五年级数论：中国剩余定理1
中国剩余定理（模板+详解）
中国剩余定理（模板+详解）问题：今有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，七七数之剩⼆。
问物⼏何？简单点说就是，存在⼀个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余⼆，然后求这个数。
上⾯给出了解法。
再明⽩这个解法的原理之前，需要先知道⼀下两个定理。
定理1：⼏个数相加，如果存在⼀个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。
定理2：两数不能整除，若除数扩⼤（或缩⼩）了⼏倍，⽽被除数不变，则其商和余数也同时扩⼤（或缩⼩）相同的倍数（余数必⼩于除数）。
以上两个定理随便个例⼦即可证明！现给出求解该问题的具体步骤：1、求出最⼩公倍数lcm=3*5*7=1052、求各个数所对应的基础数（1）105÷3=3535÷3=11......2 //基础数35（2）105÷5=2121÷5=4 (1)定理2把1扩⼤3倍得到3，那么被除数也扩⼤3倍，得到21*3=63//基础数633、105÷7=1515÷7=2 (1)定理2把1扩⼤2倍得到2，那么被除数也扩⼤2倍，得到15*2=30//基础数30把得到的基础数加和（注意：基础数不⼀定就是正数）35+63+30=1284、减去最⼩公倍数lcm（在⽐最⼩公倍数⼤的情况下）x=128-105=23那么满⾜题意得最⼩的数就是23了。
⼀共有四个步骤。
下⾯详细解释每⼀步的原因。
（1）最⼩公倍数就不解释了，跳过（记住，这⾥讨论的都是两两互质的情况）（2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，⽐如第⼀个。
105÷3=35。
显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最⼩公倍数。
相当于找到了最⼩的起始值，⽤它去除以3发现正好余2。
那么这个基础数就是35。
记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。
体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。
21是其他数的最⼩公倍数，但是不能被5整除，⽤21除以5得到的余数是1，⽽要求的数除以5应该是余1的。
中国剩余定理(孙子定理)
中国剩余定理（孙子定理）问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？简单点说就是，存在一个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余二，然后求这个数。
上面给出了解法。
再明白这个解法的原理之前，需要先知道一下两个定理。
定理1：几个数相加，如果存在一个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。
定理2：两数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而被除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。
以上两个定理随便个例子即可证明！现给出求解该问题的具体步骤：1、求出最小公倍数lcm=3*5*7=1052、求各个数所对应的基础数（1）105÷3=3535÷3=11......2 //基础数35（2）105÷5=2121÷5=4 (1)定理2把1扩大3倍得到3，那么被除数也扩大3倍，得到21*3=63//基础数633、105÷7=1515÷7=2 (1)定理2把1扩大2倍得到2，那么被除数也扩大2倍，得到15*2=30//基础数30把得到的基础数加和（注意：基础数不一定就是正数）35+63+30=1284、减去最小公倍数lcm（在比最小公倍数大的情况下）x=128-105=23那么满足题意得最小的数就是23了。
一共有四个步骤。
下面详细解释每一步的原因。
（1）最小公倍数就不解释了，跳过（记住，这里讨论的都是两两互质的情况）（2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，比如第一个。
105÷3=35。
显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最小公倍数。
相当于找到了最小的起始值，用它去除以3发现正好余2。
那么这个基础数就是35。
记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。
