高等数学同济大学第六版1-02-数列的极限
高等数学同济大学第六版1-04-极限的运算-文档资料
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
求极限方法举例
例1
求
lim
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
解
lim( x2 3x 5) lim x2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3lim x lim 5 22 3 2 5 3 0,
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数。
2.无穷小与函数极限的关系: 定理 : lim f ( x) A f (x) A (x),
其中( x)是自变量变化时的无穷小.
意义： 将一般极限问题转化为特殊极 限 — 无穷小 —的问题。
3.无穷小的运算性质:
定理. 在同一自变量的变化过程中,有限个无 穷小的代数和仍是无穷小.
n n
n
lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小. x0
又如,
函数 x2 1当 x2 1
x 时的极限为 1 ，
而当x 1 时的极限为 0 ，
函数 x2 1本身不是无穷小量， x2 1
而当x
1
时函数
x2 x2
1 才是无穷小量。 1
注意 （1）无穷小是变量,不是有穷小量，不能与很 小的数混淆;
x 1
x2
2x
3
lim
x 1
(x
3)( x
1)
x 1
x1 1
lim
x1 x1 x 3 2
消去零因子
例4
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
高等数学-同济大学第六版--高等数学课件第一章函数与极限
函数与极限
x
4
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
2024/7/17
函数与极限
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A {a1 , a2 ,, an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
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函数与极限
2
数集分类: N----自然数集 Z----整数集
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函数与极限
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注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
3l
l
2
2
l 2
3l 2
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函数与极限
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四、反函数
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
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函数与极限
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五、小结
基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数
【精品】高等数学1-2-数列的极限
(1) x n
1 3n
(3)
xn
(1)n
1 n
n 1 (5) x n n 1
(7) x n
cos
1 n
(2)
xn
( 1) n
1 n
n
(4) xn sin 2
(6) xn 2(1)n
(8)
xn
ln
1 n
解 (1) 0; (2) 0; (5) 1; (7) 1; (3) (4) (6) (8) 都不存在.
二、数列极限的性质
定理1（极限的唯一性） 如果数列{ xn } 收敛，那
么它的极限唯一.
证 用反证法. 设数列有两个极限 xn a, 及
xn b, 且 a < b.
取 ba .
2
ln im xna,N10,当 nN1时，不等
都成立.
xn
a
ba 2
（2-2）
又 ln im xnb, N20,当 nN2时，不等
以
xn
1 (1)n1 n
为例.
ln im xn 1
（1）用两个数之间的‘距离’来刻化两个数的接近程 度：
用 xn 1 表示数列与常数值的距离，另用正数
ε 表示两者接近的程度.
xn
11
(1)n1 n
1 (1)n1 1 会越来越小.
n
(n1)2
(n1)2 (n1)2
1 1 n 1 n
0 ，要 xa使 sinn1
n
(n1 )2 n
取 N [ 1 ] ，则当n > N时，就有
sinn 0
同济高等数学第六版上册第一章ppt精编版
k
lim x 2 k 1 1;
lim x 2 k 1
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结束
内容小结
1. 数列极限的 “ – N ” 定义及应用 2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限
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第三节 函数的极限
对 y f ( x) , 自变量变化过程的六种形式: ( 4) x ( 1 ) x x0
定义
如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切 x n , 不等式 x n a 都成立,那末就称常数 a 是数列
x n 的极限,或者称数列 x n 收敛于a ,记为
lim x n a , 或 x n a ( n ).
n
n (1) n 1 n
故
n (1) n lim xn lim 1 n n n
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例2. 设 q 1 , 证明等比数列 1 , q , q 2 , , q n 1 , 的极限为0 . 证:
n 1
n 1
n 1
xn 0 q
,;
n ( 1) { n
n 1
}
3 , 3 3 , , 3 3 3 ,
1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 注 意： 动点在数轴上依次取 x1 , x 2 , , x n , .
x3
x1
x2 x4
xn
2.数列是整标函数 x n f ( n).
