高数 第九章-二阶线性微分方程(第3节)
定理 4 若二阶非齐次线性微分方程（3）中, f (x) = f1 (x) + f 2 (x) ,即
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = f1 (x) + f2 (x) ,
而 y1∗ (x) 和 y2∗ (x) 分别是方程
通 解 中 应 该 含 有 两 个 相 互 独 立 的 任 意 常 数 C1 和 C2 . 例 如 y1(x) 是 方 程 （ 1 ） 的 一 个 解 ， 则
y2 (x) = 2 y1(x) 也是方程（1）的解，但由于
y =C1 y1 + C2 y2 =(C1 + 2C2 ) y1(x) =Cy1(x) （其中 C= C1 + 2C2 ），
解特征方程为
r2 + 4r + 4 =0 ,
解得 r1 = r2 = −2 ，是两个相等的实根, 故所求方程的通解为
=y (C1 + C2 x)e−2x .
例 3 求微分方程 y′′ + 2 y′ + 5 y = 0 的通解.
解 特征方程为
r2 + 2r + 5 =0 ,
解得 r1 =−1+ 2i , r2 =−1− 2i ,是一对共轭复根,故所求方程的通解为
(b0 xm
+ b1xm−1
分方程通解的和.实际上,对于二阶非齐次线性微分方程也有同样的结构. 下面讨论二阶非齐次线性微分方程
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = f (x) （3）
通解的结构.
定理 3如果 y∗ (x) 是二阶非齐次线性微分方程（3）的一个特解, Y (x) 是对应的齐次方程（1）
的通解, 则
=y Y (x) + y∗(x)
下面仅对 f (x) 取两种常见形式进行讨论，使用的方法是待定系数法.
1. f (x) = eλx Pm (x) 型.其中 λ 是常数， Pm (x) = a0 x m + a1 x m−1 + + am−1 x + am .根 据 λ 与特征方程的关系，则
（1）若 λ 不是特征方程的根，可设 y=*
将初始条件代入方程组
y = C1e2x + C2e3x .
=y = y′
C1e2x + C2e3x ， 2C1e2x + 3C2e3x
得
C1 + C2 = 1, 2C1 + 3C2 = 2 ，
解得= C1 1,= C2 0 ,故所求满足初始条件的特解为 y = e2x .
例 2 求微分方程 y′′ + 4 y′ + 4 y = 0 的通解.
定理 2 若函数 y1(x) , y2 (x) 是方程（1）的两个线性无关的特解,则
y = C1 y1 + C2 y2 （ C1 , C2 是任意常数）
就是方程（1）的通解. 由定理 2 可知,要求方程（1）的通解,只要求出它的两个线性无关的特解即可. 在前面讨论一阶非齐次微分方程的通解时,我们知道它的通解等于其一个特解与对应齐次线性微
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = f1 (x) 和 y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = f2 (x)
的特解,则 y= ∗ (x) y1∗ (x) + y2∗ (x) 是方程（3）的特解.
这个定理称为非齐次线性微分方程解的叠加原理.
三、二阶常系数齐次线性微分方程
若在二阶齐次线性微分方程
也是方程（1）的解.
y = C1 y1 + C2 y2 （ C1 , C2 是任意常数）
证 因为 y1 , y2 是方程（1）的解,所以
（2）
y1′′+ P(x) y1′ + Q(x) y1 = 0 , y2′′ + P(x) y2′ + Q(x) y2 = 0 ,
于是
(C1 y1 + C2 y2 )′′ + P(x)(C1 y1 + C2 y2 )′ + Q(x)(C1 y1 + C2 y2 )
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = 0
中,函数 P(x) , Q(x) 都是常数,即
y′′ + py′ + qy = 0 ,
（5）
其中 p, q 是常数,则称方程(5)为二阶常系数齐次线性微分方程.
由定理 2 可知,要求齐次线性微分方程（5）的通解,只要求出其两个线性无关的特解即可.从方程的
=C1 [ y1′′+ P(x) y1′ + Q(x) y1] + C2 [ y2′′ + P(x) y2′ + Q(x) y2 ] =0
所以, y = C1 y1 + C2 y2 是方程（1）的解.
