大学物理-第一章 复变函数论基础1
大学数学复变函数
大学数学复变函数数学是一门广泛应用于各个领域的学科，不论是物理学、工程学还是经济学，都离不开数学的支持和应用。
而复变函数作为数学中的一个重要分支，具有多样化的性质和广泛的应用。
本文将对大学数学中的复变函数进行详细的介绍和探讨。
一、复变函数的定义与性质复变函数是数学中的一种特殊函数形式，它的自变量和因变量都是复数。
复变函数可以写成以下形式：f(z) = u(x, y) + i * v(x, y)其中，z = x + i * y，u(x, y)和v(x, y)分别为实部和虚部。
复变函数的定义可以看作是将复平面上的点z映射到另一个复平面上的点w，从而建立起了一个函数关系。
复变函数有一些重要的性质：1. 解析性：如果在某个区域内，函数f(z)在该区域上处处可导，则称该函数在该区域内解析。
2. 共轭函数：对于一个复变函数，可以定义其共轭函数。
共轭函数是将函数中所有虚部的符号取反而得到的的函数。
3. 调和函数：对于一个复变函数，如果其实部和虚部都是调和函数，则称该函数为调和函数。
4. 周期性：复变函数可以具有周期性，即存在某个常数T，使得f(z + T) = f(z)对于所有的z成立。
5. 极限性质：与实变函数类似，复变函数也具有极限性质，包括一致收敛、点态收敛等。
二、复变函数的应用复变函数在物理学、工程学、经济学等领域中有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用领域：1. 电路理论：复数电路理论是电工学中的一个重要部分，复变函数可以用来分析交流电路的性质和行为。
2. 信号处理：在信号处理领域，复变函数有着广泛的应用。
例如，复数域中的傅里叶变换在信号处理中起着重要的作用。
3. 流体力学：复变函数在流体力学中的应用也非常广泛。
例如，通过复变函数可以分析流体的速度场、流线场等。
4. 统计学：复变函数在统计学中也有重要的应用，特别是在复数域中的概率论和数理统计学中。
5. 工程优化：复变函数在工程优化中也发挥着重要的作用。
数学物理方法课件：1-复变函数
n
z
n
ei / n
n
i argz2k
e n ,
k 0,1,2n 1
例： 4 1 i
1 i
2 cos i sin
i
2e 4
4
4
2k
2k
4 1 i 8 2cos 4
i sin 4
,
4
4
(k 0,1,2,3)
9
w0
8
2 cos
16
i sin
16
w2
8
2 cos17
本章首先引入复数的概念及其运算、 平面点集的概念。然后讨论复变函数的连 续性，重点研究解析函数。
3
§1.1 复数与复数运算
（一）复数的概念 1.复数：形如 z= x+ i y 的数被称为复数，其中x ,
y∈R。x=Rez，y=Imz分别为 z 的实部和虚部，i为
虚数单位，其意义为i2=-1
复数相等：z1=z2当且仅当Rez1= Rez2且Imz1= Imz1
绪论
“数学物理方法”研究物理问题中遇到的数学方 程的求解方法。本课程在高等数学和普通物理 学的基础上论述数学物理中的常用方法，为后 续的理论物理课和专业课做准备。
课程的主要内容有：复变函数论和数学物理方程 两大部分。
1
绪论
教材与参考书： ➢ 梁昆淼，《数学物理方法》（第四版），高等教育出版社，
2010年 ➢ 斯颂乐，徐世良等《数学物理方法习题解答》，天津科学
z x iy
代数式
y
z(x, y) cos i sin (三角式)
ei
（指数式）
O
x
x2 y2 z
Argz,
复变函数1-4章
(三) 复变函数的积分（8学时)
内容：复变函数积分的定义、性质和计算；柯西－古萨（Cauchy－Goursat） 基本定理及其推广-复合闭路定理；Cauchy积分公式及解析函数的高阶导数； 解析函数与调和函数的关系。 1.基本要求 （1） 理解复变函数积分的概念，掌握复变函数积分的基本性质及一般计算 方法。 （2） 理解柯西－古萨基本定理及其推论。 （3） 熟练掌握用柯西积分公式及高阶导数公式计算积分的方法。 （4） 了解摩勒拉(Morera）定理。 （5） 了解调和函数与解析函数的关系，会从解析函数的实（虚）部求 其虚（实）部。； 2.重点、难点 重点：柯西－古萨基本定理及柯西积分公式。 难点：摩勒拉(Morera）定理。 3.说明：本章内容是整个复变函数理论的基础。
3
复变函数发展的三个节点：
1、Euler公式 在复数域 下把三角函数、双曲函数和指数函数统一起来； 2、Cauchy-Riemann条件 u ; u
x y y x
eix cos x i sin x
定义出最重要的解析函数，其函数与方向无关，即 f (z)dz 0 3、幂函数闭路积分
(conjugate)
( 2) z z
(4) z z 2 Re (z ) z z 2i Im (z )
1 z z | z |2
18
z1 z1 ( ) z2 z2
2 2
( 3 ) z z R e ( z ) Im ( z ) x y
2
2
