2021届高中全程复习构想·数学【新高考】课时作业 39 空间向量及其运算、基本定理、坐标表示
2021届高中全程复习构想·数学【新高考】课时作业 40 空间向量的应用
课后必刷题[保分必刷题]1．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点．(1)求直线AD 和直线B 1C 所成角的大小；(2)求证：平面EB 1D ⊥平面B 1CD .解析：不妨设正方体的棱长为2个单位长度，以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴．建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .根据已知得：D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)．(1)∵DA →＝(2,0,0)，CB 1→＝(2,0,2)，∴cos 〈DA →，CB 1→〉＝DA →·CB 1→|DA →||CB 1→|＝22. ∴直线AD 和直线B 1C 所成角为π4.(2)证明：取B 1D 的中点F ，得F (1,1,1)，连接EF .∵E 为AB 的中点，∴E (2,1,0)，∴EF →＝(－1,0,1)，又DC →＝(0,2,0)，CB 1→＝(2,0,2)，∴EF →·DC →＝0，EF →·CB 1→＝0，∴EF ⊥DC ，EF ⊥CB 1.∵DC ∩CB 1＝C ，∴EF ⊥平面B 1CD .又∵EF ⊂平面EB 1D ，∴平面EB1D⊥平面B1CD.2．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．(1)求证：平面BDM∥平面EFC；(2)若DE＝2AB，求直线AE与平面BDM所成角的正弦值．解析：(1)证明：连接AC，交BD于点N，连接MN，则N为AC的中点，又M为AE的中点，所以MN∥EC.因为MN⊄平面EFC，EC⊂平面EFC，所以MN∥平面EFC.因为BF，DE都垂直底面ABCD，所以BF∥DE，因为BF＝DE，所以四边形BDEF为平行四边形，所以BD∥EF.因为BD⊄平面EFC，EF⊂平面EFC，所以BD∥平面EFC.又MN∩BD＝N，所以平面BDM∥平面EFC.(2)因为DE⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，所以DA，DC，DE两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D－xyz，设AB ＝2，则DE ＝4，从而D (0,0,0)，B (2,2,0)，M (1,0,2)，A (2,0,0)，E (0,0,4)，所以DB →＝(2,2,0)，DM →＝(1,0,2)，设平面BDM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DB →＝0，n ·DM →＝0，得⎩⎨⎧ 2x ＋2y ＝0，x ＋2z ＝0. 令x ＝2，则y ＝－2，z ＝－1，从而n ＝(2，－2，－1)为平面BDM的一个法向量． 因为AE →＝(－2,0,4)，设直线AE 与平面BDM 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AE →〉|＝|n ·AE →||n |·|AE →|＝4515， 所以直线AE 与平面BDM 所成角的正弦值为4515.3．如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，AA 1＝2，E ，F ，G 分别是棱A 1B 1，AB ，A 1D 1的中点．(1)求证：GE ⊥平面FCC 1；(2)求二面角B －FC 1－C 的余弦值．解析：因为AB ＝4，BC ＝CD ＝2，F 是棱AB 的中点，四边形ABCD 是等腰梯形，所以BF ＝BC ＝CF ，△BCF 为正三角形，所以∠BAD ＝∠ABC ＝60°，取AF 的中点M ，连接DM ，则DM ⊥AB ，所以DM ⊥CD .以DM ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (3，－1,0)，F (3，1,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (3，1,2)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，2，B (3，3,0)， 所以CF →＝(3，－1,0)，CC 1→＝(0,0,2)，FC 1→＝(－3，1,2)．设平面CC 1F 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CF →＝0，n ·CC 1→＝0，所以⎩⎨⎧ 3x －y ＝0，z ＝0， 取n ＝(1，3，0)． (1)证明：GE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0＝32n ， 因为GE →∥n ，所以GE ⊥平面FCC 1.(2)FB →＝(0,2,0)，设平面BFC 1的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·FB →＝0，n 1·FC 1→＝0，所以⎩⎨⎧ y 1＝0，－3x 1＋y 1＋2z 1＝0，取n 1＝(2,0，3)，则n ·n 1＝2×1＋3×0＋0×3＝2，|n |＝1＋(3)2＝2，|n 1|＝22＋0＋(3)2＝7， 所以cos 〈n ，n 1〉＝n ·n 1|n |·|n 1|＝22×7＝77， 由图可知二面角B －FC 1－C 为锐角，所以二面角B －FC 1－C 的余弦值为77.[提分必刷题]4．[2020·山东潍坊模拟]如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，∠BAA1＝45°，平面AA1C1C⊥平面AA1B1B.(1)求证：AA1⊥BC；(2)若BB1＝2AB＝2，直线BC与平面ABB1A1所成角为45°，D 为CC1的中点，求二面角B1－A1D－C1的余弦值．解析：(1)证明：过点C作CO⊥AA1，垂足为O，因为平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，所以CO⊥平面AA1B1B，故CO⊥OA，CO⊥OB，所以∠COA＝∠COB＝90°，又因为CA＝CB，CO＝CO，所以Rt△AOC≌Rt△BOC，故OA＝OB，因为∠A1AB＝45°，所以AA1⊥OB，又因为AA1⊥CO，OB∩CO＝O，所以AA1⊥平面BOC，又BC⊂平面BOC，故AA1⊥BC.(2)因为OA，OB，OC两两相互垂直，所以以O为坐标原点，OA，OB，OC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，因为CO ⊥平面AA 1B 1B ，所以∠CBO 是直线BC 与平面ABB 1A 1所成角，故∠CBO ＝45°，又AB ＝2，所以AO ＝BO ＝CO ＝1，所以A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，A 1(－1,0,0)，B 1(－2,1,0)，D (－1,0,1)，A 1D →＝(0,0,1)，B 1D →＝(1，－1,1)，设平面A 1B 1D 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·A 1D →＝0，n ·B 1D →＝0，所以⎩⎨⎧ z 1＝0，x 1－y 1＋z 1＝0，令x 1＝1，得n ＝(1,1,0)，因为OB ⊥平面AA 1C 1C ，所以OB →为平面A 1C 1D 的一个法向量，OB →＝(0,1,0)，所以cos 〈n ，OB →〉＝n ·OB →|n |·|OB →|＝22， 所以二面角B 1－A 1D －C 1的余弦值为22.[优生必刷题]5．[2020·山东济南模拟]如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝2，点M 为棱PC 的中点，点E ，F 分别为棱AB ，BC 上的动点(E ，F 与所在棱的端点不重合)，且满足BE ＝BF .(1)证明：平面PEF ⊥平面MBD ；(2)当三棱锥F －PEC 的体积最大时，求二面角C －MF －E 的余弦值．解析：(1)证法一：连接AC 交BD 于点N ，连接MN . 因为底面ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD ，AN ＝CN ， 又M 是PC 的中点，所以MN ∥P A .又P A ⊥底面ABCD ，所以MN ⊥底面ABCD ，因为AC ⊂底面ABCD ，所以AC ⊥MN .又BD ∩MN ＝N ，BD ⊂平面MBD ，MN ⊂平面MBD ， 所以AC ⊥平面MBD .在△ABC 中，因为BE ＝BF ，BA ＝BC ，所以BE BA ＝BF BC ，即EF ∥AC ，所以EF ⊥平面MBD .又EF ⊂平面PEF ，所以平面PEF ⊥平面MBD .证法二：因为P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，所以以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A －xyz ，则P (0,0,2)，M (1,1,1)，B (2,0,0)，D (0,2,0)，MB →＝(1，－1，－1)，MD →＝(－1,1，－1)．设E (t,0,0)，0<t <2，则F (2,2－t,0)，PE →＝(t,0，－2)，PF →＝(2,2－t ，－2)，设m 1＝(a 1，b 1，c 1)为平面PEF 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ m 1·P E →＝0，m 1·PF →＝0，即⎩⎨⎧ ta 1－2c 1＝0，2a 1＋(2－t )b 1－2c 1＝0.