北师大版高中数学必修必修4课后习题答案
高中数学必修4(北师版)第一章1.8(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案
π ) 的最小正周期，单调性，对称轴，对称中心． 3
π π π kπ π kπ 5π 时，解得 < 3x − < kπ + − <x< + (k ∈ Z) ．所以，函数在区间 2 3 2 3 18 3 18 kπ π kπ 5π π kπ π kπ ，即 x = 时，函数的对称中 ( − , + )(k ∈ Z) 上单调递增．当 3x − = + 3 18 3 18 3 2 9 6 π kπ 心是 ( + , 0 )(k ∈ Z)． 9 6
象． （2）将 y = 的图象．
1 sin x 图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍（横坐标不变），从而得到 y = sin x 2 1 ，从而得到 y = sin 2x 的图 2
（3）将 y = sin x 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 象． 函数 y = 2 sin(
1 π x + ) 的图象是由函数 y = sin x 的图象怎样变换得到的？ 3 4 π π π 解：变换一：将 y = sin x 的图象向左平移 个单位，得到 y = sin(x + )，再将 y = sin(x + ) 4 4 4 1
π π , ) 内的图象．根据正切函数的周期 2 2 π π 性，我们可以把函数图象向左、向右连续平移，得出 y = tan x，x ∈ (− + kπ, + kπ) ， k ∈ Z 2 2
的图象，即正切曲线．
正弦型函数图象的“五点法”作图 作正弦型函数的简图，一般都是先找出确定图象形状的关键的五个点， 然后在描点作图时要注意到，被 这五个点分隔的区间上的变化情况，在 x = 0, π, 2π 附近函数增加或下降快一些，曲线“陡”一些，在
(北师大版)高中数学必修四：3.3逆用倍角公式降幂(含答案)
逆用倍角公式降幂在化简、求值或证明三角问题时，逆用二倍角的正弦、余弦公式，可以达到降幂、化简等目的.一、含x x cos sin ⋅项时，用x x x 2sin 21cos sin =降幂 例1 化简：x x x 2cos cos sin .解 x x x x x x x x 4sin 41)2cos 2sin 2(412cos )2sin 21(2cos cos sin ===. 点评：通过连续几次逆用二倍角的正弦公式进行降幂化简.二、含x x 22sin cos -项时，用x x x 2cos sin cos 22=-降幂例2 求值：8sin 8cos 22ππ-.解 224cos )82cos(8sin 8cos 22==⨯=-ππππ. 点评：通过逆用二倍角的余弦公式转化为求特殊角的余弦值问题.三、含x 2sin 或x 2cos 项时，用x x 2cos 1sin 22-=或x x 2cos 1cos 22+=降幂例3 已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=，求)(x f 的最小正周期和最大值.解 x x x x x x x x x f 2sin )2cos 1(cos sin 2sin 2)cos (sin sin 2)(2+-=+=+= 1)42sin(21)4sin 2cos 4cos 2(sin 2+-=+-=πππx x x . ∴)(x f 的最小正周期ππ==22T ，最大值12+. 点评：通过降幂转化为一个角的一个三角函数的形式后，即可解决与三角函数性质有关的任何问题.四、含x x 44cos sin +项时，用配方法和x x x 2sin 21cos sin =等降幂 例4 已知532cos =θ，求θθ44cos sin +的值. 解 θθθθθθθ2sin 211cos sin 2)cos (sin cos sin 22222244-=-+=+ 2517])53(1[211)2cos 1(21122=--=--=θ. 点评：先用配方法转化为积的四次幂，再逆用二倍角的正弦公式降为二次型.五、含x x 44cos sin -项时，用因式分解法和x x x 2cos sin cos 22=-降幂例5 已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=.(1)求)(x f 的最小正周期；(2)当]2,0[π∈x 时，求)(x f 的最小值以及取得最小值时x 的集合.解 x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=x x x x x 2sin )sin )(cos sin (cos 2222--+=)42cos(22sin 2cos π+=-=x x x . (1))(x f 的最小正周期是ππ==22T ； (2)当]2,0[π∈x 时，]22,1[)42cos(-∈+πx ，则]1,2[)(-∈x f ，故)(x f 的最小值为2-，这时x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧83π. 点评：先用因式分解法转化为二次幂，再逆用二倍角的余弦公式降为一次型.六、含x 4sin 或x 4cos 项时，用x x 2cos 1sin 22-=或x x 2cos 1cos 22+=降幂 例6 求证：ααα4sin 82cos 44cos 3=-+.证明 ααααα2cos 22cos 42)2cos 1(2)sin 2(2sin 822224+-=-== αααα2cos 44cos 3)4cos 1(2cos 42-+=++-=.∴原等式成立.点评：通过变用二倍角公式将四次幂降为一次型，即可从右边证到左边.。
数学必修四答案及解析北师大版
数学必修四答案及解析北师大版实用文档附解析）套新北师大版高一必修一期末测试卷（共2) 一综合测试题( 分钟．分．考试时间120(非选择题)两部分．满分150本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷)分共60第Ⅰ卷(选择题在每小题给出的四个选项中，分，分，共60本大题共12个小题，每小题5选择题一、()只有一项是符合题目要求的BxABAxxxx －30}4，则＋30}，＝{(*****．·全国卷Ⅰ理，1)设集合＝＝{|2|∩－)(33)3，B．(－A．(－3，－)*****)(，D．，C．(1)22xx65＋－xfx|＋lg 的定义域( ) ＝4－|·湖北高考2．(2015)函数) ( x3－A．(2,3) B．(2,4]D．(－(3,4]C．(2,3)∪1,3)∪(3,6]fxgx)有相同图像的一组是与3．下列各组函数，在同一直角坐标中，(()( )11 xxxxgf)＝，(( ()＝()A．)22x－9fxgxx－3＝，)(B．(＝) x3＋1 gxxxfx ＝((2log)＝()，)C．2xxgfx ＝((＝)lg10，)D．xyx) 6的零点，必定位于如下哪一个区间＝ln＋2( 4．函数－(2,3) ．．(1,2) BA(4,5)．C．(3,4)Dfxfxfxx的取值范)(2上的单调增函数，若)是定义域在(0，＋∞)－(，则5．已知()围是( )xx1 B1 ．A．xx2．2 D0C．111x1＋xx (的值为，则＝．已知6＋5)22 x实用文档A．5 B．23D．27C．25yxcacaa≠1)0)(，，7．(2014·山东高考)已知函数的图像如＝log(为常数，其中＋图，则下列结论成立的是( )caac1 ．1，1,01 BA．caac101，1,01DC．0．xfxg) ，则－3与( (的定义域均为)＝8．若函数3(R)＝3＋3xgfx 均为偶函数)与)A．((xgfx 为奇函数)为偶函数，)B．((xgfx 均为奇函数)与C．)((xgfx 为偶函数)为奇函数，D．)((***** )( ()．