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第一章
( 2) x x 0 (3) x x0 本节内容 :
【同济第六版高数】第01章函数与极限教案与习题讲解(2)
第一章 函数与极限§1. 2 数列的极限一个实际问题:如可用渐近的方程法求圆的面积？设有一圆, 首先作内接正四边形, 它的面积记为A 1；再作内接正八边形, 它的面积记为A 2；再作内接正十六边形, 它的面积记为A 3；如此下去, 每次边数加倍, 一般把内接正8×2n -1边形的面积记为A n . 这样就得到一系列内接正多边形的面积:A 1, A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , A n , ⋅ ⋅ ⋅设想n 无限增大（记为n →∞, 读作n 趋于穷大）, 即内接正多边形的边数无限增加, 在这个过程中, 内接正多边形无限接近于圆, 同时A n 也无限接近于某一确定的数值, 这个确定的数值就理解为圆的面积. 这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数（数列） A 1, A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅ , A n , ⋅ ⋅ ⋅当n →∞时的极限.数列的概念:如果按照某一法则, 使得对任何一个正整数n 有一个确定的数x n , 则得到一列有次序的数x 1, x 2, x 3, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , ⋅ ⋅ ⋅这一列有次序的数就叫做数列, 记为{x n }, 其中第n 项x n 叫做数列的一般项. 数列的例子:{1+n n }: 21, 32, 43, ⋅ ⋅ ⋅ , 1+n n ⋅ ⋅ ⋅; {2n }: 2, 4, 8, ⋅ ⋅ ⋅ , 2n , ⋅ ⋅ ⋅;{n 21}: 21, 41, 81, ⋅ ⋅ ⋅ , n 21, ⋅ ⋅ ⋅ ; {(-1)n +1}: 1, -1, 1, ⋅ ⋅ ⋅ , (-1)n +1, ⋅ ⋅ ⋅ ;{n n n 1)1(--+}: 2, 21, 34, ⋅ ⋅ ⋅ , n n n 1)1(--+, ⋅ ⋅ ⋅ . 它们的一般项依次为1+n n , 2n , n 21, (-1)n +1, n n n 1)1(--+. 数列的几何意义:数列{x n }可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x 1, x 2, x 3, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , ⋅ ⋅ ⋅.数列与函数:数列{x n }可以看作自变量为正整数n 的函数:x n =f (n ),它的定义域是全体正整数.数列的极限:数列的极限的通俗定义：对于数列{x n }, 如果当n 无限增大时, 数列的一般项x n 无限地接近于某一确定的数值a , 则称常数a 是数列{x n }的极限, 或称数列{x n }收敛a . 记为a x n n =∞→lim . 如果数列没有极限, 就说数列是发散的.例如11lim =+∞→n n n ,021lim =∞→n n , 1)1(lim 1=-+-∞→nn n n ; 而{2n}, { (-1)n +1}, 是发散的.对无限接近的刻划:x n 无限接近于a 等价于|x n -a |无限接近于0,极限的精确定义:定义 如果数列{x n }与常a 有下列关系:对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切x n , 不等式|x n -a |<ε都成立, 则称常数a 是数列{x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为a x n n =∞→lim 或x n →a (n →∞). 如果数列没有极限, 就说数列是发散的.数列极限的几何解释: 例题:例1. 证明1)1(lim 1=-+-∞→nn n n . 分析: |x n -1|=nn n n 1|1)1(|1=--+-. 对于∀ε >0, 要使|x n -1|<ε , 只要ε<n 1, 即ε1>n . 证明: 因为∀ε >0, ∃]1[ε=N ∈N +, 当n >N 时, 有 |x n -1|=ε<=--+-n n n n 1|1)1(|1, 所以1)1(lim 1=-+-∞→nn n n . 例2. 证明0)1()1(lim2=+-∞→n n n . 分析: |x n -0||0)1()1(|2-+-=n n 11)1(12+<+=n n . 对于∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<+11n , 即11->εn . 证明: 因为∀ε >0, ∃]11[-=εN ∈N +, 当n >N 时, 有 |x n -0|=ε<+<+=-+-11)1(1|0)1()1(|22n n n n , 所以0)1()1(lim 2=+-∞→n n n . 例3. 设|q |<1, 证明等比数列1, q , q 2, ⋅ ⋅ ⋅ , q n -1, ⋅ ⋅ ⋅的极限是0.分析: 对于任意给定的ε >0, 要使|x n -0|=| q n -1-0|=|q | n -1<ε ,只要n >log |q |ε +1就可以了, 故可取N =[log |q |ε +1]。
同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章 函数与极限
第一章函数与极限教学目的：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。
教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。
§1. 1 映射与函数一、集合1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示.元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a∈M.集合的表示:列举法: 把集合的全体元素一一列举出来.例如A={a, b, c, d, e, f, g}.描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x 的全体所组成, 则M可表示为A={a1, a2, ⋅⋅⋅, a n},M={x | x具有性质P }.例如M={(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1}.几个数集:N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集.N ={0, 1, 2, ⋅⋅⋅, n, ⋅⋅⋅}. N +={1, 2, ⋅⋅⋅, n, ⋅⋅⋅}.R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集.Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集.Z ={⋅⋅⋅, -n, ⋅⋅⋅, -2, -1, 0, 1, 2, ⋅⋅⋅, n, ⋅⋅⋅}.Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集.},|{互质与且q p q Z p qp +∈∈=N Q 子集: 若x ∈A, 则必有x ∈B, 则称A 是B 的子集, 记为A ⊂B(读作A 包含于B)或B ⊃A .如果集合A 与集合B 互为子集, A ⊂B 且B ⊂A, 则称集合A 与集合B 相等, 记作A =B.若A ⊂B 且A ≠B, 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠⊂B . 例如, N ≠⊂Z ≠⊂Q ≠⊂R .不含任何元素的集合称为空集, 记作∅. 规定空集是任何集合的子集.2. 集合的运算设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A ⋃B, 即 A ⋃B ={x|x ∈A 或x ∈B}.设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A ⋂B, 即A⋂B={x|x∈A且x∈B}.设A、B是两个集合, 由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差), 记作A\B, 即A\B={x|x∈A且x∉B}.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 此时, 我们称集合I为全集或基本集. 称I\A为A的余集或补集, 记作A C.集合运算的法则:设A、B、C为任意三个集合, 则(1)交换律A⋃B=B⋃A, A⋂B=B⋂A;(2)结合律(A⋃B)⋃C=A⋃(B⋃C), (A⋂B)⋂C=A⋂(B⋂C);(3)分配律(A⋃B)⋂C=(A⋂C)⋃(B⋂C), (A⋂B)⋃C=(A⋃C)⋂(B⋃C);(4)对偶律(A⋃B)C=A C⋂B C, (A⋂B)C=A C⋃B C.(A⋃B)C=A C⋂B C的证明:x∈(A⋃B)C⇔x∉A⋃B⇔x∉A且x∉B⇔x∈A C且x∈B C ⇔x∈A C⋂B C, 所以(A⋃B)C=A C⋂B C.直积(笛卡儿乘积):设A、B是任意两个集合, 在集合A中任意取一个元素x, 在集合B中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积, 记为A⨯B, 即A⨯B={(x, y)|x∈A且y∈B}.例如, R⨯R={(x, y)| x∈R且y∈R }即为xOy面上全体点的集合, R⨯R常记作R2.3. 区间和邻域有限区间:设a<b, 称数集{x|a<x<b}为开区间, 记为(a, b), 即(a, b)={x|a<x<b}.类似地有[a, b] = {x | a ≤x≤b }称为闭区间,[a, b) = {x | a≤x<b }、(a, b] = {x | a<x≤b }称为半开区间.其中a和b称为区间(a, b)、[a, b]、[a, b)、(a, b]的端点, b-a 称为区间的长度.无限区间:[a, +∞) = {x | a≤x }, (-∞, b] = {x | x < b } , (-∞, +∞)={x | | x | < +∞}.区间在数轴上的表示:邻域: 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a).设δ是一正数, 则称开区间(a-δ, a+δ)为点a的δ邻域, 记作U(a, δ), 即U(a, δ)={x | a-δ< x < a+δ}={x | | x-a|<δ}.其中点a称为邻域的中心, δ称为邻域的半径.去心邻域οU(a, δ):οU(a, δ)={x |0<| x-a |<δ}二、映射1. 映射的概念定义设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作f : X→Y ,其中y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即y=f(x),而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; 集合X称为映射f的定义域, 记作D f, 即D f=X ;X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为R, 或f(X), 即fR f=f(X)={f(x)|x∈X}.需要注意的问题:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合X, 即定义域D f=X; 集合Y, 即值域的范围: R f ⊂Y; 对应法则f, 使对每个x∈X, 有唯一确定的y=f(x)与之对应.(2)对每个x∈X, 元素x的像y是唯一的; 而对每个y∈R f, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域R f是Y的一个子集, 即R f⊂Y, 不一定R f=Y .例1设f : R→R, 对每个x∈R, f(x)=x2.显然, f是一个映射, f的定义域D f=R, 值域R f={y|y ≥0}, 它是R 的一个真子集. 对于R f 中的元素y, 除y =0外, 它的原像不是唯一的. 如y =4的原像就有x =2和x =-2两个.例2设X ={(x, y)|x 2+y 2=1}, Y ={(x, 0)||x|≤1}, f : X →Y, 对每个(x, y)∈X, 有唯一确定的(x, 0)∈Y 与之对应. 显然f 是一个映射, f 的定义域D f =X, 值域R f =Y. 在几何上, 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x 轴的区间[-1, 1]上.(3) f :]2 ,2[ππ-→[-1, 1], 对每个x ∈]2,2[ππ-, f(x)=sin x . f 是一个映射, 定义域D f =]2,2[ππ-, 值域R f =[-1, 1]. 满射、单射和双射:设f 是从集合X 到集合Y 的映射, 若R f =Y, 即Y 中任一元素y 都是X 中某元素的像, 则称f 为X 到Y 上的映射或满射; 若对X 中任意两个不同元素x 1≠x 2, 它们的像f(x 1)≠f(x 2), 则称f 为X 到Y 的单射; 若映射f 既是单射, 又是满射, 则称f 为一一映射(或双射).上述三例各是什么映射？2. 逆映射与复合映射设f 是X 到Y 的单射, 则由定义, 对每个y ∈R f , 有唯一的x ∈X, 适合f(x)=y, 于是, 我们可定义一个从R f 到X 的新映射g, 即g : R f →X,对每个y ∈R f , 规定g(y)=x, 这x 满足f(x)=y. 这个映射g 称为f 的逆映射, 记作f -1, 其定义域1-f D =R f , 值域1-f R =X . 按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 上述三例中哪个映射存在逆映射？设有两个映射g : X→Y 1, f : Y 2→Z,其中Y 1⊂Y 2. 