令a 1＝2，则b 1＝－2，c 1＝t ，所以平面PEF 的一个法向量为m 1＝(2，－2，t )．设m 2＝(a 2，b 2，c 2)为平面MBD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ m 2·MB →＝0，m 2·MD →＝0，即⎩⎨⎧ a 2－b 2－c 2＝0，－a 2＋b 2－c 2＝0.令a 2＝1，则b 2＝1，c 2＝0，所以平面MBD 的一个法向量为m 2＝(1,1,0)．因为m 1·m 2＝2×1－2×1＋t ×0＝0，所以m 1⊥m 2， 所以平面PEF ⊥平面MBD .(2)设BE ＝BF ＝x ，由题意知，S △CEF ＝12(2－x )x ，又P A ＝2，所以V F －PEC ＝V P －EFC ＝13×12(2－x )x ×2＝13(2－x )x ＝－13(x －1)2＋13.易知当三棱锥F －PEC 的体积最大时，x ＝1，即此时E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点．以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .则C (2,2,0)，F (2,1,0)，E (1,0,0)，M (1,1,1)，MF →＝(1,0，－1)，FE →＝(－1，－1,0)，FC →＝(0,1,0)． 设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面MEF 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·MF →＝0，n ·FE →＝0，即⎩⎨⎧ x 1－z 1＝0，－x 1－y 1＝0.令x 1＝1，则y 1＝－1，z 1＝1，所以平面MEF 的一个法向量为n ＝(1，－1,1)．设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面MCF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·MF →＝0，m ·FC →＝0，即⎩⎨⎧ x 2－z 2＝0，y 2＝0.令x 2＝1，则y 2＝0，z 2＝1，所以平面MCF 的一个法向量为m ＝(1,0,1)．所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝23×2＝63. 由图知所求二面角为钝二面角，所以二面角C －MF －E 的余弦值为－63.。
2021学年新教材高中数学1.1.1空间向量及其运算课时作业含解析人教B版必修一
课时作业(一) 空间向量及其运算一、选择题1．给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p .其中正确的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 2.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有( )①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B．60° C ．120° D．150°4．已知a ，b 是异面直线，且a ⊥b ，e 1，e 2分别为取自直线a ，b 上的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3 二、填空题5．化简AB →－AC →＋BC →－BD →－DA →＝________.6．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π3，则|a ＋b |＝________.7.如图所示，四面体ABCD 的每条棱长都等于2，点E ，F 分别为棱AB ，AD 的中点，则|AB →＋BC →|＝________，|BC →－EF →|＝________.三、解答题8．已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量：(1)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→； (2)12AD →＋12AB →－12A ′A →.9．已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC . [尖子生题库]10.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥BC ，AB ⊥AD ，且PA ＝AB ＝BC ＝12AD ＝1，求PB 与CD 所成的角．EF →＝12BD →，BD →·BC →＝2×2×cos 60°＝2，故|BC →－EF →|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC →－12BD →2＝BC →2－BC →·BD →＋14BD →2＝4－2＋14×4＝3，故|BC →－EF →|＝ 3. 答案：2 38．解析：(1)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→＝AD ′→.(2)12AD →＋12AB →－12A ′A →＝12AD →＋12AB →＋12AA ′→＝12(AD →＋AB →＋AA ′→)＝12AC ′→. 设M 是线段AC ′的中点，则12AC ′→＝AM →，向量AD ′→，12AC ′→如图所示．9．证明：∵AB ⊥CD ，AC ⊥BD ， ∴AB →·CD →＝0，AC →·BD →＝0. ∴AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·(AC →－AB →) ＝AB →·AC →＋BD →·AC →－|AB →|2－AB →·BD →＝AB →·AC →－|AB →|2－AB →·BD →＝AB →·(AC →－AB →－BD →)＝AB →·DC →＝0. ∴AD →⊥BC →，从而AD ⊥BC .10．解析：由题意知|PB →|＝2， |CD →|＝2，PB →＝PA →＋AB →，DC →＝DA →＋AB →＋BC →， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA →·DA →＝PA →·AB →＝PA →·BC →＝0，∵AB ⊥AD ，∴AB →·DA →＝0，∵AB ⊥BC ，∴AB →·BC →＝0， ∴PB →·DC →＝(PA →＋AB →)·(DA →＋AB →＋BC →)。
2021年高中数学 3.1.1空间向量及其加减运算课时作业 新人教A版选修2-1
2021年高中数学 3.1.1空间向量及其加减运算课时作业新人教A版选修2-1课时目标1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示．2．掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义．2．几类特殊向量(1)零向量：____________的向量叫做零向量，记为________．(2)单位向量：________的向量称为单位向量．(3)相等向量：方向________且模________的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．(4)相反向量：与向量a长度______而方向________的向量，称为a的相反向量，记为________．空间向量的加减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB→＝OA→＋AB→＝__________；CA→＝OA→－OC→＝________.加法运算律(1)交换律：a＋b＝________(2)结合律：(a＋b)＋c＝____________.；一、选择题1．下列命题中，假命题是( )A. 向量AB →与BA →的长度相等B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等2.如图所示，平行四边形ABCD 的对角线的交点为O ，则下列等式成立的是( )A. OA →＋OB →＝AB →B. OA →＋OB →＝BA →C. AO →－OB →＝AB →D. OA →－OB →＝CD →3.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点且2OA →＋OB →＋OC →=0，则AO →等于( )A. OB →B. OC →C.D.24.已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( )A. AB →＝AC →＋BC →B. AB →＝－AC →－BC →C. AC →与BC →同向D. 与AC →与CB →同向5.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→-AB →+BC →化简后的结果是( )A. BD 1→B.C.D.6．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )A.＋GH →＋PQ →＝0B. －GH →－PQ →＝0C.＋GH →－PQ →＝0D.－GH →＋PQ →＝0二、填空题7.在平行六面体ABCD －A ’B’C ’D ’中，与向量的模相等的向量有________个．8.若G 为△ABC 内一点，且满足＋BG →＋CG →＝0，则G 为△ABC 的________．(填“外心”“内心”“垂心”或“重心”)9．判断下列各命题的真假：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为________．三、解答题10．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．