( 9))，(的大小关系为，333 ***-********-***** ()(A．)())() B)(．(***** ()())．C(())D ．(()***** ***-*****xxfxf))|＝．已知函数( )＝log|，则方程(的实根个数是)(( 101 2 22 ．1 BA．2006．3DC．xf 1]上是增函数，则下列关系式中，成立的是)在11．若偶函数((－∞，－( )3fff(2)1))(－A．(－23fff(2)B．(－1)(－) 23fff)－C．(2)(1)(－2实用文档3fff1)(－D．)(2)－( 2那么称这个点如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，12．1GQMNP“好点”的个中，(2(2,1)，，为“好点”，在下面的五个点(2,2)(1,1)，，(1,2)，) 2)数为（1 ．．0 BA3．C．2D)分共90第Ⅱ卷(非选择题) 分，把答案填在题中横线上5分，共20二、填空题(本大题共4个小题，每小题AA，则满足上述条件2,0,1,2}{－∪{－2,0,2}13．若已知∩{－1,0,1}＝{0,1}，且＝A 个．共有的集合________ xxx，＋2，0＋2≤aafxff＝，则)＝())若＝(14．(2014·浙江高考)设函数2(?xx0.，－________.xx内，则的一个近似解时，已经将一根锁定在区间615．用二分法求方程(0,1)＋4＝下一步可断定该根所在的区间为________．xxy________)＝log (－3的单调递减区间是16．函数1 3证明过程或演算步70分，解答应写出文字说明，6个小题，满分三、解答题(本大题共) 骤qxxAUxxpxBx，－5＋＝＋12＝0}，{＝本小题满分17．(10分)设全集，为R＋＝{||0}BAABAB. ∪＝＝{2}，{4}∩(?，求)若(?)∩)分．(本小题满分1218 9.8)＋＋lg25＋lg4＋7(－(1)不用计算器计算：27log11xxxff ＋(．，求＋((－)＝1))如果(2) xxmxxxf1. ＋＋2本小题满分12分)已知函数－()＝－3(19．m 为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；(1)当m 的值．(2)若函数恰有一个零点在原点处，求xxf)，＋∞∈)是定义在R上的奇函数，并且当)(20．本小题满分12分已知函数(0(xf. 2)＝时，(1f 的值；求(1))(log 3xf 求(2)()的解析式．实用文档1fxaxa为常数，其中＝)(2015·上海高考)已知函数(＋)21．(本小题满分12分xafx)的奇偶性，并说明理由；的不同取值，判断函数(1)根据(afx)在[1,2]((2)若上的单调性，并说明理由．∈(1,3)，判断函数afxfxx1.－)≥0时，(本小题满分12分)已知＝(()是定义在R上的奇函数，当22．aa1.0且其中≠ff 的值；((1)求－(2)＋2)23．xf (的解析式；(2)求)xfx ，结果用集合或区间表示．解关于－的不等式－11)4((3)一．选择题D] 1.[答案3xxxxxxxxxBA ．＝{3}，＝{[解析] |＝{|2|}－4＝＋30}{－|130} 23xxABD.．故选＝{3}故|∩ 2C答案]2.[xffxy：条件域应数满(足)的由函数定＝义(可)的表达式知，函析[解] x，|0|≥4－? ?xx≤－4≤fx)的定义域为(2,3)∪.即函数(3,4](，故应选C.，解得xx?6＋－5xx3≠2且0 x?3－3.[答案] Dfxgxfx)中，([0，＋∞)(；选项)的定义域为R，(B)中，[解析] 选项A的定义域为1 xxxxfg，＝(中，)(＝)(的定义域为－∞，－3)∪(－3，＋∞，)(；选项)的定义域为RC2xgxxxgx)D中，(∈(0，＋∞，∈[0，＋∞))(，定义域和对应关系都不同；选项)＝2log，xxD.＝＝＝lg10，故选lg10B答案]4.[xxffxx ，)2＝－6，设0令[解析] (()＝ln＋ff ln30＝＝－40，，(3)∵(1)fff ，(3)0－(2)＝ln220，(2)·又x ．∴∈(2,3)D答案5.[]实用文档xx00?xx22－0，[解析] 由已知得?xxx1－2xD. ，故选∈(1,2)∴B答案6.[]x＋11xxx ＝] ＝＋＋[解析xx11 xx)(－2＋＝2223. 2－＝＝5B. 故选D] 7.[答案本题考查对数函数的图像以及图像的平移．[解析]caD. 11个单位长度．故0由单调性知0，∴选1.又图像向左平移，没有超过B] 8.[答案xfxfxfffxx)(，∴)＝(3＋3，∴－[解析] (()＝3＋3且定义域为R，则(－))＝为偶函数．xgxxggB. ())，∴(－)＝－为奇函数．故选同理得(D答案] 9.[221y ，解析] ∵(＝)为减函数，[ ***-***** . )(∴()33 ***** xy ，，＋∞又∵)＝上为增函数，且在(03 ***** ，(∴())33 .故选()∴()()D. 333 *****.[答案] B1yyx|的图像如图所示，及|log＝)在同一平面直角坐标系中作出函数][解析＝(1 2 2易得B.实用文档D] 11.[答案fffx ∵．(()为偶函数，∴－(2)＝2)[解析]3xf －∞，－1)－－1，且上是增函数，()在(又∵－2 23fff ∴－(2)1)(－)．( 2C 答案] 12.[xy ]解析∵指数函数过定点(0,1)，对数函数过定点(1,0)且都与没有交点，＝[PMN可、一定不是好点．、对数函数不过点(1,2)，∴点点，∴指数函数不过(1,1)，(2,1)1GyQyx在指数函＝)log和对数函数(2验证：点(2,2)是指数函数的交点，点＝，(2) 222xyyC. (log上．故选)上，且在对数函数数＝＝2 二．填空题4答案] 13.[A ＝{0,1}∵，∩{－1,0,1}][解析AA.?∴0,1∈且－1A 2,0,1,2}，{－2,0,2}＝{又∵－∪AA. 1∈∈且至多－2,0,2∴AA.0,1∈∈且至多－2,2故A 个．{0,1，－2,2}，共有4只能为：{0,1}，{0,1,2}，{0,1，－2}，∴满足条件的2]14.[答案此题考查分段函数、复合函数，已知函数值求自变量．[解析]tffat2. 令((＝)＝)，则ttt0. ，∴∵0时，－≤0≠2ttt2.＝2，∴或－＝即0＋2＋2atfaaa 00≤时，无解．＋2＝＋2当＝0时，(0)＝，aaa ＝0时，－0无解．＝0，aaat 2＝－2当时，＝－2，≤0无解＋2＋aaa2.0时－＝＝－2，115.[答案] (，1)2实用文档xxfx 6，(＋)＝4－[解析] 设ff ，，显然(1)0(0)0111f ，)＋40＝()－6×又(() 2221 ．(，1)∴下一步可断定方程的根所在的区间为2) ，＋∞] (316. [答案xxxx 0，∴03或[解析] 先求定义域，∵，－3xxyuu.－是减函数，且又∵3＝log ＝1 3u的增区间．∴所求区间为(3，＋∞)．即求三．解答题ABAB)＝{4}，，∩] ∵(?()∩?＝{2}17.[解析B,A,A,B，根据元素与集合的关系，?44∈∴2∈?2 pp，12＝074＋4＝－＋? 可得，解得qq6.＝＝02－10＋?AxxxBxxx＋6＝0}＝＝{{2,3}|，经检验符合题意．＝{|－－75＋12＝0}＝{3,4}，∴AB＝{2,3,4}∴．∪3 2 ＋lg(25×4)＋(1)原式＝log32＋118.[解析] 313＝＋2＋3＝. 2211fxx＋)＝∵(( －)(2) xx111xxx－)＋4＋4＝＝(＋＋2＝(2)＋－xxxxxxfxxfx5.＋2＋1)＋∴4(＝)＝4＋，∴＋((＋1)＝Δxmx 有两个根，＝0易知(1)函数有两个零点，则对应方程－32＋，－0＋1]19.[解析4mmΔ ，可解得即；＝4＋12(1－)0 344mΔΔm.，可解得＝0，可解得；＝0 334m 时，函数有两个零点；故344mm 时，函数有一个零点；时，函数无零点．