则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则, 它将每个x∈X映射成f[g(x)]∈Z . 显然, 这个对应法则确定了一个从X到Z的映射, 这个映射称为映射g和f 构成的复合映射, 记作f o g, 即f o g: X →Z,(f o g)(x)=f[g(x)], x∈X .应注意的问题:映射g和f构成复合映射的条件是: g的值域R g必须包含在f的定义域内, R g⊂D f . 否则, 不能构成复合映射. 由此可以知道, 映射g和f的复合是有顺序的, f o g有意义并不表示g o f也有意义. 即使f o g与g o f都有意义, 复映射f o g与g o f也未必相同.例4 设有映射g : R→[-1, 1], 对每个x∈R, g(x)=sin x,映射f : [-1, 1]→[0, 1], 对每个u∈[-1, 1], 2f-u=.1)(u则映射g和f构成复映射f o g: R→[0, 1], 对每个x∈R, 有[()](2x)()sin|(sin|cos1)-f==ο.g==xxffxxg三、函数1. 函数概念定义设数集D⊂R, 则称映射f : D →R为定义在D上的函数, 通常简记为y=f(x), x∈D,其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作D f, 即D f=D.应注意的问题:记号f和f(x)的含义是有区别的, 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 但为了叙述方便, 习惯上常用记号“f(x), x∈D”或“y=f(x), x∈D”来表示定义在D上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f .函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母, 例如“F”, “ϕ”等. 此时函数就记作y=ϕ (x), y=F(x).函数的两要素:函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在R内, 因此构成函数的要素是定义域D f及对应法则f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.函数的定义域:函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定.求定义域举例:求函数412y的定义域.=x--x要使函数有意义, 必须x≠0, 且x2 -4≥0.解不等式得| x |≥2.所以函数的定义域为D={x | | x |≥2}, 或D=(-∞, 2]⋃[2,+∞]).单值函数与多值函数:在函数的定义中，对每个x ∈D, 对应的函数值y 总是唯一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个x ∈D, 总有确定的y 值与之对应, 但这个y 不总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多值函数. 例如, 设变量x 和y 之间的对应法则由方程x 2+y 2=r 2 给出. 显然, 对每个x ∈[-r, r]，由方程x 2+y 2=r 2,可确定出对应的y 值, 当x =r 或x =-r 时, 对应y =0一个值; 当x 取(-r, r)内任一个值时, 对应的y 有两个值. 所以这方程确定了一个多值函数.对于多值函数, 往往只要附加一些条件, 就可以将它化为单值函数, 这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支. 例如, 在由方程x 2+y 2=r 2给出的对应法则中, 附加“y ≥0”的条件, 即以“x 2+y 2=r 2且y ≥0”作为对应法则, 就可得到一个单值分支221)(x r x y y -==; 附加“y ≤0”的条件, 即以“x 2+y 2=r 2且y ≤0”作为对应法则, 就可得到另一个单值分支222)(x r x y y --==.表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法), 这在中学里大家已经熟悉. 其中, 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 即坐标平面上的点集{P(x, y)|y =f(x), x ∈D}称为函数y =f(x), x ∈D 的图形. 图中的R f 表示函数y =f(x)的值域.函数的例子:例. 函数⎩⎨⎧<-≥==0 0||x x x x x y .称为绝对值函数. 其定义域为D =(-∞, +∞), 值域为R f =[0, +∞).例. 函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==010001sgn x x x x y .称为符号函数. 其定义域为D =(-∞, +∞), 值域为R f ={-1, 0, 1}.例 设x 为任上实数. 不超过x 的最大整数称为x 的整数部分, 记作[ x ]. 函数y = [ x ]称为取整函数. 其定义域为D =(-∞, +∞), 值域为R f =Z . 0]75[=, 1]2[=, [π]=3, [-1]=-1, [-3. 5]=-4.分段函数:在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.例。
《高等数学》(同济六版)教学课件★第1章.函数与极限(2)
左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
左右极限至少有一个不存在
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
思考与练习
1. 讨论函数
x = 2 是第二类无穷间断点 .
间断点的类型.
2. 设
时
提示:
3. P65 题 3 , *8
为
连续函数.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,
P65 题*8 提示:
显然
正根 .
二、 连续与间断
一、 函数
三、 极限
习题课
函数与极限
第一章
一、 函数
1. 概念
定义:
定义域
值域
图形:
( 一般为曲线 )
设
函数为特殊的映射:
其中
2. 特性
有界性 ,
单调性 ,
奇偶性 ,
周期性
3. 反函数
设函数
为单射,
反函数为其逆映射
4. 复合函数
给定函数链
则复合函数为
作业 P65 4 ; 5
备用题 确定函数
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
一、连续函数的运算法则
第九节
二、初等函数的连续性
连续函数的运算与
初等函数的连续性
第一章
定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.
在其定义域内连续
一、连续函数的运算法则
, 使
取
则
在
内连续,
存在, 则
必在
内有界.