①向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB →＝DC →；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件．11.如图所示，已知空间四边形ABCD ，连结AC,BD,E,F,G 分别是BC,CD,DB 的中点，请化简：AB →＋BC →＋CD →，(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．能力提升12.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD交于点F.若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )A.14a ＋12bB.13a ＋23b C.12a ＋14b D.23a ＋13b 13．证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．4．a －b 表示的是由b 的终点指向a 的终点的一条有向线段．第三章 空间向量与立体几何§3.1 空间向量及其运算3．1.1 空间向量及其加减运算知识梳理1．大小 方向 (2)大小 模 (3)①有向线段②AB →2．(1)长度为0 0 (2)模为1 (3)相同 相等(4)相等 相反 －a3．a ＋b a －b (1)b ＋a (2)a ＋(b ＋c )作业设计1．D [共线的单位向量是相等向量或相反向量．]2．D [OA →－OB →＝BA →＝CD →.]3．C [∵D 为BC 边中点，∴OB →＋OC →＝2OD →，∴OA →＋OD →＝0，∴AO →＝OD →.]4．D [由|AB →|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB →|，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC →与CB →同向．]5．A[如图所示，∵DD 1→＝AA 1→，DD →1－AB →＝AA 1→－AB →＝BA 1→，BA 1→＋BC →＝BD →1，∴DD 1→－AB →＋BC →＝BD 1→.]6．A [观察平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1可知，向量EF →，GH →，PQ →平移后可以首尾相连，于是EF →＋GH →＋PQ →＝0.]7．7解析 |D'C'→|＝|DC →|＝|C'D'→|＝|CD →|＝|BA →|＝|AB →|＝|B'A'→|＝|A'B'→|.8．重心解析如图，取BC 的中点O ，AC 的中点D ，连结OG 、DG .由题意知AG →＝－BG →－CG →＝GB →＋GC →＝2GO →，同理BG →＝2GD →，故G 为△ABC 的重心．9．3解析 ①真命题；②假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．10．解 ①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB ，CD 在同一条直线上．②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同．③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．④正确．⑤正确．11．解 (1) AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(2)∵E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点．∴BE →＝EC →，EF →＝GD →.∴AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋EF →＋BE →＝AF →.故所求向量AD →，AF →，如图所示．12．D [AF →＝AC →＋CF →＝a ＋23CD → ＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .]13．证明如图所示，平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′，设点O 是AC ′的中点，则AO →＝12AC'→ ＝12(AB →＋AD →＋AA'→)．设P 、M 、N 分别是BD ′、CA ′、DB ′的中点．则AP ＝AB →＋BP →＝AB →＋12BD'→ ＝AB →＋12(BA →＋BC →＋B B'→) ＝AB →＋12(－AB →＋AD →＋AA'→) ＝12(AB →＋AD →＋AA'→)． 同理可证：AM →＝12(AB →＋AD →＋AA'→) AN →＝12(AB →＋AD →＋AA'→)． 由此可知O ，P ，M ，N 四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．J20157 4EBD 亽22027 560B 嘋%34891 884B 衋T: 24260 5EC4 廄fY31319 7A57 穗。
数学高考复习空间向量及其运算专题训练(含答案)
数学2021届高考复习空间向量及其运算专题训练（含答案）空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，下面是空间向量及其运算专题训练，请考生及时练习。
一、选择题1.以下四个命题中正确的是().A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B.若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a+b，b+c，c+a}构成空间向量的另一组基底C.ABC为直角三角形的充要条件是=0D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析若a+b、b+c、c+a为共面向量，则a+b=(b+c)+(c+a)，(1)a=(1)b+(+)c，，不可能同时为1，设1，则a=b+c，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾.答案 B2.若向量a=(1,1，x)，b=(1,2,1)，c=(1,1,1)，满足条件(ca)(2b)=2，则x= ().A.4B.2C.4D.2解析 a=(1,1，x)，b=(1,2,1)，c=(1,1,1)，ca=(0,0,1x)，2b=(2,4,2).(ca)(2b)=2(1x)=2，x=2.答案 D3.若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是().A.{a，a+b，ab}B.{b，a+b，ab}C.{c，a+b，ab}D.{a+b，ab，a+2b}解析若c、a+b、ab共面，则c=(a+b)+m(ab)=(+m)a+(m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a+b，ab可构成空间向量的一组基底.答案 C4.如图所示，已知空间四边形OABC，OB=OC，且AOB=AOC=，则cos〈，〉的值为().A.0B.C. D.解析设=a，=b，=c，由已知条件〈a，b〉=〈a，c〉=，且|b|=|c|，=a(cb)=acab=|a||c||a||b|=0，cos〈，〉=0.答案 A5.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若=a，=b，=c，则下列向量中与相等的向量是().A.a+b+cB.a+b+cC.ab+cD.ab+c解析 =+=+()=c+(ba)=a+b+c.答案 A.如图，在大小为45的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A.B.C.1D.解析 =++，||2=||2+||2+||2+2+2+2=1+1+1=3，故||=.答案 D 二、填空题R，向量，且，则解析 .答案8. 在空间四边形ABCD中，++=________.解析如图，设=a，=b，=c，++=a(cb)+b(ac)+c(ba)=0.答案 0.已知ABCDA1B1C1D1为正方体，(++)2=32;()=0;向量与向量的夹角是60正方体ABCDA1B1C1D1的体积为||.其中正确命题的序号是________.解析由，，，得(++)2=3()2，故正确;中=，由于AB1A1C，故正确;中A1B与AD1两异面直线所成角为60，但与的夹角为120，故不正确;中||=0.故也不正确.答案10.如图，空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，OAC=45，OAB=60，则OA与BC所成角的余弦值等于________. 解析设=a，=b，=c.OA与BC所成的角为，=a(cb)=acab=a(a+)a(a+)=a2+aa2a=2416.cos ===.答案三、解答题.已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足=(++).(1)判断、、三个向量是否共面;(2)判断点M是否在平面ABC内.解 (1)由已知++=3 ，即=+=，，，共面.(2)由(1)知，，，共面且基线过同一点M，四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内..把边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：(1)EF的长;(2)折起后EOF的大小.如图，以O点为原点建立空间直角坐标系Oxyz，则A(0，a,0)，B(a,0,0)，C0，a,0)，D0,0，a)，E0，a，a)，F(a，a,0).(1)||2=2+2+2=a2，|EF|=a.(2)=，=，=0a++a0=，||=，||=，cos〈，〉==，EOF=120..如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GMGA=13.求证：B、G、N三点共线.证明设=a，=b，=c，则=a+(a+b+c)=a+b+c，=a+b+c=.∥，即B、G、N三点共线..如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB、AD、CD的中点，计算：(1)(2)(3)EG的长;(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.解设=a，=b，=c.则|a|=|b|=|c|=1，〈a，b〉=〈b，c〉=〈c，a〉=60，(1)==ca，=a，=bc，=(a)=a2ac=，(2)=(ca)(bc)=(bcabc2+ac)=;(3)=++=a+ba+cb=a+b+c，||2=a2+b2+c2ab+bcca=，则||=.(4)=b+c，=+=b+a，cos〈，〉==，由于异面直线所成角的范围是(0，90]，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.空间向量及其运算专题训练及答案的全部内容就是这些，查字典数学网预祝考生可以取得优异的成绩。
