )－(p ＋q ＋r )＝(AB →＋BC →)－(CD →＋DE →＋EA →)＝AC →－CA →＝AC →＋AC →.延长AC 到M ，使|CM →|＝|AC →|，则CM ＝AC →， 所以AC →＋AC →＝AC →＋CM →＝AM →.所以向量AM →为所求作的向量，如图所示．4．如图，已知点O 是△ABC 的外心，H 为垂心，BD 为外接圆的直径．求证：(1)AH →＝DC →；(2)OH →＝OA →＋OB →＋OC →.证明：(1)由题意，可得AH ⊥BC ，DC ⊥BC ，所以AH ∥DC .又DA ⊥AB ，CH ⊥AB ，所以DA ∥CH ，所以四边形AHCD 为平行四边形．所以AH →＝DC →.(2)在△OAH 中，OH →＝OA →＋AH →，而AH →＝DC →，所以OH →＝OA →＋DC →. 又在△ODC 中，DC →＝DO →＋OC →，而DO →＝OB →， 所以DC →＝OB →＋OC →. 所以OH →＝OA →＋OB →＋OC →.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
新版高中数学北师大版必修4习题：第二章平面向量 检测
第二章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列等式成立的是()AB.a·0=0C.(a·b)c=a(b·c)D.|a+b|≤|a|+|b|答案:D2.设P是△ABC所在平面内的一点则A0B0C0D0解析:由可得P是边AC的中点,从而0.答案:B3.已知非零向量a,b满足向量a+b与向量a-b的夹角为则下列结论中一定成立的是A.a=bB.|a|=|b|C.a⊥bD.a∥b解析:因为向量a+b与向量a-b的夹角为所以(a+b)⊥(a-b),即(a+b)·(a-b)=0,所以|a|2-|b|2=0,即|a|=|b|.答案:B4.已知点A(1,2),B(2,-1),C(2,2),若则A.5B.-5C.3D.-3解析:由已知,得答案:C5.设O,A,M,B为平面上四点且∈(1,2),则()A.点M在线段AB上B.点B在线段AM上C.点A在线段BM上D.O,A,M,B四点共线解析:由题意可知即∴A,M,B三点共线.又λ∈(1,2),∴点B在线段AM上.答案:B6.已知△ABC满足则△ABC是()A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形解析:则故△ABC为直角三角形.答案:C7.已知C为△ABC的一个内角,向量m=(2cos C-1,-2),n=(cos C,cos C+1).若m⊥n,则角C=() AC解析:由m⊥n,得(2cos C-1)·cos C-2(cos C+1)=0,即2cos2C-3cos C-2=0,解得cos C=或cos C=2(不符合题意,舍去).∵C∈(0,π),∴C答案:C8.下列说法中正确的个数为()②若a·b<0,则a与b的夹角是钝角;③向量e1=(2,-3),e2-能作为平面内所有向量的一组基底④若a∥b,则a在b方向上的投影为|a|.A.1B.2C.3D.4解析:正确;当|a|=|b|=1且a与b反向时,a·b=-1<0,但a与b的夹角为180°,②不正确;因为e1=4e2,所以e1∥e2,所以向量e1,e2不能作为基底,③不正确;若a∥b,则a与b的夹角为0°或180°,所以a在b方向上的投影为|a|·cos θ=±|a|,④不正确.故选A.答案:A9.已知O是△ABC外接圆的圆心.若0,则∠ACB=()A解析:由O是△ABC外接圆的圆心,设由0,可得平方可得R2∠ACB+25R2),解得cos2∠ACB故由题意得,∠ACB答案:A10.已知k∈Z若则△ABC是直角三角形的概率为()A解析:由及k∈Z,知k∈{-3,-2,-1,0,1,2,3}.若与垂直,则2k+4=0,解得k=-2;若与垂直,则k(k-2)-3=0,解得k=-1或3;若与垂直,则·(k-2,-3)=2k-4-12=0,即k=8,不符合题意,所以△ABC是直角三角形的概率是答案:C11.若非零向量a,b满足|a|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为()A解析:由(a-b)⊥(3a+2b)知(a-b)·(3a+2b)=0,即3|a|2-a·b-2|b|2=0.设a与b的夹角为θ,所以3|a|2-|a||b|cos θ-2|b|2=0,即3·b|2cos θ-2|b|2=0,整理,得cos θ故答案:A12.如图,四边形ABCD是正方形,延长CD至点E,使得DE=CD.若动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点A,其中则下列判断中正确的是A.满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B.满足λ+μ=1的点P有且只有一个C.λ+μ的最大值为3D.λ+μ的最小值不存在解析:由题意可知,λ≥0 μ≥0 当λ=μ=0时,λ+μ的最小值为0,此时点P与点A重合,故D错误;当λ=1,μ=1时,点P也可以在点D处,故A错误;当λ=1,μ=0,λ+μ=1时,点P在点B处,当点P在线段AD的中点时,λ=μ亦有λ+μ=1.