例1 : 设z1 5 5i , z 2 3 4i , z1 z1 求 , ( )及 它 们 的 实 部, 虚 部 . z2 z2
Complex Analysis
数学物理方法讲义
《数学物理方法》（Methods of MathematicalPhysics）《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。
课程内容：复变函数（18学时），付氏变换（20学时），数理方程（26学时）第一篇复变函数（38学时）绪论第一章复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第四章幂级数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉斯变换第二篇数学物理方程（26学时）第九章数理方程的预备知识第十章偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪 论含 义使用数学的物理——（数学）物理 物理学中的数学——（应用）数学Mathematical Physics方 程1=x{222111c y b x a c y b x a =+=+()t a dtdx= ⎰=)(t a xdt常微分方程0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x dt x d ω ()C t A x +=ωcos偏微分方程——数学物理方程0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ψψψ ()z y x ,,ψψ=12=x()ψψψψψz y x U zy x m h t h i ,,22222222+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂()t z y x ,,,ψψ=复 数1. 数的概念的扩充正整数（自然数） 1，2，…运算规则 ＋，－，×，÷，()2，－ 121-=-负 数 0，-1，-2，…整 数 …，-2，-1，0，1，2，…÷ 5.021= 333.031=有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数414.12=无理数 无限不循环小数 实 数 有理数、无理数i =-1 虚 数y i复 数 实数、虚数、实数＋虚数 yi x y x +,,2. 负数的运算符号12-=xi x ±=i 虚数单位，作为运算符号。
01_复变函数
§1.2 复变函数
邻域：以复数z 为圆心， 为半径作圆:|z-z0|<ε ， 邻域：以复数 0为圆心，任意小正实数ε为半径作圆 则圆内所有点的集合称为z 的邻域。 则圆内所有点的集合称为 0的邻域。 去心邻域： 所确定的点集。 去心邻域： 0<|z-z0|<ε 所确定的点集。 内点: 及其邻域均属于平面点集E, 则称z 为该点集的内点。 内点 若z0及其邻域均属于平面点集 则称 0为该点集的内点。 外点: 及其邻域均不属于点集E, 则称z 为该点集的外点。 外点 若z0及其邻域均不属于点集 则称 0为该点集的外点。 境界点：若在z 的每个邻域内，既有属于E的点 又有不属于E 的点， 境界点：若在 0的每个邻域内，既有属于 的点，又有不属于 的点，则称z 点集E的境界点 它既不是内点也不是外点， 的境界点， 的点 ， 则称 0为 点集 的境界点， 它既不是内点也不是外点， 其全体称为境界线 境界线。 其全体称为境界线。
z = x + iy ↔ ( x , y )
(x, y)
x
x
欧拉公式： 欧拉公式： eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ
iϕ ( iϕ ) ( iϕ ) ( iϕ ) ( iϕ ) + + + + ⋅⋅⋅ e = 1+ + 1! 2! 3! 4! 5! iϕ ϕ 2 iϕ 3 ϕ 4 iϕ 5 = 1+ − − + + + ⋅⋅⋅ 1! 2! 3! 4! 5! ϕ2 ϕ4 ϕ ϕ3 ϕ5 = 1 − + + ⋅⋅⋅ + i − + + ⋅⋅⋅ 2! 4! 1! 3! 5!
ρ称为复数的模，记 作|z|；ϕ 称为辐角，记作 称为复数的模， 辐角， ； 称为辐角 记作Argz。 。
复变函数课件第一章1-3节
2. 复球面的定义 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的 点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球 面上的点来表示复数. 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复 平面上的无穷远点相对应, 记作∞. 因而球面上 的北极 N 就是复数无穷大∞的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对 应, 这样的球面称为复球面.