2021年高考数学复习§8.5 空间向量及其在立体几何中的应用讲解附真题及解析
§8.5 空间向量及其在立体几何中的应用基础篇固本夯基【基础集训】考点一 用向量法证明平行、垂直1.如图,四棱锥P-ABCD 的底面是正方形,PA ⊥平面ABCD,E,F 分别是AB,PD 的中点,且PA=AD. (1)求证:AF ∥平面PEC; (2)求证:平面PEC ⊥平面PCD.证明 ∵PA⊥平面ABCD,底面ABCD 为正方形, ∴PA⊥AB,PA ⊥AD,AB ⊥AD,以A 为原点,AB,AD,AP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,由已知PA=AD,不妨设PA=AB=AD=2,则B(2,0,0), P(0,0,2),A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0). (1)∵F 为PD 的中点,E 为AB 的中点, ∴F(0,1,1),E(1,0,0), ∴PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,-2). 设平面PEC 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1), 则{n 1·PE⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·PC ⃗⃗⃗⃗ =0,即{x 1-2z 1=0,2x 1+2y 1-2z 1=0,取z 1=1,则n 1=(2,-1,1),又∵AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1=0-1+1=0, ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n 1,∴AF∥平面PEC. (2)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,-2),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2). 设平面PCD 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),则{n 2·PC⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴{2x 2+2y 2-2z 2=0,2y 2-2z 2=0,即{x 2+y 2-z 2=0,y 2-z 2=0,取z 2=1,则n 2=(0,1,1),又∵n 1=(2,-1,1)是平面PEC 的一个法向量, ∴n 1·n 2=(2,-1,1)·(0,1,1)=0,∴n 1⊥n 2, ∴平面PEC ⊥平面PCD.2.如图,已知四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,A 1A=6,且A 1A ⊥底面ABCD,点P,Q 分别在棱DD 1,BC 上.(1)若P 是DD 1的中点,证明:AB 1⊥PQ;(2)若PQ ∥平面ABB 1A 1,二面角P-QD-A 的余弦值为37,求四面体ADPQ 的体积.解析 由题设知,AA 1,AB,AD 两两垂直.以A 为坐标原点,AB,AD,AA 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则相关各点的坐标为A(0,0,0),B 1(3,0,6),D(0,6,0),D 1(0,3,6),Q(6,m,0),其中m=BQ,0≤m ≤6.(1)证明:因为P 是DD 1的中点,所以P (0,92,3),所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,m -92,-3).又AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,6),于是AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =18-18=0,所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AB 1⊥PQ.(2)由题设知,DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,m-6,0),DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-3,6)是平面PQD 内的两个不共线向量.设n 1=(x,y,z)是平面PQD 的法向量,则{n 1·DQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{6x +(m -6)y =0,-3y +6z =0.取y=6,得n 1=(6-m,6,3).又平面AQD 的一个法向量是n 2=(0,0,1),所以cos<n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=1×√(6-m)+6+3=√(6-m)+45.而二面角P-QD-A 的余弦值为37,因此3√(6-m)+45=37,解得m=4或m=8(舍去),此时Q(6,4,0).设DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ≤1),而DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-3,6),由此得点P(0,6-3λ,6λ),所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,3λ-2,-6λ). 因为PQ ∥平面ABB 1A 1,且平面ABB 1A 1的一个法向量是n 3=(0,1,0),所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 3=0,即3λ-2=0,亦即λ=23,从而P(0,4,4).于是,将四面体ADPQ 视为以△ADQ 为底面的三棱锥P-ADQ,则其高h=4.故四面体ADPQ 的体积V=13S △ADQ ·h=13×12×6×6×4=24.考点二 用向量法求空间角与距离3.在平面四边形ABCD 中,AB=BD=CD=1,AB ⊥BD,CD ⊥BD.将△ABD 沿BD 折起,使得平面ABD ⊥平面BCD,如图. (1)求证:AB ⊥CD;(2)若M 为AD 中点,求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值; (3)在(2)的条件下,求点D 到平面BMC 的距离.解析 (1)证明:∵平面ABD ⊥平面BCD,平面ABD ∩平面BCD=BD,AB ⊂平面ABD,AB ⊥BD, ∴AB⊥平面BCD.又CD ⊂平面BCD,∴AB⊥CD.(2)过点B 在平面BCD 内作BE ⊥BD,如图.由(1)知AB ⊥平面BCD,又BE ⊂平面BCD,BD ⊂平面BCD, ∴AB⊥BE,AB ⊥BD.以B 为坐标原点,分别以BE⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系. 依题意,得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),M (0,12,12),则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,12),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1).设平面MBC 的法向量为n =(x 0,y 0,z 0), 则{n ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x 0+y 0=0,12y 0+12z 0=0, 取z 0=1,得平面MBC 的一个法向量为n =(1,-1,1). 设直线AD 与平面MBC 所成角为θ,则sin θ=|cos<n ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n|·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√63, 即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为√63.(3)由(2)可知平面MBC 的一个法向量为n =(1,-1,1), 又∵BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0), ∴点D 到平面BMC 的距离为|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n||n|=1√3=√33. 