2014年高教杯全国大学生数学建模竞赛A题 嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题论文答辩
70.9 48.8 29.9 91.3 2.588 1.056 2.498
75.7 37.4 33.3 90.8 1.838 1.168 1.702
总计
1.347 2.437 2.984 3.784 2.763
求解参数N与P的关系为
N (P 3) 3
P值太大，反而会影响计算效率，因此，取
P 30 为宜。
rpGM 1.6139 103 m / s ra a
沿运动轨迹切线方向
第2页，共15页。
1.问题一：着陆准备轨道近月点和远月点的位置
加速度为：
d 2Z dt 2
e i
d 2r dt 2
r d
dt
2
i
r
d 2
dt 2
2 dr dt
d
dt
对嫦娥三号进行受力分析，由牛顿第二定律得：
mMG ei
2014年高教社杯全国大学生数学建模竞赛
A题： 嫦娥三号软着陆轨道设计
与控制策略
第1页，共15页。
1. 问题一：嫦娥三号速度的大小和方向
vp
(1 e )
(1 e )a
(1 e )
va (1 e )a
联立上式可得近月点（近拱点），远月点（远拱点）的速度：
vp
va
raGM 1.6922 103 m / s rp a
当 rp 1752.013 103 m 时，解得 cos ，则-1 ； 180
当 ra 1837.013 103 m 时，解得 cos，则1 。 0
则在近月点的位置是 （180，1752.013 103 )
远月点的位置是 （0，1837.013 103 )
第4页，共15页。
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：07033001 所属学校（请填写完整的全名）：吉林师范大学博达学院参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
）日期： 2014 年 9 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要本文针对嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略问题，通过提取题目中的信息，利用拱点的概念、B 样条函数逼近的统计定位方法、非线性规划问题及哈密尔顿函数为理论基础进行了完整的建模工作。
全国大学生数学建模竞赛历年赛题
全国大学生数学建模竞
赛历年赛题
Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
全国大学生数学建模竞赛历年赛题
2009：AB
CD
2010：A储油罐的变位识别与罐容表标定
B2010年上海世博会影响力的定量评估
C输油管的布置
D对学生宿舍设计方案的评价
2011:A城市表层土壤重金属污染分析
B交巡警服务平台的设置与调度
C企业退休职工养老金制度的改革
D天然肠衣搭配问题
2012:A葡萄酒的评价
B太阳能小屋的设计
C脑卒中发病环境因素分析及干预
D机器人避障问题
2013:A车道被占用对城市道路通行能力的影响
B碎纸片的拼接复原
C古塔的变形
D公共自行车服务系统
2014:A嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略B创意平板折叠桌
C生猪养殖场的经营管理
D储药柜的设计
2015:A太阳影子定位
B“互联网+”时代的出租车资源配置
C月上柳梢头
D众筹筑屋规划方案设计。
嫦娥三号软着陆过程(数模竞赛附件2)
附件2：嫦娥三号软着陆过程的六个阶段及其状态要求1. 嫦娥三号软着陆过程示意图附图4嫦娥三号软着陆过程示意图2.嫦娥三号软着陆过程分为6个阶段的要求（1）着陆准备轨道：着陆准备轨道的近月点是15KM，远月点是100KM。
近月点在月心坐标系的位置和软着陆轨道形态共同决定了着陆点的位置。
（2）主减速段：主减速段的区间是距离月面15km到3km。
该阶段的主要是减速，实现到距离月面3公里处嫦娥三号的速度降到57m/s。
（3）快速调整段：快速调整段的主要是调整探测器姿态，需要从距离月面3km到 2.4km处将水平速度减为0m/s，即使主减速发动机的推力竖直向下，之后进入粗避障阶段。
（4）粗避障段：粗避障段的范围是距离月面2.4km到100m区间，其主要是要求避开大的陨石坑，实现在设计着陆点上方100m处悬停，并初步确定落月地点。
嫦娥三号在距离月面2.4km处对正下方月面2300×2300m的范围进行拍照，获得数字高程如附图5所示（相关数据文件见附件3），并嫦娥三号在月面的垂直投影位于预定着陆区域的中心位置。
附图5：距月面2400m处的数字高程图该高程图的水平分辨率是1m/像素，其数值的单位是1m。
例如数字高程图中第1行第1列的数值是102，则表示着陆区域最左上角的高程是102米。
（5）精避障段：精细避障段的区间是距离月面100m到30m。