上连续 , 且恒为正 ,
例5. 设
《高等数学》第六版同济大学应用数学系主编高等教育出版社
《高等数学》第六版同济大学应用数学系主编高等教育出版社第一周学习任务第一章第1 节习题1－14(3)(6) (8),5(3),9(2),15(4),17函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的建立第2 节习题1－21(2) (5) (8)数列极限的定义数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)第3 节习题1－32,4函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）第4 节习题1－44,6无穷小与无穷大的定义无穷小与无穷大之间的关系第5 节习题1－51(5)(11)(13),3,5 极限的运算法则(6 个定理以及一些推论)第6 节习题1－61(2)(6),2(1)(4),4(1)(3)函数极限存在的两个准则（夹逼定理、单调有界数列必有极限）两个重要极限（注意极限成立的条件，熟悉等价表达式）利用函数极限求数列极限第7 节习题1－71,2,3(1),4(3)(4)无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、低阶无穷小、k 阶无穷小）及其应用一些重要的等价无穷小以及它们的性质和确定方法第8 节习题1－83(4),4,5函数的连续性，函数的间断点的定义与分类（第一类间断点与第二类间断点）判断函数的连续性和间断点的类型第9 节习题1－93(4)(6)(7),4(4) (6),6连续函数的、和、差、积、商的连续性反函数与复合函数的连续性初等函数的连续性第10 节习题1－101,3有界性与最大值最小值定理零点定理与介值定理(零点定理对于证明根的存在是非常重要的一种方法)总复习题一总复习题一3(2),9(2)(4)(6),10,13总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法第二周学习任务在进行第二周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第一周中复习的知识点，整理并创建本章中的难题、错题题库第二章第1 节习题2－12,6,7,8,13,16(2),17导数的定义、几何意义、物理意义单侧与双侧可导的关系可导与连续之间的关系函数的可导性，导函数，奇偶函数与周期函数的导数的性质按照定义求导及其适用的情形，利用导数定义求极限会求平面曲线的切线方程和法线方程第2 节习题2－22(9),3(2),4,7(8),8(5),11(6)(9)导数的四则运算公式（和、差、积、商）反函数的求导公式复合函数的求导法则基本初等函数的导数公式分段函数的求导第3 节习题2－31(3), 3(2),4(1),8,10(2),高阶导数n 阶导数的求法（归纳法，莱布尼兹公式）第4 节习题2－41(1),2,3(4),4(1),5(2),10隐函数的求导方法，对数求导法由参数方程确定的函数的求导方法第5 节习题2－52,6函数微分的定义，几何意义基本初等函数的微分公式微分运算法则，微分形式不变性一元函数微分在函数近似计算中的应用总复习题二总复习题二1,3,6(1),7,11,13,14总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法第三周学习任务在进行第三周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第二周中复习的知识点，整理并创建本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节练习题目大纲知识点第三章第1 节习题3－16,8,11(1),12,15费马定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理及其几何意义构造辅助函数第2 节习题3－21(10)(13)(15),4 洛必达法则及其应用第3 节习题3－35,7,10(2) (3)泰勒中值定理麦克劳林展开式第4 节习题3－43(6) ,5(4),6,9(5) ,10(3),12函数的单调区间，极值点函数的凹凸区间，拐点第5 节习题3—51(8),4(3),10,11函数极值的存在性：一个必要条件，两个充分条件最大值最小值问题函数类的最值问题和应用类的最值问题第6 节习题3－61,4利用导数作函数图形（一般出选择题）：函数f (x)的间断点、f '(x)和f ''(x)的零点和不存在的点，渐近线由各个区间内f '(x)和f ''(x)的符号确定图形的升降性、凹凸性，极值点、拐点第四周学习任务在进行第四周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第三周中复习的知识点，整理并创建本章中的难题、错题题库第三章第7 节习题3－75弧微分曲率的定义，曲率的计算公式,曲率圆、曲率半径总复习题三总复习题三1,2(2),6,7,9,10(4),11(3),12,17总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法第四章第1 节习题4－11(1),2(1)(6)(8)(13)(17)(19)(21)(25),5原函数和不定积分的概念与基本性质（之间的关系，求不定积分与求微分或求导数的关系）基本的积分公式原函数的存在性、几何意义和力学意义第2 节习题4－22(1)(3)(6)(9)(13)(15)(16)(17)(19)(21)(30)(32)(34)(36) (37)第一类换元积分法（凑微分法）第二类换元积分法第3 节习题4－32,5,6,9,14,17,18,19,22,24 分部积分法第4 节习题4－42,4,8,20,23 有理函数积分法，可化为有理函数的积分总复习题四总复习题四1,2,5,9,10,12,14,16,21,23,33,35,38 总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法第五周学习任务在进行第五周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第四周中复习的知识点，整理并创建本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节练习题目大纲知识点第五章第1 