＝33mm1.0(2)因为是对应方程的根，有，可解得0－1＝＝实用文档xfxxf ，＝(2())为奇函数，且当∈(0，＋∞)20.[解析] (1)因为时，1fff3)＝－(log(－所以log(log)＝3) 3＝－3.＝－2xx∈(0，＋∞)0)，则－，(2)设任意的∈(－∞，xxxff )＝)＝2，所以2(因为当－∈(0，＋∞)时，(，xxfxff 上的奇函数，则)(－()又因为＝－(，)是定义在Rxxff ＝－2(－，所以)(＝－)xxf )＝－(2即当；∈(－∞，0)时，fff 0，所以，又因为(0)(0)＝－＝(0) x0，2x?0＝0，xf.(＝综上可知，)x02，－fxxxx∈R}，关于原点对称，{| ≠21.[解析] (1)0(，)的定义域为11axxfxa－)，＋(－＝)＝(－xx－afxfx)为奇函数，((－当)＝0时，＝－afafafffx)即不是奇函1)≠－(－1)＝(1)－1，知当，故≠0时，由((1)＝1＋，－(数也不是偶函数．xx≤2，则设1≤ (2)111xxaxxafxfxaxx－－＝－())－)[()＝(＋]，＋－( xxxxxxxxxxxx＜4＜0,2＜，≤由1＋≤2，得＜－4,1＞11xxaa ，)(＜＋－12－，又1＜＜＜3，所以2－1 xx41axxfxfx)＞0－，＞)－0，从而(( 得)(＋xxfxfxafx)在[1,2]()，故当上单调递增．∈(1,3)即(时，) (fx)是奇函数，( 解析23.[] (1)∵ffff(－2)，即＝(2)＋∴＝－(－2)0. (2)xx0，(2)当0时，－axf1.)＝∴(－－xfxffx )＝－)由(()是奇函数，有－(，xxffxaa ＝∵(－)－10)1(＝－(，∴)＋．实用文档xa 01－≥xf.)∴所求的解析式为＝(?xa 0＋－1 x10－不等式等价于(3)?a141－＋－x0－1≥，或?a14－－1 xx01－10≥－?.或即aa50－32? xx11≥?a 或当1时，有xx5log1－1log2＋?注意此时log20，log50，可得此时不等式的解集为(1－log2,1＋log5)．a1时，不等式的解集为R同理可得，当0.a1时，综上所述，当不等式的解集为(1－log2,1＋log5)；a1时，不等式的解集为R当0.。
高中数学B版 必修4 教科书 课后习题 参考答案
新课标人教A高一数学必修1测试题第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共60分)1.已知A={x|y=x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则A∩B等于A.{x|x∈R}B.{y|y≥0}C.{(0,0),(1,1)}D.2.方程x2-px+6=0的解集为M,方程x2+6x-q=0的解集为N,且M∩N={2},那么p+q等于A.21B.8C.6D.73. 下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是A.f(x)=3-xB.f(x)=x2-3xC.f(x)=-D.f(x)=-|x|4.函数f(x)=x2+2(a－1)x+2在区间(-∞,4〕上递减,则a的取值范围是A.〔-3,+∞〕B.(-∞,-3)C.(-∞,5〕D.〔3,+∞)5. 下列四个函数中,与y=x表示同一函数的是A.y=( )2B.y=C.y=D.y=6. 函数y= +1(x≥1)的反函数是A.y=x2-2x+2(x＜1)B.y=x2-2x+2(x≥1)C.y=x2-2x(x＜1)D.y=x2-2x(x≥1)7. 已知函数f(x)= 的定义域是一切实数,则m的取值范围是A.0<m≤4B.0≤m≤1C.m≥4D.0≤m≤48.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款是A.413.7元B.513.7元C.546.6元D.548.7元9. 二次函数y=ax2+bx与指数函数y=( )x的图象只可能是10. 已知函数f(n)= 其中n∈N，则f(8)等于A.2B.4C.6D.711．如图，设a,b,c,d>0，且不等于1，y=ax , y=bx , y=cx ,y=dx 在同一坐标系中的图象如图，则a,b,c,d的大小顺序（）A、a<b<c<dB、a<b<d<cC、b<a<d<cD、b<a<c<d12．.已知0<a<1,b<-1,函数f(x)=ax+b的图象不经过:（）A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;D.第四象限第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知f(x)=x2－1(x<0)，则f－1(3)=_______.14．函数的定义域为______________15.某工厂8年来某产品产量y与时间t年的函数关系如下图，则：①前3年总产量增长速度增长速度越来越快；②前3年中总产量增长速度越来越慢；③第3年后，这种产品停止生产；④第3年后，这种产品年产量保持不变.以上说法中正确的是_______.16. 函数y= 的最大值是_______.三、解答题17. 求函数y= 在区间〔2,6〕上的最大值和最小值.（10分）18.(本小题满分10分) 试讨论函数f(x)=loga (a＞0且a≠1)在(1,+∞)上的单调性,并予以证明.答案一. BACCB BDCAD BA 二。
数学北师大版必修4教学教案-1.4.2-单位圆与周期性-(1)-含答案
1.4.2 单位圆与周期性【教材分析】一、地位与作用：本节课内容是普通高中课程标准实验教科书北师大《数学（必修四）》第一章第4.2节主要讲述三角函数的周期性。
本节知识上承三角函数定义，下启诱导公式及三角函数图像与性质。
同时，三角函数是描述周期现象的数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。
二、内容分析：本节教材对内容的安排主线是：现实背景（的感知与认识）—建构数学（形成周期函数概念）—具体化研究（三角函数的周期性）—数学应用（会求简单函数的周期）；此外，通过对例题的安排，介绍了得出函数周期的三种方法。
即例1→图像法、例2→定义法、例2的推广与引申→公式法。
充分体现了由“感性认识→理性认识”的认知升华。
【三维目标】一、知识与技能：1、了解周期函数的概念。
2、会判断一些简单的、常见的函数的周期性；3、能写出一些简单三角函数的周期。
二、过程与方法：1、结合现实模型，通过对三角函数值变化规律的观察与认识建构周期函数概念；2、通过对周期函数概念的了解与认识，学会判断简单的、常见的函数周期性；3、通过对三角函数周期公式的探索与发现，能写出简单的三角函数的周期。
三、情感价值观：1、通过对实际背景（现实原型）的分析、概括与抽象、形成周期函数的概念的过程，让学生体会数学知识的发生、发展再现过程，激发学生的学习兴趣和求知欲。
2、通过数学运用，让学生在尝试问题解决中，获得成功的体验，在数学学习中享受生活，享受快乐。
【重点与难点】一、教学重点周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性。
二、教学难点周期函数的概念【学生分析】1、知识基础：学生认识了周期现象，并在此基础上学习了三角函数的定义，有了一定的知识基础；2、生活基础：日出日落、四季更替……始终伴随着我们的生活，容易激发学生的兴趣与求知欲；3、基本能力：在建构主义教学理论指导下的数学学习，使学生已经具备了一定的观察、分析、思考的能力，为本节课的展开提供了可能。
【教法与学法】一、学法设计：学法设计主要有：观察、思考、小组讨论、合作探究。
数学北师大版高中必修4正切函数的性质与图像
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
讲授新课
例1. 比 较tan 13 与tan 17
4 5 的 大 小.
讲授新课
例2. 求下列函数的周期：
讲授新课
例3. 求函数 y tan 3x 的定义域、
3
值域，指出它的周期性、单调性.
