888-2第二型曲线积分

i =1
取极限 W = lim ∑ [ P (ξ i ,η i ) x i + Q (ξ i ,η i ) y i ]. λ →0
i =1
n
定义
向量函数 F ( x, y ) = P( x, y )i + Q( x, y ) j 在 L上有定义.按 L的方向 顺序用分点 A = A0 ( x0 , y0 ), A1 ( x1 , y1 ), ,An 1 ( xn 1 , yn 1 ),
直线段AB的方程为
y = 2 x, (1 ≤ x ≤ 2), dy = dx.
∫
L
( x 2 + y 2 )dx + ( x 2 y 2 )dy = ∫ ( x 2 + y 2 )dx + ( x 2 y 2 )dy
OA
+ ∫ ( x 2 + y 2 )dx + ( x 2 y 2 )dy
ห้องสมุดไป่ตู้
的一条有向分段光滑曲线 设L是从点 A到点 B的一条有向分段光滑曲线,
Ai 1 Ai的弧长记作si , 令λ = max{si }, 在Ai 1 Ai 上任取一点(ξ i ,ηi )
1≤i ≤ n
An ( xn , y n ) = B将 L分成 n个有向小弧段 Ai 1 Ai (i = 1,2, , n ).
B
i 1
A
x
分割 A = A0 , A1 ( x1 , y1 ),, An 1 ( xn 1 , yn 1 ), An = B.
Ai1Ai = (xi )i + (yi ) j. F ( x , y) = P ( x , y)i + Q ( x, y) j
取 F (ξ i ,η i ) = P (ξ i ,η i ) i + Q (ξ i ,η i ) j ,
L
证明: 证明 下面先证
= ∫ P [ (t ), ψ (t )] ′(t )dt
α
β
根据定义
= lim ∑ P(ξ i , ηi ) xi
λ →0 i =1
n
按L的方向顺序用分点
由拉格朗日定理,有
n
A = A0 , A1 , , An = B
将L任意分割成n段.设分点A i ( xi , yi )对应参数ti (ti = 0, , n),
第二型曲线积分与曲线给定的方向有关,在化为 注:第二型曲线积分与曲线给定的方向有关 在化为 第二型曲线积分与曲线给定的方向有关 关于参数的定积分时,定积分的下限和上限应分别 关于参数的定积分时 定积分的下限和上限应分别 对应于曲线的起点和终点,即 下限不一定小于上限 对应于曲线的起点和终点 即:下限不一定小于上限.
AB
对于二型环路积分
F dr = ∫A P F dr + ∫PB F dr P
B
∫
C+
F dr = ∫
C1 +
F dr +∫
C2 +
A
M
N
F dr
B
2,第二型曲线积分的计算 ,
x = (t ), 定理1 定理 设曲线L的参数方程为 当参数t单调地 y = ψ (t ), 由α变到β 时, L上的点由A变到B,
1 2 2 2
y = 0, (0 ≤ x ≤ 2), dy = 0,
∫
L
( x 2 + y 2 )dx + ( x 2 y 2 )dy
= ∫ x 2 dx = 1 . 0 3
1
y
A(1,1)
o
1
B ( 2,0) x
A(1,1) (3) 半圆弧OAB的极坐标方程为 y r (θ ) = 2 cos θ , ( 0 ≤ θ ≤ π 2), 其参数方程为 o 1 B ( 2,0) x x = r (θ ) cos θ = 2 cos 2 θ , (0 ≤ θ ≤ π 2) y = r (θ ) sin θ = 2 cos θ sin θ
(1) ∫L k1F ( M ) + k2G ( M ) dr = k1 ∫L F ( M ) dr + k2 ∫L G ( M ) dr
其中k1 , k2为任意常数. (2) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则
∫ F ( M ) dr = ∫ F ( M ) dr + ∫ F ( M ) dr.