节习题5—12(1),3(2)(3),11,12(2),13(5)定积分的定义与性质(7 个性质)函数可积的两个充分条件第2 节习题5—25(2),6(5)(8)(11)(12),9(2),10,12,13积分上限函数及其导数牛顿－莱布尼兹公式第3 节习题5—31(2)(4)(6)(10)(12)(19)(21)(24)(26) ,5,6,7(11)定积分的换元法定积分的分部积分法第4 节习题5—41(4)(8)(10),2无穷限的反常积分无界函数的反常积分总复习题五总复习题五1(1) (2) (4) ,3(2),4(2),10(7) (9)(10),11,12,13,14总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法第六章第1 节————元素法第2 节习题6—21(1)(4),2(1),4,5(1),9,12,15(1)(3) ,16,19,21求平面图形的面积（直角坐标情形、极坐标情形）旋转体的体积及侧面积平行截面面积为已知的立体的体积、平面曲线的弧长第3 节习题6—35,11 用定积分求功、水压力、引力总复习题六总复习题六2,3,5 总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法第六周学习任务在进行第六周学习任务前，先拿出两天的时间对前五周学习的内容进行简单的复习.首先用一天的时间总结归纳第五周中复习的知识点，整理并创建本章中的难题、错题题库；其次用一天对前五周的知识点、难题及错题进行复习章学习内容习题章节练习题目备注第七章第1 节习题7—11(1)(4) ,2(2)(4),4(2),5(2)微分方程的基本概念：微分方程，微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解第2 节习题7—21(1)(3)(4)(7),2(3),4,6可分离变量的微分方程的概念及其解法第3 节习题7—31(1)(4),2(1),3一阶齐次微分方程的形式及其解法可化为齐次的方程第4 节习题7—41(2)(3)(7)(10),2(1)(4),3,4,7(3),8(5)一阶线性微分方程的形式和解法伯努利方程的形式和解法第5 节习题7—51(1)(4)(7),2(2),3用降阶法解下列微分方程：y(n) = f ( x)，y'' = f ( x, y')和y'' = f ( y, y')第6 节习题7—61(1)(3)(6),4(2),n 阶线性微分方程的形式线性微分方程的解的结构：齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的解的性质第7 节习题7—71(1)(4)(5),2(2)(3),特征方程特征方程的根与微分方程通解中的对应项微分方程的通解第8 节习题7—81(1)(3)(7)(9),2(2),6二阶常系数非齐次线性微分方程，其中自由项为：多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积第9 节习题7—96 欧拉方程的形式和通解总复习题七总复习题七1(1)(2)(3)(4), 2,3(1)(2)(7),4(4) ,7总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法第七周学习任务在进行第七周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第六周中复习的知识点，整理并创建本章中的难题、错题题库第八章第1 节习题8—113,15向量概念和线性运算，空间直角坐标系利用坐标作向量的线性运算向量的模、方向角、投影第2 节习题8—23,7,9(1)(2)(3),10向量积、数量积、混合积的概念、性质、运算律、物理意义两向量平行、垂直的充要条件第3 节习题8—32,7,10(1)(4),11(3)曲面方程的概念旋转曲面的概念，旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程柱面的概念及二次曲面的概念与常用二次曲面（锥面、椭球面、双曲面、抛物面）的方程及其图形第4 节习题8—4 3,5(1),8 空间曲线的一般方程、参数方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程第5 节习题8—5 1,3,5,9平面的点法式方程、一般方程两平面的夹角，两平面垂直、平行或重合的充要条件第6 节习题8—6 1 ,3,4,5,8,14空间直线的一般方程、对称式方程、参数方程两直线的夹角，两直线垂直、平行或重合的充要条件直线与平面的夹角，直线与平面垂直、平行的充要条件平面束总复习题八总复习题八1(1)(2)(3)(4),7,10,12,13,14(1)(2),15,17,20 总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法第九章第1 节习题9—1 2,5(1)(2),6(1)(4),7(1),8 二元函数的极限、连续性、有界性与最大值最小值定理、介值定理第2 节习题9—2 1(4)(5)(6),4,6(2),8,9(2) 偏导数的概念，高阶偏导数的求解第3 节习题9—3 1(1) (4),2,3,5 全微分的定义，可微分的必要条件和充分条件第4 节习题9—4 2,4,6,8(1),10,12(1)多元复合函数求导法则（共3 个定理）全导数全微分形式不变性第5 节习题9—5 1,4,6,8,10(1)一个方程的情形（定理1，定理2）方程组的情形（定理3）第八周学习任务在进行第八周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第七周中复习的知识点，整理并创建本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节练习题目大纲知识点第九章第6 节习题9—6 3,6,8空间曲线的切线与法平面，曲线在一点处的切向量曲面的切平面与法线，曲面在一点处的法向量第7 节习题9—7 2,5,8方向导数的概念，方向余弦方向导数与可微的关系梯度的概念与计算公式第8 节习题9—8 