要求嫦娥三号悬停在距离月面100m 处，对着陆点附近区域100m范围内拍摄图像，并获得三维数字高程图。
分析三维数字高程图，避开较大的陨石坑，确定最佳着陆地点，实现在着陆点上方30m处水平方向速度为0m/s。
附图6是在距离月面100m处悬停拍摄到的数字高程图（相关数据文件见附件4）。
附图6：距离月面100m处的数字高程图该数字高程的水平分辨率为0.1m/像素，高度数值的单位是0.1m。
（6）缓速下降阶段：缓速下降阶段的区间是距离月面30m到4m。
该阶段的主要任务控制着陆器在距离月面4m处的速度为0m/s（合速度），即实现在距离月面4m处相对月面静止，之后关闭发动机，使嫦娥三号自由落体到精确有落月点。
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛(A)题目
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A题嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。
嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。
在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。
嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m（见附件1）。
嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。
其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（见附件2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。
根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。
（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。
（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。
附件1：问题的背景与参考资料；附件2：嫦娥三号着陆过程的六个阶段及其状态要求；附件3：距月面2400m处的数字高程图；附件4：距月面100m处的数字高程图。
附件1：问题A的背景与参考资料1．中新网12月12日电(记者姚培硕)根据计划，嫦娥三号将在北京时间12月14号在月球表面实施软着陆。
嫦娥三号如何实现软着陆以及能否成功成为外界关注焦点。
目前，全球仅有美国、前苏联成功实施了13次无人月球表面软着陆。
北京时间12月10日晚，嫦娥三号已经成功降轨进入预定的月面着陆准备轨道，这是嫦娥三号“落月”前最后一次轨道调整。
2014-高教社杯全国大学生数学建模竞赛AB题评阅要点
2021 高教社杯全国大学生数学建模比赛A 题评阅要点[说明]本要点仅供参考, 各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答, 自主地进行评阅。
对本问题应该给出合理的建模假定, 譬如: 惯性坐标、二体问题等, 并加以分析说明。
问题1: 在已知的条件下, 确定嫦娥三号在环月轨道上近月点与远月点的相对位置和速度（1) 建立合理适用的坐标系。
（2) 对嫦娥三号进行受力分析, 建立其运动学和准备轨道的数学模型（譬如: 微分方程等模型) 。
（3) 通过求解数学模型得. 到数值结果。
问题2: 确定软着陆轨道与6 阶段的控制策略由问题对着陆轨道 6 个阶段的要求, 每个阶段都应给出起止状态（速度和位置) 和最优控制策略（推力大小和方向) , 以满足各阶段起止状态的需求。
（1) 建立各阶段的最优控制模型, 明确给出控制变量、状态变量、状态方程、约束条件和目标函数。
（2) 在粗避障和精细避障阶段挑选落点时, 需要综合考虑月面的平整度、光照条件、着陆控制误差等因素, 确定最理想的着陆地点。
（3) 各阶段的控制问题是一个无穷维的优化问题, 可以通过合理的简化（譬如离散化为有限维的优化问题) 求解得. 到合理的数值结果, 即最优的控制策略。
（4) 若未按题目要求按6 阶段设计最优控制策略, 而照抄某些文献的两阶段或三阶段的处理方法, 不能视为较好的论文。
问题3: 着陆轨道设计和控制策略的误差分析与敏感度分析对问题的稳定性有影响的误差包括:（1) 着陆准备轨道参数（近月点位置和速度) 的误差；（2) 分阶段分析发动机推力（大小和方向) 的控制误差；（3) 模型的简化假定、模型的近似与求解过程等综合分析误差；加入能针对以上几个因素对问题结果的影响及程度做相应的敏感度分析, 应给予肯定。
2021高教社杯全国大学生数学建模比赛B题评阅要点[说明]本要点仅供参考, 各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答, 自主地进行评阅。