所以B错误.答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.设向量a=(x,3),b=(2,1).若对任意的正数m,n,向量m a+n b始终具有固定的方向,则x=. 解析:当a与b共线时,向量m a+n b始终具有固定的方向,所以x=6.答案:614.直线l经过原点O,且与向量a=(2,3)垂直,则直线l的方程为.解析:设直线l上的一点为A(x,y),则为直线l的方向向量.由题意,知·a=0,所以2x+3y=0,故直线l的方程为2x+3y=0.答案:2x+3y=015.在△ABC中,点M,N满足若则解析:如图,∴x答案:16.关于平面向量有下列四个命题:①若a·b=a·c,则b=c;②已知a=(k,3),b=(-2,6),若a∥b,则k=-1;③若非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为30°;-其中正确的命题为写出所有正确命题的序号⇒k=-1,②正确;③中,解析:①中,a·b=a·c⇒a·(b-c)=0,当a=0时也成立,①不正确;②中,若a∥b,则-由已知可得a,b的夹角为60°,a与a+b的夹角为30°,③正确;④中-正确.答案:②③④三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如图,在▱ABCD中,E,F分别是BC,DC的中点,G为DE与BF的交点.若a b,试以a,b为基底表示解连接AE,AF,BD.=a=b因为G是△CBD的重心,所以a+b).18.(12分)设在上是否存在点使若存在求出点的坐标若不存在请说明理由解设存在点M,且≤λ≤1)则∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0.∴45λ2-48λ+11=0,解得λ或或∴存在点M(2,1)或使19.(12分)已知A(2,3),B(5,4),C(7,10),点P满足∈R).(1)当λ为何值时,点P在正比例函数y=x的图像上?(2)设点P在第三象限,求λ的取值范围.解由已知,知A,B,C三点的坐标依次是(2,3),(5,4),(7,10).设点P的坐标为(x1,y1),则即由得(x1-2,y1-3)=(3+5λ,1+7λ).由此可得--⇒所以点P的坐标是(5+5λ,4+7λ).(1)令5+5λ=4+7λ,可得λ所以,当λ时,点P在正比例函数y=x的图像上.(2)因为点P在第三象限,所以解得λ<-1,所以λ的取值范围是(-∞,-1).20.(12分)如图,在矩形ABCD中,e1e2(1)若e1+y e2,求x,y的值;(2)求与的夹角的余弦值解(1)∵e1e2e1+3e2,∴x=4,y=3.(2e2-4e1.设与的夹角为θ,∵e1|=|e2|=1,e1·e2=0,∴cos θ) -)21.(12分)在△ABC中,设(1)求证:△ABC为等腰三角形;(2)若且求的取值范围(1)证明因为所以又0,则所以-所以即AB=BC,故△ABC为等腰三角形.(2)解因为B∈所以cos B∈-设AB=BC=a,则由得即a2+a2+2a2cos B=4,所以a2所以B又cos B∈-所以-22.(12分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足(1)求证:A,B,C三点共线;(2)求的值(3)已知A(1,cos x),B(1+cos x,cos x),x∈的最小值为求实数的值(1)证明即又AC,AB有公共点A,∴A,B,C三点共线.(2)解由(1)得(3解x,cos x)-(1,cos x)=(cos x,0).∵x∈∴cos x∈[0,1].∴x|=cos x.∴x,cos x)+(1,cos x)=(3+2cos x,3cos x),∴f(x)=1x+cos2x x=(cos x-m)2+1-m2,cos x∈[0,1].若m<0,则当且仅当cos x=0时,f(x)取得最小值1,与已知最小值为相矛盾,即m<0不符合题意; 若0≤m≤1 则当且仅当cos x=m时,f(x)取得最小值1-m2.由1-m2=得m=舍去);若m>1,则当且仅当cos x=1时,f(x)取得最小值2-2m.由2-2m=得m综上所述,实数m的值为。
高中北师大版数学必修四 第二章课时作业12
一、选择题图2－2－61．如图2－2－6在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( ) A.AB →＝DC → B.AD →＋AB →＝AC → C.AB →－AD →＝BD → D.AD →＋CB →＝0【解析】 结合图形，可知A 、B 、D 均正确，C 错误，故选C. 【答案】 C2．(2013·张家口高一检测)若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE →B.EF →＝OF →－OE →C.EF →＝－OF →＋OE →D.EF →＝－OF →－OE →【解析】 ∵O 、E 、F 是不共线的任意三点，∴OE →＋EF →＝OF →，由此可以推出EF →＝OF →－OE →.故选B.【答案】 B 3．