解（2）形式上也含有两个常数 C1 和 C2 ,但是它不一定是方程（1）的通解.这是因为方程（1）的
例 如 ， 方 程 y′′ + y =x2 是 二 阶 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 . 已 知 其 对 应 齐 次 方 程 线 性 微 分 方 程
y′′ + y =0 的通= 解为 Y C1 sin x + C2 cos x ；又容易验证 y=∗ x2 − 2 是该方程的一个特解,所以
=y C1 sin x + C2 cos x + x2 − 2
=y e−x (C1 cos 2x + C2 sin 2x) .
四、二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性方程的形式为
y′′ + py′ + qy = f (x) ，
(7)
其中 p, q 为常数, f (x) 称为自由项. 由定理 3 可知, 要求方程（7）的通解,只要求出其对应的齐次方
程的通解与它的一个特解即可. 而第三部分已讨论了齐次方程通解的求法问题, 所以下面着重讨论求 二阶常系数非齐次线性微分方程特解的方法.
求一阶和二阶导数,得
y′ = rerx , y′′ = r 2erx ,
把 y , y′ , y′′ 代入方程（5）,整理得
r2 + pr + q =0 .
（6）
由此可见,只要 r 满足代数方程（6）,则函数 y = e rx 就是方程（5）的一个特解.这样, 齐次方程
的求解问题就转化为求代数方程（6）的根的问题,称一元二次代数方程（6）为微分方程（5）的特征方 程.特征方程的根称为微分方程的特征根.
（3）特征方程（6）有一对共轭复根 r1,2 = α ± iβ
方程（5）有两个线性无关的特解
y1(x) = e(α +iβ )x , y2 (x) = e(α −iβ )x
由于这种复数形式的解在应用上不方便,所以我们利用欧拉公式
= eiθ cosθ + i sinθ
把上述复数形式的解化成如下形式的解
动. 设物体的运动位移为 x = x(t) .阻力 R 的大小与物体的速度成正比（但与物体运动
方向相反），即 R = −µ dx .则由牛顿第二定律不难得到无阻尼情形下物体作自由振动的 dt
方程为
O
d 2 x + µ dx + k x = 0 . dt 2 m dt m
x x
若物体在振动过程中受到铅直干扰力 F (t) = H sin ωt 的作用,则有受迫
图 9-1
振动方程
d2x dt 2
+
µ m
dx dt
+
k m
x
=
H m
sin ωt
,
上述方程可以归结为形如
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = f (x)
的微分方程，称为二阶线性微分方程,当 f (x) ≡ 0 时，称为二阶齐次线性微分方程,否则,称为二阶非
齐次线性微分方程.
n 阶线性微分方程的一般形式为 y (n) + P1 (x) y (n−1) + + Pn−1 (x) y′ + Pn (x) y = f (x)
（2）特征方程（6）有两个相等的实根 r1 =
r2
=
−
p 2
此时我们只得到一个特解 y1 = e r1x ,还需求出另一个与 y1 = e r1x 线性无关的特解.
可以证明，
y2 (x)
=
xer1x
也是方程（5）的解，且
y2 (x)= y1 ( x)
x ≠ 常数.
故方程（5）的通解为
=y (C1 + C2 x)er1x .
y1(x) =
1 2
(
y1
+
y2 )
=
eαx cos β x , y2 (x)=
则方程（5）的通解为
1 2i
(
y1
−
y 2
)=
eαx sin β x
y = eαx (C1 cos βx + C2 sin βx) .