1,2,6,9,11多元函数极值、极值点的概念多元函数极值的必要条件、充分条件条件极值，拉格朗日乘数法第9 节习题9—9 二元函数的二阶泰勒公式总复习题九总复习题九1,2,5,6(2) ,8,9,11,15,18总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法第十章第1 节习题10—1 2,4(1)(2)(3),5(1)(4)二重积分的定义、几何意义二重积分的性质（6 个）二重积分的中值定理第2 节习题10—21(1)(4),2(1)(3),4(1)(3),6(1)(2)(6),11(1)(3),12(1)(3),13(1 )(3),14(1) (3)利用直角坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分第九周学习任务在进行第九周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第八周中复习的知识点，整理并创建本章中的难题、错题题库天数学习内容习题章节练习题目大纲知识点第十章第3 节习题10-31(2),4,5,6,7,9(1)(2), 10(1)(2),11(1)(2)(3)(4),12(1)(3)三重积分的定义和性质、利用直角坐标计算三重积分、利用柱面坐标计算三重积分、利用球面坐标计算三重积分第4 节习题10—4 1,2,3,4(1),5,7,(1)(3) ,14 曲面的面积、质心、转动惯量、引力总复习题十总复习题十1(1),2(1)(3),3(1),6,8(1),10,11,12 总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法第十一章第1 节习题11—1 1,3(1)(3)(5)(7) 对弧长的曲线积分的概念、性质、计算方法第2 节习题11—2 1,3(1)(3)(5)(7),4(1) (3),7(1)(2)对坐标的曲线积分的概念、性质、计算方法两类曲线积分之间的联系第3 节习题11—31(1)(2),2(1),3,4(1)(2),5(1)(3), 6(1)(3)格林公式利用格林公式计算曲线积分平面上曲线积分与路径无关的条件二元函数的全微分求积第4 节习题11—4 4(1)(2),5(1) (2),6 (1) (3) 对面积的曲面积分的概念、性质、计算方法第5 节习题11—5 3(1)(3) (4),4(1)对坐标的曲面积分的概念、性质、计算方法两类曲面积分之间的联系第十周学习任务在进行第十周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第九周中复习的知识点，整理并创建本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节练习题目大纲知识点第十一章第6 节习题11—61(1)(3),2(1),3(1)高斯公式利用高斯公式计算曲面积分散度的概念与计算第7 节习题11—72(1)(2),3(1)斯托克斯公式利用斯托克斯公式计算曲线积分旋度的概念与计算总复习题十一总复习题十一1,2,3(1)(3),3(6),4(1)(3),5,7 总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法第十二章第1 节习题12—12(3)(4),3(1)(2)4(1)(2)(5)常数项级数的概念收敛级数的基本性质等比级数（几何级数）敛散性的判别级数收敛的必要条件第2 节习题12—21(1)(4)(5),2(1)(4),3(1)(3),4(1) (3)(5),5(2)(3)(5正项级数及其审敛法（正项级数收敛的充要条件，比较审敛法及其推论、比较审敛法的极限形式，比值审敛法、根值审敛法，极限审敛法）p 级数敛散性的判别交错级数及其审敛法（莱布尼茨定理）绝对收敛与条件收敛第3 节习题12—31(1)(2)(3) (6),2(1) (2)函数项级数的概念幂级数及其收敛性（阿贝尔定理及其推论，幂级数的收敛半径）幂级数的运算（幂级数的和函数的性质）第4 节习题12—42(1)(2)(4) ,4,5,6泰勒级数、麦克劳林级数把函数展开成幂级数的步骤e x、sin x 、cos x、ln(1+ x)、(1 x)α + 的麦克劳林展开式用间接法把函数展开成幂级数第十一周学习任务在进行第十一周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第十周中复习的知识点，整理并创建本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节练习题目大纲知识点第十二章第7 节习题12—71(1)(2),2(1)(3),6三角级数三角函数系的正交性函数展开成傅里叶级数（收敛定理，狄利克雷充分条件）正弦级数和余弦级数第8 节习题12—81(1),2(1) 周期为2l 的周期函数的傅里叶级数总复习题十二总复习题十二1,2(1)(5),4,5(1),5(2),6(1),7(1)(4),8(1)(3),9(1),10(1),11 总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法备注以上第十二章的内容用两天的时间完成，用两天的时间将高等数学的上册做系统的复习，用两天的时间将高等数学的下册做系统的复习。
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1. P17 双曲函数_双曲正弦,双曲余弦,双曲正切; P19 反双曲函数_...;
2. P55 柯西Cauchy收敛准则; 3. P72 一致连续性.
1
Chap01 函数、极限与连续 重点内容: 1.极限定义,极限运算法则, 2.极限存在准则,两个重要极限, 等价无穷小量; 3.2. 函数的连续性,连续函数的运算,闭区间上连 续函数的性质. 难点: 1.极限存在准则,等价无穷小量的使用; 2.函数的间断点,闭区间上连续函数性质的应用2 .
n
n
若 0 q 1,任 给 0,取 N ln , ln q
18
例1 证l明 im n(1)n11. n n
证
xn
1
n(1)n1 n
11， n
任给0,要xn1,只要n1,或n1,
所以, 取N1,则当nN时,就有n(1)n11
n
n(1)n1 n
1n 1N 1 11
,即limn(1)n1
n
n
1.