下列说法：①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同； ②在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③在AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点； ④若a 、b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等． 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 ①中若a ＋b ＝0，则a ＋b 与a ，b 方向不相同．③中，A 、B 、C 三点可能在一条直线上，④中当a ，b 方向相反时，|a ＋b |≠|a |＋|b |.【答案】 B4．已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3则|AB →＋BC →＋AC →|等于( ) A ．0 B ．5 C.13D ．213【解析】 |AB →＋BC →＋AC →|＝|AC →＋AC →|＝2|AC →|＝2|AB →|2＋|BC →|2＝222＋32＝213.【答案】 D5．下列式子不能化简为A D →的是( ) A ．(AB →＋CD →)＋BC → B ．(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →) C.OC →－OA →＋CD → D.MB →＋AD →－BM →【解析】 对于A 有AB →＋BC →＋CD →＝AD →；对于B 有AD →＋(MB →＋BC →)＋CM →＝AD →＋(MC →＋CM →)＝AD →；对于C 有(OC →－OA →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，只有D 无法化简为AD →.【答案】 D 二、填空题图2－2－76．(2013·西安高一检测)如图，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|＝________.【解析】 ∵AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →， ∴|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝2.【答案】 27．已知|a |＝|b |＝1，|a －b |＝3，则|a ＋b |＝________.【解析】 利用a ±b 的几何意义，平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和，可得|a －b |2＋|a ＋b |2＝2|a |2＋2|b |2＝4， ∴|a ＋b |＝1. 【答案】 1图2－2－88．如图2－2－8，D 、E 、F 分别是BC ，CA ，AB 的中点，则DE →－FE →＋DF →＝________.(用图中标注的向量表示)【解析】 DE →－FE →＋DF →＝DF →＋DF →＝CE →＋EA →＝CA →. 【答案】 CA →三、解答题9．一架测绘飞机从观测点O 向东飞行30 km ，然后沿西北方向飞行20 2 km ，接着向西飞行10 km 到观测点P .(1)求飞机的位移； (2)求飞机的路程．【解】 (1)以O 为原点，OA 所在直线为x 轴， 建立平面直角坐标系，如图．作BH ⊥OA ，垂足为H ，则OA ＝30，AB ＝202，BP ＝10，依题意，得∠OAB ＝45°，∠AHB ＝90°. ∴△ABH 为等腰直角三角形， ∴AH ＝BH ＝20，OH ＝BP ＝10， ∴OP ＝BH ＝20.所以飞机的位移为OA →＋AB →＋BP →＝OP →， 即飞机的位移在观测点O 正北方向20 km. (2)飞机的路程为 S ＝|OA →|＋|AB →|＋|BP →|＝30＋202＋10＝40＋202(km)．10．已知点B 是▱ACDE 内一点，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BE →，CE →及BD →.【解】 ∵四边形ACDE 为平行四边形， ∴CD →＝AE →＝c ， BC →＝AC →－AB →＝b －a ， BE →＝AE →－AB →＝c －a ， CE →＝AE →－AC →＝c －b ， BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .11．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，先用a ，b 表示向量AC →和DB →，并回答：当a ，b 分别满足什么条件时，四边形ABCD 为矩形、菱形、正方形？【解】 由向量加法的平行四边形法则，得AC →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b .则有：当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线相等，四边形ABCD 为矩形；当a ，b 满足|a |＝|b |时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD 为菱形； 当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |且|a |＝|b |时，四边形ABCD 为正方形．。