综上所述,我们可得到求解二阶常系数齐次线性微分方程（5）的步骤如下: （1）写出微分方程（5）的特征方程（6），并求出特征根； （2）根据特征根的不同情况写出其通解,即
=[Y ′′(x) + P(x)Y ′(x) + Q(x)Y (x)] + [ y∗′′(x) + P(x) y∗′(x) + Q(x) y∗(x)] = f (x)
即=y Y (x) + y∗ (x) 是方程（3）的解.由于对应的齐次线性微分方程的通解
Y= (x) C1 y1 + C2 y2
二阶微分方程 (3)
二阶微分方程什么是二阶微分方程？在数学中，二阶微分方程是一个含有两个未知函数的微分方程。
它的一般形式可以表示为：a(x)y''(x) + b(x)y'(x) + c(x)y(x) = F(x)其中y(x)是未知函数，y'(x)和y''(x)分别表示y(x)的一阶和二阶导数。
a(x)、b(x)、c(x)和F(x)是已知函数。
通过求解二阶微分方程，我们可以找到函数y(x)的表达式，从而得到其图形和性质。
二阶微分方程的解法1. 齐次线性二阶微分方程的解法齐次线性二阶微分方程是指F(x) = 0的情况。
对于齐次线性二阶微分方程，我们可以使用特征方程的方法来求解。
具体步骤如下：1.将二阶微分方程变形为标准形式：y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x)= 0。
2.假设y(x) = e^(rx)是方程的解，代入方程得到特征方程r^2 +p(x)r + q(x) = 0。
3.解特征方程得到两个不同的根r1和r2。
4.根据根的情况，分为三种不同的情况讨论：–当r1和r2都为实数时，解的形式为y(x) = C1e^(r1x) + C2e^(r2x)，其中C1和C2是常数。
–当r1和r2为共轭复数时，解的形式为y(x) =e^(ax)(C1cosbx + C2sinbx)，其中C1和C2是常数，a和b是实数。
–当r1和r2相等且为实数时，解的形式为y(x) = (C1 + C2x)e^(rx)，其中C1和C2是常数。
2. 非齐次线性二阶微分方程的解法非齐次线性二阶微分方程是指F(x) ≠ 0的情况。
对于非齐次线性二阶微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
具体步骤如下：1.首先求解对应的齐次线性二阶微分方程，得到通解y_c(x)。
2.假设非齐次线性二阶微分方程的特解为y_p(x)，代入方程得到一个与F(x)相关的方程。
3.根据F(x)的形式选择合适的猜测函数，并代入方程求解特解y_p(x)。
9.3 二阶线性微分方程
(B) C1y1 + C2 y2 + (C1 + C2 ) y3; (C) C1y1 + C2 y2 − (1− C1 − C2 ) y3;
提示: 提示:
y1 − y3, y2 − y3 都是对应齐次方程的解, 都是对应齐次方程的解,
二者线性无关 . (反证法可证) 反证法可证)
3.二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 3.二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 根据解的结构定理 , 其通解为
1
且
推论. 推论.
是 n 阶齐次方程
个线性无关解, 的 n个线性无关解,则方程的通解为 个线性无关解
y = C1y1 +L+ Cn yn (Ck为 意 数) 任 常
3.解法 3.解法 二阶常系数齐次线性微分方程: 二阶常系数齐次线性微分方程: ① 为常数时， 因为 λ 为常数时，函数 e l x和它的导数只差常数因子, 和它的导数只差常数因子, 为待定常数), 代入① y = el x ( λ 为待定常数), 代入①得 所以令① 所以令①的解为
y = C1ex + C2e3x
代入初始条件得
C1 = 4, C2 = 2
故所求特解为
y = 4ex + 2e3x
例3 求方程 y′′ − 2 y′ − 3 y = 0 的通解 解 该方程的特征方程为 λ - 2λ- 3 = 0 它有两个不相等的实根
2
λ1 = - 1, λ2 = 3
其对应的两个线性无关的特解为
y1 = e− x与y2 = e3x
所以方程的通解为
y = C1e−x + C2e3x
例4 求方程 y′′ − 4 y′ + 4 y = 0 的满足初始条件
二阶线性微分方程
