2020-2021学年宁夏青铜峡市高级中学高一12月月考数学试题(解析版)

2020-2021学年宁夏青铜峡市高级中学高一12月月考数学试题一、单选题1．设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ） A ．{x |2<x ≤3} B ．{x |2≤x ≤3} C ．{x |1≤x <4} D ．{x |1<x <4}【答案】C【分析】根据集合并集概念求解. 【详解】[1,3](2,4)[1,4)A B ==故选：C【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．与30-︒终边相同的角是（ ） A ．330-︒ B ．330︒C ．30D ．150︒【答案】B【分析】利用终边相同的角的定义求解.【详解】因为所有与－30°终边相同的角都可以表示为α＝k ·360°＋(－30°)，k ∈Z ， 取k ＝1，得α＝330°. 故选：B3．已知α为第三象限角，那么2α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第一、三象限角D ．第二、四象限角 【答案】D【解析】因3222k k ππαππ+<<+，故3,224k k k Z παπππ+<<+∈；当2k n =时，则322,224n n n Z παπππ+<<+∈，是第二象限角；当21k n =+时，则3722,224n n n Z παπππ+<<+∈，是第四象限角；故应选答案D ．4．若α是第二象限角，则点()sin ,cos P αα在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】先分析得到sin 0,cos 0αα><，即得点所在的象限. 【详解】因为α是第二象限角， 所以sin 0,cos 0αα><，所以点()sin ,cos P αα在第四象限， 故选D【点睛】本题主要考查三角函数的象限符合，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.5．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续. 6．函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为（ ） A ．2 B ．12 C ．13D ．－12【答案】B【分析】由解析式得函数为递减函数，根据单调性可求得最小值.【详解】y ＝11x -在[2，3]上单调递减，所以x =3时取最小值为12，故选：B .【点睛】本题考查了利用函数的单调性求最值，属于基础题. 7．下列命题中正确的是（ ） A ．若2log a b c =，则2c a b =B ．若10x e =，则lg10x =C ．若24log 1x =，则2x =D ．若m a n =，则log a m n =【答案】A【分析】根据指数与对数的概念进行相互转化，逐项判断.【详解】若2log a b c =，则2c a b =，A 正确；若10x e =，则ln10x =，B 错误；若24log 1x =，则2x =±，C 错误；若m a n =，则log a n m =，D 错误.故选：A8．已知22log 9,log 5a b ==则2log 75用,a b 表示为（ ） A ．22a b + B ．122a b +C ．1)2a b +（D ．122a b + 【答案】D【分析】根据对数的运算法则，将目标式进行拆分，即可容易求得. 【详解】因为2log 75()222log 253log 25log 3=⨯=+22112log 5log 9222a b =+=+.故选：D.【点睛】本题考查对数的运算，属基础题.9．函数()()212log 23f x x x =--的单调递增区间为（ ） A ．(),1-∞- B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()3,+∞【答案】A【分析】首先求出函数的定义域，再根据对数型复合函数的单调性即可求解. 【详解】令223t x x =--，由2230t x x =-->，解得3x >，或1x <-， 当1x <-时，函数223t x x =--单调递减，则()f x 单调递增， 所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-. 故选：A.10．函数3333x xx xy ---=+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】求出函数的定义域，根据函数的奇偶性排除部分选项，再求出函数的值域，根据值域即可确定正确选项.【详解】设()3333x x x x f x ---=+，则()f x 的定义域为R ，且33()()33x xx xf x f x ----==-+，即()f x 是奇函数，排除D ；又()()()222312()13131x xxf x -==-++，由30x >可得 ()2311x+>，()220231x∴<<+，从而()222031x--<<+，因此331133x xx x----<<+，即()f x 的值域为()1,1-，故选C. 故选：C11．若144a =，5log 12b =，131log 9c =，则（ ） A ．b a c << B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】B【分析】易知2c =，a =32125>，可得53log 122>，从而可推出53log 1222<<，即可选出答案. 【详解】由题意，131log 29c ==，114242a ==因为32125>=3255log 12log 5>，即53log 122>，又55log 12log 252b =<=53log 1222<<，即a b c <<. 故选：B.【点睛】本题考查几个数的大小比较，考查对数函数单调性的应用，考查学生的推理能力，属于中档题. 12．设函数()()2log ,21,2x x f x x ⎧-≤-=⎨>-⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．