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量基本定理课时分层作业含解析北师大版必修4
课时分层作业(十七) 平面向量基本定理(建议用时：40分钟)一、选择题1．以下选项中，a 与b 不一定共线的是( ) A ．a ＝5e 1－e 2，b ＝2e 2－10e 1 B ．a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2C ．a ＝e 1－2e 2，b ＝e 2－2e 1D ．a ＝3e 1－3e 2，b ＝－2e 1＋2e 2 C [只有C 选项不一定共线．] 2.如图所示，向量a －b ＝( )A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2C [a －b ＝AB →＝e 1－3e 2.]3．已知e 1，e 2不共线，a ＝λ1e 1＋e 2，b ＝4e 1＋2e 2，并且a ，b 共线，则下列各式正确的是( )A ．λ1＝1B ．λ1＝2C ．λ1＝3D ．λ1＝4B [b ＝4e 1＋2e 2＝2(2e 1＋e 2)，因为a 与b 共线，所以λ1＝2.]4.如图所示，▱ABCD 中，E 是BC 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，则DE →＝( )A ．12a －bB ．12a ＋bC ．a ＋12bD ．a －12bD [因为E 是BC 的中点， 所以CE →＝12CB →＝－12AD →＝－12b ，所以DE →＝DC →＋CE →＝a －12b.]5．若OP 1＝a ，OP 2＝b ，P 1P ＝λPP 2(λ≠－1)，则OP →等于( ) A ．a ＋λb B ．λa ＋(1－λ)b C ．λa ＋b D ．11＋λa ＋λ1＋λb D [∵P 1P ＝λPP 2， ∴OP →－OP 1＝λ(OP 2－OP →)， ∴(1＋λ)OP →＝OP 1＋λOP 2，∴OP →＝11＋λOP 1＋λ1＋λOP 2＝11＋λa ＋λ1＋λb .]二、填空题6．如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．(填序号)①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μ e 2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. ②③ [由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．] 7．已知e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，又a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－e 2，c ＝－e 1＋8e 2，若用a ，b 作为基底表示向量c ，则c ＝________．3a －2b [设c ＝λ a ＋μ b ，于是－e 1＋8e 2＝λ(e 1＋2e 2)＋μ(2e 1－e 2)，整理得－e 1＋8e 2＝(λ＋2μ)e 1＋(2λ－μ)e 2， 因为e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝－1，2λ－μ＝8，解得λ＝3，μ＝－2，所以c ＝3a －2b.]8．已知e 1与e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝λe 1＋e 2，且a 与b 是一组基底，则实数λ的取值范围是________．⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ [当a ∥b 时，设a ＝m b ， 则有e 1＋2e 2＝m (λe 1＋e 2)， 即e 1＋2e 2＝mλe 1＋m e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝mλ，2＝m ，解得λ＝12，即当λ＝12时，a ∥b .又a 与b 是一组基底， 所以a 与b 不共线，所以λ≠12.]三、解答题9.如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b 表示AD →、AE →、AF →.[解] AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ；AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b . 10．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)已知c ＝3e 1＋4e 2，以a ，b 为基底，表示向量c ； (2)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．