二阶线性微分方程导言如果你熟悉物理里的阻尼振动与受迫振动，或许你会很快想到特征方程或者复数法，但是，物理里的方程仅仅是这个一般的方程中其中p(x),q(x)及f(x)都是取到某些特殊的值情况下的方程，把这些方法应用到解一般的情况下会遇到困难，下文我将以求解这个方程的通解为主线，探讨整体的理论架构。
整体的概览对于原二阶线性非齐次微分方程，其对应的二阶线性齐次微分方程是：我们有以下结论：二阶线性非齐次的微分方程的通解等于其一个特解与相应的二阶线性齐次的微分方程的通解之和。
即有如下定理：在该定理的基础上，现在我们的问题归结于以下几个问题：1.非齐次方程的特解存在吗？如果存在的话我们该怎样找到它？2.齐次方程的通解存在吗？如果存在的话我们该怎样找到它？我们先来讨论第二个问题。
齐次方程的通解的求解对于齐次方程很容易验证下面的结论定理若是齐次方程的解其中是任意常数，则与的线性组合也是齐次方程的解假设齐次方程的通解是存在的(注意现在是假设，其证明我们会在后面会有定理给出)那么其通解一定可以表示为那么这里引入了线性无关解的的概念，关于这个概念，你可以这样理解：我们把具有具有一种特殊的关系的两个解称为线性相关的，反之则称为线性无关的。
（其真正的定义你可以去看附录），为了不打断我们的思路，正文中我们先不提这些概念。
那么是否一定会存在这样的一组线性无关解呢？既然这样，假如我们获得了两个解，我们如何判断这两个解是否是线性无关解呢？那么为了讨论两个解是否是线性无关解我们又引入了Wronski行列式的概念，为了方便讨论，我们简要介绍一下该概念。
Wronski行列式有一个很独特的性质：Wronski行列式对于判断两个函数是否是线性相关有很大的价值。
这里的两条定理给出了判断两个函数是否线性相关的方法。
事实上。
现在我们已经证明了齐次方程的通解的存在性，但是我们不知道如何确切的找到这个解，对此我们有以下的结论：至于找一个解的方法，用得最多的是观察法。
二阶线性微分方程
6.3 二阶线性微分方程一．二阶线性微分方程解的结构把形如()()()y P x y Q x y f x '''++= （1）的方程叫做二阶线性微分方程。
当()0f x ≡时，上式变成()()0y P x y Q x y '''++= （2）方程（2）叫做方程（1）对应的二阶齐次线性微分方程。
当()0f x ≠时，方程（1）叫做二阶非齐次线性微分方程。
先讨论二阶齐次线性微分方程解的结构：定理1 若y 1和y 2是二阶齐次线性微分方程的解，则其线性组合1122C y C y +也是二阶齐次线性微分方程的解。
其中12,C C 是任意常数。
（证明略）如：可以验证函数2312,x x y e y e ==都是方程560y y y '''-+=的解，2312x x y C e C e =+也是这个方程的解，并且是这个方程的通解。
还可以验证函数2212,3x x y e y e ==也都是方程560y y y '''-+=的解，()222121233x x x y C e C e C C e =+=+也是这个方程的解，但是却不是这个方程的通解（因为123C C +还是一个常数）。
定义 对于两个都不恒等于零的函数1y 和2y ，如果存在一个常数k,使k=12y y ,则称函数1y 与2y 线性相关；否则，称1y 与2y 线性无关。
如：函数2312,x x y e y e ==是线性无关的，而函数2212,3x x y e y e ==是线性相关的。
定理 2 如果12,y y 是二阶齐次线性微分方程的两个线性无关的解，则1122y C y C y =+（12,C C 是两个任意常数）是二阶齐次线性微分方程的通解。
现再讨论二阶非齐次线性微分方程解的结构。
定理3 设y 是二阶非齐次线性微分方程（1）的一个特解，0y 方程（1）对应的齐次方程（2）的通解，则0y y y =+是二阶非齐次线性微分方程（1）的通解。
二阶微分方程
第三节二阶微分方程第方程1特殊二阶微分方程1''型1.()y f x =型。
此类方程只要积分两次就可以得出通解。
通解中包含两个任意常数，可由初值条件确定。
2.'''f x y =型。
(),y 此类方程不显含未知函数，可用降阶法：先将未知函数一阶导数看作未知函数，原方程化为一阶微分方程。
32例3.2求下列微分方程的通解:2'''00.yy y −=解: 设()'y P y =，则有：()()'''y P y P y =.原方程变为： 'yP P =P C y =.原方程变为y；易得其解为()1y 从而有：112'.C xy C y y C e=⇒=二阶线性微分方程如果微分方程中未知函数及其一阶、二阶导数都是次的，则称为二阶线性微分方程。
是一次的则称为线分方程般二阶线性微分方程的一般形式为：y P x y P x y f x++=()''()'().12如果右边的函数为零，则称该方程为二阶线性齐次微分方程。