本题主要考查学生对直纹面的描述、建模和计算功底。
2014年数学建模A题-省一等奖
关键词：软着陆、SQP算法、轨道优化、景象匹配
1
一
1.1 问题的背景
问题重述
中国是继美国、前苏联之后的第三个能使卫星登上月球实现软着陆的国家。因此， 嫦娥三号如何实现软着陆以及能否成功成为外界关注的焦点。北京时间 12 月 10 日晚， 嫦娥三号已经成功降轨进入预定的月面着陆准备轨道，这是嫦娥三号“落月”前最后一 次轨道调整。在实施软着陆之前，嫦娥三号还将在这条近月点高度约 15 公里、远月点 高度约 100 公里的椭圆轨道上继续飞行。 嫦娥三号着陆地点选在较为平坦的虹湾区。但由于月球地形的不确定性，最终“落 月”地点的选择仍存在一定难度。但嫦娥三号的预定着陆点为 19.51W，44.12N，海拔为 -2641m。在大约距离月球 15 公里时，反推发动机就要点火工作；到离月球 100 米时， 卫星将暂时处于悬停状态，此时它已不受地球上工程人员的控制，因卫星上携带的着陆 器具有很高智能，它会自动选择一块平整的地方降下去，并在离月球表面 4 米的时候关 闭推进器，卫星呈自由落体降落，确保软着陆成功。为了确保探测器能够成功在月球表 面实现软着陆，需要认真设计降落过程中探测器的发动机的控制方案，使“嫦娥 3 号” 能够顺利完成科研任务，得到最大化的应用。由于月球上没有大气，嫦娥三号无法依靠 降落伞着陆，只能靠变推力发动机，才能完成中途修正、近月制动、动力下降、悬停段 等软着陆任务。 这将是中国航天器首次在地外天体的软着陆和巡视勘探， 同时也是 1976 年后人类探测器首次的落月探测。 嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t， 其安装在下部的主减速发动机能够 产生 1500N 到 7500N 的可调节推力。在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过 多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。 要保证准确地在月球预定区域内实现 软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准 备轨道为近月点 15km，远月点 100km 的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其 软着陆过程共分为 6 个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆 过程的燃料消耗。 1.2 提出问题 根据上述的叙述以及基本要求，提出以下三个问题： （1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与 方向。
数学建模获奖论文A题-嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要随着人类的进步和科技的发展，人类对太空和月球的探索已经取得了很大的进步。
我国的探月工程项目也一直走在世界前列。
嫦娥三号是我国首次实行外天体软着陆任务的飞行器，在世界上首先实现了地外天体软着陆自主避障。
对于嫦娥三号软着陆过程虽然有很多的研究成果，但这仍然是一个永远值得我们研究的问题。
本文首先分析了嫦娥三号运行轨道的近月点和远月点的速度，然后确定了近月点和远月点的位置。
在这基础上，对嫦娥三号软着陆轨道进行拟合确定，通过制导技术分析六个阶段最优控制策略。
最后，对确定的轨道和最优控制策略进行误差分析和敏感性分析。
在对问题一近月点和远月点位置确定和速度分析时，本文建立了动力学模型，通过万有引力定律求得在近月点的飞行速度为1.67km/s，在远月点的速度为1.63km/s，然后用微元迭代的方法，解得近月点的位置19.51W,32.67N,15km，远月点的位置160.49E,32.67S，100km。
在轨道的确定过程中，为了便于研究，将嫦娥三号软着陆的轨道划分为三个阶段。
第一个阶段是从近月点到距月球表面2400米的高空，在这一阶段的研究中，本文建立了基于软着陆二维动力学模型，然后根据所得到的数据确定轨道，进而用MATLAB拟合出轨道。
第二阶段是从距月球表面2400米到4米，考虑到要避开月球表面障碍物，所以，用MATLAB将附件 3中的图像进行平面和三维作图，从而根据所做出的图像确定出此阶段的运行轨道。
在第三阶段的划分是嫦娥三号从4米处开始做自由落体运动，这个阶段的轨迹是一条直线。
在六个阶段运动过程的最优控制策略研究中，首先运用显示制导法进行六个阶段燃料的最优控制，约束条件是嫦娥三号在每个阶段燃料的使用尽量少。
然后用模拟退火遗传算法对六个阶段的轨道最优化进行设计，得出嫦娥三号着陆过程每个阶段最优轨道控制，通过避障制导技术得出嫦娥三号软着陆六个阶段的最优控制策略。