讲授新课
例3. 求函数 y tan 3x 的定义域、
6
4
2
x
讲授新课
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讲授新课Biblioteka y 4
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2022-2021学年高一数学北师大版必修4学案：第一章 三角函数 Word版含答案
1 单调不“单调”，应用很“奇异”三角函数的单调性是三角函数的重要性质之一，也是高考常考的内容．利用其可以便利地进行比较值的大小、求单调区间、求解最值和解不等式等．下面举例归纳该性质在解题中的具体应用，期望能对同学们的学习有所挂念．一、信念体验——比较大小 例1 比较cos 5π14，sin 2π7，－cos 8π7的大小． 解 由于sin2π7＝cos(π2－2π7)＝cos 3π14，－cos 8π7＝ cos π7，又0<π7<3π14<5π14<π2，而y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，所以cos π7>cos 3π14>cos 5π14，即－cos 8π7>sin 2π7>cos 5π14.点评 比较三角函数值的大小关键是利用三角函数某区间的单调性，一般按下列步骤进行：(1)将不同名的三角函数化为同名三角函数；(2)用诱导公式将角化到同一单调区间，并比较角的大小；(3)由单调性得出各值的大小关系．二、重拳出击——求解最值例2 已知f (x )＝2sin(2x －π4)，x ∈R .求函数f (x )在区间[π8，3π4]上的最小值和最大值．解 由于当2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )时，函数f (x )＝2sin(2x －π4)单调递增；当2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )时，函数单调递减，所以f (x )＝2sin(2x －π4)在区间[π8，3π8]上为增函数，在区间[3π8，3π4]上为减函数．又f (π8)＝0，f (3π8)＝2，f (3π4)＝－1.故函数f (x )在区间[π8，3π4]上的最大值为2，最小值为－1.点评 求三角函数的最值是一类重要的三角函数问题，也是高考中经常毁灭的考点，解题过程中要留意将ωx ＋φ看作一个整体．利用三角函数的单调性求最值是三角函数基础学问的综合运用． 三、触类旁通——解不等式 例3 若0≤α<2π，sin α>33cos α，求α的取值范围． 解 当α＝π2时，不等式成立，当α＝3π2时，不等式不成立．当α∈[0，π2)∪(3π2，2π]时，cos α>0，则原不等式可化为tan α>33，依据正切函数的单调性得，π6<α<π2；同理可得，当α∈(π2，3π2)时，π2<α<7π6.综上，α的取值范围是(π6，7π6)．点评 利用三角函数的单调性解不等式，首先将三角函数化成某角的同一三角函数，然后利用单调性求解．2 善用数学思想——巧解题 一、数形结合思想例1 在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________．解析 在同一坐标系中画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈(0,2π)的图像如图： 由图知，x ∈(π4，5π4)．答案 (π4，5π4)点评 求解三角函数的方程、不等式时，通常利用三角函数的图像使问题变得更简洁． 二、分类争辩思想例2 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．解 角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上， 在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)， 则x ＝4t ，y ＝－3t ， r ＝x 2＋y 2＝4t2＋－3t2＝5|t |.当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34，综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.点评 (1)若角的终边位置象限不确定，应分类争辩．(2)若三角函数值含有变量，因变量取不同的值会导致不同的结果，需要争辩． 三、函数与方程思想例3 函数f (x )＝3cos x －sin 2x (π6≤x ≤π3)的最大值是________．解析 f (x )＝3cos x －sin 2x ＝cos 2x ＋3cos x －1 ＝(cos x ＋32)2－74，设cos x ＝t ，由于π6≤x ≤π3，所以由余弦函数的单调性可知，12≤cos x ≤32，即12≤t ≤32，又函数f (t )＝(t ＋32)2－74在[12，32]上单调递增，故f (t )max ＝f (32)＝54，所以f (x )的最大值为54. 答案 54点评 遇平方关系，可想到构造二次函数，再利用二次函数求解最大值． 四、转化与化归思想例4 比较下列两个数的大小．tan(－13 π4)与tan(－17 π5)． 解 tan(－13 π4)＝－tan π4，tan(－17 π5)＝－tan 2π5.由于0<π4<2π5<π2，且y ＝tan x 在(0，π2)内单调递增，所以tan π4<tan 2π5.所以－tan π4>－tan 2π5，即tan(－13π4)>tan(－17π5)．点评 三角函数值比较大小问题一般将其转化到某一三角函数的一个单调区间内，然后利用三角函数的单调性比较大小．另外诱导公式的使用也充分体现了将未知化为已知的转化与化归思想.3 三角函数的性质总盘点三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”．要能够机敏地运用性质，必需在脑海中能准时地毁灭出三角函数的图像．下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们认真体会． 一、定义域 例1 函数y ＝cos x －12的定义域为______________．解析 由题意得cos x ≥12，所以2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z .即函数的定义域是[2k π－π3，2k π＋π3]，k ∈Z .答案 [2k π－π3，2k π＋π3]，k ∈Z点评 解本题的关键是先列出保证函数式有意义的三角不等式，然后利用三角函数的图像或者单位圆中三角函数线求解． 二、值域与最值例2 函数y ＝cos(x ＋π3)，x ∈(0，π3]的值域是________．解析 由于0<x ≤π3，所以π3<x ＋π3≤23π，f (x )＝cos x 的图像如图可知：cos 23π≤cos(x ＋π3)<cos π3，即－12≤y <12.故函数的值域是[－12，12)．答案 [－12，12)点评 解本题的关键是从x 的范围入手，先求得ωx ＋φ的范围，再结合余弦函数的图像对应得出cos(ωx ＋φ)的范围，从而可得函数的值域或者最值． 三、单调性例3 已知函数f (x )＝sin(π3－2x )，求：(1)函数f (x )的单调递减区间；(2)函数f (x )在[－π，0]上的单调递减区间． 解 由f (x )＝sin(π3－2x )可化为f (x )＝－sin(2x －π3)．所以原函数的递减区间即为函数y ＝sin(2x －π3)的递增区间．(1)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得：k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以f (x )＝sin(π3－2x )的递减区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .(2)在减区间[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z 中，令k ＝－1、0时，可以得到当x ∈[－π，0]时，f (x )＝sin(π3－2x )的递减区间为[－π，－7π12]，[－π12，0]．点评 解本题的关键是先把函数化为标准形式y ＝sin(ωx ＋φ)，ω>0，然后把ωx ＋φ看作一个整体，依据y ＝sin x 的单调性列出不等式，求得递减区间的通解；假如要求某一个区间上的单调区间，再对通解中的k 进行取值，便可求得函数在这个区间上的单调区间． 四、周期性与对称性例4 已知函数f (x )＝sin(2ωx －π3)(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图像的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝5π12D ．