是二阶非齐次线性微分方程的一个()() 12123y x y x y y y 设是二阶非齐次线性微分方程的个特解，是相应齐次方程的通解，是定理=+该非齐次解。
方程的通()() 124y x y x 设，分别是微分方程定理()()() 121''','''y P x y P x y f x P x y P x y f x ++=++=()()()()() 12212y y x y x 的解，则是方程+()()()() 1212'''y P x y P x y f x f x ++=+的解。
()()() 125'''Y x y x i y x P x y P x y f x if x 设是微分方程定理=+++=+()()()()()() 121212,,y f y x y x 的解，则分别是方程()()() 121''''''y P x y P x y f x ，++==()()() 122y P x y P x y f x 的解。
高数 考研 微分方程的降阶法 第三节
原方程通解为 y C2e
C1 x
.
2 例 3 求方程 yy y 0 的通解.
d 解 将方程写成 ( yy) 0, dx
故有 yy C1 ,
即 ydy C1dx,
2 积分后得通解 y C1 x C2 .
注意: 这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.
二、不显含未知函数的方程
形如 y f ( x , y)
的方程的一个特点是不显含未知函数y.
若作变换 y p 则原方程可化为一个关于变量x,p的一阶微分方程
dp f ( x , p) dx dy ( x , C1 ) 若上式可解,设通解为 p ( x, C1 ) ,则有
解 此方程不显含自变量，令 y p
则原方程可化为
dy 分离变量得 2 y p 1 p dp
积分得 由此式易推出 上两式相加并注意到
得
积分,得通解为
例 2 求方程 yy y 2 0 的通解. 解 设 y p( y ),
dP 则 y p , dy
dP dP 2 P 0, 即 P ( y 代入原方程得 y P P ) 0, dy dy dP 由 y P 0， 可得 P C1 y , dy
原方程通解为 y d 1 x d 2 x d 3 x d 4 x d 5
5 3 2
解
此方程不显含自变量x,令
代入原方程得
从而 前者对应解 后者对应方程 积分得 即
dy Cy p dx 1 Cy
再分离变量后积分得
因此原方程的解为
例3 求方程yy ( y) 2 1 ( y) 2的通解.
dx
第九章 二阶常微分方程
x = cos θ
2
m [(1 − x 2 )Θ' ]'+[l (l + 1) − 1−x 2 ]Θ = 0
球 坐 标 下 拉 普 拉 斯 方 程
r −2 [ ∂ r ( r 2 ∂ r u ) + ∆ ' u ] = 0 ( r 2 R ' )' / R = − ∆ ' Y / Y = l ( l + 1)
常微分方程中点的分类
• 二阶变系数常微分方程的一般形式
– w”+p(z)w’+q(z)w=0
• 方程中点的分类
– 常点：z0 是 p(z) 和 q(z) 的解析点 – 正则奇点：z0 是 (z-z0) p 和 (z-z0)2 q 的解析点 – 非正则奇点：其它情况
各点邻域级数解的形式
•常点z0邻域
( s + k )( s + k − 1) a k x s + k − 2 ∑ k =0
代入方程得： {[( k + s ) 2 − m 2 ]a k + a k − 2 } x s + k = 0 ∑ k =0
即： [( k + s ) 2 − m 2 ]a k + a k − 2 = 0
贝塞尔方程的级数解
勒让德方程的级数解
递推公式： a k + 2 = 具体递推： a3 =
(1 − l )( l + 2 ) l a1 = (1− l )(！+ 2 ) a1 3⋅2 3 ） ) l a 5 = （ 3 − l5⋅(4l + 4 ) a 3 = ( 3 − l（1− l )(！+ 2 )( l + 4 ) a1 5 （ 5 − l）l + 6 ) ( ( 5 − l )( 3 − l（1 − l )( l + 2 )( l + 4 )( l + 6 ) ) a7 = a5 = 7 ⋅6 7！ k ( k +1) − l ( l +1) ( k + 2 )( k +1)
9.3二阶常系数线性微分方程
Q( x) aQ( x) bQ( x) Pn( x)
(9 34)