关键词：二维动力学模型最优控制策略显示制导法一. 问题重述嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。
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我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：所属学校（请填写完整的全名）：许昌学院参赛队员(打印并签名) ：1. 张彦平2. 李晓伟3. 吴海峰指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
）日期： 2014 年 9 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：A 题 嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要对于问题一：由于嫦娥三号从近月点下落到着陆点的经度偏移很小，以月球庞大的体积来说几乎可以忽略不计，而且资料中也没有给出嫦娥三号下落过程中的经度偏移数据，所以我们可以假设嫦娥三号的近月点在月球上的投影坐标与着陆点在同一条经线上。
根据嫦娥三号的质量和月球的引力等我们可以使用开普勒第二定律和能量守恒定律计算出嫦娥三号近月点远月点的速度分别为：1V =1.6927*310(m/s)2V =1.6144*310(m/s)方向分别为：近月点的方向相对于。
然后可以根据距离与纬度的换算公式计算出嫦娥三号近月点和远月点的位置为：近月点：19.51W,44.12N,海拔15000m, 远月点：160.09E ，44.12S ，海拔100000m 。
然后我们根据附件中给出的嫦娥三号的具体参数使用万有引力定律 。
对于问题二：因为从高空一点向地面某一区域抛投物体有很多条轨迹，所以我们先计算出着陆轨道的六个阶段的最优控制策略，然后通过最优控制策略计算出一条最优着陆轨道。
由于问题要求尽量减少软着陆过程的燃料消耗，所以我们建立基于燃料节省的最优控制策略。
首先，建立动态优化模型，然后利用lingo 对模型进行规划，通过lingo 计算出六个阶段的最佳用时。
然后根据计算所得的数据利用指数函数进行拟合，使用MATLAB 画出着陆轨道各个方面的平面轨迹，这些平面轨迹就是着陆轨道的各方面的分解参数，综合起来就是着陆轨道的轨迹。
对于问题三：由于引起误差的原因是多方面的，所以在进行误差分析时要全面考虑问题。
我们通过敏感性分析得出这些误差对制导过程的影响，其中主要的误差影响因素是可变推动力，悬停时间，和避障阶段的水平运动。
比冲、着陆所用总时间等不可测因素，在飞行过程中参数会由于一些因素的影响而产生一定的偏差，我们采用单因素敏感分析法，通过变动某个不可测因素得到新的着陆轨迹，与原轨迹进行比较。
从仿真曲线图可以看出，优化轨道变化平缓，这些系统偏差对显式制导律的着陆效果并没有实质上的影响，都满足终端约束条件。
关键字：软着陆轨道 动态优化模型 误差分析 敏感性分析一问题重述1.1问题背景描述：嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。
嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。
在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。
嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。
嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。
其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，需要满足每个阶段在关键点所处的状态；并且尽量减少软着陆过程的燃料消耗。
嫦娥三号着陆地点选在较为平坦的虹湾区。
但由于月球地形的不确定性，最终“落月”地点的选择仍存在一定难度。
据悉，嫦娥三号将在近月点15公里处以拋物线下降，相对速度从每秒1.7公里逐渐降为零。
时整个过程大概需要十几分钟的间。
探测器系统副总指挥谭梅将其称为“黑色750秒”。
1.2问题研究：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置（以三维坐标表示），以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。
（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。
（3）对我们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。
二问题分析2.1 对于问题（1）：要分两步来解决，第一步计算出近月点和远月点的位置，第二步计算出近月点和远月点相应的速度和方向。