x ＝π3解析 由T ＝π＝2π2ω得ω＝1，所以f (x )＝sin(2x －π3)，由2x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，解得f (x )的对称轴为x ＝5π12＋k π2，k ∈Z ，所以x ＝5π12为f (x )的一条对称轴，选C.答案 C点评 解本题的关键是先由周期公式求得ω的值，再解决对称轴问题，求解对称轴有两种方法：一种是直接求得函数的对称轴；另一种是依据对称轴的特征——对应的函数值为函数的最值解决．同样地，求解对称中心也有两种方法． 五、奇偶性例5 若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π))是偶函数，则φ等于( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析 函数是偶函数，所以函数关于x ＝0对称；由x ＋φ3＝π2＋k π可得函数的对称轴方程是x ＝3π2＋3k π－φ，k ∈Z ，令3π2＋3k π－φ＝0，解得：φ＝3π2＋3k π，k ∈Z ，又φ∈[0,2π)，故φ＝3π2.答案 C点评 解本题的关键是把奇偶性转化为对称性解决：偶函数⇔函数图像关于y 轴对称；奇函数⇔函数图像关于原点对称．4 数形结合百般好，形象直观烦琐少 ——构建正弦、余弦函数图像解题正弦、余弦函数的图像是本章的重点，也是高考的一个热点，它不仅能直观反映三角函数的性质，而且它还有着广泛的应用，若能依据问题的题设特点机敏构造图像，往往能直观、精确 、快速解题． 一、确定函数的值域例1 定义运算a ※b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，例如，1※2＝1，则函数f (x )＝sin x ※cos x 的值域为( )A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－22，1 C.⎣⎡⎦⎤－1，22 D.⎣⎡⎦⎤－1，－22解析 依据题设中的新定义，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x >cos x ，作出函数f (x )在一个周期内的图像，如图可知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 答案 C点评 有关三角函数的值域的确定，经常作出函数的图像，借助于图像直观、精确 求解． 二、确定零点个数例2 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为________．解析 在同始终角坐标系内，画出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 及y ＝sin x 的图像，由图像可观看出交点个数为2. 答案 2点评 有关三角函数的交点个数的确定，经常作出函数的图像，借助于图像直观、精确 求解． 三、确定参数的值例3 已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________________________________________________________________________. 解析 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)且f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3， 又f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内只有最小值、无最大值， 画出函数大致图像，如图所示，∴f (x )在π6＋π32＝π4处取得最小值．∴π4ω＋π3＝2k π－π2(k ∈Z )．∴ω＝8k －103(k ∈Z )． ∵ω>0，∴当k ＝1时，ω＝8－103＝143；当k ＝2时，ω＝16－103＝383，此时在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内已存在最大值．故ω＝143. 答案143点评 本小题考查对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及性质的理解与应用，求解本题应留意两点：一是f (x )在π4处取得最小值；二是在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内只有最小值而无最大值，求解时作出其草图可以挂念解题． 四、推断函数单调性例4 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上是增函数 B ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，13π12上是增函数 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π4上是减函数 D ．在区间⎣⎡⎦⎤π3，5π6上是减函数解析 作出函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像如图所示．由图像可知B 正确． 答案 B点评 形如f (x )＝|A sin(ωx ＋φ)＋k |(A ≠0，ω≠0)的函数性质，可作出其图像，利用数形结合思想求解． 五、确定参数范围例5 当0≤x ≤1时，不等式sin πx2≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是________． 解析 作出函数y ＝sinπx2，y ＝kx 的函数图像，如图所示． 当k ≤0时，明显成立； 当0<k ≤1时，由图像可知：sin πx2≥kx 在x ∈[0,1]上成立．综上所述，k ≤1. 答案 k ≤1点评 数形结合时，函数图像要依据题目需要作得精确可信，必要时应结合计算推断．本题争辩y ＝kx 与y＝sinπx2的图像关系时，不要遗忘k ≤0的状况． 六、争辩方程的实根例6 已知方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝k 在0≤x ≤π上有两个实数根x 1，x 2，求实数k 的取值范围，并求x 1＋x 2的值． 解 在同一坐标系内作出函数y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4(0≤x ≤π)与y 2＝k 的图像，如图所示．当x ＝0时，y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫0＋π4＝1. 所以当k ∈[1，2)时，两曲线在[0，π]上有两个交点，即方程有两个实数根x 1、x 2，且x 1、x 2关于x ＝π4对称，x 1＋x 2＝π2.故实数k 的取值范围是[1，2)，且x 1＋x 2＝π2.点评 本题通过函数图像的交点个数推断方程实数根的个数，应重视这种方法．。
北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》从力、速度、位移到向量
A（起点） A（起点）
有向线段的三个要素：起点、方向、 有向线段的三个要素：起点、方向、长度
1、向量的几何表示：用有向线段表示。 、向量的几何表示：用有向线段表示。 向量AB的大小，也就是向量 的 向量 的大小，也就是向量AB的长度 的大小 或称模），记作 记作|AB|。 （或称模），记作 。 长度为0的向量叫做零向量，记作0。 长度为0的向量叫做零向量，记作0。 的向量叫做零向量 长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。 长度等于 个单位的向量，叫做单位向量。 个单位的向量 单位向量
规定：0与任一向量平行。 与任一向量平行。 规定： 与任一向量平行 C OA = a A B l
. o
OB = b
OC = c
的向量的起点平移到直线l上的 问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线 上的 把一组平行于直线 的向量的起点平移到直线 一点O 这时它们是不是平行向量？ 一点 ，这时它们是不是平行向量？ 各向量的终点与直线l之间有什么关系 之间有什么关系？ 各向量的终点与直线 之间有什么关系？
D C
) D. 3
C D
变：若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c ，
A B B
时成立。 当b ≠ 0时成立。 时成立
A