当b 0 时, Q( x) 应为 n 次多项式, 即设
y* Qn ( x) a0 xn a1 xn1 an1 x an ,
当b 0, 且 a 0 时, Q( x) 应为 n 1 次多项式, 即设
y* Q( x) xQn( x) a0 xn1 a1xn an1x2 an x ,
2 a 0
于是容易得到: 当a 0 时, 方程的通解为 y( x) C1e ax C2e ax
当ax C2
以上通解均不是周期函数,
故 a 0, 并有 a i 时,
方程的通解为 y( x) C1 cos ax C2 sin ax,
要使方程的解均以2π 为周期, 只要 2π 2π, 即得 a 1.
比较 sin 2x , cos 2x 的系数,
得 a2
1 2
,
a1
0.
于是, 得
y 1 x sin 2 x 2
所给方程的通解是
y
C1
cos
2
x
C2
sin
2
x
1 2
x
sin
2
x.
(9 33)
y( x) Y y1 ( x) y2 ( x)
y ay by 0的通解 y ay by f1( x) f2( x)的一个特解
非齐次线性微分方程通解结构为
y Y y*, 关键：如何求非齐次线性微分方程特解．
待定系数法：先确定解的形式，再把形式解代入方 程定出解中包含的常数的值，确定待定系数，从而 求出方程 (9 30) 的特解.
当2 a b 0,
即 不是对应齐次方程的特征根,
Q( x) 为n 次待定系数多项式Qn ( x),
二阶线性微分方程
二阶线性微分方程\[y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)\]的微分方程，其中$p(x)$、$q(x)$、$r(x)$都是已知的函数，$y$是未知函数，$y''$表示关于自变量$x$的二阶导数。
在解二阶线性微分方程时，主要有三个步骤：寻找特解、寻找齐次方程的通解、将特解和齐次方程的通解相加得到二阶线性微分方程的通解。
首先，我们来看如何寻找特解。
对于非齐次方程$y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)$，我们可以根据非齐次项$r(x)$的形式来选择合适的特解形式。
常见的特解形式包括：常数特解、多项式特解、指数函数特解、三角函数特解等。
如果非齐次项$r(x)$是一个常数，我们可以选择一个与$r(x)$无关的常数作为特解。
如果$r(x)$是一个多项式，我们可以选择与$r(x)$同次数的多项式作为特解。
如果$r(x)$是指数函数$e^{kx}$，我们可以选择同样的指数函数$Ae^{kx}$作为特解。
如果$r(x)$是三角函数$\sin(kx)$或$\cos(kx)$，我们可以选择相同的三角函数$A\sin(kx)$或$A\cos(kx)$作为特解。
特解确定之后，接下来需要寻找齐次方程$y''+p(x)y'+q(x)y=0$的通解。
齐次方程的特征方程是由方程的系数$p(x)$和$q(x)$决定的，它是一个二阶常系数线性齐次方程的特殊形式。
解特征方程可以得到齐次方程的通解形式。
特征方程的解决定了齐次方程的解的形状。
将特解和齐次方程的通解相加，即可得到二阶线性微分方程的通解。
特解与齐次方程的解相加得到的通解可以覆盖方程的所有解。
需要注意的是，特解和齐次方程的通解的系数可以通过给定的初始条件来确定。
初始条件可以是函数在其中一点$x_0$的值$y(x_0)$和导数$y'(x_0)$的值。
根据初始条件，可以求解出特解和齐次方程的通解中的任意常数。
考研数学高数资料—二阶微分方程
三、二阶微分方程1、二阶线性微分方程1)定义形如的方程称之为二阶线性微分方程，如果等式右端的函数，则称该方程为二阶齐次线性微分方程.2）线性微分方程的性质:定理1：设是齐次方程的解，则是齐次方程的解；设、均为齐次方程的解，则是齐次方程的解.定理2：设是非齐次方程的解，是齐次方程的解，则是非齐次方程的解.设都是非齐次方程的解，则是相应的齐次方程的解.定理3：设是齐次方程的两个线性无关的解，是非齐次方程的任一特解，则是非齐次方程的通解，其中为两个相互独立的常数. 定理4（叠加原理）：设是方程的特解，是方程的特解，则是方程的解.'''