体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。
21是其他数的最小公倍数，但是不能被5整除，用21除以5得到的余数是1，而要求的数除以5应该是余1的。
中国剩余定理
我们要看啥
• 1，定理的内容 • 2，定理的产生背景和证明 • 3，定理的应用——一些童年
最基本概念：模
• 带余除法：m=qn+r（基本思想） • 模：数论中的重要概念。给定一个正整数m， 如果两个整数a和b满足a-b能被m整除，即 m|(a-b)，那么就称整数a与b对模m同余， 记作a≡b(mod m)。 • 一些性质：1，同余式相加 若a≡b (mod m)， c≡d(mod m)，则a+-c≡b+-d (mod m) • 2，同余式相乘 若a≡b (mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd (mod m)
Байду номын сангаас 引用定理：裴蜀定理
• a,b互质的充要条件是 • 存在整数x,y使ax+by=1
中国剩余定理表述
卧槽这是神马
• 这是智慧 • 说人话
证明思想：尝试中获得灵感
• • • • 一元？ 二元？ 三元？ N元。。。
哦~~~~~
小学奥数-中国剩余定理
9+11=20 20÷9=2……2，不符合“除以9余4’’的条件； 20+11=31 31÷9=3……4，符合“除以9余4”的条件； 但31÷4 =7……3，不符合“除以4余1"的条件； 31+99=130，130÷4=32……2，也不符合“除以4余1”的条
件； 130+99 =229，229÷4 =57……1 符合“除以4余1”的条件。 因此这堆糖果至少有229个。
“韩信点兵”的故事
韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走 过，他记下最后一行士兵的人数（1人）；再让这 队士兵6人一行排队从他面前走过，他记下最后一 行士兵的人数（5人）；再让这队士兵7人一行排队 从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（4 人），再让这队士兵11人一行排队从他面前走过， 他记下最后一行士兵的人数（10人）。
实际上70是能被5和7整除但被3除余1，21能被3和7整 除但5除余1，15能被3和5整除但被7除余1。这个系统 算法是南宋时期的数学家秦九韶研究后得到的。 这就是 著名的中国剩余定理。
例6、今有物不知其数， 三三数之剩二， 五五 数之剩三， 七七数之剩二， 问物几何？
题目中此数被3除余2，那就用70乘以2，被5 除余3。
所以这个两位数是56，70，84的公因数，答 案是14 。
例2、有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个 10个地数，12个12个地数，最后总是剩下3个. 这盒乒乓球至少有多少个?
因为每次都多出3个，所以拿走3个乒乓球，那么不 论是8个8个地数, 10个10个地数, 12个12个地数， 都没有剩余，这时乒乓球的个数就应该是8、10和 12的公倍数。[8，10，12]=120 。
中国剩余定理
汉语余数定理，也称为汉语余数定理，是一个数论中关于一个变量的线性同余方程的定理，它解释了一个变量的线性同余方程的判据和解。
又称“孙子定理”，有“韩新兵”，“孙子定理”，“求术”（宋申国），“鬼谷计算”（宋周密），“隔墙”等古代名称。
计算”（宋周密），“切管”（宋阳辉），“秦王暗中战士”和“无数事物”。
一个变量的线性一致等式的问题最早可以在中国南北朝（公元5世纪）数学书《孙子书经》第26期中找到，这被称为“物是物”。
未知”。
原文如下：未知的事物，三到三个剩下两个，五到五个剩下三个，七到七个剩下两个。
问事物的几何形状？也就是说，将一个整数除以三分之二，五分之三和七分之二以找到该整数。
孙子的《佛经》首次提到了全等式问题和上述特定问题的解决方案。
因此，中国余数定理在中国数学文献中也将称为“孙子定理”。
1247年，宋代数学家秦久绍对“物不知数”问题给出了完整而系统的回答。
明代数学家程大为将解决方案汇编成《孙子的歌》，很容易赶上：三个人一起走了七十次，五棵树有二十一朵梅花，七个儿子团聚了半个半月。
除了一百零五，我们知道这首歌给出了秦绍的全同方程的模3、5和7的解。
意思是：将3除以70得到的余数，再乘以5除以得到的余数。
在图21中，将7除以15得到的余数相乘，将它们全部加起来并减去105或105的整数倍，得到的数字就是答案（除以105
得到的余数就是最小答案）。
例如，在上述事物数量未知的问题中，使用上述方法进行计算，根据民谣计算出的结果为23。
中国剩余定理的证明过程