4.如图,在四棱锥A-EFCB 中,△AEF 为等边三角形,平面AEF ⊥平面EFCB,EF ∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O 为EF 的中点. (1)求证:AO ⊥BE;(2)求二面角F-AE-B 的余弦值; (3)若BE ⊥平面AOC,求a 的值;(4)在(3)的条件下,求BE 与AF 所成角的余弦值.解析 (1)证明:因为△AEF 是等边三角形,O 为EF 的中点,所以AO ⊥EF. 又因为平面AEF ⊥平面EFCB,AO ⊂平面AEF, 所以AO ⊥平面EFCB. 所以AO ⊥BE.(2)取BC 的中点G,连接OG. 由题意知四边形EFCB 是等腰梯形, 所以OG ⊥EF.由(1)知AO ⊥平面EFCB, 又OG ⊂平面EFCB, 所以OA ⊥OG.如图建立空间直角坐标系O-xyz,则E(a,0,0),A(0,0,√3a),B(2,√3(2-a),0), 所以EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a,0,√3a),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2,√3(a-2),0).设平面AEB 的法向量为n =(x,y,z), 则{n ·EA⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-ax +√3az =0,(a -2)x +√3(a -2)y =0.令z=1,则x=√3,y=-1. 于是n =(√3,-1,1).又平面AEF 的一个法向量为p =(0,1,0). 所以cos<n ,p >=n ·p |n||p|=-√55. 由题设知二面角F-AE-B 为钝二面角, 所以它的余弦值为-√55.(3)因为BE ⊥平面AOC,所以BE ⊥OC,即BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 因为BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2,√3(a-2),0),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,√3(2-a),0),所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2(a-2)-3(a-2)2.由BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0及0<a<2,解得a=43.(4)由(3)可知A (0,0,4√33),F (-43,0,0),E (43,0,0),B (2,2√33,0), ∴AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(-43,0,-4√33),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-23,-2√33,0), ∴cos<BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AF ⃗⃗⃗⃗⃗·BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=8983×43=14, ∴BE 与AF 所成角的余弦值为14.综合篇知能转换【综合集训】考法一 求异面直线所成角的方法1.(2017课标Ⅱ,10,5分)已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC 1=1,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( ) A.√32B.√155C.√105D.√33答案 C2.(2019吉林长春外国语学校一模,15)如图所示,平面BCC 1B 1⊥平面ABC,∠ABC=120°,四边形BCC 1B 1为正方形,且AB=BC=2,则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为 .答案√64考法二 求直线与平面所成角的方法3.(2018江苏,22,10分)如图,在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB=AA 1=2,点P,Q 分别为A 1B 1,BC 的中点. (1)求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值;(2)求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值.解析 如图,在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,设AC,A 1C 1的中点分别为O,O 1, 则OB ⊥OC,OO 1⊥OC,OO 1⊥OB,以{OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为基底,建立空间直角坐标系O-xyz.因为AB=AA 1=2,所以A(0,-1,0),B(√3,0,0),C(0,1,0),A 1(0,-1,2),B 1(√3,0,2),C 1(0,1,2). (1)因为P 为A 1B 1的中点,所以P (√32,-12,2).从而BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√32,-12,2),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2).故|cos<BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×2√2=3√1020. 因此,异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为3√1020. (2)因为Q 为BC 的中点,所以Q (√32,12,0),因此AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,0),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2),CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2).设n =(x,y,z)为平面AQC 1的一个法向量,则{ AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{√32x +32y =0,2y +2z =0.不妨取n =(√3,-1,1). 设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ, 则sin θ=|cos<CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n||CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n|=√5×2=√55,所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为√55.4.(2018湖北八校4月联考,18)如图,四边形ABCD 与BDEF 均为菱形,FA=FC,且∠DAB=∠DBF=60°. (1)求证:AC ⊥平面BDEF;(2)求直线AD 与平面ABF 所成角的正弦值.。
8.6 空间向量及其运算 2021年高中总复习优化设计一轮用书理数
(3)对于空间非零向量a,b,a⊥ b⇔a·b=0. ( √ ) (4)对于非零向量b,由a·b=b·c,得a=c. ( × ) (5)非零向量a,b,c满足(a·b)·c=a·(b·c).( × )
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已知两个非零向量a,b,则 叫做向量a,b的数量积,
记作 ,即a·b= |a ||b |c os< a.,b>
a·b
|a||b|cos<a,b>
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知识梳理 双基自测
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4.空间向量的坐标表示及其应用 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
a1b1+a2b2+a3b3 a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3
思考如何利用空间向量的数量积求长度?
考点1
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考点3
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考点1
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考点1
考点2
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对点训练3 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱 PA的长为2,且PA与AB,AD的夹角都等于60°,M是PC的中点,
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解：(1)∵ M是PC的中点,
BB1的中点,则直线AM和CN所成角的余弦值为 .