()0,∞+C ．()1,0-D ．(),1-∞-【答案】D【分析】由已知得出函数的单调性，利用其单调性建立不等式组，可得选项.【详解】∵函数()()2log ,21,2x x f x x ⎧-≤-=⎨>-⎩在(,2]-∞-上单调递减，在[2,)-+∞上为常数1，所以由(1)(2)f x f x +<得2122x x x <+⎧⎨<-⎩，解得1x <-.故选：D.【点睛】本题考查分段函数的不等式求解问题，关键在于得出分段函数的单调性，属于中档题.二、填空题13．若函数23()1x f x a -=+(其中0a >且1a ≠)，则()f x 的图像恒过定点__________．【答案】3,22⎛⎫⎪⎝⎭【分析】函数xy a =(其中0a >且1a ≠)恒过定点()0,1.【详解】令230x -=，解得32x =，03()122f a =+=，所以()f x 的图像恒过定点3,22⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：3,22⎛⎫⎪⎝⎭14．若tan 2θ=，则3cos sin cos sin θθθθ-=+__________.【答案】13【分析】利用同角三角函数的基本关系，将3cos sin cos sin θθθθ-+分子、分母同除cos θ即可求解. 【详解】3cos sin 3tan 321cos sin 1tan 123θθθθθθ---===+++，故答案为：13【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了齐次式，属于基础题. 15．函数2()42x x f x +=-(12)x -≤≤的最小值为______． 【答案】4-【分析】换元，令2x t =，则1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，24y t t =-，再利用二次函数的单调性可求最小值.【详解】()2()242x x f x =-⋅，令2x t =， 因为12x -≤≤， 所以1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则224(2)4y t t t =-=--，y 在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上递减，在[2,4]t ∈上递增，所以当2t =时函数取得最小值. 故答案为：4-.【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求最值.属于较易题.16．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，2()1f x x x =-+，那么当0x <时，()f x 的单调递增区间是_________． 【答案】1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】首先利用奇偶性求出0x <时的解析式，然后再利用二次函数的性质即可求解. 【详解】设0x <，则0x ->， 由当0x >时，2()1f x x x =-+，所以()()()2211f x x x x x -=---+=++， 即()21f x x x -=++，所以当0x <时，()21f x x x =---，二次函数的对称轴：12x =-，开口向下，所以当0x <时，()f x 的单调递增区间是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.故答案为：1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求解析式、二次函数的图像与性质，属于基础题.三、解答题17．(1)一个半径为r 的扇形，若它的周长等于r π，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形面积是多少？(2)角θ的终边经过点P(b -，4)且cos θ=35,则sin tan θθ+的值 【答案】(1)-2π, ()21-22S r π=扇形(2) 815- 【详解】(1)设弧长为l ，所对圆心角为α，则2l r +=r π，即l =()-2r π 因为2lr απ==-所以α的弧度数是-2π， 从而()211-222S lr r π==扇形(2) 角θ的终边经过点P(b -，4)， 所以3sin 0,cos 5θθ>=-，所以44sin ,tan 53θθ==-. 所以原式=815-18．设函数()f x 是R 上的奇函数，当0x 时，2()-4f x x x =． （1）求()f x 的表达式．（2）若()f x 在(,)a +∞是增函数，求a 的取值范围．【答案】（1）()()()224040x x x f x x x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩；（2）[)2,+∞. 【分析】（1）根据()f x 是奇函数， 结合0x ≥时，()24f x x x =-求解.（2）由（1）知()()()224040x x x f x x x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩，易知()f x 在(),2-∞-上递增，在()2,2-上递减，在()2,+∞上递增，再根据()f x 在(),a +∞上是增函数求解. 【详解】（1）因为()f x 是奇函数， ∴()()f x f x -=-，又∵0x ≥时，()24f x x x =-，∴0x <时，0x ->，则()()24f x x x f x -=+=-，∴()()240f x x x x --<=，∴()()()224040x x x f x x x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩. （2）由（1）知()()()224040x x x f x x x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩，∴()f x 在(),2-∞-上递增，在()2,2-上递减，在()2,+∞上递增， 又∵()f x 在(),a +∞上是增函数， ∴2a ≥，∴a 的取值范围为[)2,+∞. 