L z1 z z2
(j=1,2)的直线；
（2）中心在点(0, -1), 半径为2的圆。 o x 解 （1） z=z1+t (z2-z1) （-∞<t <+∞）
( 2)
z − (− i ) = 2
y
例2 方程 Re(i z) = 3 表示 什么图形？ 解 设 z = x + iy
(z)
Re(iz ) = 3
例4.试用复数表示圆的方程 a( x 2 + y 2 ) + bx + cy + d = 0 (a ≠ 0, bc不全为0)
例5.证明 : z1 + z 2 + z1 − z 2 = 2 z1 + z 2
2 2 2
(
2
)
§2 复数的表示方法
1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法
z1
z2 - z1
(三角不等式 )
o
z2
x
3. 三角表示法
⎧ x = r cosθ 由⎨ 得 ⎩ y = r sin θ
4. 指数表示法
再由Euler公式 : e iθ = cosθ + i sin θ得
z = r (cos θ + i sin θ )
z = re
大学物理-复变函数
定义：连通阶数——区域不相连接的边界数目 n。
n = 1：单连通区域；n > 1：复连通区域
单连通区域与复连通区域的本质区别： 区域中任一闭合曲线能否连续变形而缩成一点。 连续变形：变形时不能通过不属于 D 的区域。 降低连通阶数的方法：做割线将两条边界线连接起来。 应用：可将单连通区域成立的定理推广到复连通区域。
则 w i z2 r2ei2
r2, 2
Z 平面上的点映射到 W 平面上时，其模平方，而辐角 加倍，由此可见，Z 平面上的第 I 象限变成 W 平面上的上 半平面如图 1-2-6。
我们来看，映射 w= z2 将 Z 平面上的什么曲线变成 W 平面上的平行于坐标轴的直线族
u c 和 v c' 为此将 z2 展开： w z2 x2 y2 2ixy
三、复变函数的几何意义——由 Z 平面到 W 平面的映射 单值实变量函数 y = f (x)，可表示为平面上的一条曲线。 对于单值复变量函数：
自变量 z = x + i y，复变函数 w = f (z) = u + i v 四个实变量：x,y；u,v 不能用二维、三维空间中的几何图形表示 z 和 f (z)
办法：用 Z 平面上的点 (x,y) 表示自变量 z 的值，而用另一 个 W 平面上的点 (u,v) 表示复变函数 w = f (z) = u + i v 的值。 对应关系 f (z) ：从 Z 平面到 W 平面的一个映射
——复变函数的几何意义
例：试讨论由函数 w = z2 所实现的映射。
解 令 z rei , w ei
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函 数、双曲函数 初等函数：以上基本初等函数经有限次四则运算及有限项
复变函数1
数学物理方法
特 殊 函 数 篇
数 学 物 理 方 程 篇
复 变 函 数 篇
第一篇 复变函数论
复变函数论
微分 积分
傅里叶积分变换 拉普拉斯积分变换
柯西积分定理 柯西积分公式
留数定理 留数和定理
圆域内泰勒 级数 环 域内的 罗朗级数
《复变函数论》 主要内容
主要包括以下几方面的内容： 一、复变函数 二、复变函数的积分 三、幂级数展开 四、留数定理 五、傅里叶变换 六、拉普拉斯变换
x cos y sin
x2 y 2 y arctan x
复数的数学表达式： （1）代数式：z=x+iy (2) 三角式： z= cos i sin （3） 指数式：z= ei
0
y 虚轴
y
Z (x , y )
i (1 2 )
复数的商： z1 x1＋iy1 ( x1＋iy1 )( x2 -iy2 ) x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 = = +i 2 2 2 2 z2 x2＋iy2 ( x2＋iy2 )( x2 -iy2 ) x2 y2 x2 y2 z1 1 (cos 1 i sin 1 ) 1 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] z2 2 (cos 2 i sin 2 ) 2
1 i ( e 2
1
2)
利用数学归纳法可以将上式推广到 n 个复数相 乘的三角形式与指数形式 z1 z2 zn rr2 rn [cos(1 2 n ) isin(1 2 n )] 1
2. 复数的三角表示 (1).复数的辐角 定义 辐角 辐角的主值 复数 z x i y对应的点 ( x, y ) 的极坐标为 r 和 ，当