通过分析，我们知道要求近月点和远月点的位置需要先求出近月点的速度，因此我们要先算出近月点和远月点相应的速度和方向。
对此，需要考虑很多因素，比如太阳的引力摄动，地球的引力摄动，月球的引力摄动等，不过这些因素对方向和速度的影响很小几乎可以忽略不计，所以可以使用开普勒定律和能量守恒定律建立模型求解速度。
通过速度求位移进而求出速度的方向。
第一步要求我们在月球赤道经线黄道经线，卫星轨道的升交点和星下线未知的情况下求解，通过查资料我们发现嫦娥三号在下落过程中经度的偏移很小，近月点与着陆点几乎处在同一条经线上，所以我们假设近月点和着陆点处在同一条经线上。
然后就可以通过嫦娥三号在着月点坐标推算出嫦娥三号在着陆准备轨道的近月点和远月点位置。
由于位置可以用三维坐标（即经纬坐标加海拔）来表示，所以我们可以通过计算近月点在月球上的投影坐标和资料中给出的着陆轨迹来推算近月点的位置，近月点的位置计算出来以后远月点的位置也就相应的可以得出。
2.2 对于问题（2）：同样分为两步来计算，第一步确定嫦娥三号的着陆轨道，第二步确定嫦娥三号的着陆轨道六个阶段的最优控制策略。
嫦娥三号的着陆轨道有很大的不确定性，在下落过程中也不是一条严格意义上的抛物线，所以想要确定这样的一条线路有很大难度，对于现在的我们来说几乎是不可能完成的工作。
所以我们先计算资料中叙述比较详细的六个阶段的最优控制策略然后根据策略计算出着陆轨道。
由于软着陆分为六个阶段，每个阶段主推动器的推力不是固定的，所以在计算过程中要考虑燃料的消耗和主推动器的推力。
在下落过程中嫦娥三号在不停的调整姿势，所以它的受力方向也是在不断改变的，这些不确定因素加大了我们计算最优策略的难度。
为了简化计算过程我们需要通过假设消除一些不稳定因素。
得到相对理想的状态后，我们就根据动力学原理建立飞行动力学模型，然后通过lingo可以计算出最优控制策略的方案。
因为快速调整阶段之后的三个阶段处于垂直下降状态，所以它们的轨迹可以假定为一条直线，着陆点的坐标已给出这三个阶段的高度也已经给出，所以这三个阶段的轨迹无需计算。
而着陆准备轨道阶段的轨迹可以由近月点和远月点的位置确定，这个问题在第一问时已经解决，所以着陆轨道的轨迹只需要考虑主减速阶段和快速调整阶段的轨迹。
可以考虑用着陆轨道的水平夹角，水平位移、垂直位移与时间的关系等来确定着陆轨道的轨迹。
2.3对于问题（3）：由于资料中涉及到的数据极少，而且没有真值作为参考，所以相对误差和绝对误差的误差计算方法在本题并不适用。
所以，我们试图通过对一些不确定因素和计算过程中忽略和假设的因素进行综合比较分析出误差的形成原因及后果。
通过单因素敏感分析建立敏感性分析模型，然后计算出误差对制导过程的影响程度。
三 模型的假设 假设1：假设主减速和快速调整阶段均以抛物线状态下降 假设2：假设快速调整后水平速度为0m/s ，垂直速度为57m/s 假设3：假设嫦娥三号下落点与近月点处于同一经度假设4：假设在软着陆过程的各个阶段嫦娥三号所受推力thrust f 大小分别保持不变 假设5：假设在准备着陆时探测器本身加上推进剂全部质量为3780kg ，且在主减速阶段7500thrust f N （资料显示）假设6：假设嫦娥三号着陆的过程中不会经过陨石带四符号说明V：近月点速度的大小1V：远月点的速度大小2V：近月点水平方向初速度3V：快速调整阶段的末速度4X：着陆轨道主减速和快速调整两个阶段水平方向的位移1X：着陆轨道主减速和快速调整两个阶段垂直方向的位移2r：近月点与月心的距离1r：远月点与月心的距离2M：月球的质量G：万有引力常量m：嫦娥三号的质量a：着陆轨道主减速和快速调整两阶段水平方向加速度1a：着陆轨道垂直方向加速度2t：着陆轨道主减速和快速调整两个阶段的用时：偏离近月点与月心连线的垂线的方向的度数v：以米/秒为单位的比冲；eQ：单位时间燃料消耗的公斤数。
f：第i个阶段所受的推力（i=1,2,3,4,5）im：第i个阶段末探测器本身加上推进剂质量和（i=1,2,3,4,5）iv：第i个阶段末嫦娥三号竖直方向的速度（i=1,2,3,4,5）ih：第i个阶段竖直方向的距离（i=1,2,3,4,5）it：第i个阶段所经历的时间（i=1,2,3,4,5）if：发动机的推力，单位是牛顿；thrust五模型的建立和求解5.1 问题一：5.1.1 名词释义：21tan 0.0172arctan 0.017X X αα⎧==⎪⎨⎪=⎩我们根据资料给出的情况以月心为坐标以近月点为正方向建立月心坐标系，如图5.1.1所示：图5.1.1：月心坐标系嫦娥三号在近月点的速度方向为偏离近月点切线方向度α。
由于资料中给出卫星在主减速阶段之后的位置在着陆点的上方，我们可以通过主减速和快速调整阶段的水平方向的位移根据假设3计算出近月点与着陆点纬度偏差。
通过查找资料我们确定纬度与距离的关系为同一经线上纬度一度的偏差大约为111km 。
综上所述，再根据预定着陆点的三维坐标坐标可以计算出近月点的三维坐标为：19.51W,40.73N,海拔15000m, 远月点三维坐标为：160.09E ，40.73S ，海拔100000m 。