()()()y P x y Q x y f x ++=()0f x =1()y x '''()()0y P x y Q x y ++=1()ky x '''()()0y P x y Q x y ++=1()y x 2()y x '''()()0y P x y Q x y ++=12()()y y x y x =+'''()()0y P x y Q x y ++=1()y x '''()()()y P x y Q x y f x ++=2()y x '''()()0y P x y Q x y ++=12()()y y x y x =+'''()()()y P x y Q x y f x ++=12(),()y x y x '''()()()y P x y Q x y f x ++=12()()y y x y x =-'''()()0y P x y Q x y ++=12(),()y x y x '''()()0y P x y Q x y ++=*()y x '''()()()y P x y Q x y f x ++=*1122()()()y C y x C y x y x =++'''()()()y P x y Q x y f x ++=12,C C 1()y x '1''()()()y P x y Q x y f x ++=2()y x '2''()()()y P x y Q x y f x ++=1122()()y k y x k y x =+'1122''()()()()y P x y Q x y k f x k f x ++=+【例1】：设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，则该方程的通解是（）. （）. （）. （） 答案：（）【例2】设是一阶线性非齐次微分方程的两个特解. 若常数使是该方程的解，是对应的齐次方程的解, 则() . () . () . () . 答案：()【例3】均为某二阶非齐次线性微分方程的解，求其通解. 答案：.3）二阶常系数线性微分方程的求解如果二阶线性微分方程中函数均恒为常数，则称该方程为二阶常系数线性微分方程.我们下面讨论这类方程的解法，也即形如的方程的求解.()()y P x y Q x '+=12(),(),y x y x C A []12()()C y x y x -B []112()()()y x C y x y x +-C []12()()C y x y x +D []112()()()y x C y x y x ++B 12,y y ()()y p x y q x '+=,λμ12y y λμ+12y y λμ-A 21,21==μλB 21,21-=-=μλC 31,32==μλD 32,32==μλA 221232,,3xxxxx x x y xe e y xe ey xe e e --=+=+=+-'''()()()y P x y Q x y f x ++=212xxxy xe C e C e'''()()()y P x y Q x y f x ++=(),()P x Q x '''()y py qy f x ++=先求解二阶常系数齐次线性微分方程： a. 写出对应的特征方程 b. 求出特征方程的两个根.c. 根据的不同形式，我们有如下的公式：再求解二阶常系数非齐次线性微分方程：该方程的通解为，其中为齐次线性微分方程的通解，为非齐次线性微分方程的特解.下面讨论的求法.'''0.y py qy ++='''0y py qy ++=20.r pr q ++=12,r r 12,r r '''().y py qy f x ++=*1122C y C y y ++1122C y C y +*y *y【例4】：求下列微分方程的解. （1）40y y （2）0y y （3）0y y（4）6100y y y （5）20yyy答案：（1）221212,,xxy c e c ec c 是常数.（2）1212cos sin ,,y c x c x c c 是常数.（3）1212,,x y c c e c c 是常数.（4）31212cos sin ,,,xyec x c x c c 是常数.（5）1212,,x y c c x e c c 是常数.【例5】：3阶常系数线性齐次微分方程的通解为 答案：为常数.【例6】：具有特解，，的3阶常系数齐次线性微分方程是.答案：【例7】：在下列微分方程中，以（为任意常数）为通解的是（）.答案：220y y y y ''''''-+-=________.y =2123123cos sin ,,,xy c e c x c x c c c 1xy e -=22xy xe -=33xy e =A 0y y y y ''''''--+=B 0y y y y ''''''+--=C 61160y y y y ''''''-+-=D 220y y y y ''''''--+=B123cos 2sin 2xy C e C x C x =++123,,C C C ()A ''''''440y y y y +--=()B ''''''440y y y y +++=()C ''''''440y y y y --+=()D ''''''440y y y y -+-=()D【例8】：求下列微分方程的解： （1）（2）'''2x y y yxe（3）（4） （5）； 答案：（1）为常数.