文克勒地基上的基础板解题法--板壳理论

板壳理论课程设计
第一部分 学习心得
第二部分文克勒地基上的基础板解题法
题目：文克勒地基上的四边简支薄板中心受集中荷载的解法
设文克勒地基上放置一个正方形薄板，边长为a=1.6m,厚度0.08m δ=，如图所示，四边均为简支边，在薄板的中心受有集中力的作用，0 1.07F e N =。

取薄板弹性模量E =205a GP ，泊松比0.3μ=，1k = ，取坐标轴如图所示， 方法1——纳维解法
当并无支座沉陷时，其边界条件
为
(((( 把挠度w 的表达式取为如下的重三角级数：
11
sin sin mn m n m x n y
w A a b ππ∞
∞
===∑∑（1）
其中的m 和n 都是任意正整数。

显然，上列的边界条件都能满足。

将式（1）代入弹性曲面的微分方程4D w q ∇=中，但是在薄板承受横向荷载而发生挠度时，弹性地基将对薄板作用一定的分布反力，即所谓弹性抗力。

在文克勒地基中，地基对薄板所施反力的集度P ，是和薄板的挠度w 成正比而方向相反，即p kw =-，这样，薄板所受横向分布力的总集度将为p q +，因此薄板弹性曲面的微分方程
o
X
须改变成为4k q
D w w
D D
∇+=
此时，将荷载q也展为同一形式的级数，即
（2）
将式（1）和式（2）代入微分方程4
k q
D w w
D D
∇+=中，即得
00
22
42
22
4
sin sin
()
a b
mn
m x n y
q dxdy
ab a b
A
m n
D k
a b
ππ
π
=
++
⎰⎰
（3）
当薄板在任意一点()
,ξη受集中荷载F时，可以得到
当薄板在任意一点()
,ξη受集中荷载F时，可以用微分面积dxdy上的均布荷载F
dxdy
来代替分布荷载q，于是除了在()
,ξη处的微分面积上等于F
dxdy
以外，在其余各处都等于零。

22
42
11
22
sin sin
4
sin sin
()
m n
m n
F m x n y
a b
w
m n
ab a b
D k
a b
πξπη
ππ
π
∞∞
==
=
++
∑∑（4）由题意，当集中荷载作用在薄板中心时，中心处()
0.8,0.8的挠度最大，将坐标点()
0.8,0.8代入式（4）,结果如下图所示
00
11
4
sin sin sin sin
a b
m n
m x n y m x n y
q q dxdy
ab a b a b
ππππ
∞∞
==
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
∑∑⎰⎰
解得max 3.092e w =-
方法2——差分法
2.1网格（4*4）差分法
用4*4网格求解4a h ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭。

由于对称，只有3个独立的未知值，即123,,w w w ，
取坐标如下所示
当中心结点1受有集中荷载0F 时，把荷载作为均匀分布在2h 的面积上，于是该结点处的荷载集度为0
02
F q h =
，而在其他结点处，荷载集度均为零。

对于简支边外一行虚结点处的挠度，就等于边界内一行相对结点处的挠度，而符号相反。

即
323,,a b c w w w w w w =-=-=-
另外，前面提到过，文克勒地基板上的基础板导出弹性曲面的微分方程如下：
4
k q D w w D D ∇+=，在结点1处4440142241112q
w w w k w x x y y D
D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂+++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭
据此，为1,2,3结点建立差分方程如下：
()()()4401
2
3
42132432120842(4),2082220,208(2)20q kh w w w h D D kh w w w w D kh w w w D
⎛
⎫+-+= ⎪⎝⎭
⎛
⎫
+-++= ⎪⎝⎭⎛
⎫
+-+= ⎪⎝
⎭
整理得出关于w 的线性方程组矩阵如下：
20 2.68328824 2.681621620 2.68e e e +--⎡⎤
⎢⎥-+--⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦
123w w w ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=4.161589e-200⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
由此得到该3个结点处的挠度为:
1 3.642w e =- ，
2 2.082w e =- ，
3 1.302w e =-
最大挠度为max 1 3.642w w e ==-
2.2网格（8*8）差分法
用8*8的网格求解8a h =。

由于对称，取1
4
薄板为研究对象，建立如下坐标系，
并标注结点如图所示 取坐标如下所示
边界外虚结点
,,,,a b c d e 的挠度
分别为：
7810914,,,,a b c d e w w w w w w w w w w =-=-=-=-=-
建立差分方程如下所示：
44012434
2434125525274
32574861114
452136484
5(20)8(4)2(4)4(),
8(20)8()2()20,
(20)8(2)2(22)20,
(20)8(22)2(2)220,
(20)q kh a w w w w D D kh w w w w w w w w w w w w D kh w w w w w w w w w D kh w w w w w w w w D kh w D +-++=+-++++++++++=+-+++++++=+-++++++=+-36482710521210154
651048893134
783115221074
857103648898()2()0,
(20)8(22)2()220,
(20)8(2)2(22)20,
(20)8()2()0,
(20w w w w w w w w w w w w kh w w w w w w w w w D kh w w w w w w w w w D kh w w w w w w w w w w D +++++++++++=+-+++++++=+-++++++-=+-++++++-+=+4
910106894
108695105107)8()2()220,
(20)8()2()0.
kh w w w w w w D kh w w w w w w w w w D
-+++-=+-+++++-+=整理得出关于w 的线性方程组矩阵如下：
1.0403972000000000e -⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
20+1.6e-9
3248000000825+1.6e-98166010001820 1.6e-941628400216422+1.6e-916202000
38823+1.6e-98280300221620+1.6e-90421601804020+1.6e-916020
02182821+1.6e-9180000020220+1.6e-9160000381-----+-----------------8822+1.6e-9⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
12345678910w w w w w w w w w w ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
由此得到10个结点挠度如下：
由此可得最大结点挠度为：
max 1 3.292
w w e ==-
方法3——有限元解法（利用Abaqus 工程软件）
3.1创建一个三维实体，边长均为1.6m ，厚度为0.08m
（1）建模分网
（2）创建边界条件
678910 1.2821.0020.9020.3520.672
w e w e w e w e w e =-=-=-=-=-12345 3.292
2.7821.9522.4421.752
w e w e w e w e w e =-=-=-=-=-
（3）求解并查看结果（单位mm ）
最大挠度
max 3.0042w e m
=-
三种方法的结果比较如下： ➢ 纳维解法：
代入计算，解得挠曲线为重三角级数时中心点处最大挠度为max 3.092e m w =-
➢ 差分法：
4*4网格：最大挠度 max 1 3.292w w e m
==-
8*8网格：最大挠度差分法中， 8*8网格的解答更靠近理论解，较为精确
➢ 有限元法：
三维薄板：正方形板中心处挠度最大，最大挠度为
（ 1.07,0.08F e N m δ==）
纳维解法 差分法 有限元法
条件 重三角级数 （4*4）网格 （8*8）网格 三维薄板
()max w m 3.092e -
13.642e -
3.292e - 3.0042e - 误差
15.1%
6.07%
2.78%
max 1 3.642w w e m
==-max 3.0042w e =-。