中国剩余定理的证明过程摘要：I.引言- 介绍中国剩余定理及其应用背景II.中国剩余定理的数学表述- 阐述中国剩余定理的数学公式及符号表示III.证明过程- 讲解证明中国剩余定理的关键思路和方法- step-by-step 详细阐述证明过程IV.结论- 总结中国剩余定理的证明过程及意义正文：I.引言中国剩余定理，又称孙子定理，是数论中一个重要的定理。
该定理可以帮助我们求解一类模线性方程组的问题，即在模素数p 的意义下，求解形如x_1 ≡ a_1 (mod p), x_2 ≡ a_2 (mod p), ..., x_n ≡ a_n (mod p) 的方程组。
中国剩余定理给出了一个比较简洁的解法，基本思想是将原方程组转化为模p 的同余方程的求解。
II.中国剩余定理的数学表述中国剩余定理的数学表述如下：设p_1, p_2, ..., p_n 是n 个互异的素数，a_1, a_2, ..., a_n 是在模p_i下余数为a_i 的整数（1 ≤ i ≤ n），那么对于任意整数x，同余方程组：x ≡ a_1 (mod p_1)x ≡ a_2 (mod p_2)...x ≡ a_n (mod p_n)有唯一解x ≡ a (mod p)，其中a 是满足以下条件的最小正整数：1.a ≡ a_1 (mod p_1)2.a ≡ a_2 (mod p_2)...3.a ≡ a_n (mod p_n)III.证明过程中国剩余定理的证明过程分为两个关键步骤：1.模p_i 的同余方程求解对于任意素数p_i，设x ≡ a_i (mod p_i)，则有x = a_i + p_i * k_i，其中k_i 是满足0 ≤ k_i < p_i-1 的整数。
2.求解模p 的同余方程根据上述结果，我们可以将原同余方程组转化为模p 的同余方程组：a_1 + p_1 * k_1 ≡ a (mod p)a_2 + p_2 * k_2 ≡ a (mod p)...a_n + p_n * k_n ≡ a (mod p)由于p_1, p_2, ..., p_n 是互异的素数，根据Chinese RemainderTheorem，这个同余方程组有唯一解。
中国剩余定理（crt）和扩展中国剩余定理（excrt）
中国剩余定理（crt）和扩展中国剩余定理（excrt）数论守门员⼆号 =。
=中国剩余定理：1.⼀次同余⽅程组：⼀次同余⽅程组是指形如x≡ai(mod mi) (i=1，2，…，k)的同余⽅程构成的组中国剩余定理的主要⽤途是解⼀次同余⽅程组，其中m1,m2,...,mk互质2.中国剩余定理：令M=m1*m2*...*mk（即所有m的lcm）ti为同余⽅程M/mi*ti≡1(mod mi)的最⼩正整数解则存在解x=∑ai*M/mi*ti通解为x+i*M最⼩⾮负整数解为(x%M+M)%M（我承认这段是抄的orz原⽂看起来更⽅便：）M/mi*ti≡1(mod mi)可转化为M/mi*ti+mi*y=1，然后⽤exgcd求ti其中gcd(M/mi, mi)=1，意义为⽅程组⼀定有解3.证明：对于第k个⽅程①当i≠k时，有mk|M/mi，即ai*M/mi*ti≡0(mod mk)②当i=k时，有M/mk*tk≡1(mod mk)，即ak*M/mk*tk≡ak(mod mk)故∑ai*M/mi*ti≡ak(mod mk)4.代码：（其中LL是long long，qcm是快速乘）1 LL crt(){2 LL bwl=0;3for(int i=1;i<=k;++i){4 LL x,y;5 exgcd(M/m[i],m[i],x,y);6if(x<0) x=x%m[i]+m[i];7 bwl=(bwl+qcm(qcm(a[i],M/m[i]),x))%M;8 }9return (bwl+M)%M;10 }View Code5.孙⼦算经：《孙⼦算经》：今有物不知其数，三三数之剩⼆；五五数之剩三；七七数之剩⼆。
问物⼏何？《算法统宗》：三⼈同⾏七⼗稀，五树梅花廿⼀枝，七⼦团圆⽉正半，除百零五便得知。
其中70=7*5*2，70%3=1，21=3*7*1，21%5=1，15（半个⽉）=3*5*1，15%7=1⽤70*2+21*3+15*2=233除3*5*7=105，得到的余数23即为答案70=3*5*2，21=3*7*1，15=3*5*1三式中的最后⼀个乘数2、1、1即为上⽂提到的di 数字还挺吉利的233扩展中国剩余定理：1.⼀次同余⽅程组：扩展中国剩余定理的主要⽤途是解⼀次同余⽅程组，其中m1,m2,...,mn不⼀定互质2.扩展中国剩余定理：令前k-1个⽅程组成的同余⽅程组的⼀个解为x且M为前k-1个模数的lcm则前k-1个⽅程的⽅程组的通解为x+i*M现在将第k个⽅程加⼊只需求⼀个正整数t，使得x+t*M≡ak(mod mk)可以转化为M*t+mk*y=ak-x然后⽤exgcd求出t若此⽅程⽆解，则整个同余⽅程组⽆解否则x+t*M为前k个⽅程的⽅程组的⼀个解（这段也是我抄的，原⽂和上边⼀样orz）3.