[解] (1)设c ＝λa ＋μb ，则3e 1＋4e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2)＝(λ＋μ)e 1＋(3μ－2λ)e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝3，3μ－2λ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，μ＝2.所以c ＝a ＋2b .(2)4e 1－3e 2＝λa ＋μb ＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(3μ－2λ)e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，3μ－2λ＝－3.解得λ＝3，μ＝1.1．设O ，A ，B ，M 为平面上四点，OM →＝λOA →＋(1－λ)OB →，λ∈(0，1)，则( ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，B ，M 四点共线A [因为OM →＝λOA →＋(1－λ)OB →，λ∈(0，1)， 所以OM →－OB →＝λ(OA →－OB →)， 所以BM →＝λBA →， 故点M 在线段AB 上．]2．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直A [如图．∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋23CA →，CF →＝CB →＋BF →＝CB →＋13BA →，∴AD →＋BE →＋CF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →＋⎝⎛⎭⎫BC →＋23CA →＋⎝⎛⎭⎫CB →＋13BA →＝13BC →＋23CB →＝－13BC →.] 3.如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________．43[设AB →＝a ，AD →＝b ， 则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.]4．设点O 是面积为4的△ABC 内部一点，且有OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△AOC 的面积为________．1 [如图，以OA ，OB 为邻边作▱OADB ，连接OD ，则OD →＝OA →＋OB →，结合条件OA →＋OB →＋2OC →＝0知，OD →＝－2OC →，设OD 交AB 于M ，则OD →＝2OM →，所以OM →＝－OC →， 故O 为CM 的中点，所以S △AOC ＝12S △CAM ＝14S △ABC ＝14×4＝1.]5.如图所示，已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求证：EF ∥AB ∥DC .[证明] 延长EF 到M ，使EF ＝FM ，连接CM ，BM ，EC ，EB ，得▱ECMB ， 由平行四边形法则得 EF →＝12EM →＝12(EB →＋EC →).由于AB ∥DC ，所以AB →，DC →共线且同向，根据共线向量基本定理，存在正实数λ，使AB →＝λDC →.由三角形法则得EB →＝EA →＋AB →，EC →＝ED →＋DC →且ED →＋EA →＝0， ∴EF →＝12(EB →＋EC →)＝12(EA →＋AB →＋ED →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝1＋λ2DC →， ∴EF →∥DC →.由于E ，D 不共点，∴EF ∥AB ∥DC .。
高中(北师大版)数学必修4(45分钟课时作业与单元测试卷)：20单元测试卷二含解析
答案：2
解析：因为| |2＝| － |2＝| |2＋| |2－2 · ＝10＋10－0＝20，所以| |＝ ＝2 .
12．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝ ，a＋b＝( ，1)，则向量a＋b与向量a－b的夹角是________．
∴| |＝ ＝ ，
∴当t＝6时，| |取得最小值4 .
17．(12分)已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)求a·b及|a＋b|的值；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?
解：(1)a·b＝|a||b|cos120°＝－16，
|a＋b|＝
＝
＝4 .
(2)由题意，知(a＋2b)·(ka－b)＝ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
若∠B＝90°，则 · ＝0，即(t－4)(6－t)＋2(t－2)＝0，
∴t＝6±2 ；
若∠C＝90°，则 · ＝0，即2(6－t)＋t(t－2)＝0，无解，
∴满足条件的t的值为2或6±2 .
