不等式的放缩法基本公式

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-- 用放缩法证明不等式的方法与技巧

一．常用公式 1.)1(11)1(12-<<+k k k k k 2.12112-+<<++k k k k k 3.22k k ≥()4≥k 4．1232k k ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯≥(2≥k ） ５．⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--≤！！（！k k k 1)11211 ６．b a b a +≤+ 二.放缩技巧

所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ,使A C B ≤≤,

由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”. 常用的放缩技巧

（１）若0,,t a t a a t a >+>-<

（２

) <

>

11>

n >=

（３)21111111(1)1(1)(1)1n n

n n n n n n n n

-=<<=->++--

(4)=<=<= (５)若,,a b m R +∈,则,a a a a m b b m b b

+><+ （6)21111111112!3!!222

n n -+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+ (７)2221111111111(1)()()232231n n n

+++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+--（因为211(1)n n n <-) （7)1111111112321111

n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=<+++++++ 或11111111123222222n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+==+++ (8

）1++⋅⋅⋅>+⋅⋅⋅+==