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答案
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知识梳理 双基自测
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解析 以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴正半轴建立空 间直角坐标系,
则A(1,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),B(1,1,0),C(0,1,0),
2021新教材高中数学习题汇编全册习题(新人教A版选择性必修一)
高中2021级数学组归基础系列之敎耐习廳选编新人救夬版迭择牲決修~高2021級敷孝紐編2020年9月选择性必修一目录第一⅞空间向：与「: T J (1)1.1空间向量及其运算 (1)1丄1空间向量及其钱性运工 (1)1.1.2空间甸量的或、量和运彳 (2)习題1.1 (4)1.2空间向量基本定理 (6)习＜1.2 (8)1∙3空间向量及其运算的坐标表示 (9)1.3」空间直伤蜚标系 (9)1.3.2空间向量込算的出标表示 (10)习題1.3 (12)1.4空间向量的应用 (13)1.4」用空冋向量研紀直优、平面的位置关系 (13)1.4.2用空间向耆列宛犯爲、矣令问题 (15)习＜1.4 (19)复习参考题1 (23)第二章直线和圆的方程 (28)2.1直线的倾斜角与斜率 (28)2.1.1f⅛44 ⅛ 与卅牟 (28)2.1.2两芻直观平有■和麦直的学I定 (28)习＜2.1 (29)2.2直线的方程 (30)2.2.1直伐的点铜犬方程 (30)2.2.2 1 A的两点天方程 (30)2.2.3直後的一般天方程 (31)习題2.2 (32)2.3直线的交点坐标与距离公式 (33)2.3.1两条直坯的交点坐标 (33)2.3.2两点间的亚禹分天 (34)2.3.3Λ到直钱的能离分炙 (34)2.3.4两条平行直钱间的距离 (34)习< 2.3 (35)2.4圆的方程 (36)2.1.1圆的标准方程 (36)2.4.2冈的一般方程 (37)习題2.4 (37)2.5直线与圆、圆与圆的位置 (38)2.5.1 ®的位豐关系 (38)2.5.2国寺冈的位賈关系 (39)习題2.5 (39)复习参考题2 (41)第三章圆锥曲线的方程 (43)3.1椭圆 (43)3.1.1楙Ia及必标准方程 (43)3.1.2楠圆的简車几何性质 (44)习<3.1 (45)3.2双曲线 (47)3.2.1玖曲钱及其标准方程 (47)322玖曲钱的简单几何性质 (48)习題3.2 (49)3.3抛物线 (50)3.3.1极扬钱及必标複方程 (50)3.3.2拋物钱的简单几何性质 (51)习題3.3 (52)复习参考题3 (54)第一章空间向量与立体几何1∙1空间向量及其运算01.1.1 ⅛伺童及其松Fi迪耳1.如图1.1-9.已知平行四边形43CD过平面AC外一点O作射线04 OBOe r, OD,在四条射线上分别取点E, F, G, H,使詹=箸=箸=笏=血.求证：E,F,G,H四点共面.图 1.1-92.举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例.3.如图.E、F分别是长方体ABCD-ABCD的棱AB, CQ的屮点•化简下列表达式,并在图屮标出化简结果的向呈:V—► —> (IW-CB;(3)AB-ΛZ> + F5;4 •在图1.1-6中，用乔,刁万,兀？表示花■而及芮.l¥|l.l-G5•如图•己知四而体ABCD 、E 、F 分别是EC, CD 的中点•化简下列表达式,并在图中标出化简结果的向 ⅛:;(3) AF--J(AB + AC). 6•如图，已知正方体ABCD 一 AB ,C'D∖E. F 分别是上底面Ae f 和侧而Cci 的中心•求下列各式中x, y 的(1) AC=X(AB^BC^C(2) AE = AA + XAb + y AD;(3) ΛF = AD + XAB + 加 1(I) AB ・ AD ； (2)AC ,的长(精确到0.1).8.如图1.1-13, m,n 是平面"内的两条相交直线•如果IlmJ 丄仏求证:l±a.(I)AB+BC + CD; (2)AB + ^(B D + BC)7.如图 1.1 一 12.在平行六而体 ABCD - AB tC D 中 9AB = ^.AD = 3.AA = 7∙ZBAD = GO 0, ΔBAA = ZDAA = 45\ 求:图 1.1-129•如图，在止三棱柱ASC-Λ1B1C1ψ,若43 = √2ββ1,则4B与BG所成角的大小为（）.(A) 60°(B) 90°(C) 105°(D) 75°10.如图，止方体ABCD _ A B C D'的棱长为l,设AB = ^AD=b.AA, = c.求:(l)α∙ (S +c);(2)α∙ (α÷ S÷c);(3)(α + S) ∙ (S÷c).11 •如图，在平行六面体ABCD-ABC D,中= Ar) = 3, AA = 5, ΔBAD = 90°, ΔBAA! = ΔD A A = 6().求:(1)ΣJ ∙ AB; (2)AB'的长；(3)AC的长.12•如图，线段AB.BD&.平面"内，ED丄AB. A C丄⑺且AB = a.BD = b.AC = c.求CQ 两点间的距离¾½1∙v∖M'在长Z CBEBA(1)写出与向量昴相等的向量；(2)写出与向量而相反的向量；(3)写出与向量丽平行的向量.14.如图，已知平行六面体ABCD-ABCD,化简下列表达式,并在图中标出化简结果的向量. D CB(1)AB + BC-,、.» ■ 1 -►15.证明：如果向量&共线,那么向量2(£ +了与云共线•(3)AB + ΛP + yCC r;16.如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于α, E, F, G分别是棱AB, AD, De的中点•求:DBTk∙"2(I)AB-AC;(4)FF∙BC;⑵瓦S・DS; (5);FG •刼;⑶前疋⑹彥•房.17.如图，在平行六面体.ABCD-A B x C x D中9 AC与BD的交点为M•设A^l=a9A^D l =b9 A^A = c9则下列向量中与商相等的向量是（）.(B)Ia+ -∣S÷c(D)-Ia-∣^ + cI &如图，C知E,F,G,H分别为四面体ABCD的棱AB, BC, CD, DA的中点,求证：E, F, G,H四点共面. 19•如图，正方体ABCD - AB D,的棱长为a.⑴求丄3和BC的夹角;⑵求证：AB丄AC'.20•用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂宜，那么它也与这条斜线垂直（三垂线定理）21•如图，在四面体OABCΦ, OA丄ECQE丄AG求证：OC丄ADAO22•如图,在四面体OABC屮，OA = OBCA = CB、E、F, G,H分别是OA. OB.BC、CA的中点,求证:四边形EFGH是矩形。
2021年高中数学3.1.1空间向量及其加减运算学案含解析人教A版选修2_1
3.1.1 空间向量及其加减运算[目标] 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的加减运算及其运算律，理解向量减法的几何意义．[重点] 空间向量加减运算及其几何意义．[难点] 向量加减运算由平面向空间的推广．知识点一空间向量的有关概念[填一填]1．定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度：向量的大小叫做向量的长度或模．4．几类特殊向量[答一答]1．向量可以用有向线段表示，那么有向线段是向量吗？提示：不是．虽然有向线段既有大小又有方向，但它不是一个量．2．如何理解零向量的方向？提示：由于零向量的长度为零，可以理解为表示零向量的有向线段长度为零，因此可以理解为零向量不是没有方向，而是方向是任意的．3．你能说出平面向量与空间向量的区别与联系吗？提示：(1)区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量．(2)联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量和相等向量的概念都与平面向量相同．知识点二空间向量的加减运算[填一填][答一答]4．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一样吗？提示：因为空间中任意两个向量均可平移到同一个平面内，所以空间向量与平面向量加减法均可以用三角形或平行四边形法则，是一样的．5．共起点的两个不共线向量的和向量所对应的线段是平行四边形的对角线，那么三个不共面的向量的和向量与这三个向量有什么关系？提示：如图，将三个不共面的向量平移至同一起点，以这三个向量所对应的线段为棱作平行六面体，则这三个向量的和向量所对应的线段即为从该起点出发的平行六面体的体对角线．1．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行．2．单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量．3．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量，因而空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加、减法运算．