3.某人从 点出发向东走了 米到达 点，然后改变方向 某人从A点出发向东走了 米到达B点 某人从 点出发向东走了5米到达 米到达C点 到达C点后 点后又 按东北方向走了10 2米到达 点，到达 点后又改变方 向西走了10米到达 米到达D点 向向西走了 米到达 点（1）作出向量 ）作出向量AB,BC,CD;(2) 求AD的模 的模
1.判断下列命题是否正确，若不正确， 1.判断下列命题是否正确，若不正确，请 判断下列命题是否正确 简述理由. 简述理由. v uuuv uuu 是共线向量， ①向量 AB 与 CD是共线向量，则A、B、C、D 四点必在一直线上； 四点必在一直线上； (×) × ②单位向量都相等； 单位向量都相等；
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第一章 算法初步1．1算法与程序框图练习（P5） 1、算法步骤：第一步，给定一个正实数r .第二步，计算以r 为半径的圆的面积2S r π=.第三步，得到圆的面积S .2、算法步骤：第一步，给定一个大于1的正整数n .第二步，令1i =.第三步，用i 除n ，等到余数r .第四步，判断“0r =”是否成立. 若是，则i 是n 的因数；否则，i 不是n 的因数. 第五步，使i 的值增加1，仍用i 表示.第六步，判断“i n >”是否成立. 若是，则结束算法；否则，返回第三步.练习（P19）算法步骤：第一步，给定精确度d ，令1i =.的到小数点后第i 位的不足近似值，赋给a 的到小数点后第i 位的过剩近似值，赋给b . 第三步，计算55b am =-.第四步，若m d <，则得到5a；否则，将i 的值增加1，仍用i 表示.返回第二步. 第五步，输出5a.程序框图：习题1.1 A 组（P20）1、下面是关于城市居民生活用水收费的问题.为了加强居民的节水意识，某市制订了以下生活用水收费标准：每户每月用水未超过7 m 3时，每立方米收费1.0元，并加收0.2元的城市污水处理费；超过7m 3的部分，每立方收费1.5元，并加收0.4元的城市污水处理费.设某户每月用水量为x m 3，应交纳水费y 元，那么y 与x 之间的函数关系为 1.2,071.9 4.9,7x x y x x ≤≤⎧=⎨->⎩我们设计一个算法来求上述分段函数的值.算法步骤：第一步：输入用户每月用水量x .第二步：判断输入的x 是否不超过7. 若是，则计算 1.2y x =；若不是，则计算 1.9 4.9y x =-.第三步：输出用户应交纳的水费y .程序框图：2、算法步骤：第一步，令i =1，S=0.第二步：若i ≤100成立，则执行第三步；否则输出S. 第三步：计算S=S+i 2.第四步：i = i +1，返回第二步.程序框图：3、算法步骤：第一步，输入人数x ，设收取的卫生费为m 元.第二步：判断x 与3的大小. 若x >3，则费用为5(3) 1.2m x =+-⨯；若x ≤3，则费用为5m =.第三步：输出m .程序框图：B 组 1、算法步骤：第一步，输入111222,,,,,a b c a b c ..第二步：计算21121221b c b c x a b a b -=-.第三步：计算12211221a c a c y ab a b -=-.第四步：输出,x y .程序框图：2、算法步骤：第一步，令n =1第二步：输入一个成绩r ，判断r 与6.8的大小. 若r ≥6.8，则执行下一步；若r<6.8，则输出r ，并执行下一步.第三步：使n 的值增加1，仍用n 表示.第四步：判断n 与成绩个数9的大小. 若n ≤9，则返回第二步；若n >9，则结束算法.程序框图：说明：本题在循环结构的循环体中包含了一个条件结构.1．2基本算法语句 练习（P24） 12、程序：3练习（P29） 14、2、本程序的运行过程为：输入整数x . 若x 是满足9<x <100的两位整数，则先取出x 的十位，记作a ，再取出x 的个位，记作b ，把a ，b 调换位置，分别作两位数的个位数与十位数，然后输出新的两位数. 如输入25，则输出52. 34练习（P32） 1 2习题1.2 A 组（P33）1、1(0)0(0)1(0)x x y x x x -+<⎧⎪==⎨⎪+>⎩23、程序：习题1.2 B 组（P33） 1、程序：23 41．3算法案例 练习（P45） 1、（1）45； （2）98； （3）24； （4）17. 2、2881.75.3、2200811111011000=（） ，820083730=（） 习题1.3 A 组（P48） 1、（1）57； （2）55. 2、21324.4、习题1.3 B 组（P48）1、算法步骤：第一步，令45n =，1i =，0a =，0b =，0c =.第二步，输入()a i .第三步，判断是否0()60a i ≤<. 若是，则1a a =+，并执行第六步. 第四步，判断是否60()80a i ≤<. 若是，则1b b =+，并执行第六步. 第五步，判断是否80()100a i ≤≤. 若是，则1c c =+，并执行第六步. 第六步，1i i =+. 判断是否45i ≤. 若是，则返回第二步.第七步，输出成绩分别在区间[0,60),[60,80),[80,100]的人数,,a b c .2、如“出入相补”——计算面积的方法，“垛积术”——高阶等差数列的求和方法，等等.1、（1）程序框图：程序：1、（2）程序框图：程序：2、见习题1.2 B组第1题解答.34、程序框图：5（1）向下的运动共经过约199.805 m （2）第10次着地后反弹约0.098 m （3）全程共经过约299.609 m B 组（P35）1 2、3、算法步骤：第一步，输入一个正整数x 和它的位数n . 第二步，判断n 是不是偶数，如果n 是偶数，令2n m =;如果n 是奇数，令12n m -=. 第三步，令1i =第四步，判断x 的第i 位与第(1)n i +-位上的数字是否相等. 若是，则使i 的值增加1，仍用i 表示；否则，x 不是回文数，结束算法.第二章统计2．1随机抽样练习（P57）1、.况之间有误差. 如抽取的部分个体不能很好地代表总体，那么我们分析出的结果就会有偏差.2、（1）抽签法：对高一年级全体学生450人进行编号，将学生的名字和对应的编号分别写在卡片上，并把450张卡片放入一个容器中，搅拌均匀后，每次不放回地从中抽取一张卡片，连续抽取50次，就得到参加这项活动的50名学生的编号.（2）随机数表法：第一步，先将450名学生编号，可以编为000,001， (449)第二步，在随机数表中任选一个数. 例如选出第7行第5列的数1（为了便于说明，下面摘取了附表的第6～10行）.16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 5457 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28第三步，从选定的数1开始向右读，得到一个三位数175，由于175<450，说明号码175在总体内，将它取出；继续向右读，得到331，由于331<450，说明号码331在总体内，将它取出；继续向右读，得到572，由于572>450，将它去掉. 按照这种方法继续向右读，依次下去，直到样本的50个号码全部取出，这样我们就得到了参加这项活动的50名学生.3、用抽签法抽取样本的例子：为检查某班同学的学习情况，可用抽签法取出容量为5的样本. 用随机数表法抽取样本的例子：部分学生的心理调查等.抽签法能够保证总体中任何个体都以相同的机会被选到样本之中，因此保证了样本的代表性.4、与抽签法相比，随机数表法抽取样本的主要优点是节省人力、物力、财力和时间，缺点是所产生的样本不是真正的简单样本.练习（P59）1、系统抽样的优点是：（1）简便易行；（2）当对总体结构有一定了解时，充分利用已有信息对总体中的个体进行排队后再抽样，可提高抽样调查；（3）当总体中的个体存在一种自然编号（如生产线上产品的质量控制）时，便于施行系统抽样法.系统抽样的缺点是：在不了解样本总体的情况下，所抽出的样本可能有一定的偏差.2、（1）对这118名教师进行编号；（2）计算间隔1187.37516k==，由于k不是一个整数，我们从总体中随机剔除6个样本，再来进行系统抽样. 例如我们随机剔除了3,46,59,57,112,93这6名教师，然后再对剩余k=；的112位教师进行编号，计算间隔7（3）在1～7之间随机选取一个数字，例如选5，将5加上间隔7得到第2个个体编号12，再加7得到第3个个体编号19，依次进行下去，直到获取整个样本.3、由于身份证（18位）的倒数第二位表示性别，后三位是632的观众全部都是男性，所以这样获得的调查结果不能代表女性观众的意见，因此缺乏代表性.练习（P62）1、略2、这种说法有道理，因为一个好的抽样方法应该能够保证随着样本容量的增加，抽样调查结果会接近于普查的结果. 因此只要根据误差的要求取相应容量的样本进行调查，就可以节省人力、物力和财力.3、可以用分层抽样的方法进行抽样. 将麦田按照气候、土质、田间管理水平的不同而分成不同的层，然后按照各层麦田的面积比例及样本容量确定各层抽取的面积，再在各层中抽取个体（这里的个体是单位面积的一块地）.