(2)若四边形ABCD是平行四边形，则 ＝ ，设点D的坐标为(x，y)，
即(x－4，y)＝(6－t，t－2)，∴ ，即D(10－t，t－2)，
8．已知平面向量a＝(1， )，|a－b|＝1，则|b|的取值范围是()
A．[0,1]B．[1,3]
C．[2,4]D．[3,4]
答案：B
解析：由于 ＝1，所以向量b对应的点在以(1， )为圆心，1为半径的圆上，由于圆心到原点的距离为2，所以 的取值范围是[1,3]．
9．已知向量 ＝(2,2)， ＝(4,1)，在x轴上的一点P使 · 取得最小值，则点P的坐标为()
高中数学北师大版必修4习题：第二章平面向量 2.3.2 Word版含解析数学
3.2平面向量基本定理课时过关·能力提升1.设O是平行四边形ABCD两对角线AC与BD的交点,有下列向量组:与与与与其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量基底的是()A.①②B.③④C.①③D.①④答案:C2.如图,在△ABC中∥BC,EF交AC于F,设a b,则等于A.-aB.aCD解析:∥BC,a.答案:A3.已知a=x e1+2e2与b=3e1+y e2共线,且e1,e2不共线,则xy的值为()A.6 B解析:由a,b共线,得a=λb(λ为实数),即x e1+2e2=3λe1+λy e2,而e1,e2不共线, ∴x=3λ,2=λy,且λ≠0,∴xy=3λ·答案:A4.在△ABC中c b,点D满足若将b与c作为基底,则AC解析:c=2(b答案:A5.已知·x2·x0(x∈R),其中A,B,C三点共线,O是线外一点,则满足条件的x值()A.不存在B.有一个C.有两个D.以上情况均有可能解析:由·x2·x0,得·x2·x再由A,B,C三点共线,O是线外一点,可得x2+x=1,此方程有两个实根,故满足条件的x值有两个.答案:C★6.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且点在线段上与点不重合如图若则的取值范围是A.(0,1) B,C.(-1,0) D-,解析:由于点O在线段CD上(与点C,D不重合),故存在实数λ∈(0,1),使又即-1<x<0.答案:C7.已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,a=3e1-2e2,b=-2e1+e2,c=2e1-3e2.若用a,b表示c,则c=.解析:设c=x a+y b(x,y∈R),则2e1-3e2=x(3e1-2e2)+y(-2e1+e2),即(3x-2y)e1+(y-2x)e2=2e1-3e2.因为e1,e2是平面内两个不共线的向量,所以-,--,解得,,所以c=4a+5b.答案:4a+5b8.已知e1,e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使a,b能作平面内所有向量的一组基底,则实数λ的取值范围是.解析:若向量a,b共线,则λ=4,故当向量a,b不共线时,λ≠4.答案:(-∞,4)∪(4,+∞)9.已知点在∠AOB内,且∠AOC=30°.设为正实数则解析:如图所示,设则∴四边形OECF是平行四边形.∴四边形OECF是矩形.∵∠AOC=30°,∴·cos 30°=·sin 30°=两式相除,答案:310.(1)设e1,e2是两个不共线的向量,试确定k的值,使向量a=e1+k e2(k∈R)与向量b=-(e2-2e1)共线;(2)在▱ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若a b,用a,b表示解(1)假设存在实数λ,使得a=λb,即e1+k e2=-λ(e2-2e1)=-λe2+2λe1,,(2)如图由题意知DE∶BE=1∶3=DF∶AB,11.设e1,e2是平面内不共线的向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)求证:a,b可以作为一组基底;(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式;(3)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值.(1)证明假设a=λb(λ∈R),则e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共线,得, -,所以λ不存在,故a与b不共线,可以作为一组基底.(2)解设c=m a+n b(m,n∈R),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2,所以,--,解得,,所以c=2a+b.(3)解由4e1-3e2=λa+μb,得4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)=(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2,所以,--,解得,★12.如图,在△OAB中与相交于点连接设a b.(1)试用a和b表示向量(2)在线段AC上取一点E,线段BD上取一点F,使EF过点M.设为实数求证(1)解设a+n b(m,n∈R),则a+n b-a=(m-1)a+n b aa+n b-b b∵A,M,D三点共线,与共线,设∈R),,∵C,M,B三点共线,与共线,同理,4m+n=1.②由①②,解得m(2)证明-a+μb.与共线,。
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第二章 章末检测卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB→|＝λ|DC→|，设AB→＝a，AD→＝b，则AC
→
等于( )
A．λa＋b B．a＋λb
C.1λa＋b D．a＋1λb
解析：AC→＝AD→＋DC→＝b＋1λAB→＝b＋1λa，故选C.