类型一 空间向量的有关概念 【例1】 给出以下命题：①若a ，b 是空间向量，则|a |＝|b |是a ＝b 的必要不充分条件； ②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→；⑥空间中任意两个单位向量必相等． 其中，正确的命题序号是________． 【分析】 用空间向量的有关概念进行判断．【解析】 以上命题①②④⑤正确．两向量若相等，必须方向相同且模相等．但相等的向量起点不一定相同，故③错；两个单位向量虽模相等，但方向不一定相同，故⑥错．【答案】 ①②④⑤与平面向量一样，空间向量也有向量的模、向量的夹角、单位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量的概念.两个向量是否相等，要看方向是否相同，模是否相等，与起点和终点位置无关.(1)把空间所有单位向量归结到一个共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( C )A ．一个圆B ．两个孤立的点C ．一个球面D ．以上均不正确(2)下列命题中正确的个数是( C ) ①如果a ，b 是两个单位向量，则|a |＝|b |； ②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同； ③若a ，b ，c 为非零向量，且a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：(1)单位向量的模为1，把所有空间单位向量移到共同起点后，向量的终点到起点的距离均为1，构成了一个球面．(2)对于①：由单位向量的定义即得|a |＝|b |＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．类型二 空间向量的加减运算【例2】 如图，已知正方体ABCD A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x 、y 、z 的值．(1)BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→； (2)AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→.【解】 (1)∵BD ′→＝BD →＋DD ′→＝BA →＋BC →＋DD ′→＝－AB →＋AD →＋AA ′→， 又BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→，∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)∵AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12A ′C ′→＝AA ′→＋12(A′B ′→＋A ′D ′→)＝AA ′→＋12A ′B ′→＋12A ′D ′→＝12AD →＋12AB →＋AA ′→， 又AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→， ∴x ＝12，y ＝12，z ＝1.灵活运用空间向量的加法与减法法则，尽量走边路即沿几何体的边选择途径，多个向量运算时，先观察分析“首尾相接”的向量，使之结合，使用减法时，把握“共起点，方向指向被减向量”.如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有( D )①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.所以，所给4个式子的运算结果都是AC 1→.故选D. 类型三 有关向量的证明问题【例3】 求证：平行六面体的体对角线交于一点，并且在交点处互相平分． 【分析】 解决这个问题要充分利用课本上的一个结论，即平行六面体体对角线向量AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→.【证明】 如下图，平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′，设点O 是AC ′的中点，则AO →＝12AC ′→＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．设P 、M 、N 分别是BD ′、CA ′、DB ′的中点．则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋12BD ′→＝AB →＋12(BA →＋BC →＋BB ′→)＝AB →＋12(－AB →＋AD →＋AA ′→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．同理可证：AM →＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)，AN →＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．由此可知O 、P 、M 、N 四点重合．故平行六面体的体对角线相交于一点，且在交点处互相平分．利用向量解决立体几何问题的一般思路是：将要解决的问题用向量表示，用已知向量表示所需向量，对表示出的所需向量进行目标运算，再将运算结果转化为要解决的问题.如图，设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心．求证：AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)．解：如图，连结BG ，延长后交CD 于E ，由G 为△BCD 的重心，知BG →＝23BE →.∵E 为CD 的中点， ∴BE →＝12BC →＋12BD →.∴AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BC →＋BD →)＝AB →＋13[(AC →－AB →)＋(AD →－AB →)]＝13(AB →＋AC →＋AD →).1．判断下列命题中为真命题的是( A )A ．向量AB →与BA →的长度相等B ．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等解析：|AB →|＝|BA →|，故选项A 对；选项B 应为球面；选项C ，空间向量可以用有向线段来表示，但不等同于有向线段；选项D ，向量不相等有可能模相等．2．设A 、B 、C 为空间任意三点，则下列命题为假命题的是( C ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →＋BC →＋CA →＝0 C.AB →－AC →＝BC →D.AB →＝－BA →3．如右图，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则BD ′→＝b－a ＋c ，A ′C →＝a ＋b －c .解析：BD ′→＝BD →＋DD ′→＝AD →－AB →＋AA ′→＝b －a ＋c ，A ′C →＝A ′A →＋AC →＝AB →＋AD →＋A ′A →＝a ＋b －c .4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，化简AB →－CD →＋BC →－DA →的结果是2AC →.5．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、DB 的中点，请化简(1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．解：(1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，如图中向量AD →；(2)∵E 、F 、G 分别为BC 、CD 、DB 的中点，∴GD →＝BG →，GF →＝12BC →＝EC →，∴AB →＋GD →＋EC →＝AB→＋BG →＋EC →＝AG →＋GF →＝AF →，如图中向量AF →.。
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课后必刷题[保分必刷题]1．如图，设P ，Q 两点把线段AB 三等分，则下列向量表达式错误的是( )A.AP →＝13AB →B.AQ →＝23AB →C.BP →＝－23AB →D.AQ →＝BP → 答案：D解析：由数乘向量的定义可以得到A ，B ，C 都是正确的，只有D 错误．2．已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( )A ．－2B ．－143 C.145 D ．2 答案：D解析：由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.3．已知a ＝(1,0,1)，b ＝(x,1,2)，且a ·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为( )A.5π6B.2π3C.π3D.π6 答案：D解析：∵a ·b ＝x ＋2＝3，∴x ＝1，∴b ＝(1,1,2)，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝32×6＝32， 又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π6，故选D.4．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A.a 2B.12a 2C.14a 2D.34a 2答案：C解析：AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2，故选C.5．