= ∫ [16 cos 3 θ sin θ + 8 cos 2 θ ( 2 cos 2 θ 1) 2 ]dθ
π 2
4 0
0
8∫ cos 2 θ (4 cos 4 θ 4 cos 2 θ + 1)dθ = 4 cos θ |π 2 0
(t ),ψ (t )有连续的一阶导数,
若函数P ( x, y ) , Q ( x, y ) 在曲线L上连续,则有
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy β = ∫ P ( ( t ) ,ψ ( t ) ) ′ ( t ) + Q ( ( t ) ,ψ ( t ) )ψ ′ ( t ) dt α
i =1 i i i i
n
由曲线积分及定积分的定义,上式即
∫ P( x, y)dx = ∫α p( (t ),ψ (t )) ′(t )dt.
L
β
同理可证
其中曲线L的起点A 对应于参数值α, 终点B对应于
将以上两式相加即得到所要的(8.2)式.证毕.
∫ Q( x, y)dy = ∫α Q( (t ),ψ (t )) ′(t )dt.
∫
OAB
( x 2 + y 2 )dx + ( x 2 y 2 )dy
0
= ∫ [( 4 cos 2 θ + 4 cos 2 θ sin 2 θ ) (4 cos θ sin θ )
π 2
+ (4 cos 4 θ 4 cos 2 θ sin 2 θ ) 2(cos 2 θ sin 2 θ )]dθ
L L1 L2
(3) 设 L是有向曲线弧 L是与L方向相反的有向曲线弧 , ,则
∫
L
F ( M ) dr = ∫ F ( M ) dr .
L
对坐标的曲线积分与曲线的方向有关 有关. 即: 对坐标的曲线积分与曲线的方向有关
∫ ∫
AB
F dr =
∫
BA
F dr
A
上任意三点, 设 A, B, P 为曲线 L 上任意三点,则
x = x (t ), (3) 推广 L : y = y (t ), z = z (t ),
α ≤t ≤β
= ∫ P x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) x′ ( t ) α
β
{
+Qx( t ) , y( t ) , z ( t ) y′( t ) + R x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) z′ ( t )} dt.
F (ξ i , η i )
x
Wi ≈ F (ξ i , ηi ) Ai 1 Ai
= P (ξ i , ηi ) xi + Q (ξ i , ηi ) yi
y
L
M k 1 xi
M yi k
B
A
x
3) "求和"
W ≈ ∑ [ P (ξ i , ηi ) xi + Q(ξ i , η i ) yi
i =1
L
β
参数值β .
如果
(1) L : y = g ( x )
b L a
x起点为a,终点为 b.
则 ∫ Pdx + Qdy = ∫ {P[ x, g ( x)] + Q[ x, g ( x)]g ′( x)}dx.
(2) L : x = h( y )
d L c
y起点为c,终点为d .
则 ∫ Pdx + Qdy = ∫ {P[h( y ), y ]h' ( y ) + Q[h( y ), y ]}dy.
为向量函数F ( x, y ) 沿曲线L从A到B的第二型曲线积分
i =1
λ →0
i =1
( 对坐标的) .记作∫AB Pdx + Qdy
∩
或
∩
∫
∩
AB
F ( x, y ) dr
其中dr = ( dx, dy ) , 有向线段 AB 称为积分路径.
对坐标 x的曲线积分(或称第二类曲线积分)
∫ P( x, y)dx = lim ∑ P(ξ ,η )x . λ
F
A
W = F AB cos θ
B
θ
= F AB
解决办法: "分割" "近似代替" "求和" "取极限"
1) "分割". 把L分成 n 个小弧段, F 沿 所做的功为
n
则
W = ∑ Wi
i =1
y
L A
F (ξ i , η i )
Ai 1 M k 1
AM k i
B
2) "近似代替" 有向小弧段 近似代替, 在 用有向线段 上任取一点 则有
xi = (ti ) (ti 1 ) = ′(τ i )ti ,
n
其中τ i 在ti 1与ti 之间. 于是,有
∑ P(ξ , η ) x = ∑ P( (τ ), ψ (τ )) ′(τ )t ,
i =1 i i i i =1 i i i i
其中ξ i = (τ i ),ηi = ψ (τ i ). 注意P( x, y )在L上连续及P( (t ),ψ (t )) ′(t )
AB
= ∫ [( x + x ) + ( x x )]dx