答案：C
2．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角θ为( )
A.π3 B.π2
C.2π3 D.3π4
解析：因为|a＋b|＝1，所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，所以cosθ＝－12.又θ∈[0，
π]，所以θ＝
2π
3
.
答案：C
3．若A(x，－1)，B(1,3)，C(2,5)三点共线，则x的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：AB→∥BC→，(1－x,4)∥(1,2)，2(1－x)＝4，x＝－1，选B.
答案：B
4．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)，若(a＋c)⊥b，则(a＋b)·c
＝( )
A．0 B．2
C．3 D．4
解析：因为a＋c＝(3,3m)，(a＋c)⊥b，所以(a＋c)·b＝3(m＋1)＋3m＝0，
得m＝－12，故a＝(1，－1)，b＝12，1，c＝2，－12，所以a＋b＝32，0，
(a＋b)·c＝32，0·2，－12＝3，故选C.
答案：C
5．在△ABC中，已知D是边AB上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，
则λ＝( )
A.13 B.23
C.12 D.34
解析：由已知得CD→＝CA→＋AD→＝CA→＋23AB→＝CA→＋23(CB→－CA→)＝13CA→＋
2
3
CB→，因此λ＝23，故选B.
答案：B
6．(2016·山东)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝13，若
n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )
A．4 B．－4
C.94 D．－94
解析：方法一：由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，所以t
＝－n2m·n＝－n2|m|·|n|cos〈m，n〉＝－|n|2|m|×|n|×13＝－3×|n||m|＝－3×43＝－4.
方法二：由4|m|＝3|n|，可设|m|＝3k，|n|＝4k(k>0)，又n⊥(tm＋n)，所以
n·(tm＋n)＝n·tm＋n·n＝t|m|·|n|·cos〈m，n〉＋|n|2＝t×3k×4k×13＋(4k)2＝4tk
2
＋16k2＝0，所以t＝－4.
答案：B
7．若四边形ABCD满足AB→＋CD→＝0，(AB→－AD→)·AC→＝0，则该四边形一定
是( )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．直角梯形
解析：由AB→＋CD→＝0即AB→＝DC→可得四边形ABCD为平行四边形，由(AB→－
AD→)·AC→＝0即DB→·AC→＝0可得DB→⊥AC→，所以四边形一定是菱形．故选C.
答案：C
8．已知O为坐标原点，点A的坐标为(2,1)，向量AB→＝(－1,1)，则(OA→＋
OB→)·(OA→－OB→)等于( )
A．－4 B．－2
C．0 D．2
解析：因为O为坐标原点，点A的坐标为(2,1)，
向量AB→＝(－1,1)，
所以OB→＝OA→＋AB→
＝(2,1)＋(－1,1)＝(1,2)，
所以(OA→＋OB→)·(OA→－OB→)
＝OA→2－OB→2＝(22＋12)－(12＋22)
＝5－5＝0.故选C.
答案：C
9．在△ABC中，若|AB→|＝1，|AC→|＝3，|AB→＋AC→|＝|BC→|，则AB→·BC→|BC→|＝( )
A．－32 B．－12
C.12 D.32
解析：由向量的平行四边形法则，知当|AB→＋AC→|＝|BC→|时，∠A＝90°.又|AB
→