19．已知函数1(),[3,5]2x f x x x -=∈+， （1）判断函数()f x 的单调性，并证明；（2）求函数()f x 的最大值和最小值.【答案】（1）增函数.证明见解析；（2）max 4()7f x =，min 2()5f x =. 【分析】（1）设12,[3,5]x x ∈，且12x x <，根据单调性的定义，判定函数单调性即可； （2）根据函数单调性，即可直接得出最值. 【详解】（1）设12,[3,5]x x ∈，且12x x <， 所以()()()()()12121212123112222x x x x f x f x x x x x ----=-=++++， ∵1235x x ≤<≤，∴120x x -<，()()12220x x ++>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，()f x 在[3,5]上为增函数； （2）()f x 在[3,5]上为增函数，则max 4()(5)7f x f ==， min 2()(3)5f x f ==. 【点睛】本题主要考查函数单调性的判定，以及由函数单调性求最值，属于常考题型. 20．（1）已知5cos 13α=-，是α第二象限角，求sin tan αα，的值 （2）已知3tan 4θ=-，求sin cos θθ，的值． 【答案】（1）1212sin ,tan 135αα==-；（2）34sin ,cos 55θθ=-=或34sin ,cos 55θθ==-．【分析】（1）根据5cos 13α=-，利用平方关系求得sin α，再利用商数关系求tan α. （2）由3tan 4α=-，得到3sin cos 4αα=-，再结合22sin cos 1αα+=求解.【详解】（1）因为5cos 13α=-，且α为第二象限角，所以12sin 12sin ,tan 13cos 5αααα====-.（2）因为3tan 4θ=-， 所以3sin cos 4θθ=-，又22sin cos 1θθ+=， 所以34sin ,cos 55θθ=-=或34sin ,cos 55θθ==-． 21．已知函数()()()log 1log 3a a f x x x =-++（0a >且1a ≠）． （1）求函数()f x 的定义域及单调区间; （2）求函数()f x 的零点．【答案】（1）答案不唯一见解析；（2）1-【分析】（1）根据函数的定义域，由1030x x ->⎧⎨+>⎩求解.由()()()log 13a f x x x =-+，令()()13u x x =-+，则log a y u =，利用复合函数的单调性求解.（2）令0f x =（），由2231x x -+=-求解.注意函数的定义域. 【详解】（1）要使函数有意义，则有1030x x ->⎧⎨+>⎩，解得31x -<<．所以函数的定义域为()3,1-． 则()()()log 13a f x x x =-+， 令()()13u x x =-+，则log a y u =，因为()()13u x x =-+在()3,1--上递增，在()1,1-上递减， 当1a >时，log a y u =是增函数，所以()f x 在()3,1--上递减，在()1,1-上递减， 当01a <<时，log a y u =是减函数所以()f x 在()3,1--上递减，在()1,1-上递增综上，当1a >时，()f x 的递增区间为()3,1--，递减区间为()1,1- 当01a <<时，()f x 的递增区间为()1,1-，递减区为()3,1-- （2）函数可化为()()()()2log 13log 23a a f x x x x x =-+=--+，由()0f x =，得2231x x -+=-，即2220x x +-=，解得13x =±-． 因为()133,1±∈--，所以()f x 的零点是13-±．【点睛】方法点睛：复合函数的单调性对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数．简称：同增异减．22．已知()|1|1f x x =-+，(),3()123,3f x x F x x x ≤⎧=⎨->⎩. （1）解不等式()23f x x ≤+；（2）若方程()F x a =有三个解，求实数的取值范围.【答案】（1）1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（2）(1,3).【分析】（1）对x 分两种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果; （2）2,1(),13123,3x x F x x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩.作出函数()F x 的图象， 当直线y a =与函数()y F x =的图象有三个公共点时，方程()F x a =有三个解，由图可得结果.【详解】（1）不等式()23f x x ≤+，即为1123x x -+≤+.当1≥x 时，即化为1123x x -+≤+，得3x ≥-，此时不等式的解集为1≥x ， 当1x <时，即化为(1)123x x --+≤+，解得13x ≥-，此时不等式的解集为113x -≤<. 综上，不等式()23f x x ≤+的解集为1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. （2）11,3()123,3x x F x x x ⎧-+≤=⎨->⎩,即2,1(),13123,3x x F x x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩. 作出函数()F x 的图象如图所示，当直线y a =与函数()y F x =的图象有三个公共点时，方程()F x a =有三个解，所以13a <<.所以实数a 的取值范围是(1,3).【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。