习题2.1 A组（P63）1、产生随机样本的困难：（1）很难确定总体中所有个体的数目，例如调查对象是生产线上生产的产品.（2）成本高，要产生真正的简单随机样本，需要利用类似于抽签法中的抽签试验来产生非负整值随机数.（3）耗时多，产生非负整数值随机数和从总体中挑选出随机数所对的个体都需要时间.2、调查的总体是所有可能看电视的人群.学生A的设计方案考虑的人数是：上网而且登录某网址的人群，那些不能上网的人群，或者不登录某网址的人群就被排除在外了. 因此A方案抽取的样本的代表性差.学生B的设计方案考虑的人群是小区内的居民，有一定的片面性. 因此B方案抽取的样本的代表性差.学生C的设计方案考虑的人群是那些有电话的人群，也有一定的片面性. 因此C方案抽取的样本的代表性.所以，这三种调查方案都有一定的片面性，不能得到比较准确的收视率.3、（1）因为各个年级学习任务和学生年龄等因素的不同，影响各年级学生对学生活动的看法，所以按年级分层进行抽样调查，可以得到更有代表性的样本.（2）在抽样的过程中可能遇到的问题如敏感性问题：有些学生担心提出意见对自己不利；又如不响应问题：由于种种原因，有些学生不能发表意见；等等.（3）前面列举的两个问题都可能导致样本的统计推断结果的误差.（4）为解决敏感性问题，可以采用阅读与思考栏目“如何得到敏感性问题的诚实反应”中的方法设计调查问卷；为解决不响应问题，可以事先向全体学生宣传调查的意义，并安排专人负责发放和催收调查问卷，最大程度地回收有效调查问卷.4、将每一天看作一个个体，则总体由365天组成. 假设要抽取50个样本，将一年中的各天按先后次序编号为0～364天用简单随机抽样设计方案：制作365个号签，依次标上0～364. 将号签放到容器内充分搅拌均匀，从容器中任意不放回取出50个号签. 以签上的号码所对应的那些天构成样本，检测样本中所有个体的空气质量.用系统抽样设计抽样方案：先通过简单随机抽样方法从365天中随机抽出15天，再把剩下的350天重新按先后次序编号为0～349. 制作7个分别标有0～7的号签，放在容器中充分搅拌均匀. 从容器中任意取出一个号签，设取出的号签的编号为a，则编号为+≤<所对应的那些天构成样本，检测样本中所有个体的空气质量.7(050)a k k显然，系统抽样方案抽出的样本中个体在一年中排列的次序更规律，因此更好实施，更受方案的实施者欢迎.5、田径队运动员的总人数是564298+=（人），要得到28人的样本，占总体的比例为27.于是，应该在男运动员中随机抽取256167⨯=（人），在女运动员中随机抽取281612-=（人）.这样我们就可以得到一个容量为28的样本.6、以10为分段间隔，首先在1～10的编号中，随机地选取一个编号，如6，那么这个获奖者奖品的编号是：6,16,26,36,46.7、说明：可以按年级分层抽样的方法设计方案. 习题2.1 B 组（P64）1、说明：可以按年级分层抽样的方法设计方案，调查问卷由学生所关心的问题组成. 例如：（1）你最喜欢哪一门课程？ （2）你每月的零花钱平均是多少？ （3）你最喜欢看《新闻联播》吗？ （4）你每天早上几点起床？ （5）你每天晚上几点睡觉？要根据统计的结果和具体的情况解释结论,主要从引起结论的可能原因及结论本身含义来解释.2、说明：这是一个开放性的题目，没有一个标准的答案. 2．2用样本估计总体 练习（P71） 1、说明：由于样本的极差为364.41362.51 1.90-=，取组距为0.19，将样本分为10组. 可以按照书上的方法制作频率分布表、频率分布直观图和频率折线图. 2、说明：此题目属于应用题，没有标准的答案.3、茎叶图为：由该图可以看出30名工人的日加工零件个数稳定在120件左右. 练习（P74）这里应该采用平均数来表示每一个国家项目的平均金额，因为它能反应所有项目的信息. 但平均数会受到极端数据2000万元的影响，所以大多数项目投资金额都和平均数相差比较大.练习（P79）1、甲乙两种水稻6年平均产量的平均数都是900，但甲的标准差约等于23.8，乙的标准差约等于41.6，所以甲的产量比较稳定.2、（1）平均重量496.86x ≈，标准差 6.55s ≈.（2）重量位于(,)x s x s -+之间有14袋白糖，所占的百分比约为66.67％.3、（1）略. （2）平均分19.25x ≈，中位数为15.2，标准差12.50s ≈.这些数据表明这些国家男性患该病的平均死亡率约为19.25，有一半国家的死亡率不超过15.2，15.2x >说明存在大的异常数据，值得关注. 这些异常数据使标准差增大.习题2.2 A 组（P81） 1、（1）茎叶图为：（2）汞含量分布偏向于大于1.00 ppm 的方向，即多数鱼的汞含量分布在大于1.00 ppm 的区域.（3）不一定. 因为我们不知道各批鱼的汞含量分布是否都和这批鱼相同. 即使各批鱼的汞含量分布相同，上面的数据只能为这个分布作出估计，不能保证平均汞含量大于1.00 ppm. （4）样本平均数 1.08x ≈，样本标准差0.45s ≈.（5）有28条鱼的汞含量在平均数与2倍标准差的和（差）的范围内.2比较短，所以在这批棉花中混进了一些次品.3、说明：应该查阅一下这所大学的其他招生信息，例如平均数信息、最低录取分数线信息等. 尽管该校友的分数位于中位数之下，而中位数本身并不能提供更多录取分数分布的信息.在已知最低录取分数线的情况下，很容易做出判断；在已知平均数小于中位数很多，则说明最低录取分数线较低，可以推荐该校友报考这所大学，否则还要获取其他的信息（如标准差的信息）来做出判断. 4、说明：（1）对，从平均数的角度考虑； （2）对，从标准差的角度考虑；（3）对，从标准差的角度考虑； （4）对，从平均数和标准差的角度考虑； 5、（1）不能. 因为平均收入和最高收入相差太多，说明高收入的职工只占极少数. 现在已知知道至少有一个人的收入为50100x =万元，那么其他员工的收入之和为4913.55010075ii x==⨯-=∑（万元）每人平均只有1.53. 如果再有几个收入特别高者，那么初进公司的员工的收入将会很低. （2）不能，要看中位数是多少.（3）能，可以确定有75％的员工工资在1万元以上，其中25％的员工工资在3万元以上.（4）收入的中位数大约是2万. 因为有年收入100万这个极端值的影响，使得年平均收入比中位数高许多.6、甲机床的平均数=1.5x 甲，标准差=1.2845s 甲；乙机床的平均数 1.2z y =，标准差0.8718z s =. 比较发现乙机床的平均数小而且标准差也比较小，说明乙机床生产出的次品比甲机床少，而且更为稳定，所以乙机床的性能较好. 7、（1）总体平均数为199.75，总体标准差为95.26. （2）可以使用抓阄法进行抽样. 样本平均数和标准差的计算结果和抽取到的样本有关. （3） （4）略 习题2.2 B 组（P82）1、（1）由于测试1T 的标准差小，所以测试1T 结果更稳定，所以该测试做得更好一些. （2）由于2T 测出的值偏高，有利于增强队员的信心，所以应该选择测试2T .G E .2、说明：此题需要在本节开始的时候就布置，先让学生分头收集数据，汇总所收集的数据才能完成题目.2．3变量间的相关关系 练习（P85）1、从已经掌握的知识来看，吸烟会损害身体的健康. 但除了吸烟之外，还有许多其他的随机因素影响身体健康，人体健康是很多因素共同作用的结果. 我们可以找到长寿的吸烟者，也更容易发现由于吸烟而引发的患病者，所以吸烟不一定引起健康问题. 但吸烟引起健康问题的可能性大，因此“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法是不对的.2、从现在我们掌握的知识来看，没有发现根据说明“天鹅能够带来孩子”，完全可能存在既能吸引天鹅和又使婴儿出生率高的第3个因素（例如独特的环境因素），即天鹅与婴儿出生率之间没有直接的关系，因此“天鹅能够带来孩子”的结论不可靠.而要证实此结论是否可靠，可以通过试验来进行. 相同的环境下将居民随机地分为两组，一组居民和天鹅一起生活（比如家中都饲养天鹅），而另一组居民的附近不让天鹅活动，对比两组居民的出生率是否相同. 练习（P92）1、当0x =时，147.767y =，这个值与实际卖出的热饮杯数150不符，原因是：线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计的，存在随机误差，这种误差可以导致预测结果的偏差；即使截距和斜率的估计没有误差，也不可能百分之百地保证对应于x ，预报值y 能够等于实际值y . 事实上：y bx a e =++. （这里e 是随机变量，是引起预报值y 与真实值y 之间的误差的原因之一，其大小取决于e 的方差.）（1）散点图如下： 2、数据的散点图为：从这个散点图中可以看出，鸟的种类数与海拔高度应该为正相关（事实上相关系数为0.793）. 但是从散点图的分布特点来看，它们之间的线性相关性不强. 习题2.3 A 组（P94）1、教师的水平与学生的学习成绩呈正相关关系. 又如，“水涨船高”“登高望远”等. 2、（3）基本成正相关关系，即食品所含热量越高，口味越好.（4）因为当回归直线上方的食品与下方的食品所含热量相同时，其口味更好. 