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10. 复数运算律 设： z1 = x1 + i y1 、z2 = x2 + i y2 则：以下的交换律、结合律、分配律成立
(加法交换律) (乘法交换律) (加法结合律) (乘法结合律) (分配律)
练习：
证明： ze i 是将复向量 z 向逆时针方向旋转 度。
一对应。此球面称为复球面。圆 L 的半径 → , L' 趋
向球顶缩成一点 N → 复平面的无限远处对应于球面上的 一点 N ，这样，复平面的无限远处看成一个“点”—— 无限远点。见下页图。
三、复数的运算规则 (基本运算：加减乘除)
由于实数是复数的特例，故在规定其运算方法时，既 应使复数运算的法则适用于实数特例时，能够和实数运算 的结果相符合，又应使复数的算术运算能够满足实数算术 运算的一般规律 (如交换律，结合律等)。 1. 加法 z z1 z2 (x1+iy1)+(x2 +iy2 )=(x1+x2 )+i(y1 + y2 )
第一章 复变函数论基础
实变函数：实变量的函数。例：x,y — 实变量； f (x,y) — 实变函数
复变函数：复变量的函数，实变函数的推广 思考：复变函数和实变函数的区别和联系
实数 → 实变量 → 实变函数 复数 → 复变量 → 复变函数 (a,b) (x,y) (u(x,y),v(x,y))
1.1 复数 (复数的定义、几何表示、运算规则)
z：z的模
modulus
辐角： argument
有
2. 复球面 复数不仅可用平面上的点表示，还可用球面上的点表
示。方法：过复平面的坐标原点 o 作一球面与复平面相切， 过 o 作复平面的垂线交球面于 N 点 (北极点)，作射线 NP 交球面于 P' ,交复平面于 P 点，可知 P' 与 P 对应，这样， 球面上所有的点 (北极点除外) 均与复平面上所有的点一
(模相乘，辐角相加)
4. 除法
(分母有理化)
5. 乘方: N 个 z 相乘，即 棣摩弗公式:
(模相除，辐角相减)
6. 开方:
令 w n = z0 、z0 = 0 e i0 ，且设 w = e i 。 已知 0 、0，求： 、
Hale Waihona Puke 由有(k：整数)
即 w 的模 与 z0 的模一一对应，而 w 的辐角与 z0 的辐
i：虚数单位 ← imaginary unit) 2. 基本概念：x = Re z (实部) y = Im z (虚部)
纯虚数、共轭复数 (z x iy 、z x iy) 、复数相等
说明：复数定义的本质——有序实数对，即 z = (x, y)，x, y R
注意：x, y 的次序很重要， (x, y) ≠ (y, x) 虚数单位的表示方法：
角不是一一对应。仅有 n 个不同的值满足 w n = z0，即
这 n 个不同的值均匀分布在半径为 的圆周上。下 图为 n = 5 的例子。
7. 模运算
(两边之和不小于第三边) (一边不小于两边之差)
8. 共轭复数运算
9. 关于 的四则运算
若 ≠ ，则
说明：运算 + 、0 ∙ 、 无意义
数的扩展：正数→负数→实数
在实数范围内：方程 ax2 + bx + c = 0
当 = b2 4ac < 0 时，没有实根。
(命题：把10分 成两部分，使 其乘积为40。)
→ 扩大数域，引进复数 (数的创生)
一、复数的定义和运算 1. 定义：复数——形如 z = x + i y 的数 (x,y为实数，i 2 = –1
i = (0, 1) ——在计算机编程中常用
二、复数的表示方法 (代数表示法、三角表示法、指数表示法) 1. 复平面 (1) 直角坐标表示：在坐标平面 oxy上，用点 (x, y) 表示复
数 z = x + i y，平面上的点 (x, y) 与复数 z = x + i y 一一 对应。全体复数布满整个平面——复平面 (或 z 平面)。
从原点 (0,0) 出发指向点 (x,y) 矢量 — op 复矢量。
定义：x 轴—实轴，y 轴—虚轴
(2) 极坐标表示：复平面上的点用极坐标 (, ) 表示
(：z 的模， ：z 的辐角) 注：用极坐标表示一个复数 z 时，辐角 Argz 的值不唯一
即 其中 argz 为辐角主值，且 0 ≤ argz < 2π 。 利用欧拉公式：
几何意义：z1、z2 为复平面上的矢量，且 z = z1 + z2 遵守平行四边形法则。见下页图。
2. 减法 z z1 z2 (x1+iy1)-(x2 +iy2 )=(x1-x2 )+i(y1 y2 )
3. 乘法 z z1 z2 (x1 iy1)(x2 iy2 )=(x1x2 y1y2 )+i(x1y2 x2 y1)