用定义证数列极限存在时,关键是对任意给定
的 0, 寻找N.
19
例2 证li明 q m n0 ,其q 中 1 . n
lnim xn a, 或xn a (n).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
16
N定义 : ln i x m na 0 , N 0 ,使 n N 时 ,恒 x n有 a.
其中 :每一个或任给; 的:至少有一个或存 . 在
几何解释:
a 2 a x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
今日讲课内容: 数列极限定义 函数极限定义
长假后讲课内容: 极限运算法则 极限存在准则 两个重要极限
3
数列的极限
一. 概念的引入 二.二. 数列极限的概
念 三. 数列极限的性质
4
一、概念的引入
1. 如何用渐近的方法求圆的面积A？
用圆内接正多边形刘的徽面积割近圆似术圆：的面积A.
A1“表示…圆割内之接弥正细6边，形所面失积弥, A2少表示，圆割内之接又正割12，边以形面至积于,
1 , 1 ,1 , ,( 1 )n 1 , ; {(1)n1}
2,1,4, ,n(1)n1, ; {n(1)n1}
23
n
n
2 , 2 2 , , 2 2 2,
注意： 数列对应着数轴上一个点列.可看作一动
点在数轴上依次取 x 1 ,x 2 , ,x n , .
x3 x1 x2 x4 xn
问 当 n无限增大时, x n 是否无限接近于某一 题 确定的数值?如果是,如何确定?
14
给定 102 ,只要 n 102时, 有 xn 1 102 , 给定 103 ,只要 n 103时, 有 xn 1 103 , 给定 104 ,只要 n 104时, 有 xn 1 104 ,
给定 0,只要 n N 1 时,
有 xn 1 成立.
15
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么 小),总存在正数N,使得对于n N时的一切xn , 不等式xn a 都成立,那末就称常数a 是数 列xn的极限,或者称数列xn 收敛于a ,记为
不可割，则与圆周合体 A3而表无示所圆内失接矣正”24边形面积,
,
显因A123然此n, 需越要大考, A虑n越当接n近A于n时A表., 示AA n圆的n内 变接R 化2正趋3 —6势2—2.n n -1刘1边si徽n 形3面 2 积n,1
刘 徽 | 牟 合 方 盖
6
V牟:V球4:
7
2. 曲边三角形的面积问题：
13
二. 数列极限的定义
问题: 当 n无限增大时, x n是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
例 如 ， 当 n 无 限 增 大 时 ,x n 1 ( 1 n ) n 1 无 限 接 近 于 1 .
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn1(1)n1
1 n
1 n
分 析 若 q 0,则 lim q n lim 0 0;
n
n
若 0 q 1,任 给 0,
要 使 得 xn 0 qn , 则 n ln q ln , n ln ,
ln q
可 取 N ln .
ln q
20
证 明 lim q n 0,其 中 q 1. n
证 若 q 0,则 lim q n lim 0 0;
当 nN 时 ,所有 xn都 的落 (a 点 ,在 a)内 ,
只有(至 有多 限 N 个 只 )个 落有 在 . 其外
17
数列收敛的表述——用逻辑符号:
lim
n
xn
a
0,N 0,n N , xn a .
one of all, for every,
exist.
[ ' e p s i l n ]G r e e k a l p h a b e t : E
y 与割圆问题 1 同样的是
——曲边
y x2
三角形的
面积 A
如何计算？
o
1 x
8
我们通常的做法是:将区间[0,1] n 等份,用小 矩形的面积来近似地表示小曲边梯形的面积.
不足近
似(橘 色部分)
n i1
1
i
1
2
n n
12
22
n3
(n 1)2
n(n 1)(2n 1) 1 1
1
6n3
(1 )(2 )
6n
n
过剩近
似(橘色
n i1
1 n
i n
2
12
22 n3
n2
加蓝色 n ( n 1 ) ( 2 n 1 ) 1 1
1
部分)
6n3
(1 )(2 )
6n
9n
可以看到，随着 n 的不断增大，不足近似 不断增加，过剩近似不断减少，越来越接 近于所要求的曲边三角形面积 A 的真值。
1 2n
1Hale Waihona Puke 11数 定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
列
x1, x2,, xn,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
列的项,xn称为通项(一般项).数列(1)记为{xn} .
例如 2 ,4 ,8 , ,2n, ; { 2 n }
12,14,18,,21n,; {
1 2n
}
12
11
1 n
1
(1 )(2 ) A ,
6n
n
3
1 (1
1 )(2
1
)
n
A
1
.
6n
n
3
10
3. 截杖问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下
的杖 X1
长 1;为 2
第二天截下的为 杖 X2长 12总212和 ;
第 n天截下的杖 Xn长 1 2212 总 和 21n;为
Xn
1