代码：（其中LL是long long，qcm是快速乘，三个参数分别为两个乘数和模数）1 LL excrt(){2 LL M=m[1],ans=a[1];3for(int i=2;i<=k;++i){4 LL x,y;5 LL d=gcd(M,m[i]);6 LL c=(a[i]-ans%m[i]+m[i])%m[i];7if(c%d) return -1;8 exgcd(M,m[i],x,y);9 x=qcm(x,c/d,m[i]/d);10 ans+=qcm(x,M,M*m[i]);11 M*=m[i]/d;12 ans=(ans%M+M)%M;13 }14return ans;15 }View Code4.细节：1.有些题数字卡得严，必须要⽤快速乘2.快速乘时注意第⼆个乘数必须为正，要⽤通解处理3.每次快速乘的模数不⼀定⼀样，需要好好考虑例题：洛⾕3868 猜数字洛⾕4777 扩展中国剩余定理。
中国剩余定理
中国剩余定理（孙子定理）定义中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。
是数论中一个重要定理。
又称中国剩余定理。
编辑本段内容1、分别找出能任两个数整除，而满足被第三个整除余几的数。
2、将三个未知数加起来，减去这三个数的最小公倍数的整数倍。
N≡R1(mod d1) ≡R2(mod d2)≡R3(mod d3)则N=k1d2d3R1+k2d1d3R2+k3d1d2R3±d1d2d3P其中P为任意非负整数k1是满足k1d2d3≡1(mod d1)的最小正整数k2是满足k2d1d3≡1(mod d2)的最小正整数k3是满足k3d1d2≡1(mod d3)的最小正整数编辑本段解法解法中的三个关键数70，21，15，有何妙用，有何性质呢?首先70是3除余1而5与7都除得尽的数，所以70a是3除余a,而5与7都除得尽的数，21是5除余1，而3与7都除得尽的数，所以21b是5除余b，而3与7除得尽的数。
同理，15c是7除余c，3与5除得尽的数，总加起来 70a+21b+15c 是3除余a，5除余b ，7除余c的数，也就是可能答案之一，但可能不是最小的，这数加减105(105=3*5*7)仍有这样性质，可以多次减去105而得到最小的正数解。
附：如70，其实是要找余2的，但只要找到了余1的再乘2即余二了。
孙子问题的解法，以现代的说法，是找出三个关键数70，21，15。
解法的意思就是用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，然后总加起来，除以105的余数就是答案。
即题目的答案为70×2+21×3+15×2=140+63+30=233233-2×105=23公式：70a+21b+15c-105n题中有三个数，分别为3、5、7，5*7/3余数为2，取35；3*7/5余数为1，要使余数为3，只需将3*7扩大3倍变成63即可；同样3*5/7的余数为1，要使余数为2，则将3*5扩大2倍，变成30。
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好好学习，天天向上
名师介绍： 郑和森老师，能够显着提高孩子对于的兴趣，孩子的解题能力和成绩 都能有明显的提高.所教的学生在迎春杯，希望杯等全国及北京等各种比赛中 都获过奖。所教的学生中，每年都有考入人大附中，十一，四中，实验等等 的北京市重点中学。 教学特色： 为人幽默风趣，亲切活泼的授课风格深受广大学生喜爱，不仅能成为 学生的好老师，更能很快成为学生的好伙伴，成为学生求学路中思想的领路 人。在教学过程中，善于抓住学生的兴趣所在，可以将相对枯燥的数学以一 种简单易懂，活泼轻松的方式传授给学生。
幸福像花儿一样，学习像溪水一般
幸福像花儿一样，学习像溪水一般好好学习，天天向上解答:采用中国剩余定理： 35 的公倍数 37 的公倍数 57 的公倍数 152135 304270 4563105 6084140 除以 7 余 4 的除以 5 余 3 除以 3 余 2 分别是：606335 可见 60+63+35=158 满足我们的条件，但不是最小的自然数，处理方 法就是减去最小公倍数的若干倍，使结果在最小公倍数之内。所以答案为： 158-105=53。
好好学习，天天向上
五年级数论：中国剩余定理 1
学而思“专题”栏目每日精选试题各一道，细分不同年级和难度。 -本周试题由学而思智康名师郑和森精选、解析，以保证试题质量。 -每周末，我们将一周试题汇总为 word 版本试卷，您可下载打印或在 线阅读。 -每道题的答题时间不应超过 15 分钟。 五年级数论问题：中国剩余定理 难度：高难度 一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 4，问满足条件的最小自然 数____.