（2）为常数.（3）为常数.（4）12121cos cos 2sin 2,,3yx c x c x c c 为常数.（5）为常数.【例9】：求解下列微分方程:（1）. （2）. （3） 答案：（1）为常数.（2）为常数.（3）为常数.2、可降阶的高阶微分方程（*数学一、二）1）型的方程 '2''2;y y y x --=322;x y y y xe '''-+=''4cos ;y y x +=''cos y y x +=221212113,,224x x yx x c e c e c c 2121211,,24xx x y e x c e c e c c 212122,,xx x yxe x c e c e c c 12121sin cos sin ,,2y x x c x c x c c '''22x y y y e +-=2'',(0)x y a y e a +=≠cos .y y x x ''+=+212122,,3xxx yxe c ec e c c 121221cos sin ,,1x ye c ax c ax c c a12121sin cos sin ,,2yx x xc x c x c c '''(,)y f x y =作变量代换，则有.代入原方程有，这是一个关于未知函数的一阶微分方程.求解它，我们可以求出，设，则积分可以得到.2）型的方程作变量代换，则有,代入原方程有，这是一个关于未知函数的一阶微分方程.求解它，我们可以求出，设，则积分可以得到.【例10】求解下列微分方程（1） （2）答案：（1）为常数.（2）212112112111ln 1,0,01arcsin,0c c y xc c c yx c c c yxc c c ，12,c c 为常数.【例11】求微分方程''1'y xy 满足初始条件的特解.答案：2111424yx x3、欧拉方程（*数学一）形如的微分方程称为欧拉方程.当0,x 令则有，， .以此类推，将这些关系代回就可以将原方程化为常系数线性微分方程. 同理，当0,x只需令.t x e'p y =''dp y dx =(,)dpf x p dx=p 'y '(,)y x C ϕ=y '''(,)y f y y ='p y =''dp dp dy dpy p dx dy dx dy===(,)dp p f y p dy =p 'y '(,)y y C ϕ=y '''0;xy y +=()2'''1.yy y+=1212ln ,,yc x c c c (1)(1)1y y '==()1(1)2(2)'121...()nn n n n n n n x ya x y a x y a xy a y f x -----+++++=t x e =t dy dy dt dy e dx dt dx dt-==22222222t t t t t t t d y d dy d dy dt d y dy d y dy e e e e e e e dx dx dt dt dt dx dt dt dt dt-------⎡⎤⎡⎤⎡⎤===-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【例12】求欧拉方程的通解 答案：为常数.四、差分方程（*数学三）1.一阶常系数线性齐次差分方程通解为2.一阶常系数线性非齐次差分方程通解为其中是非齐次差分方程的特解. 1)（1）若令 （2）若令 2）， （1）若令 （2）若令【例13】求差分方程的通解. 答案：为常数. 【例14】求差分方程的通解. 答案：（1）为常数.)0(024222>=++x y dx dyx dx y d x12122,,c c y c c x x 10t t y ay ++=,)()(tc a C t y -⋅=1()t t y ay f t ++=.)(*t c t y t y y +=*t y ()()m f t P t =,1-≠a );(t Q y m t =*,1-=a );(t tQ y m t =*)()(t P d t f m t⋅=)0(≠d ,0≠+d a );(t Q d y m tt ⋅=*,0=+d a );(t Q td y m tt ⋅=*121050t t y y t ++-=5615,72tt yc c 12tt t y y t +-=22,t yc t c。