3、（1）散点图如下：（2）回归方程为：0.66954.933y x =+.（3）加工零件的个数与所花费的时间呈正线性相关关系.（2）回归直线如下图所示：4、（1）散点图为：（2）回归方程为：0.546876.425y x =+.（3）由回归方程知，城镇居民的消费水平和工资收入之间呈正线性相关关系，即工资收入水平越高，城镇居民的消费水平越高. 习题2.3 B 组（P95） 1、（1）散点图如下：（2）回归方程为： 1.44715.843y x =-.（3）如果这座城市居民的年收入达到40亿元，估计这种商品的销售额为42.037y ≈（万元）. 2、说明：本题是一个讨论题，按照教科书中的方法逐步展开即可.第二章 复习参考题A 组（P100）1、A .2、（1）该组的数据个数，该组的频数除以全体数据总数； （2）nmN. 3、（1）这个结果只能说明A 城市中光顾这家服务连锁店的人比其他人较少倾向于选择咖啡色，因为光顾连锁店的人使一种方便样本，不能代表A 城市其他人群的想法. （2）这两种调查的差异是由样本的代表性所引起的. 因为A 城市的调查结果来自于该市光顾这家服装连锁店的人群，这个样本不能很好地代表全国民众的观点.4、说明：这是一个敏感性问题，可以模仿阅读与思考栏目“如何得到敏感性问题的诚实反应”来设计提问方法.5、表略. 可以估计出句子中所含单词的分布，以及与该分布有关的数字特征，如平均数、标准差等.6、（1）可以用样本标准差来度量每一组成员的相似性，样本标准差越小，相似程度越高. （2）A 组的样本标准差为 3.730A S ≈，B 组的样本标准差为11.789B S ≈. 由于专业裁判给分更符合专业规则，相似程度应该高，因此A 组更像是由专业人士组成的.7、（1）中位数为182.5，平均数为217.1875.（2）这两种数字特征不同的主要原因是，430比其他的数据大得多，应该查找430是否由某种错误而产生的. 如果这个大数据的采集正确，用平均数更合适，因为它利用了所有数据的信息；如果这个大数据的采集不正确，用中位数更合适，因为它不受极端值的影响，稳定性好. 8、（1）略.（2）系数0.42是回归直线的斜率，意味着：对于农村考生，每年的入学率平均增长0.42％.（3）城市的大学入学率年增长最快. 说明：（4）可以模仿（1）（2）（3）的方法分析数据.第二章 复习参考题B 组（P101）1、频率分布如下表：从表中看出当把指标定为17.46千元 时，月65％的推销员 经过努力才能完成销 售指标.2、（1）数据的散点图如下：（2）用y 表示身高，x 表示年龄，则数据的回归方程为 6.31771.984y x =+. （3）在该例中，斜率6.317表示孩子在一年中增加的高度.（4）每年身高的增长数略. 3～16岁的身高年均增长约为6.323 cm. （5）斜率与每年平均增长的身高之间之间近似相等.第三章 概率3．1随机事件的概率 练习（P113） 1、（1）试验可能出现的结果有3个，两个均为正面、一个正面一个反面、两个均为反面. （2）通过与其他同学的结果汇总，可以发现出现一个正面一个反面的次数最多，大约在50次左右，两个均为正面的次数和两个均为反面的次数在25次左右. 由此可以估计出现一个正面一个反面的概率为0.50，出现两个均为正面的概率和两个均为反面的概率均为0.25. 2、略 3、（1）例如：北京四月飞雪；某人花两元钱买福利彩票，中了特等奖；同时抛10枚硬币，10枚都正面朝上.（2）例如：在王府井大街问路时，碰到会说中文的人；去烤鸭店吃饭的顾客点烤鸭；在1～1000的自然数任选一个数，选到的数大于1. 练习（P118）1、说明：例如，计算机键盘上各键盘的安排，公交线路及其各站点的安排，抽奖活动中各奖项的安排等，其中都用到了概率. 学生可能举出各种各样的例子，关键是引导他们正确分析例子中蕴涵的概率思想.2、通过掷硬币或抽签的方法，决定谁先发球，这两种方法都是公平的. 而猜拳的方法不太公平，因为出拳有时间差，个人反应也不一样.3、这种说法是错误的. 因为掷骰子一次得到2是一个随机事件，在一次试验中它可能发生也可能不发生. 掷6次骰子就是做6次试验，每次试验的结果都是随机的，可能出现2也可能不出现2，所以6次试验中有可能一次2都不出现，也可能出现1次，2次，…，6次. 练习（P121）1、0.72、0.6153、0.44、D5、B 习题3.1 A 组（P123） 1、D . 2、（1）0； （2）0.2； （3）1.3、（1）430.067645≈； （2）900.140645≈； （3）7010.891645-≈. 4、略 5、0.13 6、说明：本题是想通过试验的方法，得到这种摸球游戏对先摸者和后摸者是公平的结论. 最好把全班同学的结果汇总，根据两个事件出现的频率比较近，猜测在第一种情况下摸到红球的概率为110，在第二种下也为110. 第4次摸到红球的频率与第1次摸到红球的频率应该相差不远，因为不论哪种情况，第4次和第1次摸到红球的概率都是1 10.习题3.1 B组（P124）1、D.2、略. 说明：本题是为了学生根据实际数据作出一些推断. 一般我们假定每个人的生日在12个月中哪一个月是等可能的，这个假定是否成立，引导学生通过收集的数据作出初步的推断.3．2古典概率练习（P130）1、110. 2、17. 3、16.练习（P133）1、38，38.2、（1）113；（2）1213；（3）14；（4）313；（5）0；（6）213；（7）12；（8）1.说明：模拟的方法有两种.（1）把1～52个自然数分别与每张牌对应，再用计算机做模拟试验.（2）让计算机分两次产生两个随机数，第一次产生1～4的随机数，代表4个花色；第二次产生1～13的随机数，代表牌号.3、（1）不可能事件，概率为0；（2）随机事件，概率为49；（3）必然事件，概率为1；（4）让计算机产生1～9的随机数，1～4代表白球，5～9代表黑球.4、（1）16；（2）略；（3）应该相差不大，但会有差异. 存在差异的主要原因是随机事件在每次试验中是否发生是随机的，但在200次试验中，该事件发生的次数又是有规律的，所以一般情况下所得的频率与概率相差不大.习题3.2 A组（P133）1、游戏1：取红球与取白球的概率都为12，因此规则是公平的.游戏2：取两球同色的概率为13，异色的概率为23，因此规则是不公平的.游戏3：取两球同色的概率为12，异色的概率为12，因此规则是公平的.2、第一位可以是1～9这9个数字中的一个，第二位可以是0～9这10个数字中的一个，所以（1）190；（2）18919090-=；（3）9919010-=3、（1）0.52；（2）0.18.4、（1）12；（2）16；（3）56；（4）16.5、（1）25；（2）825.6、（1）920；（2）920；（3）12.习题3.2 B组（P134）1、（1）13；（2）14.2、（1）35；（2）310；（3）910.说明：（3）先计算该事件的对立事件发生的概率会比较简单.3、具体步骤如下：①建立概率模型. 首先要模拟每个人的出生月份，可用1,2,…,11,12表示月份，用产生取整数值的随机数的办法，随机产生1～12之间的随机数. 由于模拟的对象是一个有10个人的集体，故把连续产生的10个随机数作为一组模拟结果，可模拟产生100组这样的结果.②进行模拟试验. 可用计算器或计算机进行模拟试验.如使用Excel软件，可参看教科书125页的步骤，下图是模拟的结果：其中，A,B,C,D,E,F,G,H,I,J的每一行表示对一个10人集体的模拟结果. 这样的试验一共做了100次，所以共有100行，表示随机抽取了100个集体.③统计试验的结果. K,L,M,N列表示统计结果. 例如，第一行前十列中至少有两个数相同，表示这个集体中至少有两个人的生日在同一月. 本题的难点是统计每一行前十列中至少有两个数相同的个数. 由于需要判断的条件态度，所以用K,L,M三列分三次完成统计.其中K列的公式为“=IF(OR(A1=B1，A1=C1，A1=D1，A1=E1，A1=F1，A1=G1，A1=H1，A1=I1，A1=J1，B1=C1，B1=D1，B1=E1，B1=F1，B1=G1，B1=H1，B1=I1，B1=J1，C1=D1，C1=E1，C1=F1，C1=G1，C1=H1，C1=I1，C1=J1，D1=E1，D1=F1，D1=G1，D1=H1，D1=I1，D1=J1)，1，0)”，L列的公式为“=IF(OR(E1=F1，E1=G1，E1=H1，E1=I1，E1=J1，F1=G1，F1=H1，F1=I1，F1=J1，G1=H1，G1=I1，G1=J1，H1=I1，H1=J1，I1=J1)，1，0)”，M列的公式为“=IF(OR(K1=1，L1=1)，1，0)”，M列的值为1表示该行所代表的10人集体中至少有两个人的生日在同一个月. N1表示100个10人集体中至少有两个人的生日在同一个月的个数，其公式为“=SUM(M$1：M$100)”. N1除以100所得的结果0.98，就是用模拟方法计算10人集体中至少有两个人的生日在同一个月的概率的估计值. 可以看出，这个估计值很接近1.3．3几何概率。