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AM ＝12MC ，A 1N ＝2ND .设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，MN →＝x a ＋y b ＋z c ，则x ＋y ＋z ＝( )A.34B.14C.23D.13 答案：D解析：MN →＝MA →＋AA 1→＋A 1N →＝－13AC →＋AA 1→＋23A 1D →＝－13(AB →＋AD →)＋AA 1→＋23(AD →－AA 1→)＝－13a －13b ＋c ＋23b －23c ＝－13a ＋13b ＋13c ，所以x＝－13，y ＝z ＝13，故x ＋y ＋z ＝13.故选D.6．[多选题][2020·山东济南模拟]已知v 为直线l 的方向向量，n 1，n 2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，那么下列说法中正确的为( )A ．n 1∥n 2⇔α∥βB ．n 1⊥n 2⇔α⊥βC ．v ∥n 1⇔l ∥αD ．v ⊥n 1⇔l ⊥α 答案：AB解析：n 1∥n 2⇔α∥β；n 1⊥n 2⇔α⊥β；v ∥n 1⇔l ⊥α；v ⊥n 1⇔l ∥α或l ⊂α，则正确的是AB ，故选AB.7．已知a ＝(2,3,1)，b ＝(－4,2，x )，且a ⊥b ，则|b |＝________. 答案：2 6解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2×(－4)＋3×2＋1·x ＝0， ∴x ＝2，∴|b |＝(－4)2＋22＋22＝2 6.8．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DA ＝DD 1＝1，DC＝2，点E 是B 1C 1的中点，建立空间直角坐标系D －xyz 如图所示，则|AE →|＝________.答案：132解析：由题意，知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DA ＝DD 1＝1，DC ＝2，点E 是B 1C 1的中点，则A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，1，所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，1，所以|AE →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋(2)2＋12＝132. 9．已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．答案：平行解析：由已知得， AB →＝(0,1，－1)，AC →＝(1,0，－1)，设平面α的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥AB →，m ⊥AC →，得⎩⎨⎧y －z ＝0，x －z ＝0，得⎩⎨⎧x ＝z ，y ＝z ，令z ＝1，得m ＝(1,1,1)．又n ＝(－1，－1，－1)，所以m＝－n ，即m ∥n ，所以α∥β.10．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →)．(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． 解析：(1)由题意知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， 即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知MA →，MB →，MC →共面且过同一点M ， ∴M ，A ，B ，C 四点共面． ∴点M 在平面ABC 内． [提分必刷题]11．如图所示，PD垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E为PB 的中点，cos 〈DP →， AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为( )A ．(1,1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，32 D ．(1,1,2)答案：A解析：设PD ＝a (a >0)，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，a 2.所以DP →＝(0,0，a )，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，a 2.由cos 〈DP →，AE →〉＝33，所以a 22a 2＋a 24＝33，所以a ＝2.所以E 的坐标为(1,1,1)，故选A.12．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG→＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝________.答案：56解析：连接ON ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－12OA →＝12b ＋12c －12a ， OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN → ＝12a ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c －12a ＝16a ＋13b ＋13c ，又OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，所以x ＝16，y ＝13，z ＝13，故x ＋y ＋z ＝16＋13＋13＝56.13．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若动点P 在线段BD 1上运动，则DC →·AP →的取值范围是________．答案：[0,1]解析：由题意，设BP →＝λBD 1→，其中λ∈[0,1]，DC →·AP →＝AB →·(AB →＋BP →)＝AB →·(AB →＋λBD 1→)＝AB →2＋λAB →·BD 1→＝AB →2＋λAB →·(AD 1→－AB →)＝(1－λ)AB →2＝1－λ，因此DC →·AP →的取值范围是[0,1]．14．如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点．计算：(1)EF →·DC →； (2)EG 的长；(3)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值．解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°. (1)EF →＝12BD →＝12c －12a ，D C →＝b －c . EF →·DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(b －c )＝－14. (2)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12AB →＋(AC →－AB →)＋12(AD →－AC →)＝12a ＋b －a ＋12c －12b ＝－12a ＋12b ＋12c ，所以|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a ·b ＋12b ·c －12c ·a ＝12，则|EG |＝22.故EG 的长为22. (3)AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ，所以cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·EE →|AG →||CE →|＝－23.因为异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.[优生必刷题]15．已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →的坐标是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83解析：∵点Q 在直线OP 上，∴设点Q (λ，λ，2λ)， 则QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－432－23.即当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值－23.此时OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.16．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝CD ＝1，∠ACD＝90°，把△ADC 沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，则BD 的长为________．答案：2或 2解析：∵∠ACD ＝90°，∴A C →·C D →＝0， 同理BA →·AC →＝0， 又AB 与CD 成60°角， ∴〈BA →，CD →〉＝60°或120°， ∵BD →＝BA →＋AC →＋CD →，∴BD →2＝BA →2＋AC →2＋CD →2＋2BA →·CD →＝3＋2×1×1×cos 〈BA →，CD →〉，∴|BD →|＝2或 2.。